LOGICA MATEMATICA

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Lgica Matemtica

1.1. Introduccin

La lgica es la ciencia que trata de los principios vlidos del razonamiento y la argumentacin. El

estudio de la lgica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para

pasar de unas proposiciones dadas, a una conclusin que se deriva de aquellas (a la luz de un ra-

zonamiento vlido). La validez lgica, es la relacin entre premisas y la conclusin de tal forma

que si las premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera. La importancia de la Lgica viene

siendo reconocida desde la antigedad, ya los griegos clsicos saban que el razonamiento es un

proceso sujeto a ciertos esquemas y que, al menos parcialmente, este gobernado por leyes perfec-

tamente formulables. Pero su importancia en la actualidad se debe, sin duda, al destacado papel

que ha tomado recientemente en los ms diversos campos de la Informtica (anlisis, sntesis y ve-

rificacin de programas, programacin lgica, inteligencia artificial, control de procesos, robtica,

etc.) y todo ello como un intento de mecanizar los procesos del razonamiento.

El presente captulo, es una breve gua hacia las herramientas ms bsicas de esta disciplina.

1.2. Proposiciones

La lgica simblica, en principio, se caracteriza por estructurar el razonamiento desde la sintaxis,

es decir, desde el lenguaje, de forma independiente al significado de las afirmaciones involucra-

das. En gramtica existen diferentes tipos de oraciones, entre ellas estn las declarativas. Estas po-

seen la cualidad de poder ser calificadas como falsas verdaderas, segn el contexto.

En la lgica matemtica, nos interesa que las aseveraciones describan algn fenmeno de manera

exacta, libre de las ambigedades que surgen en las conversaciones cotidianas.

En este sentido, podemos ensayar la siguiente definicin:

Definicin

Una proposicin, es una sentencia a la cual le podemos asignar un valor de verdad, pudiendo ser esta verda-

dera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez.

Para representar a una proposicin, generalmente se utilizan las ultimas letras del alfabeto: p, q, r,

s, ...

Por ejemplo, consideremos las siguientes oraciones:

Los enunciados , son proposiciones con un valor de verdad definido: o son falsas ver-

daderas. En cambio el enunciado , necesita que se verifique a qu persona de nombre Pedro se re-

fiere la oracin, y, el enunciado , requiere que se especifique el valor de las variables.

Las proposiciones que son verdaderas en cualquier circunstancia se denominan Tautologas (T), las

que continuamente son falsas se denominan Contradicciones (C) y las que no tienen valor definido,

es decir, a veces son falsas y otras veces son verdaderas, se denominan Contingencias.

1.2.1. Proposiciones atmicas y compuestas

Una proposicin ser considerada atmica o simple cuando ella no pueda ser separada en partes

constitutivas que sean a su vez proposiciones.

Por ejemplo, tratemos de separar en enunciado

Ambas, son frases que no describen un fenmeno completo

Otro ejemplo, tratemos de separar en enunciado

La primera se conserva como proposicin, no as la segunda.

Una proposicin ser considerada compuesta cuando est formada por varias proposiciones sim-

ples, ligadas entre s por frases que las conectan.

Por ejemplo:

Aqu, hay dos proposiciones simples:

La frase es empleada para conectar a las proposiciones simples.

El valor de verdad de una proposicin compuesta depende del valor que tiene cada una de las

proposiciones simples y de la manera como ellas estn enlazadas.

1.3. Conectivos lgicos

Los conectivos lgicos son partculas o frases gramaticales que sirven para enlazar a las proposicio-

nes simples y formar de esta manera a las proposiciones compuestas. Estas se pueden reducir a

unas pocas que son las esenciales y construir otras a partir de ellas.

Los conectivos lgicos bsicos son:

Negacin

Conjuncin

Disyuncin inclusiva

Disyuncin exclusiva

Condicional

Bi condicional

1.3.1. Negacin

La negacin se simboliza generalmente por el signo . Este signo puede ser traducido en pala-

bra como: no es el caso que, o, ms brevemente como no En realidad, esta frase no enlaza, act-

a sobre una proposicin y niega que la accin o cualidad se produzca.

Por ejemplo, si representa a la proposicin , entonces la expresin

representa a

Obviamente, cambia el valor de verdad de la proposicin sobre la cual acta..

As, si la proposicin es verdadera, entonces la proposicin

resulta ser falsa.

Podemos representar los valores de verdad de esta proposicin mediante la siguiente tabla:

V F

F V

1.3.2. Conjuncin

Es el operador correspondiente al trmino y, siendo el smbolo ms corriente . Por ejemplo,

consideremos la proposicin:

Hay dos proposiciones simples:

La proposicin completamente simbolizada es:

La regla para establecer los criterios de verdad es la siguiente:

La conjuncin de enunciados en el cual todas las proposiciones son verdaderas, es verdadera.

La conjuncin de enunciados en la que no todas las proposiciones son verdaderas, es falsa.

Esto equivale a decir que es suficiente que una de las proposiciones sea falsa para que toda la con-

juncin sea falsa.

Lo expresado anteriormente se puede resumir en la siguiente tabla de verdad.

V V V

V F F

F V F

F F F

Por ejemplo, en el enunciado:

El auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batera

Las proposiciones simples son:

La proposicin ha de ser verdadera cuando se tenga gasolina en el tanque y corriente en la

batera, si no se tiene una de esas dos condiciones, el auto no arrancar y la proposicin ha de

ser falsa.

1.3.3. Disyuncin inclusiva

Es expresada ordinariamente mediante la palabra , simblicamente se representa por medio de

colocada entre dos proposiciones. En este caso no tiene el carcter de dilema, y se puede inter-

pretar como o uno u otro o ambos

La regla para establecer el criterio de verdades la siguiente:

La disyuncin de enunciados en la cual todas las proposiciones son falsas, es falsa.

La disyuncin de enunciados en la cual no todas las proposiciones son falsas, es verdadera.

Entonces, es suficiente que alguna proposicin sea verdadera para decir que la disyuncin inclusi-

va, es verdadera.

Lo expresado se resume en la siguiente tabla.

V V V

V F V

F V V

F F F

Por ejemplo, en el enunciado

La proposicin ha de ser verdadera cuando se cumpla al menos una de las dos condiciones:

comprar un boleto o tener un pase de cortesa. Si no se tiene ninguna de las dos condiciones no se

puede ingresar al cine y la proposicin resulta ser falsa

1.3.4. Condicional

Este es uno de los conectivos ms importantes, simblicamente se representa con una flecha y

se lo encuentra cuando la proposicin refleja algn tipo de condicionamiento. Normalmente del ti-

po . A la primera proposicin se le conoce como antecedente o hiptesis y a la

segunda como consecuente o tesis.

La regla para establecer los criterios de verdad es la siguiente:

Si el antecedente es falso, el condicional es verdadero, sin que interese el valor de verdad del

consecuente.

Si el consecuente es verdadero, el condicional es verdadero sin que interese el valor de verdad

del antecedente.

Esto equivale a decir que si el antecedente es verdadero y el consecuente falso, este conectivo resul-

ta ser falso. Lo expresado se refleja en la tabla:

V V V

V F F

F V V

F F V

Este conectivo tiene diversas lecturas:

-

-

-

-

-

De la tabla de verdad tambin se puede observar que es suficiente que el antecedente sea falso para

que la implicacin sea verdadera, independientemente de lo que ocurra con el consecuente; pero, es

necesario que el consecuente sea verdadero para que la implicacin sea verdadera, independiente-

mente del antecedente.

La importancia de la implicacin radica en su uso para el modelado del razonamiento, esta nos dice

que si nuestra hiptesis es correcta, la nica manera de llegar a una conclusin (tesis) falsa es que

nuestro razonamiento (la implicacin) haya sido incorrecta.

Por ejemplo, en el enunciado:

Si ambas son verdaderas, entonces la implicacin es correcta (V). Si la primera es falsa, entonces el

consecuente queda libre de compromiso con respecto a su valor de verdad, la implicacin es verda-

dera. Pero, si Juan compra entrada y no ingresa al cine, se dira que la implicacin es incorrecta (F)

1.3.5. Bi condicional

Este conectivo representado simblicamente por se lo puede identificar cuando est presente

la frase .

El significado de es que es condicin suficiente para y a su vez el significado de

es que es condicin necesaria para . O sea, la proposicin es a la vez condicin suficiente

y necesaria para . Entonces, la frase indica que una de las proposiciones es al mismo

tiempo condicin suficiente y tambin necesaria para la otra proposicin.

En base a esta observacin se puede dar la siguiente definicin.

Definicin

La proposicin se define como la proposicin

Su tabla de verdad, tambin puede ser deducida.

p q (p

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Es decir

V V V

V F F

F V F

F F V

Este conectivo es verdadero solamente si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

1.3.6. Disyuncin exclusiva

Este conectivo, simbolizado con , plantea un dilema, se toma en el sentido: o una u otra, pero no

ambas a la vez. Se define de la siguiente manera:

Definicin

La proposicin se define como la proposicin

Su tabla de verdad, tambin puede ser deducida.

p

V V V V F F

V F F V V V

F V F V V V

F F F F V F

Es decir

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplo 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

1.

2.

Solucin

En cada caso confeccionaremos una tabla de verdad, el resultado se observar en la columna que le

corresponde al conectivo principal (ltima operacin)

1. El conectivo principal es la disyuncin exclusiva

c

V V F F F F F F

V F F V V V F V

F V V F V F V V

F F V V V F F F

No tiene un valor de verdad definido, es una contingencia

2. El conectivo principal es la disyuncin

V V F F F F F F V V

V F F V V V V V F V

F V V F V V V V F V

F F V V F V F F V V

Esta proposicin resulta ser siempre verdadera, es una tautologa.

1.4. Equivalencia lgica

Vamos a convenir en que si una proposicin compuesta est formada por varias proposiciones

simples , la escribiremos como . Utilizando esta notacin vamos a definir

el concepto de equivalencia lgica.

Definicin

Las proposiciones son lgicamente equivalentes si y solo si tienen el mis-

mo valor de verdad. Se denota con

Notemos que la expresin es equivalente a afirmar que la propo-

sicin es tautologa.

Es fcil ver que las siguientes son equivalencias lgicas:

Ejemplo 2. Verificar la equivalencia lgica:

Solucin

Debemos probar que la proposicin es una tautologa. Como

son tres proposiciones simples, hay combinaciones.

r

V V V V V V V V V

V V F F F V F F V

V F V F F F V F V

V F F F F F F F V

F V V V V V V V V

F V F F V V V V V

F F V F V V V V V

F F F F V V V V V

Resulta ser una tautologa, por lo tanto las proposiciones son equivalentes.

1.5. Leyes lgicas

Algunas equivalencias son particularmente tiles y se denominan Leyes Lgicas. Cada una de ellas

puede ser probada por medio de tablas de verdad.

Ejemplo 3. Demostrar la ley distributiva

Solucin

Se quiere demostrar que , para establecer la equivalencia lgica anali-

zaremos si es una tautologa la proposicin:

En este caso son tres proposiciones simples, entonces hay combinaciones.

r

V V V V V V V V V

V V F F V V V V V

V F V F V V V V V

V F F F V V V V V

F V V V V V V V V

F V F F F V F F V

F F V F F F V F V

F F F F F F F F V

Ejemplo 4. Demostrar una de las leyes de identidad

Solucin

Se quiere demostrar que , para establecer la equivalencia lgica analizaremos si es una

tautologa la proposicin:

En este caso C tiene valor fijo (F) y p resulta ser la nica proposicin simple. Entonces hay

combinaciones.

V F V V

F F F V

Otra forma de realizar estas demostraciones es utilizar leyes que fueron demostradas previamente.

Ejemplo 5. Demostrar la ley de la contra reciproca

Solucin

En este caso demostraremos que , utilizando las leyes que figuran antes que ella.

(Se supone que fueron demostradas)

Empecemos a partir del segundo miembro.

As hemos demostrado que . Al trabajo que hemos realizado se le suele llamar

lgebra de Proposiciones. En cierto modo, estamos realizando operaciones con las proposiciones

utilizando para ello las leyes lgicas.

Teorema 1.

Si y son proposiciones, entonces:

Demostracin

Vamos a demostrar la primera equivalencia

Teorema 2.

Si y son proposiciones, entonces:

Demostracin

Vamos a demostrar la primera equivalencia

A los resultados de estos teoremas se les conoce con el nombre de leyes de absorcin.

1.6. lgebra de proposiciones

Dada una proposicin compuesta, a veces resulta conveniente escribirla de una forma equivalente

para esto se utilizan las equivalencias lgicas que estudiamos en la seccin anterior.

Ejemplo 6. Dada la proposicin vamos a demostrar que esta es equivalente a .

Solucin

En este caso hemos demostraremos que , utilizando las leyes lgicas.

Ejemplo 7. Utilizando leyes lgicas, demostrar que (~

Solucin

Ejemplo 8. Utilizando leyes lgicas, simplificar ~ ]

Solucin

Se debe tratar de aplicar las leyes de complemento, las leyes de idempotencia o los teoremas 1 y 2.

Estas leyes son la que logran que se produzca una simplificacin.

Ejemplo 9. Utilizando leyes lgicas, simplificar

Solucin

Teorema 3.

Si y son proposiciones, entonces

Demostracin

Vamos a probar la primera propiedad

Con esto hemos demostrado la primera parte del teorema. Para demostrar la segunda parte conti-

nuamos con:

Ejemplo 10. Utilizando leyes lgicas, simplificar

Solucin

1.7. Razonamiento Deductivo Vlido

En esta seccin analizaremos el valor de verdad de las implicaciones del tipo:

Si la implicacin resulta ser una tautologa, convendremos en llamarle Razonamiento Deductivo Vli-

do (RDV).

Si el antecedente es Falso, entonces la implicacin es verdadera sin que le afecte el valor

de verdad del consecuente. Resulta ser un caso trivial y no requiere demostracin. En cambio si el ante-

cedente es Verdadero, ha de ser necesario demostrar que el consecuente tambin lo es.

(Ver la tabla de verdad del conectivo condicional)

Por ejemplo, consideremos la implicacin:

p bq

V V V V V

V F F F V

F V V V V

F F V V V

Como es una implicacin tautolgica podemos llamarle RDV y representarla como:

A las proposiciones que forman la hiptesis premisas

A f conclusin consiste en demostrar que

es una proposicin verdadera.

Para realizar un trabajo deductivo, se puede utilizar el siguiente esquema:

Ahora estamos en condiciones de de proponer la siguiente definicin.

Definicin

Un Razonamiento Deductivo es Vlido si y solo si la conjuncin de sus premisas implica tautolgicamente a

la conclusin

Simblicamente:

Es un RDV si y solo si:

Ejemplo 11. Demostrar que el razonamiento dado, no es vlido

Solucin

Para demostrar que no es un RDV, se debe comprobar que: la conjuncin de las premisas NO implica

tautolgicamente a la conclusin. O sea

Para realizar la demostracin podemos recurrir a una tabla de verdad con combinaciones y

mostrar que no resulta una tautologa

r

V V V V V V V

V V F V V V F

V F V F F F V

V F F F V F V

F V V V V F V

F V F V V F V

F F V V F F V

F F F V V F V

La implicacin no resulta ser una tautologa, por lo tanto no es un RDV

1.7.1. Reglas de Inferencia

Al igual que en el lgebra de proposiciones, existen algunos RDV elementales que nos ayudan a

demostrar que otras implicaciones tambin son RDV.

Los ms representativos son los siguientes.

Modus Ponendo Ponens (MPP)

Modus Tollendo Tollens (MTT)

Silogismo Hipottico (SH)

Adicin

Adjuncin Separacin

1.7.1.1. Reglas de Deduccin

Para realizar una deduccin, es necesario tomar en cuenta las siguientes reglas:

1. Al conjunto de premisas existente, se le puede aadir una nueva premisa si hay premisas que

justifiquen su validez.

2. Las premisas pueden ser utilizadas ms de una vez para justificar a nuevas premisas.

Ejemplo 12. Demostrar que el razonamiento dado, es vlido

Solucin

Para justificar ste RDV utilizaremos las reglas mencionadas y los RDV elementales.

Acabamos de demostrar, por deduccin, que a partir de las premisas dadas se puede obtener la

conclusin indicada. A este RDV se le conoce como Modus Tollendo Ponens (MTP)


Solucin

Para justificar ste RDV utilizaremos las reglas de deduccin y los RDV elementales.

A ste RDV se le conoce como Dilema Constructivo (DC)


Solucin


A este RDV, se le conoce como Dilema Destructivo (D. D.)

Como se vio en los ejemplos, en este proceso deductivo, es normal utilizar equivalencias lgicas. El

siguiente es una buena muestra de ello.


Solucin


Ejemplo 16. Demostrar que los razonamiento dados, son vlidos

1.

2.

3.

Solucin

Deduciremos el primer resultado

Deduciremos el segundo resultado

Deduciremos el tercer resultado

1.7.1.2. Regla de la Premisa Condicional (RPC)

Hay una tcnica muy til que se aplica cuando la conclusin es un condicional, nos referiremos a

ella como la Regla de la Premisa Condicional o mas brevemente la Regla PC.

Teorema 4. Si son proposiciones, entonces

Demostracin

El teorema establece que:

Demostrar que es un RDV, es equivalente a demostrar que

lo es. Es decir

Obviamente, demostrar la segunda expresin representa un trabajo ms liviano. El siguiente ejem-

plo, nos ilustra esta idea.


Solucin

Para realizar la demostracin, utilizaremos la regla PC

1.7.1.3. Regla de Demostracin por Contradiccin (RDC)

Vamos a detenernos a analizar el valor de verdad de la proposicin:

Entonces la proposicin analizada es un RDV, utilizando el esquema deductivo

Esta se conoce como la Regla de Demostracin por Contradiccin RDC.

El uso de esta regla est justificado o el siguiente teorema.

Teorema 5. Si son proposiciones, entonces

Demostracin

El teorema establece que:

Demostrar que es un RDV, es equivalente a demostrar que

lo es. Es decir

Al opuesto de la conclusin se escribe como premisa y el objetivo es demostrar que se arriba a una

contradiccin.


Solucin

Para realizar la demostracin, utilizaremos la regla RDC

1.8. Esquemas proposicionales

Un esquema proposicional, es una expresin que contiene conectivos lgicos, funciones proposicio-

nales y cuantificadores. Es un recurso para expresar simblicamente proposiciones que pueden ser

aplicados a varios sujetos

1.8.1. Funciones proposicionales.

Cuando expresamos , estamos dando a conocer una proposicin que tiene un valor de

verdad concreto. Si alguno de los sujetos o varios sujetos son sustituidor por variables, se obtiene

una expresin que por s sola no tiene valor de verdad definido, ste va a depender del valor que se

asigne a las variables.

Definicin

Una aseveracin construida de manera que el sujeto o los sujetos sean representados por

algunas variables, se denomina funcin proposicional. Se representa simblicamente como

,

Los siguientes son ejemplos de funciones proposicionales.

Estas expresiones se convierten en proposiciones con valor de verdad concreto, cuando a la varia-

ble se le asigna un valor constante.

Realicemos un ensayo en los ejemplos anteriores.

, es una proposicin falsa

, es una proposicin verdadera

, tiene valor de verdad definido, aunque no se lo

conoce con exactitud (Depende de los sujetos Juan y Roberto, a quienes se aplique esta proposicin)

1.8.2. Universo del discurso

Los valores que se eligen para sustituir a las variables, pertenecen a un conjunto de referencia, este

conjunto recibe el nombre de Universo del Discurso.

Muchas veces ste conjunto es dado a conocer de una manera explcita, otras veces se lo toma de

acuerdo al contexto.

1.8.3. Cuantificadores

Cuando se habla de cuantificadores en trminos de lgica, Teora de Conjuntos o Matemticas en

general, se hace referencia a aquellos smbolos que se utilizan para indicar cantidad en una propo-

sicin, es decir, permiten establecer cuntos elementos de un conjunto determinado, cumplen con

cierta propiedad.

Los cuantificadores permiten la construccin de proposiciones a partir de funciones proposiciona-

les. Ya sea particularizando generalizando.

Por ejemplo, si consideramos la funcin proposicional:

Esta funcin proposicional podra particularizarse as: Existe algn nmero real que es menor que

dos o podra generalizarse as: Todos los nmeros reales son menores que dos

En cualquiera de los dos casos, se debe especificar el Universo del Discurso. Para el ejemplo, es el

conjunto de los nmeros reales.

1.8.3.1. Cuantificador existencial

Este cuantificador se representa con ( , se utiliza para indicar que existen uno o ms elementos del

Universo del Discurso, que cumplen con una condicin o propiedad determinada.

La notacin especfica para la particularizacin es:

La lectura correspondiente es: Existe un elemento el conjunto A tal que cumple con la funcin

proposicional

Otra manera de representar esta particularizacin es.

En este caso la lectura es: Existe un elemento tal que es elemento del conjunto A y satisface la fun-

cin proposicional .

Esta proposicin resulta verdadera cuando se muestra que hay al menos un elemento del Universo

del discurso A, que satisface la funcin proposicional

Por ejemplo, representemos simblicamente la proposicin: Algunos nmeros naturales son divi-

sores de 30

La palabra algunos, indica cuantificacin existencial.

En esta oracin se habla de los nmeros naturales (sujeto). Representemos en forma de funcin

proposicional:

Del sujeto identificado dice que es divisor de 30. Su representacin en forma de funcin proposicio-

nal es:


Como el Universo es conocido, se puede simbolizar como:

Si la funcin proposicional hacer referencia a algn concepto matemtico conocido, se puede utili-

zar una notacin ms especfica.

Para el ejemplo que estamos estudiando, es conocida la notacin de divisor:

Con lo anterior, se puede simbolizar como:

Ejemplo 19. Utilizando esquemas proposicionales, representar simblicamente las siguientes proposiciones:

1. Algunos rboles son maderables

2. Hay personas adultas que tienen reacciones infantiles.

3. Algunos estudiantes no presentan tareas.

4. Algn elemento del conjunto A, no es mltiplo de tres.

5. Hay dos nmeros reales cuyo producto es igual a 36

Solucin

En el primer enunciado: Algunos rboles son maderables, se reconocen los siguientes elementos:

Sujeto: rboles

Se dice del sujeto: es maderable

Las funciones proposicionales asociadas son:

La proposicin simbolizada:

En el segundo enunciado: Hay personas adultas que tienen reacciones infantiles, se identifica

que:

Sujeto: persona adulta

Se dice del sujeto: tiene reacciones infantiles



En la tercera proposicin: Algunos estudiantes no presentan tareas, reconocemos que:

Sujeto: estudiante

Se dice del sujeto: no presenta tareas



En la cuarta proposicin: Algn elemento del conjunto A no es mltiplo de tres, reconocemos

que:

Sujeto: Elemento del conjunto A.

Se dice del sujeto: no es mltiplo de tres



En la quinta proposicin: Hay dos nmeros reales cuyo producto es iguala 36, reconocemos que:

Sujeto: Hay dos, ambos son nmeros reales.

Se dice de los sujetos: su multiplicacin es iguala a 36

La funcin proposicional asociadas es:


Observacin.

Para probar que una proposicin cuantificada existencialmente es verdadera, es suficiente mostrar

que la funcin proposicional es verdadera con algn valor tomado del Universo del Discurso.

Por ejemplo, si el universo del discurso es el conjunto de los nmeros naturales, la proposicin

, ser suficiente mostrar que hay al menos dos

nmeros naturales cuyo mximo comn divisor es iguala a uno.

Hay dos sujetos: a y b, ambos son nmeros naturales

La funcin proposicional asociada:

La proposicin simbolizada es.

Si mostramos que al menos hay dos nmeros naturales que hacen verdadera a la funcin proposi-

cional, entonces diremos que la proposicin es verdadera.

En efecto, son dos nmeros naturales tales que . Por lo tanto, la propo-

sicin es verdadera.

1.8.3.2. Cuantificador universal

El cuantificador universal ( ) se utiliza para afirmar que todos los elementos del Universo del Dis-

curso, cumplen con una condicin o propiedad determinada.

La notacin especfica para la generalizacin es:

Cuando el conjunto de referencia no es conocido se simboliza como:

Por ejemplo, consideremos la proposicin: Todo nmero natural es positivo

La palabra todo expresa una cuantificacin universal.

La oracin hace referencia a los nmeros naturales, entonces se escribe la funcin proposicional

.

La oracin indica que el sujeto es un nmero positivo. La funcin proposicional respectiva es


Debido a que el Universo del Discurso es un conjunto conocido, se puede representar con:

Ejemplo 20. Utilizando esquemas proposicionales, representar simblicamente las siguientes proposiciones:

1. Todos los rboles son maderables

2. Las personas adultas tienen preferencia en la atencin mdica.

3. Ningn nmero primo es divisible por 15.

4. La multiplicacin de dos nmeros reales positivos, siempre da como resultado un nmero real

positivo.

Solucin

En la primera oracin: Todos los rboles son maderables, se reconoce:

Sujeto: rbol

Se dice del sujeto: es maderable

Las funciones proposicionales son:

La proposicin completamente simbolizada:

En la segunda oracin: Las personas adultas tienen preferencia en la atencin mdica

Sujeto: persona adulta

Se dice del sujeto: tiene preferencia en la atencin mdica



En la tercera proposicin: Ningn nmero primo es divisible por 15

Sujeto: nmero primo

Se dice del sujeto: no es divisible por 15



En la cuarta proposicin: La multiplicacin de dos nmeros reales positivos, siempre da como re-

sultado un nmero real positivo

Hay dos sujetos: Ambos son nmeros reales positivos cualquiera.

Se dice de ambos: su multiplicacin da como resultado un nmero real positivo.

La funcin proposicional asociada;


Observacin

Para probar que un enunciado cuantificado universalmente es verdadero, es necesario mostrar que

todos los elementos del universo del discurso respectivo, cumplen con la funcin proposicional. Pe-

ro, para mostrar que es enunciado falso, es suficiente encontrar algn elemento del universo que

NO cumple con la funcin proposicional, sta ltima accin se conoce como mostrar un contra-

ejemplo

As, la proposicin: Todo nmero real satisface la ecuacin , se representa simblica-

mente como:

La afirmacin es falsa. En efecto, si , la igualdad: no se cumple.

Ejemplo 21.

Considerando que el universo del discurso es el conjunto , obtener el valor de verdad

de las siguientes proposiciones:

Solucin

En el primer caso la proposicin es verdadera porque la funcin proposicional , es

verdadera con todos los elementos del conjunto A.

En el segundo caso la proposicin es falsa porque ningn elemento del conjunto A cumple con la

funcin proposicional . En efecto:

En el tercer caso la proposicin es falsa porque hay al menos un elemento del conjunto A que no

cumple con la funcin proposicional . En efecto .

El enunciado es verdadero porque hay al menos un elemento del conjunto A que cumple con la

funcin proposicional . Es claro que

1.8.4. Esquemas proposicionales con varias variables

Cuando hay ms de una variable se requieren varios cuantificadores, por ejemplo si hay dos varia-

bles se tienen las siguientes opciones:

La primera indica que cualquier valor del universo se combina con cualquier otro valor del mismo

universo.

La segunda indica que hay algn valor del universo que se combina con algn otro valor del mismo

universo.

La tercera indica que para todo elemento del universo, hay algn elemento del mismo universo con

el cual se puede combinar.

La cuarta indica que hay algn valor del universo que se combina con todos los elementos del

mismo universo.

Por ejemplo, si en se define ; el enunciado es verdadero porque si

, las siguientes expresiones son verdaderas.

Otro ejemplo, en el conjunto se define ; este enunciado es verdadero,

porque la funcin es verdadera en todos los casos.

Ahora, en el conjunto se define ; la proposicin es verdadera

porque para cualquier valor que se asigne a x siempre ha de existir un valor para y tal que la

funcin proposicional se cumple.

Observacin

Cuando se tiene el mismo cuantificador, se puede alterar el orden de ellos sin que se afecte el valor

de verdad de la proposicin. Entonces

En cambio, si se tienen cuantificadores diferentes, no se puede cambiar el orden de ellos.

1.8.5. Negacin de proposiciones que contienen cuantificadores

Cuando se niega una proposicin que contienen cuantificadores, se debe tener en cuenta que la ne-

gacin de uno de ellos afirma al otro cuantificador. Adems que la negacin afecta tanto al cuantifi-

cador como a la funcin proposicional. Esto significa que:

1.

2.

Ejemplo 22. Utilizando esquemas proposicionales, representar simblicamente las siguientes proposiciones,

negarlas y traducir a lenguaje cotidiano la expresin negada.

1. Todos los libros de mecnica son interesantes.

2. Algunas frases romnticas son graciosas

3. Ningn perro viaja en bicicleta

4. No hay personas malas

5. Hay nmeros que son perfectos

Solucin

Primera proposicin: Todos los libros de mecnica son interesantes

Proposicin simbolizada:

Proposicin negada:

Algunos libros de mecnica no son interesantes

Segunda proposicin: Algunas frases romnticas son graciosas


Proposicin negada:

Ninguna frase romntica es graciosa

Tercera proposicin: Ningn perro viaja en bicicleta


Proposicin negada:

Algunos perros viajan en bicicleta

Cuarta proposicin: No hay personas malas


Proposicin negada:

Algunas personas son malas

Quinta proposicin: Hay nmeros que son perfectos


Proposicin negada:

Ningn nmero es perfecto

Ejemplo 23. Demostrar que la siguiente argumentacin es correcta.

Solucin

Primero simbolizaremos a las proposiciones que participan.

La conclusin simbolizada es:

El razonamiento deductivo simbolizado resulta ser:

Para la justificacin se utilizan las reglas de inferencia conocidas, considerando que si la informa-

cin es general, entonces la conclusin tambin es general.

Ejemplo 24. Utilizando esquemas proposicionales, representar simblicamente la siguiente argumentacin y

obtener la conclusin.

Solucin.

Las funciones proposicionales que participan son las siguientes:

Adems, la tercera proposicin se puede representar con

Las premisas simbolizadas son:

La conclusin a la que se llega es:

En este caso la informacin es general en tres premisas, pero hay una que esta particularizada para

el sujeto llamado Marcos, entonces la conclusin no puede ser general, tiene que ser particularizada

para Marcos. Las premisas 1, 2 y 4 son verdaderas para cualquier sujeto de universo, en particular

para Marcos, de ese hecho se originan las premisas 5, 6 y 7.

LOGICA MATEMATICA

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