RAZONAMIENTO MATEMATICO

2doBimestre

RmCuatroOperaciones

01. A un número se le hacen las siguientes operacionessucesivas; se les resta 18, se eleva al cuadrado; sele suma 12, se divide entre 8 y se le adiciona 23 paraluego extraerle la raíz cuadrad y se obtiene 5. ¿Cuáles el número?A) 8 B) 10 C) 11D) 12 E) 20

02. Milagros va de compras al mercado, gastó enverduras S/. 12; con la mitad del resto comprómenestras; con el nuevo resto compró arroz y azúcargastando S/.8 quedándose únicamente con S/. 2.¿Cuánto gastó en total?A) S/. 32 B) S/. 28 C) S/. 40D) S/. 50 E) S/. 30

03. Cada vez que Leticia visita a su tía, ésta le duplica eldinero que ella lleva. La sobrina siempre le agradececon S/. 80 la bondad de su tía, un día Leticiaqueriendo ganar más dinero realizó 4 visitassucesivas a la bondadosa tía, pero fue tal la sorpresade Leticia que al cabo de la cuarta visita se quedó sinningún sol. ¿Cuánto llevó Leticia al empezar la visita?A) S/. 30 B) S/. 40 C) S/. 80D) S/. 75 E) S/. 120

04. De un recipiente lleno de agua se saca 4 litros, mástarde, se derrama la mitad del líquido; enseguida sele adiciona 4 litros, finalmente se gasta la mitad delagua, quedando 24 litros en el recipiente. Calcular lacapacidad del recipienteA) 48 L B) 108 L C) 72 LD) 120 L E) 92 L

05. Yesenia va a la librería de PITÁGORAS y gastó S/. 20en la compra de un libro de R.M., con la mitad delresto compró cuadernos, con el nuevo resto comprólapiceros gastando S/. 8 quedándose únicamente conS/. 4. ¿Cuánto gastó en total?A) S/. 10 B) S/. 20 C) S/. 30D) S/. 40 E) S/. 60

06. Ramiro compró cierta cantidad de chocolates, 1/3 deellos le regaló a Liz, los 2/5 del resto le regaló aMaría, 1/4 del nuevo resto le regaló a Susana;quedándose únicamente con 6 chocolates. ¿Cuántoschocolates compró Ramiro?A) 20 B) 14 C) 18D) 16 E) 40

07. Juan cada día gasta la mitad de lo que tiene más 20soles, la tercera parte de lo que le queda más S/. 30y finalmente la cuarta parte del resto más S/. 40 y sequedó con S/. 20. ¿Cuánto tenía al inicio?

A) 120 B) 98,5 C) 165D) 92,5 E) 80,5

08. A, B y C se ponen a jugar y pierden en el ordenindicado, donde el 1ro, el 2dop y el 3ro en perder da20 soles; duplica y triplica el dinero de los demásquedándole al final a cada uno S/. 30. ¿Cuánto perdióuno de ellos?A) S/. 15 B) S/. 10 C) S/. 25D) S/. 45 E) S/. 30

09. Si 3 jugadores, deciden que el que pierda duplica,triplica y cuadriplica respectivamente el dinero de suscompañeros, ¿cuánto tenía cada uno, si terminaroncon S/. 120 cada uni?A) S/. 110 - S/. 100 - S/. 150B) S/. 85 - S/. 135 - S/. 140C) S/. 185 - S/. 125 - S/. 50D) S/. 120 - S/. 100 - S/. 140E) S/. 50 - S/. 125 - S/. 185

10. Si por cada 2 docenas de cuadernos que compro meregalan 1 y vendo 3 docenas y regalo 1, ¿cuántoslibros debo comprar para que aun después, devender me quede con 12 cuadernos?A) 648 B) 864 C) 486D) 846 E) 480

AULA PRE ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

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NIVEL I

01. Una persona empieza un juego de apuesta con ciertacantidad; primero pierde 10 soles; sigue jugando ypierde la mitad; juega por última vez y pierde 8 soles,quedándole 20 soles. Indica con cuánto empezó ajugar.A) 40 B) 60 C) 70D) 66 E) 62

02. Se tiene un tanque lleno de agua al que abrimos eldesagüe. Si en cada hora sale la mitad de lo quequedó la hora anterior más dos litros, quedando alfinal de la tercera hora sólo cuatro litros, determina lacantidad de litros que había antes de la primera hora.A) 57 B) 48 C) 64D) 60 E) 32

03. Diez personas efectúan un viaje de excursión aChosica, cuyos gastos convienen en pagar en partesiguales. Al término del mismo, cuatro de ellos nopodían pagar, entonces cada uno de los restantestuvo que pagar S/. 8 adicionales. ¿Cuánto costaba acada uno inicialmente dicha excursión?A) S/. 9 B) S/. 10 C) S/. 12D) S/. 15 E) S/. 18

04. Comprar 3 libros equivale a comprar 7 lapiceros; sipor cada 4 cuadernos obtengo 6 lapiceros, ¿cuántoscuadernos obtengo por 9 libros?A) 11 B) 9 C) 7D) 14 E) 6

05. En una función de teatro se recaudó 420 soles conuna asistencia de 75 personas entre niños y adultos;si las entradas costaron 6 soles para adultos y 4 paraniños. ¿Cuántos niños asistieron?A) 60 B) 45 C) 30D) 15 E) 6

06. Un insecto avanza un metro en 2 segundos, yretrocede en un segundo la misma distancia. ¿Quétiempo demorará dicho insecto al recorrer unadistancia de 110 metros, si al avanzar 8 metros luegoretrocede 2 metros y así sucesivamente?A) 5 min 30 s B) 5 min 14 sC) 5 min 22 s D) 5 min 28 sE) 5 min 10 s

07. La diferencia entre 1915 y un año del siglo XIX esigual a la suma de cifras de dichos años. ¿Cuál es lamitad de la suma de cifras del año del siglo XIX?A) 9 B) 18 C) 26D) 27 E) 25

08. Al rendir una práctica de matemática observé que"fallé tantas preguntas como las que acerté, pero nocontesté tanto como puntaje saqué". Si la prácticatenía 20 preguntas que se califican así: 10 puntos siestá bien respondida, -2 puntos si está malrespondida y 0 puntos por pregunta no contestada,

¿qué puntaje obtuve?A) 8 B) 10 C) 16D) 20 E) 12

09. Hace 8 años Felipe era 6 años menor que Luis. Sidentro de 5 años la suma de sus edades es 40 años,¿cuál será la edad de Luis el próximo año?A) 30 años B) 32 años C) 29 añosD) 19 años E) 31 años

10. Dos personas tienen para la venta la misma cantidadde libros; el primero de ellos, los vende a 20 solescada uno y obtiene 240 soles de ganancia; elsegundo de éstos: los vende a 24 soles cada libro ygana 360 soles. ¿Cuántos libros tiene cada uno parala venta?A) 10 B) 20 C) 40D) 50 E) 30

NIVEL II

11. Un padre tiene S/. 2 000 y su hijo S/. 750. Cada unode ellos ahorra mensualmente S/. 50. ¿Dentro decuántos meses la fortuna del padre será el doble quela del hijo?A) 12 B) 11 C) 13D) 16 E) 10

12. Se ha pagado 750 soles con billetes de 50 soles y 20soles. ¿Cuántos billetes de 20 soles se han dado siéstos son 6 más que los billetes de 50 soles?A) 10 B) 12 C) 15D) 16 E) 18

13. Un obrero ahorra diariamente la tercera parte de loque gana en el día. Si al cabo de 10 días este obreroha ahorrado S/. 66, determinar, cuánto gana por díael obreroA) S/. 18,0 B) S/. 13,2 C) S/. 19,8D) S/. 24,0 E) S/. 27,0

14. La cabeza de un pescado mide 30 cm, la cola midetanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpomide tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál esla longitud del pescado?A) 180 cm B) 200 cm C) 240 cmD) 270 cm E) 300 cm

15. Un litro de leche pura pesa 1 030 g. Si se compra9 L de leche adulterada que pesan 9 210 g,¿cuántos litros de agua contiene?A) 0,5 L B) 1,5 L C) 2,0 LD) 2,5 L E) 3,0 L

16. Una persona compró 132 vasos a razón de S/. 4la docena, en el transporte se rompieron 30. ¿A quéprecio debe venderse c/u de los restantes paraobtener una ganancia total de S/.7?A) S/. 0,50 B) S/. 0,55 C) S/. 0,60D) S/. 0,65 E) S/. 0,70


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17. Por 48 días de trabajo, 19 obreros ganan un total de29 760 soles. A cada uno de los 12 primeros lecorresponde un salario doble del que le correspondea cada uno de los 7 restantes. ¿Cuántos soles ganandiariamente cada uno de los primeros?A) S/. 60 B) S/. 25 C) S/. 35D) S/. 30 E) S/. 40

18. En la capilla de la escuela, los alumnos estánagrupados en bancos de a 9 cada uno, si se lescoloca en bancos de a 8 cada uno entonces ocupan2 bancos más. ¿Cuántos alumnos hay presentes?A) 432 B) 360 C) 144D) 216 E) 288

19. Un comerciante ha comprado en 4 800 soles 2cajones, conteniendo cada uno 150 paquetes degalletas. El primer cajón le ha costado 600 soles másque el segundo. El comerciante ha hecho despuésuna venta de 70 paquetes del primer cajón y 30 delsegundo, cobrando por todo 2 000 soles. ¿Cuántoganó en esta venta?A) 420 B) 270 C) 360D) 450 E) N.A.

20. Un examen de ingreso de 140 preguntas, dura 3horas. Si un postulante dedica 60 minutos para leer yresponder 40 preguntas y de 10 acierta 5, ¿cuántasno acertó o dejó de responder?.A) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 120

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2doBimestre

RmEdades

OBSERVACIONES PREVIAS: Los problemas sobreedades, pertenecen al capítulo de “planteo deecuaciones”; pero, lo estudiaremos como un capítuloaparte por la diversidad de problemas existentes y por laexistencia de formas prácticas para dar solución a dichosproblemas.

A toda esa gran variedad de problemas existentes, ladividiremos en grandes grupos, con la finalidad de unmejor estudio.

I. CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLOSUJETO

Es recomendable resolver el problema planteando unasimple ecuación.

Ejemplo aplicativo (1)Hace 4 años Rocío tenía 2/5 partes de los años quetendrá dentro de 8 años. ¿Cuántos años tendrá Rocíodentro de 12 años?

ResoluciónSea la edad actual de Rocío: “x”años.Luego:hace 4 años tenía: “x –4”.dentro de 8 años tendrá: “x + 8”.Según dato:

x - 4 = (x + 8) x = 12

Dentro de 12 años tendrá: 24 años.

Ejemplo aplicativo (2)Dentro de 12 años Mauricio tendrá 3 veces más la edadque tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Mauricio?

ResoluciónSea la edad actual de Mauricio: “x”años.Luego:

La edad de Mauricio es 12 años.

Ejemplo aplicativo (3)¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que la raízcuadrada de la edad que tuvo hace 5 años más la raízcuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman11?

ResoluciónSea la edad actual de la persona: “x”años.

Luego, según dato:

Dándole un valor adecuadoa “x”que haga cumplir laecuación.

30 30

La edad de la persona es: 30 años.

Ejemplo aplicativo (4)La edad de un muchacho será dentro de algunos años uncuadrado perfecto y hace 8 años su edad era la raízcuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá, dentro de8 años?

ResoluciónSea la edad actual del muchacho: “x”años.Luego:

x + n = N2

pero:

x - 8 =

12 - 8 =

4 = 4 (Comprueba la igualdad)

La edad que tendrá dentro de 8 años es: 20 años.

Ejemplo aplicativo (5)Luis tenía en el año de 1969 tantos años como el dobledel número formado por las dos últimas cifras del año desu nacimiento. ¿Cuántos años tendrá Luis el año 2000?

* Para dar la solución a este problema, previamenteconozcamos dos ecuaciones generales:

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

Si la persona ya cumplió años.

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1

Si la persona aún no cumplió años.

Resolución

AN + Ex = AA

= 1969

1900 + + 2 = 1969

3 = 69

= 23

Luego:Ex = AA - AN

Ex = 2000 - 1923 = 77 años.


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Nota:Como Ud. observó en cada ejemplo aplicativo, sólointervino un solo sujeto, a pesar de las distintas formas deproponer y preguntar el problema. Por lo expuesto se lerecomienda al estudiante leer el problema íntegro con laintención de ubicar el tipo de problema y así resolver conprecisión.

II. CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE DOS O MÁSSUJETOS

Se presentan dos casos:

A. Tiempos específicos: Cuando especifican cuántosaños antes o después (hace dos años, hace 5 años;dentro de 11 años, etc.). Se recomienda resolver elproblema “planteando ecuaciones”, como se verá acontinuación en los ejemplos aplicativos.

Ejemplo aplicativo (1)Luis tiene el cuádruplo de los años que tiene Juan. Hace5 años la suma de sus edades era 30 años. ¿Qué edadtendrá Juan dentro de dos años?

ResoluciónComo se observa, en el problema existe la presencia dedos sujetos (Luis y Juan), pero además especifican eltiempo (hace 5 años).

Luego:Luis: 4xJuan: xademás: 4x - 5 + x - 5 = 30

5x = 40x = 8

La edad de Juan dentro de dos años será: 10 años.

Ejemplo aplicativo (2)Normita le dice a su hermano Tony: “Mi edad es 8 añosmenos que tu edad, pero dentro de 4 años tu edad será eldoble de mi edad”. ¿Cuál es la edad de Tony?

ResoluciónE(Normita): x –8E(Tony): x

pero:2(x - 8 + 4) = x + 4

2(x - 4) = x + 4x = 12

E(Tony) = ? = 12 años.

Ejemplo aplicativo (3)María tuvo su primer hijo a los 21 años; a los 24 años tuvoa su segundo hijo; a fines de 1998 las edades de los 3sumaron 63 años. ¿En qué año nació María?

ResoluciónSegún dato:

E(María)

21 0

E(María)

24 3 0

Luego:E(María)

1998 { 24+x + 3+x + 0+x = 633x + 27 = 63

x = 12

En 1998, María tiene: 36 años. A.N. = 1962.

Ejemplo aplicativo (4)Un padre tiene “n”años y su hijo tiene “m”años. ¿Dentrode cuántos años tendrá el padre el doble de la edad de suhijo?

ResoluciónE(p): nE(n): m

n + x = 2(m + x)x = n –2m

B. Tiempos no específicos: Cuando no especificancuántos años antes o después, en un problema en elcual intervienen dos, tres o más sujetos. Serecomienda el uso de una “tabla de doble entrada”.

Observaciones

Las sumas en “aspas”son iguales:10 + 36 = 29 + 1717 + 39 = 36 + 2010 + 39 = 29 + 20

Las diferencias de edades es cte.Cte.: 36 –17 = 29 –10 = 39 –20 = ... = 19

Ejemplo aplicativo (1)Adrián le dijo a Elvira: “Yo tengo 3 veces la edad que tútenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuandotengas la edad que tengo, la suma de nuestras edadesserá 35 años. ¿Cuál es la edad de Elvira?

Resolución

* 2y = 4x * y + 35 –3x = 6xy = 2x ... (α y = 9x –35 ... (β)

Luego: (α) = (β)2x = 9x - 35 x = 5

E(Elvira) = ? = 10 años.


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01. Cuando yo tenía 20 años, tú tenías la tercera parte dela edad que tienes. Si nuestras edades suman 95años, ¿cuántos años tengo?A) 40 B) 45 C) 50D) 60 E) 75

02. Dentro de 6 años la edad de Jessica será el triple dela edad de Violeta. ¿Cuál es la edad actual deJessica, si hace 2 años, la edad de ella era elcuádruplo de la de Violeta?A) 54 B) 66 C) 72D) 60 E) 56

03. Sumiko nació en y en el año cumplió (a+b)

años. ¿En qué año cumplió 3a.b/2 años?A) 1965 B) 1975 C) 1978D) 1984 E) 1980

04. En el año 1988 un profesor sumó los años denacimiento de 45 estudiantes de un salón y luego lasedades de los estudiantes, enseguida sumó ambosresultados y obtuvo 89,437. ¿Cuántos estudiantes yacumplieron años en dichos años?A) 22 B) 23 C) 24D) 25 E) 21

05. Alfredito nació en el presente siglo y en este añocumplirá tantos años como la suma de cifras del añoen que nació y el año actual. ¿Cuál es la edad actualde “Arturito”, si este año cumplió tanto como la quintaparte del producto de cifras del año de nacimiento deAlfredito? (Observación: considerar año actual 1995)A) 28 B) 27 C) 82D) 40 E) 72

06. Cuando tú tengas lo que yo tengo, tendrás lo que éltenía, cuando tenías la tercera parte de lo que tienesy yo tenía la tercera parte de lo que él tiene, que es 5años más de los que tendré, cuando tengas lo que yate dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. Entonces, yotenía:A) 5 B) 7 C) 8D) 10 E) 11

07. Bárbara le dice a Penélope: “Yo tengo el triple de laedad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tútienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, enese momento nuestras edades se diferencian en 12años. ¿Cuántos años tiene Penélope?A) 36 B) 18 C) 20D) 24 E) 28

08. Mi edad actual es 4 años menos de lo queexactamente representa el triple de la edad quetendrás cuando yo tenga el triple de lo que tienes hoy.Pero cuando tengas mi edad, la suma de nuestrasedades será 37 años. ¿Qué edad tengo?A) 11 B) 8 C) 12D) 14 E) Absurdo

09. La edad de un padre supera en 5 años a la suma delas edades de sus 3 hijos. Dentro de 10 años su edad

será el doble que la del primero, dentro de 20 años suedad será el doble de la del segundo, y dentro de 30años su edad será el doble que la del tercero. ¿Cuáles la edad del hijo menor?A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

10. La edad de María es la mitad de la edad de Miguel,pero hace 20 años la edad de Miguel era el triple dela edad de María. ¿Qué edad tenía María?A) 20 B) 80 C) 40D) 60 E) 70


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NIVEL I

01. Mi edad es 4 años menor que la edad que tú tenías,cuando yo tenía 8 años menos que la edad que tútienes, y cuando tú tengas el doble de la edad quetengo, nuestras edades sumarán 82 años. ¿Qué edadtengo?A) 26 B) 24 C) 22D) 28 E) 32

02. La edad actual de Gerson y Manolo son entre sícomo 12 es a 11. Cuando Manolo tenga la edad quetiene ahora Gerson, éste tendrá el doble de la edadque tenía Manolo hace 27 años. ¿Cuál será ladiferencia de sus edades dentro de 19 años?A) 4 B) 6 C) 5D) 8 E) 10

03. En 1932 tenía yo tantos años como expresan las dosúltimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner enconocimiento de mi abuelo esta coincidencia él dijoque con su edad ocurría lo mismo. ¿Cuántos añostenía cada uno de ellos?A) 18 y 72 B) 16 y 66 C) 16 y 72D) 18 y 81 E) 18 y 80

04. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades seráde 46 años, pero hace “n”años la diferencia denuestras edades era 4 años. ¿Hace cuántos años laedad e uno era el triple de la edad del otro?A) 10 B) 9 C) 12D) 13 E) 11

05. Elena le dice a Rosa: tu edad es el doble de la quetenías cuando yo tenía el doble de la que tuvistecuando yo cumplí 4 años. Si las edades actualessuman 32 años, ¿cuántos años tiene Elena?A) 8 B) 10 C) 12D) 14 E) 16

06. Una familia consta de 8 personas y realizan una fiestapor cada cumpleaños. Estando todos reunidos, enmayo de 1995, hicieron la suma de los años en quehabían nacido y luego le sumaron las edades detodos ellos; dando la suma total un resultado de15,955. ¿Cuántas fiestas faltan realizarse duranteeste año?A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

07. La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Luis. SiJavier hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 añosdespués, entonces, la razón de ambas edades sería16/5 de la razón que habría si Javier hubiera nacido5 años después y Luis 10 años antes. ¿Qué edadtuvo uno de ellos cuando nació el otro?A) 10 B) 20 C) 15D) 16 E) 5

08. Alicia le dice a Beatriz: “Mi edad es 6 años menos dela edad que tú tenías cuando yo tenía 10 años menos

de la edad que tú tienes. Cuando tú tengas el doblede la edad que tengo, nuestras edades sumarán 80años. ¿Qué edad tengo?”A) 28 B) 24 C) 23D) 22 E) 20

09. Cuando yo tenga el doble de la edad que tú tenías,cuando yo tenía la mitad de la edad que tuve, cuandotú tuviste la edad que yo tengo, tú tendrás el doble delo que tengo. Si nuestras edades suman 60 años,¿cuántos años tendrás cuando yo tenga lo que ya tedije?A) 24 B) 48 C) 36D) 42 E) 50

10. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad desu hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo dela de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940?A) 66 B) 72 C) 67D) 70 E) 57

NIVEL II

11. Las edades de dos personas están en la relación de5 a 7. Si el producto de ambas edades es 560,calcular la diferencia de dichas edadesA) 6 B) 8 C) 10D) 11 E) 12

12. Jorge sumó: 1 año, más 2 años; más 3 años y asísucesivamente hasta la edad actual que tiene, dandocomo resultado un número de 3 cifras iguales. ¿Cuáles la edad de Jorge?A) 35 B) 34 C) 36D) 38 E) 50

13. Si al triple de mi edad se le quita 16 años, tendría loque me falta para tener 88 años. ¿Qué edad tengo?A) 23 B) 24 C) 26D) 28 E) 30

14. Actualmente la edad de María es un cuadradoperfecto. Si dicha circunstancia se dio también hace9 años, calcular la edad actual de María y dar comorespuesta la suma de sus cifras.A) 13 B) 11 C) 10D) 9 E) 7

15. Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban enla misma relación que; 3; 4 y 5. Si dentro de 2 añosserán como : 5; 6 y 7, ¿qué edad tiene el mayor?A) 10 B) 12 C) 14D) 20 E) 28

NIVEL III

16. Víctor tiene 32 años, su edad es el cuádruple de laedad que tenía Juan cuando Víctor tenía la terceraparte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tieneJuan?A) 36 años B) 26 años C) 32 años


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D) 30 años E) 28 años

17. En el mes de agosto una persona sumó a los añosque tiene los meses que ha vivido y obtuvo 228. ¿Enqué mes nació dicha persona?A) Abril B) Enero C) MarzoD) Mayo E) Febrero

18. El año en que nació Ana representa el cuadrado desu edad en 1980. Calcular su edad en 1965A) 20 B) 25 C) 29D) 26 E) 31

19. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías loque yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la terceraparte de lo que tú tendrás, cuando entre los trestengamos 300 años y yo tenga lo que tú tienes yCarlos lo que yo tengo, tú eres mayor que yo. ¿Quéedad tiene Carlos?A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 60

20. Un padre tiene “a”años y su hijo “b”años. ¿Dentro decuántos años la edad del padre será “n”veces más ladel hijo?

A) B) C)

D) E) b - a(n+1)

2doBimestre

RmCriptoaritmética

INTRODUCCIÓN

Este tema estudia aspectos como la reconstrucción de operaciones, así como el cálculo de cifras faltantes o desconocidas,mediante el método del tanteo.

OBJETIVOS

Al finalizar el tema, el alumno será capaz de :

Reconstruir operaciones. Calcular las cifras desconocidas.

01. Si x + y + z = 18, calcular:

A) 1898 B) 1998 C) 1788D) 1798 E) 2098

02. Si:

calcular: a + b + xA) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

03. Si:

calcular: a + b + c + xA) 21 B) 22 C) 23D) 24 E) 25

04. Si

calcular:

A) 126 B) 143 C) 156D) 136 E) 120

05. Calcular: a . b . c, si:

A) 24 B) 48 C) 96D) 72 E) 126

06. Dada la siguiente multiplicación:

7

x

1 3

son ciertas:I. La suma de las cifras del producto es 12.II. La suma de las cifras que reemplazan a los

asteriscos en el multiplicando y multiplicador es 7.III. La suma de las cifras de los productos parciales

es 21.A) I y II B) I y III C) II y IIID) Sólo I E) Todos

07. Calcular (U + N + I) si se sabe que:

A) 10 B) 12 C) 18D) 19 E) 16

08. Si: , entonces 2B - A es:

A) 4 B) 5 C) 1D) -2 E) -4

09. Si se sabe que:

y

calcular: (a . b . c)A) 310 B) 42 C) 25D) 210 E) 340

10. Si:

hallar:

A) 789 B) 978 C) 879D) 987 E) 798


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NIVEL I

01. Hallar a + b + c si:

A) 8 B) 10 C) 9D) 7 E) 11

02. Si: es cuadrado perfecto, hallar: a + b

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

03. Si: . 6 = 260 604, hallar: ma - am

A) 6 B) 4 C) 7D) E) N.A.

04. Hallar: m + n - p, si . 6 = .... 852

A) 10 B) 8 C) 6D) 4 E) N.A.

05. Si: E . = 840; T . = 560, el valor de: TE .

AMO es:A) 6 440 B) 1 400 C) 47 060D) 2 352 E) 5 632

06. Si: , el valor de a . b es:

A) 25 B) 21 C) 16D) 24 E) N.A.

07. = 100 000, luego equivale a:

A) 8 819 B) 6 281 C) 6 688D) 2 448 E) N.A.

08. Si: ; y entonces:

a + b + c + d + e; es:A) 13 B) 16 C) 12D) 14 E) N.A.

09. Si: I . = 7 215, M . = 9 620 y

es:

A) 11 248 B) 5 612 C) 16 835D) 103 415 E) N.A.

10. Hallar: , si . 4 = 9 728

A) 999 B) 888 C) 624D) 1 324 E) N.A.

NIVEL II

11. El perímetro de una cancha de fútbol mide 300

metros. Si tiene de largo y de ancho, hallar

A + BA) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) N.A.

12. Hallar A + B en:

6 2 A 8 4 3 B4 3 B1 8 8 81 B 4 8- 1 4 0

1 4

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) N.A.

13. Sabiendo que:

calcular: E + R + AA) 15 B) 16 C) 17D) 18 E) 12

14. Determinar la diferencia entre la mayor y la menorcifra del siguiente producto:

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

15. Calcular:M + E + S

si:

A) 18 B) 1 C) 9D) 13 E) 21

NIVEL III

16. Hallar: a + b + c + d; luego de reconstruir laoperación:

a b x2 1a b

c d9 a b

A) 13 B) 15 C) 18D) 17 E) 20

17. Si: a + b + c + d = ; hallar la suma de cifras de

la adición:

A) 26 B) 27 C) 28D) 29 E) 30

18. Si:

O cero; calcular el valor de la suma de las cifras de:A) 25 B) 26 C) 24D) 27 E) 22

19. Calcular: x . y . z, si se cumple que:

A) 24 B) 32 C) 45D) 30 E) 36

20. Si se cumple que:


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hallar: x+ yA) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

Página 12

2doBimestre

RmMóviles

INTRODUCCIÓN

La mayoría de fenómenos naturales tales como el giro de la Tierra, la salida del Sol, el disparo de una bala, el lanzamientode un cohete espacial, el ir de viaje en nuestras vacaciones, las competencias de carrera en los 100 metros planos, eldeslizamiento de la punta de un lápiz a la hora de escribir, el parpadeo de los ojos de una persona están relacionados conel concepto de movimiento.Una de las partes de la Física que se encarga de estudiar los movimientos en sí mismo, sin considerar las causas que laproducen es la “Cinemática”.En el curso nos abocaremos exclusivamente al desarrollo del MRU.

OBJETIVOS


Aprender a utilizar la fórmula básica del MRU. Aplicar las propiedades adecuadamente en cálculos de

tiempo de alcance y tiempo de encuentro. Utilizar gráficos en la solución de problemas. Entender la relación de proporcionalidad que hay entre

espacio y tiempo.

INTRODUCCIÓNEste capítulo trata del estudio del movimiento de loscuerpos, y de sus características fundamentales comoson el espacio, tiempo y velocidad

ECUACIÓN FUNDAMENTAL

Dado un cuerpo que se mueve desde un punto “A”hasta“B”, como indica la figura

Se cumple: Donde:e : espaciot : tiempoV: velocidad

Observación:Es importante verificar que todas las variables tenganunidades compatibles.

TIEMPO DE ENCUENTRO (te)Se refiere al tiempo que demoran dos móviles enencontrarse, viajando en sentidos contrarios. Así, dadosdos móviles que se mueven en sentidos contrarios, comoindica la figura:

Para calcular después de cuánto tiempo se encuentran,se aplica la siguiente fórmula :

donde:d : distancia de separaciónVA : velocidad del móvil que está en AVB : velocidad del móvil que está en B

TIEMPO DE ALCANCE (ta)

Se refiere al tiempo que demora un móvil en alcanzar aotro que se mueve en el mismo sentido, como indica lafigura:

Observación : VA > VBsino no lo podría alcanzar

Para calcular después de que tiempo, uno alcanza al otro,se aplica la siguiente fórmula :


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Donde:d: distancia inicial de separaciónVA: velocidad del móvil que partió de AVB: velocidad del móvil que partió de B

01. ¿Qué tiempo se demora un auto en recorrer 640metros con una velocidad de 16 m/s?A) 20 s B) 40 s C) 50 sD) 80 s E) 16 s

02. Toño y Carmen están separados una distancia de20 m. Parten simultáneamente y en el mismo sentido.Calcular la distancia que ha recorrido Carmen hastaque Toño la alcanzó, si se sabe que sus velocidadesson de 6 m/s y 4 m/s respectivamenteA) 10 m B) 20 m C) 30 mD) 40 m E) 50 m

03. Ana y Mario están separados una distancia de 80 mparten en el mismo instante y van uno hacia el otro.Ana va a 2 m/s y Mario a 3 m/s. ¿Qué distancia harecorrido cada uno cuando se encuentran?A) 16 m; 24 m B) 24 m; 32 mC) 48 m; 64 m D) 32 m; 48 mE) 32 m; 46 m

04. Un auto recorre el AB en 20 horas. Si quisierarecorrerlo en 25 horas debe disminuir su velocidad en8 km/h. ¿Cuántos kilómetros midel el tramo AB?A) 200 km B) 400 km C) 600 kmD) 800 km E) 900 km

05. Para ir de un pueblo a otro, una persona camina arazón de 8 km/h y para volver lo hace a razón de5 km/h. Calcular la distancia que hay entre lospueblos, sabiendo que en el viaje de ida y vuelta sehan empleado en total 13 horas.A) 30 km B) 40 km C) 60 kmD) 80 km E) 100 km

06. Dos autos separados por una distancia de 240 kmparten al mismo tiempo. Si van en el mismo sentido,uno alcanza al otro al cabo de ocho horas, pero si lohacen en sentidos opuestos, encontrarían al cabo decinco horas. ¿Cuál es la velocidad de cada uno?A) 9 km/h; 39 km/h B) 9 km/h; 31 km/hC) 20 km/h; 12 km/h D) 12 km/h; 39 km/h

07. Recorrí 200 km con velocidad constante, si hubieraviajado con una velocidad mayor en 2 km/h, hubieraempleado 5 horas menos. ¿En qué tiempo recorreré240 km?A) 10 h B) 20 h C) 30 hD) 40 h E) 50 h

08. Si camino con una rapidez de 10 km/h me retraso 1hora, pero si camino a 5 km más en caa hora, meadelanto 1 hora. ¿Con qué velocidad debo ir parallegar a la hora exacta?A) 12 km/h B) 14 km/h C) 16 kmh/hD) 18 km/h E) 20 km/h

09. Un bus debía cubrir una cierta distancia en undeterminado tiempo, pero el conductor era novato,recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de lavelocidad normal y llegó con un retraso de cuatrohoras. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente?A) 12 B) 15 C) 16D) 18 E) 19

10. Una persona dispone de cuatro horas para dar unpaseo, hasta que distancia podrá hacerse conducircon un auto que va a 12 km/h, sabiendo que ha deregresar a pie a la velocidad de 6 km/hA) 12 km B) 13 km C) 14 kmD) 16 km E) 15 km


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NIVEL I

01. Un matemático desea calcular la distancia entre sucasa y el puesto de periódico y observa quecaminando a 6 m/s tarda 4 segundos más que alcaminar a 8 m/s. ¿Cuál es la distancia?A) 90 m B) 48 m C) 30 mD) 72 m E) 96 m

02. Una persona dispone de 10 horas para salir depaseo. Si la ida la hace en motocicleta a15 km/h y el regreso a pie a 5 km/h, hallar el espaciototal que recorrió dicha persona.A) 37,5 km B) 375 km C) 750 kmD) 75 km E) 27,5 km

03. Una persona dispone de 5 horas para salir de paseo.¿Hasta qué distancia podrá alejarse con un auto queva a 54 km/h, sabiendo que ha de regresar a pie conuna velocidad de 6 km/h?A) 17 km B) 37 km C) 57 kmD) 27 km E) 45 km

04. Un carro sale de A hacia B a 80 km/h y regresaa 50 km/h después de 16 horas. Si el carro se detuvoen B por 2 horas y se detuvo 1 hora en el camino deregreso, determinar la distancia AB.A) 1 000 km B) 200 km C) 300 kmD) 400 km E) 500 km

05. La distancia entre 2 ciudades a lo largo de un río es80 km. Un barco tarda en hacer un viaje de ida yvuelta entre las ciudades 8 horas y 20 minutos. Hallarla rapidez del barco en aguas en reposo, sabiendoque la rapidez del agua es 4 km/h.A) 20 km/h B) 10 km/h C)8 km/hD) 12 km/h E) 14 km/h

06. Dos autos pasan por un mismo punto y se mueven enel mismo sentido con velocidades de 40 m/s y 20 m/s.Delante de ellos a 900 m hay un árbol. ¿Después dequé tiempo los móviles equidistarán del árbol?A) 28 s B) 45 s C) 32 sD) 30 s E) 15 s

07. Una persona recorrió los 2/3 de un camino enbicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de4 km/h tardando en total 7,5 h. ¿Cuál fue la longitudtotal recorrida en km?A) 72 B) 84 C) 96D) 120 E) 240

08. Un tren que marcha con velocidad constante cruza untúnel de 60 m en 11 s. Si su velocidad la aumenta en6 m/s logra pasar delante de una persona en 4 s.Hallar la longitud del tren.A) 120 m B) 34,5 m C) 72 mD) 144 m E) 26 m

09. Un camión emplea 8 s en pasar delante de unobservador y 38 s en recorrer una estación de 120 m.de longitud. Hallar la longitud del camión.

A) 33 m B) 32 m C) 30 mD) 28 m E) 36 m

10. Luis y Alberto parten de una ciudad a otra, situada a24 km de la primera; Luis lo hace con una rapidez de2 km por hora menos que Alberto, llegando a sudestino con una hora de retraso. ¿Cuál es la rapidezde Luis?A) 5 km/h B) 7 km/h C) 6 km/hD) 8 km/h E) 3 km/h

NIVEL II

11. Dos autos arrancan del mismo punto viajando endirecciones opuestas. La velocidad de uno es80 km/h y la del otro es 70 km/h. ¿En cuántas horasllegan a separarse 375 km?A) 2 h B) 2,5 h C) 3 hD) 4,5 h E) 4 h

12. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de unobservador y 10 segundos en pasar totalmente por untúnel de 400 m de longitud. ¿Cuál es la longitud deltren?A) 1 400 m B) 1 200 m C) 1 600 mD) 1 800 m E) 2 000 m

13. Juan y Claudia parten al mismo tiempo y en el mismosentido. Si la velocidad de Juan es el quíntuple de lavelocidad de Claudia. Hallar la distancia que recorreráClaudia antes de ser alcanzada por Juan de quien seescapa, sabiendo que inicialmente los separa 1 840metrosA) 280 m B) 460 m C) 560 mD) 580 m E) 620 m

14. Todos los días sale de Chiclayo a Lima un ómnibuscon velocidad de 100 km/h, éste se cruza diariamentea las 12:00 h con un ómnibus que viene de Lima convelocidad de 50 km/h, cierto día el ómnibus que salede Chiclayo encuentra malogrado al otro a las14:00 h. ¿A qué hora se malogró el ómnibus que salede Lima?A) 06:00 h B) 07:00 h C) 08:00 hD) 09:00 h E) 10:00 h

15. Un motociclista viajando a 100 km/h, llegaría a sudestino a las 19 h, viajando a 150 km/h llegaría a las17:00 h. Si desea llegar a las 18 horas, ¿a quévelocidad debe ir?A) 100 km/h B) 130 km/h C) 120 km/hD) 180 km/h E) 200 km/h

NIVEL III

16. Romeo y Julieta se encuentran separados por 120 m.En determinado momento corren desesperadamentea encontrarse pudiendo hacerlo al cabo de 20 s. SiJulieta cambiando de opinión corre en sentidocontrario Romeo lo alcanzaría en 30 s. Hallar lavelocidad de Julieta en m/s.A) 5 B) 1 C) 10


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D) 8 E) 9

17. Un tren demora en pasar junto a una persona 15segundos. Hallar la longitud del tren si se demora 20segundos en cruzar un puente de 500 metrosA) 1 200 m B) 1 500 m C) 1 800 mD) 2 000 m E) 2 400 m

18. Una lancha a motor, navega un río aguas arriba,describiendo una velocidad de 24 km/h y aguas abajo86 km/h. Determinar la velocidad del río en km/hA) 55 B) 31 C) 42D) 44 E) 38

19. Ricardo y Elena se encuentran separados por3 600 m. En determinado momento corren aencontrarse con velocidades respectivas de 80 y40 km/h justo en el momento en que parten, deRicardo sale un pajarito que se dirige a Elena y luegose regresa y así sucesivamente hasta que amboschocan. Hallar el espacio recorrido por el pajaritosi su velocidad fue de 90 km/h.A) 2,4 km B) 3,4 km C) 3,2 kmD) 2,7 km E) 6,1 km

20. Un galgo avanza 4 metros cada 5 s y una liebre 2 mcada 3 s, la liebre lleva 8 m de ventaja. ¿En cuántossegundos será alcanzada por el galgo?A) 20 s B) 40 s C) 60 sD) 80 s E) 85 s

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2doBimestre

RmFracciones

INTRODUCCIÓN

Este tema trata sobre como podemos representar una parte de un total y las operaciones que se pueden realizar con lasexpresiones obtenidas. Además sobre la clasificación de fracciones y su aplicación.

OBJETIVOS


Reconocer el tipo de fracción según clasificación. Realizar operaciones básicas con fracciones. Aplicar adecuadamente la definición de fracción en la

solución de problemas.

1. EJEMPLOS:Ejemplo: Mi abuelo dejó su herencia entre sus 7nietos. Si todos recibimos por igual, para hallar quéparte recibirán 3 de ellos, primero dividiremos laherencia en 7 partes iguales, de los cualesconsideramos sólo 3 partes; así:

Luego:* ¿Qué parte de 7 es 3? ...* ¿Qué parte de 7 representa 5?...* ¿Qué parte es 13 respecto de 18?...* ¿Qué parte de a

2+ b

2es a - b?...

Finalmente:

En general:

También:

* Si gastamos de la herencia, quedará todavía .

* Si perdemos , quedará .

* Si regalamos , quedará .

* Si ganamos , tendremos ahora .

* Si ganamos , tendremos ahora .

2. OPERACIONES CON FRACCIONES

Aplicación 1: De un terreno, la quinta parte se siembracon maíz y los 2/7 del resto con alfalfa; si aún quedan480 m

2sin sembrar, hallar cuánto mide el terreno y qué

parte de lo que queda es la no sembrada de maíz.

Resolución:

Tambiénpiden:ES

DEnosiembromaíz

queda

45x

=57

45x

= 75.

Aplicación 2: Ricardín recibe su pago del siguientemodo: el primer día recibió la quinta parte; el segundo día,1/8 de lo que le faltaba recibir luego del primer día. Eltercer día recibe los 5/3 del primer día; el cuarto día recibeel doble del segundo día y el quinto día recibe los S/. 150restantes. Hallar cuánto recibió en total.

Resolución:


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Pago total : S/. x

1°.día

2°.día

3°.día

4°.día

Recibe Falta recibir

Dato:5°. día recibe

x = S/. 150

x = S/. 900

Observación: Dentro de las operaciones con fraccionesdebemos tener en cuenta que las siguientes palabras:"DE, DEL, DE LOS" significan multiplicar.

* Hallar los de los de los de la cuarta parte

de 470.

3. CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Sea la fracción:donde : N; D Z

+

N

a) Fracción propia (N < D)

Ejemplo:

b) Fracción impropia (N > D)

Ejemplo:

* Aquí se originan los números mixtos.

c) Fracción reductible (N y D tienen divisorescomunes diferentes de la unidad)

Ejemplo:

d) Fracción irreductible (N y D son PESI)

Ejemplo:

* De ellos, se desprenden las fracciones equivalentes.

La fracción equivalente de será: FEQUIV =

e) Fracciones homogéneas

Ejemplo:

f) Fracciones heterogéneas

Aplicación 1: Se tiene una fracción equivalente a ,

donde la diferencia de cuadrados de sus términos es iguala 3 024. Hallar la suma de sus términos.

Resolución:

Primero a lo debemos reducir:

Dato: (5k)2–(2k)

2= 3 024 k = 12

Luego: FEQUIV =

Piden: 24 + 60 = 84

Aplicación 2: ¿Cuántos valores puede tomar "a"

sabiendo que es una fracción propia e irreductible

mayor que ?

Resolución:

Luego:

Piden: 5 fracciones


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01. 1/5 de A es los 3/10 de B. ¿Qué parte de B es A?A) 1/2 B) 3/10 C) 3/5D) 3/2 E) 6/5

02. Calcular el valor de un número sabiendo que si a lacuarta parte de sus 2/5 se le agrega los 2/5 de sus5/8 y se resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene121.A) 280 B) 440 C) 220D) 880 E) 420

03. Una piscina está llena sus 5/6 partes. Si se sacara20 000 litros, quedaría llena hasta sus 2/3 partes,¿cuántos litros faltan para llenarla?A) 20 000 B) 30 000 C) 40 000D) 36 000 E) 120 000

04. Se vende 1/3 de un lote de vasos. Si se quiebran 30y quedan todavía 5/8 de lote, ¿de cuántos vasosconstaba el lote?A) 620 B) 720 C) 650D) 750 E) 670

05. Un envase contiene 48 litros de agua. Si se retiran3/8 del contenido, luego los 2/3 del resto y por últimolos 3/5 del nuevo resto, ¿cuántos litros quedan?A) 4 B) 8 C) 12D) 6 E) 10

06. Si disminuyo mi edad en 1/5 obtengo 48 años. ¿Quéedad tendré dentro de 10 años?A) 70 B) 75 C) 60D) 80 E) 90

07. El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y luegodisminuye en 1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucediócon el sueldo de dicho profesor?A) No varíaB) Disminuyó 1/5C) Aumenta en 4/5D) Aumenta 1/10E) Disminuye en 1/25

08. Un alumno hace 1/3 de su asignatura antes de ir auna fiesta, después de la fiesta hace 3/4 del resto yse va a dormir. ¿Qué parte de la asignatura le quedapor hacer?A) 1/2 B) 1/6 C) 1/12D) 2/3 E) 7/12

09. Silvia llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 dela película, 6 minutos después llega Juanita y sólo velos 4/5 de la película. Si la película empezó a las13:00 h, ¿a qué hora termina?A) 14:20 B) 14:30 C) 15:30D) 16:00 E) 17:00

10. De un juego de 29 cartas se saca primero “x”cartas;luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavíarestan 10 cartas, ¿cuántas cartas sacó la primeravez?A) 10 B) 12 C) 20D) 9 E) 14

NIVEL I

01. Al retirarse 14 personas de una reunión se observaque ésta queda disminuida en sus 2/9. ¿Cuántosquedaron?A) 60 B) 56 C) 49D) 50 E) 63

02. Un futbolista disparó 18 penales, acertando 15. ¿Quéparte de los penales que acertó, no acertó?A) 1/3 B) 1/5 C) 5/6D) 1/6 E) N.A

03. Un cartero dejó 1/5 de las cartas que lleva, en unaoficina, los 3/8 en un banco. Si aún le quedaban 34cartas por distribuir, ¿cuántas cartas tenía paradistribuir?A) 60 B) 70 C) 80D) 90 E) N.A.

04. Jorge compra cierta cantidad de naranjas, a su

hermana le regala la mitad de lo que compra más 4naranjas, a su vecina la mitad de lo que le queda más2 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró si al final lesobraron 16 naranjas?A) 52 B) 96 C) 48D) 80 E) 60

05. Si de un depósito que está lleno 1/3 de lo que no estálleno, se vacía 1/8 de lo que no se vacía. ¿Qué partedel volumen del depósito quedará con líquido?A) 2/7 B) 2/9 C) 1/7D) 3/8 E) 8/27

06. Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de sulongitud y 1/6 de su ancho. ¿Cuántos metros debencomprarse para que después de lavada sedisponga de 96 m

2, sabiendo que el ancho original

es 80 cm?A) 160 m B) 200 m C) 180 mD) 220 m E) N.A.


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07. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de loque le queda. Si ha perdido en total $12, ¿cuántotenía al principio?A) $ 108 B) $ 120 C) $ 132D) $ 144 E) N.A.

08. Si a los términos de 2/5 le sumamos 2 números quesuman 700 resulta una fracción equivalente a laoriginal. ¿Cuáles son dichos números?A) 200 y 500 B) 300 y 400 C) 250 y 450D) 350 y 350 E) 600 y 100

09. Gasté 3/5 de lo que no gasté y aún me quedan 60soles más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? (En soles)A) 150 B) 190 C) 200D) 250 E) 240

10. En un salón de 50 alumnos se observa que laséptima parte de las mujeres son rubias, y la onceavaparte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombresno usan lentes?A) 22 B) 28 C) 2D) 20 E) 4

NIVEL II

11. He recibido los 2/3 de la mitad de la quinta parte de720, lo cual representa 1/2 de la tercera parte de loque tenía inicialmente. ¿Cuánto tenía inicialmente?A) 644 B) 460 C) 288D) 522 E) 366

12. En una reunión los 2/3 de los concurrentes sonmujeres y los 3/5 de los varones son casados, entanto que los otros 6 son solteros. El número depersonas que asistieron a la reunión es:A) 45 B) 36 C) 30D) 25 E) 15

13. Con 5/8 de litro se pueden llenar los 5/18 de unabotella. Cuando falten 5/3 litros para llenar la botella,¿qué parte de la botella estará llena?A) 7/9 B) 9/17 C) 5/37D) 7/27 E) 6/17

14. Tengo un vaso lleno de alcohol, bebo la sexta parte,luego bebo 1/4 de lo que queda. ¿Qué fracción de loque queda debo volver a beber para que aún sobrenlos 3/8 del vaso?A) 2/3 B) 2/5 C) 1/6D) 1/3 E) 1/5

15. Al lavarse una tela, se observa que se encoge 1/3 desu longitud y así mismo se estira 1/5 de su ancho.¿Cuántos metros deben comprarse para que despuésde lavada se disponga de 240 m2, sabiendo que elancho original sea de 60 cm?A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

NIVEL III

16. Al dejar caer el suelo una pelota cada vez que rebotase eleva una altura iguala los 2/5 de la altura anterior.Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 16 cm,¿de qué altura cayó inicialmente?

A) 350 B) 250 cm C) 400 cmD) 150 cm E) 200 cm

17. Se distribuyó 300 litros de gasolina entre 3 depósitosen partes iguales, el primero se llena hasta sus 3/5 yel segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercerdepósito se llenará si su capacidad es la suma de lascapacidades de los 2 primeros?A) 1/3 B) 2/5 C) 27/20D) 11/15 E) 1/4

18. Gasté los 2/3 de lo que no gasté, luego recupero 1/3de lo que no recupero y tengo entonces S/. 28.¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/4 de lo queno logré recuperar?A) S/. 20 B) S/. 24 C) S/. 25D) S/. 26 E) S/. 18

19. Un galón de pintura rinde para 30 m2. Si con los 2/5

de los 3/4 de 8 galones se ha pintado los 2/3 de los4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dichapared?A) 720 B) 270 C) 135D) 13,5 E) N.A.

20. De un recipiente que contiene vino, no está lleno 2/5de lo que está lleno; se extrae 2/3 de lo que no seextrae, luego no se elimina 1/2 de lo que se elimina.¿Qué fracción de lo que había inicialmente quedó convino?A) 1/12 B) 3/7 C) 2/9D) 4/15 E) 2/7

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2doBimestre

RmReducciónalaUnidad

INTRODUCCIÓN

Los problemas de este tipo tratan generalmente de analizar y comparar el trabajo realizado por personas, máquinas, etc.tomando como base la unidad de tiempo (día, hora, minuto, etc).

OBJETIVOS


Reconocer un problema donde se aplique reducción a launidad.

Aplicar adecuadamente el método en la solución deproblemas.

Por ejemplo: Si Brenda realiza un trabajo en 8 días yconsiderando que su eficiencia es igual todos los días,entonces diremos que en “1 día”ella realizará 1/8 deltrabajo; gráficamente:

18

En1díahace: 1(trabajo)8

En8díashará:1trabajo

18

18

18

1día 1día 1día 1día...

TRABAJO

Otro ejemplo: Si un reservorio puede ser llenado porun grifo “A”en 8 horas, pero otro grifo “B”lo puedellenar en 10 horas. Hallaremos que tiempo demoranen llenar todo el reservorio si trabajan juntos.

Demora: 8h 10hA B AyB

juntos

18

110

18

110+ = 9

40En1díallenan:

Luego: En 1 día juntos llenan: (reservorio)

En días llenarán: 1 reservorio

APLICACIÓN 1: A, B y C pueden hacer una obra en12; 8 y 6 días respectivamente. Empiezan la obra lostres y al finalizar el segundo día se retira A y lo quefalta lo hacen B y C. Hallar en qué tiempo seterminará toda la obra.Resolución:

Demora:A AByC

juntos

112

En1díahacen:

12dB8d

C6d

1/12 1/8 1/6

ByCjuntos

18+ 1

6+ 38= 1

816+ 7

24=

1° Trabajando A, B y C en 1 día hacen 3/8

en 2 días harán 2 . =3/4

faltando hace: de la obra

2° Solo trabajan B y C; en 1 día hacen 7/24en x días deben hacer 1/4x = 6/7 días

Luego el tiempo total empleado es: 2 + = días

APLICACIÓN 2: Un tanque puede ser llenado por un grifo“A”en 6 horas y vaciado por otro grifo “B”en 8 h. Seabren ambas cañerías durante 3 horas, luego se cierra“B”, y “A”continúa abierto durante 3 horas; al final del cualse reabre “B”. Hallar cuánto tiempo se empleó parallenarse totalmente el tanque.

Resolución:

Demora:

A(llena)

AyBjuntos

6h

B(extrae)

8h

En1hora: 16

18

18

18

- = 124

1° A y B juntos en 2 horas llenan:

Falta llenar:

2° “A”trabajando solo en 3 horas llena:

Falta llenar:

3° Finalmente A y B juntos: en 1 h llenan 1/24


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en x h deben llenar

x = 10 h

Luego en total demoran: 2 + 3 + 10 = 15 horas

APLICACIÓN 3: Abel y Bruno se comprometieron arealizar un trabajo en 40 horas. Al finalizar la octava horade trabajo Abel se retira y Bruno continúa el trabajoterminándolo en 12 horas más de lo previsto. Si en lugarde Abel, Bruno se hubiera retirado, hallar qué tiempoadicional hubiera empleado Abel en concluir el trabajo.

Resolución:1° Abel y Bruno pensaban demorar 40 horas, pero como

ya pasaron 8 horas, entonces lo que falta de la obralo harán todavía en 32 horas. Pero Bruno solo, lohace en (32 + 12) horas.Analicemos lo que falta, porque allí se produce eltiempo adicional.

2°

Demora:

AyBjuntos

En1hora:132

Bruno Abel

32h 32+12 x

144

1x

Se cumple:

Luego el tiempo adicional será:

117 h 20 min - 32 h = 85 h 20 min.

APLICACIÓN 4: Tres tuberías A; B y C funcionandojuntas pueden llenar la cuarta parte de un tanque en 2horas; pero A y B pueden llenar la quinta parte en 2 horsy B y C pueden llenar todo en 15 horas. Hallar qué tiempoempleará B en llenar la tercera parte del tanque si trabajasolo.

Resolución:

* A, B y C llenan tanque en 2 horas

1 tanque en 8 horas

* A y B llenan tanque en 2 horas

1 tanque en 10 horas

Aa1a

Bb1b

Cc1c

A,ByC818

AyB10110

ByC15115En1hora:

Demora:

Se cumple:

1a

1b+ 1

c+ 18=

1/15

110

1c

18= 1

10-1

c= 140

Pero:

b = 24

Luego la tercera parte del tanque, lo llenará “B”en 8horas.


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01. Un depósito puede llenarse por un grifo en 2 horas,por otro en 3 horas y puede vaciarse por uno dedesagüe en 4 horas. Si se abren los tres grifos juntos,hallar en qué tiempo se llenaráA) 2 3/4 h B) 2 5/7 h C) 1 5/7 hD) 2 8/11 h E) 1 8/9 h

02. Un tanque puede ser llenado por una bomba en 5horas y por otra bomba en 4 horas. Si una llave en elfondo lo puede descargar en 10 horas, hallar eltiempo que demorarían en llenarlo si funcionan todosa la vezA) 2 3/4 B) 1 9/10 C) 3 2/5D) 2 6/7 E) 4 1/4

03. Un obrero puede hacer una obra en 21 días, mientrasque su ayudante tarda 28 días para hacer la mismaobra. Trabajando juntos, hallar qué tiemponecesitaron para hacer toda la obraA) 12 días B) 21 días C) 15 díasD) 24 días E) 18 días

04. Una persona camina sobre una escalera enmovimiento y demora en subirla 36 segundos; perocuando está parada sobre ella demora en subirla 60segundos. Hallar qué tiempo demora en subir sicamina sobre la escalera detenida.A) 80 s B) 85 s C) 75 sD) 90 s E) 70 s

05. Tres obreros hacen un trabajo en 4 horas. Sabiendoque el primero lo haría solo en 8 horas y el segundoen 12 horas, hallar lo que demoraría el tercerotrabajando solo.A) 16 h B) 19 h C) 11 hD) 20 h E) 24 h

06. Dos obreros necesitan 12 horas para hacer untrabajo. Si uno trabajando solo lo hace en 20 horas.Hallar cuánto tiempo empleará el segundo trabajandosolo en hacer los 3/5 del trabajo.A) 15 h B) 18 h C) 14 hD) 16 h E) 19 h

07. Un caño llena un estanque en 12 horas, mientras queun desagüe lo deja vacío en 15 horas. Hallar encuánto tiempo se llenará el estanque si el desagüe seabre 2 horas después que el cañoA) 48 B) 54 C) 50D) 56 E) 52

08. Martha hace un trabajo en 12 días y Raquel hace elmismo trabajo en 60 días; después de trabajar juntosdurante dos días se retira Martha. Hallar en cuántosdías terminará Raquel la parte que falta.A) 52 B) 48 C) 44D) 50 E) 46

09. Un obrero puede realizar una obra en 9 días.Después de 4 días de empezada la obra recibe a unayudante y terminan lo que falta en 2 días. Hallar encuántos días haría toda la obra el ayudante solo.

A) 6 B) 12 C) 8D) 15 E) 10

10. Lolito y Panchito pueden hacer una obra en 12 días.Después de haber trabajado juntos 4 días, Lolito caeenfermo y Panchito termina el trabajo en 40 das. SiLolito hubiera trabajado solo, hallar en cuántos díashubiera hecho toda la obra.A) 13 B) 21 C) 15D) 24 E) 18


Página 23

NIVEL I

01. Para llenar de agua una bañera hay dos grifos. Si seabre solamente el de agua caliente, se llena la bañeraen 20 minutos, si se abre sólo el de agua fría se llenaen 30 minutos. ¿En cuánto tiempo se llena la bañera,si se abre los dos a la vez?A) 1/2 h B) 1/4 h C) 1/5 hD) 1/3 h E) 1/12 h

02. Un caño llena una piscina en 3/2 h, otro lo hacetambién a 3/2 h y un desagüe la vacía en 3 h. Sitodos se abren a la vez (caños y desagüe), ¿en quétiempo se llenará?A) No se llena B) 1 h C) 3 hD) 2 h E) N.A.

03. Un tanque está las 3/4 partes lleno; el caño A puedellenarlo en 12 minutos. El caño B puede desaguarloen 8 minutos. Si ambos caños están abiertos, ¿quétiempo se emplearía en desaguar el tanque?A) 14 min B) 22 min C) 16 minD) 18 min E) 9 min

04. Un tanque de 480 litros puede ser vaciado en 60minutos (suponiéndolo lleno) y puede ser llenado en40 minutos (suponiendo cerrada la llave dedesfogue). ¿Cuánto tiempo tomará para llenar estetanque si estuviera vacío y abierto su desagüe?A) 1 h B) 2 h C) 2,5 hD) 3 h E) 3,5 h

05. Dos obreros necesitan 12 horas para hacer untrabajo. Si uno solo lo hace en 20 horas, ¿cuántotiempo emplearía el segundo?A) 24 h B) 30 h C) 32 hD) 35 h E) 36 h

06. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días,pero trabajando por separado uno tardaría 9 días,más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otro?A) 36 días B) 40 días C) 45 díasD) 48 días E) 54 días

07. Se tiene un tanque con tres llaves, la primera llena eltanque en 4 h, la segunda llave llena el mismo tanqueen 6 horas y la tercera llave desagua el mismo tanqueen 8 horas. ¿En qué tiempo deberá llenar las 7/8partes del tanque, si se abren las tres llaves al mismotiempo estando vacío el tanque?A) 1 h B) 3 h C) 1,5 hD) 1,75 h E) 2,5 h

08. Estando el desagüe de una piscina cerrado, un cañodemora 6 horas en llenarla, y estando abierto eldesagüe, el caño se demora 9 horas en llenarla. Sillenamos la piscina y cerramos el caño, ¿en cuántashoras se vaciará completamente?A) 18 h B) 12 h C) 20 hD) 15 h E) 16 h

09. Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 h. Si el

grifo B fuera desagüe se tardarían en llenar el tanque60 h. ¿En cuánto tiempo se tardarían en llenarindependientemente el tanque?A) 40 h; 120 h B) 60 h; 100 hC) 80 h; 100 h D) 60 h; 120 hE) 40 h; 100 h

10. Tres obreros hacen un trabajo en 4 días. Sabiendoque el primer obrero lo haría él solo en 9 días y elsegundo en 12 días, averiguar lo que tardaría eltercer obrero trabajando soloA) 19 días B) 20 días C) 22 díasD) 19,5 días E) 18 días

NIVEL II

11. Un obrero puede terminar un trabajo en 15 días consu aprendiz. ¿Qué tiempo empleará él para hacerlosolo, si el trabajo del aprendiz es igual a 1/3 delsuyo?A) 18 días B) 20 días C) 21 díasD) 16 días E) 22 días

12. Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿en quétiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendoque Arturo hace toda la obra en 6 horas?A) 1 h 20' B) 1 h 30' C) 1 hD) 1 h 45' E) 1 h 50'

13. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja, laprimera en 9 días, la segunda en 10 días y la terceraen 12 días, se emplean a la vez 1/4 de la primera, 1/3de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿En cuánto tiempose hará la zanja?A) 10 días B) 9 días C) 8 díasD) 7 días E) 6 días

14. A y B pueden hacer una obra en 20 días B y Cpueden hacer la misma obra en 15 días y A y C lapueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán laobra A, B y C juntos?A) 5 B) 10 C) 14D) 16 E) 18

15. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas puedenllenar la mitad de un tanque en 4 horas. Si funcionansólo A y B pueden llenar todo el tanque en 10 horasy si funcionan B y C lo llenan en 15 horas. ¿Encuántas horas llenará la tercera parte del tanque latubería B si funciona sola?A) 12 h B) 8 h C) 6 hD) 9 h E) 10 h

NIVEL III

16. Un tanque de 2 m3

de capacidad posee 3 tuberías dealimentación. Se sabe que dos de ellas poseen uncaudal de 100 y 200 litros/h. Hallar el caudal quedebe poseer la tercera tubería para que el tanque sellene exactamente en 8 horas y que simultáneamentela tubería de desfogue elimine el agua a razón de 60litros/h


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A) 50 L/h B) 100 L/h C) 10 L/hD) 5 L/h E) 20 L/h

17. Un recipiente de 620 L debe ser llenadocompletamente por medio de 3 caños que se abrensimultáneamente y que vierten 72 L en 12 minutos,36 L en 9 minutos y 30 L en 3 minutos. Hallar eltiempo de llenadoA) 28 min B) 29 min C) 30 minD) 31 min E) 32 min

18. Una cañería llena una piscina en 4 horas y otra lapuede dejar vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo puedellenarse la piscina si la cañería de desagüe se abre 1hora después?A) 11 h B) 12 h C) 9 hD) 10 h E) 13 h

19. Un obrero puede hacer un trabajo en 7 días y otro en14 días. Si el primero trabaja solo durante un día yluego trabajan juntos hasta terminar la obra, ¿cuántotiempo han tardado en hacer toda la obra?A) 2 días B) 7 días C) 5 díasD) 3 días E) 4 días

20. Un grifo llena un tanque en 6 horas, otro lo llena en 2horas y un mecanismo de desagüe lo vacía en 3horas. Si se mantiene abierto el primer grifo duranteuna hora y a partir de entonces se abren el segundoy el desagüe, ¿cuánto tiempo tardará para terminarde llenarse el tanque?A) 5/2 horas B) 7/2 horas C) 2 horasD) 3 horas E) 7/3 horas

2doBimestre

RmTantoporCiento

AumentosyDescuentosSucesivos

INTRODUCCIÓN

El tanto por ciento es una operación aplicada en muchas ocasiones de nuestra vida diaria como al comprar o vender.Por eso su estudio se hace importante para nosotros pues nos ayuda a poder desenvolvernos mejor en nuestra sociedad.

OBJETIVOS


Diferenciar entre tanto por ciento y porcentaje. Calcular un porcentaje determinado y el tanto por ciento de una

cantidad. Calcular aumentos y descuentos sucesivos de una cantidad

determinada.

1. PORCENTAJE A FRACCIÓN

40% = = 0,4

125% = = 1,25

24% = = 0,24

2. FRACCIÓN A PORCENTAJE

. 100% = 20%

. 100% = 75%

0,32 = 0,32 . 100% = 32%

3. ¿Qué porcentaje es “a”de “b”? Rpta : .100%

Ejemplos :

¿Qué porcentaje es 3 de 4?

Rpta. : . 100% = 75%

¿Qué porcentaje es de (5x - 1)?

Rpta. : . 100% = 20%

¿Qué porcentaje de es

? Rpta. : . 100% = 60%

4. PORCENTAJE DE UN NÚMERO

Calcular el 20% de 40 = . 40 = 8

Calcular el 60% de 90 = . 90 = 54

Calcular el 20% del 60% del 50% de 20= .20 = 1,2

En general :

5. PORCENTAJE DE PORCENTAJE

Calcular el 30% de 50% = . 50% = 15%

Calcular el 20% de 80% del 50% = .50% = 8%

En general :


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6. TANTO POR CIENTO MÁS

Calcular el 20% más de 40< >calcular el 120% de 40= 48

Calcular el 40% más de 20<> calcular el 140% de 20= 28

En general :

Calcular el a% más de N< >calcular el (100+a)% de N

7. TANTO POR CIENTO MENOS

Calcular el 30% menos de 30< >calcular el 70% de 30=21

Calcular el 40% menos de 80< >calcular el 60% de 80=48

En general :

Calcular el a% menos de N < > calcular el (100 - a)% de N

8. DESCUENTOS SUCESIVOS

I. Para dos descuentos sucesivos :

Sean a% y b% dos descuentos sucesivos, entoncesel descuento único o efectivo se determina por:

II. Para “n”descuentos sucesivos :

En este caso se aplica el tanto por ciento menos paradeterminar lo que se debe pagar, en consecuencia eldescuento único se obtiene restando de 100%.En general para “n”descuentos sucesivos : D1; D2;D3; ..........; Dn, el descuento único equivalente (Du)será :

9. AUMENTOS SUCESIVOS

I. Para dos aumentos sucesivos :Sean a% y b% dos aumentos sucesivos, entonces elaumento único (Au) o equivalente se determina por:

II. Para “n”aumentos sucesivos :En este caso se aplica el tanto por ciento más paradeterminar lo que se recibe al final, en consecuenciael aumento único (Au) se obtiene restándole 100%.En general para “n”aumentos sucesivos : A1; A2; A3;..........; An, el aumento único equivalente (Au)equivalente será :

01. ¿Qué porcentaje de 50 es el 10% del 20% de 400?A) 14% B) 15% C) 16%D) 12% E) 18%

02. ¿El 30% de que número es el 30% del 10% de 700?A) 70 B) 50 C) 80D) 40 E) 60

03. ¿a de que número es su n%?

A) B) C) 100an

D) E)

04. ¿Qué porcentaje del inverso de “b”es el inverso de“a”?


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A) B) C) 100ab%

D) E)

05. En la figura mostrada. ¿Qué porcentaje del área totalrepresenta el área de la región sombreada?

A) 50% B) 10% C) 15%D) 25% E) 20%

06. Dos descuentos sucesivos del 20% y el 40%, ¿A quéúnico descuento equivale?A) 48% B) 52% C) 44%D) 58% E) 54%

07. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50%equivalen a un descuento único de:A) 31,5% B) 52% C) 68,5%D) 47,5% E) 56%

08. Dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿A quéaumento único equivale?A) 44% B) 50% C) 60%D) 55% E) 56%

09. Tres aumentos sucesivos de 10%, 60% y 80%,equivalen a un incremento de:A) 200% B) 116% C) 216,8%D) 126,8% E) 178,2%

10. Hacer un descuento del 30% y sucesivamente unaumento del 30%, es lo mismo que:A) Aumentar 9%B) Aumentar 109%C) Descontar 9%D) Descontar 109%E) No pasa nada

NIVEL I

01. En la compra de un artefacto obtuve un descuento del40%, cuando me disponía a pagar, el cajero resultoser un viejo amigo mío por lo que me hizo una rebajadel 20% sobre el precio descontado. ¿Qué % dedescuento obtuve en total?A) 52% B) 48% C) 60%D) 68% E) 47%

02. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y la alturarelativa a dicha base disminuye en 30% el área del

triángulo varía en 54 m2. Hallar el área original deltriángulo:A) 50 m2 B) 540 m2 C) 580 m2

D) 600 m2 E) 560 m2

03. Si el largo de un rectángulo aumenta en un 25% y laanchura en un 20%, ¿En qué porcentaje aumenta suárea?A) 10% B) 15% C) 45%D) 50% E) 80%

04. Si vendí un artefacto en 1200 soles ganando el 20%


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del costo, ¿Cuál es el costo?A) 400 B) 6000 C) 1000D) 800 E) 900

05. Para pagarte me falto tanto como me sobra, si lepagara lo que le debo a él. ¿Qué porcentaje de lo quetengo es mi deuda?A) 20% B) 50% C) 100%D) 200% E) 400%

NIVEL II

06. El 40% del 50% de “x”es el 30% de “y”. ¿Quéporcentaje de (2x+7y) es (x+y)?A) 25% B) 12,5% C) 20%D) 10% E) 22,5%

07. El 20% de “a”es “b”, el 20% de “b”es “c”. ¿Quéporcentaje de “a”es “c”?A) 2% B) 4% C) 6%D) 50% E) 20%

08. Si el 20% de A equivale al 30% de C; el 40% de Aequivale al 60% de B y el 50% de D equivale al 10%de B, ¿D qué porcentaje representa de C?A) 20% B) 10% C) 30%D) 15% E) 18%

09. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%. ¿A quéúnico descuento equivale?A) 48% B) 52% C) 44%D) 58% E) 54%

10. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50%equivalen a un único descuento de:A) 31,5% B) 52% C) 68,5%D) 47,5% E) 56%

NIVEL II

11. ¿El 0,08% de qué número es 24?A) 0,0003 B) 0,003 C) 3D) 300 E) 30 000

12. ¿Qué porcentaje se pierde cuando se vende en 13soles, lo que había costado 65 soles?A) 50% B) 60% C) 70%D) 80% E) 90%

13. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%. ¿A quéúnico descuento equivale?A) 48% B) 52% C) 44%D) 58% E) 54%

14. He mezclado 42 litros de vino con 18 litros de gua; sesacamos 16 litros de la mezcla. ¿Cuántos litros devino quedan en el depósito?A) 30,6 B) 30,7 C) 30,8D) 30,9 E) 31

15. Se mezcla 40 litros al 60% con 80 litros de alcohol al30%. ¿Qué concentración tendrá la mezcla final?A) 30% B) 40% C) 50%D) 48% E) 36%

NIVEL II

16. Si el lado de un triángulo equilátero aumento 30%,¿cuál es la variación del área?A) +3% B) +40% C) +53%D) +69% E) +44%

17. Si la base de un triángulo disminuye en su 20% y laaltura disminuye en su 10%, ¿en qué porcentajedisminuye su área?A) 72% B) 40% C) 28%D) 30% E) 16%

18. El área de un cuadrado es 100 m2. Si sus lados se

reducen en 6 m. ¿En qué % disminuye su área?A) 64% B) 84% C) 90%D) 44% E) 16%

19. Una persona pagó 480 soles por un artículo despuésde recibir un descuento del 20% del precio de lista.¿Cuál era el precio de lista?A) S/. 500 B) S/. 600 C) S/. 700D) S/. 800 E) S/. 900

20. ¿Qué porcentaje se pierde cuando se vende en 13soles, lo que había costado 65 soles?A) 50% B) 60% C) 70%D) 80% E) 90%

2doBimestre

RmVariaciónPorcentual

yAplicacionesComerciales

OBJETIVOS


Aplicar el criterio de tanto por ciento a problemas comerciales. Calcular la variación generada por cambios efectuados.

Variación Porcentual

Ejemplo 1Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%, ¿en quéporcentaje aumenta su área?

Resolución :

A1

Inicial

A2a

a 120%a

+20%

Final

El área :A1 = a

2A2 = (120%a)

2

A2 = 120%a . 120%a = 144% a2

El área aumenta en 144% - 100% = 44%

Otra forma :

Se asume al lado inicial diez

El lado aumenta en : 20% . 10 = 2

El área :A1 = 10

2 A1 = 100 < > 100%

A2 = 122 A2 = 144 < > 144%

Aumentó en 44%

Ejemplo 2 :Si el radio de un círculo aumenta en 100%, ¿en quéporcentaje aumenta su área?

El radio aumenta en : 100% 10 = 10

El área

APLICACIÓN COMERCIAL

Ejemplo :Aurelio compró una computadora en S/. 400 (precio decosto : PC) y decide ofrecerle en $500 (precio fijado : PF)sin embargo al momento de venderlo lo hace por S/. 420(precio de venta PV), se realiza un descuento de(500 - 420 = 80 soles), y se obtuvo una ganancia de420 - 400 = 20 soles, (ganancia bruta : GB); pero estaoperación comercial genera gastos por S/. 5 o sea seganó realmente 20 - 5 = 15 soles (ganancia neta GN).Veamos :

Luego del gráfico :


Página 30

PV = PF - D

GB = GN + GastosPV = PC + GB

Si hay pérdida : PV = PC - P

Ejemplo :

Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó sucosto en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del40%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?

Resolución :

Sea precio de costo : S/. x1° PF = x + 80%x PF = 180%x2° D = 40%PF

3° PV = 60%(PF) = 60%(180%x) = 108%x

Luego :PV = PC + G108%x = x + G G = 8%x Ganancia es el 8% del costo

01. El 40% del 50% de x es el 30% de y. ¿Quéporcentaje de (2x+7y) es (x+y)?A) 25% B) 12,5% C) 20%D) 10% E) 22,5%

02. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a quéúnico descuento equivalen?A) 48% B) 52% C) 44%D) 58% E) 54%

03. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50%equivalen a un único descuento de:A) 31,5% B) 52% C) 68,5%D) 47,5% E) 56%

04. Dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿a quéaumento equivale?A) 44% B) 50% C) 60%D) 55% E) 56%

05. Tres aumentos sucesivos del 10%, 60% y 80%equivalen a un único incremento de:A) 200% B) 116% C) 216,8%D) 126,8% E) 178,2%

06. Si la base de un triángulo se incrementa en 30% y laaltura disminuye en un 20%, ¿cómo varía el área?A) -10% B) +4% C) -4%D) -2% E) +2%

07. Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%,¿cuál es la variación del área?A) +3% B) +40% C) +53%D) +69% E) +44%

08. En un triángulo la base se reduce en 10% mientrasque la altura se aumenta en 10% entonces el área :A) Se reduce en 99/200B) No varíaC) Aumenta 10%D) Se reduce en 1%E) Depende de las medidas

09. Si x aumenta en 44%, ¿qué ocurre con x1/2

?A) Aumenta en 20%B) Aumenta en 120%C) Aumenta en 44%D) Aumenta en 144%E) Aumenta en 12%

10. Si la longitud de una circunferencia aumenta 40%,¿qué ocurre con el área del círculoA) Aumenta 96%B) Aumenta 120%C) Aumenta 12%D) Aumenta 144%E) Aumenta 30%


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NIVEL I

01. Si a un círculo le disminuyen 36% de su área, ¿enqué porcentaje habrá disminuido su radio?A) 60% B) 10% C) 20%D) 80% E) 30%

02. En una tienda se hace al cliente dos descuentossucesivos del 10% y el 20% y aun gana el 40% delcosto. Si el departamento de compras de dicha tiendacompra un artículo en S/. 360, ¿qué precio fijará parasu venta?A) S/. 700 B) S/. 600 C) S/. 500D) S/. 400 E) S/. 320

03. Si el lado de un cuadrado se triplica, ¿en quéporcentaje aumenta el área?A) 800% B) 900% C) 300%D) 500% E) 600%

04. El precio de un artículo se rebaja en 20%, paravolverlo al precio original el nuevo precio se debeaumentar en :A) 25% B) 20% C) 24%D) 30% E) 50%

05. El radio de un círculo se duplica. ¿En qué porcentajeaumenta el área?A) 200% B) 400% C) 300%D) 240% E) 320%

06. Indicar V ó F :( ) Siempre el 20% más el 30% es el 50%( ) El 20% del 80% de un número es equivalente al

16% del número( ) La sexta parte, del cuádruple de un número más

el 20% de dicho número es equivalente al 70% dedicho número

A) FFF B) VFV C) FVVD) FVF E) VVV

07. Si pierdo el 30% del dinero que tengo y ganara el28% de lo que me quedaría perdería 156 soles.¿Cuánto tengo?A) S/. 1 450 B) S/. 1 400 C) S/. 1 750D) S/. 1 500 E) S/. 1 550

08. Un boxeador debe retirarse cuando tenga un 90% detriunfos. Si hasta el momento ha peleado 100 vecesy ha obtenido 85 victorias, ¿cuántas peleas comomínimo debe realizar para poder retirarse?A) 50 B) 35 C) 48D) 52 E) 30

09. Se rebaja el precio de un artículo en 10% y 20%sucesivamente. ¿En qué tanto por ciento debeincrementarse el precio rebajado para que el nuevoprecio sea 8% más que el precio original?A) 84% B) 50% C) 63%D) 59% E) 75%

10. Si Jorge tuviera el 25% más de la edad que tiene

tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años?A) 56 años B) 48 años C) 46 añosD) 42 años E) 52 años

NIVEL II

11. En una reunión se sabe que el 30% del número dehombres es igual al 40% del número de mujeres.¿Qué porcentaje del total son hombres?A) 62% B) 53,5% C) 57,1%D) 82,5% E) 42%

12. Si el 80% del 50% de “M”es el 30% de “N”, ¿quéporcentaje de (2M+7N) es (M+N)?A) 14,5% B) 20,5% C) 19,5%D) 20% E) 18%

13. En la siguiente expresión :

E =

si “z”disminuye en 19%, “y”aumenta en 40% y “p”disminuye en 30%, ¿en qué porcentaje varía “E”?A) Aumentó en 190%B) Disminuyó en 190%C) Aumentó en 152%D) Aumentó en 135%E) Disminuyó en 98%

14. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de losetascirculares para una cierta pared. Si todas las losetasson iguales, ¿cuál es el mínimo porcentaje de área dela pared que puede ser cubierto con dichas losetas?A) 78,5% B) 91% C) 75%D) 50% E) 800 por 1 000

15. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en30%, resulta que el área aumenta en 621 m

2.

Calcular el lado inicial del cuadradoA) 10 m B) 12 m C) 25 mD) 30 m E) 20 m

NIVEL III

16. En un pedido de 10 000 soles, un comerciantepuede escoger entre tres descuentos sucesivos del20%, 20% y 10% o tres descuentos sucesivos de40%, 5% y 5% escogiendo el mejor. ¿Cuánto sepuede ahorrar?A) S/. 350 B) S/. 340 C) S/. 335D) S/. 360 E) S/. 345

17. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al24% del 0,01% de 1 000, hallar dicho númeroA) 700 B) 0,2 C) 1D) 120 E) 10

18. Si el área de un círculo aumentó en 300%, ¿porcuánto se multiplicó su radio?

A) B) 2 C) 4

D) E) 3


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19. El 40% de los 3/4 del 6% de 48 es 0,012 de los 2/3 deuna cantidad, hallar el 25% de esa cantidadA) 9 B) 27 C) 36D) 108 E) 144

20. ¿Qué porcentaje del 20% del 10% de 400 es el 8%de 0,2% de 1 000?A) 20% B) 30% C) 2%D) 3% E) 6%

2doBimestre

RmMiscelánea

01. Un estudiante escribió cada día la mitad de las hojasen blanco que posee ese día, más 15 hojas. Si alcabo de 4 días gastó todas las hojas, ¿cuántas hojastenía el cuaderno al principio?A) 320 B) 450 C) 520D) 420 E) 480

02. Al comprar 9 libros me sobran 50 soles y me faltan 70soles para comprar uno más. ¿Cuánto dinero tengo?A) 1 130 B) 1 230 C) 1 240D) 1 250 E) 1 030

03. Si compro 9 libros me sobran S/. 20; pero me faltanS/. 80 para comprar dos libros más. ¿Cuánto valecada libro?A) S/. 60 B) S/. 80 C) S/. 100D) S/. 20 E) S/. 50

04. Si regalo 7 caramelos a cada uno de mis sobrinos,me faltarían caramelos para 2 de ellos, pero si regalo5 caramelos a cada uno, me sobrarían 2. ¿Cuántossobrinos tengo?A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

05. En una prueba un alumno gana 10 puntos por cadarespuesta correcta y pierde 4 puntos por cadaequivocación. Si después de contestar todas laspreguntas que son 120; obtiene 500 puntos.Son ciertas :I. Se equivocó en 50 preguntasII. Acertó 80 más de las que no acertóIII. Si obtuvo 780 puntos, acertó en 90 problemasA) Sólo I B) II y III C) I y IID) I y III E) Sólo II

06. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con tres libros,una enciclopedia. ¿Cuántas enciclopedias seobtendrá con 225 cuadernos?A) 2 B) 23 C) 25D) 27 E) 31

07. Dentro de 60 años Martín tendrá el cuádruple de suedad actual. Hace 5 años tenía :A) 25 años B) 20 años C) 85 añosD) 75 años E) 15 años

08. Las edades de 2 personas están en la misma relaciónque los números 5 y 7. Determinar la edad de lamenor de las personas, si se sabe que la diferenciade sus edades hace 3 años fue de 4 añosA) 14 B) 10 C) 8D) 12 E) 16

09. Si al doble de mi edad se le quitan 13 años seobtendrá lo que me falta para tener 50 años. ¿Cuántome falta para cumplir el doble de lo que tenía hace 5años?A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

10. Pedro y Jorge tienen una diferencia de edad de 10años. Si Pedro sumase a su edad la de Jorge, tendría50 años. ¿Qué edad tiene el menor?A) 20 B) 21 C) 22D) 25 E) 28

11. Dentro de 5 años la edad de Sara será el doble de laque tuvo hace 5 años. ¿Cuál es la edad actual deSara?A) 16 B) 15 C) 18D) 20 E) 25

12. Rosa tuvo su primer hijo a los 24 años, 4 añosdespués su segundo hijo, si hoy en el año 1997, lasuma de las edades de sus 2 únicos hijos es 16 años.¿Cuántos años mayor es el esposo de Rosa que ella,si él nació en 1960?A) 1 año B) 2 años C) 3 añosD) 4 años E) 5 años

13. ¿Cuántos años tiene una persona sabiendo que laraíz cuadrada de la edad que tenía hace 4 años másla raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 8años suman 6?A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

14. Hallar la fracción equivalente de , tal que la

diferencia de sus términos sea igual a 585. Dar comorespuesta la suma de cifras del denominador.A) 9 B) 12 C) 15D) 18 E) 21

15. Hallar una fracción equivalente a 0,375 tal que elproducto de sus términos resulte 384. Hallar la sumade sus términos.A) 40 B) 42 C) 44D) 46 E) 48

16. Hallar el valor de “x”si:

723

5=0,......x

A) 1 B) 4 C) 2D) 5 E) 3

17. Un obrero gasta en alimentos y pasajes 2/5 de loque gana, los 5/8 de lo que le resta lo destina aotras necesidades. Si en 8 semanas tiene ahorradosS/. 1 089, hallar cuánto gana semanalmente.A) S/. 605 B) S/. 650 C) S/. 660D) S/. 625 E) S/. 620

18. Una persona que es dueña de los 2/3 de una fábrica,ha recibido “n”soles de 1/4 de las utilidades que lecorresponden. Hallar cuál fue la utilidad de lacompañíaA) 5 n B) 8 n C) 4 nD) 12 n E) 6 n


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19. Una persona toma 16 metros de una varilla. Luegotoma los 2/3 del resto y observa que ambas partestienen la misma longitud. Hallar la longitud total de lavarillaA) 40 B) 46 C) 42D) 44 E) 48

20. Una pelota cae desde una altura igual a 54 m y encada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 partesde la altura desde donde cayó. Hallar el espacio totalrecorrido por la pelotita hasta tocar por cuarta vez lasuperficieA) 208 m B) 104 m C) 206 mD) 210 m E) 198 m

21. Un tanque puede ser llenado en 20 horas por un grifoA. Este tanque tiene un grifo de vaciado B colocadoa media altura, del tanque, el cual puede vaciar suparte en 15 horas. Estando abierto el grifo B se abreel grifo A. ¿Al cabo de cuánto tiempo se llenará eltanque?A) 30 h B) 35 h C) 40 hD) 45 h E) 50 h

22. Hallar un número, si los 2/3% de éste es 30A) 3 500 B) 4 500 C) 2 400D) 3 600 E) 1 800

23. Si de un total de 290 alumnos, 170 son mujeres, ¿qué% son varones?A) 41,38% B) 46,38% C) 41,62%D) 45,62% E) 58,62%

24. El 40% del 50% de "x" es el 30% de "y". ¿Quéporcentaje de (2x+7y) es (x+y)?A) 25% B) 12,5% C) 20%D) 10% E) 22,5%

25. Tenía 640 soles, con el 20% compré un regalo, con el30% un juego de ollas y con el 10% una mesa.¿Cuánto dinero me queda?A) S/. 240 B) S/. 344 C) S/. 360D) S/. 250 E) S/. 256

26. Gina tiene el 30% de lo que tiene Emilio. ¿Quéporcentaje de lo que tiene Emilio debe darle a Ginapara que ambos tengan lo mismo?A) 42% B) 30% C) 40%D) 35% E) 36%

27. Dos descuentos sucesivos 40% y 10% equivalen auno único de :A) 42% B) 43% C) 50%D) 46% E) 48%

28. Calcular el valor de "N" si el 3 por 7 del 8 por 15 de"N", es igual al 12 por 20 del 40 por 70 de 16A) 52 B) 58 C) 24D) 168 E) 172

29. Claudia va al mercado, donde al comprar un ciertonúmero de naranjas le regalan un 5% de las quecompró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántasnaranjas compró?A) 200 B) 300 C) 400D) 360 E) N.A.

30. Si vendiera mi libro de razonamiento matemático enun 30% menos, costaría 17,50 soles. ¿Cuál es elprecio real del libro?A) 25 B) 30 C) 15D) 18 E) 20

RAZONAMIENTO MATEMATICO

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