LOGICA MATEMATICA

Valores de verdad o de certeza de una proposicin

Cuando una proposicin es verdades se dice que su valor de verdad es verdadero y se representa por la V o 1 Ejemplo: 9 es divisor de 27 ; si es proposicin p: 9 es divisor de 27 v(p)= V

Cuando una proposicin es falsa se dice que su valor de verdad es falso y se representa con la F o 0

Ejemplo: Ningn numero primo es par ; si es preposicin

q : Ningn numero primo es par

v(q): F

Conjuncin: ^pqp^ q111100010000Lectura: y ; pero ; mas y signos de puntuacin

Ejemplo: p:8-2=6 b:5+5=20

p^ q= 8-2=6 y 5+5=20

La conjuncin de las proposiciones p y q es verdadera cuando las 2 proposiciones son verdaderas

Disyuncin exclusiva: vpqp q110101011000La disyuncin exclusiva es falsa cuando las 2 proposiciones simples tienen el mismo valor de verdadLectura: , o solo , o solamente, o lo uno o lo otro pero no ambos.

Ejemplo: p:8-2=6 b:5+5=20

p q= o 8-2=6 o 5+5=20 pero no ambos

Propiedades de los operadores lgicos Cuantificadores

Qu es un cuantificador? Tipos de cuantificador Cuantificador universal cuantificador existencial Valor de verdad de los cuantificadores cuantificador existencial Cuantificador universal

Bicondicional: pqp q111100010001El bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones simples tiene el mismo valor de verdadLectura: p si y solo si, p implica q, a si solamente si b, p cuando y solo cuando b

Ejemplo: p: 8*4=4*8 b: 84=48

p q= 8*4=4*8 si y solo si 84=48 TautologasUna proposicin compuesta es una tautologa cuando en la ultima columna de su tabla de verdad se obtienen nicamente verdad.

Ejemplo: [ (p ^q) v r ] [ ( p v r) ^ (q v r) ]

pqr(p ^q) Av r ( p v r) (q v r) C^DB E111111111110111111101011111100001001011011111010000101001011111000000001ABCDEContradiccinUna proposicin compuesta es una contradiccin cuando es su ultima columna de su tabla de verdad se obtienen nicamente falsedades

Ejemplo: (p q) ^ (~q ^ p)

pq~q (p q) (~q ^ p)

(p q) ^ (~q ^ p)

110100101010010100001010ContingenciaUna proposicin compuesta es una contingencia cuando es su ultima columna de su tabla de verdad se obtienen verdades y falsedadesEjemplo: [ (p q) r ] p

pqr(p q) A r Bp111011110001101011100001011010010001001101000110AB

Negacin = o p~p1001Lectura: no , no es verdad que

Ejemplo: p: 8 7 ~p: 8 7 v(p)= Verdadero v(~p) = Falso

Disyuncin inclusiva: v pqpvq111101011000Lectura: o

Ejemplo: p:10 5 b: 8-4=4

p v q= 10 5 o 8-4=4

La disyuncin inclusiva es falsa cuando las proposiciones simples son falsas

Propiedades de los operadores lgicos1) Idempotenciapp ppp p

2) AsociativA(pq)r p(qr)(pq)r p(qr)

3) Conmutatividadpq qp pq qp

4) Distributivap(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr)

5) Identidadp(F) (F)p(F) p p(V) pp(V) (V)

6) Complementop(~p) (F) p(~p) (V) ~(~p) p~(V) (F)~(F) (V)

7) Condicionantes (p q) (~p q)(p q) (~q ~p) (p q) (p q) (q p)(p q) (~p q) (~q p)

8) De Morgan ~(p q) (~p ~q) ~(p q) (~p ~q) ~(p q) (p ~q) ~(p q) (~p ~q)

9) Absorcin (p0) 0 (p1) 1 10) Doble negacin o involutiva~( ~p) p 11) Tercero excluido(p ~p) 112) Contradiccin(p~p) 0

13) Exportacin ((p q)r) (p (q r)) 14) Reduccin al absurdo (p q) ((p ~q) 0)

15) Contra positiva o Contra reciproca (p q) (~q ~p) 16) Negacin ~01 ~1o

Qu son los cuantificadores?

Es una palabra o frase que indican cuantos elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad.CuantificadoresCuantificador universal: Se llama as a las palabras o frase como las siguientes: todos, todo, para todos, para todo, para cada, cualquier.

Ejemplo: para todo elemento x que pertenece al conjunto A, la funcin proposicional p(x) es verdadera

x A, p(x)

Cuantificador existencial: Se llama as a las palabras o frases como las siguientes: existe, para algn, existe por lo menos uno, algn.

Ejemplo: existe al menos un elementos x que pertenece al conjunto A, talque la funcin proposicional p(x) es verdadera. x A, p(x)

Valores de verdad de los cuantificadoresEl valor de verdad de la proposicin cuantificador universal es falsa si al menos un elemento del conjunto A hace falsa la funcin proposicional p(x) y es verdadera, si todos los elementos de conjunto A hacen verdadera la funcin proposicional.

Ejemplo: cualquier numero natural x es mayor o igual que cero. x N , x O Verdadero

El valor de verdad de la proposicin cuantificador existencial es verdadera, si al menos un elementos de conjunto A hacen verdadera la funcin proposicional p(x). y es falsa si ningn elemento del conjunto A hace verdadera la funcin proposicional p(x)

Ejemplo: existe al menos un numero entero x que hace x+1=2 Verdaderox Z, X+1=2