RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 1 Nombres Apellidos Curso Paralelo Colegio Profesor ()

Nombres Apellidos Curso Paralelo Colegio Profesor() =? + =? 23+56=? 0,8 0,5 =? A= ? La matemticaeslacienciadel ordenylamedida,debellas cadenasderazonamientos, todos sencillos y fciles. Ren Descartes (1596-1650) Filsofo y matemtico francs. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 2 Clase Comprensin de conceptos Conocimiento de procesos Tarea para la casa AutoevaluacinLas matemticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero. Bertrand Russell (1872-1970) Filsofo, matemtico y escritor britnico RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 3 El conocimiento de la matemtica juega un rol importante en la formacin de los individuos, por cuantoproporcionaconceptosbsicos,estructuras,reglas,mtodos,principiosyhabilidadesque estimulanlasfacultadesmentalessuperioresdelapersona,capacitndolapararesolverdistintas situacionesproblemas,nosloenelmbitodelrazonamientomatemtico,sinotambinenotras ciencias y en la vida diaria. En cierta medida, la matemtica suministra un vnculo entre la razn del ser humano y el mundo en que vive. Est presente en el comprender, en el actuar y an en el jugar. Es una gran aliada cuando queremos expresar nuestras ideas en forma clara, precisa y concisa, por cuanto en s misma esunlenguajenoambiguo,quemanejalaclaridadyprecisinensumetodologa,obligandoal que lo usa a ordenar y aclarar sus ideas antes de emplearlo. Como ciencia deductiva agiliza el razonamiento y forma la base estructural en que se apoyan las demscienciasyan,porsunaturalezalgica,modelalosprocedimientosadecuadosparael estudioycomprensindelanaturalezayparaeleficazcomportamientoenlavidadiaria.Al mismotiempo,lamatemtica,atravsdelmtodoqueempleaensuaprehensin,proporciona ciertasherramientasindispensablesparallevaracabodichasdeduccionesyparamoversecon soltura en la sociedad. Ensntesis,laMatemtica,comodisciplinaporexcelencia,ocupaunlugarderelevanciaenel currculo de la Educacin General Bsica y en el Bachillerato General Unificado.Ella est estructurada en cinco bloques temticos: Relaciones y Funciones Numrico Geomtrico Medida Estadstica y Probabilidad RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 4 PRUEBA DE DIAGNSTICO INSTRUCCIONES Lee con atencin cada pregunta. Las preguntas presentan cuatro opciones de respuesta: A, B, C y D. Solo una de las opciones es la correcta. Resuelve el ejercicio en el espacio en blanco de la pregunta respectiva. Si la respuesta que obtienes es una de las opciones, pinta completamente con el lpiz, el rectngulo de esa opcin. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD Toma en cuenta lo siguiente:La prueba tiene 20 preguntas.Paraescribir,usaellpizquete entregan con la prueba.No puedes usar calculadora.Sinecesitascambiarunarespuesta, debesborrarcompletamentela equivocada.Sinosabescmoresponderauna preguntapasaalapreguntasiguientey cuandotermineslaprueba,vuelvealas preguntas que no respondiste. Valor un punto cada pregunta. BC A D Nombre: ----------------------------------------------------------------- Fecha:----------------------------------------------------------------- Calificacin/20 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 5 1.La secuencia8, 32, 128, 512 es: A. 1048 B. 2000 C. 2048 D.1028 2.Qu parte de la fraccin sombreada corresponde la siguiente figura: A.4/3 B.3/4 C.1/4 D.2/5 3.La fraccin 5/100, expresado en notacin decimal es: A.0,0005 B.0,5 C.0,0005 D.0,05 4.Determina cuales de los siguientes pares de guras representan la misma fraccin. IIIIIIIV A.I y IV B.I y II C.II y III D.III y IV 5.Al ordenar de menor a mayor estos nmeros 6, 5, 7, 0, - 11, - 4, 9, 13, - 16 y 12 es: A.5 y 10 B.- 16, - 11, - 6, - 4, 0, 5 , 7, 9, 12, 13C.11 y 15 D.5 y 15 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 6 6.Se quieren colocar 25 filas y 25 hileras de sillas en un teatro. Cuntas sillas se necesitan? A.50 sillas B.625 sillas C.25 sillasD.75 sillas 7.Al resolver el siguiente polinomio aritmtico. ( )( )( )( )25 47 31 . 256128 . 16 . 8

Su resultado es: A.12 B.-16 C.16 D.-12 8.El rea sombreada de la siguiente figura es: 10cm A.108cm2 B.36cm2 C.64cm2 D.100cm2 9.Los 2/5 de los ingresos de una comunidad devecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea enelectricidad,1/12enlarecogidadebasuras,1/4en mantenimientodeledificioyelrestose emplea en limpieza. Qu fraccin de los ingresos se emplea en limpieza? A.12/120 B.17/120 C.45/120 D.35/120 3cm 3cm 3cm 3cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 7 10.El listado de nmeros racionales:

,

Los dos nmeros racionales ms alejados entre s, en la recta numrica, son: A.

7

8

B.

7

2

C.

6

2 D.

6

8 11.Qu tringulo sigue en la siguiente serie? A.11, 13, 24 B.12, 13, 25 C.14, 16, 30 D.15, 17, 32 12.Si el rea de un hexgono regular es 48cm2 y su apotema es 2cm, su lado es: Recuerda: 2.ap PA =A4cm B.12cm C.48cm D.8cm 13.El resultado de3008 , 0 64 , 04 , 0 2+ A.4/5B.5/8 C.10/4D.8/5 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 8 14.Cul es el precio para cubrir una pared de 60m2 con baldosas de 25cm x 30cm, si cada una cuesta $1,45? A.$ 1120B.$ 1160C.$ 1150D.$ 1145 15.La expresin41211135211++|.|

\|+ + es igual a: A.17/14B.19/14C.7/14D.3/14 16.Losladosdeuntringulomidentresenterosconsecutivos.Sisupermetro mide24m,sulado es:

A.2mB.7m C. 6m D = 4m 17.Qu fraccin representa la parte sombreada? A.6/12B. 1/12C. 4/12D. 1/4 18.Qu letra sigue?LMMJV A.PB.SC.TD. A 19.Qu letra sigue?CCSSO A.RB.QC.OD.N 20.En la secuencia: 240, 120, 60, 30, Cul es el nmero que sigue? A.100B.60C.10D.15 n+1 n n+2 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 9 ndice MDULO 1 (Bloques 2, 3 y 4) Conjunto de los nmeros racionales. Operaciones de los nmeros racionales. Teoremas de Pitgoras.13 Expresinfraccionaria y decimal de unnmeroracional.14 Representacin de los nmeros racionales en la recta numrica.15 Clasificacin y transformacin dedecimales.16 Actividad # 117 19 Tarea para la casa # 1.20 22 Operaciones con: Adicin, Sustraccin Multiplicacin, Divisin, Potenciacin y Radicacin.23 Actividad # 224 26 Tarea para la casa # 227 28 Actividad # 329 30 Tarea para la casa # 331 Actividad # 432 33 Tarea para la casa434 35 Actividad # 536 37 Tarea para la casa # 538 39 Teorema de Pitgoras.40 Actividad # 641 43 Tarea para la casa # 644 45 MDULO 2 (Bloques 2 y 5) Nmeros Irracionales y Reales. Operaciones con los reales. Estadsticas.46 Nmero irracional. Representacin en la Recta numrica. 47 Actividad # 748 49 Tarea para la casa # 750 El conjunto de los nmeros reales.Relacin de orden. Aproximacin deNmeros decimales.51 Actividad # 852 Tarea para la casa # 853 Operaciones con Reales: Adicin Sustraccin. Multiplicacin y Divisin. 54 Actividad # 955 56 Tarea para la casa # 957 Poblacin. Muestra. Variables Estadsticas.58 Distribucin de frecuencia. Diagrama de Tallo y hojas.59 Actividad # 1060 62 Tarea para la casa # 1063 65 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 10 ndice MDULO 3 (Bloques 2, 3 y 4) Potenciacin. Radicacin de reales. Radicales. Racionalizacin. Polgonos. Simetra.66 Potenciacin y Radicacin. Polinomios Aritmticos.67 Actividad # 1168 69 Tarea para la casa # 1170 71 Radicales. Operaciones con radicales.72 Actividad # 1273 75 Tarea para la casa # 1276 78 Polgonos regulares e Irregulares.79 Diagonales. ngulos. Permetro y reas de polgonos.80 Actividad # 1381 88 Tarea para la casa # 89 94 Simetras.95 Actividad # 1496 97 Dospersonassonunmundoy unapersonaeslamitaddes mismo. Todas las matemticas se estrellan contra esa realidad. Silvina Bullrich MDULO 4 (Bloques 1 , 3 y 4) Proporcionalidad numrica. Circunferencia y crculo. reas de sectores circulares. 98 Patrones de crecimiento lineal. Funcin lineal.99 Actividad # 15100 102 Tarea para la casa # 14103 105 Funciones de proporcionalidad directa e Inversa. 106 Actividad # 16107 109 Tarea para la casa # 15110 111 Circunferencia. Crculo. reas desectores circulares.112 Actividad # 17113 116 Tarea para la casa # 16.117 119 Lasmatemticasposeennoslo laverdad,sinociertabelleza suprema.Unabellezafray austera,comoladeuna escultura. Bertrand Russell RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 11 ndice MDULO 5 (Bloques 1, 3 y 4) Expresiones algebraicas. Cuerpos geomtricos. ngulos notables.120 Expresiones algebraicas. Monomios y polinomios121 Actividad # 18122 124 Tarea para la casa # 17125 127 Construccin de pirmides. Conos. rea laterales de pirmides y conos.128 Actividad # 19129 130 Tarea para la casa # 18131 132 Medidas de los ngulos notables en loscuatro cuadrante.133 Actividad # 20134 Tarea para la casa # 19135 Loscientficosnecesitamos especialmente la imaginacin. No bastanlasmatemticasnila lgica:Necesitamosalgode esttica y poesa. Mara Casares MDULO 6 (Bloques 1 y 5) Operaciones con expresiones algebraicas. Productos Notables. Combinatoria.136 Adicin y Sustraccin de monomios y polinomios.137 Actividad # 21138 140 Tarea para la casa # 20141 143 Multiplicacin de monomios con unPolinomio y entre polinomios.144 Actividad # 22145 147 Tarea para la casa # 21148 150 Productos notables 1.151 Actividad # 23152 153 Tarea para la casa # 22154 155 Productos notables 2.156 Actividad # 24157 158 Tarea para la casa # 23159 160 Combinatoria. Nociones de probabilidad. 161 Actividad # 25162 165 Tarea para la casa # 24166 167 En poltica pasa como en las matemticas: todo lo que no es totalmente correcto, est mal. Edward Kennedy RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 12 ndice MDULO 7 (Bloques 1 y 2) Divisin de polinomios. Factorizacin. Producto cartesiano. Relacin.168 Divisin de expresiones algebraicas. Divisin de un polinomio para otro polinomio169 Actividad # 26170 172 Tarea para la casa # 25173 175 Divisin Sinttica. Teorema del residuo. Factorizacin. Factor comn y binomios. 176 177 Actividad # 27178 183 Tarea para la casa # 26184 189 Producto cartesiano. Relacin.190 Noescasualidadquelas matemticastenganaplicacin entodaaccinrazonable,desde hacerunasimplesumade quebrados,hastaquebrarsela cabezadescifrandolaviday sumarse a ella. Jorgeach MDULO 8 (Bloques 1, 2 y 5) Ecuaciones. Problemas Intervalos. Inecuaciones.191 Ecuaciones de primer grado enteras y con Coeficientes fraccionarios.192 Actividad # 28193 195 Tarea para la casa # 27196 198 Problemas: Numricos. De edades Mezclas, y Figuras geomtricas 199 Actividad # 29200 203 Tarea para la casa # 28204 206 Intervalos. Inecuaciones de primer Grado con una incgnita.207 Actividad # 30208 Tarea para la casa # 29209 Lasproposicionesmatemticas, encuantotienenqueverconla realidad,nosonciertas;yen cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad. Albert Einstein RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 13 MDULO 1(Bloques 2, 3 y 4) Destrezas con criterios de desempeos Representar nmeros racionales en notacin decimal y fraccionaria. Leer, escribir y realizar la representacin en la recta numrica de nmeros racionales de acuerdo a su definicin. Resolveroperacionescombinadasdeadicin,sustraccin,multiplicacin,divisin, potenciacin y radicacin con nmeros racionales. Utilizar el teorema de Pitgoras en la resolucin de ejercicios y problemas. Conjunto de los nmeros racionales. Operaciones con racionales. Teoremas de Pitgoras RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 14 CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES. COMPRENSIN DE CONCEPTOS Expresin fraccionaria y decimal de un nmero racional El conjunto de los nmeros racionales (Q) Llamamos nmeros racionales al conjunto formado portodoslosnmerosenterosytodoslos fraccionariosselodesignanporQyselo denomina conjunto de los nmeros racionales Nmeroracionaleselquesepuedeexpresar comococientededosnmerosenteros,esdecir, enformadefraccin.Losnmerosenterosson racionales,puessepuedenexpresarcomo cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Alosnmerosracionalespodemosdenotarlos comonumeralesmixto,comofraccionesycomo decimales. Ejemplos: fraccin : cinco cuartos 6, 2 decimal: seis enteros dos dcimos mixto: cuatro enteros un medio. Fracciones decimales = decimales finitos = =6 perodo

decimales infinito =27 perodo Losnmerosracionalessirvenparaexpresar medidas,yaquealcompararunacantidadconsu unidadelresultadoes,frecuentemente, fraccionario.Alexpresarunnmeroracional,no entero,enformadecimalseobtieneunnmero decimalexactoobienunnmerodecimal peridico. Fecha: ________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 15 CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES. COMPRENSIN DE CONCEPTOS Representacindelosnmerosracionalesen la recta numrica Sedeberecordarquepararepresentaruna fraccincomnsobrelarectanumrica,hayque determinar la distancia de separacin entre el cero ylaunidad.Esteespaciosedividirdemanera equitativa,tantasvecescomoindiqueel denominador,ysemarcarnsloaquellasque seale el numerador. Paraubicarfracciones,divideselentero(olos enteros)entantaspartescomoindicael denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo: Lafraccin3/5seubicaenlarecta,enelpunto amarillo.Elsegmentoderectaquerepresentaal nmero1lodividimosencincopartesqueestn indicadasdecolorrojo.Deesascincopartes, tomamoslastresqueestnsealadasconcolor azul. Aqu representamos a los nmeros decimales en la rectanumrica. Pararepresentarelnmero decimal0,7observamosqueesunnmero comprendidoentre0y1.Dividimoselsegmento unidadentrelosnmeros0y1en10partes iguales y tomamos 7 de esas partes contando a la derecha (pues 0,7 es un nmero positivo) desde el 0. Comparacin de nmeros racionales La comparacindefracciones permite determinar,deunaparejaovarias fracciones,qu diferenciashayentresusvalores.Sepuedendar tres casos: Fracciones con igual denominador Parafraccionesquetienenel mismo denominador hayquecomparar los numeradores.Lafraccinconmayor numerador ser mayor Ejemplo: y La segunda fraccines mayor, ya que 5 >2 Fracciones con igual numerador Dedosomsfraccionesquetienenigual numeradoresmayorlaquetienemenor denominador yLa mayor es, ya que 3 < 5 Fecha: _________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 16 CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES. COMPRENSIN DE CONCEPTOS Fraccionescondiferentenumeradory denominador Parafraccionescondiferentenumeradory denominador,sedebenbuscarfracciones equivalenteshallandoel mnimocomn denominador(reducirfraccionesacomn denominador).Paraello,setomacomo denominadorcomnelmnimocomnmltiplo(m cm)delosdenominadoresyapartirdeah estamos en el primer caso que ya hemos visto. Ejemplo:y El mnimo comn denominador es 20, resultando ycomo 5 < 8 , entonces Nota:tambinsepuedeutilizarlanotacin decimal,como 1/4=0,25y2/5=0,4;0,25 ; < ; = segn corresponda a. 25

43b. 73

58c. 21

84 d. 27 512e. 34

25f. 810 45 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 19 7.Indica con x el tipo de decimal. Decimal Nmero Exacto Peridico puro Peridico mixto 53 , 0 6 , 2 5 , 2 34 , 1 75 , 0 3 8 , 0 22 , 2 63 5 , 3 23 , 0 8.Halla la fraccin generatriz de estos nmeros. a.0,54 =b.- 2,3 =c.0,25 = d.= 21 , 3 e.= 9 , 1f.= 26 , 0 g.= 3 1 , 1h.= 63 5 , 3 i.= 4 2 , 0 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 20 1.Sobre la recta numrica, representa las siguientes fracciones: a. 45b. 27 c. 23d. 38 2.Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. a. 52,47,21,53,31 b. 73,41,37,58 c. 123,94,21,23,52 d. 45,38,23,47,21 Tarea para la casa # 1 Fecha: _________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 21 3.Determina la expresin decimal de los siguientes racionales. a.=208 b.= 5628c.=10042d. = 8024 e.= 234 f.=277g.=854

h. =213 4.Escribe la fraccin decimal de los siguientes nmeros decimales. a.0,4 =b.2, 18 =c.0,008 d.4,56 =e.0,35 =f.8, 2 5.Escribe la expresin decimal correspondiente. a.Doce milsimasb.Cuarenta y cinco millonsimas c.Seis enteros, dos centsimas d.Dieciocho centsimas 6.Coloca en el recuadro el signo > ; < ; = segn corresponda a. 27

91b. 94

32c. 34

1824 d. 57 34 e. 34

25f. 810 45 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 22 7.Indica con x el tipo de decimal. Decimal Nmero Exacto Peridico puro Peridico mixto 54 , 0 2 , 3 8 , 4 34 , 1 15 , 0 6 2 , 0 34 , 1 22 4 , 2 33 , 5 8.Halla la fraccin generatriz de estos nmeros. a.0,24 =b.- 0,45 = c.0,28 = d.= 25 , 4 e.= 8 , 0 f.= 48 , 0 g.= 3 1 , 1h.= 63 5 , 3 i.= 4 2 , 0 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 23 OPERACIONES CON NMEROS RACIONALES COMPRENSIN DE CONCEPTOS Adicin y sustraccin en racionales Racionales con el mismo denominador Racionales con distinto denominador Racionales en forma decimal 0, 24 0,98 = 0,74 (- 0,42) + (- 0,39) = - 0,81 Multiplicacin de nmeros racionalesEntre racionales fraccionarios La fraccin como operador Paracalcularlapartefraccionariadeunnmerose multiplica la fraccin por ese nmero de 40 Divisin de nmeros racionales Tambinpodemosdefinirladivisindedos nmeros racionales como producto del primero por el inverso del segundo. Unlabradorhadivididosucampoen8parcelasiguales. Cuntasparcelascontienenlos3/4delcampo?Cada parcelaes1/8delcampo.Luegobastavercuntasveces 1/8estcontenidoen3/4.Paraellohacemosesadivisin 3/4 : 1/8 Potenciacin de nmeros racionales Radicacin de nmeros fraccionarios Laradicacindenmerosracionalesesuna operacinqueconsisteendarunacantidad llamadasubradicalyundeterminadondice,para obtener un resultado nico llamado raz. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 24 OPERACIONES CON NMEROS RACIONALES A.Efecta las siguientes operaciones. 1.= + +2341651272132 2. 21253112241324121+)`+

+ + 3. 522351315231412351+ )`+|.|

\|+ |.|

\|+ + CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 2 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 25 4. |.|

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\|562121512710445 5. |.|

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\|24169344124261312 6. |.|

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\|102252934 7. |.|

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\|169384261310 8. |.|

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\|1220542 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 26 9. |.|

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\|169233 10. |.|

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\|325582 11. 312764169 12. 3352125216|.|

\| 13. 23 39432||.|

\| RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 27 A.Efecta las siguientes operaciones. 1. 52411032153+ + 2. 4321214321314321+)`

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\| + + 3. 314131234131)`+

+ 4. |.|

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\|3110147169543 Tarea para la casa # 2 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 28 5. |.|

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\|49381024125 6. 3 27427|.|

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\| 7. |.|

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\|10018562 8. 23273471000|.|

\| 9. ||.|

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\|64100451 10. 3 3632362 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 29 OPERACIONES CON NMEROS RACIONALES Resuelve las siguientes operaciones. 1.16 , 3 4 , 2 6 , 0 25 , 0 4 , 1 2 , 0 + + 2.2 , 0 45 , 0 2 , 1 5 , 0 + 3.38 , 0 42 , 2 x 4-( )|.|

\|27183 , 0 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 3 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 30 5.6 , 0 : 48 , 0 6.12 , 0 : 72 , 0 7. 2725: 5 , 0 8.( )24 , 0 9.( )36 , 0 10.( )28 , 011. 3216 , 0 04 , 0 12. 25100125 , 03 13. 27255 , 0 14. 342 , 03 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 31 Resuelve las siguientes operaciones. 1.2 , 0 5 , 3 4 , 1 24 , 0 36 , 0 + 2.4 , 0101312 , 0 5 , 0 + + 3.26 , 0 38 , 1 x 4.( )|.|

\|2127 , 0 5.( )|.|

\|1822 , 0

6.36 , 0 008 , 03 7.( )|.|

\|10185 , 0 8.( )( )36813 , 0 2 , 0 Tarea para la casa # 3 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 32 OPERACIONES CON NMEROS RACIONALES Resuelve los siguientes problemas 1.La semana anterior Laura tuvo que leer un libro. El lunes ley las 2/7 partes y el martes los 3/7. Qu parte del total del libro ley entre los dos da? 2.Las prximas vacaciones, Laura y Juan irn al pueblo con sus abuelos y all harn, como todos los aos, una excursin a una ermita cercana. Como la ermita est un poco apartada del pueblo y los abuelos no estn para muchos trotes, pararn a almorzar cuando lleven recorridos los 3/8 del camino. Qu parte del camino harn despus del almuerzo? Si despus de almorzar recorren 2000 metros a. Cul es la distancia que recorren antes de almorzar? b. Cuntos kilmetros recorrern en total en la excursin? 3. Cuandovuelvandevacacioneslosabueloslesdarnpropina,puesseacercansuscumpleaos.A Juan le darn $40y a su hermana los 6/8 de Juan. a. Qu propina le darn a Laura? b. Cuntos dlaresle dan a Laura menos que a Juan? c. Es justo el reparto de propina que hacen los abuelos? CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 4 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 33 4.LauraysuhermanojuntaneldineroparahacerunregaloasumadreporEldadelamadre.Le compran un libro que cuesta $19,40y un frasco de colonia de $16,20. El resto del dinero se lo reparten entre los dos en partes iguales a. Cunto dinero se gastan en los regalos? b. Cuntos dlaresles sobran? c. Cunto dinero se quedar cada uno? d.Podra la hermana de Juan haber hecho ella sola los regalos? e. Al final Quin sale ganando? Explica tu respuesta 5. El da del cumpleaos de Laura invitan a unos amigos a merendar a casa y el padre y la madre de Juan van al supermercado para comprar la merienda. Compran 5 barras de pan de $0,64la barra, 1/4 de kg. dejamn a $16,60el kg., 1/2 kg. de chorizo de $9,80el kg., 10 botellas de refresco a $1,25la botella y una tarta que costaba $18,20 . a. Cunto se han gastado en cada producto? b. Cunto dinero se gastan los padres de los hermanos en total? RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 34 Resuelve los siguientes problemas. 1.Para poder llevar la compra ms fcilmente, los padres de Juan la reparten en 10 bolsas, con la buena suerte de que en todas ponen el mismo peso. Sabiendo que una barra de pan pesa 240 gramos, cada botella 1,5 kg. y la tarta 0,8 kg. a. Cunto pesar cada bolsa? No olvides pasar los pesos del jamn y el chorizo a nmero decimal 2.El da del cumpleaos la madre de Laura divide la tarta en partes iguales. Primero la divide en 4 partes y despus cada parte la divide en otras dos. Los hermanos y sus amigos se comen cada uno una parte de la tarta. Al final de la merienda ha sobrado un trozo de tarta. a. Sabes a cuntos amigos invitaron Laura y Juan? 3.Roberto y Javier se suben juntos a una bascula y marca un peso de 98.4 kg. Si Javier se baja de la bascula, el peso es de 40.6 kg. a.Cul es el peso de Roberto? ____________ b.Cul es el peso de Javier? __________ Tarea para la casa # 4 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 35 4.EnlafiestadeAna,sumamcompr3.500Kg.dedulcesyquiereponerlosenpartesigualesen28 bolsitas para los invitados, Cunto pesar cada bolsita? ________ 5.La medida de una circunferencia se obtiene multiplicando por la medida del dimetro. Si es igual a 3,14, cul ser la medida de una circunferencia que tiene de dimetro 4,5 cm? 6.Entre tres hermanos deben repartirse $120. El primero se lleva 7 / 15 del total, el segundo 5 / 12 del total y el tercero el resto. Cunto dinero se ha llevado cada uno? 8.El 60 % de los trabajadores de una empresa tiene coche. Si el nmero total deempleados es de 1200. Cuntos empleados tienen coche? 9. Tena ahorrados $18 Para comprarme un juguete he sacado 4 / 9 del dinero de mi alcanca. Cunto me ha costado el juguete? RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 36 OPERACIONES CON NMEROS RACIONALES Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 1. =||||.|

\||.|

\|+2381415443212. =|.|

\||.|

\| 23243322143 3.

=

|.|

\||.|

\|13 332434364943 4.

=

+|.|

\|22123214932 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 5 Fecha:_____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 37 5. =

|.|

\||.|

\|233121811014576. =|||||||||.|

\|+++ +143121331211 7. =

|.|

\| |.|

\|2522543114321 8. 214321213212123++ + + RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 38 Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 1. =

+|.|

\| + 13121433212.=

|.|

\|494198833. =|.|

\|+ 3127843213121 4. =

|.|

\||.|

\|232143813553 5. =|.|

\|++811612341232121 6. =

+ +++141212313121413123 Tarea para la casa # 5 Fecha: ___________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 39 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 40 TEOREMA DE PITGORAS COMPRENSIN DE CONCEPTOS TEOREMA DE PITGORAS En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. b y c son catetos a es hipotenusa Nota: a > bya > c Teorema de Pitgoras generalizado Sienvezdeconstruiruncuadrado,sobrecada unodelosladosdeuntringulorectngulo, construimos otra figura, seguir siendo cierto, que el rea de la figura construida sobrela hipotenusa esigualalasumadelasreasdelasfiguras semejantes construidas sobre los catetos? Filsofoymatemticogriego(582-500antesde Cristo), cuyas doctrinas influyeron mucho en Platn. NacidoenlaisladeSamos,Pitgorasfueinstruido enlasenseanzasdelosprimerosfilsofos jonios TalesdeMileto, Anaximandro y Anaxmenes. SedicequePitgorashabasidocondenadoa exiliarsedeSamosporsuaversinalatiranade Polcrates. Fecha:___________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 41 TEOREMA DE PITGORAS 1.Utiliza el teorema de Pitgoras para calcular la altura de los polgonos. a.b. c.d CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 6 Fecha: ____________________________ 10 cm h 8cm 5cm h 4cm 25m h 15m h 17cm 8cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 42 2.CalculaloscentmetrosdecuerdaquesenecesitanparaformarlasletrasN,ZyXdelassiguientes dimensiones. Se necesitan ------------- cmSe necesitan ------------ cmSe necesitan ------------ cm 2.Resuelve los siguientes problemas: a.Una escalera de 65 dm de longitud est apoyada sobre la pared. El pie de laescalera dista 25 dm de la pared.a) A qu altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared? b.Una escalera de 10 m de longitud est apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. Qu altura alcanza la escalera sobre la pared? N 20 cm 20cm Z 10 cm 24cm X 16cm 30cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 43 c.En una circunferencia una cuerda mide 16cm y dista 12 cm del centro. Calcular el rea del crculo.

d.Loscatetosdeuntringuloinscritoenunacircunferenciamiden32cmy24cmrespectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el rea del crculo. 16cm 12cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 44 1.Utiliza el teorema de Pitgoras para calcular la altura de los polgonos. a.b. c.d Tarea para la casa # 6 Fecha: _____________________________ 45cm h 27cm 39cm h 15cm 30m h 18m h 34cm 30cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 45 2.CalculaloscentmetrosdecuerdaquesenecesitanparaformarlasletrasN,ZyXdelassiguientes dimensiones. Se necesitan ------------- cmSe necesitan ------------ cmSe necesitan ------------ cm 3.Resuelve los siguientes problemas: a.Una cancha de ftbol olmpica es un rectngulo de 24 metros de largo y 10 metros de ancho. Qu longitud tiene la diagonal de la cancha? b.Cul es el rea de un tringulo rectngulo con un cateto de 5cm de longitud y una hipotenusa de 13 cm de longitud? N 24 cm 32cm Z 15 cm 20cm X 5cm 12cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 46 MDULO 2(Bloques 2, y 5) Destrezas con criterios de desempeos Representar grficamente nmeros irracionales con el uso del teorema de Pitgoras. 0rdenar, comparar y ubicar en la recta numrica nmeros reales con el uso de escala adecuada. Aplicar reglas para truncar y redondear nmeros reales. Simplificar expresiones de nmeros reales con la aplicacin de la adicin y sustraccin. Simplificar expresiones de nmeros reales con la multiplicacin y divisin. Caracterizar a la poblacin, la muestra y las variables estadsticas en un contexto determinado. Aplicar tablas de distribucin de frecuencias en la solucin de problemas. Representar datos estadsticos en diagrama de tallo y hojas. Calcular la media, mediana y moda de un conjunto de datos estadsticos contextualizados. Nmeros irracionales y reales. Operaciones con los reales. Estadsticas. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 47 NMEROS IRRACIONALES Y REALES COMPRENSIN DE CONCEPTOS REPRESENTACIN EN LA RECTA NUMRICA Pararepresentarunnmeroracional,esnecesario construiruntringulorectngulocuyahipotenusa mida la raz que se quiera medir. Para representar la raz cuadrada de unnmero a se sigue los siguientes pasos: 1. Descomponemoselnmeroacomolasuma de dos cuadrados: a = x2 + y2 (x, y enteros). 2. Dibujamos un tringulo rectngulo de lados x, y. la hipotenusa es: 3. Pararepresentar enlarectanumrica se traza un arco de circunferencia de centro 0 y radio la hipotenusa, el punto de corte con la recta es la representacin de Fecha: _____________________________ CONJUNTODELOSNMEROS IRRACIONALES. Un nmeroirracional esunnmeroque nose puede escribirenfraccin-eldecimalsiguepara siempre sin repetirse.Se simboliza con (I)Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razn (o fraccin), Nmeros irracionales famosos Pi esunnmeroirracionalfamoso.Sehan calculadomsdeunmillndecifrasdecimalesy siguesinrepetirse.Losprimerossonestos: 3,1415926535897932384626433832795 (y sigue... Elnmero e (el nmerodeEuler)esotronmero irracionalfamoso.Sehancalculadomuchascifras decimalesde e sinencontrarningnpatrn.Los primeros decimales son: 2.7182818284590452353602874713527(y sigue...) La razndeoro esunnmeroirracional.Sus primeros dgitos son: 1.61803398874989484820... (y ms...) Muchas races cuadradas, cbicas, etc. tambin son irracionales. Ejemplos: 31.7320508075688772935274463415059 (etc) 999.9498743710661995473447982100121 (etc) RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 48 NMERO IRRACCIONALES Y REALES 1.Representa los siguientes nmeros irracionales en la recta numrica. a.13b.8 b.6c.5 2.Escribe el nmero irracional que se encuentre representado en cada grfico. a.b. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 7 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 49 c.d. e.Qu nmero irracional se identifica en la figura para construir la 9=3? A. 5 B.7 C. 2 D. 11 fQu nmero irracional se identifica en la figurapara construir la 16=4? A. 32 B. 25 C. 23 D. 35 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 50 1.Representa los siguientes nmeros irracionales en la recta numrica. a.7b.11 b.14c.20 d.26 c.29 Tarea para la casa # 7 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 51 EL CONJUNTO DE LOS NMEOS REALES COMPRENSIN DE CONCEPTOS EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES. Los nmeros reales son los nmeros que se puede escribir con anotacin decimal, incluyendo aquellos quenecesitanunaexpansindecimalinfinita.El conjunto de los nmeros realescontienetodos los nmerosenteros,positivosynegativos;todoslos fracciones;ytodoslosnmerosirracionales-- aquelloscuyosdesarrollosendecimalesnuncase repiten. Se simboliza con la letra R Relacin de orden en R AligualqueenlosconjuntosN,ZyQ,enlos nmeros realesRutilizaremos la rectanumricay lossignos>, R/f(x) = a.x+bdonde a y b son nmeros reales, es una funcin lineal. Este ltimo rengln se lee: f de R en R tal que f de equis es igual aa.x+b Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 Larepresentacingrficadedichasfuncioneses unarecta,enunsistemadeejesperpendiculares. Lainclinacindedicharectaestdadaporla pendiente a y la ordenada en el origenes b. Elpuntodecortedelarectaconelejeyesla ordenada en el origen y la llamamos b. Los pares de valores relacionados de una funcin (x; y), determinan puntos del plano en un sistema de ejes cartesianos. La variable independiente x se representa en el eje de abscisas y la dependiente y en el de ordenadas. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 100 FUNCIN LINEAL 1.Encierra los datos que representen magnitudes. a.La estatura de una persona. b.Color de las personas. c.Materias que estudia. d.Distancia de Guayaquil a Manta. e.Precio de un DVD. 2.Completa los datos de la tabla y construye un grfico que relacione las dos magnitudes. Cantidad de zanahorias 412 Vasos de jugos2345 3.Completa los datos de la siguiente tabla, sigue el patron de crecimiento y determina si su crecimiento es lineal. km01234 2km + 224 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 15 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 101 4.Analiza las siguientes tablas y determina el patron de crecimiento. Luego elabora el grfico respectivo. a. x123456 y24681012 b. x-2-10123 y-3-11357 c. x0123-1-2 y234-10-3 5.Elabora una tabla y el grfico para los siguientes patrones de crecimiento lineal. a.y = 2x + 1b.2x 3 c.y = 3x 2 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 102 6.Menciona si la relacin entre los siguientes pares de magnitudes es o no una funcin. a.El volumen de un gas est determinado por la presin (a temperatura constante). b.El reaA del crculo yde la longitud de su radio r. c.El peso de una persona y su altura. d.La calificacin de un examen y la asignatura. e.Venta domiciliaria de telfonos celulares, y el sueldo del vendedor. f.Distancia recorrida por un mvil yun camino recto a velocidad constante. 7.Obtn la expresin algebraica de la funcin que asocia a cada nmero lo siguiente. a.Su cudruplo b.Su nmero dos unidades mayor c.Su mitad menos unod.Su doble ms tres. 8.Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprsalas mediante un enunciado y obtn su representacin. a.y =2x 1b.y =2x2c.y = x/2 1 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 103 1.Encierra los datos que representen magnitudes. a.La altura de una torre. b.Deportes que practicas. c.Lisbros de matemticas. d.La medida de un terreno. e.Precio de una plancha. 2.Completa los datos de la tabla y construye un grfico que relacione las dos magnitudes. Cantidad de sandas860 Vasos de jugos241012 3.Completa los datos de la siguiente tabla, sigue el patron de crecimiento y determina si su crecimiento es lineal. t01234 4t+ 115 Tarea para la casa # 14 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 104 4.Analiza las siguientes tablas y determina el patron de crecimiento. Luego elabora el grfico respectivo. a. x01234 y014916 b. x01234 y12245 c. x01234 y12345 5.Elabora una tabla y el grfico para los siguientes patrones de crecimiento lineal. a.y = x 4 b.x + 1 c.y = 2x + 2 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 105 6.Menciona si la relacin entre los siguientes pares de magnitudes es o no una funcin. a.El largo y el ancho de las hojas de una rama. b.Msica que te gusta y baila merengue. c.Fotocopias para un trabajo de investigacin y cada copia vale $ 0,05. d.Los miembros de una familia y su abuelo. e.El peso de un barril y la cantidad de lquido que contiene. f.El nmero de obreros y el tiempo que tardan en acabar un trabajo. 7.Obtn la expresin algebraica de la funcin que asocia a cada nmero lo siguiente. a.El triple de un nmero b.El antecesor de un nmero c.Un nmero aumentado en dosd.El cuadrado de un nmero 8.Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprsalas mediante un enunciado y obtn su representacin. a.y =- 3xb.y =- 2x + 1c.y = 3x + 2 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 106 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA COMPRENSIN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Representacin de una funcin La funcin se puede representar de tres formas: 1. Mediante una tablas de valores. Peso (kg)x1234 Precio ($)y0,511,52 2. Mediante una grfica. 3. Mediante una ecuacin. y = f(x) = 2x + 2 Dominio y rango Eldominiodeunafuncinestdadoporelconjuntode valores que puede tomar una funcin. Por ejemplo si f(x) =x;estavariablexpuedetomarcualquiervalor,no tieneningunarestriccin,entoncessudominioest compuesto por todos los nmeros Reales. El rango de una funcin, est determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una funcin. Son losvaloresobtenidosparalavariabledependiente(y). Tambinsepuedeexpresarcomotodoslosvaloresde salida de la funcin. Funcin de proporcionalidad directa La funcin fes una funcin de proporcionalidad directa si y solo s cumple conla frmula:f(x) = k.x ,siendo kla constante de proporcionalidad. y= k.xes la frmula o modelo matemtico. Larepresentacingrficadelafuncinde proporcionalidaddirectaesunarectaquepasaporel origen de coordenadas. Funcin de proporcionalidad directa Decimos que una funcin es de proporcionalidad inversa cuandolarelacinnumricaentresus variables es de proporcionalidad inversa Su expresin algebraica es y = k/x Lagrficadeunafuncindeproporcionalidad inversa es una curva, simtrica respecto del origen de coordenadas, que se llama hiprbola. Lagrficadelasfuncionesdeproporcionalidad inversa no pasa por el origen de coordenadas(0, 0). Variable independiente Variable dependiente RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 107 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA 1.Seala con una X los graficos que se muestran si son proporcionalidad directa o inversa. a.b.c. 2.Identifica en los siguientes ejemplos si son funciones de proporcionalidad directa (D) e inversa (I) a.El rea de un crculo vara en funcin directa con el cuadrado de su radio. b.La velocidad de un coche y el trayecto recorrido en el mismo tiempo. c.Trespintorestardan10dasenpintarunatapa.Cuntotardarnseispintoresenhacerel mismo trabajo?d.Ungrupodealumnosparasuviajedeestudioscontrataunautobsapreciofijo.Inicialmente ibanalviaje20alumnossiendoelprecioporpersonade$14.Sifinalmentehacenelviaje8 alumnos Cunto tiene que pagar cada uno? e.Ladosisadecuadadelantibiticocefalexinaparaniosesde0,025gporkgde masacorporal cul es la masa corporal de un nio que recibe una dosis de 1 1/8 g?f.Enunagranjaavcolahay300gallinasquesecomenuncamindegranoen20das.Sise compran 100 gallinas ms En cuanto tiempo comern la misma cantidad de grano? . 3.Completa la siguiente tabla, y responde: x-3-2-1012 y-11 a.Escribe la frmula de la funcin que relaciona las dos magnitudes. b.Representa grficamente la funcin. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 16 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 108 4.Resuelve los siguientes problemas: a.Un grifo tiene un caudal de 5dm3 por minuto. * Haz una tabla de valores de la fucnin tiempo capacidad. * Representa graficamente la funcin. * Halla la expresin algebraica de la funcin. b. La siguiente tabla de valores relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. x12451020 y2010 *Copia y completa la tabla. *Escribe la funcin que relaciona las dos variables. *Representa grficamente la funcin. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 109 c.Con un grifo se tardan 8 horas en llenar una piscina. * Encuentra la frmula que exprese cmo obtener el tiempo de llenadoen funcin del nmero de grifos. * Representa graficamente la funcin. d.Mezclamos 50 litros de un aceite de 3,60 euros/litro con 70 litros de otro aceite de 4,20 euros/litro. Qu precio debe tener el litro de la mezcla? 5.Representa grficamente las siguientes funciones. a.y = - 3x b.y = 4/x RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 110 1.Seala con una X los graficos que se muestran si son proporcionalidad directa o inversa. a.b.c. 2.Identifica en los siguientes ejemplos si son funciones de proporcionalidad directa (D) e inversa (I) a.La velocidad de un coche y el tiempo empleado en recorrer el mismo trayecto. b.Los precios de la gasolina. c.En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. d.5 panaderos elaboran 1000 bolillos en un turno de 8 horas. e.Kilogramos de pintura y superficie pintada. f.Un saco de papas pesa 20 kg. Cunto pesan 2 sacos 3.Resuelve los siguientes problemas: a.Completa la siguiente tabla, que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. No de alumnos241020 Precio18010 * Cul es la funcin que relaciona las dos magnitudes? *Cules alumnos debern ir a la excursin para que cada uno pague $10? Y para que cadauno pague $9 Tarea para la casa # 15 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 111 b.Una ONG enva alimentos a un pas en vas de desarrollo. Con cada 6 euros aportados alimenta a 30 nios al da. Responde: *Da la frmula que relaciona la cantidad de dinero aportada con los nios a los que da de comer la ONG al da. * Es una funcin de proporcionalidad directa? * Representa grficamente la funcin. c.Nuria,Alejandro,PilaryVicentehancomprado,respectivamente,1,3,5y6cuadernos,todosellos iguales. En total han pagado $56. Responde: * Cunto cuesta cada cuaderno? *Escribe la funcin que relaciona el dinero que hay que pagar con el nmero de cuadernos comprados. * Es una funcin afn o lineal? 4.Representa grficamente las siguientes funciones. a.y = 2x b.y = 2/x RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 112 CIRCUNFERENCIA. CRCULO. REAS DE SECTORES CIRCULARES COMPRENSIN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ CircunferenciaUnacircunferenciaesellugargeomtricodelos puntosdeunplanoqueequidistandeotropunto fijoycoplanariollamadocentroenunacantidad constante llamada radio. Elementos de la circunferencia. Dimetro:Segmentoqueunedospuntosdela circunferencia pasando por el centro. Radio:segmentoqueuneelcentroconunpunto cualquiera de la circunferencia. Cuerda:Segmentoqueunedospuntosdela circunferencia. Secante:Rectaquecortaendospuntosala circunferencia. Tangente:Rectaquetocaenunpuntoala circunferencia. Permetro de la circunferencia Crculo Uncrculoeselconjuntodetodospuntosquienes equidistan de un punto central. rea de un crculo Sector circularUn sector circular es la porcin de crculo limitada por dos radios. El rea de un sector circular es la parte del rea de uncrculocomprendidaentredosradiosyelarco subtendido.SeaSelreadelsectorcircular, entonces: Corona circularUnacoronacirculareslaporcindecrculo limitada por dos crculos concntricos. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 113 CIRCUNFERENCIA. CRCULO. REAS DE SECTORES CIRCULARES 1.Calcula en cada caso el radio del crculo, segn las siguientes reas. a. 2169cm t b. 2225cm t c. 2576cm td. 2254cm t e. 264 , 0 cm t f. 24 , 0 cm t 2.Encuentra el valor del rea sombreada de cada figura. a.b. 3.Resuelve los siguientes problemas: a.Calcula el rea de la parte sombreada, si el radio del crculo mayor mide 6 cm y el radio de los crculos pequeos mide 2 cm. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 17 Fecha: _____________________________ 20cm 12cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 114 b.En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son crculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar csped. Calcula el rea del csped. c.En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el rea del crculo d.Calcula el rea sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del crculo mide 3 cm. 4.Calcula el rea de los siguientes sectores circulares dada la medida de sus ngulos centrales y la de sus lados. a. 30 y r = 6cmb.45y r = 4cmc.60y r = 1,2cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 115 5.Calcula el rea de la corona circular cuyos radios miden: a.8cm y 10cmb.23cm y 45cm c.0,6cmy 0,12cmd.15cm y 9cm 6.Resuelve los siguientes problemas a.Hallarelreadelsectorcircularcuyacuerdaeselladodelcuadradoinscrito,siendo4cmel radio de la circunferencia. b.El rea de un sector circular de 90 es 4 cm. Calcular el radio del crculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia. c.Hallar el rea de un sector circular cuya cuerda es el lado del tringulo equiltero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 116 d.En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, tambin de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el rea de la zona de paseo. e.Calcular el rea de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal. f.A un hexgono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferenciay se le circunscribe otra. Hallar el rea de la corona circular as formada. g.Elreadeunacoronacirculares20cm2,ylacircunferenciainternamide8cm.Calculael radio de la circunferencia externa. r2 r1 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 117 1.Calcula en cada caso el radio del crculo, segn las siguientes reas. a. 2400cm t b. 249cm t c. 2324cm td. 2169121cm t e. 204 , 0 cm t f. 264 , 0 cm t 2.En las siguientes figuras, determina el rea de la regin sombreada, si r = 12cm a.b.c. Tarea para la casa # 16 Fecha: _____________________________ 6cm 2cm 6cm 6cm 10cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 118 3.Resuelve los siguientes problemas. a.En una plaza de forma circular de radio 140 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son crculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar csped. Calcula el rea del csped. b.Calculaelreasombreada,sabiendoqueelladodecuadradoes12cmyelradiodelcrculo mide 4 cm. 4.Calcula el rea de los siguientes sectores circulares dada la medida de sus ngulos centrales y la de sus lados. a. 60 y r = 2cmb.15y r = 6cmc.80y r = 0,4cm 5.Calcula el rea de la corona circular cuyos radios miden: a.6cm y 12cmb.20cm y 40cm c.0,4cmy 0,8cmd.18cm y 10cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 119 6.Resuelve los siguientes problemas a.Hallarelreadelsectorcircularcuyacuerdaeselladodelcuadradoinscrito,siendo6cmel radio de la circunferencia. b.En un parque de forma circular de 200 m de radio hay situada en el centro una fuente, tambin de forma circular, de 10 m de radio. Calcula el rea de la zona de paseo. c.Calcular el rea de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 6 m de diagonal. d.Elreadeunacoronacirculares8cm2,ylacircunferenciainternamide4cm.Calculael radio de la circunferencia externa. r2 r1 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 120 MDULO 5(Bloques 1, 3 y 4) Destreza con criterio de desempeo Reconocer los elementos de las expresiones algebraicas y sus caractersticas. Clasificar y caracterizar expresiones algebraicas de acuerdo al nmero de trminos Representar polinomio de hasta segundo grado con material concreto. Construir pirmides y conos a partir de patrones en dos dimensiones. Calcular reas laterales de pirmides y conos en la resolucin de problemas. Reconocer medidas en grados de ngulos notables en los cuatro cuadrantes con el uso de instrumento.

Expresiones algebraicas. Cuerpos geomtricos. ngulos notables. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 121 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. MONOMIOS Y POLINOMIOS COMPRENSIN DE CONCEPTOS Expresiones algebraicas Llamamosexpresinalgebraicaatoda combinacindevariablesynmerosrelacionados por las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin y potenciacin. Ejemplo: Las expresionesalgebraicas aparecenen multituddecampos:geometra,fsica,economa, etc.: rea de una circunferenciaPresin de un gas a temperatura constante: Frmula del inters simple: Trmino algebraico Sellamatrminoatodaexpresinalgebraica cuyaspartesnoestnseparadasporlossignos+ o -. As,Por ejemplo xy2 es un trmino algebraico. Elementos de un trmino Valor numrico de una expresin algebraica Sellamavalor numricode unaexpresin algebraicaal nmeroqueseobtienesalsustituircadaunadesus variablesporelvalorqueseleshayaasignadode antemano, y de efectuar la operacin indicada. Ejemplo Encuentre elvalornumrico de:4mn2 5mn+n3 para m= 2 y n =44(2)(4)2 5(2)(4) + (4)3 = 128 40 + 64= 152 Monomios:Sonaquellosqueconstandeunsolo trmino, en la que nmeros y letras estn ligadas por la operacin multiplicar. Ejemplos: Grado de un monomio:Absolutoeselnmeroqueresultadelasumadelos exponentes de la parte literal. Ejemplo: 7m2n3p= 2+3+1 es de grado 6 Relativoseobtienerespectoaunavariabley correspondealnmerodadoporelexponentedeesa variable. Ejemplo: 2m2p3 es de grado 2 con respecto a m , es de grado 3 con respecto a p Trminossemejantes.Dosomstrminosson semejantes si tienen la misma parte literal. Ejemplo: Polinomios:Sonaquellosqueconstandemsdeun trmino,esdecir,eslasumaalgebraicadedosoms monomios. Ejemplos: 2a +b, 3x2- 5y +z, 2x3- 7x2- 3x+8 Binomio: Polinomio de dos trminos: 5x2 7y2 Trinomio: Polinomio de tres trminos: 2a2 7b3 + 8c4 Grados de un polinomio Absoluto: Se determina por el exponente mayor, de uno de sus trminos. Ejemplo: 8m3 4m2 5m 2 es de grado 3 Relativo o respecto a una letra: Es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio. Ejemplo:- 2m2 + 7mn 7n3. Grado 2 con respecto a m y grado 3 con respecto a n Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 122 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. MONOMIOS Y POLINOMIOS 1.Encuentre una expresin algebraica para cada caso. a.La suma de un nmero al cuadrado con su consecutivo. b.El doble de un nmero menos su cuarta parte. c.Dimensiones de un rectngulo en el que su largo tiene 6 metrosms que el ancho. d.La diferencia de dos nmeros impares consecutivos. e.La edad de Juan es ocho veces la de Rafael. 2.Determina el valor numrico de las siguientes expresiones algebraicas: a. p n m 4 7 23 2 +; para: m = 1, n = 2, p = 3b. z y x 2438 +; para: x= 1/2, y = 5/4, z = 2/3 c.2 34212 c b a + ; para: a = 25, b= 216, c= 1/2 d. c ab a312 , 03 +para: a = 2 , b= 8, c= 3/2 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 18 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 123 e.22143bab ; para: a= 4/3, b = 1/2 f.abb a4321+; para: a= 2, b = 8 g. ( ) z yz x +212; para: x= 2, y=4, z = 1/4 h.n mn m253123+ para: m= 2/5 , n= 1/3 3.Clasifica las siguientes expresiones de acuerdo a su nmero de trminos a. 22143babb.ab m 221

c .7 6 22 mn m c . 35 , 031a abc |.|

\|

4.Completa la tabla. MonomioCoeficienteGrado absolutoGrado relativo 2 34 y x 321ab 5 27 n m q p42 , 0 3 34 , 0 n m RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 124 5.Completa la tabla. PolinomioGrado absolutoGrado relativo 3 4 2 35 4 y x y x + 4 5 321b a ab 6 5 26 , 0 m n m + 5 3 48 2 , 0 pq q p 6.Ordena los polinomios en forma ascendente y descendente a.Escribir en orden ascendente el polinomio 4 7 5 36 12 20 5 8 y y y y + + b.Ordenar el polinomio 6 4 7 5x x x x + en orden descendente con respecto a la letra x c. Escribirenordendescendenteelpolinomioz w z w w wz z w6 3 2 8 7 5 325 15 8 12 4 + + ,conrespecto a cada una de las variables. ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA. Se dice que un polinomio est ordenado con respecto a una letra cuando los exponentesdeunaletradeterminadavanaumentandoodisminuyendo desdeelprimerohastaelltimoconrespectoalaletraconsiderada,que recibeelnombredeletraordenatriz.Estosimplificamuchasveceslas operaciones con polinomios. As,porejemplo, elpolinomioestordenadoen ordenascendenteconrespectoalaletraordenatrizyyestordenadoen orden descendente con respecto a la letra ordenatriz x. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 125 1.Encuentre una expresin algebraica para cada caso. a.Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona. b.El beneficio que se obtiene en la venta de un artculo que cuesta a dlaresy se vende por b dlares. c.Roberto es cinco aos ms joven que Arturo. d.Lo que cuesta un lpiz si 15 cuestan p dlares. e.La diferencia de dos nmeros consecutivos elevados al cuadrado. 2.Determina el valor numrico de las siguientes expresiones algebraicas: a. p n m 4 7 23 2 +; para: m = -1, n = 2, p = 1/4b. z y x 2438 +; para: x= 1/16, y = 5/8, z = 1/2 c.2 34212 c b a + ; para: a = 1/4, b= -8 , c= 1/4 d. c ab a312 , 03 +para: a = 10/8 , b= 8, c= 9/4 Fecha: _____________________________ Tarea para la casa # 17 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 126 e.22143bab ; para: a= 8/9, b = 1/3 f.abb a4321+; para: a= 1/2, b = 1/8 g. ( ) z yz x +212; para: x= 4, y=4, z = 1/64 h.n mn m253123+ para: m= 4/15 , n= 1/6 3.Clasifica las siguientes expresiones de acuerdo a su nmero de trminos a. 214 53+ bc a b. 221m

c . 3 4 2434 , 0 y np m c .3 , 0 5 ab

4.Completa la tabla. MonomioCoeficienteGrado absolutoGrado relativo 3 42 y x 4 281b a 3 411 n m 3 46 , 0 q p 6 29 , 0 n m RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 127 5.Completa la tabla. PolinomioGrado absolutoGrado relativo 4 2 57 6 y x y x 6 3 4 261b a b a 2 4 2 36 , 0 2 n m n m + 2 3 57 4 , 0 q p q p 6.Ordena los polinomios en forma ascendente y descendente a.m m m m m + + + + 4 2 5 22 16 10 3 b. 2 2 3 4 4 38 7 6 2 5 y x xy x y y x + + c.4 2 35 2 2 a a a a + + d.b a ab a b a b a3 3 4 2 2 48 5 6 2 5 + + RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 128 CONSTRUCCIN DE PIRMIDES. CONOS. REAS LATERALES DE PIRMIDES Y CONOS COMPRENSIN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Pirmides Unapirmidesesunpoliedroquetienenporbase unpolgonocualquiera,ysuscaraslateralesson tringulos que concurren en un vrtice comn, que es tambin el vrtice de la pirmide. Elementos de una pirmide Base: un polgono cualquiera. Altura: la distancia del vrtice a la base. Caras laterales: los tringulos que confluyen en el vrtice. Aristas bsicas: los lados del polgono de la base. Aristas laterales: los lados de las caras laterales. Vrticeocspide:elpuntoendondeconcurrenlas caras laterales. Apotema: la altura de la cara lateral. Pirmide recta Cono reas laterales de pirmides y conos rea de una pirmide. rea del cono Si la base y las caras son tringulos equilteros, se llama tetraedro Elconoesun cuerpo geomtrico engendradopor untringulo rectnguloal girarentornoa unodesus catetos. Enlapirmiderectatodassus caraslateralessontringulos issceles y la altura cae al punto medio de la base. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 129 CONSTRUCCIN DE PIRMIDES. CONO. REAS LATERALES DE PIRMIDES Y CONOS 1.Calcula el rea lateral y totalde los siguientes cuerpos. a.b.c. d.e.f. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 19 Fecha: _____________________________ 8cm 4cm 8cm 4cm 2cm 6cm 2cm 10cm 8cm 28cm 8cmm 5cm 4cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 130 2.Resuelve los siguientes problemas: a.Calcula el rea lateral y total de una pirmide cuadrangular de 10 cm de arista bsica y 12 cm de altura. b.Calcula el rea lateral y total de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm. c.Calcular el rea lateral, el rea total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 131 1.Calcula el rea lateral y totalde los siguientes cuerpos. a.b.c. d.e.f. Tarea para la casa # 18 Fecha: _____________________________ 10cm 6cm 12cm 6cm 4cm 8cm 4cm 13cm 5cm 18cm 6cmm 4cm 3cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 132 2.Resuelve los siguientes problemas: a.Calcula el rea lateral y total de una pirmide cuadrangular de 10 cm de arista bsica y 12 cm de altura. b.Calcula el rea lateral y total de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de la base es de 8 cm. c.Calcular el rea lateral y el rea totaldel tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm. 10cm 8cm RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 133 MEDIDAS DE LOS NGULOS NOTABLES EN LOS CUATRO CUADRANTES COMPRENSIN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Plano cartesiano El planocartesiano estformadopordosrectas numricasperpendiculares,unahorizontalyotra verticalquesecortanenunpunto.Larecta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis(x),ylavertical, ejedelasordenadas ode lasyes,(y);elpuntodondesecortanrecibeel nombre de origen. Elplanocartesianoestconstituidoporcuatro semiplanos llamados cuadrantes. ngulos notables Son aquellos cuyas medidas son 30, 45 y 60 ngulos coterminalesLos nguloscoterminales son ngulos en posicin estndar (ngulos con el lado inicial en el ejepositivodelas x)quetienenunladoterminal comn.Porejemplo30,330 y390 sontodos coterminales. Para encontrar un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo dado, puede sumar y restar 360ngulos cuadrantales Unngulocuadrantalesaquelngulo trigonomtricoenposicinnormalcuyoladofinal coincide con algn semieje coordenado. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 134 MEDIDAS DE LOS NGULOS NOTABLES EN LOS CUATRO CUADRANTES 1.Dibuja ngulos positivos en posicin normalque se ubiquenen los cuadrantes I y II 2.Dibuja ngulos negativos en posicin normal que se ubiquen en el II y IV cuadrantes 3.Encuentre un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo de 55. 4.Grfica los siguientes ngulos: 50 , - 135 , 630 y 290 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 20 Nombre: ____________________________ Curso: _____________________________ Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 135 1.Dibuja ngulos positivos en posicin normalque se ubiquenen los cuadrantes I y II 2.Dibuja ngulos negativos en posicin normal que se ubiquen en el II y IV cuadrantes 3.Encuentre un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo de 60. 4.Grfica los siguientes ngulos: 70 , - 130 , 450 y 295 Tarea para la casa # 19 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 136 MDULO 6(Bloques 1 y 5) Destreza con criterio de desempeo Simplificar monomios con la aplicacin de la adicin, la sustraccin y sus propiedades. Simplificar polinomios con la aplicacin de la adicin, la sustraccin y sus propiedadesAplicar las propiedades para la multiplicacin entre monomios y de monomios con polinomios. Simplificar polinomios con la aplicacin de la multiplicacin y sus propiedades. Identificar y aplicar los productos notables: el cuadrado de un binomio, el cuadrado de un trinomio, producto de la suma por la diferencia de binomios, el cubo de un binomio, productos de dos binomios. Definir la combinatoria como tcnica de conteo que permitan resolver problemas cotidianos. Definir la probabilidad como un suceso posible o imposible en la resolucin de problemas.

Operaciones con expresiones algebraicas. Productos notables. Combinatoria. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 137 ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS COMPRENSIN DE CONCEPTOS Adicin y sustraccin de monomios Adicin de monomiosProcedimiento Se escriben las expresiones una a continuacin de otra y con sus respectivos signos Se reducen los trminos semejantes. Para reducir trminos semejantes se procede de la siguiente forma: a.Si los trminos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo comn b.Si los trminos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del nmero mayor en valor absoluto c.A continuacin del signo y del coeficiente se escribe la parte literal Nota: recurdese que los trminos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. Ejemplos: Sustraccin de monomios Procedimiento Seescribeelminuendoconsupropiosignoya continuacin el sustraendo con signo cambiado Nota: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad.Elsustraendoeslacantidadqueserestade otra. Ejemplos: Adicin y sustraccin de polinomios: Adicin de polinomios Parasumardospolinomiossesumanlos coeficientes de los trminos del mismo grado. Tambinpodemossumarpolinomiosescribiendo unodebajodelotro,deformaquelosmonomios semejantesquedenencolumnasysepuedan sumar. Ejemplo: Resta de polinomios Larestadepolinomiosconsisteensumarel opuesto del sustraendo. Ejemplo: Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 138 ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS 1.Encuentra la suma de los siguientes polinomios: a.9 14 ; 8 9 6 ; 6 5 22 2 2 + + x x x x x x b.7 12 9 14 ; 12 3 4 ; 9 2 72 3 2 3 + + + a a a a a a a c. 2 2 2 2 2312147;412381;23214321n mn m n mn n mn m + + + d. 2 2 2 2 2 2415 , 021;433131;212 , 043y xy x y xy x y xy x + + + CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 21 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 139 2.Determina el permetro de las siguientes figuras a.b. 3.Encuentra la diferencia d los siguientes polinomios. a. 8 9 6 : ; 5 7 8 :2 2 + + a a restar a a De b. 35214341: ;25312143:2 2 2 2+ + + n mn m restar n mn m De c. 513 , 03121: ;41312 , 023: Re2 3 2 3+ + + + a a a de a a a star d. 2 2 2 2913 , 021: ; 4 , 02141: Re y xy x de y xy x star + + + 4a2+ 7ab a2+ 2ab b2 5ab + 3b2 -10ab8x2 5xy4x2 + 3xy 8xy 7y2 2x2 9y2 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 140 4.Dado los siguientes polinomios, encuentra lo solicitado. 4 3 221+ = a a P 312 , 02122 + = a a P 2 , 0 4 , 0 523+ = a a P

5 4 2 , 024+ = a a P a.3 2 1P P P +b. ( ) ( )4 2 3 1P P P P + 5.Suprime los signos de agrupacin y reduce los trminos semejantes a. ( ) | | { } a c b a c a b a 4 2 5 2 2 4 + + + + b. ( ) | | { } xy x x y xy x y xy xy x 3 6 5 6 4 2 3 5 22 2 2 2 2 2 + + + c. ( ) | | ( ) { } z x y y x y x y x z y x 5 6 3 5 4 2 2 2 3 2 + + + + + RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 141 1.Encuentra la suma de los siguientes polinomios: a.5 12 4 ; 3 15 24 ; 12 8 72 2 2 + + + x x x x x x b.10 2 19 24 ; 10 5 ; 20 7 82 3 2 3 + + + a a a a a a a c. 2 2 2 2 2383141;475331;43274331n mn m n mn n mn m + + + d. 2 2 2 2 2 2212 , 021;413532;511 , 023y xy x y xy x y xy x + + + Tarea para la casa # 20 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 142 2.Determina el permetro de las siguientes figuras a.b. 3.Encuentra la diferencia d los siguientes polinomios. a. 2 8 4 : ; 15 12 :2 2 + + + a a restar a a De b. 165615347: ;85352523:2 2 2 2+ + + n mn m restar n mn m De c. 523 , 09737: ;43372 , 021: Re2 3 2 3+ + + + a a a de a a a star d. 2 2 2 21815 , 031: ; 5 , 03149: Re y xy x de y xy x star + + + 2a2+ 10ab 6a2+ 4ab 5 b2 7ab +13b2 12ab4x2 2xyx2 + 9xy 2xy 10y2 8x2 3y2 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 143 4.Dado los siguientes polinomios, encuentra lo solicitado. 5 7 521+ = a a P 214 , 02322 + = a a P 8 , 0 5 , 0 323+ = a a P

7 6 , 024+ = a a P a.3 2 1P P P +b. ( ) ( )4 2 3 1P P P P + 5.Suprime los signos de agrupacin y reduce los trminos semejantes a. ( ) | | { } a c b a c a b a 7 5 2 3 2 7 2 + + + + b. ( ) | | { } xy x x y xy x y xy xy x 8 9 8 3 6 5 2 82 2 2 2 2 2+ + + + c. ( ) | | ( ) { } z x y y x y x y x z y x + + + + + 4 8 2 8 4 9 5 2 4 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 144 MULTIPLICACIN DE MONOMIOS CON UN POLINOMIO YENTRE POLINOMIOS COMPRENSIN DE CONCEPTOS Multiplicacin de monomios Lamultiplicacindemonomiosesotromonomio quetieneporcoeficienteelproductodelos coeficientesycuyaparteliteralseobtiene multiplicandolaspotenciasquetengalamisma base. Multiplicacin de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todosy cada uno de losmonomiosqueformanelpolinomio,aplicando la propiedad distributiva. Multiplicacin entre polinomios Semultiplicacadamonomiodelprimerpolinomio por todos los elementos segundo polinomio. Se suman los monomios del mismo grado. Seobtieneotropolinomiocuyogradoeslasuma de los grados de los polinomios que se multiplican. Recuerda:Lamultiplicacindeexpresiones algebraicasya sean estosmonomios o polinomios estilparalasolucindeproblemasdereasy volmenes. Fecha: _____________________________ 4x 8x 2x RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 145 MULTIPLICACIN DE MONOMIOS CON UN POLINOMIO Y ENTRE POLINOMIOS 1.Realiza los siguientes productos de monomios. a.( )( )2 27 8 mn m b. |.|

\| |.|

\|3 2 291643b a ab c.( )( )( )5 4 27 4 2 c c a a d.( )( )2 4 28 , 0 2 , 0 y x x e.( )|.|

\|4 4 2293 , 0 m a amf. |.|

\| |.|

\|+ + 1 2 242132a ax x 2.Calcula el permetro y el rea de las siguientes figuras. a.b.c. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 22 Fecha: _____________________________ 4a 2a - 5 5m + 4 2x 8x RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 146 3.Expresa los siguientes enunciados en notacin algebraica. a.2x por la suma de a y b. b.cuatro veces x por y al cuadrado. c.El cudruplo entre el cuadrado de m y el cubo de n d.El producto entre la mitad del cudruplo de a y el cubo de a - 2 4.Resuelve los productos y, luego, realiza las sumas y restas. a.( )( ) ( )( ) 2 3 1 2 2 5 + + x x x x b.( )( ) ( )( ) b a b a b a b a 7 3 4 5 3 2 + + c. |.|

\| |.|

\|+ |.|

\| |.|

\|7121274351325321x x x x d.( )( ) ( )( ) n m n m n m n m 4 3 3 5 3 7 2 + + 5.Halla el rea sombreada de las siguientes figuras. a.b. 4x 72x + 1x +2 22m 7 2m 1m + 3RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 147 c.ElcuadradoABCD,delado8cm,tieneensusesquinascuatrocuadradosdeladoxcmcadauno(x menor que 8). Cul es el rea sombreada? 6.Encuentra el producto resolviendo cada cuadro de doble entrada. a.bc.

A x x D xx x x BC 7m - 8n 4m 5n8x2 - 3y x2 2y 2a- 5 - 4a - 3 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 148 1.Realiza los siguientes productos de monomios. a.( )( )3 57 4 am am b. |.|

\| |.|

\|3 2 5 392483b a b a c.( )( )( )4 2 2 23 7 4 c c a a d.( )( )5 2 39 , 0 7 , 0 y x x e.( )|.|

\|3 3 2 210275 , 0 m a m a f. |.|

\| |.|

\|+ + 1 2 2141047a ab b 2.Calcula el permetro y el rea de las siguientes figuras. a.b.c. Tarea para la casa # 21 Fecha: _____________________________ 7a 5a - 3 6m + 7 4x 16x RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 149 3.Expresa los siguientes enunciados en notacin algebraica. a.x por la diferenciade a y b. b.dos veces x por y al cubo. c.El doble producto entre el cubo de xy el cuadrado de y . d.El producto entre la mitad del cudruplo de a y el cubo de a - 2 4.Resuelve los productos y, luego, realiza las sumas y restas. a.( )( ) ( )( ) 8 3 4 1 3 9 2 + + x x x x b.( )( ) ( )( ) b a b a b a b a 3 6 2 3 8 4 + + c. |.|

\| |.|

\|+ |.|

\| |.|

\|5227374143514123x x x x d.( )( ) ( )( ) n m n m n m n m 7 2 5 4 8 3 7 + + 5.Halla el rea sombreada de las siguientes figuras. a.b. 5x 63x + 23x -1 8m 3 9m 22m + 5RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 150 c.ElcuadradoABCD,delado6cm,tieneensusesquinascuatrocuadradosdeladoxcmcadauno(x menor que 8). Cul es el rea sombreada? 6.Encuentra el producto resolviendo cada cuadro de doble entrada. a.bc.

A x x D xx x x BC 2m - 5n 9m 4n7x2 - 2y 2x2 5y 4a- 7 8a - 6 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 151 PRODUCTOS NOTABLES 1 PRODUCTOS NOTABLESCOMPRENSIN DE CONCEPTOS Productos Notables Productosnotableseselnombrequereciben aquellasmultiplicacionesconexpresiones algebraicascuyoresultadopuedeserescritopor simple inspeccin, sin verificar la multiplicacin que cumplenciertasreglasfijas.Suaplicacin simplificaysistematizalaresolucindemuchas multiplicaciones habituales. Cadaproducto notable corresponde auna frmula defactorizacin.Porejemplo,lafactorizacinde unadiferenciadecuadradosperfectosesun productodedosbinomiosconjugadosy recprocamente. Cuadrado de la suma.La expresin (a + b)2 es el cuadrado de la suma de dos monomios. (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a a + a b + b a + b b = a2 + 2ab + b2 El cuadradodelasuma dedosmonomioses igualalcuadradodelprimeromseldoble productodelprimeroporelsegundomsel cuadrado del segundo. (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de la diferencia Laexpresin(a - b)2 eselcuadradodela diferencia de dos monomios. (a - b)2 =(a - b)(a - b)= a a - a b - b a + b b = a2 - 2ab + b2 El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igualalcuadradodelprimeromenoseldoble productodelprimeroporelsegundomsel cuadrado del segundo. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Cuadrado de un trinomio Un trinomioalcuadrado esigualalcuadrado delprimero, ms el cuadrado del segundo, ms el cuadrado del tercero, ms el doble del primero por el segundo, ms el doble del primero por el tercero, ms el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 152 1.Expresa el rea de cada una de las siguientes figuras. a. b.c.d. 2.Halla los productos notables. a.( )22 27 4 b a b. 223421|.|

\|+ y xc.( )23 28 , 0 4 , 0 n m d. 22 39553|.|

\| y x e.( )232 , 0 3 , 0 n m + f.( )23 24 5 c ab CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 23 2m 5x + 3 2y + 7 A=0,5m 0,4n A= A= A= Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 153 3.Determina el rea de cada figura. a.b.c 4.Dibuja un cuadrado que represente cada producto y encuentre el rea. a.(2n 5)2b.(4 3a)2c.(6b 5c)2d.(1 8p)2 5.Resuelve los cuadrados de un trinomio. a.( )21 3 2 + + b a b.( )225 , 0 3 , 0 4 , 0 + + x x c. 226 , 0 421|.|

\|+ + m m A =a + 22a - 7 x+3 2m + 2 4m + 64m RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 154 1.Expresa el rea de cada una de las siguientes figuras. a. b.c.d. 2.Halla los productos notables. a.( )22 25 2 n m b. 22 22552|.|

\|+ y x c.( )23 24 , 0 1 , 0 n m d. 22 33884|.|

\| y x e.( )235 , 0 1 , 0 n m + f.( )22 49 8 c b Tarea para la casa # 22 Fecha: _____________________________ 2a 34x + 1 2xy + 5 A=0,6m2 0,9n3 A= A= A=RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 155 3.Determina el rea de cada figura. a.b.c 4.Dibuja un cuadrado que represente cada producto y encuentre el rea. a.(n 6)2 b.(2 5a)2c.(2b 7c)2d.(4 p)2 5.Resuelve los cuadrados de un trinomio. a.( )23 5 4 + + b a b.( ) 7 , 0 6 , 0 2 , 02+ + x x c. 225 4 , 021|.|

\|+ + m m A =2a + 94a - 1 2x+5 4m + 6 8m + 104m RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 156 PRODUCTOS NOTABLES 2 COMPRENSIN DE CONCEPTOS Productodelasumaporladiferenciadedos trminos Elproductodelasumaporladiferenciadedos cantidadesesigualalcuadradodelaprimeracantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostracin: Productodedosbinomiosconuntrmino comn. Elproductodedosbinomiosdeestaformaque tienenuntrminocomnesigualalcuadradodel trminocomnmslasumadelostrminosno comunes multiplicado por el trmino comn ms el producto de los trminos no comunes. Cubo de la suma Unasumaalcuboesigualalcubodel primero, ms eltripledelcuadradodelprimero porelsegundo, mseltripledelprimeroporel cuadrado del segundo,ms el cubo del segundo. (a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3 Cubo de la diferencia El cubo de la diferencia de dos trminos es igual al cubodelprimertrminomenoseltripledel cuadradodelprimertrminoporelsegundo trminomseltripledelprimertrminoporel cuadradodelsegundotrminomenoselcubodel segundo trmino. (a -b)3= a3 -3 a2 b + 3 a b2 - b3 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 157 PRODUCTOS NOTABLES 1.Calcula a. ( )( ) 7 2 7 2 + x xb.|.|

\| |.|

\|+2 243214321y x y xc.|.|

\| |.|

\|+3173172 2m m d. ( )( ) b a b a 8 , 0 6 , 0 8 , 0 6 , 0 +e.|.|

\| |.|

\|+2 2214 , 0214 , 0 x xf. ( )( ) 7 2 7 2 + ab ab 2.Resuelve a. ( )( ) 8 5 + + x xb. ( )( ) 3 8 x xc. ( )( ) 4 7 + x x CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 24 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 158 d. ( )( ) b a b a 12 7 +e. ( ) 9 ) 10 ( + x xf. ( )( ) y x y x 5 3.Resuelve los siguientes cubos de binomios. a. ( )37 + ab. ( )35 xc. ( )323 2 + x d. 3421|.|

\|+ ae. ( )35 4 , 0 m f. ( )326 c b + 4.Halla el volumen de las siguientes figuras. a.b.c. 5m + 3a + 72a -1 a + 22x - 1 x + 2RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 159 1.Calcula a. ( )( ) 10 3 10 3 + x xb.|.|

\| |.|

\|+2 227412741b a b ac.|.|

\| |.|

\|+4384382 2m m d. ( )( )3 28 , 0 5 , 0 3 , 0 5 , 0 b b +e.|.|

\| |.|

\|+6 3316 , 0316 , 0 x xf. ( )( ) 5 6 5 6 + ab ab 2.Resuelve a. ( )( ) 10 3 + + x x b. ( )( ) 8 9 x xc. ( )( ) 7 12 + x x

Tarea para la casa # 23 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 160 d. ( )( ) b a b a +8 e. ( ) 20 ) 12 ( + x xf. ( )( ) y x y x 7 2 3.Resuelve los siguientes cubos de binomios. a. ( )35 + xb. ( )31 2 xc. ( )329 2 + x d. 32531|.|

\|+ ae. ( )323 2 , 0 m f. ( )33 24 c b + 4.Halla el volumen de las siguientes figuras. a.b.c. 4m - 74a + 1a -2 2a + 3 x - 3 x + 4RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 161 COMBINATORIA. NOCIONES DE PROBABILIDAD COMPRENSIN DE CONCEPTOS Combinatoria Lacombinatoriaeslapartedelasmatemticas queestudialasdiversasformasderealizar agrupacionesconelementosdeunconjunto, formndolas y calculando su nmero. Lacombinatorianacicomonecesidad;era indispensableparapodercomprenderlasleyes querigenelazar,actualmente,comoherramienta bsica dela mayoradelas cienciasaplicadas, es unadelasramasmsprcticasdetodala matemtica. Ejemplo En un equipo de estudio hay 3 nias y 2 nios. Cuntas parejas diferentes pueden formarse para estudiar? De manera anloga a la anterior; podemos formar dos conjuntos de diferente naturaleza: el conjunto de las nias: Diana, Claudia, Susana y el de los nios: Rafael, Alejandro. La seleccin de dos puede realizarse usando un diagrama de red de la forma siguiente: Sucesos Suceso determinista Sucesodeterminista esunexperimentoo fenmenoquedalugaraunresultadociertoo seguro,esdecir,cuandopartiendodeunas mismascondicionesinicialestenemoslacerteza de lo que va a suceder. Ejemplo Silaarrojamoshaciaarriba,sabemosquesubir duranteundeterminadointervalodetiempo;pero despus bajar. Suceso aleatorio Unfenmenoo experimentoaleatorio esaquel enelquenosepuedepreveerconcertezael resultadoquevatenerlugaralobservarel fenmeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar. Tipos de sucesos: Seguro.Casiseguro.Muyprobable.Igualmente probable.Pocoprobable.Casiimposible. Imposible. Espacio muestral o casos posibles. Espaciomuestral eselconjuntoformadopor todoslosresultadosdeunexperimentoo fenmeno aleatorio. Lo denotamos con la letra. E. Uno de los mtodos ms utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 162 COMBINATORIA. NOCIONES DE PROBABILIDAD 1.Resuelve los siguientes problemas combinatorios. a.De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres? b.Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5. c.Enunaclasede35alumnossequiereelegiruncomitformadoportresalumnos.Cuntoscomits diferentes se pueden formar? d.De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 25 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 163 e.Aunareuninasisten10personasyseintercambiansaludosentretodos.Cuntossaludossehan intercambiado? f.En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas? g.Si en un colectivo hay 10 asientos vacos. En cuntas formas pueden sentarse 7 personas h.Unestudianteparaaprobarunexamenqueconstade10preguntas,debecontestar7deellas.De cuntas maneras puede hacer la seleccin para aprobar el examen. i.Cuntos tringulos quedan determinados por 6 puntos, tales que no haya 3 alineados. j.En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisin interna de 3 personas. Cuntas comisiones se pueden formar? RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 164 2.Resuelve los siguientes ejercicios de espacio muestral a.Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio. b.Un estudiante responde al azar a cuatropreguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio c.Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: 1Lanzar una moneda. 2. Lanzar un dado. 3. Lanzar una moneda y un dado simultneamente. 4. Lanzar tres monedas. 5. Sexo de los tres hijos de una familia. 3.Resuelve los siguientes problemas de probabilidad. a.Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: 1.Dos caras. 2.Dos cruces 3.Dos caras y una cruz RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 165 b.Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: 1.La probabilidad de que salga el 7 2.La probabilidad de que el nmero obtenido sea par. 3.La probabilidad de que el nmero obtenido sea mltiplo de tres. c.Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1.Un nmero par. 2.Un mltiplo de tres. 3.Mayor que cuatro. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 166 Resuelve los siguientes problemas: 1.Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: a.La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b.La primera bola no se devuelve. 2.Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que: a.Sea roja.b.Sea verde.c.Sea amarilla. d.No sea roja.e.No sea amarilla. 3.Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, cul es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? Cul es la probabilidad de que no sea blanca? Tarea para la casa # 24 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 167 4.De cuntas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? 5.En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuntos modos puede hacerse si: a. Los premios son diferentes; b.Los premios son iguales. 6.Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una la de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. De cuntas maneras puede hacerse? 7.La urna A contiene dos bolas blancas y una negra y la urna B contiene una blanca y dos negras. Se extrae al azar una bola de la urna A y se deposita en la urna B. Luego se selecciona aleatoriamente una bola de la urna B Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea blanca? RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 168 MDULO 7(Bloques 1 y 2) Destreza con criterio de desempeo Simplificar polinomioscon la aplicacin de la divisin y sus propiedades. Aplicar el proceso de la divisin sinttica y el teorema del residuo en la resolucin de ejercicios y problemas. Factorizar polinomios obteniendo el factor comn y expresar polinomios como producto de factores. Expresar binomios como el producto de dos factores. Caracterizar a la funcin como una relacin que es un subconjunto del producto cartesiano. Divisin de polinomios. Factorizacin. Producto cartesiano. Relacin. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 169 DIVISIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. DIVISIN DE UN POLINOMIO PARA OTRO POLINOMIO COMPRENSIN DE CONCEPTOS Trminos de la divisin Divisin de monomios Paraladivisindemonomiossedividenlos coeficientesyluegolasletrasenordenalfabtico colocndoles como exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Ejemplo. Divisin de un polinomio para un monomio. Paradividirunpolinomiopormonomiosedivide cadaunodelostrminosdelpolinomioporel monomio,aestapropiedadseleconocecomola distributiva de la divisin. Divisin de un polinomio para otro polinomio Paraunadivisinentrepolinomiosseordenael dividendo y el divisor, con relacin a la misma letra, iniciando por la de mayor exponente. Sedivideelprimertrminodeldividendoporel primertrminodel divisorobteniendo as elprimer trmino del cociente. Semultiplicaestetrminodelcocienteportodos lostrminosdeldivisor,restndolealdividendo este producto. Usamosesteprocedimientoparaelsegundo trmino,yassucesivamentehastaterminaren cero. Fecha: _____________________________ Recuerda: Sielpolinomioesincompleto sedejalosespaciosparalos trminoscuyogradono aparecen. Si elresiduo es cero la divisin es exacta. RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 170 DIVISIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. DIVISIN DE UN POLINOMIO PARA OTRO POLINOMIO 1.Efecta las siguientes divisiones- a. 2 44 : 8 a a b. 2 2 46 : 24 m n m c. 5 6 49 : 18 xy y x d. 4 4 2 4 5 25 : 35 c b a c b a e. 4 6 5 850 : 100 n m n m f. 3 2 3 2 24 : 28 bc a c b a 2.Encuentre el resultado. a. m m m 3 : 12 3 62+ +b. a ab b a a 2 : 6 10 42 2 3 + c. 5 6 7 86 : 48 24 12 x x x x + d. 2 3 4 2 8 7 2 425 : 150 100 50 y x y x y x y x + CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 26 Fecha: _____________________________Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 171 e. 2 2 3 4 8 3 2 3 4 2 4 448 : 24 12 8 c b a c b a c b a c b a + f. 2 2 7 52 : 5 2 4 b b b b + 4.Resuelve las siguientes divisiones de polinomios. a. 1 8 : 7 54 162 + a a ab. 5 : 5 11 17 32 3 + x x x x c. y x y xy x 2 7 : 10 51 562 2 + d. n m n mn m 3 : 8 5 22 2 + RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 172 e. 1 : 3 4 32 3 4+ + x x x x xf. 2 : 4 5 3 22 3 4 + m m m m m g. 2 3 : 7 5 62+ + + z z zh. 1 4 : 3 7 5 82 3 + + m m m m 5.Halla el polinomio que represente el valor de la altura de cada rectngulo. a.b.c. A= 24x2+5x 14 A= 14x2 58x + 72 A= 3x2 + 24x 83x- 2 5x 9x + 8RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 173 1.Efecta las siguientes divisiones- a. 3 89 : 18 a a b. 2 2 2 38 : 40 n m n m c. 3 7 3 79 : 81 y x y x d. 2 5 6 4 7 89 : 36 c b a c b a e. 2 6 3 610 : 20 n m n m f. 2 5 2 2 7 26 : 48 c b a c b a 2.Encuentre el resultado. a. m m m m 6 : 18 6 242 3+ +b. 3 3 2 4 65 : 5 100 50 a b a b a a + c. 2 4 4 69 : 63 18 108 x x x x + d. 2 3 4 2 8 7 2 412 : 36 96 48 y x y x y x y x + Tarea para la casa # 25 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 174 e. 2 2 3 4 8 3 2 3 4 2 4 450 : 20 32 16 c b a c b a c b a c b a + f. 2 2 4 62 : 7 22 4 b b b b + 4.Resuelve las siguientes divisiones de polinomios. a. 7 3 : 35 11 62 + m m mb. 7 : 7 20 17 22 3 + m a a a c. b a b ab a 9 5 : 27 23 102 2 + d. y x y xy x 7 2 : 21 22 82 2+ + RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 175 e. 5 : 12 7 42 3+ + + a a a af. 2 : 6 5 4 52 3 4 m x x x x g. 1 : 10 2 32 + + m m m h. 1 4 : 3 7 5 82 3 + + m m m m 5.Halla el polinomio que represente el valor de la altura de cada rectngulo. a.b.c. A= 15x2+34x + 16 A= 45x2 53x - 14 A= 16x2 + 34x 15 5x+8 9x 28x 3 RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 176 DIVISIN SINTTICA. TEOREMA DEL RESIDUO. FACTORIZACIN: FACTOR COMN Y BINOMIOS COMPRENSIN DE CONCEPTOS Divisin sinttica o regla de Ruffini Divisin Tradicional de Polinomios PaoloRuffini(1765,1822)fueunmatemtico italiano, que estableci un mtodo ms breve para hacerladivisindepolinomios,cuandoeldivisor es un binomio de la forma x a. Ejemplo. -Sielpolinomionoescompleto,lo completamosaadiendolostrminosque faltan con ceros. -Seigualaelpolinomiodivisora0yse obtiene el valor de x; x + 2 = 0, entonces x = - 2 - Colocamosloscoeficientesdeldividendo en una lnea. - Abajoaladerechacolocamoselopuesto del trmino independientedel divisor. - Multiplicamos ese coeficiente por el divisor ylocolocamosdebajodelsiguiente trmino. - Sumamos los dos coeficientes. - Se repite el proceso hasta llegar al trmino independiente del polinomio dividendo. 1+ 5- 2+ 62 1+ 2+14+ 24 1+7+12+ 30 Por lo tanto, el cociente es x2 + 7x+ 12 y el residuo es +30 Teorema del residuo Teoremaqueestablecequesiunpolinomiodex, f(x),sedivideentre(x-a),dondeaescualquier nmerorealocomplejo,entonceselresiduoes f(a). Ejemplo: Factorizacin Alprocesodeexpresarunpolinomiocomoun productodefactoressele denomina factorizacin. Elprocesodefactorizacinpuedeconsiderarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar,entonces,quieredecir identificarlos factorescomunesatodoslostrminosy agruparlos. Losfactorescomunessonaquellosnmerosque aparecen multiplicando a todos los trminos de una expresin algebraica. Estos nmeros pueden estar dados explcitamente o representados por letras. As,factorizarunpolinomioesdescomponerloen dosomspolinomiosllamadosfactores,detal modoquealmultiplicarlosentresseobtengael polinomio original. Enotraspalabras,dadaunaexpresinalgebraica complicada,resultatil,porlogeneral,el descomponerlaenunproductodevariostrminos ms sencillos. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMTICO PARA NOVENO AO DE EDUCACIN BSICA 177 DIVISIN SINTTICA. TEOREMA