Propiedad conmutativa de la suma Ejemplo: (2 + 5) = 7. (5 + 2) = 7. Como ambos enunciados son e Propiedad conmutativa de la multiplicación Ejemplo: (2)(5) =10. (5)(2) = 10. Como ambos

enunciados son equivalentes a 10, escribimos (2)(5) = (5)(2). Propiedad conmutativa de la multiplicación Sean a y b números reales entonces ab = ba. (si cambias el orden de dos

multiplicandos, el producto no cambia.) Nota: • ¿Son la resta y la división conmutativas? • Ejemplo Determine: a. 5 – 4 b. 4 – 5 Como los valores son diferentes, las expresiones no son

equivalentes, por lo tanto la resta NO es conmutativa. = 1 = –1 Nota: • Ejemplo Determine: a. 12 ÷ 4 b. 4 ÷ 12 Como los valores son diferentes, las expresiones NO son equivalentes, por lo tanto la división no es conmutativa. = 3 = 4 12 ó 1 3 Asociativa Ejemplo: Par a determinar el

total de 2 + 3 + 4 sin utilizar la propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: • Sumando primero el 3 y el 4 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 • Sumando primero el 2 y el 3 (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

Como ambos enunciados son equivalentes a 9 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 Propiedad asociativa de la suma •Sean a, b y c números reales entonces a + (b + c) = (a + b) + c. • Como a + (b + c) es equivalente a (a + b) + c puedes intercambiar las expresiones. Asociativa Ejemplo: Par a determinar el producto de 2(3)(4) sin utilizar la propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: • Multiplicando primero el

3 y el 4 2 [(3)(4)] = 2(12) = 24 • Multiplicando primero el 2 y el 3 [(2)(3)]4 = 6(4) = 24 Como ambos enunciados son equivalentes a 24 podemos decir que los enunciados son equivalentes

y escribimos 2 [(3)(4)] = [(2)(3)]4 Propiedad asociativa de la multiplicación •Sean a, b y c números reales entonces a(bc) = (ab)c. • Como a(bc) es equivalente a (ab)c, puedes

intercambiar las expresiones. Distributiva • Ejemplo: Determine el valor de las expresiones: a. 5 ( 2 + 3) Recuerde que los paréntesis agrupan e indican lo que se quiere hacer primero. 5 ( 2 +

3) = 5 (5) = 25 b. 5 (2) + 5 (3) 5 (2) + 5 (3) = 10 + 15 = 25 Como ambos enunciados son equivalentes a 25 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos, 5(2+ 3)=

5(2)+5(3) Propiedad distributiva En general, para a, b y c números reales, a(b + c)= a(b)+ a(c) ( b + c) a = (b)a + (c)a = a(b) + a(c) Identidad aditiva •Sea a un número real entonces a + 0 = 0 + a =

a. • Decimos que cero es la identidad aditiva o la identidad de suma porque cuando se suma no “ocurre nada”. • Es decir, el número real al cual se le suma cero, no cambia, no se altera.

Identidad multiplicativa •Sea a un número real entonces a(1) = (1)a = a • Decimos que uno es la identidad multiplicativa o la identidad de multiplicación porque cuando se multiplica no

“ocurre nada”. • Es decir, el número real que se multiplica por uno, no cambia, no se altera.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

La siguiente tabla resume las propiedades de los números reales:

 

Elemento identidad Suma: a + 0 = 0 + a = a Producto: a . 1 = 1 . a = a

Elemento inverso Suma: a + (–a) = –a + a = 0 Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a0

Ley Asociativa Suma: a + (b + c) = (a + b) + c Producto: a . (b . c) = (a . b) . c

Ley Conmutativa Suma: a + b = b + a Producto: a . b = b . a

Ley Distributiva Producto sobre la suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac

 

EJEMPLOS:

 Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.

A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.

B) (x + y)  z = xz + yz.  Respuesta: ley distributiva.

C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.

 

EJERCICIOS: Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.

1) 4 + 7 = 7 + 4

2) (8)(1) = 8

3) 5(7 + (-3)) = 5(7) + 5(–3)

4) (–9)(–1/9) = 1

5) –5 + 0 = –5

6) 3 (4x) = (3 4)x