logica matematica

Matemáticas discretas

Aurelio López Ovando LOGICA MATEMATICA Unidad 1 1

UNIDAD 1 LOGICA MATEMATICA

1.1 Proposiciones y Conectivos Lógicos

Introducción Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimiento es el proceso de razonamiento, por ejemplo hay personas que no saben sumar pero pueden hacer sus compras basándose en simples conductas lógicas que han ido aprendiendo a lo largo de sus vidas. A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos a favor de una conclusión que puede ser cierta o no. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos y forman el objetivo central de lo que clásicamente se ha denominado lógica. En un sentido amplio, el término lógico hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido estricto ha estado circunscrito al estudio del razonamiento deductivo. Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la lógica proposicional. Lo que caracteriza a la lógica proposicional es que toma como unidades básicas a las proposiciones y que tiene en cuenta como se combinan entre ellas por medio de conectivos lógicos para formar argumentos válidos.

¿Qué es Matemáticas Discretas ? “Parte de la matemática que estudia los objetos Discretos (separados o discontinuos)”. Son usadas en donde los objetos son contados, cuando las relaciones entre conjuntos finitos son estudiados y cuando los procesos que involucran un número finito de pasos son analizados.

La lógica “La Lógica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto”. Ejemplos:

· Todos los matemáticos utilizan sandalias · Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista. · Por lo tanto, todos los matemáticos son algebrista.

La Lógica se centra en las relaciones entre los enunciados y no en el contenido de un enunciado en particular. El tipo de expresiones que interesan a la lógica son aquellas cuyo contenido puede ser evaluado como falso o verdadero. A este tipo de expresiones se le denomina proposición, sentencia o enunciado. Existen diversos tipos de lógica como son la lógica proposicional y la lógica de predicados

Proposición “Una proposición se define como un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas”. Ejemplo:

· La Coca-Cola es una empresa transnacional………………………………………………………………… verdadero. · Todos los alumnos del ITESCAM son menores de edad……………………………………………….. falso · El grupo de ing. mecatrónica está iniciando el curso de matemáticas discretas…….……. verdadero · Todos los alumnos del ITESCAM tiene coche del año…………………………………………..….….. falso La veracidad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y viene dada por algún criterio independiente de la proposición.



Expresiones que no son proposiciones Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones, las oraciones exclamativas, exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo, por lo tanto no son verdaderas ni falsas, así mismo las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor (a pesar de que afirman algo), no constituyen proposiciones, pues su veracidad o falsedad no puede ser establecida. Ejemplos:

Proposición Porque no es una proposición

¡Viva la familia! Exclamación o admiración

¿Está lloviendo? Pregunta

Lávate la cara Imperativa u orden

Pedro es muy malo Juicio de valor

Debemos honrar a nuestros héroes Exhortativa

Que tengas muy buen día Desiderativa

Quizá llueva mañana Dubitativa

Toda proposición es una oración aseverativa (afirman algo), pero no toda oración aseverativa es una proposición. Ejemplos:

· Eduardo es un número racional · La mesa es inteligente · X + 3 = 5 · A es la capital de Campeche

Todas las anteriores son ejemplos de expresiones aseverativas, pero no de proposiciones, son expresiones lingüísticas que tienen apariencia de proposiciones, pero que realmente no lo son porque no tiene sentido o no se puede afirmar que son verdaderas o falsas. En conclusión, para que una expresión sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos:

· Ser oración. · Afirmar algo. · Ser bien verdadera o bien falsa

Variables proposiciones Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas con letras minúsculas p, q, r,...... que se denominan átomos. Ejemplo:

p: Calkiní es un municipio del estado de Campeche. q: Un gobernador puede reelegirse según la constitución política mexicana.

De esta manera podemos decir que “p” puede ser verdadera o falsa dependiendo de alguna situación, lo mismo para “q” y así poder asignarle valores de verdad. Estos símbolos pueden modificarse o combinarse mediante conectivos lógicos dando lugar a proposiciones compuestas o moleculares.

NOTA: Es recomendable utilizar minúsculas para evitar confusiones con las mayúsculas que se utilizan en la teoría de conjuntos, y las primeras letras (a,b,c, etc) que se utilizan en geometría y trigonometría para vértices, por lo mismo no es recomendable utilizar esta notación para nombrar las proposiciones, pero tampoco está prohibida en algunos libros se manejan letras mayusculas.



Conectivos Lógicos (Términos de Enlace) “Son palabras y/o símbolos que enlazan proposiciones con el fin de construir un lenguajes (verbal o simbólico) más amplio”. Los conectivos lógicos más usuales son: Simbolo Palabra Nombre

(), [] Agrupación

¬ No, no es cierto, not Negación

Y, and Conjunción

O, or Disyunción inclusiva, permite todos los casos.

0..0, xor Disyunción exclusiva, permite solo uno de todos los casos.

→ Si… entonces Si condicional o implicación

↔ Si y solo si Bicondicional o implicación doble

La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante la siguiente proposición:

p → q ¬r El correcto para resolverlo sería para este caso:

1. Primero negamos r ( ¬r )

2. Luego resolvemos la conjunción (q ¬q)

3. Por último resolvemos la implicación → Pero tiene mayor los signos de agrupación, des esta manera, si nos encontramos con la proposición:

(p → q) ¬r

1. Primero resolvemos la implicación (p → q) 2. Luego hacemos la negación de r ( ¬r ) 3. Por ultimo la conjunción.

Como podemos observar los operadores se colocan a la izquierda de la variable proposicional, siendo incorrectos los siguientes ejemlos:

p¬

q ↔ r Solo por mencionar algunos ejemplos, porque podrían haber muchas combinaciones incorrectas.

Formulas bien formadas (wff) A la combinación de proposiciones y conectivos se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. Ejemplos:

[ p ( p q ) ] q ; [ p ( p q ) ] q

[ ( p q ) ( p r ) ] ( q r )

No todas las formulas son bien formadas, si a una formula no se le puede dar un valor se dice que no es un formula bien formada.



Tablas de verdad Son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones de una fórmula y el resultado de las mismas. Representan de manera gráfica todas las posibles combinaciones de los valores de verdad que se formen de las proposiciones.

Sus valores pueden ser V (verdadero) o F (falso), 1 (encendido) o 0 (apagado), para

saber cuantas filas deben utilizarse se aplica la formula 2n donde “2” representa los

dos posibles valores que puede tomar y “n” es el número de proposiciones con las que se forme la formula. (Este tema lo abundaremos mas adelante).

Proposiciones atómicas y moleculares Las proposiciones pueden constar de un solo enunciado o de varios, en el primer caso las denominamos proposiciones atómicas y en segundo moleculares.

Proposición Atómica Una proposición es atómica cuando no posee conectivos lógicos. Son entonces las más simples.

Ejemplos: · En el invierno hace frio. · México está en crisis económica.

Proposición compuesta o molecular Es una o más proposiciones atómicas adecuadamente escritas, unidas con términos de enlace.

Ejemplos:

· En el invierno hace frio y en algunos lugares cae nieve.

· México está en crisis económica si y solo si se devalúa la moneda.

· No es difícil desarrollar un software.

Proposición con forma Disyuntiva o Disyunción Una proposición Disyuntiva, es aquella que está formada por proposiciones atómicas o moleculares, digamos p y q, con el conectivo Lógico “o”. Se simboliza así: “V”, se escribe: p v q y se lee: “p o q” Existen dos operadores de disyunción: La disyunción exclusiva o excluyente y la disyunción inclusiva o incluyente.

Disyunción Inclusiva Son dos o mas proposiciones de las cueles puedo elegir una o mas de una, se caracteriza por permitir que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también Incluyente.

A continuación se presenta una tabla de los valores que puede tener la Disyunción Inclusiva:

El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en las siguientes proposiciones:

· p: Juan saca 10 en su examen semanal. · q: Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes.

· p v q: Juan saca 10 en su examen semanal o lava el coche de su papá de lunes a viernes.

p q

V V

V F

F V

F F

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan:

“Para que te deje ir al antro el fin de semana debes cumplir una de

estas dos condiciones: Traer 10 en tu examen de esta semana o

lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta el viernes”



Debemos fijarnos que su papá le pidió cumplir con p o cumplir con q, significa que Juan puede cumplir con una sola de estas tareas para poder ir al antro. Las posibles situaciones en las que Juan se podría caer para ir al antro son:

Con esto podemos ver que para que Juan no vaya al antro, tanto p como q deben ser falsas. La disyunción inclusiva entre dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son falsas.

Disyunción Exclusiva Son dos o mas proposiciones de las cueles puedo elegir solo una, no permite que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también excluyente. La siguiente tabla muestra los posibles valores que puede tomar la disyunción Excluyente:

El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en dos proposiciones:

· p: Juan se inscribe en ing. en sistemas. · q: Juan se inscribe en ing. en mecatrónica. · p q: Juan se inscribe en ing. en sistemas o se inscribe en ing. en mecatrónica.

En este caso Juan tiene ambas opciones y puede cumplir solo con una de ellas:

Las posibilidades de que Juan siga estudiando se reducen a pesar de tener dos opciones.

Situaciones p q p q Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días. V V V Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no pudo lavar el coche todos los días. V F V Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el coche todos los días. F V V Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el coche todos los días. F F F

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Situaciones p q p q Juan se inscribe en ing. en sistemas y en ing. en mecatrónica V V F Juan solo se inscribe en ing. en sistemas. V F V Juan solo se inscribe en ing. en mecatrónica. F V V Juan no se inscribe en ningunas de las dos carreras F F F


“Para poder seguir estudiando debes tomar la decisión de inscribirte en

Ing. en sistemas o en Ing. en mecatrónica, pero no en ambas”

Nota Frecuentemente y cuando no es claro en el contexto de la oración se indica que una disyunción es incluyente o excluyente respectivamente, terminando la frase con o ambas o pero no ambas. Asi pudimos haber dcho:

Juan se inscribe en ing. en sistemas o se inscribe en ing. en mecatrónica, pero no en ambas.



Proposición conjuncional o conjunción Una conjunción de proposiciones es verdadera si y sólo si cada una de ellas es verdadera. Basta que un solo término de la conjunción sea falso para que toda la conjunción sea falsa. En español, normalmente la conjunción se expresa por medio de la ’y’, de comas o de una combinación de estas, o palabras como ’pero’. Se dice que una conjunción es verdadera solamente cuando cada una de las proposiciones que la conforman son verdaderas:

Juan se encuentra ante las mismas dos situaciones anteriores, que reflejaremos en dos proposiciones:

· p: Juan saca 10 en su examen semanal. · q: Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes.

Pero en este caso Juan debe cumplir con ambas proposiciones para poder ir al antro, ya que su papá utilizó la conjunción “y”:

Las posibilidades de que Juan vaya al antro se reducen.

Proposición con forma de Negación “La negación es una operación unitaria que se aplica a una proposición y tiene el efecto de revertir el valor de verdad”. Se simboliza así: “¬” o con el símbolo “ ’ ”, se escribe: ¬ p y se lee: No p; negación de p; o, No es cierto que p, esto es, si p es verdadera entonces ¬p es falsa, y si p es falsa entonces ¬p es verdadera. Una proposición de este tipo, puede estar formada por una proposición atómica o molecular a diferencia de los otros conectivos que afectan a mas de una, digamos p, con el conectivo Lógico “No”.

p ¬p

V F

F V

O puede estar formado por una proposición compuesta o molecular. Ejemplo:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Situaciones p q p q Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días. V V V Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no pudo lavar el coche todos los días. V F F Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el coche todos los días. F V F Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el coche todos los días. F F F

p q p q ¬(p q)

V V V F

V F F V

F V F V

F F F V


“Para que te deje ir al antro el fin de semana debes traer 10 en tu examen de

esta semana y lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta el viernes”

p: Juan va al antro

¬p: Juan no va al antro

En este caso la negación afecta a toda una proposición

compuesta



Ejercicio 1 a) Resuelva el siguiente cuestionario:

1.- ¿Qué es una proposición? 2.- ¿Qué requisitos debe cumplir una expresión lingüística para que sea considerada una expresión? 3.- ¿Qué expresiones lingüísticas no constituyen un ejemplo de proposiciones? 4.- En base a lo anterior, explicar porque no son proposiciones. 5.- ¿Qué clases de proposiciones hay y cuales son las diferencias entre ellas?

b) Analice las siguientes expresiones lingüísticas e indique si son o no proposiciones:

1.- La constitución política México fue declarada y promulgada por la asamblea constituyente en 1917 2.- ¿Quién es el pez gordo del narcotráfico? 3.- Sea bienvenido. 4.- ¡Por fin llegó la primavera! 5.- Los números racionales son inteligentes. 6.- Que tengan ustedes un buen viaje. 7.- Solo se que no se nada. 8.- Juan es bondadoso. 9.- No digas mentiras. 10.- Quizá existan miles de millones de universos. 11.- Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan respirar. 12.- x es la capital de México. 13.- Los planetas del sistema solar a excepción de Plutón ocupan el mismo plano con respecto al sol. 14.- El número 5 sonrió. 15.- Los electrones son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo.

c) Diga si las proposiciones son atómicas o moleculares:

1. Osama y Bush son cuñados 2. Toda inferencia inductiva es una inferencia en términos de probabilidad. 3. Hace unos años se consideraba la computadora como una gran calculadora, pero hoy se habla de

sus logros intelectuales. 4. El oxígeno no produce óxido en presencia de metaloides. 5. Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son asociativas. 6. Los peces son acuáticos puesto que respiran por branquias. 7. La suma de los ángulos internos de un triangulo es igual a 180. 8. Gloria e Irene son de la misma edad. 9. El abuelo y la abuelita obsequiaron una muñeca a su nieta. 10. A la composición química de una sustancia en iones por la acción de la corriente eléctrica se le llama

electrolisis. 11. Los términos lenguaje objeto y metalenguaje no son absolutamente relativos. 12. Decir que la inteligencia es hereditaria es defender la idea de que nuestras facultades intelectules se

transmiten de padres a hijos casi de la misma manera que el color de los ojos. 13. La molécula de la azúcar está compuesta por átomos de carbono, hidrógeno y oxígeno. 14. Jesús, María y José en el portal de Belem. 15. No se puede pasar cuando el semáforo está en rojo.



d) Muestre las proposiciones de cada caso y sus posibles valores en una tabla de verdad y determine que tipo de proposición es (conjunción, disyunción exclusiva, disyunción inclusiva, negación):

1. En un restaurante se regala un postre después de cada comida, pero solo se puede elegir uno entre estos dos: “Flan napolitano o gelatina mosaico”.

2. Una tienda se tiene la siguiente promoción: “En la compra de mas de $2000.00 pesos en artículos deportivos se le hace el 50% de descuento sobre la compra”.

3. Para ser merecedor de una beca un alumno debe contar con un promedio superior a 9.0 o demostrar que los ingresos de sus padres son inferiores a $1500.00 mensuales.

4. Para poder ingresar el ejercito un aspirante no debe tener tatuajes y ni padecer ninguna enfermedad contagiosa.

e) De la siguiente afirmación “Andrés es padre de Bernardo y éste es padre de Cecilia” se obtienen las siguientes

proposiciones: p : Andrés es descendiente de Bernardo q : Bernardo es descendiente de Andrés r : Cecilia es descendiente de Bernardo s : Cecilia es descendiente de Andrés

Asignar los valores a las siguientes formulas de las tablas de verdad y explicar porque:

Proposición Valor Porque

¬p

¬q

p q

¬p q V ¬p

p q

p ¬q

logica matematica

Documents

Transcript of logica matematica