Microsoft Power Point Funciones Racionales 2005

5/11/2018 Microsoft Power Point Funciones Racionales 2005 - slidepdf.com

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NRivera? 2005

(En(En(En(En precprecprecprecá áá álculolculolculolculo))))



NRivera 2005 2

Objetivos: Al finalizar este módulo, (y

completada la asignación), se esperaque el estudiante pueda:

1. Identificar funciones racionales.

2. Hallar el dominio de funciones racionales.3. Hallar las ecuaciones de las asíntotas

verticales, horizontales u oblicuas.

4. Trazar la gráfica, usando los interceptos en losejes, las asíntotas, simetría, el signo de lafunción en los intervalos en que queda divididoel eje x por los ceros reales del numerador ydel denominador, los puntos de intersecciónentre la curva y la AH o la AO, y puntosadicionales, si fueran necesarios.



NRivera 2005 3

Definición: Una función racional f es

una función que puede expresarse en la

forma

donde y son polinomios. El dominio

de f es

{ }| ( ) 0 f D x Q x= ∈ℜ ≠El alcance depende de cada función.

( )( )

( )

x f x

Q x=

P Q



NRivera 2005 4

Ejemplos: ¿Es función racional?

( )2

xh x x

=−

3( ) 25

f x x

= + −

No, el numerador no es

un polinomio.

Sí, f se puede expresar como

2( 5) 3( )

52 7

( )5

x f x

x x

f x x

− +=

−

−=

−

1.2.

Cociente de

dos

polinomios



NRivera 2005 5

Funciones racionales simples:

1( ) f x x

=

1.

Dominio: {0}ℜ −

.110

11

yx

610

∞ 0

Note que si x crece,

Se dice que y = 0

es asíntota horizontal

de la gráfica de f.

.000001

0 y →

Veamos el

comportamiento

de la funcióncuando x → ∞

No hay intercepto en el eje y,

(0 no está en el dominio de f),

ni en el eje x, porque 1/x

siempre es diferente de 0

1000 .001

100 .01



NRivera 2005 6

1( ) f x

x

=

100.01

10.111

yx

∞0

Note que si 0 x +→

entonces, y → ∞

Se dice que la recta x = 0 es

asíntota vertical de la gráfica de f.

Además, f es función impar,

porque f(-x) = - f(x)

(Demuéstrelo.)Por tanto, la gráfica de f es

simétrica respecto al origen.

Veamos la gráfica.

Veamos el comportamiento de

la función cuando x se aproxima a 0 por la derecha. ( 0 ) x +→

.001 1000

.000001 1000000



NRivera 2005 7

: {0} Alcance ℜ −

1( ) f x =



NRivera 2005 8

1( )

n

f x x

=La gráfica de

para n entero impar positivo,

es similar a la de 1 y

x=

3

1 y

x=

1 y x

=

Ejemplo:



NRivera 2005 10

2.

2

1( ) f x

x= Dominio: {0}ℜ −

Además, f es función par, porque f(-x) = f(x).

2

1( ) f x

x=

El alcance es:

(0, )∞

2

1( )

( ) f x

x− =

−

2

1

( )

x

f x

=

=

Razón:

No hay intercepto en el eje x,

ni en el eje y.

AH: y = 0

AV:

x = 0



NRivera 2005 11

En general, si n es entero par

positivo, la gráfica dees:

1( ) ,n f x x=

x = 0

y = 0

Note que si , x → ∞entonces, 0. y →

También, si 0 , x +→

entonces, .→ ∞AH: y = 0.

AV: x = 0

Además, f es función par,

∴ La gráfica es simétrica

respecto al eje y.



NRivera 2005 12

Use transformaciones para

trazar la gráfica de cada función:

2

3

2

( ) ( 3 )

4( ) 1

( 2 )

f x x

g x

x

−=

−

= +

+

1.

2.

3. 4

2

( ) 5( 1)h x x= −+



NRivera 2005 13

2

2

( ) ( 3) f x x

−=

−: {3} Dom ℜ −

: ( , 0) Alc −∞29

: (0, ) y Int −



NRivera 2005 14

3

4( ) 1

( 2)

g x

x

= +

+

32

(0, )

: { 2} Dom ℜ − −

: {1} Alc ℜ −

A

3: : ( 2 4 , 0) x Int A − −



NRivera 2005 15

4

2( ) 5

( 1)h x

x= −

+: { 1} Dom ℜ − −

: ( 5, ) Alc − ∞

245

245

: ( 1 , 0)

: : ( 1 , 0) x

A

Int B

− −

− +

: (0, 3) y

Int −



NRivera 2005 16

• Se estudiarán ahora otras funciones

racionales. – Asíntotas verticales

– Asíntotas horizontales u oblicuas, etc.

2( ) .

( )

A f x k

x h

= +

−

Ya puede trazar la gráfica de

funciones de la forma



NRivera 2005 17

Ejercicios: Halle el dominio de

cada función racional.

Respuesta:

1 22 1( )

9 x f x

x x+=

− 1{0,9} f D = ℜ−

2 2

2( )

4

x f x

x−=− 2

{2, 2} f D = ℜ − −

3 2

2 4( )

4

x f x

x−=+ 3 f D = ℜ



NRivera 2005 18

Comportamiento de una función racional

cerca de un cero real del denominador

Sea

Si c es un número real, y

entonces la rectaes asíntota vertical de la gráfica de f. (Los

valores de f(x) tienden a o

cuando x se aproxima a c.)

( )( )

( )

x f x

Q x=

( ) 0 P c ≠

( ) 0Q c =

x c=

∞ − ∞

( f(x) debe estar en la forma más simple para hallar la AV)

,



NRivera 2005 19

La gráfica de f, cerca de una asíntota

vertical, puede parecerse a una de éstas:

x = c c

x = c x = c

x = c



NRivera 2005 20

Ejemplo: Halle las ecuaciones de

las asíntotas verticales (AV):

2( )( 2)( 3)

x f x x x= − +

Note que f está en su forma más simple, yque el denominador es cero

cuando x = 2 y cuando x = - 3, (números reales.)

Las ecuaciones de las AV son : x = 2, x = - 3

1.

(La gráfica de f es un ejercicio próximo)



NRivera 2005 21

Ejemplo: Halle las ecuaciones de

las asíntotas verticales (AV):

2 x ≠ −

2 2( )4

x f x x

−= −

2.

Note que ambos numerador y denominador son cero si x = 2. Simplifica:

2

( ) ( 2)( 2)

x

f x x x

−=

− +

2, x ≠ 2 x ≠ −

1( )

2 f x

x=

+2, x ≠

Hay una AV, es x = - 2



NRivera 2005 22

Comentario:

• La gráfica de

es la gráfica de

sin el punto donde x = 2, (2, ¼ )

2

2( )

4

x f x

x

−=

−1

1( )

2

f x

x

=

+

Note que {2, 2} f D = ℜ − −mientras que

1{ 2} f D = ℜ − −



NRivera 2005 23

2

2( )

4

x f x

x

−=

−

Gráfica de

14(2, )

1( ) ,2

f x x

=+

Note que

2 2 si x y x≠ ≠ −

y = 0



NRivera 2005 24

Ejemplo 3: Halle las ecuaciones

de las asíntotas verticales (AV),si:

2

2( )

( 2) ( 1)

x g x

x x

−=

− +

Solución: Debe simplificar primero:

( 2)( )( 2)( 2)( 1)

x g x x x x

−=− − +

1

( ) ( 2)( 1) g x x x= − +

Ahora, halle lasecuaciones de las

AV:

x = 2x = -1

Veamos la gráfica:



NRivera 2005 25

2

2( )

( 2) ( 1)

x g x

x x

−=

− +

(El análisis de esta función es un ejercicio

próximo)

1( )

( 2)( 1)

g x

x x

=

− +



NRivera 2005 26

Comportamiento de la gráfica de

una función racional cuando | | x → ∞Si los valores de f(x) se aproximan a un número real L

cuando o cuando ,la recta y = L es asíntota horizontal (AH)

de la gráfica de f. La gráfica puede parecerse en los

extremos a una de las siguientes:

→ ∞ → −∞



NRivera 2005 27

Comportamiento de la gráfica de

una función racional cuando

• Es posible que la gráfica de la función

racional se aproxime a la recta (con a 0)

y = ax + b, (asíntota oblicua) cuando

| | x → ∞

| | x → ∞

La gráfica puede parecerse en los extremos a una

de las siguientes, si a > 0:

≠



NRivera 2005 28

Observaciones:• La gráfica de una función racional puede

tener a lo más una asíntota horizontal ouna asíntota oblicua, aunque podría tener

más de una asíntota vertical.

• Es posible que la gráfica de una función

racional interseque su asíntota horizontal

u oblicua, pero no puede intersecar asíntotas verticales.



NRivera 2005 29

¿Puede ésta ser la gráfica deuna función racional?



NRivera 2005 30

¿Puede ser ésta la gráfica

de una función racional?



NRivera 2005 31

Para hallar las asíntotas

horizontales(AH) u oblicuas(AO):• Si es una fracción propia, entonces y = 0

(el eje x) es la ecuación de la AH. (Explicar.)

• Si no es fracción propia, al dividir

se obtiene

( )

( )

x

Q x

( )

( )

x

Q x( ) ( ) x Q x÷ ( )( )

( )

P x f xQ x

=

Si H(x) = c, c constante, entonces, y = c es la AH. Si H(x) = ax+b, ,

y el , entonces y = ax + b es la AO. (Explicar.)Re 0 siduo ≠0a ≠

(donde H(x) es un polinomio). ( ) ( ) H x Q x= + Residuo



NRivera 2005 32

Ejercicios

• Halle las asíntotas horizontales u

oblicuas en cada caso:

1

4 1( )

8 6

x f x

x

+=

−

Note que f 1 no es una fracción

propia (cuando el grado del numerador es

mayor o igual al grado del denominador

la fracción no es propia.)

Al dividir, se obtiene4 1 1 2

8 6 2 8 6

x

x x

+ −= +

+ +Por lo que 1

2 y = es la asíntota horizontal.



NRivera 2005 33

Observación:Una forma más rápida para hallar la asíntota

horizontal (AH), si la tiene, es comparar losgrados del numerador y del denominador.

• Si grado num. = grado den. ,

entonces

es la AH. (Explicar.)

• Si grado num. < grado den. ,entonces es la AH, (el eje x). (Explicar)

• Si grado num. > grado den., NO hay AH. (Explicar.)

..

coef líder del num ycoef líder del den

=

0 y =



NRivera 2005 34

Por ejemplo, sea 4 1( )8 6

x f x x

+= −

Como el grado del numerador es igual al grado del

denominador, la gráfica tiene una asíntota horizontal:

4

8

y =

1

2 y =

ó

4 es el coeficiente líder

del numerador, 8 es el

coef. líder del den.

AH



NRivera 2005 35

Ejercicio: Halle las asíntotas horizontales

u oblicuas en cada caso:

1 4

3

2

2

3

3

( ) 2 5

2( ) 3

2 2 3( )1

x

f x x

x f x x

x x f x x

+=

++

= +

+ −= −



NRivera 2005 36

Respuestas

1 4

3( )

2 5

x f x

x

+=

+

:Como grad num < grado den,

el eje x, (y = 0), es la AH.

3

2

2( )

3

x f x

x

+=

+

:Como grado num > grado den,

NO hay AH. Tampoco oblicua,

¿por qué?

2

3

2 2 3( )

1

x x f x

x

+ −=

−

:Como grado num > grado den,

NO hay AH.Al dividir, se obtiene:

3

1( ) 2 4

1 f x x

x= + +

−Ecuación de la AO:

y = 2x + 4∴

( Al dividir, el cociente es un polinomio cuadrático)

Pol. lineal



NRivera 2005 37

Gráfica de funciones racionales

Para trazar la gráfica aproximada (un boceto)

de una función racional se tendrán en cuenta:a) su dominio,

b) las AH, AV, o AO, si las hay

c) simetríad) interceptos en los ejes, si los hay

e) puntos de intersección entre la curva y la

asíntota horizontal, o la AOf) signo de la función en los intervalos

determinados por los ceros del num y del den.



NRivera 2005 38

Ejercicios:

• Para cada función,

1. Halle su dominio2. Halle las ecuaciones de las AV, AH o las

AO.

3. Determine si la curva es simétrica respectoal eje y; al origen

4. Halle los interceptos en los ejes decoordenadas, y los puntos de intersecciónde la curva y su asíntota horizontal uoblicua, si la tiene.

Continúa..



NRivera 2005 39

Ejercicios:

5. Trace cada asíntota (entrecortada, si no

es un eje de coordenadas)6. Halle el signo de la función en los

intervalos en que los ceros reales del

num. y del den. dividen el eje x

7. Localice los puntos encontrados.

8. Trace la curva.



NRivera 2005 40

Ejercicios…

1

2 2

2

3

1( )

22

( ) ( 2) ( 1)

2 2 3( ) 1

x f x

x x

f x x x

x x f x x

+=

−−

=− +

+ −= −

4 2

5 2

6 2

1( )

44

( )1

4

( ) 1

f x

x x

f x x

f x

=

−=

+

= +

2x 2 2 8x x+ +



NRivera 2005 41

7 2

2( )

4

x f x

x

−=

−2

8

9 2

9( )

33

( )1

x f x

x x

f x x

−=

−

=−

2

10

2

11 2

1( )

( )6

x f x

x

x f x

x x

+=

=+ −

1 2

3

1 3 2

1 4 2

2

1 5 2

3

1 6 2 2

2 8( )

24

( )

23

( ) 2 14

( 3 ) ( 1)( )

4

( 2 ) ( 1)( )

( 3 ) ( 1)

x x f x

x x x

f x

x f x x

x

x x f x

x

x x f x

x x

+ +=

++

=+

= − +−

+ +=

−

− +=+ −



NRivera 2005 42

Ejercicios..

17

2( )

( 2)( 3)

x f x

x x

=− +2

18 2

4 1( )

1

x f x

x

−=

+2

19

( 2 8)( 2)( )

( 2)

x x x f x

x

+ − −=

−2

20 2

( 2) ( 1)( )

( 2)( 1)

x x f x

x x

− +=

+ −

2

21 2

2( 9)( )

3

x f x

x

−=

+

22

( 1)( )

( 2)( 3)

x x f x

x x

−=

+ −

24

( 2)( 3)( )

( 2)( 3)

x x f x

x x

+ −=

− +

25

( 2)( )

( 1)( 4)

x x f x

x x+=

− +



NRivera 2005 43

Respuestas

( )f+



NRivera 2005 44

1( )

2

f x

x

=

−

1

2

:( 1,0)

:(0, )

x

y

Int

Int

−

−

AH:

AV:

Signos de f:

-1 2

0+ - +

1: {2} f Dom ℜ−

: {1} Alcance ℜ −

2x−



NRivera 2005 45

2 2

2( )

( 2) ( 1)

x f x

x x

−=

− +1

( 2)( 1) x x

=

− +

No hay int. en el eje x.

El int. en el eje y es

1

2(0, )−Signos de f:

-1 2

+ - +

AH: y = 0

2: { 1,2} f Dom ℜ− −

: {0} Alc ℜ −

22 2 3x x+ − 2 28 − +



NRivera 2005 46

3

2 2 3( )

1

x x f x

x

+ =

−

2 28: ,0 (.8,0) :

4

2 28, 0 ( 1.8, 0) :

4

x Int

B

+≈

− −

≈ −

:(0,3) y Int

B A

B A 1

0 0- + -+

Signos de la función:

3: {1} f Dom ℜ−

AO:

AV

No hay int. entre

la AO y la curva.

1 : { 2 2}Dom ℜ− −



NRivera 2005 47

4 2

1( )

4

f x

x

=

−

1

4

: .

: (0, )

x

y

Int No tiene

Int − y

+ - +

-2 2


4: { 2,2} f Dom ℜ− −

Curva simétrica

respecto al eje y

(función par).

: {0} Alc ℜ −

4x



NRivera 2005 48

:

: (0,0).

x

Dom

Int Función impar

ℜ

5 2

4( )

1

x f x

x

=

+

(Curva serpentina)

0

- 0 +


4



NRivera 2005 49

6 2

4( )

1:

: (0, 4) y

f x

x Dom

Int

=

+ℜ

: (0,4] AlcanceFunción par.

Note que f tiene

sólo valores positivos.

2( )

xf

− 1



NRivera 2005 50

7 2( )

4

f x

x

=

−

14

(2, )AV:

x = -2

AH: y = 0

y

. xo hay Int

14

: { 2, 2}

: {0, }

Dom

Alc

ℜ − −

ℜ −

7

1( ) , 2, 2

2

f x x x

x

= ≠ − ≠

+

12

: (0, ) y Int

-2 2

- + +

Signos de f:

2 9x − ( ) 3 3f x x x+ ≠



NRivera 2005 51

8

9( )

3

x f x

x

=

−

(3, 6)

8 ( ) 3, 3 f x x x= + ≠

y

: {3}

: {6}

Dom

Alc

ℜ −

ℜ −

3( )

xf x =



NRivera 2005 52

9 2( )

1

f x

x

=−

9: { 1,1} f Dom ℜ − −

: Alcance ℜ

: (0, 0) x Int

Función impar.

-1 0 1

- + 0 - +

Signos de f:

2 1( )

xf

+{0}D ℜ



NRivera 2005 53

10 ( ) f x

x

=

Función impar.

: {0} Dom ℜ −

No hay puntos de int.entre la AO y la curva.

0

- +


No hay puntos de int.

entre la curva y los ejes

de coodenadas.

2

( ) x

f x2x



NRivera 2005 54

11 2( )

6

f x

x x

=

+ −11( )

( 3)( 2)

x f x

x x

=

+ −: { 3, 2} Dom ℜ − −

Punto de int. entre

AH y curva: (6, 1)

Vea el detalle

de la gráfica de f,

para

3 40 x≤ ≤en la próxima

pantalla.

+ - 0 - +

-3 0


2



NRivera 2005 55

2

11 2( )

63 40

x f x

x x x

=

+ −≤ ≤

2 2 8( )

x xx

+ +=

8( )f x x= +



NRivera 2005 56

12 ( )

2

x

x

=

+: { 2} Dom ℜ − −

. x No hay Int : (0, 4 ) y Int

No hay int. entre

la curva y la AO.

-2

- +


12 ( )

2

f x x

x

= ++

34 +



NRivera 2005 57

3

13 2

4( ) 2

x x f x x

+

= +

132

7( ) 4

2

x f x x

x

= −

+:

:

Dom

Alc

ℜ

ℜ

Punto de int.

entre la curva

y la AO: (0,0)

0

- 0 +Signos de la función:

53

−

53

(1, )

53

( 1, )− −

Función impar.

14 2

3( ) 2 1 f x x= + +



NRivera 2005 58

14 2( )

4f

x −

: Dom ℜ: Alc ℜ

1

4: (0, )

y Int

C

: xn t (A,0), (B,0), (C,0)

. 1 2

1 . 8

2 . 2

A

BC

≈ −

≈≈ −

¿Cómo puede aproximar

los interceptos en el eje x?

2( 3) ( 1)( )

x xf x

+ += : { 2 2}Dom ℜ



NRivera 2005 59

15 2( )

( 4)

f x

x

=

−

: { 2,2} Dom ℜ− −: Alc ℜ

-3 -2 -1 2

- 0 - + 0 - +

Signos de f:

94

: (0, ) y Int −

: ( 3,0), ( 1,0) x Int − −Int. entre la AO y la

curva:, aproximadamente:

(-1.95, 5.05)

17

2( )

xf x =



NRivera 2005 60

17 ( )

( 2)( 3)

f x

x x− +

: {2, 3} Dom ℜ − −: Alc ℜ

: (0,0) x Int

y

-3 0 2

- + 0 - +

Signos de f:

24 1( )

xf x

−=



NRivera 2005 61

: Dom ℜ

: [ 1,4) Alc −(0,-1)

Función par.

12

( , 0)−

12

( , 0 )

18 2( )

1

f x

x

=

+

2( 2 8)( 2)( )

x x xf x

+ − −=



NRivera 2005 62

19 ( )

( 2)

f x

x

=

−

: {2}

: [ 9, )

Dom

Alc

ℜ −

− ∞

(2, 0)

(-1, -9)



NRivera 2005 63

(-1,0)(2, 0)

-2 -1 1 2

+ - 0 + + 0 +

Signos de f:

2

20 2( 2) ( 1)( )( 2)( 1) x x f x x x

− +=+ −

: (0, 6) y Int −2

21 2

2( 9)( )

xf x

−=



NRivera 2005 64

: Dom ℜ

: [ 6, 2) Alc −

: ( 3,0), (3,0) x Int −

Función par.

21 2( )

3

f x

x +

22

( 1)( )

( 2)( 3)

x x f x

x x

−=

+



NRivera 2005 65

( 2)( 3) x x+ −

Ver detalle en lapróxima pantalla,

para 12

2. x− ≤ ≤

: { 2, 3} Dom ℜ − −: (0, 0), (1, 0) x Int

-2 0 1 3

+ - 0 + 0 - +

Signos de f:

22

( 1)( )

( 2)( 3)

x x f x

x x

−=

+



NRivera 2005 66

12

2 x− ≤ ≤

( 2)( 3) x x+ −

2 ( 2)( )

x xf x

+= : ( 2,0), (0,0)x Int −



NRivera 2005 67

23 2

( )1

f x x

=

+

1

2( , 2 )

: Dom ℜ

-2 0

+ 0 - 0 +Signos de f:

( ) ( ) x

24

( 2)( 3)( )

x x f x

+ −=

+



NRivera 2005 68

( 2)( 3) x x− +

-3 -2 2 3

+ - 0 + - 0 +

Signos de f:

: ( 2,0), (3,0) x Int −

: (0,1) y Int

25

( 2)( )

x x f x

+=

+



NRivera 2005 69

( 1)( 4) x x− +

.5 30 x≤ ≤

-4 -2 0 1

+ - 0 + 0 - +

Signos de f:

: ( 2,0), (0,0) x Int −



NRivera 2005 70

(4,1)

25

( 2)

( ) ( 1)( 4)

x x

f x x x

+

= − +

.5 30 x≤ ≤



NRivera 2005 71

Asignación:• Ejercicios del prontuario.

¡Estudie!

Microsoft Power Point Funciones Racionales 2005

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