Universidad Autónoma de Estado de México · Cuando se dice que la regresión es lineal, se...

1Maestro en Economía y Actuario. Correo: [email protected]

Universidad Autónoma de Estado de México

Unidad Académica y Profesional Cuautitlán Izcalli

Uso de un modelo CAPM para la evaluación de los rendimientos y

riesgos financieros en la BMV

Autor:

Gabriel Delgado Juárez1

Temática: El actuario en la economía internacional

Introducción

En el presente trabajo se exponen los conceptos básicos de la regresión lineal

simple y el modelo CAPM introducido por Sharpe en 1964. Posteriormente se

aplica este modelo en un activo financiero con la ayuda del paquete estadístico E-

Views y finalmente se discuten los resultados obtenidos.

Palabras Clave

Regresión lineal simple, mínimos cuadrados ordinarios, rendimiento, riesgo,

CAPM.


Marco Teórico

Regresión Lineal Simple

La palabra regresión, de acuerdo al Diccionario de la Real Academia Española,

significa retrocesión o acción de volver hacia atrás. El término en el contexto

estadístico fue acuñado por Galton (1886), cuando realizó un estudio sobre los

rasgos físicos que presentaban algunos hijos de padres de estatura alta y baja. Él

se percató que a pesar de que los hijos de padres altos heredaban una estatura

alta y los de padres bajos una estatura menor, ésta se acercaba más al promedio

de estaturas en ese entonces, esto es, regresaba a su media. Esta idea fue

evolucionando en el transcurso de los años y, ahora, de acuerdo con Gujarati

(1997) la interpretación de la regresión es la siguiente:

El análisis de regresión trata del estudio de la dependencia de

la variable dependiente, en una o más variables explicativas, con el

objeto de estimar y/o predecir la media o valor promedio poblacional

de la primera, en términos de valores conocidos o fijos (en muestras

conocidas) de las últimas.

En particular, en un modelo de regresión simple se tiene una expresión de la

forma:

i i iY x

Donde iY es la variable explicada y ix es la variable explicativa, además ambas

son variables aleatorias. Las cantidades y son la intersección con el eje de

las ordenadas y la pendiente de la regresión, respectivamente. Estas cantidades

se suponen desconocidas pero constantes, mientras que i será otra variable

aleatoria que medirá el error de la regresión. Es común suponer que ( ) 0i , de

tal modo que, se tiene:

( )i iY x

Más aún, para hacer énfasis en el hecho de que las inferencias sobre iY asumen

conocimiento de ix :


( | )i i iY x x

Cuando se dice que la regresión es lineal, se entiende que la esperanza de iY

condicionada al evento { }i iX x es una función lineal de ix (forma funcional lineal).

Agregando al modelo de regresión lineal simple el supuesto de que ( , ) 0i jCov

(no autocorrelación) siempre que i j , es posible obtener estimadores puntuales

para y , además de estos supuestos cabe mencionar los de normalidad de i

y varianza constante (White Noise o Ruido Blanco Gaussiano), estabilidad de los

parámetros y y no multicolinealidad*.

El Modelo CAPM

Las bases para desarrollar un modelo de valuación de activos fueron sentadas por

Markowitz (1952) y Tobin (1958). Años antes, los modelos que intentaban predecir

el comportamiento del mercado de valores sugerían que el riesgo de un valor

individual es la desviación estándar de sus retornos. Así entre más grande sea la

desviación del rendimiento de los activos, más grande será el riesgo. Esto

representa una limitación, ya que sólo se considera un activo en forma aislada,

cuando la principal preocupación de un inversionista es el riesgo de todos sus

activos, es decir el riesgo de portafolio.

Markowitz fue el primero en desarrollar una medida específica del riesgo de

portafolio desarrollando un análisis basado en la utilidad máxima esperada. El

modelo de Markowitz genera la frontera eficiente de portafolios, esperando que

los inversionistas seleccionen el portafolio que sea más apropiado para ellos

dentro del conjunto eficiente de portafolios disponibles.

En 1960, William F. Sharpe, candidato a un doctorado en la Universidad de

California, fue presentado con Markowitz. Sharpe necesitaba un tema para su

tesis doctoral y habiendo leído el trabajo de Markowitz (trabajo en el que defendía

un portafolio diversificado para reducir el riesgo sin poder desarrollar un medio

práctico para evaluar cómo varias acciones operan juntas, o se correlacionan)

siguió la sugerencia de éste de investigar la teoría del portafolio como su proyecto

de tesis.

En la teoría del portafolio, el rendimiento esperado es igual al promedio ponderado

del rendimiento de los activos que forman el portafolio.

En donde el rendimiento esperado es:


1tr

t t

t

p d p

p

Con:

pt+1 = precio del activo al final del periodo

pt = precio del activo al inicio del periodo

d= dividendos pagados en el periodo

El rendimiento esperado es el ingreso por dividendos, más la ganancia o pérdida

de capital expresado en porcentaje. Entonces:

p i

1

r rn

i

i

Donde rp es el rendimiento esperado del portafolio y λi es la proporción del total de

fondos invertida en el activo i, cumpliéndose el que la suma de los ponderadores λ i

es igual a uno. El rendimiento esperado del portafolio es:

p

1

E(r ) E(r )n

i i

i

De su investigación, Sharpe (1964) logró simplificar el modelo al conectar el

portafolio a un factor único de riesgo, y desarrolló una noción de inversión entre

riesgo y rendimiento, un razonamiento que se conoce como CAPM (Capital Asset

Pricing Model), que es un modelo de regresión lineal.

El CAPM explica que los inversionistas se enfrentan a dos tipos de riesgos,

llamados diversificables (no sistemáticos) y no diversificables (sistemáticos). El

riesgo no sistemático es el componente de riesgo del portafolio que puede ser

eliminado al incrementar el tamaño del portafolio, la razón es que los riesgos que

son específicos a una seguridad individual como el riesgo de negocio o financiero

puedan ser eliminados al construir un portafolio bien diversificado. El riesgo

sistemático está asociado con el total de movimientos en el mercado o economía y

por ello es llamado como riesgo de mercado. Este riesgo es el componente del

riesgo que no puede ser eliminado a través de la diversificación.

El CAPM transmite la noción de que los valores tienen un precio, así que el

retorno esperado compensará a los inversionistas por los riesgos esperados.

Existen dos relaciones fundamentales:

1. La línea del mercado de capitales (CML).

Especifica el retorno que un solo inversionista espera recibir en un

portafolio. Esta es una relación lineal entre riesgo y retorno en portafolios

eficientes.


Basándonos en la teoría del portafolio, suponiendo n=2, con:

r1 = rL = Rendimiento del activo libre de riesgo

r2 = rR = Rendimiento del activo riesgoso

p L Rr (1 )r r

(1.7)

Calculando la varianza se tiene:

2 2 2

p p L R L R

2 2 2 2

L RL R

E[r E(r )] E[((1- )r r ) E((1- )r r )]

(1- ) 2(1- )

p

Debido a que la varianza del activo libre de riesgo es cero y que su

covarianza con los riesgosos es cero, se tiene:

2 2 2

p R

p R

Despejando el ponderador:

p

R

Sustituyendo esta expresión en (1.7), se obtiene:

p p p p

p L R L R L

R R R R

r 1 r r r r r

R Lp L p

R

r rr r

Así, el rendimiento esperado es:

R Lp L p

R

R Lp L p

R

r rE(r ) E r

E(r ) rE(r ) r


Se encontró que el rendimiento esperado de un portafolio es una función

lineal del rendimiento esperado del activo libre de riesgo y el riesgo del

portafolio. La CML sólo es válida para portafolios eficientes y expresa el

comportamiento de los inversionistas con respecto al activo riesgoso y sus

propios portafolios de inversión.

2. Línea del Mercado de Valores (SML)

Expresa el retorno que un inversionista puede esperar en términos de una

tasa libre de riesgo y una tasa relativa a un valor o a un portafolio.

Se construye un modelo, considerando que la línea del mercado está

compuesta por un activo riesgoso rj, y un portafolio bien diversificado

tomando el portafolio de todo el mercado rM.

j L Mr (1 )r r

(1.8)

Calculando la varianza y desviación: 2 2 2

L M L M

2 2 2 2 2

L ML M

M

E[r E(r )] E[((1- )r r ) E((1- )r r )]

(1- ) 2(1- )

j j j

j

j

Despejando λ, se tiene:

M

j

Sustituyendo en (1.8), se tiene:

j L M L

M

r r (r r )j

(1.9)

Obteniendo el SML con respecto al valor j:

j L M LE(r ) r (E(r) r )j

(1.10)

Con:

jM j MM

2 2

M M M M M

jM

(R ,R )

Correlación entre el retorno del valor,R y el retorno del portafolio del mercado

j j

j

j

Cov


La βj puede ser interpretada como la cantidad de riesgo inherente no

diversificable en el valor, relativo al riesgo en el portafolio del mercado. La

ecuación (1.10) es una versión del CAPM.

Retomando la ecuación (1.9), si se pasa el rendimiento libre de riesgo al lado

izquierdo, se podrá expresar la línea de mercado en términos de premio en

rendimiento respecto al rendimiento del activo libre de riesgo.

j L M L

M

r r (r r )j

Esta relación plantea que el exceso de rendimiento de un valor está en función del

exceso del rendimiento del mercado.

Con base en el modelo económico definido por la línea de mercado se puede

formular un modelo estadístico estimable:

j L M Lr r (r r ) iu

Donde α es el retorno constante ganado en cada periodo, β es un estimador del β j

en el SML, y ui es un término de error aleatorio.

Para interpretar los resultados considere que la expresión M L(r r ) refleja el

impacto del riesgo del mercado, éste no puede ser eliminado vía diversificación. El

término de error aleatorio se interpreta como el riesgo no sistemático.

El CAPM es desarrollado en un mundo hipotético donde se hacen los siguientes

supuestos sobre los inversionistas y el conjunto de oportunidades:

1. Los inversionistas son adversos al riesgo y maximizan la utilidad esperada

de su riqueza. Ellos escogen entre carteras alternativas con base en la

media y la varianza de las utilidades.

2. Los inversionistas no tienen el poder para afectar los precios de los activos

en el mercado. Además, tienen expectativas homogéneas del mercado. Y

todos tienen la misma información al mismo tiempo.

3. Existe un activo libre de riesgo.

4. Cantidad de activos son fijas, todos los activos son perfectamente líquidos y

divisibles.

5. La información es libre de costo y al alcance de todos.

6. No hay imperfecciones en el mercado.


Variables

Para la elaboración de este trabajo se consideraron las siguientes 8 acciones de

35 que conforman el IPC y dos más que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores

(KOF y TELMEXL):

AXTEL CPO

ELEKTRA

GMEXICO-B

GRUPO MODELO-C

EMPRESAS ICA

KIMBERLY-CLARK-A

KOF

GRUPO TELEVISA-CPO

TELMEXL

WAL-MART-V

La muestra que se utilizó fue de 73 meses; esto es, de enero de 2006 a enero de

2012. Las cotizaciones de los activos, así como de los índices (CETES a 28 días e

IPC), se realizaron tomando el promedio mensual de los mismos.

Se compararon los datos de cada activo y se observó que los rendimientos del

IPC y de Kimberly-Clark-A son parecidos.

La siguiente tabla muestra los estadísticos de los rendimientos de las variables

utilizadas para el análisis; donde RL es el rendimiento del CETE, RM es el

rendimiento del IPC y RKIM es el rendimiento de Kimberly-Clark-A.

RL RM RKIM

Mean -0.778221 1.611659 1.364173

Median -0.138793 -0.043848 2.554892

Maximum 8.312343 30.53124 27.68644

Minimum -13.94026 -20.80287 -17.71970

Std. Dev. 3.682908 11.73467 9.553341

Skewness -0.900136 0.412600 0.180209

Kurtosis 5.961357 2.520197 2.757181

Jarque-Bera 36.03184 2.733493 0.566586

Probability 0.000000 0.254935 0.753299

Sum -56.03194 116.0395 98.22043

Cuadro 1. Estadísticos de Descriptivos de las variables de Rendimiento


Sum Sq. Dev. 963.0306 9776.870 6479.910

Observations 72 72 72

Las medidas que aparecen en el cuadro permiten sintetizar las características de

las variables; la media indica que el rendimiento promedio más alto lo presentó el

mercado, lo cual se refleja en el rendimiento de las acciones de Kimberly-Clark-A

que presentan un rendimiento promedio similar. En contraste, los CETES

presentaron un rendimiento promedio negativo. Por otro lado, la desviación

estándar resalta que el rendimiento de las acciones de Kimberly-Clark-A es el que

presenta mayor volatilidad (riesgo). Finalmente, considerando que el sesgo y la

curtosis para una distribución normal son de 0 y 3 respectivamente, por los

resultados del cuadro se aprecia que ninguna de las series de datos parece

aproximarse a una distribución normal.

Ahora, la siguiente gráfica muestra la cotización de los Certificados del Tesoro

(CETES), en la cual se observa el pronunciado descenso en el año 2009, debido a

factores económicos como la crisis.

El rendimiento del CETE se observa en la gráfica que se muestra a continuación,

donde se presentó la mayor caída en el mes de Abril de 2009, a causa de la alta

volatilidad presentada en los mercados de todo el mundo debido a la crisis

hipotecaria de los Estados Unidos de América.

3

4

5

6

7

8

9

2006 2007 2008 2009 2010 2011

CETE

Gráfica 1. Precios del CETE

Fuente: Elaboración propia con

datos del Banco de México

Gráfica 2. Rendimientos del CETE

Fuente: Elaboración propia

con datos de la BMV y del

Banco de México


En la gráfica siguiente se observa el mismo efecto que en el comportamiento del

CETE, pero algunos meses antes, ya que las bolsas presentan más volatilidad y

tienen una reacción más rápida ante estas situaciones.

Ahora, se observa el rendimiento del IPC a través de 6 años, donde se puede

notar que las variaciones oscilan entre -20% y 30%.

-15

-10

-5

0

5

10

2006 2007 2008 2009 2010 2011

RL

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

2006 2007 2008 2009 2010 2011

IPC


datos del Banco de México

Gráfica 3. Precios del IPC


con datos de la BMV

Gráfica 4. Rendimientos del IPC


A continuación, se puede ver el comportamiento de la cotización de la acción

emitida por Kimberly-Clark-A. Al comparar ésta gráfica con la cotización del CETE

se observan crecimientos y decrementos semejantes.

Por último, se puede notar la oscilación de los rendimientos de Kimberly-Clark-A,

con movimientos equiparables al rendimiento del CETE.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

2006 2007 2008 2009 2010 2011

RM

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2006 2007 2008 2009 2010 2011

KIMBERLY


datos de la BMV

Gráfica 5. Precios de Kimberly-Clark-A


con datos de la BMV

Gráfica 6. Rendimientos de Kimberly -Clark-A


Modelo Estimado

Una vez presentadas las variables utilizadas y utilizando los fundamentos teóricos expuestos anteriormente, se procede a presentar el modelo elegido, que es de la forma:

𝑦𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑥𝑖 + 𝜀𝑖 El cual fue estimado con E-Views por medio de un modelo de regresión lineal simple utilizando el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)1, obteniéndose lo siguiente:

(𝑟𝑘𝑖𝑚 − 𝑟𝑙) = 0.496796 + 0.688569(𝑟𝑚 − 𝑟𝑙) (0.4600) (0.0000) Entonces, utilizando un nivel de significancia de 0.01 estadísticamente se tiene que:

El coeficiente 𝛼 no es significativo, pues la probabilidad asociada al estadístico t es 0.46>.01, por lo tanto no se rechaza la Hipótesis Nula: 𝛼 =0 con un nivel de confianza del 99%.

En cambio la 𝛽 encontrada es en extremo significativa, pues la probabilidad del estadístico t correspondiente es 0.00< .01, lo cual implica rechazar la Hipótesis Nula: 𝛽=0 con un nivel de confianza del 99%.

1De acuerdo con lo establecido en las ecuaciones (1.6) y (1.7) del Marco Teórico y bajo los supuestos del modelo de regresión lineal, los estimadores de MCO son los mejores estimadores lineales insesgados (MELIs). También conocido como teorema de Gauss-Markov. (Casella, 2001).

-20

-10

0

10

20

30

2006 2007 2008 2009 2010 2011

RKIM


datos de la BMV


Como β=0.688569 es un valor positivo menor a 1, implica que dependiendo del valor de la diferencia representada por la variable independiente (rm-rl), la variable dependiente (rkim-rl) sólo variará 68.8% de dicho valor ya sea positiva o negativamente. Suponiendo que en algún momento se diera rm=rl, entonces la variación de (rkim-

rl) se esperaría alrededor de un 49.67%, sin embargo este caso no es relevante ya que

𝛼 no es significativa.

El coeficiente de determinación 𝑅2 tiene un valor de 0.693108 lo cual indica que casi un 70% de la variación total en el premio de las acciones de Kimberly-Clark-A está explicado por la variabilidad del premio de riesgo de mercado. Además cumple con los supuestos del Modelo de Regresión Lineal:

a) Linealidad. Existe una relación lineal entre la variable explicada Y=(rkim-rl) y la explicativa X=(rm-rl) de acuerdo con el diagrama de dispersión, asimismo el coeficiente es 0.832531 cercano a 1 indicando una correlación fuerte positiva.

b) Forma Funcional Correcta. Las probabilidades de los estadísticos t asociados a las variables FITTED^2 y FITTED^3, (0.7022 y 0.4533 respectivamente) son mayores a 0.01 el nivel de significancia, indicando que la forma funcional del modelo es la correcta, con una confianza del 99%.

c) Normalidad en los errores. Visualmente en el histograma se aprecia una cierta tendencia a la distribución normal, la probabilidad asociada al estadístico de Jarque-Bera es 0.906716>0.01, por lo tanto no se rechaza la Hipótesis nula de normalidad en los residuos con un 99% de confianza. Además el coeficiente de curtosis tiene un valor de 3.105286 no lejos de 3 implicando nuevamente la normalidad.

d) Homocedasticidad en los errores. Para el Arch Test la probabilidad asociada al estadístico F es 0.619834>0.01 y para el White Heteroskedasticity Test es 0.937105>0.01 por lo tanto no se rechaza la Hipótesis nula de que los errores son homocedásticos al 99% de confianza.

e) No Autocorrelación en los errores. El estadístico de Durbin-Watson es 1.780269 ∈ [1.5, 2.5] y la probabilidad asociada al estadístico F de la prueba de Breusch-Golfrey es 0.532245 >0.01 lo cual indica que los errores no están autocorrelacionados.


f) Permanencia Estructural (estabilidad de los parámetros). De acuerdo con el gráfico del Test CUSUM, no existe ningún rompimiento, indicando que los valores asociados al estadístico no sobrepasan los límites de significancia, de donde se asume que los parámetros son estables con un 95% de confianza.

Lo anterior se verifica con la salida de la Regresión proporcionada por E-Views y las pruebas de validación correspondientes que se encuentran en los anexos. Por lo tanto el Modelo CAPM estimado es válido. Ahora de acuerdo con la teoría del CAPM y los resultados anteriores se observa lo siguiente: El hecho de que el coeficiente 𝛼 sea no significativo determina si el mercado financiero es eficiente, pues de no serlo no existe ninguna otra fuente para elevar el premio de los accionistas fuera de la que brinda el mercado. En contraste, la 𝛽 estimada, es decir, el premio de riesgo del mercado es en extremo significativo, ya que mide el grado de afectación asociado a fenómenos como la inflación, recesión y otros eventos que afectan a todas las empresas.

Por otro lado debido al valor del coeficiente de determinación 𝑅2 existe 69.31% de riesgo sistemático para el dueño de estas acciones y 30.69% de riesgo no sistemático o diversificable. Finalmente, como el coeficiente del premio de riesgo2 de mercado es de . 688569 < 1, se tiene que las acciones de Kimberly-Clark-A proporcionan un premio de riesgo por acción inferior al del mercado, es decir, el rendimiento del activo es menos riesgoso que el rendimiento del mercado.

Conclusiones Tomando como fundamento la teoría del CAPM, utilizando información de los precios de las acciones de la BMV, los CETES y el IPC correspondientes a los últimos seis años junto con las bases (MLR) y herramientas (E-Views) estadísticas pertinentes, se pudo constatar que se puede estimar un Modelo CAPM válido para predecir las relaciones entre la rentabilidad y el riesgo de una inversión con acciones de Kimberly-Clark-A.

2 El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento de dinero y se le llama así porque el inversionista

siempre arriesga su dinero (siempre que no invierta en el banco) y por arriesgarlo merece una ganancia

adicional sobre la inflación. Como el premio es por arriesgar, significa que a mayor riesgo, se merece mayor

ganancia. (Contreras, 2009).


Anexos

A. Regresión

Aquí C=𝛼

Dependent Variable: RKIM-RL

Method: Least Squares

Date: 03/06/12 Time: 16:24

Sample (adjusted): 2006M02 2012M01

Included observations: 72 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.496796 0.668652 0.742982 0.4600

RM-RL 0.688569 0.054763 12.57351 0.0000

R-squared 0.693108 Mean dependent var 2.142394

Adjusted R-squared 0.688724 S.D. dependent var 9.972641

S.E. of regression 5.563950 Akaike info criterion 6.297878

Sum squared resid 2167.028 Schwarz criterion 6.361119

Log likelihood -224.7236 F-statistic 158.0932

Durbin-Watson stat 1.780269 Prob(F-statistic) 0.000000

B. Grafica de Dispersión y Coeficiente de Correlación

Y=(rkim-rl) y X=(rm-rl)

C. Prueba de Forma Funcional Correcta

-20

-10

0

10

20

30

-30 -20 -10 0 10 20 30 40

X

Y

Y X

Y 1.000000 0.832531

X 0.832531 1.000000


Ramsey Test

Ramsey RESET Test:

F-statistic 0.990894 Probability 0.376541

Log likelihood ratio 2.068368 Probability 0.355516

Test Equation:

Dependent Variable: RKIM-RL

Method: Least Squares

Date: 03/07/12 Time: 11:50

Sample: 2006M02 2012M01

Included observations: 72

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.982237 0.858255 1.144457 0.2564

RM-RL 0.799569 0.102873 7.772380 0.0000

FITTED^2 -0.004429 0.011534 -0.383966 0.7022

FITTED^3 -0.000620 0.000822 -0.754223 0.4533

D. Prueba de Normalidad en los errores

Jarque-Bera Test

E. Pruebas de Homocedasticidad en los errores

Arch Test y White Heteroskedasticity Test

0

2

4

6

8

10

-10 -5 0 5 10

Series: Residuals

Sample 2006M02 2012M01

Observations 72

Mean 6.11e-16

Median -0.351335

Maximum 12.92070

Minimum -13.48782

Std. Dev. 5.524628

Skewness 0.116403

Kurtosis 3.105286

Jarque-Bera 0.195852

Probability 0.906716


White Heteroskedasticity Test:


Obs*R-squared 0.135441 Probability 0.934521

F. Prueba de no autocorrelación en los errores del modelo

Estadístico de D-W y prueba de Breusch-Golfrey

Durbin-Watson stat 1.780269

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:



G. Prueba de Permanencia Estructural

CUSUM Test

Bibliografía

-30

-20

-10

0

10

20

30

2006 2007 2008 2009 2010 2011

CUSUM 5% Significance

ARCH Test:




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