Transformada z

1 Ingeniería mecatrónica del Instituto Tecnológico de Culiacán / M.C. VMPP

2.1 Definición de la transformada z.

Se usa la transformada z en el análisis y síntesis de sistemas de control en tiempo

discreto de manera similar a como se usa la transformada de Laplace en sistemas de

tiempo continuo. La dinámica de un sistema de control en tiempo discreto se caracteriza

mediante una ecuación de diferencias lineal y para encontrar la respuesta del sistema

para una entrada dada, se resuelve esa ecuación de diferencias.

Usando la transformada z las soluciones de las ecuaciones de diferencias se vuelven

un problema algebraico: La transformada z transforma las ecuaciones de diferencias

lineales e invariantes en el tiempo en ecuaciones algebraicas en z.

Para obtener la transformada z de una función continua en el tiempo x(t), solo se

toman en cuenta los valores muestreados de x(t), es decir, x(0), x(T), x(2T), … donde T

es el periodo de muestreo.

La transformada z de una función del tiempo x (t) o de la secuencia de valores x (kT) se

define como:

Para una secuencia de números, la transformada z es:

Donde z es una variable compleja:

CAPÍ TULO 2

Materia: Control digital.

Profesor: M.C. Víctor Manuel Pérez Pérez

Periodo: Agosto-Diciembre 2010

T R A N S F O R M A D A Z

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE

CULIACÁN

Ingeniería Mecatrónica


En forma más general, la transformada z de x(t), donde -∞ < t < ∞ , o de x(k) donde k

toma valores enteros (k 0, ±1, ±2, …) se define como:

Expandiendo la expresión anterior da:

e indica que la transformada z de cualquier función en tiempo continuo, x(t), se puede

escribir, mediante inspección, en la forma de una serie. La en esta serie indica la

posición en el tiempo en la que se presenta la amplitud x(kT). También, si X(z) está dada

en forma de una serie como la que se indicó, la transformada z inversa se puede obtener

por inspección como una secuencia de la función x(kT) que corresponde a los valores de

x(t) en los valores de tiempo respectivos. Cuando la transformada z está dada como el

cociente en dos polinomios en z, su transformada inversa se puede obtener por métodos

como el de división directa, método computacional, expansión de fracciones parciales y

método de la integral de inversión.


2.2 .Transformada z de algunas funciones.

Se obtiene a continuación la transformada z de algunas funciones elementales.

-5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


2.2 Propiedades de la transformada Z. Se presentan las propiedades y teoremas de la transformada z. Se supone que la función x(t) tiene transformada z y que x(t) = 0 para t < 0.

La multiplicación de X(z) por z tiene el efecto de avanzar la señal x(kT) un paso (un

periodo de muestreo) y la multiplicación X(z) por tiene el efecto de retrasar x(kT)

un paso (un periodo de muestreo).


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Frecuentemente se han empleado métodos de transformación para simplificar el análisis y

síntesis de sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales o en diferencias. La transformada

Z es una regla por la cual una secuencia de números son convertidos a una función de la

variable compleja z . Debido a su estructura básica, la transformada Z posee propiedades que

facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones

algebraicas.

PROPIEDADES MÁS IMPORTANTES

a) SUPERPOSICION

Se compone de las características de:


La multiplicación de X(z) por z tiene el efecto de avanzar la señal x(kT) un paso (un periodo de muestreo) y la multiplicación X(z) por z-1 tiene el efecto de retrasar x(kT) un paso (un periodo de muestreo). Ejercicio: Escalón (retraso)


Teorema de translación compleja.

Si x(t) tiene la transformada zX(z), entonces la transformada z de ( ) esta dada

por X( ). Esto se conoce como el teorema de translación compleja.

De esta manera se ve que al remplazar z en X(z) por da la transformada z de ( )

Ejemplo: Dada la transformada z de (sen wt y cos wt) obtenga la transformada z de

, respectivamente mediante el uso del teorema de translación

compleja.

Sustituyendo z por , se tiene:

[ ]

1 2

[ ] 1

1 2

Ejemplo: Obtenga la transformada z de t

[ ]

(1 )


Tablas de equivalencia


Tablas de equivalencia eléctrica


Ejercicio circuito eléctrico


Transformada z inversa.

La transformada z inversa de X(z), denotada [X(z)], da como resultado la secuencia de

tiempo, x(k), en los instantes de muestreo t = 0, T, 2T, … Como métodos para obtener la

transformada z inversa se tienen los siguientes:

Método de división directa. En este método X(z) se expande en una serie infinita de potencias en .

Entonces x (kT) es el coeficiente del término , por tanto, los valores de x (KT) para k = 0,

1, 2,… se pueden determinar por inspección.

Si X (z) está en forma racional, se logra la expansión en una serie infinita con potencias

crecientes de dividir numerador entre denominador, estando cada uno en potencias

crecientes de .

Ejemplo. Encontrar x (k) para k = 0, 1, 2, 3 y 4 de X (z) dada por:


Aplicando función impulso tenemos, lo mismo que se obtuvo manualmente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

X= 8

Y= 18.7499

k


Aplicando Función escalón

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

120

140

160

180

k


Aplicando rampa unitaria:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

k


Ejercicio Matlab

Xz=[1 zeros(1,N)]; %corresponde a la entrada delta de Kronecker (impulso unitario), donde N corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k


Ejercicio 2: Para la siguiente función G(z)=y(z)/x(z) hallar la transformada inversa Z mediante el método Matlab(comando filter), hasta k =40, graficar la secuencia. Utilizar Delta de Kronecker. Sea:

( ) 0 4673 0 3393

1 5237 0 6607

>> num=[0 0.4673 -0.3393]; >> den=[1 -1.5327 0.6607]; >> xz=[1 zeros(1,40)]; >> yz=filter(num,den, xz); >> n=0:1:40; >> stem(n,yz) >> xlabel('k');

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k


Ejercicio 3 El mismo ejercicio, pero ahora respuesta AL ESCALON UNITARIO >> num=[0 0.4673 -0.3393]; >> den=[1 -1.5327 0.6607]; >>xz=ones(1,41); >>yz=filter(num,den, xz); >>n=0:1:40; >> stem(n,yz) >>xlabel('k');

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

k


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k


Ejemplo: Encontrar la ecuación de x(n) los primeros 5 valores de X(nT) por fracciones parciales.

( ) 1

( 0 7071)

Entonces:

( )

1

(0 7071)

( 0 7071)

0 7071

Dónde:

lim

1

( 0 7071) 1

0 5 2

lim

1

0 2929

0 7071 0 4142

C=lim

[

] lim

[ ( )

]

2

Sustituyendo tenemos: Se despeja X(z)/z:

( ) 2 0 4142

( 0 7071)

2

0 7071

Por tablas: Para el primer termino:

Para el segundo termino:

( 0 7071)


( (2)0 7071 0 7071 )

Si se divide todo entre 1

(

(2)0 7071

0 7071

)

Factorizando tenemos:

(1 0 7071)

Para este caso aplica la fórmula:

0 4142n(0 7071) Para el tercer término tenemos:

2

0 7071

2(0 7071)

( ) 2 (n) 0 4142n(0 7071) 2(0 7071) Para los primeros 5 valores:

(0) 2 (0) 0 4142(0)(0 7071)( ) 2(0 7071) 2 2=0

(1) 2 (1) 0 4142(1)(0 7071)( ) 2(0 7071) 0 4142 1 4142 1

(2) 2 (2) 0 4142(2)(0 7071)( ) 2(0 7071) 0 5857 0 999 0 4142


(3) 2 (3) 0 4142(3)(0 7071)( ) 2(0 7071) 0 6212 0 7070 0 08588 (4) 2 (4) 0 4142(4)(0 7071)( ) 2(0 7071) 0 5857 0 4999 0 0857

Ejemplo:


ECUACIONES DE DIFERENCIAS

Las ecuaciones de diferencias lineales con coeficientes constantes permiten modelar

sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo, en forma similar a las ecuaciones

diferenciales y los sistemas continuos en el tiempo.

FORMA GENERAL DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS


Si consideramos que la entrada es una función escalón, tenemos:


Programando en Simulink

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