LOGICA MATEMATICA

7/16/2019 LOGICA MATEMATICA

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Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas

1.- PROPOSICIÓN.-

Consideremos las siguientes oraciones:

1.- ¿Qué hora es?2.- ¡Alto!3.- Wilsterman es el Campeón Boliviano4.- Los partidos neoliberales impiden las transformaciones en el País

Son oraciones, interrogativa la primera; imperativa la segunda y las dos ultimas son declarativas.

De las dos primeras no podemos decir que son verdaderas ni falsas, por cuanto una pregunta puede formularse o no y una orden puede ser cumplida o no. En cambio de las dos ultimas que

son declarativas, tiene sentido decir que son verdaderas o falsas, a estas se denominan proposiciones.

Entonces:

2.- CLASIFICACIÓN

Las proposiciones se clasifican en:

ATÓMICAS, son las que NO utilizan conectivos lógicos o llamados también términos de enlace.MOLECULARES, son las que SI utilizan conectivos lógicos o términos de enlace.

IMPORTANTE.- A partir de proposiciones simples se pueden generar proposiciones compuestas.

3.- TÉRMINOS DE ENLACE O CONECTIVOS LÓGICOS

∼ Negación No p o no es cierto que p ∧ Conjunción o producto Lógico p y q

∨ Disyunción o suma Lógica p o q (en sentido incluyente)

⇒ Implicación o Condicional p implica q o si p, entonces q

⇔ Doble implicación p si y solo si q

∨ Diferencia simétrica p o q (en sentido excluyente)

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NOCIONES DE LÓGICA MATEMÁTICA

PROPOSICIÓN, es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsao sea esta asociada a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V) o sino falso (F)y se las representan mediante las letras p, q, r, s,....

CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO




4.- OPERACIONES PROPOSICIONALES

IMPORTANTE.- Como consecuencia de estas operaciones el resultado SIEMPRE es otra proposición.

4.a.- NEGACIÓN.- (∼)

Se trata de una operación unitaria, por cuanto a partir de una proposición se obtiene otra que es sunegación y cuya tabla de verdad es:

4.b.- CONJUNCIÓN ( ∧ )

Es una operación donde intervienen siempre dos proposiciones y cuya tabla de verdad es :

4.c.- DISYUNCIÓN ( ∨ )

Es también una operación que involucra a dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:

Observar que o en sentido incluyente es V, cuando una de las dos proposiciones es verdadera.

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p ∼ p

V F

p ∧ q

V V V

p ∨ q




4.d.- IMPLICACIÓN O CONDICIONAL (⇒)

Definida también para dos proposiciones: p q, donde p es llamado el ANTECEDENTE y q elCONSECUENTE , cuya tabla de verdad es:

4.e.- DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL.-(⇔ )

Operación asociada también al juego de dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:

4.f.- DIFERENCIA SIMÉTRICA.- ( ∨ )

Llamada también disyunción excluyente, donde la verdad de la operación esta caracterizada por la verdad de una y solo una de las proposiciones, su tabla de verdad es:


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p ⇒ q

V F F

p ⇔ q

V V V

p ∨ q



5.- VALORES DE VERDAD

Los valores de verdad asociados a las tablas de verdad se denominan:

6.- LEYES LÓGICAS


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TAUTOLOGÍA: si todos los valores de verdad de la tabla son Verdaderos

CONTRADICCIÓN: si todos los valores de verdad de la tabla son Falsos

CONTINGENCIA: si los valores de verdad en la tabla son “mezcladitos”

INVOLUCIÓN : ∼ (∼ p) ≡ p

IDENTIDAD:

p ∨ F ≡ p

V ∧ p ≡ pp ∨ ∼ p ≡ V

p ∧ F ≡ F

p ∨ V ≡ V

∧ ∼ ≡ F

IDEMPOTENCIA: p ∧ p ≡ p

∨ ≡

CONMUTATIVIDAD:

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ∧ q ≡ q ∧ pp ⇔ q ≡ q ⇔ p

ASOCIATIVIDAD:

p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r

p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r

p ⇔ ( q ⇔ r ) ≡ ( p ⇔ q ) ⇔ r

DISTRIBUTIVIDAD:p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )

p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )

p ⇒ ( q ∧ r ) ≡ ( p ⇒ q ) ∧ ( p ⇒ r )

p ⇒ ( q ∨ r ) ≡ ( p ⇒ q ) ∨ ( p⇒ r )

EQUIVALENTES LÓGICOS:

p ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q

p ⇔ q ≡ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p )



7.- RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VALIDO


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LEYES DE D´MORGAN:

∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q

∼ ∨ ≡ ∼ ∧ ∼

LEY DEL MODUS PONENS:

p ⇒ qp

q

LEY DEL MODUS TOLLENS:

p ⇒ q

∼ q

∼ p

LEY DEL SILOGISMOHIPOTÉTICO:

p ⇒ q

q ⇒ r

p ⇒ r

SIMPLIFICACIÓN:

p ∧ q p ∧ q

p q

SILOGISMO DISYUNTIVO:

p ∨ q

p ⇒ r

q ⇒ s

r ∨ s

LEYES DE ABSORCION:

p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p

p ∧ (∼ p ∨ r ) ≡ p ∧ q

p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p

p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q

LEY DEL MODUS TOLLENDO PONENS:

p ∨ q p ∨ q

∼ p ∼ q

q p



8.- CUANTIFICADORES

Introducimos la cuantificación asociada a un objeto determinado x, perteneciente a ciertouniverso o conjunto expresado mediante los símbolos x llamado cuantificador universal y x

llamado cuantificador existencial en x, entonces:

y corresponde a una función proposicional P(x) o propiedad relativa al objeto x cuantificadouniversalmente en el primer caso y existencialmente en el segundo caso.

Para negar una función proposicional cuantificada universalmente, se cambia el cuantificador enexistencial y se niega la función proposicional; igualmente para la negación de un cuantificador existencial, o sea:


9.- CIRCUITOS LÓGICOS

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Para todo x, se verifica P(x) y se denota por ∀ x : P(x)

Existe x, tal que se verifica P(x) y se denota por ∃ x / P(x)

∼ [∀ x : P(x) ] ⇔ ∃ x / ∼ P(x)

∼ [∃ x / P(x) ] ⇔ ∀ x / ∼ P(x)

LEY DE LA CONJUNCION:pq

p ∧ q

LEY DE LA ADICION: p

p ∨ A



La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico conun interruptor, donde el interruptor se cierra, si la proposición p es Verdadera y se abre si p esFalsa.

Para representar a p si es Verdadera, se tiene:

Para representar a p si es Falsa, se tiene:

Las operaciones proposicionales de la CONJUNCIÓN y la DISYUNCIÓN, se pueden representar mediante las conexiones serie y paralelo de los circuitos eléctricos, llamados en lógica, circuitoslógicos, a saber:

Se puede observar que este circuito admite el pasaje de corriente solo si las dos proposiciones sonverdaderas.


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CONJUNCIÓN ( ∧ ) : Operación proposicional representada mediante la conexión enSERIE de los circuitos eléctricos :

p q

DISYUNCIÓN (∨ ) : Operación proposicional representada mediante la conexión enPARALELO de los circuitos eléctricos :

p

q



Se verifica que no pasa corriente, para el caso de que ambas proposiciones son falsas.

Febrero del 2013

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