MANEJO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL PARA LA … · Diferencial, para la solución de problemas. 30 h 3....

Reforma Académica 2003

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Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

MANEJO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Al finalizar la unidad el alumno

resolverá problemas prácticos usando a las funciones y su cambio.

Reforma Académica 2003 45


VII. MAPA CURRICULAR

Resultados de Aprendizaje

1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos. 4 h

1.2 Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de problemas prácticos. 8 h

2.1 Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y

para determinar propiedades de las funciones. 15 h

2.2 Graficar una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada. 15 h

3.1 Calcular el cambio acumulado 15 h 3.2 Usar integrales en la solución de problemas. 15 h

Módulo

Matemáticas IV: Introducción al

Cálculo Diferencial e Integral

1. Manejo de las funciones y su cambio para la solución de problemas.

12 h

2. Manejo del Cálculo Diferencial, para la solución de problemas.

30 h

3. Manejo del Cálculo Integral, para la solución de problemas.

30 h


46


SUMARIO 2.1. Calcular la derivada para la solución de

problemas prácticos y para determinar propiedades de las funciones 2.1.1. La derivada

• Noción intuitiva del límite • Función continua • Rapidez instantánea de cambio • Visualización gráfica de la rapidez de

cambio pendiente de una curva • Derivada de una función en un punto • Regla de cuatro pasos para encontrar

la derivada de una función 2.1.2. Reglas de la derivación

• Derivada de una función constante • Derivada de una función lineal • Derivada de una constante por una

función • Derivada de sumas y diferencias • Derivada de potencias • Derivada de funciones exponenciales

y logarítmicas • Derivación de funciones periódicas • Regla de la cadena • Regla del producto • Regla del cociente • Determinación de la recta tangente a

la función en un punto 2.2. Graficar una función con la

información obtenida de la primera y segunda derivada 2.2.1. Análisis de funciones

• Funciones crecientes y decrecientes usando el criterio de la primera derivada

• Uso de la derivada para estimar los valores de una función

• Notación de la segunda derivada • Máximos y mínimos locales

• Criterio de la segunda derivada para definir intervalos de crecimiento y de decrecimiento, de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo

• Optimización máximos y mínimos globales - aplicaciones

RESULTADOS DE APRENDIZAJE 2.1. Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y para determinar propiedades de las funciones. 2.2. Graficar una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada.

2.1.1. LA DERIVADA Todo lo que nos rodea cambia, el peso de las personas, las calificaciones, la • Noción intuitiva del límite El concepto matemático de límite es fundamental para la comprensión del cálculo diferencial, sin embargo es uno de los que más dificultades presenta en matemáticas. La noción es ‘acercarse cada vez más y más a algo, pero sin tocarlo’. Se considera una variable, independiente, que se acerca a una constante, a, y se examina el efecto que se tiene sobre los valores de la función. Ejemplo 2.1 Por ejemplo, consideremos la función



f(x) = 113

−−

xx

el dominio de la función es el conjunto de los números reales, excepto el número 1, porque el denominador de la función sería cero. Aunque f(1) no está definido, f(x) puede calcularse para cualquier valor cercano a 1. En la siguiente tabla se puede observar como al acercar x a 1, tanto por la derecha como por la izquierda, la función se acerca a 3. Tabla 2.1

X f(x) 0.7 2.190 0.8 2.440 0.9 2.710 0.95 2.8525 0.99 2.9701 0.995 2.985025 0.999 2.997001

0.9999 2.99970001 1 No definida

1.0001 3.00030001

1.001 3.003001 1.005 3.015025 1.01 3.0301 1.05 3.1525 1.1 3.310 1.2 3.640

Cuando x se aproxima a 1, los valores de f(x) se aproximan a 3. Entonces 3 es el límite de f cuando x tiende a 1: Así f(x) → 3 cuando x→ 1 O bien:

1→xlim

113

−−

xx = 3

En términos generales, se define El límite de f(x) cuando x tiende a c es el número L, y se denota

cx→lim f(x) = L

si f(x) está arbitrariamente cerca de L para toda x suficientemente cercana a c, pero sin ser igual a c. Es importante hacer notar que el límite debe ser el mismo, independientemente del sentido en que x se aproxima a c, ya sea por la izquierda o por la derecha. Se usa la notación x → c- cuando x tiende a c por la izquierda, y x → c+ si x tiende a c por la derecha. Se dice que

cx→lim f(x) = L

si +→cx

lim f(x) =−→cx

lim f(x)= L

Se dice que el límite de f en c es L, sin embargo, no necesariamente f está definida en c. En el ejemplo anterior:

1→xlim

113

−−

xx = 3 sin embargo f(1) no existe

Gráfica 2.1


48


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

Veamos otros ejemplos Ejemplo 2.2 Sea f(x) = x2 + 2x +1 En la gráfica 2.2 se aprecia que cuando la variable independiente, x, se aproxima a tres, entonces la función se acerca a 16,

también lo podemos corroborar en la tabla:

+→3xlim f(x) = 16

−→3xlim f(x)= 16

Gráfica 2.2

x

y

0 5 10

-20

20

40

60

entonces

3→xlim f(x) =16

Tabla 2.2

x f(x) 2.5 12.25 2.9 15.21 2.999 15.992001 3 16 3.001 16.008001 3.01 16.0801 3.5 20.25

Ejemplo 2.3

Consideremos ahora la función f(x) = x1

La función en cero no existe, sin embargo si nos acercamos a x por la derecha, la función tiende a infinito positivo, en

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

2003-2004 (Cifras mensuales)

Prec

io A

rroz

($)



x

y

-4 -2 0 2 4 6 8

-10

10

20

cambio si nos acercamos a x por la izquierda, entonces la función es negativa. Gráfica 2.3

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

+→0xlim

x1

= +∞ −→0x

limx1

= -∞

Como no coinciden los límites se dice que no existe el límite. Las funciones que se definen por secciones, frecuentemente no tienen límite Ejemplo 2.4 x+2 si x≤ 5 Sea f(x) = x+10 si x> 5

En la gráfica 2.4 se observa que:

−→5xlim f(x)= 7

+→5xlim f(x) =15

por lo tanto no existe el límite de la función en x=5

Gráfica 2.4 Sea f(x) = x+2 si x≤ 5 x+10 si x> 5 Las principales propiedades de los límites son:

- El límite de una función constante es la constante:

cx→lim K = K

- El límite de una suma (diferencia) es

la suma de los límites

cx→lim (f(x) + g(x)) =

cx→lim f(x) +

cx→lim g(x)

- El límite de un producto es el

producto de los límites

cx→lim (f(x) * g(x)) =

cx→lim f(x) *

cx→lim g(x)

- El límite de un cociente es el

cociente de los límites, siempre y cuando el divisor sea diferente de cero.

cx→lim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)()(

xgxf =

( )( ))(

)(

lim xg

xf

cx

cx

→

→lim

- El límite de una función elevada a la

potencia n-ésima es igual a la potencia n-ésima del límite de la función


50


cx→lim ( )nxf )( =

n

cxxf ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→

)(lim

Ejemplos 2.5 a)

4→xlim 15 =15

b)

5→xlim (3X2 +2X +3) =

5→x

lim 3X2 + 5→x

lim 2X + 5→x

lim 3=

75+10+3 =88

c) 5→x

lim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++232

2

2

xx =

( )( )2

32

2

5

2

5

lim +

+

→

→

x

x

x

xlim

=2753

d) ∞→x

lim⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+x13

6 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

∞→

xx

x

13lim

lim 6

=

xx

x

x

x

∞→

∞→

∞→

∞→

+lim

1lim3lim

6lim

=03

6+

=2

En ocasiones, en los cocientes se presentan expresiones de la forma

00 ó

∞∞

que son indeterminadas; con frecuencia, es posible corregir la indeterminación dividiendo el cociente y el denominador entre otra expresión que genera una forma que si tiene límite, veamos: Ejemplos 2.6

a) f(x) =113

−−

xx

dividiendo entre (x-1)

f(x)= ( )( )1

)11 2

−++−

xxxx = x2+x+1

1→xlim f(x) = 1+1+1 =3

b) f(x) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+++6

423

23

xxxx

∞→xlim f(x)=

( )( )6lim

42lim3

23

−+

++

∞→

∞→

xx

xx

x

x

dividiendo entre x3,

=32

3

611

412

xx

xx

−+

++

∞→xlim f(x)=

001002

−+−+

=2

Observa que x3 es la mayor potencia de la expresión: • Función continua Muchas funciones tienen la propiedad de que su gráfica es una línea continua, es decir, no existe ninguna interrupción o abertura en el trazado de su gráfica, para



x

y

-2 0 2 4 6

5

10

15

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-10

-5

5

10

definir matemáticamente continuidad se utiliza el concepto de límite. Se dice que una función f es continua en un número c si: i) f(c) está definida ii)

cx→lim f(x) existe

iii)cx→

lim f(x) = f(c)

Una función es continua en un intervalo (a,b) si es continua en todos los números del intervalo. Si la función no es continua en un punto, se dice que es discontinua ahí Veamos algunos ejemplos de funciones discontinuas: La función f(x) = 1/(x-2)2 , gráfica 2.5 tiene una discontinuidad en x=2, a medida que x→2 f(x)→∞ y f(2) no está definida. Gráfica 2.5 f(x) = 1/(x-2)2

Otra función discontinua es la siguiente: y= 4x/(4-x2), gráfica 2.6, tiene discontinuidades en x=+2 y x=-2; a medida que x→2- f(x) →∞; y cuando x→2+ f(x) →-∞; en forma similar x→-2- f(x) →∞ y además x→-2+ f(x) →∞. Además f(2) y f(-2) no están definidas. Gráfica 2.6 y = 4x/(4-x2) • Rapidez instantánea de cambio En la Unidad anterior se definió la rapidez de cambio promedio de una función en un intervalo, en esta sección se revisará el concepto de rapidez de cambio en un punto y se utilizarán los conceptos de límite y continuidad. Si un vehículo recorre una distancia de 600 km en 4 horas, la velocidad promedio del vehículo es 600/4 = 150 km/hora, esta cifra no significa que durante todo el trayecto se mantuvo esta velocidad, seguramente en algunos tramos la velocidad fue más alta y en otros disminuyó. Si en lugar de medir la distancia recorrida en 4 horas, lo hacemos en una hora, tendríamos la velocidad promedio en una hora, podríamos hacer cada vez más pequeños


52


los intervalos de tiempo, considerando intervalos dados por minutos y si fuera posible por segundos. La velocidad instantánea, velocidad, de un objeto en el tiempo t, se define como el límite de la velocidad promedio del objeto sobre intervalos cada vez más cortos del tiempo En forma similar se puede definir la rapidez instantánea de cambio de una función y=f(t) en un punto t=a, como la rapidez de cambio promedio sobre intervalos cada vez más pequeños. Ejemplo 2.7 Sea s =f(t) = t2 la función que modela la posición, distancia recorrida, por una partícula en el tiempo. Consideremos que t está en segundos y s, en metros. En el primer segundo t=1, la posición de la partícula es s =f(1)= 12 =1, en el segundo tres, s =f(3)= 32 = 9. En el período de dos segundos, el promedio de la rapidez de cambio es: Velocidad promedio =

=ΔΔ

ts

1ttt

2

1

−)f( - )f(t2

= 1319

−− =4 m/s

Si en lugar de considerar dos segundos de diferencia, tomamos periodos mas cortos, esto es ∆t →0, el promedio de velocidad se referirá fracciones de tiempo más pequeñas, veamos el siguiente cuadro:

Tabla 2.3

t1 ∆t t2 =t1 + ∆t f(t1) f(t2) f(t2)-f(t1) Velo-cidad media

1 0.2 1.2 1 1.44 0.44 2.21 0.1 1.1 1 1.21 0.21 2.11 0.08 1.08 1 1.1664 0.1664 2.081 0.05 1.05 1 1.1025 0.1025 2.051 0.03 1.03 1 1.0609 0.0609 2.031 0.01 1.01 1 1.0201 0.0201 2.011 0.001 1.001 1 1.002001 0.002001 2.0011 0.0001 1.0001 1 1.00020001 0.00020001 2.0001

Se define la velocidad instantánea en el tiempo t=1, como el límite de la velocidad media cuando ∆t→0.También se le conoce como tasa instantánea de variación de s con respecto a t, ( o rapidez instantánea de cambio) en t=1. En la tabla anterior podemos apreciar que la rapidez instantánea de cambio en t=1 es 2. Otra forma de expresar la rapidez instantánea de cambio es la siguiente:

v = 0→tΔ

lim vpromedio= 0→tΔ

lim =ΔΔ

ts

como ∆t = t2 - t1

y t2 = t1 + ∆t

v =0→tΔ

limt

tt 1

ΔΔ+ )f( - )f(t 1 =

En términos generales, para una ecuación de movimiento, la velocidad v en el tiempo t está dada por:

v =0→Δt

limtΔ

Δ f(t) - )f(t t+



• Visualización gráfica de la rapidez de cambio: pendiente de una curva

En la gráfica 2.7, se representa la rapidez de cambio promedio entre los puntos a y a+h, y que está definida como la pendiente de la línea que une f(a) y f(a+h) Rapidez de cambio promedio =

ahaf(a)- )hf(a

−+

+

)(=

h

f(a)- )hf(a +

Gráfica 2.7

Conforme se reduce h, esto es h→0, gráfica 2.8, la línea recta deja de ser

secante y se convierte en tangente a la curva en un punto, y obtenemos la pendiente de la curva en ese punto.


54


Gráfica 2.8

En la gráfica 2.9, se representa la función de distancia recorrida s=f(t), además se traza una línea, secante, entre los puntos (1,1) y (3,9), la pendiente de ésta línea nos representa la rapidez de cambio promedio entre t=1 y t =3; que es 4 m/seg, en este caso en ∆t =2.

También se traza otra línea secante a la curva entre (1,1) y (2,4), y cuya pendiente es la velocidad promedio entre esos puntos, 3 m/seg, y en este caso ∆t =1; podríamos continuar trazando líneas secantes haciendo ∆t cada vez más pequeña, hasta llegar el momento en el que la línea recta sólo toca a la función s en un punto, lo que ocurre en (1,1), en dónde la recta es tangente a la curva, ésta corresponde a la línea punteada. La pendiente de la tangente a la curva en un punto se le conoce también como pendiente de la curva en dicho punto.

0→tΔlim =

ΔΔ

ts 2 pendiente de la función en el

punto (1,1)

Gráfica 2.9

t

s

0 1 2 3 4 5

5

10

Ejemplo 2.8



Para realizar un análisis de los precios del arroz pulido en el 2003, consultamos la página del Sistema Nacional de Integración de Mercados (SNIM) Figura 2.1, de la Secretaría de Economía. Seleccionamos la información de dos años, 2003 y 2004, Tabla 2.4.

Figura 2.1


56


Tabla 2.4 Año Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

2003 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5

2004 8.88 9.5 9.7 10.5 11.25 12 12.5 13 13.4 14 14

Con base en esta información obtenemos la gráfica 2.10

Gráfica 2.10

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

2 0 0 3 - 2 0 0 4 ( C i f r a s me nsua l e s)



Para estimar la rapidez de cambio del precio del arroz pulido en enero del 2003, podríamos tomar el valor de enero del 2003 y el último valor disponible del 2004, que corresponde al mes diciembre, así: Rapidez de cambio promedio en el precio:

tyΔΔ =

hf(1)- )hf(1 +

para h=22

2222 f(1)- )f(1 + =

225.814 − =.25

La rapidez de cambio promedio en ese periodo es de .25 centavos anuales. Ahora consideremos un punto más cercano a f(1), esto es consideremos h más pequeña, sea h=1.

f’(Enero/2003) = 1

1 f(1)- )f(1 + = 1

5.85.8 − =0

No hay cambio en el precio de enero del 2003, con relación al siguiente mes. Sin embargo, veamos lo que ocurre con el precio en el punto 16 de la gráfica 2.10 que corresponde a Abril del 2004:

f’(Abril/2004) = 1

1 f(16)- )f(16 + =1

5.1025.11 −

=.75

Aquí la rapidez de cambio es de .75 en un sólo mes, en la gráfica se puede observar que la pendiente a la tangente en el puntos 16 es una de las más grandes, en el siguiente mes también es .75 centavos, en

los subsecuentes meses gira alrededor de .50 centavos por mes. Ejemplo 2.9 En la tabla 2.4 se presenta la serie histórica de los salarios medios pagados en la industria maquiladora, analicemos la gráfica 2.11 de estas cifras y su rapidez de cambio promedio Tabla 2.4

Año Salario Medio ($)

1994 26.2 1995 31.9 1996 39.48 1997 50.27 1998 59.48 1999 69.71 2000 79.12 2001 92.95 2002 102.32 2003 104.81 2004 110.29

Fuente http://www.stps.gob.mx/estadisticas.htmlNoviembre 2004

Grafica 2.11

020406080

100120

1993 1995 1997 1999 2001 2003

$ di

ario

s po

r per

sona

oc

upad

a


58


En la gráfica, se puede apreciar que la rapidez de cambio en el año 2000, es más alta que la de los años siguientes, las pendientes de las tangentes a la curva en esos puntos son menores.

f’(2000)=1

2001 f(2000)- )f( =13.83 pesos

f’(2001)=1

2002 f(2001)- )f( =9.37 pesos

f’(2002)=1

2002 f(2001)- )f( =2.49 pesos

• Derivada de una función en un

punto La derivada de f en a, se define como la rapidez instantánea de cambio de f en el punto a, y se le denota por f’(a) Si y = f(x) entonces la derivada de la función en el punto x es:

f’(x) = dxdy

= 0→xΔ

lim =xy

ΔΔ

=0→xΔ

limxΔ

Δ f(x) - )f(x x+

Otra forma de expresar la derivada es la siguiente: Para cualquier función f, se define la función derivada , f’ por:

f’(a) = 0→h

limh

h f(a) - )f(a +

siempre que exista el límite. Si existe la derivada de una función f en el punto a se dice que la función f tiene

derivada en ese punto, o que es derivable o diferenciable en ese punto; es posible que en ciertos puntos no exista la derivada. Es importante señalar que la derivada de una función respecto a x, también es una función respecto a x. A continuación se presentan las formas más usuales para representar la derivada: f’(x)

)(ydxd

Dx y Dx (y) • Regla de los cuatro pasos para

encontrar la derivada de una función

Con la definición de derivada y utilizando las propiedades de los límites podemos obtener el valor de la derivada en un punto. Ejemplo 2.10 Así, en la función de distancia recorrida por una partícula s =f(t) = t2, la derivada de la función en 1 se denota como f’(1)

f’(1)= 0→tΔ

limt

1ΔΔ+ )f( - )f(1 t =

=0→tΔ

limt

1Δ

Δ+ 22t )( - )(1

=0→tΔ

limt

1ΔΔ+Δ+ )( - )(1 tt

22

=0→tΔ

limtΔΔΔ tt

22 +

=0→tΔ

lim 2 + ∆t)

= 2



Los pasos para obtener directamente la derivada de una función en el punto a, utilizando la definición, son los siguientes: Calcular: 1.- f(a) y f(a+h) 2.- f(a+h) - f(a)

3.-h

afhaf )()( −+

4. 0→h

lim h

afhaf )()( −+

Ejemplo 2.11 Consideremos una función de demanda p= 100 – q2 , para el producto de un industrial, nos interesa encontrar la rapidez de cambio instantánea, del precio p por unidad, con relación a la cantidad q cuando q= 4. f(4) = 100 - 42 =84 f(4+h) = 100 – (4+h)2 = 100 –(16 + 8h + h2))

hafhaf )()( −+ =

hhh 84)884( 2 −−−

= -8-h

0→hlim

hafhaf )()( −+ =

0→h

lim =-8-h = -8

La interpretación es la siguiente, si la demanda de un producto es 4 y se aumenta en una unidad, entonces se esperaría un cambio (disminución) en el precio de 8 pesos.

Ejemplo 2.12 Sea s= -4.5t2 +150, determinar la derivad en t=3. Siguiendo el procedimiento de los cuatro pasos: 1.- f(3) = -4.5(3)2 +150 = 109.5 f(3+h) = -4.5(3+h)2 +150 =-4.5(9 +6h + h2) +150 =-40.5 -27h - 4.5h2 + 150 =-4.5 h2 - 27h+ 109.5 2.- ∆s =f(3+h) - f(3) = -4.5 h2 -27h

3.- tsΔΔ =

hhh 275.4 2 −−

=-4.5h -27 4.-

0→hlim -4.5h -27 = -27

2.1.2. REGLAS DE DERIVACIÓN Existen reglas que permiten derivar una función mediante procedimientos eficientes, menos laboriosos que los anteriores, y de una manera mecánica. Estas reglas también evitan el uso directo de los límites. • Derivada de una función constante Al graficar una función constante f(x) = k nos damos cuenta que se trata de una línea horizontal, y la pendiente es cero, no hay cambio en las ordenadas, por lo que su derivada es cero. Si f(x) = k entonces f’(x) = 0 Ejemplos


60


Si f(x) = 340 f’(x) =0 Si f(x) = 55 f’(x) = 0

Si f(x) =43 )

43(

dxd =0

• Derivada de una función lineal Como la derivada de una línea recta es constante para todos los valores de x, entonces su derivada también es una función constante y es igual a la pendiente de la línea Si f(x) = b + mx entonces f’(x)= m Ejemplos 2.13:

dxd ( 3x + 15) = 3

dxd ( 6 -

34 x) = -

34

dtd ( 6 - 3 16 t) = - 3 16

• Derivada de una constante por una

función Si una función se multiplica por una constante, c, también su derivada se multiplica por esa constante. Si c es una constante,

( ))(xcfdxd = c f’(x)

Ejemplo 2.14:

dxd ( 4(3x+2)) = 4

dxd (3x+2)

= 4 (3) =12 • Derivada de sumas y diferencias La derivada de una suma (diferencia) es igual a la suma (diferencia) de las derivadas:

dxd (f(x) + g(x)) = f’(x) +g’(x)

dxd (f(x) - g(x)) = f’(x) -g’(x)

Ejemplo 2.15: Si f(x) = 4x+2 y g(x) = 10x

dxd ((4x+2) + (10x)) =

dxd (14x +2) = 14

f’(x)= 4 y g’(x)=10 f’(x) -g’(x)= 4 + 10 = 14 • Derivada de potencias Para un número n real constante

dxd xn = nxn-1

Ejemplos 2.16:



dxd x4 = 4x3

dxd x = 1x0= 1

dxd x ½ = 2

1

21 −

x

dxd x -1/2= 2

3

21 −

− x

• Derivada de funciones

exponenciales y logarítmicas

dxd ( ex ) = ex

Ejemplos 2.17:

dxd 4ex = 4 ex

dxd ( ax ) = (ln a)ax

dxd 4(2x) = 4

dxd 2x=4(ln2) 2x

=2.77(2x)

dxd (ln x) =

x1

Ejemplo 2.18

dxd (5ln x) = 5 (

x1 ) =

x5

• Derivación de funciones periódicas Considerando x en radianes:

dxd (sen x) = cos x

dxd (cos x) = - sen x

dtd (sen u) = cos u

dtdu

dtd (cos u) = - sen u

dtdu

• Regla de la cadena Al combinar dos funciones, su derivada se define de la siguiente manera: Consideremos y y u dos funciones derivables, Sea y= f(u) con u= g(t) entonces la derivada de la combinación de ambas funciones y=f(g(t)) es:

dtd y =

dud y .

dtd u

Ejemplos 2.19 a) Sea y= (3t +1)4 Aquí se puede considerar que u=3t +1

Entonces y=u4

Por lo tanto:

dtd y =

dud u4 .

dtd (3t +1)

= (4u3 )( 3)

=(4(3t+1)3)(3)

=12(3t+1)3

b) Sea P = e -.07t

Aquí u=-.07t

Entonces P=eu


62


Por lo tanto:

dtd P=

dud eu.

dtd (-.07t)

= (e ut)(-.07)

=(e-.07t) (-.07)

= -.07 e-.07t

c) Sea f(t) = ln (t2 +2)=

Aquí u= t2 +2

y=lnu

entonces:

dtd y = (

dud lnu)(

dtd ( t2 +2))

= (u1 )(2t)

2

22 +t

t

• Reglas del producto Si u=f(x) y v= g(x) son funciones derivables, entonces: (fg)’ = f’ g + f g’

dxd (uv) = (

dxd u) *v +u (

dxd v)

esto es la derivada del producto, es la derivada de la primera función por la segunda más la primera por la derivada de la segunda Ejemplos 2.20 a)f(x)= (5x-3)( x4 +10)

u=(5x-3) v=( x4 +10)

dxd uv =

(dxd (5x+3) ) (x4 +10)+ (5x+3)

dxd (x4 +10)

=(5) ( x4 +10) +(5x+3)(4x3 )

=5x4 +50 + 20x4 +12x3

=25x4 +12x3 +50 b) Sea y = xex u = x y v=ex

dxd (uv)= (

dxd x) (ex) +(x)(

dxd ex)

= ex + x ex = ex (1+x) • Regla del cociente Si u=f(x) y v= g(x) son funciones derivables, entonces:

2g

fg'gf''

gf −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxd

2udxdvuv

dxdu

vu −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador, todo entre el cuadrado del denominador Ejemplo 2.21:

a) Sea y=xxx

26

2

++

dxd y =



=2

22

)26(

)26()()26()(

x

xdXdXXxxx

dxd

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= 2

2

)26()2)(()26)(12(

xxxxx

++−++

= 2

22

)26()22()26412(

xxxxxx

++−+++

2

2

)26(6124

xxx

+++

Ejemplo 2.22 La derivada de una función de costo, C’ se interpreta como el costo aproximado de una unidad de producción adicional. Sea

C= 50003

5 2

++qq

la función de costo de un fabricante, determinar la función de costo marginal.

C’ = 2

22

)3(

))3()(5()3()5(

+

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

q

qdqdqqq

dqd

= 2

2

)3()1)(5()3)(10(

+−+

qqqq

= 2

22

)3(53010

+−+

qqqq

= 3

2

)3(305

+−

qqq

= 2)3()6(5

+−

qqq

Ejemplo 2.23 Para un cierto grupo de población, de 2000 nacimientos, el número y de

personas que sobreviven a la edad de x años es: y(x)= 2000 x−100 con 0<x<100 Encontrar la rapidez de cambio de y respecto a x, y evaluarla en x=36 Aplicando la regla de la cadena: u=100-x y=2000 u

dxd y = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ u

dud 2000

dxd (100-x)

= )1(212000 2

1

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −u

=-x−

−

1001000

La rapidez de cambio, tasa de cambio, de y cuando x=36 es de:

y’(36) = 36100

1000−

−

=-15.6 Ejemplo 2.24 Desde un edificio se deja caer una pelota, la altura sobre el suelo está dada por la función s= -4.5t2 +150, en donde s se mide en metros y t en segundos, para calcular la velocidad instantánea de la pelota cuando t1 = 3 seg, obtendremos el valor de la derivada en ese punto.

v=dsd (-4.5t2 +150)=


64


dsd -4.5t2 +

dsd 150=

(-4.5)(2)t + 0 = v=-9t En t = 3 seg v= -9(3)=-27 La gráfica, 2.12, de s que describe la altura sobre el suelo es la siguiente: Gráfica 2.12

t

s

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

50

100

150

En el segundo t=3, la pelota estará a 109.5 metros del piso, en ese momento su velocidad (rapidez instantánea de cambio) es -27 m/seg, el signo negativo indica que se mueve en dirección contraria a la positiva que es hacia arriba. En la gráfica 2.13 podemos observar que la tangente a la curva en el punto 3 tiene una pendiente de -27 que corresponde a la derivada de la función en ese punto. Gráfica 2.13

t

s

0 1 2 3 4 5 6 7

50

100

150

• Determinación de la recta tangente

a la función en un punto Conociendo la función y su derivada, podemos determinar la ecuación de la recta tangente a la función en ese punto, veamos el ejemplo 2.25, en el que se describe la altura sobre el suelo al dejar caer una pelota de un edificio s= -4.5t2 +150, aplicamos las reglas de la derivada y obtenemos: Ejemplo 2.25 s’ = -4.5(2)t s’ = -9t En el momento t=3, la altura es s(3) = -4.5(3) 2 +150=109.5 m y la velocidad es: s’(3)= -9(3) = -27 Con esta información podemos trazar la recta tangente, sabemos que pasa por (3,109.5) y tiene pendiente igual a-27, aplicamos la fórmula de la línea recta: (y–y1) = m (x –x1) (y–109.5)= –27(x–3) y –109.5 = –27x + 81 y=-27x +190.5



Podemos ver esta línea tangente en la gráfica 2.13

RESULTADO DE APRENDIZAJE 2.2. Graficar una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada

2.2.1. ANÁLISIS DE FUNCIONES • Funciones crecientes y decrecientes

usando el criterio de la primera derivada

La primera derivada de una función sirve también para determinar en dónde crece o decrece la función, además permite localizar sus valores máximos, mínimos y puntos de inflexión, si es que existen. Por ejemplo, observemos la gráfica 2.14 de la función y=f(x), en el segundo cuadrante, de -6 a -2, conforme x crece (avanza de izquierda a derecha), los valores de f(x) aumentan; se dice que la función es creciente en un intervalo, si se tienen dos puntos x1 y x2 tales que x1 < x2 entonces f(x 1) < f(x2). Por otra parte, si conforme x avanza, por ejemplo de x=3 a x=5, los valores de f(x) disminuyen, se dice que f es una función decreciente, esto es si x3< x4 entonces f(x 3 > f(x4. En el segundo cuadrante las pendientes de las tangentes a la curva son positivas, mientras que en el primer cuadrante las pendientes de las tangentes a la curva son negativas. Gráfica 2.14

Sea f es una función para la que existe su deriva en todos los puntos del intervalo (a,b). - Si f’(x) > 0 en todos los puntos del intervalo (a,b) entonces f es creciente en (a,b). - Si f’(x) < 0 en todos los puntos del intervalo (a,b) entonces f es decreciente en (a,b). - Si f’(x) = 0 en todos los puntos del intervalo entonces f es constante en ese intervalo Ejemplo 2.25 Veamos otro ejemplo, encontrar, con base en la derivada, los intervalos en los que la función y= 18x– (2/3)x3 es creciente o decreciente. La derivada de la función es:

f’(x) = 18 - 3(32 ) x2

f’(x) = 18 - 2 x2

debemos determinar en qué intervalos la derivada es positiva y en cuáles es negativa, para facilitar éste análisis la derivada también se expresa como: f’(x) = 2(9-x2)= 2(3-x)(3+x)


66


en esta forma es fácil apreciar que la derivada será cero cuando (x-3)=0 ó (x+3)=0, esto ocurre cuando x=3 o x=-3, para esos valores las pendientes de las tangentes a la curva son horizontales. También se advierte que para valores menores a -3 la derivada será negativa: Si x<-3 f’(x) = 2 (valor positivo)(valor negativo)= valor negativo entonces la función será decreciente Si -3<x<3 f’(x) = 2 (valor positivo)(valor positivo)= valor positivo la función será creciente Si x> 3 f’(x) = 2 (valor negativo)(valor positivo)= valor negativo y la función será decreciente. Lo anterior lo podemos confirmar en la gráfica 2.15 Gráfica 2.15 y = 18x– (2/3)x3

Decreciente Creciente Decreciente

Ejemplo 2.26 La curva de concentración de un medicamento en la sangre es: C=17.2te-0.4t. Utilicemos la derivada para analizar el comportamiento de la función. C’ = 17.2((1) e-0.4t+ t (-0.4) e-0.4t) =17.2e-0.4t -0.4te-0.4t =e-0.4t(17.2 – 0.4t) Veamos lo que nos dice la derivada: La exponencial e-0.4t > 0 y el otro factor (17.2 – 0.4t)=0 cuando t=4.3 Entonces la función tiene un punto especial en t=4.3 Si t <4.3 C’ >0 y la función es creciente Si t >4.3 C’<0 y la función es decreciente En la gráfica 2.16 se corrobora lo anterior. Gráfica 2.16

C=17.2te-0.4t



Como la derivada nos indica la magnitud de la rapidez de cambio, si la derivada tiene valores grandes la función será más inclinada, empinada; y si tiene valores pequeños entonces la función será menos inclinada, más suave. • Uso de la derivada para estimar los

valores de una función La derivada refleja la rapidez del cambio en la función, de tal manera que es posible estimar los valores de la función. Si conocemos el valor de la función en un punto t, y la rapidez de cambio en el mismo, se puede estimar el valor de la función para el siguiente valor t+1 Por ejemplo, supongamos que se depositan $1000 en una cuenta que paga 8% anual, capitalizable de manera continua, y conocemos el saldo en el año 10, y la rapidez de cambio en ese mismo año. f(10) = 2225.54 f’(10)= 178.04 entonces es posible estimar para t=11, el valor de la función. f(11) = f(10) +f’(10) = 2225.54 +178.04 =2403.58 • Notación de la segunda derivada La derivada de una función es también una función, por lo tanto también se puede obtener su derivada.

A la derivada de la derivada se le denomina segunda derivada y se le denota de las siguientes maneras: f’’

2

2

dxyd

2xD

Ejemplos 2.27 a) Sea y=f(x) = x4

dxd x4 = 4x3

2

2

dxyd = 12x2

b) s= -4.5t2 +150

dtd s = -9t

dtd 2

s = -9

• Máximos y mínimos locales En la gráfica 2.17, se aprecia que el punto P2 está en una posición más alta que cualquier otro punto “cercano” de la cuerva; y en cambio en el punto P1 está localizado en la posición más baja que cualquier otro punto “cercano” de la curva. Al punto P1 se le denomina máximo relativo o máximo local porque no necesariamente es el punto más alto de la totalidad de la curva. En forma similar al punto P2 se le denomina mínimo relativo o local. En ambos puntos, la tangente a la curva es horizontal, esto es su pendiente es igual a cero.


68


Sea p un punto en el dominio de una función f - Se dice que f tiene un mínimo local en p si f(p) es menor o igual a los valores de f para puntos cercanos a p - Se dice que f tiene un máximo local en p si f(p) es mayor o igual a los valores de f para puntos cercanos a p También hay otro tipo de puntos en donde la pendiente es cero, y se les denomina puntos de inflexión, son aquellos en dónde la gráfica de una función f cambia el sentido de la concavidad. En general se identifican los puntos críticos de una curva cuando la pendiente de la tangente a la curva es cero o no está definida. Ejemplo 2.28 Sea la función y= 18x– (2/3)x3 , en el ejemplo 2.25, se obtuvo la derivada de la función y se identificaron las zonas en las que la función es creciente o decreciente. f’(x) = 2(9-x2)= 2(3-x)(3+x) f’(3)=0 f’(-3)=0. ahora identifiquemos un máximo y mínimo local en f(3) y f(-3). f(-3) =-36 y en f(3) = 36 Los valores cercanos a f(-3) son mayores que -36, y los valores cercanos a f(3) son menores a f(3). Observemos el comportamiento de la derivada antes y después de f’(-3)

x f'(x)

-5 -32

-4 -14

-3 0

-2 10

-1 16

Antes de -3, la pendiente a la cuerva es negativa, después de -3 la pendiente es positiva, de esta manera también se identifican los mínimos relativos. Examinemos las derivadas cercanas a f(3):

x f'(x)

1 16

2 10

3 0

4 -14

5 -32

Antes de 3, las derivadas son positivas, y después de tres las derivadas son negativas, de ésta manera queda identificado un máximo relativo Gráfica 2.17 y = 18x– (2/3) x3



Para localizar los puntos máximos o mínimos relativos de una función nos podemos apoyar en la primera derivada de la función. Como se estableció en la sección anterior, la primera derivada indica si la función es creciente o decreciente. El observar un cambio de signo en la primera derivada, es un indicio de que podemos encontrar un valor máximo o un mínimo. Sea p es un punto crítico de una función continua f - Si f cambia de decreciente a creciente en p, entonces f tiene un mínimo local en p - Si f cambia de creciente a decreciente en p, entonces f tiene un máximo local en p • Criterio de la segunda derivada

para definir intervalos de crecimiento y de decrecimiento, de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo

La primera derivada es muy útil para trazar una gráfica, nos da información sobre si una función es creciente o decreciente y también nos permite localizar máximos y mínimos relativos, sin embargo, para determinar de una manera más precisa la gráfica de una función es necesario utilizar la segunda derivada y el concepto de concavidad La segunda derivada nos indica dónde una función es cóncava hacia arriba y dónde es

cóncava (o convexa) hacia abajo, lo cual nos permite localizar los puntos de inflexión, si existen, de la función Sea f es una función para la que existe su deriva en todos los puntos del intervalo (a,b).

• Se dice que f es cóncava hacia arriba en (a, b), si f’(x) es creciente en el intervalo (a,b).

• Se dice que f es cóncava hacia abajo (a, b), si f’(x) es decreciente en el intervalo (a, b).

Como f’ es creciente cuando su derivada f’’(x) es positiva, y f’ es decreciente cuando su derivada f’’(x) es negativa. Se dice que una función tiene un punto de inflexión en un punto P si y sólo si f es continua en ese punto y f cambia de concavidad en P Para investigar la concavidad y los puntos de inflexión de una función se obtienen los valores de x en los que f’’(x) es 0 o no está definida. Continuemos con el análisis de la función y= 18x– (2/3)x3, la gráfica 2.17, si utilizamos el criterio de la segunda derivada el procedimiento sería: identificación de los puntos en los que la primera derivad es cero, en esos valores obtenemos la segunda derivada. f’(x) = 2(9-x2)= 2(3-x)(3+x) f’’(x)=4x f’(3)=0 →f’’(3)= 12 >0 cóncava hacia arriba, existe un máximo relativo


70


f’(-3)=0→f’’(-3)=-12 < 0 cóncava hacia abajo existe un mínimo relativo

Sea f una función tal que f’(x0) = 0. Si f’’(x0) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x0. Si f’’(x0) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x0. Si además de que f’(x) =0 también f’’(x) = 0, entonces no podemos afirmar la existencia de un máximo o mínimo relativo, se tiene que examinar el comportamiento de la primera derivada para conocer el comportamiento de la función • Optimización máximos y mínimos.

globales- aplicaciones. En muchas aplicaciones es importante identificar los valores máximos o mínimos de una función, esto es aquellos valores de la función para los cuales no se encontrará otro más grande o más pequeño, la técnica que se emplea para detectarlos se le conoce como optimización.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado, y a p un punto en el dominio de una función f - Se dice que f tiene un mínimo global en p si f(p) es menor o igual a todos los valores de f p - Se dice que f tiene un máximo global en p si f(p) es mayor o igual a todos los valores de f Para localizar el máximo ó mínimo global de una función, es necesario encontrar primero la primera derivada, los valores

críticos, determinar la segunda derivada, identificar la concavidad. Aplicaciones a) La función de costo total de un fabricante es C= 0.05q2 +5q +500, deseamos encontrar el nivel de producción que minimiza el costo promedio.

Primero calculamos el costo promedio:

El costo promedio C = qC

C =0.05q +5 +q

500

Se obtiene C ’

C ’ = 0.05 - 2500q

Para encontrar los valores críticos, se buscan los valores de q para los que la primera derivada es igual a cero.

0.05 - 2500q

=0

0.05= 2500q

q2 =05.

500 =10000

q= + 100 Como q es el nivel de producción, se deja de lado el valor negativo. Si examinamos el comportamiento de la derivada en valores menores a 100, es negativa, y para valores mayores a 100 es



positiva, esto es un indicio de que existe un mínimo relativo. Veamos la segunda derivada, para q=100

C ’’= 3500q

>0 por lo tanto la función

tiene un mínimo en q=100. b) El costo total de producir q unidades de un producto es C(q) = 10000+3q2 y el Ingreso por las ventas es I(q) = 450q, veamos como encontrar el nivel de producción que maximiza la utilidad. La utilidad se obtiene al restar los costos totales de los ingresos por ventas Utilidad = I(q) - C(q) La utilidad máxima se obtiene cuando Ingreso Marginal = costo Marginal C’(q) =6q I’ (q) = 450 Si 450 =6q

q =450/6

q=75

Al producir 75 unidades se obtiene la utilidad máxima,

Utilidad = 450(75) – (10000 +3(75)2)

Utilidad =6875 c) Para estimar la cantidad de material mínimo necesario para construir una lata cilíndrica, con tapa en la parte superior, con capacidad la quinta parte de un m3,

esto es 0.2 m3 utilizamos las siguientes fórmulas: Sea V el volumen del cilindro r radio de la tapa h la altura del cilindro d el diámetro de la tapa Volumen V = πr2h = .20 m3 Circunferencia de la tapa πd =π2r Si consideramos que se abre el cilindro y se extiende la lata, el área del cilindro consistiría en un rectángulo de altura h y base igual a la longitud de la circunferencia, 2πr. Agregamos la cantidad de material necesario para las tapas. Material necesario para construir el cilindro A= 2 πrh + 2πr2 Para optimizar la cantidad de material debemos minimizar la función: A= 2 πrh + 2πr2 La función tiene dos variables, sin embargo conocemos que la capacidad del cilindro será: V=1 dm3 Supongamos que el cilindro tendrá capacidad para contener un decímetro cúbico de algún líquido, entonces tenemos las siguientes ecuaciones: .2= πr2h m3

h= 2

2.rπ

m


72


sustituyendo en la ecuación del área:

A= 2 π 2 2.rπ

r + 2πr2

A=r

)2(.2 + 2πr2

La primera derivada de A:

A’= - 2

4.r

+4πr

Localizamos el valor para el cual A’ =0

- 2

4.r

+4πr =0

- 2

4.r

= -4πr

.10 = πr3

.10- πr3= 0

r3 = π10.

r3=0.0318 r=.3169 m

Y la altura es h =)10046(.

2.π

=.63 m

Con el análisis de la segunda derivada se confirma que se trata de un mínimo

A’’= - 3

8.r

+4π

A’’ evaluada en r=.3169

- 33169..8.

+4π =12.3 >0

Realización del ejercicio

Competencia científica teórica. Calcular límites usando fórmulas de límites.

1. Calcula los siguientes límites: a)

5−→tlim (t2 -5)

b)

1−→xlim (x3 -3x2 -2x + 1)

c) 1220 +−→ hh

hlimh

d) 1

122

1 +++

−→ xxxlim

x

Competencia científica teórica. Evaluar continuidad usando definición de continuidad.

2. Utiliza la definición de continuidad para demostrar que la función f(x) = x3 -5x es continua en x=2 Competencia científica teórica. Determinar rapidez instantánea de cambio usando definición de rapidez instantánea de cambio. Competencia lógica. Interpretar la derivada en términos de las variables que intervienen en problemas.

3. Encuentra la rapidez instantánea de cambio de la siguiente función de costo total c=0.0001q3-0.20q2 +3q+6000 cuando q=100, interpretar el resultado



Competencia científica teórica. Determinar la tasa de variación utilizando la definición de rapidez instantánea de cambio.

4. Si p= -2q2 + 200 es una función de demanda para un producto. Encuentra la tasa de variación del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. Qué tan rápido cambia el precio con respecto a q cuando q= 5 Competencia analítica. Calcular derivadas usando fórmulas de derivación.

5. Determina la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 23

x b) s(t)= t-2

c) f(x) = x x

d) g(t) = 2

2t - 22t

e) f(x) = (4x+1)(6x+3)

f) f(x) = 12

−+

xx

g) f(x) = (3x+2)6

h) f(x) = 6e3x

Competencia analítica. Determinar características de las funciones usando derivadas.

6. Determina los intervalos en los que la siguiente función es creciente, decreciente,

y si presenta concavidad, máximos y

mínimos relativos f(x)= x2 + 21x

Competencia analítica. Determinar características de las funciones usando derivadas.

7. Encuentra el mínimo global de f(x)= x2 -2x -24

Competencia analítica. Determinar características de las funciones usando derivadas. Competencia emprendedora Crear sus propias soluciones a problemas usando cálculo diferencial y/o integral.

8. La función de costo total de un fabricante está dado por

c= 40034

2

++ qq

en donde q es el número de unidades que se fabrican. A qué nivel de producción el costo promedio por unidad será mínimo, y cuál es éste costo.


74


DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje

2

Práctica número 3 Nombre de la práctica

Modelación matemática de problemas de mecánica.

Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el alumno modelará matemáticamente problemas de mecánica.

Escenario Aula Duración 4 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría

• Calculadora


75


Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de mecánica, de acuerdo a las

instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. Un automóvil se conduce a velocidad constante. Trace una gráfica de la distancia recorrida como función del tiempo.

b. Se conduce un automóvil a velocidad creciente. Trace una gráfica de la distancia recorrida como función del tiempo.

c. Un automóvil arranca a alta velocidad y luego decrece su velocidad lentamente. Trace una gráfica de la distancia recorrida como función del tiempo.

d. Se lanza una pelota al aire desde un puente y su altura y (en pies) sobre el nivel del suelo t segundos después de ser lanzada, está dada por

y = f(t) = -16t2 + 50t +36

• ¿A qué altura sobre el suelo está el puente? • ¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota para el primer segundo? • Aproxime la velocidad de la pelota en t = 1 segundos. • Trace una gráfica de la función f y estime la altura máxima que alcanzará la pelota.

¿Cuál es la velocidad en el momento en que la pelota se encuentra en su punto más alto?

• Utilice la gráfica para determinar en que instante, t, la pelota alcanza su altura máxima.

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando

las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las

conclusiones de la misma.

Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.


76



77


LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 3: Modelación matemática de problemas de mecánica.

Portafolios de evidencias

Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.

Desarrolló Sí No No aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica

• Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los

documentos de trabajo

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA

• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c

2. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator

• El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios • Resolvieron dudas y preguntas

4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que

debe incluir las conclusiones de la misma

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas

Observaciones:


78


PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:


79



2


Modelación matemática de la concentración de medicamentos y de la propagación de una enfermedad.


Al finalizar la práctica el alumno, modelará matemáticamente la concentración de medicamentos y de la propagación de una enfermedad.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel

• Calculadora


80



81


Procedimiento


1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de acuerdo a las instrucciones del

PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. En un tiempo de t horas después de que se suministra, la concentración de un medicamento en el cuerpo es f(t) = 27e–0.14t ng/ml. ¿Cuál es la concentración 4 horas después de que se administró la sustancia? ¿A qué razón está cambiando la concentración en el tiempo?

b. La cantidad de un medicamento, Q mg, que está presente el cuerpo t horas después de que se aplica una inyección del medicamento es

0.5( ) 100 tQ f t te−= =

Encuentre a f(1), f’(1), f(5), y f’(5). Indique las unidades e interprete las respuestas. c. Para cierta constante positiva C, la temperatura T, de un paciente cambia, debido a

una dosis, D, de un medicamento y está dada por 2

2 3C DT D⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

¿Qué dosis maximiza el cambio de la temperatura? La sensibilidad del cuerpo a la sustancia está definida como dT/dD. ¿Qué dosis maximiza la sensibilidad? d. Durante un brote de gripe en una escuela de 763 niños, el número de niños

infectados, I, se expreso en términos del número de niños susceptibles (pero aún saludables), S, por medio de la expresión6

192ln 763762SI S⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

¿Cuál es el número máximo posible de niños infectados?

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.

3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las


Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.


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Procedimiento


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LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 4: Modelación matemática de la concentración de medicamentos y de la

propagación de una enfermedad


Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.

Desarrolló Sí No No aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica




• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c • Resolvió el ejercicio d



4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que

debe incluir las conclusiones de la misma



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Observaciones:



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2


Modelación matemática de reacciones químicas.


Al finalizar la práctica el alumno, modelará matemáticamente las reacciones químicas

Escenario Aula Duración 2h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel


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Procedimiento


1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de reacciones químicas de

acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. Una reacción química convierte a una sustancia A en una sustancia Y; la presencia

de Y cataliza a la reacción. Al inicio de la reacción, la cantidad de A que está presente es de a gramos. En el tiempo t segundos después, la cantidad de Y que está presente es de y gramos. La razón de la reacción, en gramos/segundo, está dada por

Tasa = ky(a – y), k es una constante positiva. ¿En qué valores de y la razón no es negativa? Dibuje una gráfica de la razón con respecto a y. ¿En qué valores de y la razón es un máximo?

b. En una reacción química, se combina la sustancia A con la sustancia B para formar la sustancia Y. Al inicio de la reacción la cantidad presente de A es de a gramos y la cantidad presente de B es de b gramos. Suponga que a < b. En el tiempo de t segundos después del inicio de la reacción, la cantidad presente de Y es de y gramos. Para ciertos tipos de reacción, la razón de la reacción, en gramos/segundo, está dada por

Tasa = k(a – y)(b – y), k es una constante positiva.

¿En qué valores de y la razón no es negativa? Dibuje una gráfica de la razón con respecto a y. Utilice su gráfica para determinar el valor de y al que la razón de la reacción es la más rápida.

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.

3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las



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Procedimiento Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado

para su posterior envió a reciclaje


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LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 5: Modelación matemática de reacciones químicas.


Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No

aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica




• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b



4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe

incluir las conclusiones de la misma


Observaciones:


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2


Modelación matemática de problemas de medicina.


Al finalizar la práctica el alumno modelará problemas de medicina usando derivadas.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Cartulina


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Procedimiento


1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de acuerdo a las instrucciones del

PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. El suministro de oxígeno, S, en la sangre depende del hematocrito, H, el porcentaje de glóbulos rojos en la sangre:

bHS aHe−= , para las constantes positivas, a, b.

¿Qué valor de H maximiza al suministro de oxígeno?, ¿Cuál es el suministro máximo de oxígeno?, ¿Cómo cambia el valor máximo de S si aumenta el valor de las constantes a y b? b. La presión sanguínea de una persona, p, en milímetros de mercurio (mm Hg) está

dada, durante t segundos, por

p = 100 +20 sen (2.5 πt)

¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la presión sanguínea?, ¿Cuál es el intervalo entre los máximos sucesivos?, Muestre sus respuestas en una gráfica de la presión sanguínea con respecto al tiempo.

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando

las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las


Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. Nota: Esta práctica se realizará las veces necesarias, hasta que el alumno alcance la competencia.


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Procedimiento


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LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 6: Modelación matemática de problemas de medicina


Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No

aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica




• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b



4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe

incluir las conclusiones de la misma


Observaciones:


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RESUMEN

La noción del límite es básica para el cálculo, se define: el límite de f(x) cuando x tiende a c como el número L,

y se denota cx→lim

f(x) = L, si f(x) está arbitrariamente cerca de L para toda x suficientemente cercana a c, pero sin ser igual a c.

El límite de la rapidez de cambio promedio de cambio de una función cuando se considera h cada vez más pequeño, es la rapidez de cambio instantánea, y geométricamente es la pendiente de la tangente a la curva en un punto, se le conoce también como pendiente de la curva en dicho punto:

0lim→h

hf(a)- )hf(a +

Muchas funciones tienen la propiedad geométrica de que su gráfica no se interrumpe, es una línea continua, es decir, no existe ninguna interrupción o abertura en el trazado de su gráfica, para definir matemáticamente continuidad se utiliza el concepto de límite. Se dice que una función f es continua en un número c si:

i) f(c) está definida

ii) cx→lim

f(x) existe

iii) cx→lim

f(x) = f(c) A la derivada de f en a, se le define también como la rapidez instantánea de cambio de f en el punto a, y se le denota por f’(a) Si y = f(x) entonces la derivada de la función en el punto x es:

f’(x) = dxdy

= 0→xΔlim =

xy

ΔΔ

= 0→xΔlim

xΔΔ f(x) - )f(x x+

Para cualquier función f, se define la función derivada , f’ por:

f’(a) = 0→hlim h

h f(a) - )f(a +

Siempre que exista el límite Existen reglas que permiten derivar una función mediante procedimientos eficientes, menos laboriosos que los anteriores, y de una manera mecánica. Estas reglas también evitan el uso directo de los límites.

MANEJO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL PARA LA … · Diferencial, para la solución de problemas. 30 h 3....

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