MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN,

POSICIÓN Y DISPERSIÓN

Matemáticas – PAI 5 (4ºESO)

Ejercicio 2 Actividad de aula 3 – Medidas

estadísticas

EJERCICIO 2

Recupera la tabla de frecuencias que realizaste en el ejercicio 2 de la actividad de aula 2 (actividad sobre las

canciones de Los Beatles) y calcula e interpreta todas las medidas estadísticas.

Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420

24 1,00 3740

MEDIDAS DE

CENTRALIZACIÓN

MEDIA: 𝑿 = 𝟑𝟕𝟒𝟎𝟐𝟒 = 𝟏𝟓𝟔𝒔

Interpretación:

Por término medio, las canciones

de los Beatles estudiadas duran

156 segundos.

EJERCICIO 2

Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420

24 1,00 3740

MEDIDAS DE

CENTRALIZACIÓN

MODA: La moda es el valor que más

se repite, por lo tanto el valor que

tenga mayor fi. Vamos a la tabla y

buscamos la mayor fi. El intervalo

correspondiente será la moda

buscada – Moda=[120-140)

Interpretación:

De las canciones estudiadas, la

duración más popular o más

frecuente es 130s

MAYOR fiMODA

EJERCICIO 2

Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420

24 1,00 3740

MEDIDAS DE

CENTRALIZACIÓN

MEDIANA: Es el valor central, es decir, si ordenamos

todas las respuestas obtenidas, la que nos quede en el

medio será la mediana. En este caso, tenemos

24canciones, por tanto 24/2=12canciones. Es decir, la

mediana estará entre la posición 12 y la 13 => vamos

a la columna de Fi y buscamos el valor

inmediatamente superior a 12.

Interpretación:

Significa que la mitad

de las canciones dura

menos de 150s y la otra

mitad dura más de 150s

Fi inmediatamente superior a 12

Mediana

EJERCICIO 2

Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108

24 1,00 3740 575

MEDIDAS DE

DISPERSIÓN

Rango o recorrido: R=máx-min= 210-130=80s

Interpretación:

Nos da una idea de la dispersión: a mayor

rango, más dispersos están los datos. En

este caso, el rango no es demasiado altoDesviación media: 𝟓𝟕𝟓

𝟐𝟒 = 𝟐𝟒𝒔

Interpretación: Indica que, por término medio, las

canciones se desvían 24s de la media

EJERCICIO 2

Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿 fi 𝒙𝒊 − 𝑿 2 xi2fi

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258 6674 169000

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29 170 112500

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43 602 86700

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137 4669 144400

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108 5868 88200

24 1,00 3740 575 17983 600800

MEDIDAS DE

DISPERSIÓN

Varianza:

a) σ2=17983/24 = 749

b) σ2=600800/24 – 1562= 749

Desviación típica: σ = 𝟕𝟒𝟗 = 𝟐𝟕𝒔

Interpretación: La desviación típica nos indica si los

datos están muy dispersos o no. Si la desviación típica

es muy grande en comparación con la media significa

que los datos están muy dispersos, sino significa que

los datos están bastante agrupados en torno a la

media.

EJERCICIO 2

Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿 fi 𝒙𝒊 − 𝑿 2 xi2fi

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258 6674 169000

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29 170 112500

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43 602 86700

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137 4669 144400

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108 5868 88200

24 1,00 3740 575 17983 600800

MEDIDAS DE

DISPERSIÓN

Coeficiente de variación:

CV= σ/ 𝑋 = 27/156 = 0,17 (17%)

Interpretación: Realmente es el más fácilmente

interpretable, pues para saber si σ es muy grande o

muy pequeño va a depender de la magnitud de la

variable con la que estemos trabajando. Sin embargo,

como CV se expresa en forma porcentual, la magnitud

de las variables no es relevante. Si CV<20% significa

que los datos no están muy dispersos, por lo que la

media es representativa del conjunto de datos.

Nos permite comparar la

dispersión de dos conjuntos

de datos diferentes

EJERCICIO 2

Intervalo xi fi Fi hi Hi

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00

24 1,00

MEDIDAS DE

POSICIÓN

CUARTILES:

a) Primer cuartil: Posición=24/4= 6

Q1 se encuentra entre sexta y séptima posición => buscamos F1 inmediatamente superior a 6

=> Q1=130

b) Q2=Me= 150

c) Tercer cuartil: Posición=24· 3/4= 18

Q3 se encuentra entre 18ºy 19ºposición => buscamos F1 inmediatamente superior a 18=>

Q3=190

Interpretación: El 25% de las

canciones duran menos de 130s

(o el 75% de las canciones duran

más de 130s).

El 50% de las canciones duran

menos de 150s.

El 75% de las canciones duran

menos de 190s.

EJERCICIO 2

Intervalo xi fi Fi hi Hi

[120-140) 130 10 10 0,42 0,42

[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63

[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75

[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92

[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00

24 1,00

MEDIDAS DE

POSICIÓN

PERCENTILES:

a) P10: Posición=24 · 10100= 4,8

P10 es el dato que se encuentra en 5ª posición=> buscamos Fi≥ 5=> P10=130

b) P85: Posición=24 · 85100= 20,4

P85 es el dato que se encuentra en 21ª posición=> buscamos Fi≥ 21=> P85=190

Interpretación: El 10% de las

canciones duran menos de 130s

(o el 90% de las canciones duran

más de 130s).

El 85% de las canciones duran

menos de 190s.

¿A qué percentiles equivaldría cada uno de los cuartiles?

¿Se podrían calcular los percentiles empleando las frecuencias relativas acumuladas en lugar de Fi?

Ejercicio 3 Problema 52– pág. 227

EJERCICIO 3

Mujeres fi Fi hi Hi xi·fi xi2·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿

900 2 2 0,133 0,133 1800 1620000 466,67

1000 2 4 0,133 0,267 2000 2000000 266,67

1100 4 8 0,267 0,533 4400 4840000 133,33

1200 4 12 0,267 0,800 4800 5760000 266,67

1300 2 14 0,133 0,933 2600 3380000 333,33

1400 1 15 0,067 1,000 1400 1960000 266,67

15 1,000 17000 19560000 1733,33

Media 𝑋 =17000

15= 1133,33€ Varianza σ2= 19555,56

Mediana Posición=15/2=7,5 => Fi=8=> Me=1100€ Desv media DM=1733,33/15= 115,56€

Desv. típica σ= 19560000

15− 1133.33 = 139,84€ CV CV=139,84/1133.33 = 0,12

a) y b)

EJERCICIO 3

Hombres fi Fi hi Hi xi·fi xi2·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿

900 1 1 0,067 0,067 900 810000 513,33

1200 2 3 0,133 0,200 2400 2880000 426,67

1300 4 7 0,267 0,467 5200 6760000 453,33

1400 2 9 0,133 0,600 2800 3920000 26,67

1500 2 11 0,133 0,733 3000 4500000 173,33

1600 1 12 0,067 0,800 1600 2560000 186,67

1700 2 14 0,133 0,933 3400 5780000 573,33

1900 1 15 0,067 1,000 1900 3610000 486,67

15 1,000 21200 30820000 2840,00

Media 𝑋 =21200

15= 1413,33€

MedianaPosición=15/2=7,5 => Fi=8=>

Me=1400€

Desv. típicaσ=

30820000

15− 1413.33 = 239,07€

Varianza σ2=19555,56

Desv media DM= 2840/15=189,33 €Rango R= 1900 – 900= 1000€

CV CV=239,07/1413.33=0,17

a) y b)

EJERCICIO 3

c) Para comparar dos conjuntos de datos tenemos que comparar sus CV. En el caso de los hombres el CV

es 17% mientras que CV de mujeres es 12%. Esto significa que los datos en la distribución de hombres

están más dispersos que en el caso de las mujeres, donde están más concentrados. Aunque en ambos

casos es aceptable emplear la media como representante de los datos.

Personas fi Fi hi Hi xi·fi xi2·fi fi 𝐱𝐢 − 𝐗

900 3 3 0,100 0,100 69 62100 856,90

1000 2 5 0,067 0,167 2000 2000000 371,27

1100 4 9 0,133 0,300 4400 4840000 342,53

1200 6 15 0,200 0,500 7200 8640000 86,20

1300 6 21 0,200 0,700 7800 10140000 686,20

1400 3 24 0,100 0,800 4200 5880000 643,10

1500 2 26 0,067 0,867 3000 4500000 628,73

1600 1 27 0,033 0,900 1600 2560000 414,37

1700 2 29 0,067 0,967 3400 5780000 1028,73

1900 1 30 0,033 1,000 1900 3610000 714,37

30 1,000 35569 48012100 5772,40

Media 1185,63

Mediana 1300,00

Desv típica 441,22

Varianza 194676,93

Desv media 384,83

CV 0,37

d)