Modulo Teórico Geométrico 2. · La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus...

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Modulo Teórico Geométrico 2. Contenido Elementos Geométricos. 1 Ángulos. 2 Superficies planas. Polígonos. 3 Triángulos. 4 Cuadriláteros. 5 Circunferencia. 6 Construcción de polígonos inscriptos. 7 Representación de sólidos. 8 Desarrollo de sólidos a partir de superficies planas. 9 1. Elementos Geométricos. Punto: El punto no tiene dimensiones, tan sólo es una posición. Se nombra con una letra mayúscula o con un número. Línea recta: Es una sucesión de puntos en la misma dirección. Se nombra con una letra minúscula. Posiciones relativas entre rectas: Dos rectas se cortan cuando tienen un punto en común. Dos rectas son paralelas cuando no se encuentran nunca. Se dice entonces que su punto en común está en el infinito.
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  • Modulo Terico Geomtrico 2. Contenido

    Elementos Geomtricos. 1 ngulos. 2

    Superficies planas. Polgonos. 3 Tringulos. 4

    Cuadrilteros. 5 Circunferencia. 6

    Construccin de polgonos inscriptos. 7 Representacin de slidos. 8

    Desarrollo de slidos a partir de superficies planas. 9

    1. Elementos Geomtricos.

    Punto: El punto no tiene dimensiones, tan slo es una posicin. Se nombra con una letra mayscula o con un nmero.

    Lnea recta: Es una sucesin de puntos en la misma direccin. Se nombra con una letra minscula.

    Posiciones relativas entre rectas: Dos rectas se cortan cuando tienen un punto en comn.

    Dos rectas son paralelas cuando no se encuentran nunca. Se dice entonces que su punto en comn est en el infinito.

  • Dos rectas se cruzan en el espacio cuando no tienen ningn punto en comn.

    Lnea curva: Es una sucesin de puntos no situados en la misma direccin. Se nombra con una letra minscula.

    Segmento: Es una porcin de recta limitada por dos puntos extremos: segmento AB.

    Plano: Es el conjunto de puntos generados por una recta al moverse segn una direccin determinada. Se nombra mediante una letra griega: plano .

  • Un plano queda definido por:

    . 1. Tres puntos no alineados. 2. Dos rectas que se cortan.

    . 3. Dos rectas paralelas. 3. Una recta y un punto exterior a ella.

    Mediatriz de un segmento: recta perpendicular al segmento en su punto medio. dado el segmento AB

    1. con centros en A y B y con radio mayor que la mitad del segmento. 2. trazamos los arcos 1 y 2 se cortan en los puntos M y N.

  • 3. uniendo los puntos M y N obtenemos la recta m mediatriz del segmento dado.

    2. ngulos

    El ngulo se define como la porcin de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Las semirrectas son los lados del ngulo y el punto origen de ambas es el vrtice del ngulo.

    Dos rectas que se cortan dan lugar a cuatro ngulos, opuestos por el vrtice, y adyacentes. Los opuestos tienen el mismo valor y los adyacentes son suplementarios y suman 180.

  • Dos ngulos son consecutivos cuando tienen un lado en comn. Y complementarios cuando suman 90.

    Dos rectas paralelas cortadas por una tercera dan lugar a 8 ngulos. Se llaman ngulos correspondientes los ngulos situados al mismo lado de la recta secante siendo uno de ellos interior y el otro exterior a las rectas paralelas. Los ngulos correspondientes tienen el mismo valor.

    Se llaman ngulos alternos internos o alternos externos los situados a distinto lado de la secante, siendo ambos interiores o exteriores respectivamente a las rectas paralelas. Tambin estos ngulos tienen el mismo valor.

    Bisectriz de un ngulo Es la recta que divide al ngulo en dos partes iguales. dado el ngulo aVb

    1. trazamos con centro en V un arco de radio cualquiera obteniendo los puntos de corte A y B.

  • 2. con centro en estos puntos dibujamos dos arcos del mismo radio, que al cortarse determinan el punto P.

    3. la recta definida por los puntos V y P es la bisectriz buscada.

    3. Superficies Planas. Polgonos.

    La palabra polgono deriva del griego antiguo (polgonos), a su vez formado por (pol) muchos y (gna) ngulo, aunque hoy en da los polgonos son usualmente entendidos por el nmero de sus lados. Es requisito geomtrico para un polgono que dos lados que se intersecan en un vrtice formen un ngulo no llano (distinto a 180), ya que de otra manera los segmentos se consideraran partes de un lado nico

    Lnea poligonal: conjunto de segmentos sucesivamente por sus extremos, no alineados, donde extremo de cada segmento es origen del siguiente.

    Lnea poligonal cerrada: s una sucesin de segmentos unidos por sus extremos que empieza y termina en el mismo punto y da origen al polgono.

  • Un polgono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una regin en el plano. El interior del polgono es llamado rea. El polgono es el caso bidimensional del politopo, figura geomtrica general definida para cualquier nmero de dimensiones. Y un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro.

    Elementos principales del polgono:

    lados: cada uno de los segmentos de la lnea poligonal.

    vrtices: puntos de interseccin entre cada dos segmentos o lados consecutivos.

    ngulos interiores: determinados por cada dos lados consecutivos.

    ngulos exteriores: definidos como los suplementarios de los interiores.

    diagonales: cada uno de los segmentos que une dos vrtices no consecutivos.

    Clasificacin Segn su forma

    Cncavo: al menos alguno de sus ngulos interiores mayor a 180. Al atravesarlo con una recta, se corta en ms de dos puntos.

    Convexo: sus ngulos interiores son todos menores de 180. Al atravesarlo con una recta, lo corta solo en de dos puntos.

    Polgono Regular: tiene todos sus lados y ngulos iguales.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Politopohttp://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro
  • Polgono Irregular: tiene lados y ngulos desiguales

    Clasificacin Segn el nmero de lados

    11 lados, Endecgonos; 12 lados, dodecgonos; 13 lados, tridecgonos, 14 lados tetradecgono etc.

  • 4. Tringulo. Es la reunin de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y no colineales. Cada punto dado pertenece a dos segmentos exactamente. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vrtices del tringulo y los segmentos de recta determinados entre puntos son los lados del tringulo. Dos lados contiguos forman uno de los ngulos interiores del tringulo. Un tringulo es una figura estrictamente convexa. La suma de sus ngulos internos siempre es igual a 180.

    Clasificacin segn sus lados segn sus ngulos

    Equiltero: todos sus lados son iguales y todos los ngulos internos son de 60.

    Acutngulo: todos sus ngulos son agudos.

    Issceles: tiene dos lados iguales y uno desigual.

    Rectngulo: uno de sus ngulos es recto.

    Escaleno: todos sus lados son desiguales.

    Obtusngulos: uno de sus ngulos es mayor de 90.

    5. Cuadriltero.

    Un cuadriltero es un polgono de cuatro lados. Los cuadrilteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vrtices y dos diagonales, y la suma de sus ngulos internos siempre da como resultado 360.

    Los componentes de un cuadriltero son:

    4 vrtices: puntos de interseccin de los lados que conforman el cuadriltero.

    4 lados: segmentos limitados por dos vrtices contiguos.

    2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vrtices no contiguos.

    4 ngulos interiores: conformados por dos lados y un vrtice comn.

    4 ngulos exteriores: prolongacin de los lados y el vrtice correspondiente.

    Paralelogramos: sus lados son paralelos de a pares.

    http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_exteriorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Prolongaci%C3%B3n&action=edit&redlink=1
  • Cuadrado

    Tiene sus 4 lados y sus 4 ngulos iguales

    Rectngulo

    Tiene sus lados iguales de a pares y sus 4 ngulos iguales

    Rombo

    Tiene sus 4 lados iguales y sus ngulos iguales de a pares

    Romboide

    Tiene sus lados y sus ngulos iguales de a pares

    Trapecios: tienen slo dos lados paralelos.

    Issceles

    Tiene sus lados no paralelos iguales

    Rectngulo

    Tiene un ngulo rectngulo

    Escaleno

    Tiene sus lados no paralelos desiguales

    Trapezoides: no tienen lados paralelos.

  • 6. Circunferencia.

    La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos estn a igual distancia del centro.

    Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto O llamado centro. A la superficie comprendida dentro de la circunferencia se le llama crculo.

    Los elementos de la circunferencia son:

    1. Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

    2. Radio: Es todo segmento r que tiene un extremo en el centro de la circunferencia y el otro sobre ella.

    3. Dimetro: Es el segmento d que une dos puntos de la circunferencia alineados con su centro.

    4. Cuerda: Es el segmento c que une dos puntos de la curva sin pasar por su centro.

  • 5. Flecha de una cuerda: Es el segmento f de radio, comprendido entre la circunferencia y la cuerda, siendo ste perpendicular a dicha cuerda.

    6. Secante: Es la recta s que corta a la circunferencia, en dos de sus puntos, J y P.

    7. Tangente: Es la recta t que tiene slo un punto comn con la circunferencia. Es perpendicular al radio en dicho punto.

    7. Construccin de Polgonos Inscriptos.

    Se llama polgono regular a un polgono cuyos lados y ngulos interiores son congruentes entre s, es decir, que son iguales. Pueden estar inscriptos en una circunferencia.

    Los polgonos regulares son polgonos equilteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida. Y tambin se los denomina equiangulares, puesto que todos sus ngulos interiores tienen la misma medida.

    Elementos de los polgonos regulares:

    1. Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polgono.

    2. Vrtice, V: el punto de unin de dos lados consecutivos.

    3. Centro, O: el punto central equidistante de todos los vrtices.

    4. Radio, r: el segmento que une el centro del polgono con uno de sus vrtices.

    5. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polgono.

    6. Diagonal, d: segmento que une dos vrtices no contiguos.

    7. Permetro, P: es la suma de sus lados.

    8. Sagita o Flecha de polgono, s: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerda.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_equil%C3%A1terohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lado_(Geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sagita_(geometr%C3%ADa)
  • Todo polgono regular tiene una circunferencia circunscrita que pasa por los vrtices del mismo.

    El radio de esta circunferencia es tambin el radio del polgono.

    Cuando los lados del polgono regular son tangentes a una circunferencia, se dice que la misma est inscrita en el polgono.

    El radio de esta circunferencia se llama apotema del polgono.

  • Podemos crear polgonos a partir de conocer el lado del polgono o bien a partir de la circunferencia donde estn inscritos.

    La base de este tipo de construccin es la divisin de la circunferencia en partes iguales.

    Una vez dividida slo hay que trazar cuerdas de la misma por sus puntos de divisin que sern los lados de los polgonos regulares.

    Construccin de Tringulo Equiltero.

    Inscripto en una Circunferencia.

    1. Dibujamos una circunferencia inicial de radio O. Marcamos sus ejes y definimos el segmento AB.

    2. Desde el punto B, con el mismo radio de la 1er circunferencia, trazamos un arco e que nos define los puntos C y D.

    3. Por ltimo unimos los tres puntos A, C y D para forman el tringulo equiltero.

    Tringulo equiltero dado el segmento AB.

    1. Trazar un segmento AB. Desde el punto A con radio en B trazamos un arco.

    2. Desde el punto B trazar un segundo arco que cruce el anterior donde obtendremos el punto C.

    3. Uniendo A y B con C se completa el Tringulo equiltero.

    Construccin del Cuadrado.

  • Inscripto en una Circunferencia.

    1. Sobre la circunferencia inicial (circunscrita) dibujamos los dos dimetros perpendiculares entre s, m y n.

    2. Los dimetros sobre la circunferencia definen los puntos A, B, C y D.

    3. Finalmente unimos los cuatro puntos A, B, C y D para obtener el cuadrado.

    4. Para dibujar el Cuadrado apoyado en una de sus caras solo deben dibujarse los dimetros de la circunferencia a 45 y continuar con los pasos siguientes.

    Construccin de Pentgono regular.

    1. Sobre la circunferencia inicial dibujamos los dos dimetros perpendiculares entre s, m y n.

    2. Hallamos en la mediatriz del radio CO, que nos define el punto medio E de dicho radio.

    3. Con centro en el punto E y radio EA, dibujamos un arco hasta que nos corte en el punto F al dimetro horizontal n.

  • 4. Con centro en A y radio AF, dibujamos otro arco que corte la circunferencia y se obtienen los puntos F. El segmento AF es el lado del polgono.

    5. Con el mismo arco AF, ahora apoyando en cada interseccin F, trazamos otros dos arcos F que corten la circunferencia. As obtenemos los 5 vrtices del pentgono.

    6. Finalmente dibujamos el pentgono uniendo todos los puntos A, F (dos) y F (dos).

    Otro mtodo para construir un pentgono regular consiste en:

    1. Dentro de una circunferencia inicial, con sus dimetros m y n, dibujamos una circunferencia de dimetro AO (el radio de la mayor).

    2. Desde el centro ao trazamos un segmento hasta B y donde corta la circunferencia menor obtenemos el punto e.

    3. Con centro en el punto B y radio Be, dibujamos un arco hasta que la circunferencia mayor y obtenemos los puntos F, que forman el segmento del lado del polgono.

  • 7. Tomamos FF como segmento de lado, ahora apoyando en cada interseccin F, trazamos otros dos arcos F que corten la circunferencia y un 5to arco para obtener el ltimo punto F. As obtenemos los 5 vrtices del pentgono.

    8. Finalmente dibujamos el pentgono uniendo todos los puntos F (dos), F (dos) y F.

    Construccin de Hexgono regular.

    1. En el hexgono el radio y el lado del polgono, son iguales. Por tanto llevamos sobre la circunferencia la medida del radio.

    2. Desde A trazamos un arco que nos define los puntos C y D.

    3. Desde B trazamos otro arco, simtrico del anterior, que nos define los puntos E y F.

    4. Finalmente unimos todos los vrtices hallados para obtener el hexgono.

    Heptgono, Octgono, Enegono y Decgono.

    No son los ms usados pero tiene sus propios mtodos de construccin circunscriptos a una circunferencia.

  • Heptgono Octgono

    Enegono Decgono

    Construccin de Polgonos de n lados,

    Cuando obtenemos el lado del polgono, y lo llevamos sucesivas veces a lo largo de la circunferencia.

    Se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia; con objeto de minimizar los errores de construccin, inherentes al instrumental o al procedimiento. Entonces partiendo de un vrtice se lleve la mitad de los lados en una direccin y la otra mitad en sentido contrario.

  • 8. Representacin de Solidos.

    Un cuerpo slido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.

    Se encuentran definidos o limitados por varias superficies bidimensionales, dando lugar as al origen de figuras tridimensionales.

    1. poliedros o cuerpos planos: formados por caras planas exclusivamente.

    Slidos platnicos Pirmides Prismas

    2. cuerpos redondos: tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva.

    Esferas Cilindros Conos Toroides

  • Poliedros Regulares

    Los Poliedros Regulares son poliedros convexos donde todas sus caras son polgonos regulares iguales entre s, todos sus ngulos son iguales y en cada uno de sus vrtices concurre el mismo nmero de caras. Se los conoce como Slidos Platnicos, por considerar a Platn el primero en estudiarlos. Slo existen cinco de ellos ya que es imposible construir otro slido que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

    Poliedros Irregulares.

    Son aquellos que tienen sus caras y ngulos desiguales. Los principales poliedros irregulares son:

    Prismas rectos: compuesto por dos caras iguales y paralelas llamadas bases, generalmente polgonos regulares o paralelogramos y las caras laterales que son todas paralelogramos.

    Prisma oblicuo: similar al prisma, y dependiendo de la base o hacia lado se inclina sus caras laterales son romboides.

  • Pirmide recta: Se construye con un polgono regular de base, sus caras laterales son tringulos issceles iguales y la altura cae al punto medio de la base.

    Pirmide inclinada: Igual a la anterior en su base, pero una de sus caras laterales no es un tringulo issceles y la altura no cae al punto medio de la base. Dependiendo donde se ubique la altura todas sus caras pueden ser desiguales.

  • Esfera.

    Cuerpo redondo, sin caras, formado por una sola superficie curva.

    Todos los puntos que forman la superficie esfrica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira.

    Al girar el semicrculo alrededor del dimetro AB, se genera una superficie esfrica donde se determinan los siguientes elementos:

    1. Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esfrica.

    2. Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.

    3. Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia OA.

    4. Dimetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esfrica, pasando por el centro: AB.

    generatriz

  • Cilindro.

    Cuerpo redondo formado por dos bases paralelas e iguales que son dos crculos, y por una superficie lateral curva, que desplegada como un plano es un paralelogramo.

    El cilindro es el cuerpo geomtrico generado por un rectngulo al girar en torno a uno de sus bases. Es posible determinar los elementos de un cilindro, que son:

    1. Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectngulo.

    2. Bases: son los crculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectngulo. Cada uno de estos lados es el radio de su crculo y tambin, el radio del cilindro.

    3. Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razn por la que el cilindro es recto.

    4. Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.

    Cono.

    Cuerpo redondo formado por una nica base que es un crculo, y por una superficie lateral curva (que es una porcin de un crculo mayor), ms un vrtice llamado cspide.

    Es un cuerpo geomtrico generado por un tringulo rectngulo al girar en torno a uno de sus catetos; podemos distinguir los no recto:

    1. Eje: es el cateto AC. Alrededor de l gira el tringulo rectngulo. 2. Base: es el crculo que genera la rotacin del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio

    del cono. La base se simboliza: O (A, AB). 3. Generatriz: es la hipotenusa del tringulo rectngulo, BC, que genera la regin lateral

    conocida como manto del cono. Tambin es el radio del cilindro mayor que genera la envolvente del cono.

    4. Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del crculo con la cspide siendo perpendicular a la base.

  • Desarrollo de solidos a partir de superficies planas.

    Tetraedro Regular, con arista de X mm.

    1. Construir un tringulo equiltero de lado igual al doble de la arista del tetraedro.

    2. Unir los puntos medios de los lados, por medio de lneas rectas.

    3. As se obtienen los cuatro tringulos equilteros (caras del tetraedro) que forman el desarrollo de este slido.

  • Hexaedro, con arista de X mm.

    1. Dibujar seis cuadrados iguales de lado igual a X mm, cuatro ordenados uno al lado del siguiente y los otros dos, uno por debajo y otro por arriba de la lnea de cuatro.

    Prisma de base cuadrada, con base de arista igual a X mm, y altura h mm.

    1. Mantener base y tapa con arista igual X mm, igual al Hexaedro.

    2. Modificar la altura de los 4 polgonos centrales, con altura = h mm.

    Prisma de base rectangular, con base de arista igual a X y S mm, y altura h.

  • 1. Base y tapa, con un par de aristas paralelas igual X mm, y las otras dos con arista igual S mm.

    2. Altura de los 4 polgonos centrales = h mm.

    Prisma de base triangular. Base tringulo equiltero, con X mm de arista; y altura h mm.

    1. Las caras laterales son rectngulos de longitud igual a la altura del prisma en proyeccin vertical y de ancho igual a los lados de la base.

    Prisma con base pentgonal, con X mm de arista de base; y altura h mm.

  • Prisma con base hexgonal, con X mm de arista de base; y altura h mm.

  • Cilindro recto. Con radio = X mm de arista de base; y altura h mm.

    1. compuesto por dos crculos pertenecientes a la base inferior y superior

    2. mas la superficie lateral del cilindro, cuyo permetro coincide con la circunferencia que delimita a los crculos de las bases.

    El permetro de la superficie lateral o envolvente del cilindro se determina por la siguiente

    ecuacin: P = 2 x x r

    Autor del Mdulo Terico. DI Marianela Amado. Mayo 2014. Editor del Mdulo Terico. Dibujos y Figuras. DI Leandro Strano.

    Bibliografa.

    Dibujo tcnico, 1 Bachillerato. Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, M ngeles Garca, Jos Antonio Oriozabala. EREIN 1997.

    Manual de Normas de Aplicacin para Dibujo Tcnico. IRAM. Edicin XXVII. 1965.

    DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAOLA Vigsima segunda edicin. REAL ACADEMIA ESPAOLA. http://es.wikipedia.org

    El dibujo tcnico mecnico. Ing. S. L. Straneo y Prof. R. Consorti. Ediciones Montaner y Simn, SA; Barcelona. 1965.

    Links de referencia para la construccin de figuras.

    http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/dibujotecnico/Construcciones%20de%20dibujo%20tecnico/msp_plgr.htm

    http://nea.educastur.princast.es/repositorio/VIDEOS/1_nea_colab08_fichero1033_1.swf

    http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/dibujotecnico/Construcciones%20de%20dibujo%20tecnico/msp_plgr.htmhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/dibujotecnico/Construcciones%20de%20dibujo%20tecnico/msp_plgr.htmhttp://nea.educastur.princast.es/repositorio/VIDEOS/1_nea_colab08_fichero1033_1.swf