TEMA 6: FUNCIONES II

FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función polinómica de primer grado cuya expresión general es:

y = mx + n

donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

El dominio de esta función son todos los números reales y su recorrido también son todos los números

reales.

La pendiente nos indica la inclinación de la recta . Si es positiva diremos que la función es creciente y

si es negativa, decreciente.

Para calcular la pendiente necesitamos dos puntos de la recta y se calcula de la siguiente manera:

Dados los puntos (x1 , y1) y (x2 , y2)

21

21

xx

yy

x

ym

Por ejemplo para calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3 , -2) y (-5 , -6)

x

ym

SI en lugar de los puntos nos dan la gráfica de la recta lo haremos así:

Por ejemplo si queremos calcular la pendiente de la recta siguiente:

La ordenada en el origen es valor de Y cuando la recta corta al eje Y. En la gráfica anterior la ordenada

en el origen es n=

Luego la recta anterior tiene por ecuación: y =

Cálculo de la ecuación de una recta

Para calcular la ecuación de una recta necesitaremos un punto y su pendiente, y para calcularla

utilizaremos la ecuación de la recta punto-pendiente.

00

00

:

,:xxmyy

mPendiente

yxPunto

Veamos unos ejemplos:

a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (3 , -5) y tiene pendiente 4

y

mPendiente

Punto

4:

5,3:

b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (0 , 0) y es paralela a la recta y=9 - 3x

c) Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (6 , 9) y (-4 , -1)

d) Calcular la ecuación de las siguientes rectas:

FUNCIONES A TROZOS

Una función a trozos es una función cuya fórmula cambia según el valor de la variable independiente,

es decir, según el valor de la x.

Por ejemplo:

32

325

253

)(

xsix

xsi

xsix

xf

f(-10)= f(-2)=

f(0)= f(3)=

f(12)= f(5)=

Dibujo de una función a trozos

Vamos a dibujar la función:

323

324

25

)(

xsix

xsi

xsix

xf

PARÁBOLAS Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las parábolas son funciones polinómicas de segundo grado cuya fórmula general es:

y=ax2 + bx + c

Su gráfica es una parábola

El dominio son todos los números reales y el recorrido depende del tipo de parábola.

Si a›0 la parábola tiene las ramas hacia arriba y si a‹0 , las ramas van hacia abajo.

Para dibujarla hacemos una tabla de valores con los siguientes valores

X 0 xv=

Y 0

Además le podemos añadir los valores de x que creamos necesarios para dibujar la gráfica con más

Precisión.

Como ejemplo dibujaremos la gráfica de la función y = x2 – x – 6

X 0

Y 0

La parábola tiene un eje de simetría en

El vèrtice tiene como coordenadas

Ejercicios:

1. Dibuja la gráfica de la función y= -x2 - 3x +4

X

Y

2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema

62

62

xy

xxy

3. Calcula la ecuación de la parábola que pasa por el punto (0 , 5) y tiene su vértice en el

punto (2 , -1)

FUNCIONES RACIONALES

Son aquellas cuya ecuación es del tipo )(

)(

xQ

xPy

Un caso particular de este tipo de funciones son las funciones de proporcionalidad inversa cuya ecuación es del

tipo x

ky

El dominio de estas funciones racionales son todos los reales menos los valores que anulan el denominador.

Las gráficas de estas funciones son hipérbolas

Para dibujar este tipo de funciones primero hemos de calcular las asíntotas.

Asíntota vertical (A.V.) Se calcula haciendo cero el denominador

Asíntota horizontal (A.H.) Se calcula buscando el límite de la función cuando x tiende a ∞

Una vez calculadas las asíntotas se hace una tabla de valores donde le daremos valores de X a la izquierda y a

la derecha de la A.V.

Vamos a dibujar la gráfica de la función 3

52

x

xy

A.V. x+3=0 ; x=

A.H. y= lim f(x)=

x

Ahora hacemos la tabla de valores

X -3

y AV

X 100 1000 10000 y

Ejercicio:

4. Dibuja la gráfica de la función 2

1

x

xy

5. Resuelve gráficamente el sistema

1

32

x

xy

xy

6. Dibuja la siguiente función a trozos

0

1

032

xsix

x

xsix

y

FUNCIONES RADICALES

Las funciones radicales son aquellas en las que el polinomio está dentro de una raíz.

n xPy )(

Si el índice es impar el dominio son todos los reales y si el índice es par el dominio son todos los valores de x

que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

En éste tema estudiaremos las de índice par. Su gráfica tiene la forma de media parábola girada 90º

Para dibujarlas calculamos el dominio y hacemos una tabla de valores

Vamos a dibujar la gráfica de la función 42 xy

Dominio: 2x+4 ≥ 0

X

y

Ejercicios:

7. Dibujar las siguientes funciones en La misma gráfica

a) 3 xy b) xy 2

FUNCIONES EXPONENCIALES

Las funciones exponenciales son aquellas que tienen la x en el exponente y su expresión es del tipo

xaky

El dominio de estas funciones son todos los números reales y su gráfica es del tipo.

Para dibujarlas se hace una tabla de valores.

Vamos a dibujar la gráfica de la función xy 3

x

y

Ejercicios:

8. Dibuja las funciones siguientes en la misma gráfica

a) xy 2 b) x

y

2

1 c) 32 xy

9. Calcula el valor de k y de a para que la función xaky . pase por los puntos (0 , 3) y (2 , 12)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON FUNCIONES

Veamos algunos ejemplos de problemas relacionados con funciones.

Una compañía de taxis cobra 5 € por un viaje y 0.80 € adicionales por cada kilómetro que recorre.

a) Escribe una función que representa la cantidad P(x) de dinero que debe pagar un pasajero como función

del número “x” de kilómetros recorridos.

b) Si el pasajero pagó 33€ ¿Cuántos kilómetros recorrió?

c) Si un pasajero tiene sólo 9€ para viajar, ¿Cuántos kilómetros recorrerá como máximo en su viaje?

La demanda del producto de una compañía varía según el precio que le fije el producto. La compañía ha

descubierto que el ingreso total anual “I” (expresado en miles de dólares) es una función del precio “x” (en

dólares), y está dado por: I = f(x) = -50x2 + 500x

Determina el precio que deberá cobrarse con el objeto de maximizar el ingreso total y cuál es el valor máximo de

ingreso total anual.

El ayuntamiento de una ciudad planea construir un campo de juego rectangular de 3600 m2. El campo del

juego ha de estar rodeado de una cerca.

Expresa la cantidad de cerca necesaria en función de la medida de la longitud del terreno (x).

En condiciones ideales, se sabe que una población de bacterias se duplica cada 3 horas. Si inicialmente hay

100 bacterias.

a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas?

b) Encuentra la función que relaciona el tiempo con el número de bacterias.

c) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la población llegue a 10159 bacterias?

Un almacén de electrodomésticos liquida la mercancía con ligeros deterioros, mediante el sistema de reducir

cada año un 35% el precio de esta mercancía que va quedando almacenada.

a)¿Cuánto pagaremos por una nevera de 1240 € que lleva almacenada 3 años?

b) Encuentra la función que relaciona el precio de la nevera con el tiempo de almacenaje?

c) Si solo disponemos de 300 € ¿cuántos años de almacenaje tendrá la nevera que podamos comprar?

EJERCICIOS

1. Asocia a cada función su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente.

a) y + 2 = 0 b)3x – y = 3 c) y = 2 – x d)2x – 3y = 12

2. Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas y di si son crecientes o decrecientes:

3

2

2

34)1

2

4)043)

3

85) xyd

ycyxb

xya

¿Qué relación existe entre el crecimiento o decrecimiento de una recta y su pendiente?

3. Representa las siguientes funciones lineales:

4. Halla, en cada caso, la ecuación de las rectas que pasan por los puntos A y B.

a) A(3, 0), B(5, 0) b)A(–2, – 4), B(2, –3) c) A(0, –3), B(3, 0) d)A(0, –5), B(–3, 1)

Sol: a) y = 0 b) y = ¼ x – 7/2 c) y = x – 3 d) y = –2x – 5

5. La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido de 24,82 euros por 12 m3, y en octubre, de 43,81 por 42

m3.

a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m3 consumidos y represéntala.

b) ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3?

Sol: a) y = 0,633x + 17,22 b) 34,94 euros

6. ¿A cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica dibujada?

7. Representa las siguientes funciones definidas a trozos:

8. Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, que está a 1 km de distancia.

Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida.

a) Representa la función tiempo-distancia.

b) Busca su expresión analítica.

9. Escribe la ecuación de la función que corresponde a esta gráfica:

Sol:

10. El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hecho esta gráfica para explicarle lo que espera

conseguir en las 12 semanas que dure la dieta.

a) ¿Cuál era su peso al comenzar el régimen?

b) ¿Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del régimen? ¿Y entre la 6.a y la 8.a semana?

c) Halla la expresión analítica de esa función.

11. La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de 15 g. Representa la

función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su expresión analítica.

12. Asocia a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes:

a) y = x2 b) y = (x – 3)2 c) y = x2 – 3 d)y = x2 – 6x + 6

13. Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los

ejes.

a) y = (x + 4)2 b) y = 1/3 x2 + 2x c) y = –3x2 + 6x – 3 d) y = –x2 + 5

14. Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de las siguientes parábolas señalando, en cada

caso, si se trata de un máximo o un mínimo.

a) y = x2 – 5 b) y = 3 – x2 c) y = –2x2 – 4x + 3 d) y = 3x2 – 6x e) y = 5x2 + 20x + 20 f) y = –5/2 x2 + 5x –3/2

Sol: a) Vértice (0, –5). Es un mínimo. b) Vértice (0, 3). Es un máximo. c) Vértice (–1, 5). Es un máximo.

d) Vértice (1, –3). Es un mínimo. e) Vértice (–2, 0). Es un mínimo. f) Vértice (1, 1). Es un máximo.

15. Representa las parábolas del ejercicio anterior.

16. Una parábola corta al eje de abscisas en x = 1 y en x = 3. La ordenada del vértice es y = –4. ¿Cuál es la ecuación de

esa parábola? Sol: y = 4x2 – 16x + 12

17. Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = x2 + bx + c esté en el punto (3, 1). ¿Cuál es su eje de simetría?

¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?

Sol: b = –6 c = 10 Cortes con los ejes: (0, 10) No corta al eje X.

18. La parábola y = ax2 + bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrá c ? Si, además, sabes que pasa por

los puntos (1, 3) y (4, 6), halla a y b y representa la parábola.

Sol: a = -1/2 b = 7/2

19. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por

la fórmula h = 80 + 64t – 16t 2 (t en segundos y h en metros).

a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5].

b) Halla la altura del edificio.

c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura? Sol: b) 80 metros. c) 2 segundos

20. Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de x ordenadores son:

G(x) = 20000 + 250x en euros

Y los ingresos que se obtienen por las ventas son:

I(x) = 600x – 0,1x2 en euros

¿Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?

Sol: Se deben fabricar 1 750 ordenadores

21. El coste de producción de x unidades de un producto es igual a (1/4)x2 ++ 35x + 25 euros y el precio de venta de

una unidad es 50 – (x/4) euros.

a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x unidades producidas, y represéntala.

b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máximo.

Sol: a) Deben venderse 15 unidades.

22. Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de

subida venderá 2 electrodomésticos menos.

a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?

b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales.

c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos?

Sol: a) 40 500 euros. b) y = –20x2 + 200x + 40 000 (x = decenas de euros) c) 50 euros

23. Representa gráficamente las siguientes funciones:

24. Dibuja la gráfica de las funciones siguientes:

25. Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores.

26. Estudia el dominio de definición de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:

27. Di cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones y cuáles son sus asíntotas. Represéntalas

gráficamente.

28. Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde:

29. Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas:

30. Calcula a y b para que la función bx

ay

pase por los puntos (2, 2) y (–1, –1).

Sol: a = 2 b = 1

31. Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas:

32. Todas las funciones exponenciales de la forma y = ax pasan por un mismo punto. Di cuál es y justifícalo. ¿En qué

casos la función es decreciente?

33. Dada la función y = ax, contesta:

a) ¿Puede ser negativa la y? ¿Y la x?

b) ¿Para qué valores de a es creciente?

c) ¿Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = ax ? d) ¿Para qué valores de x se verifica 0 < ax < 1 siendo a > 1?

34. a) Representa las funciones y = 3x e y = log3 x . b) Comprueba si pertenecen a la gráfica de y = log3 x los puntos siguientes:

(243, 5) (1/27, -3) ( 3 ; 0,5) (–3, –1)

35. Un cultivo de bacterias comienza con 100 células. Media hora después hay 435. Si ese cultivo sigue un crecimiento

exponencial del tipo y = kat (t en minutos), calcula k y a y representa la función. ¿Cuánto tardará en llegar a 5

000 bacterias? Sol: k = 100 a ≈ 1,05 Tardará 80 minutos, aproximadamente.

36. Un negocio en el que invertimos 10 000 €, pierde un 4% mensual. Escribe la función que nos da el capital que

tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. ¿Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la

mitad?

Sol: 17 meses, aproximadamente.

37. Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas:

Sol: a) (5, 19), (–1, 1). b) (1, 0), (–1, 4). c) (0 , -3), (6 , 21) d) (5/2 , 25/4), (-3/2 , -39/4)

38. Comprueba analítica y gráficamente que estos dos sistemas no tienen solución:

39. Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas:

Sol: a) (-0,28 ; 1,16), (-2,39 ; -1,17) b) (8, 3)

40. ¿Cuál es la ecuación de la función que nos da el perímetro de un cuadrado dependiendo de cuánto mida su lado? ¿Y

la que nos da su área? Dibuja ambas funciones.

41. Rocío ha comprado un regalo de cumpleaños para Paz que ha costado 100 €. Como el resto de los amigos del grupo no

han comprado nada, deciden pagar el regalo entre todos. Construye una función que nos dé el dinero que debe

poner cada uno dependiendo del número de personas que haya y dibújala. Si van a cenar a un restaurante en el que

la comida vale 10 €, ¿cuál será la función del dinero que tiene que poner cada uno, sin incluir a Paz, dependiendo del

número de personas que son? Dibújala en los mismos ejes. Di el dominio de definición de ambas funciones teniendo

en cuenta que x solo toma valores naturales y suponiendo que el número de amigos no supera 10.

Sol: Dom = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

42. La gráfica de una función exponencial del tipo y = kax pasa por los puntos (0, 3) y (1; 3,6).

a) Calcula k y a. b) ¿Es creciente o decreciente? c) Representa la función.

Sol: a) k = 3 a = 1,2

43. La función exponencial y = kax pasa por los puntos (0, 2) y (2; 1,28). Calcula k y a y representa la función.

Sol: k = 2 a = 0,8

44. La gráfica de una función exponencial del tipo y = kax pasa por los puntos (0; 0,5) y (1; 1,7).

a) Calcula k y a. b) Representa la función. Sol: k = 0,5 a = 3,4

45. El coste por unidad de fabricación de ciertos sobres disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado

por la función: x

xy

10003,0

a) ¿Qué valores toma la función?

b) Calcula el coste por unidad y el coste total para 10 sobres. Haz lo mismo para 100 000 sobres.

c) ¿A cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de sobres se hace muy grande?

Sol: b) Para 10 sobres: Coste por unidad 100,3 y para 10 unidades 1003

Para 100 000 sobres: Coste por unidad 0,31 y para 100 000 unidades 31 000

c) El coste por unidad se acerca a 0,3.

46. La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmente hacia arriba con una

velocidad de 20 m/s es h = 20t – 5t2.

a) Haz una representación gráfica.

b) Di cuál es su dominio de definición.

c) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura?

d) ¿En qué momento cae la piedra al suelo?

e) ¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a 15 metros?

Sol: b) [0, 4] c) A los 2 segundos de haberla lanzado, y es de 20 m. d) 4 segundos. e) 1 ≤ t ≤ 3

47. Representa las siguientes funciones:

48. Construye funciones definidas a trozos que cumplan las siguientes condiciones y dibújalas.

a) Es continua y está compuesta por dos trozos de rectas. Tiene pendiente 0 en x = 1 y pendiente –2 en x = 4.

Tiene un máximo en (3, 7).

b) Es continua y está compuesta por un trozo de parábola y un trozo de recta.

Tiene un mínimo en (0, 0) y un máximo en (2, 4).

49. Representa las siguientes funciones:

50. Representa esta función:

51. Haz la representación gráfica de la siguiente función:

52. Sabemos que el lado desigual de un triángulo isósceles mide 6 cm. Llama x al otro lado y escribe la ecuación de la

función que nos da su área. Represéntala.

53. Tenemos 200 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,40 €/kg. Cada día que pasa se estropea 1 kg y el precio

aumenta 0,01 €/kg. ¿Cuándo hemos de vender las naranjas para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será ese

beneficio?

Sol: Las naranjas se deben vender dentro de 80 días, y se venderán por 144 euros.

54. La masa de madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100 años. Si tomamos como unidad de masa vegetal

(biomasa) la que había en el año 1800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 100 años, la

función M = 1,4t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t expresado en siglos a partir de 1800 (razona por qué).

a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 1800 (1,4t = 3) y cuándo había la tercera parte.

Observa que los dos periodos de tiempo son iguales.

b) Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 1900, 1990, 2000, 1600 y 1550.

Sol: a) En el año 2127. En el año 1473 b) 1,4 ; 1,90 ; 1,96 ; 0,51 ; 0,43

AUTOEVALUACIÓN

1. Representa la siguiente función:

034

012

1

2 xsixx

xsixy

2. Calcula la expresión analítica de la siguiente función a trozos:

3. Resuelve gràficamente el sistema:

xy

xy

2

1

4. Halla el valor de k y a para que la gràfica de xkay pase por los puntos 6,1 y

4

3,2 .

5. La función cbxaxy 2 pasa por el punto (0 , 5) y tiene su vértice en (-1 , 3)

6. Representa la función 2

x

xy

7. a) Asocia cada una de estas gráficas a cada una de estas expresiones: 3

1351

8

1

x

xyxyy

x

8. Se cerca una finca rectangular de área A con 42 m de alambrada, sin que sobre ni falte nada.

- Expresa el área de la finca en función de uno de sus lados

- Representa de una forma aproximada la expresión anterior

- ¿Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máxima?

9. El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p = 12 – 0,01x (x = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros).

a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obtenidos?

b) Representa la función n°- de artículos-ingresos.

c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos?

10. Depositamos en un banco 5 000 € al 6% anual.

a) Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. ¿Qué tipo de función es?

b) ¿En cuánto tiempo se duplicará el capital?