Notas de Clase

Poltica Economica

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Lic. Matias M. Grandi.

4 de septiembre de 2010

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Indice

1. Externalidades 31.1. Externalidades en la produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Externalidades en el Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Mecanismos para solucionar las fallas de mercado . . . . . . . . . 7

1.3.1. Impuesto Pigouviano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2. Negociacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Bienes Publicos 102.1. Provision optima de un bien publico . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Provision voluntaria de bienes publico . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Soluciones al problema de subprovision . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1. Financiamiento Privado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2. Esquema de Wicksell-Lindahl . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Mecanismo de Groves Ledyard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Votacion por Mayora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6. Esquemas de Revelacion de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.1. Esquema de Clark-Groves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2. Bienes Publicos Locales y Teora de los Clubes . . . . . . 28

3. Public Choice Theory 323.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. Unanimity Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Pairwise voting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.2. Lindahl Voting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Votacion por mayora (Majority Voting) . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1. Single and Multiple Peakedness: Pairwise voting with a

simple majority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2. Bordas Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.3. Teorema de Imposibilidad de Arrow . . . . . . . . . . . . 363.3.4. Condorcet Winners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Teora de la Imposicion Optima 394.1. Regla de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1. Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.2. Ramsey con Consideraciones Distributivas . . . . . . . . . 45

Indice de figuras

1. FPP con Externalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Ganancias en el Bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Equilibrio Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Provision optima de un bien publico . . . . . . . . . . . . . . . . 135. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2

1. Externalidades

Bibliografa: Binger and Hoffman [1988]Definicion: Existe una externalidad cuando el bienestar de un consumidor

o las posibilidades de produccion de una firma esta directamente afectadas porlas acciones de otro agente en la economa.

1.1. Externalidades en la produccion

En esta seccion se sigue el desarrollo de Binger and Hoffman [1988].Supuestos:

2 firmas, x e y producen 2 bienes.

Un factor de produccion L

La firma x es la que genera la externalidad (contaminacion):

y

x< 0

Funciones de produccion

y = y(Ly, x)

x = x(Lx)

Un razonamiento naif sera plantear produccion cero para lograr contami-nacion cero. Pero, como vamos a demostrar la asignacion eficiente no implicacontaminacion cero

Supongamos que x e y se fusionan, y son manejadas por un manager. Por lotanto, se va a tener en cuenta que el aumento de la produccion de x implica lacada de y. Cuando se tiene en cuenta este punto, se internaliza la externalidad.

Max = Px x(Lx) + Py y(Ly, x(Lx)) w(Lx + Ly)

con Px, Py y w dados.

Condiciones de Primer Orden:

Lx: Px.MPLx + Py

y

xMPLx w = 0

Ly: Py.MPLy w = 0

Entonces:

w = Px.MPLx + Py.MPLyy

x w = 0 (1)

w = Py.MPLy (2)

Las 2 firmas fusionadas eligen L tal que:

3

Figura 1: FPP con Externalidades

6

-

6-

-

x0 x

y

y0

yext0

FPP con ExternalidadesInternalizadas

FPP sinexternalidades

en y, w = PMLy

en x, w = PMLx + Dano marginal en y

Despejando los precios de los 2 bienes de las ecuaciones (2) y (1):

Px =w

PMLx Py

y

x

Py =w

MPLy(3)

La tasa marginal de sustitucion sera:

PxPy

=w

PMLx Py yxw

MPLy

El precio relativo es mayor que el obtenido en el la situacion en que laexternalidad no se internaliza. Si las firmas no se fusionan, Px no reflejara laexternalidad que genera x sobre y.

Si no existen externalidades, la FPP se mueve hacia adentro (Figura 1).Si la externalidad no es internalizada, la maximizacion del consumidor lo

situara en un punto como A, pero all TMS 6= TMT . Por lo tanto, el individuose esta perdiendo de aumentar su bienestar (area sombreada). Al internalizarla,se situa en el punto B, donde aumenta la relacion de precios relativos PxPy . Es

un ultimo en el sentido de Pareto.

4

Figura 2: Ganancias en el Bienestar

6

-x

y

FPP con ExternalidadesInternalizadas

=Ganancias de laInternalizacin

Ext. Internalizada

Ext. sin internalizarA

Figura 3: Equilibrio Parcial

6

-x

Px

xx

P x

Px

CMg Social

Cmg Privado

5

La Figura 3 muestra, de manera grafica, un mercado con una externalidadnegativa, en el esquema de un modelo de Equilibrio Parcial.

El equilibrio social es (P x , x) y el privado (P x , x

). El equilibrio competitivogenera una produccion menor a la socialmente optima.

1.2. Externalidades en el Consumo

Un consumidor

Dos bienes, x e y

Un factor: L

x produce humo (s), es el que genera la externalidad.

U = U(x, y; s)

x = x(Lx)

y = y(Ly)

s = s(x) cons

x> 0

Lx + Ly = L

Con Ux > 0;Uy > 0;Us < 0

El problema que resuelve la empresa fusionada es:

Max U(x(Lx); y(L Lx); s(x(Lx)))

Condiciones de Primer Orden::

U

Lx= Ux

x

Lx Uy

y

Ly+ Us

s

x

x

L

Reordenando:

MPLx(Ux + Uss

x) = MPLy.Uy

Entonces:

TMTyx =MPLyMPLx

=Ux + Us.

sxUy

Uy

TMTyx = MRSyx +MRSys.s

x= MPLy.Uy

TMTyx =UxUy

+UsUy

s

y

donde UsUysy es el dano marginal.

Por lo tanto:

6

TMTyx = MRSyx +MRSys.s

x= MPLy.Uy

Entonces:

MRSxy > TMTxy (4)

PxPy

= MRSxy = TMTxy MRSyss

x

La ecuacion 4 representa el punto A en la Figura 1El precio relativo de x va a ser mas alto que cuando no se internaliza la

externalidad.

1.3. Mecanismos para solucionar las fallas de mercado

1.3.1. Impuesto Pigouviano

Una de las posibles soluciones a los problemas generados por la externalidadsera establecer un impuesto de monto similar al dano marginal que produce laexternalidad en el nivel ultimo de produccion o consumo.En el caso de una externalidad en la produccion, el impuesto ultimo sera:

tx = Pyy

x(x)

Demostracion La firma x:

Max = Px.x c(x) tx.x

Condiciones de Primer Orden::

Px c(x) tx = 0Px = c

(x) + tx

Px = c(x) Py

y

x(x) (5)

Px es igual al que obtuvimos en 3, cuando ambas firmas se fusionaban.

Crtica: Es necesario contar con informacion ex-ante sobre cual es la magni-tud del dano marginal social.

1.3.2. Negociacion

Esta solucion, desarrollada por Coase [1960b], critica el enfoque de Pigou.Coase establece que si se cumplen ciertas condiciones no es necesario una inter-vencion en el mercado. Requiere que los derechos de propiedad estan establecidosde manera clara. Independientemente de quien posea la propiedad, se arribara almismo resultado eficiente.

7

1. y posee los derechos a estar libre de contaminacion

Si x le paga a y, para que este le permita contaminar y producir, se generaun mercado auxiliar de derechos de propiedad.

Max y = Py.y(Ly, x) wLy + tx

t es el precio que se fija para la contaminacion por unidad de produccion.

Derivando con respecto a los argumentos x y Ly:

yx

= Pyy

x+ t = 0

t = Pyy

x(6)

yLy

= Pyy

L w = 0

La empresa x resuelve:

Max x = Px.x(Lx) wLx tx

Condiciones de Primer Orden::

xLx

= (Px t)x

Lx+ w = 0

t = Px w

MPLx(7)

Igualando (6) y (7), el precio de equilibrio que se obtiene es:

t = Pyy

x= Px

w

MPLx

Px =w

MPLx Py

y

x(8)

Es identico al caso en que las firmas se fusionan.

2. x el tiene derecho a contaminar.

y debe pagarle a x para tener derecho al aire libre. Suma b por unidad deproduccion que x disminuye su produccion, a partir de a

Max y = Py.y(Ly, x) wLy b(x x)

Condiciones de Primer Orden::

8

yx

= Pyy

x+ b = 0

b = Pyy

x(9)

xLy

= Pyy

L w = 0

La empresa x:

Max x = Px.x(Lx) wLx + b(x x(Lx))

Condiciones de Primer Orden::

xLx

= (Px b)x

L w = 0

b = Px w

MPLx(10)

Igualando (9) y (10):

Px w

MPLx= Py

y

x

Px =w

MPLx Py

y

x(11)

El Px es igual al resultante al Caso 1 y al que las firmas se fusionan.

Conclusion: El Teorema de Coase establece que si existen derechos de Teorema deCoasepropiedad bien establecidos, que se puedan hacer cumplir por leyes, y los

costos de transaccion son cero, la asignacion resultante va a ser paretoultima, sin importar quien posee los derechos de propiedad.

La diferencia entre los Casos 1 y 2 es que en cada situacion, existira unadistribucion del ingreso diferente.

9

2. Bienes Publicos

Los bienes publicos son vistos como un caso particular de una externalidadpositiva. Sin embargo, los bienes publicos se prestan para analisis muy intere-santes en la teora economica.

Como ya sabemos de las clases anteriores, cuando existen externalidadespositivas y se deja al mercado actuar, el resultado sera ineficiente: Muy pocaexternalidad, i.e. muy poca oferta de bienes publicos.

Definicion: Un bien publico cumple con las siguientes condiciones:

No Rival: No existe rivalidad en el consumo, es decir, el consumo de unindividuo no depende del consumo de los otros. El CMg de proveer el bienuna vez producido a otro consumidor es cero. Ejemplo: Defensa Nacional,Faro.

No excluyente: Es imposible (o extremadamente costoso) evitar que al-guien usufructue del bien una vez producido. En particular, no es posibleexcluir a quienes no pagan el bien. Ejemplo: Canal de television, frecuenciade radio.

Un bien publico corresponde a un caso extremo de la externalidad (bien noexcluyente que provee de una externalidad positiva a varios consumidores).

Sin embargo, la mayora de las veces es abstracto pensar en la existencia debienes publicos puros.

Usualmente, lo que encontramos es una mezcla de bienes:

RIVAL NO RIVALExcluible Bienes Privados Bienes PublicosNo Excluible COMPLETAR COMPLETAR

2.1. Provision optima de un bien publico

? realizo esta caracterizacion, primero en forma analtica, y luego en formagrafica.

Supuestos:

un solo bien publico

No free disposal (el individuo tiene que consumir todo el bien publico)

H consumidores, h = 1, 2, . . . H

Uh = Uh(xh, G)

Donde G es el bien publico puro, xh es un vector de n bienes privadosconsumidos por el individuo h.

F (XG) 0 (Situacion sobre la FPP)

X =Hh=1 x

h

Una de las maneras de determinar la asignacion eficiente es que la autoridadcentral maximice la utilidad de un individuo representativo, sujeto a un nivel

10

de utilidad del resto de los individuos y a que la economa produzca sobre laFPP .

L = U1(x1, G) +Hh=2

[Uh(xh;G) Uh] F (x;G)

A fin de facilitar el algebra, suponemos = 1 CPO:

G :

Hh=1

hUh

G F

G= 0 (12)

xhy : h U

h

xhy F

xi= 0 (13)

De (13) obtenemos:

h = FxiUh

xih

(14)

Reemplazamos (14) en (12):

Hh=1

FxiUh

xi

Uh

G=

F

G

Hh=1

FxiUh

xi

=FGUh

xi

Hh=1

MRShG,i = MRTG,i (15)

La ecuacion (15) es la denominada Regla de Samuelson , que indica que la Regla deSamuelsonautoridad central deberla proveer el bien publico hasta que

TMS=TMT.

Para el caso de 2 bienes privados:

Uh

xhj

Uh

xhi

=

FxjFxi

MRShj,i = MRTj,i (16)

La caracterstica de no exclusion de los bienes publicos no es necesaria parael cumplimiento de la Regla de Samuelson, ya que esta basada en los mecanismosde asignacion de los bienes.

En cambio, si los es el atributo de no rivalidad, que entra de manera directaen cada una de las funciones de utilidad: Ug(x,G). La cantidad de bien publicoconsumida es la totalidad del bien publico producido G.

Una de las limitaciones importantes que presenta la Regla de Samuelson,y que limita su aplicabilidad, es que supone que los gobiernos tienen recursos

11

ilimitados, debido a que indica se debe proveer e bien publico hasta..., sintomar en cuenta su financiacion, como si lo hacen los esquemas posteriores(agregar los nombres)

Es por esto que el paso siguiente es analizar varias alternativas, y compararsus resultados con la Regla de Samuelson, para medir cuan lejos se encuentrade la poltica optima.

La Regla de Samuelson: Analisis grafico

2 individuos

1 bien privado x

1 bien publico G

UA(xA;G), UB(xB ;G)

F (xA + xB ;G) = 0

Analticamente, lo que se intenta optimizar es la utilidad del individuo B, fijan-do, a un nivel ad-hoc, la utilidad del individuo A.

Max UB(xB ;G) sujeto a UA(XA;G) = UA

F (xA + xB ;G) = 0

12

Figura 4: Provision optima de un bien publico

6

-G

UA

= UA(xA;G)

x

xA

xB

XA G

x = xA + xB

7T

6

-G

UB = UB(xB ;G)

xB

XA G

xB

- Curva de

Posibilidades de Consumo

A

13

Ambos individuos van a consumir la misma cantidad del bien publico G: Da-do el consumo del individuo A, se obtiene la curva de posibilidades de consumodel individuo B.

El punto maximo de la curva de posibilidades de consumo del individuo B

se encuentra donde las pendientes de UA

y T se igualan.El procedimiento sera el siguiente: a partir de la tangencia de y UB se

determina G y luego xA y x. Por ultimo xB.Por construccion:

= T UA (17)

G=

T

G U

A

G(18)

pend = pendT pendUA (19)

Optimalidad requiere:

pend = pendUB

Entonces:

pendT pendUA = pendUB

pendUA MRSA

pendUB MRSB

= pendT MRT

En el punto A se esta cumpliendo la Regla de Samuelson para la provisionoptima de un bien pblico1.

En el caso de un bien publico, no se puede hablar de un nivel optimo deprovision unico, ya que para cada valor de UA vamos a encontrar un niveloptimo de provision

Esto se cumple siempre y cuando no exista efecto ingreso. En caso de queexista, estaremos hablando de un nivel optimo de provision para cada nivel dedistribucion del ingreso.

Algunos ejemplos:

1. Con efecto ingreso.

L = Gix1ii + i[Mi PiG Pxxi]

De las CPO obtenemos las funciones inversas de demanda para ambosbienes:

Pi =iMiG

Agregando (suma vertical de las funciones inversas de demanda) obten-emos la demanda del bien pblico. (recordar que el optimo es P = CMg2)

1Recordar que para el caso de 2 bienes privados, MRSA = MRSB = MRT2El CMg se normalizra 1

14

ni=1

Pi =

ni=1

iMiG

= Cmg = 1

G =

ni=1

iMi

La provision optima depende de i (preferencias), y a no ser que los isean iguales para todos los individuos, la provision optima del bien publicodepende de como se distribuyan los ingresos entre los consumidores.

2. Sin efecto ingreso.

L = i lnG+ xii[Mi PiG Pxxi]

De las CPO obtenemos:

Pi =iG

Agregando las demandas:

ni=1

Pi =

ni=1

iG

= 1

G =

ni=1

i

El nivel optimo de provision del bien publico es nico para cualquier dis-tribucion del ingreso, solo depende los i. Cuando se realiza un analisisde equilibrio parcial, generalmente se supone implicitamente que no existeefecto ingreso.

2.2. Provision voluntaria de bienes publico

Es la solucion mas sencilla. Si arrojara resultados optimos, no habra incon-venientes con la provision publica de un bien publico.

Ejemplo: Un individuo decide construir un dique con bolsas de arena. Cadamiembro de la comunidad tiene que colaborar con bolsas de arena. La provisiondel bien seria igual a la suma de bolsas de arena recolectadas. A mayor cantidadde bolsas de arena, la comunidad se beneficia ya que mas fuerte es el dique.

Gh=Contribuciones individuales del bien publico.

Uh(xh;G)

wh = Pxxh + PGG

h, con PG exogeno (precio de las bolsas de arena).

Cada individuo maximiza su utilidad tomando como dadas las decisionesdel resto de la comunidad. Dados estos supuesto a la Nash, se va a obtener unequilibrio Cournot-Nash

L = Uh(xh;G) + h[wh Pxxh PGGh]

15

Donde Gh = Gj 6=hG

j

CPO:

L

G:

Uh

G hPG = 0

L

xh:

Uh

xh hPx = 0

Reordenando terminos:

Uh

GUh

xh

=PGPx

h = 1, . . . ,H (20)

Esta optimizacion es llevada a cabo por cada integrante de esta economa.

Comparacion Cournot-Nash- Samuelson De (20):

MRShGx = MRTGx

Por otro lado, la Regla de Samuelson marca que:

Hh=1

Uh

GUh

xh

=PGPx

Uh

GUh

xh

=PGPx

Hj 6=h

Uj

GUj

xj >0

Regla de Samuelson para un Individuo

La solucion optima de Samuelson implica una TMS menor que la del Equi-librio de Nash. Por lo tanto, la Regla de Samuelson implica un consumo mayorque en el Equilibrio de Cournot Nash.

Diferencias en la provision del bien pblico

Caso Cobb-Douglas

Uh = xhG 0 < < 1 0 < < 1

xhG1

x1h G

=PGPx

G =PxPG

xh

Recordando que G =hG

h y que wh = xhPx +GPG:

16

h

Gh =PxPG

[wh

Px PGPx

Gh]

Gh(

1 +

)=

j 6=h

Gj +

wh

PG

Gh = +

j 6=h

Gj +

+

wh

PG(21)

La contribucion del individuo h sera menor cuanto mayor piense que sera elaporte del resto de los individuos.

En el caso de 2 individuos (individuos identicos) VER BIEN :

Todos los individuos tienen el mismo ingreso wh = w para todo h.Todos eligen el mismo nivel de gasto pblico Gh

Gh = +

(H 1)Gh + +

w

PG

Gh =

H +

w

PG(22)

(22) representa la cantidad de bien pblico de equilibrio, para un individuo,del problema de Cournot-Nash.

Generalizando, para los H individuos:

Gcn = H

H +

w

PG

Si comparamos con la solucion de Samuelson, con todos los individuos conel mismo ingreso y las misma funcion de utilidad Cobb-Douglas:

Partimos de:

xhG1

x1h G

=PGPx

G =PxPG

xh

Reemplazando xh de la restriccion:

Gh =

+

w

PG

Agregando para los H consumidores:

Gop = HGh = H

+

w

PG

17

Entonces:

GcnGop

=H H+

wPG

H +wPG

GcnGop

=+

H + (23)

Si H = 1, GcnGop = 1

Si H , GcnGop 0

Conclusion:

Cuanto mas grande sea la comunidad, mayor sera la subprovisiondel bien publico en el caso de provision voluntaria.

Para el caso de la funcion Cobb-Douglas, se puede probar que a mayor , menor sera la subprovision del bien pblico.

Se pueden encontrar contraejemplos donde esto no se cumple. Pero silas preferencias son de buen comportamiento, generalmente se llegaal resultado arriba presentado3.

Por lo tanto, el mecanismo de provision voluntaria es ineficiente, por lo quese deben buscar nuevas alternativas.

2.3. Soluciones al problema de subprovision

El modelo con el que vamos a trabajar es el siguiente:

n consumidores

2 bienes, yi (privado) y x (bien pblico)

Sector Productivo: puede transformar una unidad de bien privado en unaunidad de bien pblico.

Preferencias cuasilineales/separables: ui = vi(x) + yiPropiedades de vi(x):

1. Continua

2. Diferenciable

3. Concava.

4. vi =Utilidad Marginal del Bien Publico.

Dotacion: wi = Dotacion del bien privado con la que comienza el individuo.

Factibilidad: (x; y1; . . . ; yn) sera factible si x+ni=1 yi =

ni=1 wi

3Si = 1, GcnGop

= 1. El consumidor solo tiene preferencias por consumir el bien publico

18

Figura 5: Equilibrio

6

-

6

?

45 Grados

Max

ui

vi(x) = 1

x

u(x)

i

La condicion de eficiencia o Regla de Samuelson, en este caso sera:

ni=1

vi(x) = 1TMT

Una forma alternativa para analizar la eficiencia sera maximizar el BeneficioAgregado Neto (BAN):

v1(x) + v2(x) + + . . . vn(x) x =ni=1

vi(x) x BAN

2.3.1. Financiamiento Privado

El individuo i se adelanta al resto, y quiere comprar el bien pblico.

Max ui = vi(x) + yi s/a x+ yi = wi

CPO:

vi(x) = 1 xiEl resto de los consumidores actua como free rider.

Si vj(xi) < 1 j acta como free rider.

19

Si vj(xi) > 1 j se beneficia por comprar unidades adicionales del bienpblico hasta que vj(xi) = 1

En equilibrio:

vj(xi) = 1 para algn i (al menos, para el que comprar en primer lugar elbien pblico).

vj(xi) 1 para todo i.

El financiamiento, en equilibrio, va a depender de la secuencia de comprasen cada caso.

Si vi(x) = 1 y si vi(x) > 0 para el resto, entonces v

1(x)+v

2(x)+. . .+v

n(x) >

1 No se cumple la Regla de Samuelson (se estara produciendo demasiadopoco del bien pblico).

Supongamos que vi(x) es igual para todo i. Si el individuo 1 toma la delanteray compra x1 del bien pblico, al ser todos los consumidores iguales v

i(xi) = 1

para todo i.

ni=1

vi(xi) = 1 + 1 + . . .+ 1 = n >> 1

La cantidad diferira de la de samuelson.El problema que surge de la provision privada del bien pblico es el de free-

riding. Se debe estudiar algn otro mecanismo de provision.

2.3.2. Esquema de Wicksell-Lindahl

El gobierno centrar va a ser el encargado de proveer el bien pblico, que va aser financiado con impuesto. Se deben cumplir dos condiciones:

Cumplir con la eficiencia paretiana

Cumplir con el Principio del Beneficio: Cargar impositivamente a cadaindividuo con lo que recibe del bien pblico.

Supuesto:

yi= Bien publico.

Ti = Impuesto pagado por el individuo i

Px = Py = 1

Restriccion Presupuestaria: yi + Ti = wi

El Gobierno elige los ti (tasa impositiva para cada individuo) tal queni=1 ti = 1

Ti = tix

Si ti =14 el individuo i maximiza sujeto a la parte del bien pblico que debe

financiar.

20

ui = vi(x)1

4+ wi

yi=wiTi

CPO:

v(x) =1

4INSERTAR GRAFICO

Cumple con el Principio del Beneficio?

vi(x) = ti xi(ti) Funcion de demanda del bien pblico. A mayor ti, menor x. Cumple con la relacion de demanda.

Si el Estado provee la cantidad del bien pblico que desea el individuo i(de las CPO), se estara cumpliendo el principio del beneficio, ya que loque recibe es proporcional a lo que financia:

x = xi(ti)

Pero no se cumple el Principio del Beneficio para todos los agentes dela economia al mismo tiempo, ya que cada agente i desea una cantidaddiferente(generalmente)

El mecanismo consiste en ajustar las alicuotas ti hasta que todos los in-dividuos deseen la misma cantidad del bien pblico.

Ejemplon = 2 t1 =

1

2t2 =

1

2

x1(1

2) = 10 x2(

1

2) = 20

Al menos uno de los dos no va a estar cumpmliendo el Principio delBeneficio.

Ajuste: Aumentar t2 y bajar t1, que provocara un aumento en x1 yuna caida en x2.

Equilibrio de Lindahl:Es un vector (t1, t2, . . . , tn) tal quent=1 ti = 1, y en

un nivel x del bien publico tal que, para todo i, x maximiza ui = vi(xi)+yisujeto a yi + tix = wi

Es Pareto Eficiente?

Sabemos que si estamos en un equilibrio de Lindahl:

x = xi(ti) i

2.4. Mecanismo de Groves Ledyard

En este mecanismo, los consumidores envian un mensaje al Gobierno, pero node sus preferencias estrictas. Con el mensaje, el Gobierno detemrina la cantidadde bien publico x proveer, y de la alicuota (o impuesto total????) a cobrar parafinanciarlo. Como resultado se obtiene un esquema eficiente (en el sentido deSamuelson) pero surgen otros inconvenientes.

21

Timming del Modelo

Mensaje: Senal del incremento deseado del bien publico. Cada individuoi enva un i

Suponemos que por medio de un proceso iterativo de ajustes de los ise logra un equilibrio. Esto da lugar a una inconsistencia temporal, peroreducimos el analisis a un esquema estatico, donde exista 1 equilibrio.

Gobierno:

Fija un nivel de bien publico x de acuerdo a:

x =i

= 1ni

Fija impuestos de acuerdo a:

Ti =x

n+

2+

[n 1n

(i Ai)j 6=i

1

n 2j Ai)2

]

Coef. de ajuste, evita deficits y superavits.

Ai =1

n 1j 6=i

i =1

n 1(xi)

> 0

Consumidor:

Maximiza la utilidad despues de impuestos:

Vi(x) Ti

Debido a que el consumidor i toma como dados j j 6= i, se alcanza unequilibrio de Nash-Cournot, donde la decision de i no afecta a j.

maxi

Vi

(i +

j 6=i

j

) Ti

maxi

Vi

(i+

j 6=i

j

) 1n

(i+

j 6=i

j

)

2+

[n 1n

(iAi

)j 6=i

1

n 2jAi)2

]

Condiciones de Primer Orden:

V i

(i +

j 6=i

j

) 1n (n 1n

(i Ai))

= 0

Definicion 2.1 (Equilibrio de Groves Ledyard) Es una lista de in-crementos (1,2, . . . ,n) y un nivel de provision de bien publico x =ni=1 i tal que i, i maximiza Vi(xTi), dados 1,2, . . . ,1,i+1,...,n1,n.

22

Propiedades del equilibrio

1. x satisface la regla de Samuelson. Sumando las condiciones de primer ordenpara todos los individuos:

V i

(i +

j 6=i

j

)=

ni=1

[1

n+(n 1)

n(i Ai)

]ni=1

V i (x) = 1 +(n 1)

n

ni=1

(i Ai)

= 1 +

i

Ai

= 1 + x[ 1

n 1(xi)

]= 1 + x 1

n 1[(xn x

= 1 + x(n 1n 1

)x

ni=1

V i (x) = 1TMS = TMT Se cumple la Condicion de Samuelson

2. El esquema no genera excedente:Ti = Costo de Produccion del bien publico

Sustituiomos Ai =xin1 en Ti (numerar la formula anterior y reemplazar)

Operando algebraicamente:

2.5. Votacion por Mayora

Vamos a examinar un metodo de aplicacion real y concreta para financiarel bien publico. Suponemos que el gobierno carga t1, . . . , tn sobre cadaindividuo y que los ti estan fijos y son independietes de las preferenciasde los individuos por el bien publico.

Las participaciones podran ser:

Todos los individuos pagan los mismo: ti =1n para todo i

Los individuos pagan en funcion de su riqueza: ti =wini=1 wi

para todo i

El individuo debe elegir entre los diferentes niveles/alternativas de x, laque se acerca mas a su preferencia. Suponemos que xi(ti) son todos difer-entes:

x1(t1) < x2(t2) < . . . < xn(tn) con n impar

Definimos M como el individuo mediano. su xm(tm) esta en el medio.

23

El gobierno conduce una secuencia de elecciones donde los candidatos sonniveles de X : {xi(ti), . . . , xn(tn)}. El equilibrio sera xm(tm) (el nivel debien publico deseado por el votante mediano):

Si se vota xm(tm) vs. xi(ti), con xm(tm) < xi(ti), las j votaran porxm(tm), sumando la mitad mas uno de votos (mayora).

Si se vota xm(tm) vs. xi(ti), con xm(tm) > xi(ti), las j votaran porxm(tm), sumando la mitad mas uno de votos (mayora).

Ventajas

Es relativamente simple y comprensible.

No existen demasiados incentivos para no revelar las verdaderas pref-erencias. Solo es posible el voto estrategico cuando se vota simultane-amente dos o mas niveles de gasto publico.

Desventajas

No se cumple el principio del beneficio, salvo para el indiviudo medi-ano:

tm = Vm(xm) pero i 6= m V i (x) 6= ti

La solucion general no es pareto optima. En la suma:

V 1(x) + . . .+ Vm1(x) + V

m(x) + V

m+1(x) + . . .+ V

n(x)

Los primeros m 1 numeros son menores que ti:

M = V m(x)

Los ultimos m+ 1 numeros son mayhores que tiPero no sabemos si

ni=1 ti = 1. Por lo tanto:

ni=1

V i (x) > en general x no es pareto optimo

2.6. Esquemas de Revelacion de Demanda

Estos esquemas buscan proveer cantidades optimas de bienes publicos einducir a los individuos a revelar sus verdaderas preferencias.

2.6.1. Esquema de Clark-Groves

Cada agente enva un mensaje al gobierno sobre sus preferencias respec-to al bien publico en cuestion. En particular, asumimos que el gobiernoles pide a los individuos que enven su funcion de utilidad Vi (que puedeser o no verdadera).

Por lo tanto, tienen que disenar un sistema impositivo que induzca a losindividuos a no mentir.

El esquema funciona de la siguiente manera:

24

Al recibir el gobierno los Vi, calcula Vi y utiliza la condicion de

Samuelson para determinar el nivel de bien publico.

ni=1

V i (x) = 1 = x

Es equivalente a la maximizacion del beneficio agregado neto del bienpublico. Si los Vi son ciertas, x es pareto optimo.

El gobierno fija los impuestos de acuerdo a la siguiente regla:

Ti = xj 6=i

Vj(x)

El impuesto no depende de las preferencias de i, sino de la utilidadagregada del resto de los consumidores.

Ejemplox = 1000 , n = 5

Mensajes:

V1(x) = 0, V2(x) = 500, V3(x) = 100, V4(x) = 200, V5(x) = 300

Impuestos:

T1 = 100, T2 = 400, T3 = 0, T4 = 100, T5 = 200

Observaciones:

Pueden existir subsidiosni=1 Ti = 600 < 1000. El costo de produccion puede ser mayor al

monto recaudado (deficit).

Si i enviara una demanda menor a la real, igualmente pagara el mismoimpuesto. El individuo querra maximiar su utilidad real:

Ui = Vi(x) + yi sujeto a yi + Ti = wi

o, lo que es lo mismo:

Max Vi(x Ti + wi

wi no es relevante para la maximiazacion.

x, Ti vienen dados para el individuo.

25

Por lo tanto lo unico que puede hacer el consumidor es mentir en durevelacion de Vi.

El individuo conoce la regla impositiva, entonces querra maximizar:

Vi(x)

xj 6=i

Vj(x)

Estara mejor el individuo falseando sus preferencias?

Si revela correctamente Vi, el gobierno eligira x para maximizar:

ni=1

Vi(x) x = Vi(x) +j 6=i

Vj(x) x (24)

= Vi(x)

xj 6=

Vj(x)

(25)Diciendo la verdad logra que el gobierno maximice exactamente lo que elpretende maximiazar, y por lo tanto no hay ganancias en mentir. Esto escierto sin importar lo que haga el resto de los individuos. si Vj es ciertoo no es irrelevante para el argumento. Decir la verdad es una estrategiadominante para i.

Por lo tanto este esquema soluciona el problema de incentivos, y logra unaprovision Pareto optima del bien publico.

Ventajas

a) Resuelve el problema de revelacion de demanda.

b) Genera un resultado Pareto optimo.

Desventajas

a) Podran existir deficits.

Solucion: Los incentivos de i no cambian si sumamos a Ti algo queno dependa de Vi ni de x.

Si = maxx

j 6=i

[Vj(x)

x

n

]Representa el nivel de x que maximiza el BAN sin tneer en cuenta ai, que es un individuo pasivo que paga xn . Redefinimos Ti:

Ti = xj 6=i

[Vj(x) + Si]

Utilizando:

x =x

n+

(n 1)n

x =x

n+j

x

n

26

obtenemos:

Ti =x

n+ Si

J=i

[VJ(x

x

n

]Como

Si = maxx

j

[Vj(x)

x

n

]j

[Vj(x)

x

n

]entonces

Ti x

n

ni=1

Ti x = Se resuelve el problema de los deficits

Podemos interpretar el nuevo Ti como la suma de:1n del costo de x

la diferencia entre el beneficio agregado neto del reto de los indi-viduos cuanod i es pasivo, y el beneficio agregado neto del restocuando i revela su demanda.Esta diferencia puede verse como la perdida que impone i sobreel resto de los consumidores al expresar su demanda por el bienpublico (algo similar al impuesto pigouviano)

b) El esquema presenta la posibilidad de que exista superavit publi-co. Si el gobierno devuelve el superavit, i sabe que va a obtenerF (i, x, V1, . . . , Vn)

El impuesto correcto debera ser Ti F (.) en lugar de Ti. Pero co-mo F (.) depende de Vi y de x, aparece nuevamente el problema deincentivos.

Por otra parte, si el gobierno no devuelve el superavit, se presentauna paradoja:

x+

yi ni=1

wi

Algunos bienes reales estaran desapareciendo del sistema. Se esta des-perdiciando riqueza real. Entonces (x, y1, . . . , yn) no puede ser un op-timo de pareto, aun cuando x satisfaga la condicion de Samuelson,ya que hay recursos ociosos. No existe una funcion Si tal que cuandofijamos Ti = x

j Vj(x) + Si el sistema satisfaga simultaneamente

las tres propiedades siguientes:

Decir la verdad sea la estrategia dominante

x satisface la condicion de Samuelsonni=1 = x

Conclusion Este mecanismo es un sistema impositivo con las siguientespropiedades:

a) La honestidad es una estrategia estrictamente dominante.

27

b) Se implementa x optimo de Pareto.

c) La recaudacion es suficiente para financiar x.

d) Existen probabilidades de superavit, pero no hay forma de que elgobierno lo devuelva sin generar posibles incentivos para mentir. Sise mantiene 1, se quiebra 2, y a la inversa.

2.6.2. Bienes Publicos Locales y Teora de los Clubes

El concepto de bienes publicos locales fue introducido en la teora economi-ca por Charles Tiebout, en su trabajo Tiebout [1956]. Hasta la aparicionde este trabajo, los bienes publicos era concebidos como bienes que si seencontraban disponibles para una persona, podan ser consumidos por to-da la comunidad/economa. Basicamente, se sustentaba en los principiosde no rivalidady no exclusion citados anteriormente.

La imposibilidad de excluir a personas del consumo era la caractersticamas importante, provocando que no sea posible encontrar un mecanismodescentralizado de provision eficiente, debido a la imposibilidad de encon-trar un sistema que llevara a los individuos a revelar su verdadera valo-racion por este tipo de bienes. Este es el problema de los bienes publicosa los que Samuelson intento encontrar solucion en su trabajo Samuelson[Nov. 1955]

El trabajo de Samuelson llevo a Tiebout a esbozar una respuesta. Ar-gumentaba que exista una clase de bienes publicos, los bienes publicoslocales, para los cuales un mecanismo descentralizado para alcanzar suprovision optima exista. En su artculo se concentraba en que varios bi-enes publicos estan sujetos a congestion. Enfatizaba que era el caso de losbienes publicos provistos por los gobiernos locales -un plaza, un calle, unaescuela-. Estan disponibles para todos los miembros de la comunidad local,pero para un determinado nivel de infraestructura, cuanto mayor sea lacantidad de gente que utilice estos servicios, menor sera la disponibilidadpara el resto. Utilizando la terminologa tradicional, lo bienes publicoslocales presentan la caracterstica de no exclusion, pero no la de norivalidad. Son parcialmente rivales, o parcialmente no rivales

En el modelo de Tiebout, cada comunidad o gobierno local provee unmix de bienes publicos. Aquellos que viven en la jurisdiccion reciben losbeneficios de esos bienes y los financian a traves de un impuesto, igual paracada habitantes de la localidad. No existen relacion o interaccion entre lasjurisdicciones.

La clave del mecanismo de Tiebout es la movilidad de la gente. Si losciudadanos pueden, sin costo, mudarse de una localidad a otra, ellos semudaran donde el mix entre servicios e impuestos les genere el mayor ben-eficio. Cualquier otro incentivo a mudarse, como por ejemplo, la disponi-bilidad de empleo, es ignorada.

Aquellos que deseen mejores escuelas y puedan pagar impuestos mayorespara financiarlas, estaran en una localidad. Aquellos que prefieran pagarmenos y tener escuelas de menor niveles, se juntaran en otra localidad. Losimpuestos de pagan de acuerdo a los beneficios que reciben. Con suficiente

28

variedad en la oferta de las diferentes localidades, cada una estara com-puesta por gente de caractersticas similares.

Debido a la congestion, habra un punto optimo en el tamano de cadacomunidad. El tamano se determinara donde los beneficios de compartirlos costos de infraestructura con otros contribuyentes sea igual al costode congestion generado por un nuevo miembro en la comunidad. En elcaso de que existan personas con un determinado set de preferencias quepodran encajar en una comunidad que ya encontro su tamano optimo,entonces se genera una nueva comunidad, identica a la anterior.

Dentro de cada jurisdiccion, los residentes pagan identicos impuestos, con-sumen la misma cantidad de bienes publicos, y acuerdan en cuanto altamano de la comunidad. El problema de alcanzar un mecanismo eficientede provision de bienes publicos parece haberse solucionado, al menos, en elambito de los bienes publicos locales. En palabras de Tiebout, La movil-idad espacial provee la contraparte de los bienes publicos locales al viajede compras privado.

La teora de los clubes surge para llenar la brecha e/ bienes privados purosy bienes publicos puros. Incluye como una variable a ser determinada laextension de los derechos de propiedad-consumo sobre diferentes numerosde personas. De esta manera pueden considerarse bienes publicos impuros,como biens publicos sujetos a congestion.

La pregunta central en la teora de los clubes es determinar el tamano delos arreglos deseables de costos y consumos.

Definicion: Un club es un grupo voluntario de individuos que obtienenbenficios mutuos de compartir costes de produccion y/o coaractersticas delos miembors y/o un bien caracterizado por beneficios exclusivos. Las car-actersticas particularsa de un club, que lo diferencias de un bien publicopuro, son:

a) Voluntarismo: Los individuos permanecen y apelan en el club de for-ma voluntaria, los miemboras llegan a permancer porque anticipanun beneficipo neto de ello. En el caso de un bien publico puro, elvoluntarismo podra estar ausente, ya que el bien podrua perjudicara alguno de sus receptores (defensa a un pacifista, penalizacion aa alguien que se opone a su uso) y los costos de salir podran serprohibitivamente altos.

b) La congestion lleva a un numero finito de miembros a la utilizaciondel bien por parte de un miembro disminuye los beneficios o la cali-dad del servicio que aun esta disponible para los otros usuarios. Lacongestion es el costo de aumentar el numero de miembros. En el ca-so de un bien publico puro, los costos de congestion son nulos y porlo tanto, lo optimo es incluir a toda la poblacion de la jurisdiccioncuyo beneficio marginal del bien publico es positivo (suponiendo queno hay derrames a otras jurisdicciones; si los hubiera, lo optimo seraincluir a todos los receptores del beneficio).

c) Disposicion de los no miembros: un modelo de equilibrio general de-bera indagar que pasa con los que estan fuera del club. En el caso de

29

los bienes publicos puros, todos los individuos pueden ser miembrossin que haya congestion, de manera que los no miembros no existen.Toda la poblacion esta asociada a uno solo provision del bien publico.Pero los clubes de biene, los no miembros de un determinado clubtienen dos opciones: puede formar otro cluib que probea el mismobien o no hacerlo. Si toda la poblacion se asigna en un conjunto declubes que no se superponen, la poblacion se particiona en un con-junto de clubes. Entonces el numero de clubes se vuelve una variablede eleccion relevante.

d) Presencia de un mecanismo de exlusion, donde las tassa de utilizacionde los usuarios puedan ser monitoreadas y los no miembros o losque no paguen puedan ser excluidos. Sin este mecanismo no habraincentivos a ser miembro o a pagar. La operacion y provision delmecanimos de exclusion debe hacerse a un costo razonable, menorque los beneficios de asignar el bien dentro del club. Para un bienpublico puro, la formacion y mantenimiento de un mecanismo deexclusion podra ser demasiado costosa, ya que los costos usualmenteexceden las ganancias de eficiencia de la exclusion, entocnes, es mejorpermitir que los bieneficios del buen publico no sean excluibles.

e) Decision Dual: como hay exclusion, los miembors con privilegios deuso deben distinguirse de los no miembros. Ademas, debe determi-narse la cantidad provista del bien. Como la decision de los miembrosafecta la decision de provision de viceversa, ninguno de ellos puede de-terminarse en forma independiente. En el caso de los bienes publicos,solo debe considerarse la decision de provison, ya que los miembrosson toda la poblacion.

f ) Optimalidad: La provision voluntaria de un bien publico puro esta tipi-camente asociada con un equilobrio de nash que es suboptimo, por locual se requieree provision gubernamental. En el caso de los clubesde bienes, bajo una amplia variedad de circunstancias, se puedenalcanzar resultadosoptimos sin recurrir a la provision publica.

El proposito de Sandler and Todd [1986] es presentar un modelo de clubeshomogeneos donde las decisiones de provision y miembros se deben re-solver Un club homogeneo incluye miembros cuyos gustos y dotacionesson identicas. Esto hace posible que todo el analisis pueda hacerse enterminos de un miembro representativo. Supongamos que:

Existen dos bienes:

Un bien privado (y) Un bien club (x)

los miembros del club son homogeneos (poseen los mismos gustos ydotaciones) y las preferencias del miebmro respresentativo son:

U i = U i(yi, x, s)

donde:

yi es el consumo del bien privado del miembro i

30

x es el consumo del bien club del miebmro i s es el tamano del club (numero de miembros).

el club tiene utilizcion fija (todos los miembros utilizan la oferta totaldel bien compartido). La tasa de utilizacion del bien club es:

xi = x donde x es la oferta disponible del bien club

la funcion de utilidad satisface:

a) caracterstica de no saciedad: U ix > 0, Uiy > 0

b) cuasi-concavidad: curvas de indiferencia convexas al origen en elespacio de bienes.

c) dos veces diferenciable en todas los argumentos (implicitamentese asume que s es continua).

d) uis > 0 en un primer tramo, debido al efecto camadarera, peora partir de algun punto ocurre la congestion, uis < 0 para s < s,donde overlines es la cantidad de miembros apartir de la cualcomienza la congestion.

Existe un mecanismo de exclusion disponible a un costo nulo. Laexistencia de este mecanismo y de la congestion implica que el bienclub no es un bien publico puro en el sentido de Samuelson, auncuando la provision del club sea consumida igualmente por todos losmiembros.

Cada miembro intenta maximizar su funcion de utilidad sujeto a larestriccion de recursos:

F i(yi, x, s) = 0

con:

F i

yi> 0;

F i

x> 0;

F i

s> 0

El individuo representativo: maxU i = U i(yi, X, s) s/a F i(y

31

3. Public Choice Theory

3.1. Introduccion

La denomica teora de Public Choice.es el estudio de las situaciones querequieren acciones colectivas, donde la el nivel de provision de un bieno servicio necesita ser acordado colectivamente. Como ejemplo se puedencitar la provision de los bienes publicos, tales como sistemas legales, poli-cia, defensa, nivles de contamicion, etc. La necesidad de una accion colec-tiva stemdel problema del dilema del prisionero.

Cuadro 1:Player #1.

No-Cooperation CooperationPlayer #2 No-Cooperation 5,5 7,2

Cooperation 2,7 6,6

Se observa claramente que la no cooperacion es una estrategia dominante,por lo cual no cooperacion.es un equilibrio de estrategia dominante y elunico equilibrio de Nash. Existe una necesidad para que alguna formade accion colectiva alcance la cooperacion como estrategia. La forma enque usualmente las sociedades determinan si establecen o no una accioncolectiva es someter una determinada propuesta a una votacion, lo queobliga al estudio de la Teora de la Votacion (Voting Theory). Existen doslneas principales dentro de este area: reglas de voto por unanimidad yreglas de mayora.

3.2. Unanimity Rules

Las reglas de unanimidad requieren que cada uno de los votantes este deacuerdo con la decision. Para comprender estas reglas, el diagrama deMueller (fuente) es simplificador:

(DIAGRAMA)

En el diagrama muestra las curvas de indiferencia de dos individuos A y Ben el plano bien publico-impuestos. El eje vertical representa la proporciondel costo financiada por el individuo A, 100A es la proporcion financiadapor el individuo B y el eje horizontal muestra la cantidad provista del bienpublico. Comenzamos nuestro analisis suponiendo que F es el status quo, que es claramente ineficiente dado que no esta ubicado sobre la curva decontrato CC 4. A continuacion, consideramos un equilibrio por votacion

3.2.1. Pairwise voting

Supongamos que el gobierno somete a votacion la situacion de status quoy propuestas alternativas. Supongamos que ofrece una cantidad de bien

4La curva de contrato es aquella curva que atraviesa los puntos donde las curvas de in-diferencia de ambos individuos son tangentes

32

publico Q1 financiada por A(x) y B(1 x). Si esta combinacion cae enel area formada por la interseccion de las curvas B1 y A1, ambos con-sumidores preferiran comprar esta cantidad de bien publico, y pagar lodispuesto, a la alternativa de no contar con el bien publico. F se converteen el nuevo status quo y se somete a votacion contra otra alternativa. Elproceso continua hasta que el status quo se situa en un punto sobre lacurva CC , como el punto G. Ningun otra alternativa sera unanimementepreferida.

3.2.2. Lindahl Voting

En una votacion de Lindahl (Lindahl Voting) cada uno de los participantesse enfrenta a un tax share personalizado. Cada individuo vota, por lo tanto,respecto a la cantidad de bien publico que desea. Si todos votan por elmismo nivel de provision del bien publico, entonces es unanimidad (soloocurre si las curvas de indiferencia de ambos individuos son tangentes almismo tax line para un nivel de bien publico dado), sino, un nuevo setde impuestos es propuesto y se vota nuevamente. En el grafico, existe ununico equilibrio de Lindahl en L. Problems

La votacion de a pares no lleva a un unico equilibrio (outcome)

La votacion de a pares y el mecanismo de Lindahl puede ser sujetoa manipulacion estrategica.

If voting is costly there is a free rider problem, why bother to vote.This gets worse as the number of participants increases. Each indi-viduals vote faces a smaller chance of being crucial and thus it takesless to discourage them from voting.

3.3. Votacion por mayora (Majority Voting)

En el mundo real, una gran numero de procesos de votacion son imple-mentados a efectos de poder tomar decisiones, los cuales adopatan algunaforma de votacion por mayora. Comunmente las opciones se someten auna votacion de a pares, elegiendose la ganadora por una mayoria simple.COmo se puede observar en el siguiente ejemplo, esto puede ocacionerproblemas.

3.3.1. Single and Multiple Peakedness: Pairwise voting with asimple majority

Supongamos las siguientes preferencias:

El resulado es claro: B es preferido a A y a C. En este caso, las preferenciasson single peaked. Ahora supongamos la siguiente situaicion:

En este ultimo caso, las preferencias no son single peaked. A es preferidaa B, C es preferida a A y B es preferida a C. Esto provoca:

Voting cycles - no clear result obtains

33

Cuadro 2:Opciones

A B CPlayer Rankings Fred(Brian) 1 2 3

Brian 3 1 2Melissa(Brian) 3 2 1

Cuadro 3: AlternativaOpciones

A B CPlayer Rankings Fred(Brian) 1 2 3

Brian 2 3 1Melissa(Brian) 3 2 1

Agenda manipulation - the sequence of voting determines the out-come.

Conclusion - Deberamos considerar otra forma de votacion por mayora.Una conclusion que se argumenta cuando se dan este tipo de situacioneses que los votantes no pueden expresar la intensidad de sus preferencias.El candidato que recibe muchos Segundas Preferenciaspesa muy poco.El siguiente procedimiento soluciona este inconveniente.

3.3.2. Bordas Rule

Cada uno de los candidatos suma puntos por la posicion en el rankingde cada uno de los votantes. Si un candidato es rankeado ultimo, recibe0 puntos, el penultimo recibe 1 y as sucesivamente. Supongamos unasituacion como la que presenta el cuadro a continuacion:

CUADRO

El puntaje de Borda es el siguiente:

a obtiene (7 2) + (1 2) = 16b obtiene (7 2) + (6 1) + (1 1) = 21c obtiene (7 1) + (7 1) + (6 2) = 26

Por lo tanto, de acuerdo a la Regla de Borda, c triunfa. Notar que bajola regla estandar de un voto, el resultado sera b=7, a=8, y c=6 y por otanto, a es el ganador.

Problemas con la Regla de Borda - Independencia de Alternati-vas Irrelevantes (IAI) Consideremos el siguiente ejemplo: CUADRODe acuerdo a la Regla de Borda:

Brian gets (30 2) + (1 2) + (29 1) + (10 1) = 101Ghandi gets (30 2) + (29 2) + (10 2) + (1 1) = 139

34

Reid gets (1 1) + (101) + (10 2) + (1 1) = 32

Siguiendo la Regla de Borda, el orden correcto de los candidatos sera:Ghandi, Brian, Reid, pero si comparamos los resultados de a pares, obten-emos:

Brian vs Ghandi - Brian gana 41 40,Brian vs Reid - Brian gana 60 21.

Problema: Brian le gana, mano a mano, al resto de los candidatos. Elpunto del problema se encuadra bajo la Independencia de AlternativasIrrelevantes, que establece que al hacer comparaciones entre dos opciones,solo esas dos opciones son las que deben importar, y el resto debe sertratado como irrelevante. En nuestro ejemplo, Reid se considera inferior aBrian y a Ghandi, entonces por que la opcion entre los ultimos depende,de alguna u otra forma, de Reid?

El problema es mayor de lo que parece ser. No solo la IAI provo-ca problemas para la Regla de Borda, sino que genera inconvenientes encualquier otra regla de puntaje. Si una regla de puntaje requiere una se-cuencia de numeros reales tal que sq > s2 > ... > sn, donde las alterna-tivas de mayor ranking tienen mayores puntajes. Por lo tanto, podemosdemostrar que la regla de puntuacion siempre dara resultados pobres.Consideremos nuevamente nuestro ejemplo, pero establezcamos s1 = 8,s2 = 1, s3 = 0. De acuerdo a esta nueva regla de puntaje:

Brian obtiene (30 8) + (1 2) + (29 1) + (10 1) = 281Ghandi obtiene (30 8) + (29 8) + (10 8) + (1 1) = 553Reid obtiene (1 1) + (10 1) + (10 8) + (1 1) = 92

Nuevamente, Ghandi triunfa sobre Brian de acuerdo a la regla de puntaje,pero si tomamos los enfrentamientos mano a mano obtenemos el mismoresultado que antes:

Brian vs Ghandi - Brian triunfa 41 40,Brian vs Reid - Brian triunfa 60 21.

Por que la IAI?

a) If it is not present the outcome can be manipulated by introducingextraneous alternatives. In our example we see that Reid is a NoHoper but under a scoring rule he can change the outcome by en-tering the contest.

b) From a practical point of view it allows decisions to be made over arestricted range of choices, we dont have to consider every alterna-tive. It is thus quick and cheap.

35

3.3.3. Teorema de Imposibilidad de Arrow

Desafortunadamente, Arrow5 ha demostrado que cuando existen mas dedos alternativas disponibles, cualquier regla de decision razonable puedeviolar la condicion de AIA.

Primero, definimos como una regla de decision razonable explicitando al-gunas propiedades que se podra pensar que deberan tener. Supngamosque tenemos dos individuos, Andy y Ghandi, los cuales eligen entre tresopciones (A, B y C). Se requiere que cualquier ranking de opciones A, By C satisfaga los siguientes axiomas:

a) Completitud: A B, B A, o A | B.b) Transitividad: Si A B y B C then A C.c) Si A B para Andy y Ghandi, entonces el ranking debe ubicar a A

por encima de B.

d) IIA: Si A B y B C entonces estas valoraciones no se alteran porla aparicion de una nueva alternativa D.

e) El ranking debe ser derivado de las preferencias de los individuos.

f ) No dictadura: No one individuals preferences may determine societiespreferences.

Supongamos que los dos individuos tienen las siguientes preferencias:

Andy: A a B a C

Ghandi: C g A g B

Debemos demostrar que no se puede obtener un ranking de sociales deestas opciones, y que no violamos los axiomas de Arrow.

B a C y C g B: debe ser el caso que socialmente B | A o estari-amos violando el axioma 6.

A a B y A g B debe ser el caso que, por el axioma 3, el rankingsocial de preferencias es A B.Aplicando el axioma 2, transitividad, obtenemos A B | C A C pero viola el axioma 6.

Conclusion: Debemos relajar un axioma.

3.3.4. Condorcet Winners

La idea detras del enfoque de Condorcet es que existe un mejor resultadopara cualquier votacion y que los individuos, en promedio, conocen cuales ese mejor resultado. Ejemplifiquemos con dos candidatos, George y Al.Cada uno promete construir una nueva ruta que cruce todo el pas, yademas, argumenta que lo puede realizar mas efecientemente que el otro.

5El artculo original, A Difficulty in the Concept of Social Welfare, fue publicado en TheJournal of Political Economy, Vol. 58(4), pp. 328-346, en Agosto de 1950.

36

Por simplicidad supngamos que existen solo dos votantes, los gemelos Bri-an, quienes pueden identificar correctamente al mejor candidato en el 60 %de las ocasiones. Observamos que los dos Brian votan por George, quienobtiene una mayora simple (50 %+1 em este caso es 2, y tambien implicaque, para triunfar, Al requiere el voto de los dos Brian). Nos preguntamoscual es la probabilidad de que lso Brian voten correctamente y el ganadorcorrecto sea elegido por la regla de la mayora. Para obtener una concluion,computamos, en primer lugar, las probabilidades condicionales.

a) La probabilidad que los dos Brian voten a George dado que Al es elmejor candidato.

P (Brian 1 y 2 votan a George) = (0,6)(0,6) = 0,36

b) La probabilidad que los dos Brian voten a Al dado que George es elmejor candidato.

P (Brian 1 y 2 votan Al) = (0,4)(0,4) = 0,16

Por lo tanto, la eleccion de George es 0,360,16 = 2,25 mas probablecuando George es la mejor opcion. Esto se denomina likelihood ratio.Ademas, se puede mostrar que con una poblacion grande (muchosBrian) solo se requiere que la probablildad que cada individuo tomela decision correcta este por encima del 50 % Indeed it can be shownthat with a large population (many Brians) it is only required thatthe probability that each individual makes the correct decision beslightly over 50 % for the odds of the correct individual winning tobe come very large (approach 1 as the size of the population goes toinfinity).

Three of More Alternatives. Soponga que el objetivo es reducirla congestion del transito en Eugene. Las opciones son:

1) Ofrecer mas colectivos.

2) Construir mas calles.

3) Hacer mas dificultoo obtener licencias de conducir, requiriendoun mayor entrenamiento.

LA pregunta es cual de las alternativas es la mas efeciciente, porpeso gastado. Los votos de la comunidad estan dados por el siguientegrafico:

(GRAFICO)

Cada uno de los vertices en el grafico representa el numero de votos.Por ejemplo, la flecha de a b representa 33 votos de a sobre b,mientras que b tiene 27 votos sobre a. Para calcular el pairwise sup-port, para el ranking abc, calculamos a b mas b c mas a c, olo que es lo mismo, 33 + 42 + 25 = 100. As

TABLA

Utilizando su metodo probabilstico, Condorcet mostro que el rankingque sera mas correcto es aquel que tiene el mayor pairwise support.En este caso, bca, que se denomina Condorcets rule of three. Para

37

comprobar si es verdadero, calculemos el relative likelihood In thiscase (completar) To see that this is true lets compute the relativelikelihoods that each ranking is correct. Let p 1/2 be the probabilitythe an individual voter chooses correctly.

38

4. Teora de la Imposicion Optima

En todos los modelos que se van a desarrollar en esta seccion, se utilizacomo supuesto subyacente que el Gobierno prentende maximizar la cargaexcedente.

Ejemplo:

2 bienes, x e y.

ocio, l.

Precio de los bienes y el ocio: Px, Py y w.

T : Dotacion de tiempo.

L = (T l) wL = w(T l)w(T l) = PxX + PyY wT = Px + Py + wl

Insertar grafico de carga excedente!!!!

Si el gobierno desea gravar los tres bienes (x, y y l) con una tasa uniforme(1 + t) Ad-Valorem, obtenemos:

wT = (1 + t)PxX + (1 + t)PyY + (1 + t)wL

wT

(1 + t)= PxX + PyY + wl

El impuesto Ad-Valorem para todos los bienes es igual que un impuestode suma fija. Pero no es posible su aplicacion, ya que no se puede poner unimpuesto al ocio sin afectar la dotacion. Por ejemplo, si suponemos unatasa de (1 + ) para gravar6 el ocio:

w(T l) = PxX + PyYw(1 + )(T l) = Px(1 + )X + Py(1 + )Y

La recaudacion sera:

R = PxX + PyY wL

R =

[PxX + PyY wL

]= .o

R = 0

Si se gravan todos los bienes y el trabajo, la recaudacion del gobierno esnula. Se deben fijar tasas diferentes.

Si se fijan alicotas diferenciadas entre todos los bienes:

6Gravar al ocio es equivalente a subsidiar el trabajo

39

w(1 + l)(T l) = Px(1 + x)X + Py(1 + y)Y

w(T l) = Px

(1 + x1 + l

)

1+tx

X + Py

(1 + y1 + l

)

(1+ty)

Y

w(T l) = Px(1 + tx)X + Py(1 + ty)Y

Ventajas: El Gobierno puede decidir que bien gravar.

Desventajas: Impuestos con alicuotas diferentes, distorsivos.

El argumento comunmente usado No se pueden establecer impuestos desuma fija es consecuencia de no poder gravar al ocio no es del todo cierto:los impuestos de suma fija (lump-sum tax ) no se pueden fijar debido a queexisten dotaciones iniciales de algunos bienes (trabajo, por ejemplo)

4.1. Regla de Ramsey

Supuestos:

individuo representativo (solo se analiza la eficiencia y no la equidad)

Tecnologa lineal

Precios de los bienes fijos

n+ 1 bienes: x0, x1, . . . , xn (x0 ocio)

L = 1 xoT = 1

Problema del individuo

max U(x0, . . . , xn) s/a

ni=1

qixi = q0(1 x0) + I

donde q0 es el salario, (1 x0) = L (tiempo dedicado a trabajar) e Irepresenta el ingreso exogeno. Reescribiendo la restriccion:

ni=1

qixi = 10 10x0

ni=0

qixi = qo + I

ni=0

qixi = M

Por lo tanto, el problema se podria escribir como:

40

L = U(x0, . . . , xn) + [M ni=0

qixi]

Condiciones de Primer Orden:

xi :dU

dxi= qi i = 0, . . . , n. = multiplicador de Lagrange

xi = xi(q,M) v(q,M) = V [x0, . . . , xn]

Siendo xi la demanda Marshalliana, q el vector de precios y v lafuncion de utilidad indirecta.

Problema del Gobierno

El problema del gobierno consiste en minimizar la carga excedentesujeta a una recaudacion dada.

max v(q,M) s/a

ni=1

iixi = R

Notar que la sumatoria comienza en el bien 1, ya que no se grava eltrabajo, definido como el bien 0.

qi = 1 + ti = Al realizar las derivadas con respecto al pre-cio, se deriva, en realidad, con respecto a tiargumento de qi

L = v(q,M) +

[ni

xi R]

Condiciones de Primer Orden:

d(L)idtj

=v

qj+

[ ni=1

tidxidqj

+ xj

]= 0 j = 1, . . . , n (26)

Recordando la Identidad de Roy:

dv

dqj= dv

dMxj

dv

dqj= xj (27)

Reemplanzado 27 en 26:

xj + [tidxidqj

+ xj

]= 0

( )xj =

tidxidqj

j = 1, . . . , n (28)

41

Teniendo en cuanta la Ecuacion de Slutzky:

dxidqj

=dxcidqj xj

dxidM

(29)

Sustituimos la Ecuacion de Slutzky (29) en 28:

( )xj = nt=1

ti

[dxcidqj xj

dxidM

]Por el Teorema de Young, las derivadas curzadas son iguales, por lotanto:

dxcidqj

=dxcjdqi

Entonces:

(

)xj =

ni=2

ti

[dxcjdqi xj

dxidM

]xj

ni=1 ti

dxnjdqi

xj=

[

+i=1

ntidxidM

]i = 1, . . . , n (30)

La ecuacion 30 representa la Regla de Ramsey. El lado izquierdo se denom-ina Indice de Desaliento. El lado derecho es igual para todos los bienes,mientras que el izquierdo (Indice de Desaliento) mide el cambio propor-cional en las demandas compensadas del bien i cuando se introducen losdiferentes impuestos ti con i = i, . . . , n

Por lo tanto, la Regla de Ramsey sugiere que se aumentar las alcuotasde todos los bienes hasta que las demandas compensadas varien todas enla misma cuanta. Las cargas excedentes, en el margen, deben ser todasiguales.

Otra forma de ver el significado del lado izquierdo de la ecuacion 30:

xcj = xcj(q;U)

dxcj =

ni=1

dxcjdqi

dqi qi = 1 + t

dxcjxj

=

ni=1 ti

dxcjdqi

xj(31)

El lado izquierdo de la ecuacion 30 es el cambio proporcional en la de-madna compensada, tal como lo demuestra la ecuacion 31. Este pequenoesquema mide la distorcion en terminos de cantidades, dado que los preciospueden estar sujetos a diferentes normalizaciones. Resumiendo, el Indice

42

de Desaliento debe ser, en el margen, igual para todos los bienes. Se puedeexpresar como: n

i=1 tidxcjdqi

xj= dj j = 1, . . . , n

Es importante destacar que no es totalmente correcto el pensamiento queindica que se deben gravar mas fuertemente aquellos bienes cuya demandatiene poca sensibilidad al cambio en el precio, ya que se estaran obviandolos efectos cruzados.

Si este pensamiento prevaleciera, se estaran gravando mayormente losbienes de primera necesidad, por lo que las peresonas de menores ingresosserian aquellos que, proporcionalemnte pagaran mas impuestos.

4.1.1. Casos Especiales

Sin Efectos Cruzados Si no existiesen efectos cruzados, pasando de unesquema de un modelo de equilibrio general a uno de equilibrio parcial:

dxidqj

= 0 i 6= j

Por lo tanto:

( )xj = nt=1

tidxidqj

j = 1, . . . , n

( )xj = tjdxidqj

tjdxidqj

=

xj

tjdxidqj

qjxj

1

qj=

j =dxidqj

qjxj

Por lo tanto:

tjjqj

=

1

jj = 1, . . . , n (32)

La ecuacion 32 representa la Regla de la Elasticidad Inversa. Si no existenefectos cruzados, se debe gravar mas a los bienes mas inelasticos, ya quepoca respuesta implica poca distorcion en terminos de cantidades.

43

Con un impuesto de suma fija

Problema del Individuo

max U = U(x0, . . . , xn) s/a

ni=1

qixi = q0(1 xo) + I T

ni=0

qixi = q0 + I M

T

Obtenemos la funcion de utilidad indirecta v(q,M T ).Problema del Gobierno

maxt1,...,tn,T

v(q,M T ) s/ani=1

tixi + T = R

L = v(q,M T ) + [ni=1

tixi + T R]

Condiciones de primer orden

tj : xj + [

tidxidqj

+ xj ] = 0 j = 1, . . . , n. (33)

T : dUdM

+ [i=1

ntidxidM

+ 1] = 0 (34)

(35)

Multiplicamos (34) por xj :

j +j[i

= 1n

tidxidM

+ 1

]= 0

(36)

Restamos (33) menos (36):

[i

dxidqj

+ xj

ni=1

tidxidM

]= 0

Aplicando la Ecuacion de Slutzky en dxidqj :

ni=1

tidxcidqji

= 1ntixjdxidM

+i

= 1ntixjdxidM

= 0

ni=1

tidxcidqj

= 0

ni=1

tidxcj

Conclusion: Cuando el gobierno tiene acceso a los 2 tipos de bienes, lo optimoes no distorsionar cantidades, sino que conviene reacudar todo por impuestosde suma fija.

44

Una expresion alternativa para la regla de Ramsey

tidxcidqi

xj=

[alpha+

tidxidM

]j = 1, . . . , n

= 1

ni=1

tidxidM

=1

[

ni=1

tidxidM

]

Dado que ti esta fijo, se puede reexpresar el cambio en la recaudacion ante elcambio en el ingreso como:

ni=1

tidxidM

=dixidM

Por otro lado, podemos definiar como:

= +

tidxidM

Esta ultima ecuacion representa la utilidad social (o neta) del ingreso. La Util-idad Marginal Social vara, en forma directa, con los cambios producidos en laUtilidad Margina Privada (), y en forma indirecta ante el cambio en el ingresoponderado por el precio sombra del gobierno.

La Regla de Ramsey podra reescribirse como:

tidxcidqi

xj=

1

[ ] j = 1, . . . , n.

definiendo:

: Cambio en la valuacion social si es posbile modificar marginal-mente los impuestos.

: Mide los cambios en la recaudacion si pudiese gravar sin (ocon???) impuestos de suma fija

[ ] : Carga excedente del sistema impositivo.

4.1.2. Ramsey con Consideraciones Distributivas

Supongamos que el gobierno analiza el efecto distributivo de los impuestos atraves de una funcion de bienestar social.

Supuestos:

Precios fijos.

L: unico factor.

H individuos: vh(q,M)

45

n bienes.

xhi : Demanda del bien i por el individuo j.

El gobierno tiene que seleccionar un vector de impuestos que maximice el bien-estar social.

Problema Del Gobierno

max W (v[1, . . . , vh) s/a

ni=1

ti

( Hh=1

xhi

)= R

xi : 1HHh x

hi

h = Utilidad Marginal del Ingreso para el individuo h. Mh: Ingreso exogeno de h.

L = W (v[1, . . . , vh) +

[ ni=h

ti(

nh=1

xhi )R]

Condiciones de Primer Orden

dL

dtj=

Hh=1

dW

dvhdvh

dqT

qjdtj

+

[ ni=1

tI(

Hh=1

xhidqj

) +

Hh=1

xhj

]= 0 j = 1, . . . , n.

Utilizando la Identidad de Roy:

dvh

dqj= hxhj

Considerando que la Utilidad Marginal del Ingreso Privado es h =dvh

dM , obtenemos la valoracion de la sociaedad de un cambio en elingreso del individuo h:

dW

dvhh = h

Reemplazando en las Condiciones de Primer Orden:

Hh=1

hxhj

=

ti

(h

dxhidqj

)+Hxj j = 1, . . . , n.

Recordando la ecuacion de Slutzky:

dxhidqj

=dxh

dqj xj

dxhidM

= hji xjxhidMh

(37)

46

Reempleazando en la condiciones de primer orden:

Hh=1

hxhj

=

ni=1

tih

[hji xj

dxhjdMh

]+Hxj

=

ni=1

tin

hji i

tih

h

xjdxhidMh

+Hxj h x

hj

i ti

dxhi

dMh

Definimos (efectodelcambiodelgastoenlosconsumidores)paracadaconsumidor :

h = h +

ni=1

tidxihdMh

Sabiendo que:

h = dwdvh

dvh

dM (cambio directo)

ni=1 ti

dMh = Cambios inderectos a traves de cambios en la recaudacion.

i

tih

hji = h

h

xhj hj

(h h

+Hxj

i

tih

hji =

xhjh

+Hxj

Dividiendo por Hxj obtenemos la ecuacion de Ramsey, con consideracionesdistributivas, para diferentes individuos:

ti

[1

H

hij

]=

1

[ 1

H

h

xhjxjh]

j = 1, . . . , n. (38)

El lado derecho de la ecuacion 38 representa la cada en las cantidades consum-idas.

Si consideramos un agente representativo:tijixj

=1

[ ] j = 1, . . . , n. (39)

La principal diferencia entre (39) y (38) es que en en (39) el lado derecho de laecuacion permanece constante, mientas que en (38) cambia entre los diferentesbienes, permitiendo extraer senales.

A continuacion se presentan dos casos especiales donde se perciben las carac-tersticas distributivas:

Caso I: h =

h = h + tidxhidMh

47

h = h

tidxhidMh

= cte.

ti

[1H

h ji

h

]x

=1

[ 1

H

xhjxj

]=

1

[ ]

La conclusion es igual a la del agente representativo.

Caso II: xhj

xjigual para todo j

El individuo h no consume ningun bien en forma desproporciona-da (las curvas de Engels son lneas rectas)

48

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