LOGICA SIMBOLICA
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CARACAS, 02 DE MAYO DE 2011
LOGICA PROPOSICIONAL DE PRIMER ORDEN | CECILIA BELESACA
UNIVERSIDAD
NUEVA
ESPARTA LÓGICA SIMBÓLICA
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LÓGICA
Lógica es la pega que ata juntos método y
razonamiento. Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrollo
ampliamente la silogística. Posteriormente, los Estoicos
hicieron algunas aportaciones a la lógica, desarrollaron el
silogismo hipotético e iniciaron lo que se llama actualmente lógica proposicional.
Hacia la mitad del siglo XIX la lógica se transforma radicalmente en lógica matemática. Los lógicos de la
edad moderna como Remée, Arnauld, Nicole, Leibniz,
Euler y Lambert procuraron simplificar la lógica al máximo y su tratamiento se completo hasta principios
del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege y Russell.
El propósito de la lógica es establecer un lenguaje simbólico artificial que se pueda utilizar para simplificar los argumentos lógicos complicados, el
problema central es establecer bajo qué condiciones un enunciado, llamado
conclusión, puede ser considerado como derivado de otros enunciados, llamados premisas.
Este es, precisamente, el esquema estructural de los denominados
razonamientos: un par ordenado ({pi};q), donde {pi}(i=1, 2, ...,n), es un conjunto de premisas y q la conclusión, de la cual se espera que derive de las
premisas.
Así pues, se puede decirse que "el estudio de la lógica es el estudio de los
métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del
incorrecto".
Para razonar bien, no es necesario haber estudiado lógica; en cambio,
aquél que lo haya hecho tiene mayor posibilidad de razonar correctamente que el
que no conozca los principios generales de esta actividad mental.
Además, es conveniente destacar que el método científico prefiere en la
búsqueda del conocimiento seguir el camino del razonamiento; por ello, todo aquél que elija adentrarse en el mundo de la ciencia sentirá que para avanzar
con alguna seguridad dentro de él, irá precisando ahondar sus conocimientos de
lógica, aplicables luego en todo su universo de estudio.
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EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Este razonamiento se mueve de lo general a lo
particular. Toma una premisa general y deduce
conclusiones particulares. Un argumento deductivo “válido” es aquel en el que la conclusión necesariamente
se deriva de la premisa, ejemplo: Todos los perros
tienen pulgas. Éste es un perro. Por lo tanto, este perro
tiene pulgas. Puede ser que la premisa no sea “verdadera” pero, no obstante, la forma del argumento
es “válida”, ejemplo: Si todos los perros tienen pulgas,
y si este es un perro, entonces necesariamente este perro tiene pulgas. Un argumento deductivo “válido”
contendrá algo en la conclusión totalmente nuevo e independiente de aquellas
cosas mencionadas en la premisa del argumento, ejemplo: Si todos los perros tienen pulgas, entonces mi perro debe tener garrapatas. Pero las garrapatas
no se mencionan en la premisa.
Algunas veces no es tan obvio que algo nuevo ha sido introducido en la conclusión, ejemplo: solamente el hombre es un ser racional. Por lo tanto,
ninguna mujer es un ser racional. Este argumento se equivoca en el significado
de “hombre.” En la premisa, la palabra “hombre” significa humanidad, incluyendo a la mujer. En la conclusión, la palabra “mujer” se usa para
designar aquella porción de la humanidad que es del género femenino,
distinguiéndola de la porción masculina llamada “hombre.” De manera que un nuevo concepto – una distinción de género – es introducido en la conclusión.
Todo en la conclusión de un argumento deductivo válido debe también estar
contenido en las premisas. Por lo tanto, todo razonamiento deductivo válido
realmente es, por naturaleza, un razonamiento circular o que “da por sentado aquello por lo cual pregunta.”
Eso no quiere decir que la conclusión no tenga valor ejemplo: Si Johnny conduce el autobús 96 minutos todas las mañanas y 96 minutos todas las
tardes, cinco días a la semana, y si Johnny duerme ocho horas cada día,
entonces Johnny pasa el equivalente de un día despierto (16 horas) en el
autobús cada semana. La conclusión está totalmente contenida en las premisas, pero la conclusión replantea esas premisas de una manera que hace
que entendamos más plenamente las consecuencias de conducir tanto el bus.
La verdad (o veracidad) de la conclusión de un argumento deductivo
depende de dos cosas: la condición de correcta (o validez) de la forma del
argumento, y la verdad (o veracidad) de la premisa. La validez de la forma está determinada por la aplicación de las reglas establecidas. Así que, la única
debilidad de un argumento deductivo es el verdadero valor (veracidad) de sus
premisas. Sus conclusiones son únicamente tan buenas como sus premisas. O,
para decirlo de otra manera, sus presuposiciones siempre determinarán sus conclusiones.
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EL RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Se mueve de lo Particular a lo general. Reúne observaciones particulares en forma de premisas, luego razona a partir de estas premisas particulares
hacia una conclusión general. La forma más común de razonamiento inductivo
es cuando recopilamos evidencia de algún fenómeno observado, ejemplo: examinar a 10,000 perros en busca de pulgas; luego derivamos una conclusión
general acerca de tal fenómeno basados en nuestra evidencia recopilada,
ejemplo: el si todos los perros tienen pulgas.
En un argumento inductivo, la conclusión va más allá de lo que las
premisas en realidad dicen. Por ejemplo, si observo 10,000 perros, y todos los
perros tienen pulgas, puede que concluya “Todos los perros deben tener pulgas.” La conclusión es una conjetura o una predicción. La evidencia
posterior puede que respalde o niegue mi conclusión. Puede que el perro
número 10,001 no tenga pulgas. Por lo tanto, con un argumento inductivo, cualquiera puede afirmar todas mis premisas – los 10,000 perros con pulgas, y
aún así negar mi conclusión (todos los perros tienen pulgas) sin involucrarse
en alguna contradicción lógica. Lo que digo en mi conclusión es posible, puede
que incluso parezca muy probable. Sin embargo, no es una conclusión necesaria. Si alguien dijera, “Algunos perros pueden tener pulgas, pero no creo
que todos los perros tengan pulgas,” no hay una respuesta lógica que yo
pueda hacer. La certeza lógica de mi conclusión depende
completamente de mi correcta
interpretación de la evidencia y de la consistencia de la
evidencia con el resto del
fenómeno que no fue
observado, que no es observado, o que puede que
nunca sea observado. Quizá yo
tenga pulgas, y que sin querer se las haya pasado 1 a cada
uno de los 10,000 perros, de
manera que los 10,000 perros
en realidad no tenían pulgas excepto cuando los examiné.
Tendría que examinar a todos
los perros en todas las ocasiones bajo condiciones
meticulosamente monitoreadas
para poder “comprobar” mi conclusión. Pero esto sería una
tarea poco práctica. Por lo
tanto, es poco probable que mi
conclusión vaya a ser comprobada alguna vez. Sin
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embargo, puede ser desmentida.
Encuentre un perro sin pulgas. Entonces se quedará con la conclusión a la que debí haber llegado y con la cual comenzar, “Algunos perros tienen
pulgas.” Quizá la mayoría de los perros, o casi todos los perros tengan pulgas. Pero todo lo que sé con seguridad es que algunos perros tienen pulgas.
Recuerde, un argumento inductivo concluye con más de lo que las premisas en
realidad justifican. Usamos el razonamiento inductivo todo el tiempo. Es muy útil. Pero debemos reconocer sus límites. La mayor parte del razonamiento
inductivo no se basa en la evidencia exhaustiva, y por lo tanto la forma es
incompleta. (10,000 perros no son todos los perros.)
A menos que la evidencia o las observaciones sean exhaustivas (que
examine todos los perros en busca de pulgas), la conclusión es solo una suposición. Puede que sea una buena suposición. La fuerza del argumento
inductivo aumenta a medida que se acerca a la condición de completo. Si la
evidencia que acepto representa todas las posibilidades en un todo, mi conclusión inductiva será correcta. Mientras más pueda demostrar que la
evidencia es verdaderamente representativa, más convincente será mi
conclusión. “10,000 perros de todas las edades y variedades escogidas al azar
de entre todos los países de la tierra fueron examinados bajo condiciones controladas, y todos ellos tenían pulgas. Por lo tanto, parece probable que
todos los perros tengan pulgas
PROPOSICIÓN
Es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.
CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES
Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo
enunciado.
Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más
proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas
llamadas conectivos lógicos.
METALENGUAJE
Es el lenguaje que se usa para hablar de otro lenguaje, y el lenguaje del que se está hablando es el LENGUAJE OBJETO, en nuestro caso el lenguaje
objeto sería el español y nuestro metalenguaje es la lógica simbólica que se
basa en signos para interpretar de manera clara y sin ambigüedades ciertos
acontecimientos.
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SÍMBOLOS los símbolos que más se utilizan en la lógica simbólica son:
SIMBOLO TRADUCCIÓN
¬ Negación
/\ Conjunción
\/ Disyunción
\/ Disyunción exclusiva
→ Implicación
<=> Bicondicional o doble implicación
CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para
cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “¬”.
La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos
proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se
representa con el siguiente símbolo: “/\”.
La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones
simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera
siguiente: “V”.
La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones
simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.
La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“.
La proposición que aparece entre las palabras ”Si y Entonces”, se denomina
antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se
le llama consecuente o conclusión.
La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa
así:”<=>”
VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su
negación es falsa y viceversa. Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de
la Vega”, ¬ P se leerá: “no es cierto que Constanza es un municipio de la
Vega”.
La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos
proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.
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La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos
proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera.
La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones
que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es
falsa.
La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su
antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la
condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos
proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas.
En caso contrario la Bicondicional es falsa.
TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
Negación:
p ¬p
V F
F V
Conjunción:
p q p /\ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyunción Inclusiva:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Disyunción Exclusiva:
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
Condicional o Implicación:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional o Doble Implicación:
p q p <=> q
V V V
V F F
F V F
F F V
TAUTOLOGÍA
Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica
cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de
las proposiciones simples que la forman. Ejemplo:
p q p v q p→( p v q)
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
CONTRADICCIÓN
La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la
formen. Ejemplo:
p ¬p p /\ q
V F F
F V F
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CONTINGENCIA
La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
EJEMPLOS DE TABLAS DE VERDAD CON TRES PROPOSICIONES
p q r p \/ q (p \/ q) /\ r
V V V V V
V V F V F
V F V V V
V F F V F
F V V V V
F V F V F
F F V F F
F F F F F
p q r p /\ q (p /\q) → r
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
REGLA DE LA INFERENCIA
Primero que todo inferir es deducir, y deducir es obtener conclusiones a
partir de unas premisas. El cálculo inferencial tiene como finalidad facilitar el
análisis de argumentos mediante el lenguaje simbólico y las “Reglas de la
Inferencia”.
Los argumentos basados en tautologías representan métodos de
razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de
las variables que contienen. A esos argumentos se les llaman reglas de
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inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o
hipótesis en una demostración.
LEYES LÓGICAS
Son todas aquellas proposiciones tautológicas, es decir, son
simplemente verdaderas como los axiomas.
MÉTODOS DE PRUEBA
Los métodos de prueba utilizados para comprobar la veracidad de
proposiciones con implicaciones son:
Deducción: para probar que p→q se asume que p es cierta, es decir, que
es una tautología y se procede a probar q.
Análisis por casos: cuando se tienen proposiciones con disyunciones o con algunas reducibles a disyunciones se procede a agrupar y a probar
estos grupos, (p V q V r) A (p =' s) A (q = s) A (r => s) => s Implicación Mutua: para probar que p→q se procede a probar que q→p y
que p→q.
Contradicción: para probar p se procede a probar ¬p s falso. Contrapositivo: para probar que p→q se procede a probar que ¬p→¬q
es cierto.
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AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA LÓGICA
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BIBLIOGRAFIA
* www.wikipedia.com
* D. Gries, F. Schneider. “A Logical Approach to Discrete Math”.
Springer 1993