Lógica Matemática

Realizado por: Eliecer MirandaDavid Mendieta

Jesús SaldañaRoderick Sánchez

Alexander Vásquez

INDICE

• Definición de lógica matemática

• Lógica Proposicional

• Definición y clasificación de una proposición

• Conectores proposicionales

• Tablas de verdad

• Definición

• Tautología y contradicción

• Construcción de tablas de verdad para proposiciones compuestas

¿Qué es la lógica matemática?La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Una proposición es una declaración sobre la que se puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es un enunciado verdadero o es un enunciado falso, pero no puede ocurrir ambas cosas.

Por ejemplo

SON PROPOSICIONES“El 2 es un número primo”.“ 25 es divisible entre 3 ”.“ 6 + 5 = 10 ”.“El aula 201 está en el 2do piso”.

¿Qué es una proposición?

NO SON PROPOSICIONES“ Pare inmediatamente!” “¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”.“ En realidad, ¿a qué se refiere?”.“ Lávalo”.

Lógica Proposicional

Proposiciones simples y compuestas

Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular.

PROPOSICION

SIMPLE: p

COMPUESTA: p q

Para denotar o representar las proposiciones se usan letras minúsculas: p, q, r, s,t ,u ...

p: “La tierra es plana”

q: “Damos clase si el profesor viene”

r: “El 5 es un entero par”

s: “La Tierra es el único planeta con vida en el universo”

t: “El aula 201 no está iluminada”

u: “Un decenio tiene 10 años”

Son términos sincategorematicos ( no posee significado por sí mismo) que se usan para modificar o enlazar propociciones .

Son los Siguientes:

Conectores proposicionales

Negación ~p

Representa la partícula lingüística "no" ó cualquier otra partícula que incluya la idea de negación. Este conector cambia el valor de la verdad. Ejemplos:p:  “4 + 4 es igual a 9″-p: “4 + 4 no es igual a 9″

p:  “El 4 es un numero par”-p: “El 4 no es un numero par”

Representa la partícula lingüística "y" o cualquier otra que indique la idea de unión como también igualmente "pero".  • Ejemplos:

p: Hoy es martes

q: La luna es cuadrada

r: mañana es miércoles

p q :Hoy es martes y la luna es cuadrada

p r :Hoy es martes y mañana es miércoles

Conjunción

• Luís estudia ,además de trabajar

• Luís estudió pero no aprobó

• Luís canta, sin embargo no baila

• Luís jugó futbol aunque estaba lesionado

• Luís juega futbol , también José

• Luís salió, aún no llega

• Luís cocina a la vez que canta

• Luís viajará no obstante esté sin visa

• Luís canta , no baila.

• Además• Pero• Sin

embargo• Aunque• También• Aún• A la vez• No obstante

Se toman como “sinónimos” de la conjunción:

Equivales  "y/o"  incluye la verdad de los dos enunciados o solo uno de los dos, al componer dos proposiciones da lugar a una proposición falsa; si ambas tienen igual valoración y a una proposición verdadera en caso contrario.

Ejemplos: • Seré cantante ó futbolista• El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4• Los retiros los puede efectuar Juan Pérez y/o

Juana Pérez

Disyunción no exclusiva

Representa las partículas lingüísticas "si, entonces" o cualquier otro que indique la idea de condición "como, cuando, entonces o simplemente el símbolo coma (,)

• Ejemplos:

Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves

Si llueve entonces hay nubes

Para tener un 100 en la asignatura de lógica matemática, es necesario tener 10 en el examen.

Condicional

Representa la partícula lingüística " si y solo si" o cualquier otra que indique doble condición como equivale "cuando y solo cuando" y "únicamente". Se trata de una condición necesaria y suficiente. Al componer dos proposiciones da lugar a una proposición verdadera y ambas tienen igual valoración y falsa en el restante de los casos.

Ejemplos: • 10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo• Esta nublado si y solo si hay nubes      • Tendrás un 10 en la materia si y solo si obtienes un 10 en

el examen o haces los problemas del libro.

BiCondicional

Una proposición lógica con n componentes tendrá renglones en su tabla de verdad.

n2

T F

F T

pp renglones.

renglones.

renglones.

221

422

823

Tabla de la verdad

Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.

La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada; podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.

p ~ p

V F

F V

Negación

Ejemplo:

No hay polución en New Jersey.

¬P

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.

p q p qV V V

V F F

F V F

F F F

Ejemplo:Comemos y cenamos. p q

Conjunción

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

DisyunciónLa disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

Ejemplo:Los retiros los puede efectuar Juan Pérez y Juana Pérez

p q p q

V V VV F FF V VF F V

CondicionalEl condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

Ejemplo:Si llueve entonces hay nubes

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

BicondicionalEl bicondicional funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

Ejemplo:Si y solo si apruebo, te presto el libro.

Tautología y contradicción

Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Por ejemplo: p p “ Soy un hombre o no soy un hombre”

Una contradicción es una proposición compuesta que es falsa para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen. Por ejemplo: p p

“Soy un hombre pero no soy un hombre”

Ejemplo con 2 proposiciones simplesConstruyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición :(pq) p

Tautología

p qV VV FF VF F

pq p~qV FF VF VF V

~qFVFV

(pq)(p~q)

F

F

F

F

Ejemplo con 2 proposiciones simplesConstruyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición :(pq)(p~q)

Contradicción

Muchas gracias