Universidad de Valladolid UVa - D DIINNÁÁMMIICCAA ......Euler, y simplificándolas para los casos...

DDDIIINNNÁÁÁMMMIIICCCAAA DDDEEELLL SSSÓÓÓLLLIIIDDDOOO RRRÍÍÍGGGIIIDDDOOO

x

y

z= z1

G

x1 = x’1

y1 ψ ψ

ψ&

θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ&ϕ

ϕ

y’’1

x’’1

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Índice.

1. Introducción............................................................................................................................................4

2. Cantidad de movimiento lineal y momento angular de un sólido rígido. ..........................................5

3. Momento angular de un sólido rígido respecto de su centro de masas. ...........................................10

4. Relación entre el momento angular y la velocidad angular de un sólido rígido..............................16

5. Reducción del estudio cinético de un sólido rígido a su centro de masas.........................................22 5.1. Momento angular de un sólido rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo......................25

6. Aplicación de los principios del impulso lineal y angular al movimiento de un sólido rígido........28

7. Energía cinética de un sólido rígido en tres dimensiones. .................................................................29 7.1. Energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo....................................................................35 7.2. Trabajo. ...........................................................................................................................................37

8. Movimiento de un sólido rígido en tres dimensiones. ........................................................................40 8.1. Ecuación de Euler del movimiento. Extensión del principio de d’Alembert. .................................44 8.2. Movimiento de un sólido con un punto fijo. ...................................................................................48 8.3. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo......................................................................51 8.4. Estudio del equilibrio de ejes o árboles planos rotatorios. ..............................................................53

9. Movimiento de un giroscopio...............................................................................................................56 9.1. Precesión estacionaria en un giroscopio..........................................................................................62

9.1.1. Precesión lenta y rápida. Velocidad mínima de rotación propia. ............................................69 9.1.2. Influencia de la geometría en el movimiento de un sólido de revolución con precesión

estacionaria y momento de las fuerzas exteriores nulo. ..........................................................72 9.1.2.1. Aplicación a casos particulares. ........................................................................................74

9.1.3. Movimiento de un sólido de revolución con precesión estacionaria y momento de las fuerzas exteriores nulo (modelo de Poinsot). ..........................................................................79

9.1.3.1. Análisis del movimiento en función del axoide móvil. .....................................................86 9.2. Análisis de estabilidad de un sólido con momento nulo ante una perturbación. .............................89

9.2.1. Comportamiento de un sólido que gira inicialmente respecto del eje de inercia máxima. .....91 9.2.2. Comportamiento de un sólido que gira inicialmente respecto del eje de inercia mínima. ......94 9.2.3. Comportamiento de un sólido que gira inicialmente respecto del eje de inercia intermedia. .96 9.2.4. Sólido con simetría axil. .........................................................................................................97 9.2.5. Sólido con simetría polar. .......................................................................................................99

ANEXO 1. Bibliografía ........................................................................................................................ 105

Revisión: octubre 2012

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Mirada previa

En este tema se va a realizar un análisis del estudio dinámico del sólido rígido en tres dimensiones.

Comienza con la determinación de la cantidad de movimiento lineal y el momento angular respecto del origen de un sistema de referencia fijo, relacionando ambas expresiones con las características geométricas del centro de masas del sólido rígido.

Posteriormente se comprueba que la cantidad de movimiento angular es la misma si el estudio se hace con velocidades absolutas o relativas respecto de un sistema de referencia solidario al centro de masas y con movimiento de traslación, desarrollándose la expresión en función del tensor de inercia másico.

A continuación se analiza la reducción de sistema dinámico al centro de masas del sólido o a un punto fijo, si existe, aplicando los principios de impulso lineal y angular, la energía cinética del sólido y el trabajo generado por las fuerzas y momentos.

Se sigue con el análisis del movimiento de un sólido en tres dimensiones, obteniendo las expresiones de Euler, y simplificándolas para los casos de sólido con un punto fijo, sólido que gira alrededor de un eje fijo y sólido plano que gira alrededor de un eje fijo.

Se entra finalmente en el análisis giroscópico, en el que se desarrollan las ecuaciones de equilibrio de Euler a partir de sus parámetros y se aplica al caso de precesión estacionaria, obteniéndose los valores de precesión rápida y lenta, la condición de velocidad mínima de rotación propia y la influencia de la geometría en el giro de un sólido.

Finaliza el tema con el estudio de la estabilidad de un sólido giratorio ante pequeñas perturbaciones.

Preguntas de inspección

1. ¿Qué son la cantidad de movimiento lineal y el momento angular respecto de un punto fijo? 2. ¿Es necesario realizar los procesos de integración de la cantidad de movimiento lineal del entorno

infinitesimal de un punto para determinar la del sólido? 3. ¿Qué influencia tienen las fuerzas interiores para el conjunto de todos los puntos de un sólido? 4. ¿Cuánto vale el momento estático respecto del centro de masas de un sólido? 5. ¿Por qué se utiliza un sistema de referencia solidario al centro de masas y con movimiento de

traslación en el estudio del momento angular? 6. ¿Qué movimiento puede tener un sólido rígido respecto del sistema de referencia definido en la

pregunta anterior? 7. ¿Cómo son la velocidad angular y el momento angular cuando los momentos principales de inercia del

sólido son iguales entre sí? 8. ¿Para qué se utiliza un sistema de referencia asociado al centro de masas de un sólido en el que el

tensor de inercia no varía? 9. ¿Cuándo coincide la aceleración angular con la derivada de las componentes de la velocidad angular? 10. ¿Qué es la precesión estacionaria? 11. ¿Qué se entiende por movimiento estable de un sólido rígido?

1. Introducción.

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1. Introducción.

Capacidades a desarrollar en el aprendizaje

Determinar los pasos y la estructura seguida en el estudio. Indicar el objetivo a alcanzar en cada uno de los pasos.

La dinámica del sólido rígido es la parte de la mecánica que analiza la relación entre las fuerzas que actúan en un sólido y el movimiento que éste adquiere.

El estudio se plantea desde un punto de vista tridimensional, no entrando en conceptos bidimiensionales ya que se pueden llegar a ellos a partir de eliminar una de las componentes.

Se considera este tema una continuación natural de la cinemática de sólido rígido, ya que es necesario conocer conceptos desarrollados en él como son el movimiento relativo, la velocidad y aceleración absoluta, y sobre todo los ángulos de Euler para la definición de la orientación de un sistema de referencia que cumpla con condiciones cinemáticas necesarias para el estudio dinámico mediante una formulación sencilla.

El análisis parte de del entrono infinitesimal del punto y, a partir del uso de procesos de integración, y utilizando conceptos geométricos asociados al centro de masas, poder generalizar las expresiones a todo el sólido. Se plantean conceptos sencillos como cantidad de movimiento lineal o momento angular para, a partir de su derivación respecto del tiempo, relacionarlos con el sumatorio de fuerzas o momentos respecto del centro de masas.

En prácticamente todos los estudios se utiliza un sistema de referencia solidario al centro de masas del sólido y con movimiento de traslación, que simplifica los procesos de integración y permite utilizar ecuaciones que en principio solo serían válidas en sistemas de referencia inerciales. Esta referencia se ha utilizado en el momento angular respecto del centro de masas, la energía cinética del sólido, el trabajo y finalmente en las ecuaciones de equilibrio dinámico de Euler.

A partir del análisis del movimiento de un giroscopio se pueden justificar efectos como la inercia al movimiento giratorio de un sólido respecto de un eje principal de inercia, o la estabilidad en el movimiento de los vehículos de dos ruedas. Para simplificar los procesos se estudiarán distintos casos de precesión estacionaria de un giroscopio y su estabilidad ante una perturbación.

2. Cantidad de movimiento lineal y momento angular de un sólido rígido.

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Determinar la cantidad de movimiento lineal y momento angular de un sólido rígido respecto del origen del sistema de referencia inercial.

Introducir las características del centro de masas en las expresiones. Derivar la cantidad de movimiento lineal y momento angular respecto del origen del sistema de referencia

inercial y del tiempo. Determinar la influencia de las fuerzas interiores en el sumatorio de fuerzas y momentos para el conjunto de

todos los puntos del sólido. Obtener las expresiones finales de equilibrio dinámico de fuerzas y momentos.

cantidad de movimiento lineal

En un sólido rígido con movimiento respecto de un sistema de referencia fijo o inercial (Oxyz) se define el vector cantidad de movimiento lineal o momento lineal ( iLd

r) del entrono infinitesimal de un punto (Pi) de

masa asociada dm y velocidad ivr

(Fig. 2.1) a la expresión

ii vdmLdrr

=

Para obtener la cantidad de movimiento lineal de todo el sólido ( Lr

) se integra la expresión anterior en el dominio y se convierte en

∫∫∫ =⇒=m

im

iL

i dmvLdmvLd rrrr

r

Fig. 2.1 – Masa y velocidad del entorno de un punto.

momento angular Se define como momento angular infinitesimal (algunos autores lo llaman momento cinético) de la masa dm asociada al entorno de un punto Pi respecto de otro punto O ( oHd

r) a la expresión

iioiio L d rHdv dm rHdrrrrrr

×=⇒×=

Para obtener el momento angular de todo el sólido ( oHr

) se integra esta expresión en el dominio y se convierte en

∫∫∫ ×=⇒×=m

iiom

iiH

o v dm rHv dm rHdo

rrrrrr

r

Pi

dm

ivr

x

x’

O

G

y

y’

z

z’

irr

Grr

iLdr


- 6/105 -

Sin embargo, los desarrollos de las integrales obtenidas en la cantidad de movimiento lineal ( Lr

) y el momento angular ( oH

r) no son obvios, por lo que para su obtención se utiliza el concepto de centro de

masas (c.d.m.) del sólido.

centro de masas La posición del c.d.m. ( Grr

) de un sólido y sus derivadas primera y segunda respecto del tiempo ( Gr&r

y Gr&&r

) para el caso de sólidos de masa constante, vienen expresadas mediante

m

dmrr m

i

G

∫=

r

r

( ) mv dmvm

dmvv

m

dmr

dtdr

dtdr G

mi

mi

Gm

i

GGrr

r

r

r

r&r=⇒=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛== ∫

∫∫

( ) ma dmam

dmaa

m

dmv

dtdv

dtdr G

mi

mi

Gm

i

GGrr

r

r

r

r&&r=⇒=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛== ∫

∫∫

la segunda expresión, aplicada al concepto de momento lineal, permiten obtener

mvL mv dmv

dmvL

GG

mi

mi rr

rr

rr

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

∫

∫

Concepto clave La cantidad de movimiento lineal de un sólido ( Lr

) coincide con la que tendría si toda su masa (m) estuviera concentrada en el centro de masas (G).

ecuación fundamental de la dinámica del

sólido rígido en fuerzas

Si se deriva esta expresión respecto del tiempo se obtiene la ecuación fundamental de fuerzas en el estudio de la dinámica del sólido rígido

( ) ma mvL mvdtdL

dtd

GGGr&r&rrr

==⇒=

y como, según la segunda ley de Newton

LdtLdF

&rr

r==∑

se llega a la expresión

Gam Frr

=∑

principio de d’Alembert

A la expresión que establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio se le denomina principio de d’Alembert.

0am F G

rrr=−∑


- 7/105 -

Concepto clave La aceleración que adquiere el centro de masas ( Ga

r) de un sólido rígido va a ser un vector

proporcional a la resultante del sistema de fuerzas exteriores ( ∑ Fr

) que actúa sobre él.

derivada del momento angular respecto del

tiempo

Con el momento angular respecto de un punto ( oHr

) se va a realizar el mismo proceso. Para la determinación de la derivada respecto del tiempo del momento angular de un sólido rígido respecto del origen (O) del sistema de referencia inercial ( oH

r), se parte de la expresión

∫ ×=m

iio v dm rHrrr

Si se deriva respecto del tiempo, utilizando la propiedad asociativa

∫∫∫ ×+×=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

mii

miio

miio v dm rv dm rHv dm r

dtdH

&rrr&r&rrr&r

pero el primer sumando se anula, ya que corresponde al producto vectorial de vectores paralelos

0v dm vv dm rvrm

iim

iiii

rrrr&rr&r=×=×⇒= ∫∫

luego la expresión de la derivada del momento angular respecto del tiempo y respecto del origen del sistema de referencia O ( oH

r) queda

∫∫∫

∫∫×=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=×=×

×+×=

miio

mii

mii

mii

miio

v dm rH0v dm vv dm r

v dm rv dm rH&rr&r

rrrr&r

&rrr&r&r

fuerzas internas del sólido

Se considera ahora un entorno de la partícula Pi de masa dm en el que existe una aceleración iar

respecto del sistema de referencia inercial Oxyz, y se aplica el equilibrio dinámico a dicha partícula teniendo en cuenta el efecto todas las fuerzas que lo afectan.

Si se denomina ijfdr

la fuerza interna que otra partícula (Pj) del sólido ejerce sobre la Pi (Fig. 2.2), la

resultante de las fuerzas interiores ( ijFdr

) que las demás partículas del sistema ejercen sobre Pi es

∑=j

ijij fdFdrr


- 8/105 -

Pi Fi

x

O y

z

Pj

ijfdr

jifdr

irr

jrr

jirr

Fig. 2.2 – Fuerzas internas entre partículas de un sólido rígido.

ecuación fundamental de fuerzas en el entorno

de un punto

Si iFr

es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula Pi, la segunda ley de Newton aplicada a esta partícula adquiere la forma,

iiji adm FdFrrr

=+

Si ahora se premultiplica vectorialmente a la expresión por el vector de posición del punto respecto del sistema de referencia inercial ( ir

r), se obtiene

( ) iiijiiiiiijii dm arFdrFrdm arFdFr ×=×+×⇒×=+×rrrrrrrrr

Si esto se hiciera para todas las partículas del sólido rígido y se sumaran, se tendría

( ) ( ) ( )∫∑∑ ×=×+×m

iiP

ijiP

ii dm arFdrFrii

rrrrr

Pero para todos los sistemas de partículas tomados de dos en dos se anulan las fuerzas interiores, ya que aparecerían los términos

( ) ( )jijiji FdrFdrrrrr

×+×

que corresponden al momento que sobre la partícula Pi ejerce la fuerza generada por la Pj, mas el momento que sobre la partícula Pj ejerce la fuerza generada por la Pi, respectivamente. Como vectorialmente se puede poner (Fig. 2.2)

jiij rrrrrr

+=

sustituyendo en la expresión anterior se tiene

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )jijijiiijijijiiijijiij

jijiji FdrFdrFdrFdrrFdrrrr

FdrFdr rrrrrrrrrrrrrr

rrrr

×+×+×=×++×⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

×+×

y por ser los vectores ijFdr

y jiFdr

opuestos y jiFdr

jirr

paralelos

jijijiij Fd||rFdFdrrrr

−=

se tiene


- 9/105 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0FdrFdrFdrFrFd||rFdFd

FdrFdrFdrFr 0

jijiijiijiP

ii

jijijiij

jijijiiijiP

ii

i

i

r48476 rrrrrrrrrrrr

rrrrrrrr r

=×+×−×=×⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

×+×+×=× =

∑∑

por lo que todos los términos se anulan, y finalmente

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫∑∑

∫∑∑×=×⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=×

×=×+×

mii

Pii

Piji

mii

Piji

Pii

dm arFr0Fdr

dm arFdrFr

i

i

ii rrrrrr

rrrrr

Concepto clave Para el conjunto de todos los puntos del sólido rígido, la influencia de las fuerzas interiores es nula.

El término a la izquierda de la igualdad corresponde al momento de las fuerzas exteriores ( iFr

) que actúan

en el sólido rígido respecto del punto O ( OMr

)

( )∑ ×=iP

iiO FrMrrr

mientras que el término a la derecha de la igualdad es la derivada del momento angular respecto del tiempo

asociado al punto O ( OH&r

)

( )∫ ×=m

iiO adm rHrr&r

luego la expresión final es

ecuación fundamental de momentos de la

dinámica de sólidos rígidos

( ) ( )

( )( )

OO

miiO

PiiO

mii

Pii

HM

adm rH

FrM

adm rFr

i

i&rr

rr&r

rrr

rrrr

=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

×=

×=

×=×

∫

∑

∫∑

Concepto clave

El sumatorio de momentos de las fuerzas exteriores respecto del origen de un sistema de referencia inercial ( OM

r) es igual a la derivada del momento angular respecto del tiempo

respecto de dicho punto ( OH&r

).

Las expresiones

Gam Frr

=∑ OO HM&rr

=

son válidas únicamente cuando se aplican en sistemas de referencia inerciales (aquellos cuya velocidad es nula o que tienen movimiento de traslación con velocidad constante).

3. Momento angular de un sólido rígido respecto de su centro de masas.

- 10/105 -



Utilizar en el análisis un sistema de referencia solidario al centro de masas y con movimiento de traslación. Introducir las características del centro de masas en la formulación dinámica. Comprobar que el momento angular respecto del centro de masas con un sistema de referencia inercial y

con un sistema de referencia solidario al centro de masas y con movimiento de traslación es el mismo. Comprobar que la derivada respecto del tiempo del momento angular respecto del centro de masas en base

inercial y en un sistema de referencia solidario al centro de masas y con movimiento de traslación es la misma.

Aplicarlo a las expresiones de equilibrio dinámico de fuerzas y momentos.

Como se verá más adelante, el análisis dinámico de un sólido se simplifica cuando se realiza en unos ejes que tengan origen en el c.d.m. (Gx’y’z’) y movimiento de traslación (Fig. 3.1) respecto del sistema de referencia inercial (Oxyz).

En este epígrafe se comprobará que, aunque la expresión GG HM&rr

= es válida únicamente para sistemas de referencia inerciales, el sistema anteriormente indicado Gx’y’z’, que no tiene por qué ser inercial, sí la cumple.

El momento angular del sólido ( GHr

) respecto del c.d.m. (G) viene expresado por

( )∫ ×=m

iiG v dm 'rHrrr

donde

'rir

- vector de posición de la partícula del sólido (Pi) respecto del c.d.m.

ivr

- velocidad absoluta de la partícula del sólido (Pi).

Pi dm

x

x’

O

G y

y’

z

z’

irr

Grr

i'rr

Gvr

aiG vvrr

=

ivr

rivr

Fig. 3.1 – Velocidad relativa y de arrastre de una partícula respecto de un sistema de referencia solidario al

c.d.m. y con movimiento de traslación.

descomposición en velocidad relativa más

arrastre

Como la velocidad absoluta de una partícula ( ivr

) se puede poner como suma de la componente relativa

( rivr

) más la de arrastre ( aivr

) respecto del sistema de referencia solidario al c.d.m. y con movimiento de


- 11/105 -

traslación (Gx’y’z’) se tiene

aG/Pi

rG/PiGi vvvv

rrrr++=

luego

( ) ( )( )( ) ( ) ( )∫∫∫

∫∫

×+×+×=

=++×=×=

m

aG/Pii

m

rG/Pii

mGi

m

aG/Pi

rG/PiGi

miiG

v dm 'rv dm 'rv dm 'r

vvv dm 'rv dm 'rH

rrrrrr

rrrrrrr

velocidad relativa de rotación y arrastre de

traslación

En este caso el movimiento relativo solo puede ser debido a la rotación del sólido respecto de estos ejes, mientras que el de arrastre corresponde al de traslación, que es invariante del sólido. Esto se puede apreciar mejor si la velocidad del punto Pi se reduce al c.d.m. del sólido (G) y se descompone el movimiento en relativo más arrastre

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−×=⇒−×+=++=

0v

GPvGPvvvvv

ai

iri

iGa

G/Pir

G/PiGi rr

rrrrrrrr ω

ω

Concepto clave El movimiento relativo de un sólido respecto de un sistema de referencia solidario a un punto de dicho sólido con movimiento de traslación solo puede ser de rotación.

con lo que sustituyendo la velocidad en el momento angular

( ) ( )∫∫ ×+×=m

Gim

riiG v dm 'rv dm 'rH

rrrrr

como la velocidad de arrastre, que coincide con la del c.d.m. ( Gvr

), es la misma para todos los puntos del sólido, puede salir fuera de la integral, y como el dm es un escalar, puede pasar a multiplicar al primer término del producto vectorial, con lo que queda

( ) ( ) Gm

im

Gi v dm'rv dm 'rrrrr

×=× ∫∫

donde esa primera integral corresponde al momento estático del sólido ( Gmr

) respecto del c.d.m. (G), que por definición es nulo, luego

( ) ( ) 0vmv dm'r0m dm'r GGGm

iGm

i

rrrrrrrr=×=×⇒== ∫∫

Concepto clave El momento estático respecto del centro de masas es nulo.

igualdad de momento angular

Llegando entonces a la conclusión de que

( ) ( )( ) ( ) r

Gm

riiG

m

aii

m

aii

m

riiG

Hv dm 'rH0v dm 'r

v dm 'rv dm 'rHrrrr

rrr

rrrrr

=×=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=×

×+×=

∫∫

∫∫


- 12/105 -

por lo que el momento angular ( GHr

) del sólido rígido se puede calcular a partir de la cantidad de

movimiento lineal absoluto de las partículas del sólido ( ivdm r

), considerando la velocidad lineal absoluta

de sus partículas ( ivr

)

( )∫ ×=m

iiG v dm 'rHrrr

o a partir de la cantidad de movimiento lineal relativa de las partículas del sólido ( rivdm r

), considerando la

velocidad lineal relativa ( rivr

) respecto del sistema de referencia solidario al c.d.m. del sólido Gx’y’z’, sistema afectado únicamente por el movimiento de traslación

( )∫ ×=m

rii

rG v dm 'rH

rrr

de forma que

rGG HHrr

=

Concepto clave

El momento angular respecto del centro de masas de un sólido es el mismo considerando la velocidad absoluta ( GH

r) y la velocidad relativa respecto de un sistema de referencia

solidario al centro de masas con movimiento de traslación ( rGHr

).

caso de punto arbitrario

Si el sistema de referencia no hubiera sido solidario al c.d.m. (G) sino a un punto arbitrario (O), la relación entre el momento angular considerando la velocidad absoluta ( OH

r) y la velocidad relativa respecto de un

sistema de referencia solidario al punto con movimiento de traslación ( rOHr

) es

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

OOrOO

m

aii

m

rO

rii

OOOm

im

Oi

m

aii

m

rii

mOiO

vmHH

0v dm 'r

Hv dm 'r

vmv dm'rv dm 'r

v dm 'rv dm 'rv dm 'rH

rrrr

rrr

rrr

rrrrrr

rrrrrrr

×+=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=×

=×

×=×=×

×+×+×=

∫

∫

∫∫

∫∫∫

en la que Omr

es el momento estático no nulo del sólido respecto del punto O.

derivada del momento angular

Si la expresión del momento angular respecto del c.d.m. expresada mediante la velocidad relativa ( rGHr

) se deriva respecto del tiempo se obtiene

( ) ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×=

m

rii

m

rii

m

rii

rG v dm 'rv dm 'rv dm 'r

dtdH

&rrr&rrr&r

analizando el primer sumando, como la derivada respecto del tiempo del vector de posición relativo ( 'r&r

) es la velocidad relativa ( r

ivr

), el producto vectorial es nulo


- 13/105 -

( ) 0v dm v

v'r

v dm 'r

m

ri

ri

rii

m

rii rrr

r&r

r&r

=×⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

∫∫

mientras que la derivada de la velocidad relativa respecto del tiempo es la aceleración relativa ( ri

ri av

r&r= ),

por lo que la derivada respecto del tiempo del momento angular ( rGH&r

) respecto del c.d.m. (G) es

( )∫∫

∫∫

×=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=

m

rii

rG

ri

ri

m

rii

m

rii

m

rii

rG

a dm 'rH

av

0v dm 'r

v dm 'rv dm 'rH

rr&r

r&r

rr&r

&rrr&r&r

componentes de las aceleración

La aceleración relativa de cada partícula ( riar

) se pone en función de la descomposición del movimiento en relativo más arrastre, y viene expresada por

( )[ ] ( ) cii

ai

aariGi aGPGPaaa

rrrrrrr+−×+−××++= αωω

siendo,

iar

- aceleración absoluta de cada punto (Pi) del sólido.

Gar

- aceleración absoluta del c.d.m. del sólido.

riar

- aceleración relativa de cada punto (Pi) del sólido.

( )[ ] ( )GPGP ia

iaa −×+−×× αωω

rrr - aceleración de arrastre de cada punto (Pi) del sólido, nula al

no haber ni velocidad ni aceleración angular de arrastre.

ciar

- aceleración de Coriolis de cada punto (Pi) del sólido, que en este caso es nula, por no existir

velocidad angular de arrastre ( 0arr

=ω ).

aceleración relativa Luego la aceleración relativa de cada partícula viene expresada por

( )[ ] ( )( )[ ] ( ) Gi

ri

ci

ia

iaa

cii

ai

aaGi

ri

aaa

0a

0GPGP

aGPGPaaarrr

rr

rrrr

rrrrrrr

−=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=−×+−××

−−×−−××−−=

αωω

αωω

por lo que sustituyendo en la expresión de la derivada respecto del tiempo del momento angular ( G'H&r

) respecto del c.d.m. (G) queda

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫

×−×=−×=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

×=

mGi

mii

mGii

rG

Giri

m

rii

rG

a dm 'ra dm 'raa dm 'rH

aaa

a dm 'rH rrrrrrr&r

rrr

rr&r


- 14/105 -

teniendo en cuenta que la aceleración del c.d.m. ( Gar

) es constante, puede salir fuera de la integral, y al ser dm un escalar puede pasa a multiplicar al primer término del producto vectorial, con lo que queda

( ) ( ) Gm

im

Gi a dm'ra dm 'rrrrr

×=× ∫∫

momento estático respecto del c.d.m.

donde esa integral corresponde nuevamente al momento estático respecto del c.d.m. ( Gmr

), que por definición es nulo, luego

( ) ( )

( )( ) ( ) 0ama dm'ra dm 'r

0m dm'r

a dm'ra dm 'r

GGGm

im

GiG

mi

Gm

im

Gi rrrrrrrrrr

rrrr

=×=×=×⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

×=×

∫∫∫

∫∫

con lo que la derivada respecto del tiempo del momento angular ( G'H&r

) respecto del c.d.m. (G) queda

( ) ( )( )

( )∫∫

∫∫×=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=×

×−×=

mii

rG

mGi

mGi

mii

rG

a dm 'rH0a dm 'r

a dm 'ra dm 'rHrr&r

rrr

rrrr&r

expresión que coincide con

( )∫ ×=m

iiG a dm 'rHrr&r

igualdad de la derivada del momento angular respecto del tiempo y

del centro de masas

Luego para el cálculo de la derivada respecto del tiempo del momento angular respecto del c.d.m. de un

sólido ( GH&r

) asociado a un sistema de referencia solidario con dicho c.d.m. con movimiento de traslación,

los resultados no varían si se utiliza la aceleración absoluta ( iar

) o relativa ( riar

)

rGG HH&r&r

=

Concepto clave

La derivada del momento angular respecto del centro de masas respecto del tiempo de un

sólido es la misma considerando la aceleración absoluta ( GH&r

) que la aceleración relativa respecto de un sistema de referencia solidario al centro de masas con movimiento de

traslación ( rGH&r

).

Aplicando esta igualdad a la relación entre la derivada del momento angular respecto del tiempo y respecto

del c.d.m. ( GH&r

), y el momento de las fuerzas exteriores respecto de dicho punto ( GMr

), se tiene

rGGG

rGG

GG HHMHH

HM &r&rr

&r&r

&rr

==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=


Si el sistema de referencia no hubiera sido solidario al c.d.m. (G) sino a un punto arbitrario (O), la relación


- 15/105 -

entre la derivada respecto del tiempo del momento angular considerando la velocidad absoluta ( OH&r

) y la

velocidad relativa ( rOH&r

) es

( ) ( )

( )( ) ( )

OOrOO

OOOm

im

Oi

Om

ii

mOi

mii

rO

a mHH

a ma dm'ra dm 'r

Ha dm 'r

a dm 'ra dm 'rH

rr&r&r

rrrrrr

&rrr

rrrr&r

×+=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

×=×=×

=×

×−×=

∫∫

∫

∫∫

en la que Omr


4. Relación entre el momento angular y la velocidad angular de un sólido rígido.

- 16/105 -



Desarrollar el momento angular respecto del centro de masas en un sistema de referencia solidario a dicho punto y con movimiento de traslación.

Identificar las integrales con las características geométricas de un sólido rígido. Analizar el momento angular en base principal de inercia. Analizar cuando el momento angular respecto del centro de masas y la velocidad angular del sólido son

vectores paralelos.

La expresión del momento angular ( rGHr

) respecto del c.d.m. (G) de un sólido rígido considerando un sistema de ejes Gx’y’z’ que tienen movimiento de traslación es, como ya se ha indicado anteriormente

( )∫ ×=m

rii

rG v dm 'rH

rrr

siendo

i'rr

- vector de posición de la partícula Pi respecto del c.d.m. (G) del sólido.

rivr

- velocidad relativa de la partícula Pi.

dm - masa asociada al entorno de la partícula Pi.

sin embargo esta expresión no es fácil de integrar, por lo que se va a desarrollar para obtener un término de aplicación más directa. Partiendo de la expresión que relaciona la velocidad de dos puntos pertenecientes a un sólido rígido (Pi, G), como la velocidad angular de arrastre es nula ( 0a

rr=ω ) se tiene

( )( )

riGi

ia

iar

iGi vvv0GP

GPvvv rrrrr

rrrr

+=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−×

−×++=

ω

ω

velocidad relativa de rotación

en la que la velocidad relativa del punto Pi ( rivr

) sólo tiene componente de rotación

irr

i 'rvrrr

×= ω

siendo rωr

el vector velocidad angular relativa del sólido que coincide con su velocidad angular total ωr

.

Concepto clave La velocidad relativa de un sólido respecto de un sistema de referencia solidario al centro de masas con movimiento de traslación solo puede corresponder a una rotación.

Sustituyendo en la expresión del momento angular ( rGHr

), se obtiene


- 17/105 -

( )( )[ ]∫

∫××=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

×=

×=

mi

rG

iri

m

rii

rG

'r dm 'rH'rv

v dm 'rH rrrr

rrr

rrr

ωω

doble producto vectorial

Si se desarrolla el doble producto vectorial considerando x’, y’ ,z’ las componentes de 'rr

y ωx’, ωy’, ωz’ las componentes de ω

r en el sistema de referencia Gx’y’z’ solidario al c.d.m. y con movimiento de traslación,

se tendrá

( )( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

×

××

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

==×

'zi

'yi

'xi

i'yi'x

i'xi'z

i'zi'y

iii

'z'y'xi

'r'r'r

'x'y'z'x'y'z

'z'y'x

'k'j'i'r

rr

rr

rrrrr

rr

ωωω

ωωωωωω

ωωωω

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

dm'r'y'r'x'r'x'r'z'r'z'r'y

dm'r'r'r

'z'y'x'k'j'i

'r dm 'r

'xii'yii

'zii'xii

'yii'zii

'zi'yi'xi

iiiii⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

×−××−×

×−×

=×××

=××rrrr

rrrr

rrrr

rrrrrr

rrr

rrr

ωωωωωω

ωωωω

o bien desarrollando

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )dm

'z'y'z'y'z'x'z'y'z'x'y'x

'z'x'y'x'z'y

dm'y'z'y'z'x'x'x'y'x'y'z'z'z'x'z'x'y'y

dm'r'y'r'x'r'x'r'z'r'z'r'y

'r dm 'r

2i

2i'zii'yii'x

ii'z2

i2

i'yii'x

ii'zii'y2

i2

i'x

i'zi'yii'xi'zi

i'yi'xii'zi'yi

i'xi'zii'yi'xi

'xii'yii

'zii'xii

'yii'zii

ii

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−−

−++−

−−+

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−−−−−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

×−××−×

×−×

=××

ωωωωωω

ωωω

ωωωωωωωωωωωω

ωωωωωω

ωrrrr

rrrr

rrrr

rrr

Expresión que integrada respecto de la masa permite determinar el momento angular

( )[ ]( )

( )( )

dm'y'x'z'y'z'x

'z'y'z'x'y'x'z'x'y'x'z'y

'r dm 'rHm 2

i2

i'zii'yii'x

ii'z2

i2

i'yii'x

ii'zii'y2

i2

i'x

mii

rG ∫∫

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−−

−++−

−−+

=××=

ωωωωωω

ωωωω

rrrr

velocidad angular como invariante del sólido

Como la velocidad angular (ωr

) es la misma para todos los puntos del sólido (Pi), puede salir fuera de la integral en cada uno de los sumandos, y la expresión queda

( )[ ]( )

( )( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++−−

−++−

−−+

=××=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫

m

2i

2i'z

mii'y

mii'x

mii'z

m

2i

2i'y

mii'x

mii'z

mii'y

m

2i

2i'x

mii

rG

dm'y'xdm'z'ydm'z'x

dm'z'ydm'z'xdm'y'x

dm'z'xdm'y'xdm'z'y

'r dm 'rH

ωωω

ωωω

ωωω

ωrrrr

identificación de las integrales

en la que el desarrollo de cada una de las integrales corresponde al momento de inercia respecto de los ejes y los centrífugos en el sistema de referencia solidario al c.d.m. (G) y con movimiento de traslación

( ) ( ) ( )∫∫∫

∫∫∫===

+=+=+=

mii'z'y

mii'z'x

mii'y'x

m

2i

2i'z

m

2i

2i'y

m

2i

2i'x

dm'z'yIdm'z'xIdm'y'xI

dm'y'xIdm'z'xIdm'z'yI

GGG

GGG


- 18/105 -

por lo que las componentes del momento angular del sólido definido en función de la velocidad relativa ( r

GH ) respecto de su c.d.m. G y respecto de un sistema de referencia Gx’y’z’ con movimiento de traslación son

( )[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−−+−

−−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒××= ∫GGG

GGG

GGG

G

G

G

'z'z'z'y'y'z'x'x

'z'y'z'y'y'y'x'x

'z'x'z'y'x'y'x'x

'z

'y

'x

miiG

IIIIII

III

H

H

H

'r dm 'rHωωω

ωωωωωω

ωrrrr

tensor de inercia másico

que coincide con el desarrollo del producto del tensor de inercia másico asociado al c.d.m. ( [ ]GT ) multiplicado por el vector velocidad angular del sólido ({ }ω )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

'z

'y

'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

GGG

GGG

GGG

G

G

G

IIIIIIIII

H

H

H

ω

ωω

{ } [ ] { }ωGG TH =

donde el término

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

GGG

GGG

GGG

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

G

IIIIIIIII

T

es el tensor de inercia másico del sólido ( [ ]GT ) respecto a su c.d.m. (G) en la base x’y’z’.

Concepto clave El momento angular de un sólido respecto de un sistema de referencia solidario a su centro de masas con movimiento de traslación se obtiene multiplicando el tensor de inercia másico asociado al centro de masas por la velocidad angular del sólido.

tensor principal de inercia másico

Para un sistema de ejes principales de inercia Ge1e2e3, el tensor de inercia ( [ ] pGT ) está formado solo por

los momentos de inercia respecto de los ejes, luego su expresión será

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

Gp

I000I000I

T

de forma que las componentes del momento angular ( { }GH ) del sólido respecto a ejes principales de inercia (e1, e2, e3) que pasan por el c.d.m. (G) con movimiento de traslación, quedan reducidos a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

33

22

11

3

2

1

3

2

1

3

2

1

III

I000I000I

H

H

H

G

G

G

ωωω

ωωω


- 19/105 -

x

3er

O

G

y

z

1er

2er

GHr

ωr

Fig. 4.1 – Momento y velocidad angular en base principal de inercia solidaria al c.d.m. y con movimiento

de traslación.

paralelismo entre momento y velocidad

angular

En general los vectores momento angular respecto del c.d.m. y velocidad angular ( GHr

y ωr

) tendrán direcciones diferentes (Fig. 4.1), sin embargo existen dos excepciones:

igualdad de momentos principales de inercia

La primera es cuando los tres momentos principales de inercia (I1, I2, I3) son iguales entre si. En este caso las componentes del momento angular (

GGG 321 H,H,H ) son proporcionales a las componentes de la

velocidad angular (ω1, ω2, ω3) de forma que ambos vectores ( GHr

y ωr

) son paralelos (Fig. 4.2)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

3

2

1

1

31

21

11

3

2

1

1

1

1

3

2

1

IIII

I000I000I

H

H

H

G

G

G

ωωω

ωωω

ωωω

x

O

G

y

z

1er

2er

GHr

ωr

3er

Fig. 4.2 – Momento y velocidad angular paralelos por momento de inercia principales iguales.

velocidad con única componente en base

principal

La segunda excepción es cuando el vector velocidad angular (ωr

) tiene una única componente en la base principal de inercia (Fig. 4.3)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

00

I

00

I000I000I

H

H

H 111

3

2

1

3

2

1

G

G

G ωω


- 20/105 -

x

O

G

y

z

1er

2er

GHr

ωr

3er

Fig. 4.3 – Momento y velocidad angular paralelos por ser colineales con un eje principal de inercia.

Concepto clave El momento angular de un sólido respecto del centro de masas es paralelo a la velocidad angular del sólido cuando los momentos de inercia principales del sólido son iguales entre sí, o cuando la velocidad angular del sólido tiene la dirección de un eje principal de inercia.

Ejemplo 4.1: El sólido del ejemplo 3.2 del tema de Cinemática del sólido rígido correspondiente a un cilindro homogéneo de masa m=10 kg., radio R=10 cm. y altura H=50 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto M de componentes {3, 2, 7} (m), orientado tal como muestra la figura. Determinar la cantidad de movimiento lineal y el momento angular respecto del centro de masas G del cilindro.

G=M

x

O y

z

xG

yG

zG

Ejemplo 3.2: Un sólido rígido está sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de unos ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos unitarios vienen definidos por =1e

r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e

r{0, 0, 1} respectivamente. Determinar la

velocidad del punto M del sólido de coordenadas M = {3, 2, 7}.

La cantidad de movimiento lineal y el momento angular respecto del centro de masas se obtienen con las expresiones

mvL Grr

= { } [ ] { }ωGG TH =

en las que los valores de la velocidad lineal del centro de masas y velocidad angular del sólido se han obtenido en los problemas anteriores, y son:

( )s/m1429

52vv GM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−==

rr [ ] ( )s/rad

285

n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

Las características geométricas del cilindro en la base de estudio son:

2yG mR

21I = ( )22

zGxG LR3m121II +==


- 21/105 -

que aplicadas al sólido

( )222yG mkg05,01,010

21mR

21I =⋅==

( ) ( ) ( )22222zGxG mkg233,05,01,0310

121LR3m

121II =+⋅=+==

luego el tensor de inercia másico respecto del centro de masas en la base de estudio es

[ ] ( )22pG mkg10

3,2300050003,23

T −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

por lo que la cantidad de momento lineal queda

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−==

smkg

140290

52010

1429

52 mvL G

rr

y la cantidad de movimiento angular respecto del centro de masas es

{ } [ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== −

smkg

47,04,0

17,1

285

103,2300

050003,23

TH2

2GG ω

5. Reducción del estudio cinético de un sólido rígido a su centro de masas.

- 22/105 -



Reducir el comportamiento dinámico de un sólido a su centro de masas mediante la cantidad de movimiento lineal y el momento angular.

Determinar el momento angular respecto de un punto distinto del centro de masas. Determinar el momento angular respecto de un punto fijo.

Como ya se indicó anteriormente, cada punto de un sólido rígido (Pi) al cual va asociado un entorno de masa dm y una velocidad ( iv

r) genera un momento lineal infinitesimal ( iLd

r, Fig. 5.1)

Pi

dm

ivr

G

iLdr

Fig. 5.1 – Cantidad de movimiento lineal y velocidad del entorno de un punto.

cantidad de movimiento lineal

Al integrar la cantidad de movimiento lineal asociado a cada uno de los puntos del sólido se tiene como resultante el momento lineal ( L

r)

mvLdmvLd Gm

iL

irrrr

r=⇒= ∫∫

momento angular y un momento angular ( { }GH ) respecto del c.d.m. (G) que expresado en función de un sistema de referencia solidario al c.d.m. con movimiento de traslación G (x’y’z’) respecto de un sistema de referencia inercial, tiene la expresión

{ } [ ] { }ωGG TH =

Luego la reducción dinámica de un sólido rígido respecto de su c.d.m. (G) viene expresada por la cantidad de movimiento lineal ( L

r) y el momento angular respecto de su c.d.m. ( GH

r, Fig. 5.2)

GHr

G Lr

Fig. 5.2 – Reducción dinámica en el c.d.m. de un sólido.


- 23/105 -

Concepto clave La reducción dinámica de un sólido en su centro de masas es la cantidad de movimiento lineal y el momento angular.

momento angular respecto de un punto

distinto del c.d.m.

Para la determinación del momento angular respecto de un punto Q ( QHr

) perteneciente o no al sólido y distinto del c.d.m. (G) se parte de la definición del momento angular aplicado a dicho punto

( )∫ ×=m

iQQ vdmrHrrr

Pi dm

G

Q

i'rr

Qrr

QGr −r

ivr

QHrGH

r

Fig. 5.3 – Momento angular respecto de un punto Q distinto del c.d.m. del un sólido.

en la que, teniendo en cuenta que (Fig. 5.3)

G-QiQ r'rrrrr

+=

se obtiene

( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ×+×=×+= −−m

iQGm

iim

iQGiQ vdmrvdm'rvdmr'rHrrrrrrrr

el primer sumando es el momento angular ( GHr

) respecto del c.d.m., mientras que en el segundo sumando el vector G-Qr

r corresponde a la posición relativa entre dos puntos definidos, por lo que puede salir de la

integral, con lo que teniendo en cuenta que la integral que queda es el producto de la masa de sólido por la velocidad del c.d.m. se tiene

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

GQGGQ

Gm

i

miQG

miQG

miiG

miQG

miiQ

vmrHH

vmvdm

vdmrvdmr

vdm'rH

vdmrvdm'rH

rrrr

rr

rrrr

rrr

rrrrr

×+=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

×=×

×=

×+×=

−

−−

−

∫

∫∫

∫

∫∫

Concepto clave El momento angular respecto de un punto arbitrario Q se puede obtener a partir del momento angular respecto del centro de masas más el producto vectorial del vector de posición relativa multiplicado por la cantidad de movimiento lineal.


- 24/105 -

Ejemplo 5.1: Para el sólido del ejemplo 4.1 basado en el ejemplo 3.2 del tema de Cinemática del sólido rígido correspondiente a un cilindro homogéneo de masa m=10 kg., radio R=10 cm. y altura H=50 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto M de componentes {3, 2, 7} (m), orientado tal como muestra la figura, determinar la cantidad de movimiento lineal y el momento angular respecto del origen del sistema de coordenadas O.

G=M

x

O y

z

xG

yG

zG


r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e



La cantidad de movimiento lineal y el momento angular respecto del punto O se obtienen con las expresiones

mvL Grr

= GOGGO vmrHHrrrr

×+= −

La cantidad de movimiento lineal es una característica del sólido luego no varía de un punto a otro

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−==

smkg

140290

52010

1429

52 mvL G

rr

mientras que el momento angular respecto del centro de masas, la velocidad lineal del centro de masas y la posición de G respecto de O se obtuvieron en el ejemplo anterior y son:

{ } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

smkg

47,04,0

17,1H

2

G ( )s/m1429

52vG

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

r [ ] ( )s/rad

285

n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

{ } ( )m723

OG⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

luego desarrollando el segundo término de la expresión del momento angular se tiene

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=×− s

mkg1910

40601750

140290520723kji

vmr2

GOG

rrr

rr

y el momento angular respecto del punto O es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×+= − s

mkg47,19104,4060

17,1751

191040601750

47,04,0

17,1vmrHH

2

GOGGOrrrr

5.1 Momento angular de un sólido rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo.

- 25/105 -

5.1. Momento angular de un sólido rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo.

En el caso particular de que el movimiento del sólido rígido esté limitado a girar alrededor de un punto fijo (Q), se pueden utilizar dos procedimientos para determinar el momento angular del sólido ( QH

r) respecto

de dicho punto.

Utilizando el método anterior, se puede calcular primero el momento angular respecto del c.d.m. ( GHr

) y

posteriormente el del punto indicado ( QHr

)

GQGGQ vmrHHrrrr

×+= −

velocidad absoluta de rotación

o bien directamente a partir de la velocidad angular del sólido (ωr

) debido a su movimiento respecto del sistema fijo Qxyz. Como el sólido está restringido a girar respecto del punto fijo Q la velocidad de cualquiera de sus puntos ( iv

r) solo puede ser debida a una rotación (Fig. 5.4) y viene expresada por

iiQ

iQi'rv

0v

'rvv rrrr

rrrr

×=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

×+=ω

ω

Pi dm

x

Q y

z

i'rr

ii 'rvrrr

×= ω

Fig. 5.4 – Velocidad absoluta de rotación de un punto Pi de un sólido respecto de otro punto fijo Q.

Sustituyendo en la expresión del momento angular ( QHr

) se obtiene

( )( )[ ]∫

∫××=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

×=

×=

miiQ

ii

miiQ

'r dm 'rH'rv

v dm 'rH rrrr

rrr

rrr

ωω

a partir de este doble producto vectorial, desarrollando de la misma forma que para el cálculo del momento angular respecto del c.d.m. ( GH

r) se tiene

{ } [ ] { }ωQQ TH =

o en componentes


- 26/105 -

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

z

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

Q

Q

Q

IIIIIIIII

H

H

H

ω

ωω

Concepto clave El momento angular respecto de un punto Q fijo del sólido se obtiene multiplicando el tensor de inercia másico asociado al punto fijo por la velocidad anular del sólido.

Ejemplo 5.2: Para el sólido del ejemplo 4.1 basado en el ejemplo 3.2 del tema de Cinemática del sólido rígido correspondiente a un cilindro homogéneo de masa m=10 kg., radio R=10 cm. y altura H=50 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto M de componentes {3, 2, 7} (m), orientado tal como muestra la figura, determinar el momento angular respecto del origen del sistema de coordenadas O considerado como punto fijo del sólido.

G=M

x

O y

z

xG

yG

zG


r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e



El origen del sistema de referencia O no es un punto que pertenezca al sólido, pero si se prolongara el sólido hasta ese punto, su velocidad sería nula (no por estar el sólido vinculado en ese punto, sino por pertenecer a los distintos ejes de rotación), por lo que el momento angular respecto del punto O se obtiene con la expresión

{ } [ ] { }ωOO TH =

Las velocidad angular y las características geométricas de momentos de inercia respecto del centro de masas son

[ ] ( )s/rad285

n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

( )2yG mkg05,0I = ( )2

zGxG mkg233,0II ==

por lo que hay que trasladarlas por Steiner al punto O de forma que 2

xxxx GGmdII −+= 2

yyyy GGmdII −+= 2

xzzz GGmdII −+=

GGGGG Gzy,yOzGzx,xOzxyxy dmdII += GGGGG Gyz,zOyGyx,xOyxzxz dmdII +=

GGGGG Gzy,yOzGzx,xOzyzyz dmdII +=

en las que sustituyendo valores

( ) ( )2222xxxx mkg233,5307210233,0mdII

GG=+⋅+=+= −

( ) ( )2222yyyy mkg05,580731005,0mdII

GG=+⋅+=+= −

( ) ( )2222xzzz mkg233,1302310233,0mdII

GG=+⋅+=+= −


- 27/105 -

( )2Gzy,yOzGzx,xOzxyxy mkg6032100dmdII

GGGGG=⋅⋅+=+=

( )2Gyz,zOyGyx,xOyxzxz mkg21037100dmdII

GGGGG=⋅⋅+=+=

( )2Gzx,xOzGyx,xOyyzyz mkg14037100dmdII

GGGGG=⋅⋅+=+=

luego el tensor de inercia asociado al punto O es

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=233,130140210

14005,5806021060233,530

T O

por lo que el momento angular del momento O es

{ } ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=smkg

53,19094,4060

17,1751

285

233,13014021014005,5806021060233,530

H O

que coincide con la solución del problema anterior.

6. Aplicación de los principios del impulso lineal y angular al movimiento de un sólido rígido.

- 28/105 -

6. Aplicación de los principios del impulso lineal y angular al movimiento de un sólido rígido.


Determinar las expresiones del impulso lineal y angular respecto del centro de masas.

impulso lineal y angular respecto del

centro de masas

Si se tiene un sólido rígido en movimiento debido a la actuación en su entorno de fuerzas exteriores con resultante ∑ iF

r, recordando los principios de impulso lineal y angular respecto del c.d.m. para el sólido

rígido se puede poner

12

t

ti

L

L

t

tiii LLdtF Ld dtF LddtF

dtLdF

2

1

2

1

2

1

rrrrrrrr

rr

r−=⇒=⇒=⇒= ∫ ∑∫∫ ∑∑∑

12

2G

1G

2

1

GG

2

1G

H

HG

t

tGGG

GG HHdtM HddtM HddtM

dtHdM

rrrrrrrr

rr

r−=⇒=⇒=⇒= ∫∫∫

Las dos expresiones indican que tanto el impulso lineal como el angular definen la variación de la cantidad de movimiento lineal ( L

r) y del momento angular ( GH

r) respecto del c.d.m. (G) del sólido rígido,

respectivamente, entre los instantes t1 y t2 (Fig. 6.1).

G

∫t

dtFr

∫t

G dtMr

=

2GHr

G 2Gvm

r

G

1GHr

1Gvmr

+

Fig. 6.1 – Impulso lineal y angular en el c.d.m. de un sólido.

7. Energía cinética de un sólido rígido en tres dimensiones.

- 29/105 -



Determinar la expresión de la energía cinética de un sólido, utilizando el centro de masas y un sistema de referencia solidario él y con movimiento de traslación.

Descomponer la energía cinética en componentes asociadas al movimiento del centro de masas y la rotación del sólido.

Relacionar la componente de la energía cinética asociada a la rotación del sólido con el momento angular respecto del centro de masas.

Determinar la expresión de la energía cinética de un sólido con un punto fijo utilizando un sistema de referencia también fijo.

Desarrollar el trabajo debido al os movimientos de traslación y rotación.

energía cinética del entorno de un punto

Si se considera un sólido rígido tridimensional con masa m, de forma que cada partícula (Pi) tiene una velocidad absoluta iv

r, la energía cinética del entorno infinitesimal de la masa es

2ic vdm

21dE

r=

expresión que integrada para todo el sólido permite determinar su energía cinética (Ec)

∫∫∫ =⇒=m

2ic

m

2i

Ec vdm

21Evdm

21dE

c

rr

descomposición de la velocidad

Si se pone la velocidad lineal absoluta ( ivr

) de los puntos del sólido en función de un sistema de referencia solidario al c.d.m. y con movimiento de traslación (Gx’y’z’), la velocidad de cada partícula (Pi) se puede descomponer en velocidad del centro de masas ( Gv

r) más la velocidad relativa ( r

ivr

)

( )( )

riGi

ia

iar

iGi vvv0GP

GPvvv rrrrr

rrrr

+=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−×

−×++=

ω

ω

y la energía cinética del sólido (Ec) pasa a ser

( )∫∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

=

m

2riGc

riGi

m

2ic

vvdm21E

vvv

vdm21E rr

rrr

r

que desarrollando

( )( ) ( ) ( )

∫∫∫∫

∫

⋅++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅++=

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅++=+⋅+=+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

m

riG

m

2ri

m

2G

m

riG

2ri

2Gc

riG

2ri

2G

riG

riG

2riG

m

2riGc

vvdmvdm21vdm

21vv2vvdm

21E

vv2vvvvvvvv

vvdm21E

rrrrrrrr

rrrrrrrrrr

rr

Como la velocidad del c.d.m. del sólido ( Gvr

) no depende del punto (Pi) de estudio y la velocidad relativa


- 30/105 -

( rivr

) corresponde a la rotación respecto del c.d.m. (G) debido a la velocidad angular del sólido (ωr

), la expresión anterior se puede poner

[ ] ( ) ( )[ ]∫∫∫∫∫∫

×⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

×=

⋅++=

miG

m

2i

m

2Gc

iri

m

riG

m

2ri

m

2Gc

'rvdm'rdm21vdm

21E

'rv

vvdmvdm21vdm

21E rrrrrr

rrr

rrrr

ωωω

En el primer sumando la velocidad al cuadrado del c.d.m. ( 2Gvr

) sale fuera de la integral al ser constante para todos los puntos del sólido, integrándose el diferencial de masa

[ ] [ ] [ ] 2G

m

2G

2GGG

2G

2G

2G

mm

2G

vm21vdm

21

vvvv

vm21vdm

21vdm

21

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⋅=

==∫

∫∫ r

rrr

rrr

En el segundo sumando se desarrolla el producto vectorial i'rrr

×ω

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

==×

i'yi'x

i'xi'z

i'zi'y

iii

'z'y'xi

'x'y'z'x'y'z

'z'y'x

'k'j'i'r

ωωωωωω

ωωωω

rrr

rr

y su cuadrado ( )2i'r

rr×ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii'y'x

2i'y

2i'xii'z'x

2i'x

2i'zii'z'y

2i'z

2i'y

2i'yi'x

2i'xi'z

2i'zi'yii

2i

'y'x2'x'y'z'x2'z'x'y'z2'y'z

'x'y'z'x'y'z'r'r'r

ωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωω

−++−++−+=

=−+−+−=×⋅×=×rrrrrr

Expresiones en las que se puede sacar factor común a los términos 2'z

2'y

2'x ,, ωωω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii'y'xii'z'xii'z'y2

i2

i2'z

2i

2i

2'y

2i

2i

2'x

2i 'y'x2'z'x2'y'z2'y'x'z'x'z'y'r ωωωωωωωωωω −−−+++++=×rr

que sustituido en el segundo sumando queda

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫

∫

−−−+++++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−−+++++=×

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×

mii'y'xii'z'xii'z'y

2i

2i

2'z

2i

2i

2'y

2i

2i

2'x

m

2i

ii'y'xii'z'xii'z'y2

i2

i2'z

2i

2i

2'y

2i

2i

2'x

2i

m

2i

'y'x2'z'x2'y'z2'y'x'z'x'z'ydm21'rdm

21

'y'x2'z'x2'y'z2'y'x'z'x'z'y'r

'rdm21

ωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωω

ω

rr

rr

rr

Expresiones en las que las componentes de la velocidad angular del sólido ( 'z'y'x ,, ωωω ) son constantes para todos los puntos, por lo que pueden salir fuera de la integrales y queda

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫

∫∫∫∫

−−−

−+++++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×

mii'z'y

mii'z'x

mii'y'x

m

2i

2i

2'z

m

2i

2i

2'y

m

2i

2i

2'x

m

2i

dm'z'ydm'z'xdm'y'x

dm'y'x21dm'z'x

21dm'z'y

21'rdm

21

ωωωωωω

ωωωωrr

identificación de las características

geométricas

donde las integrales corresponden a los momentos de inercia respecto de los ejes y los centrífugos solidarios al c.d.m. del sólido (G) con movimiento de traslación


- 31/105 -

( ) ( ) ( )∫∫∫

∫∫∫===

+=+=+=

mii'z'y

mii'z'x

mii'y'x

m

2i

2i'z

m

2i

2i'y

m

2i

2i'x

dm'z'yIdm'z'xIdm'y'xI

dm'y'xIdm'z'xIdm'z'yI

GGG

GGG

por lo que la expresión queda

( )GGGGGG 'z'y'z'y'z'x'z'x'y'x'y'x'z

2'z'y

2'y'x

2'x

m

2i IIII

21I

21I

21'rdm

21 ωωωωωωωωωω −−−++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×∫

rr

que coincide con el desarrollo de

( ) { } { } [ ] { }ωω

ω

ωω

ωωωω Gt

'z

'y

'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z'y'xm

2i T

21

IIIIIIIII

21'rdm

21

GGG

GGG

GGG

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×∫

rr

El tercer sumando de la expresión de la energía cinética (Ec) del sólido

( )[ ]∫ ×⋅m

iG 'rvdmrrr

ω

es nulo. Para comprobarlo se intercambian los vectores Gvr

y 'rr

del producto mixto, lo que no varía su

resultado. Como los vectores Gvr

y ωr

son constantes para todos los puntos del sólido, pueden salir fuera de la integral, por lo que queda

( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )Gm

im

Gim

iG v'rdmv'rdm'rvdmrrrrrrrrr

×⋅=×⋅=×⋅ ∫∫∫ ωωω

momento estático respecto del c.d.m.

la integral que aparece corresponde al momento estático respecto del c.d.m. ( Gmr

) que, nuevamente, por definición es nulo, luego

( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]

( )[ ] 0'rvdm0m'rdm

v'rdmv'rdm'rvdm

miG

Gm

i

Gm

im

Gim

iG

=×⋅⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

×⋅=×⋅=×⋅

∫∫

∫∫∫rrr

rrr

rrrrrrrrr

ω

ωωω

Finalmente la expresión de la energía cinética ( cE ) buscada, correspondiente al denominado teorema de Koening, es

[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]

( ) { } [ ] { }

( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )

{ } [ ] { }ωω

ωωω

ωωω

ωω

Gt2

Gc

Gm

im

Gim

iG

Gt

m

2i

2G

2G

2G

mm

2G

miG

m

2i

m

2Gc

T21vm

21E

0v'rdmv'rdm'rvdm

T21'rdm

21

vm21vm

21vdm

21vdm

21

'rvdm'rdm21vdm

21E

+=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=×⋅=×⋅=×⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×

===

×⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+=

∫∫∫

∫

∫∫

∫∫∫

rrrrrrrrr

rr

rrr

rrrrrr

Concepto clave

El teorema de Koening indica que la energía cinética de un sólido rígido se obtiene a partir de considerar toda la masa del sólido concentrada en el centro de masas, a lo que se suma el producto de la mitad de la velocidad angular transpuesta por el tensor de inercia másico asociado al centro de masas, y nuevamente por la velocidad angular.


- 32/105 -


Si el sistema de referencia no hubiera sido solidario al c.d.m. (G) sino a un punto arbitrario (O), la expresión de la energía cinética sería

[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]

( ) { } [ ] { }

( )[ ] [ ] ( ) ( )

{ } [ ] { } ( )OOOt2

Oc

OOOm

im

iO

Ot

m

2i

2O

2O

2O

mm

2O

miO

m

2i

m

2Oc

vmT21vm

21E

vmv'rdm'rvdm

T21'rdm

21

vm21vm

21vdm

21vdm

21

'rvdm'rdm21vdm

21E

rrr

rrrrrrrrr

rr

rrr

rrrrrr

×⋅++=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

×⋅=×⋅=×⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×

===

×⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+=

∫∫

∫

∫∫

∫∫∫

ωωω

ωωω

ωωω

ωω

en la que Omr


En la expresión de la energía cinética respecto del c.d.m.

{ } [ ] { }ωω Gt2

Gc T21vm

21E +=

el primer sumando corresponde a la energía debida al movimiento del c.d.m. (G) del sólido ( GcE ), mientras

que el segundo sumando es la energía debida al movimiento de rotación del sólido respecto del sistema de referencia ( r

cE ).

{ } [ ] { } rc

GcG

t2Gc EET

21vm

21E +=+= ωω

relación entre energía cinética, cantidad de movimiento lineal y

momento angular

Como la cantidad de movimiento lineal ( Lr

) y el momento angular respecto del c.d.m. ({ }GH ) vienen expresado por

{ } [ ] { }ωGGG THvmL ==rr

lo anterior se puede poner

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }{ } { }G

tGc

GG

G

Gt

GGc

H21vL

21E

THvmL

T21vvm

21E

⋅+⋅=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

+⋅=

ωω

ωωrrrr

rr

energía cinética debida al movimiento del

c.d.m. y a la rotación

y la energía cinética debida a los movimientos del c.d.m. y de rotación del sólido ( rc

Gc E,E ) se pueden

expresar mediante

{ } { }Gtr

cGGc H

21EvL

21E ⋅=⋅= ω

rr

Concepto clave Si el punto al que se aplica la expresión no es el centro de masas (G) en un sistema de referencia solidario él y con movimiento de traslación (Gxyz), la expresión obtenida para la energía cinética no es válida.


- 33/105 -

energía cinética puesta en función de componentes

La energía cinética puesta en función de las componentes de las velocidades lineal del c.d.m. (

GGG 'z'y'x v,v,v ) y angular del sólido ( 'z'y'x ,, ωωω ) es

{ } [ ] { }

( ) ( )GGGGGGGGG 'z'y'z'y'z'x'z'x'y'x'y'x'z

2'z'y

2'y'x

2'x

2'z

2'y

2'x

Gt2

Gc

I2I2I2III21vvvm

21

T21vm

21E

ωωωωωωωωω

ωω

−−−+++++=

=+=

relación entre energía cinética y cantidad de

movimiento lineal

La relación entre la energía cinética (EC) y la cantidad de movimiento lineal ( Lr

) se obtiene al derivar la primera respecto de las componentes de la velocidad del c.d.m.

'z'z'z

c'y'y

'y

c'x'x

'x

c LmvdvdE

LmvdvdE

LmvdvdE

GG

GG

GG

======

luego

'kdvdE

'jdvdE

'idvdE

LGGG 'z

c

'y

c

'x

crrrr

++=

relación entre energía cinética y momento

angular

La relación entre la energía cinética (EC) y el momento angular ( GHr

) se obtiene de derivar la primera respecto de las componentes de la velocidad angular

GGGG

GGGG

GGGG

'z'z'z'z'y'y'z'x'x'z

c

'y'z'y'z'y'y'y'x'x'y

c

'x'z'x'z'y'x'y'x'x'x

c

HIIIddE

HIIIddE

HIIIddE

=+−−=

=−+−=

=−−=

ωωωω

ωωωω

ωωωω

luego

'kddE

'jddE

'iddE

H'z

c

'y

c

'x

cG

rrrr

ωωω++=

Ejemplo 7.1: Para el sólido del ejemplo 4.1 basado en el ejemplo 3.2 del tema de Cinemática del sólido rígido correspondiente a un cilindro homogéneo de masa m=10 kg., radio R=10 cm. y altura H=50 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto M de componentes {3, 2, 7} (m), orientado tal como muestra la figura, determinar la energía cinética.

G=M

x

O y

z

xG

yG

zG

Ejemplo 3.2: Un sólido rígido está sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de unos ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos


- 34/105 -

unitarios vienen definidos por =1er

{1, 0, 0}, =2er

{0, 1, 0} y =3er

{0, 0, 1} respectivamente. Determinar la velocidad del punto M del sólido de coordenadas M = {3, 2, 7}.

Se van a utilizar los datos ya conocidos. La energía cinética se obtienen con la expresión

{ } { }Gt

Gc H21vL

21E ⋅+⋅= ω

rr

La cantidad de movimiento lineal, la velocidad del centro de masas, la velocidad angular del sólido y el momento angular respecto del centro de masas son

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

smkg

140290

520Lr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

sm

1429

52 vG

r ( )s/rad

285

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r { } ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

smkg

47,04,0

17,1H

2

G

luego la energía cinética del sólido es

{ } { } { }

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )J1871051870547,024,0817,1521141402929052520

21

47,04,0

17,1285

21

1429

52

140290

520

21H

21vL

21E G

tGc

=+=⋅+⋅+⋅+−−+−−+⋅=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=⋅+⋅= ω

rr

Se llega al mismo valor si se aplica la expresión

{ } [ ] { }ωω Gt2

Gc T21vm

21E +=

7.1 Energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo.

- 35/105 -

7.1. Energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo. Si un sólido rígido gira alrededor de un punto fijo (Q) y se toma un sistema de referencia fijo solidario a él, la expresión de la energía cinética ( cE ) puede calcularse a partir de la expresión anterior,

{ } [ ] { }ωω Gt2

Gc T21vm

21E +=

o bien, ya que la velocidad ( ivr

) de cualquier punto del sólido debido únicamente a su rotación respecto del sistema de referencia fijo, viene expresada por

( )∫∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

×=

=

m

2ic

ii

m

2ic

rdm21E

rv

vdm21E rr

rrr

r

ωω

El término obtenido es semejante al segundo sumando de la expresión utilizada anteriormente

[ ] ( ) ( )[ ]∫∫∫ ×⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+=

miG

m

2i

m

2Gc 'rvdm'rdm

21vdm

21E

rrrrrrωω

luego su desarrollo lleva a una fórmula equivalente

( ) { } { } [ ] { }ωω

ω

ωω

ωωωω Qt

'z

'y

'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

zyxm

2ic T

21

IIIIIIIII

21rdm

21E

QQQ

QQQ

QQQ

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×= ∫

rr

Expresión que aplicada a los ejes principales de inercia ( 321 'e,'e,'errr

) que pasan por Q, se obtiene

{ } [ ] { } { } ( )2'e'e

2'e'e

2'e'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e'e'eQt

c 332211

3

2

1

3

2

1

321III

21

I000I000I

21T

21E ωωω

ω

ω

ω

ωωωωω ++=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

Concepto clave La energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo se obtiene a partir del producto de la mitad de la velocidad angular transpuesta por el tensor de inercia másico asociado al punto fijo nuevamente por la velocidad angular.

relación entre energía cinética y momento

angular

Como el momento angular respecto del punto fijo Q ( { }QH ) viene expresada por

{ } [ ] { }ωQQ TH =

el término se puede expresar mediante

{ } [ ] { }{ } [ ] { }

{ } { }Qt

c

QQ

Qt

c H21E

TH

T21E

⋅=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=ω

ω

ωω

Concepto clave Si el punto del sólido al que se aplica la expresión no es fijo (Q) en un sistema de referencia fijo (Qxyz), la expresión anterior no es válida.

7.1 Energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo.

- 36/105 -

Ejemplo 7.2: Para el sólido del ejemplo 4.1 basado en el ejemplo 3.2 del tema de Cinemática del sólido rígido correspondiente a un cilindro homogéneo de masa m=10 kg., radio R=10 cm. y altura H=50 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto M de componentes {3, 2, 7} (m), orientado tal como muestra la figura, determinar la energía cinética a partir de considerar al origen del sistema de referencia como punto fijo perteneciente al sólido.

G=M

x

O y

z

xG

yG

zG


r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e



La energía cinética en este caso se obtienen con la expresión

{ } { }Ot

c H21E ⋅= ω

La velocidad angular del sólido y el momento angular respecto del punto O son

( )s/rad285

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r { } ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

smkg

534,19094,4060

17,1751H O

luego la energía cinética del sólido es

{ } { } { } ( )[ ] ( )J18710534,190924,4060817,1751521

534,19094,4060

17,1751285

21H

21E O

tc =−⋅+⋅+⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⋅= ω

que coincide con el anterior. Se llega al mismo valor si se aplica la expresión

{ } [ ] { }ωω Qt

c T21E =

7.2 Trabajo.

- 37/105 -

7.2. Trabajo.

definición El trabajo infinitesimal (dT) que un sistema de fuerzas realiza sobre el entorno infinitesimal de un punto (Pi) de un sólido rígido se define como el producto escalar de cada una de las fuerzas exteriores ( iF

r) e

interiores ( ijFdr

) que actúa en el entorno del punto por el desplazamiento infinitesimal ( irdr

) del punto

iijii rdFdrdFdTrrrr

⋅+⋅=

trabajo de las fuerzas interiores

sin embargo, el trabajo de las fuerzas interiores es nulo. Para comprobarlo se toman dos partículas del sólido (Pi, Pj) en los que actúan las fuerzas interiores ( jiij fd,fd

rr) y sus vectores de posición respecto del

sistema de referencia fijo ( ji r,rrr

) se tiene

( ) ijijjiijjijiijjjiiijij rdfdrdrdfdrdfdrdfdrdfdrdfddTrrrrrrrrrrrrr

⋅=−⋅=⋅−⋅=⋅+⋅=

en la que el vector de posición relativo ( ijrdr

) y la fuerza interior ( ijfdr

) se pueden expresar mediante

ijijijijij edredrrdrrr

+= ijijij edffdrr

=

luego

( ) ( ) ( )ijijijijijijijijijijijijijijij

ijijijijij

ijijij

ijijij

ederdfeedrdfedredredfdT

edredrrd

edffd

rdfddTrrrrrrr

rrr

rr

rr

⋅+⋅=+⋅=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+=

=

⋅=

pero la variación del unitario ( ijedr

) siempre es perpendicular al unitario ( ijer

), y como los puntos (Pi, Pj)

pertenecen al mismo sólido rígido por lo que su distancia ( ijdr ) no varía

( ) ( )0dT

edeede

0dr

ederdfeedrdfdT

ij

ijijijij

ij

ijijijijijijijijij

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⋅⇒⊥

=

⋅+⋅=

rrrr

rrrr

y las fuerzas interiores no generan trabajo, luego solo lo generan las fuerzas exteriores

ii rdFdTrr

⋅=

relación entre el trabajo y la energía

cinética

Se determina a la relación entre trabajo y energía cinética, para lo que se parte de la ecuación fundamental de fuerzas en el entorno de un punto

∫=m

ii adm Frr

en la que la aceleración se expresa en función del tiempo

dtvd

a ii

rr

=

7.2 Trabajo.

- 38/105 -

luego

( ) ( )12 cc

m

2i21

mii

mi

i

ii

ii

mii

ii

EEdmv21Tdmvdvdtv

dtvd

dm dT

dtvrddtvd

a

adm F

rdFdT

−==⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

⋅=

∫∫∫∫

−rrrr

r

rr

rr

rr

rr

trabajo de las fuerzas y momentos

A partir de la expresión del trabajo ( ii rdFdTrr

⋅= ), el diferencial de desplazamiento de los puntos se puede poner en función de la velocidad, luego

dtvFdTdtvrd

dtrdv

rdFdTii

iii

i

ii rr

rrr

r

rr

⋅=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⇒=

⋅=

descomposición en movimiento relativo

más arrastre

Como la velocidad absoluta de una partícula ( ivr

) se puede poner como suma de la velocidad del c.d.m.

( Gvr

) más la relativa ( rivr

) respecto del sistema de referencia solidario al c.d.m. y con movimiento de traslación (Gx’y’z’) se tiene

( ) ( )[ ] ( )dtGPFdtvFdtGPvFdT

0v

GPvvvvv

dtvFdT

iiGiiGi

ai

iGai

riGi

ii

−×⋅+⋅=−×+⋅=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

−×+=++=

⋅=

ωωωrrrrrrr

rr

rrrrrr

rr

velocidad angular en función del ángulo

expresión en la que podemos sustituir

( )( )GPdFrdFdT

dtddtd

rddtv

dtGPFdtvFdT

iiGiGG

iiGi

−×⋅+⋅=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇒=

=

−×⋅+⋅=

θ

ωθθω

ωrrrr

rrr

r

rr

rrrr

Si en el segundo sumando intercambiamos entre sí los productos escalar y vectorial el resultado no varía, y ( ) ( )ii PGGP −−=− se obtiene

( ) ( ) ( ) θθθrrrrrr

dPGFGPdFGPdF iiiiii ⋅−×=−⋅×=−×⋅

a partir de lo cual se llega a

( )( ) ( )

( )θθθ

θrrrr

rr

rrrr

rrrr

r

rdMrdFdT

MPGF

dPGFGPdF

GPdFrdFdTi

i

FGGi

FGii

iiii

iiGi

⋅+⋅=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−×

⋅−×=−×⋅

−×⋅+⋅=

Concepto clave El trabajo que realizan las fuerzas exteriores que actúan sobre el entorno de un punto de un sólido rígido se puede descomponer en el trabajo debido a las fuerzas por el movimiento del centro de masas más el trabajo debido al momento respecto de dicho centro por el giro del

7.2 Trabajo.

- 39/105 -

sólido.

Ejemplo 7.3: Para el sólido del ejemplo 4.1 basado en el ejemplo 3.2 del tema de Cinemática del sólido rígido correspondiente a un cilindro homogéneo de masa m=10 kg., radio R=10 cm. y altura H=50 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto M de componentes {3, 2, 7} (m), orientado tal como muestra la figura, determinar el trabajo asociado a las fuerzas exteriores y al momento de dichas fuerzas respecto del centro de masas desarrollado entre la posición inicial en que el sólido se encuentra en reposo y la situación actual.

G=M

x

O y

z

xG

yG

zG


r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e



Como el trabajo entre dos instante se define por la variación de la energía cinética en dichos instantes

12 cc21 EET −=−

y en el instante inicial el sistema se encuentra en reposo

0E1c =

el trabajo queda reducido a la energía cinética en el instante final

2c21 ET =−

Tomando la expresión de la energía cinética

{ } [ ] { }ωω Gt2

Gc T21vm

21E +=

y teniendo en cuenta que los valores de cada uno de los sumando se han obtenido en el problema 7.1

{ } [ ] { } ( )J18710518705T21vm

21E G

t2Gc =+=+= ωω

por lo que la parte del trabajo asociado a las fuerzas exteriores (y por lo tanto al movimiento del c.d.g.) es

( )J18705vm21E 2

GGc ==

mientras que el asociado al momento de dichas fuerzas respecto del centro de masas (y por lo tanto a la rotación) es

{ } [ ] { } ( )J5T21E G

trc == ωω

8. Movimiento de un sólido rígido en tres dimensiones.

- 40/105 -



Determinar el proceso de derivación respecto del tiempo en sistemas de referencia giratorios. Aplicar la derivación al momento angular respecto del centro de masas en un sistema de referencia solidario

a él y con movimiento de traslación. Aplicar la derivada del momento angular al caso en que la velocidad angular del sólido y del sistema de

referencia sean iguales. Aplicar la derivada del momento angular a la base principal de inercia que pasa por el centro de masas.

Ecuaciones de Euler. Aplicar las ecuaciones de Euler al caso de un sólido con un punto fijo. Aplicar las ecuaciones de Euler al caso de un sólido que gira respecto de un eje fijo. Analizar el equilibrio de árboles giratorios.

equilibrio dinámico Las ecuaciones diferenciales de equilibrio dinámico de un sólido rígido son

Gam Frr

=∑ GG HM&rr

=∑

momento angular sin embargo, derivar el momento angular respecto del tiempo ( GH

&r) no es un proceso evidente, ya que

viene expresado en función del tensor de inercia másico ( [ ]GT )

{ } [ ] { }ωGG TH = ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

'z

'y

'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

GGG

GGG

GGG

G

G

G

IIIIIIIII

H

H

H

ω

ωω

definido respecto de unos ejes (x’y’z’) solidarios al c.d.m. (G) del sólido y con movimiento de traslación, por lo que el sólido con velocidad angular (ω

r) tendrá movimiento relativo de rotación respecto de dichos

ejes y las componentes del tensor de inercia ( [ ]GT ) variarán respecto del tiempo.

Para desarrollar la derivada del momento angular respecto del tiempo ( GH&r

) de forma directa sería necesario conocer su variación y obtener

[ ] { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+= ωω&rr&&r

GGG TTH

Sin embargo normalmente se desconoce dicha variación, por lo que este procedimiento no es utilizado.

Concepto clave Se desconoce como varían las componentes del tensor de inercia másico respecto del tiempo.

derivación con ejes giratorios

Para derivar el momento angular ( GHr

) es más conveniente seleccionar un sistema de ejes giratorios (x’1y’1z’1) solidarios al c.d.m. del sólido (G) respecto de los cuales las componentes del tensor de inercia ( [ ]GT ) no varíen (Fig. 8.1) y aplicar el procedimiento de variación de un vector respecto de un sistema de


- 41/105 -

referencia móvil.

Concepto clave Para obtener la derivada del momento angular respecto del centro de masas respecto del tiempo se utiliza un sistema de referencia giratorio en el que el tensor de inercia no varíe

x

x’

O

G y

y’

z

z’

x’1

y’1

z’1 Ωr

GHr

Fig. 8.1 – Sólido con sistema de referencias inercial (Oxyz), solidario al c.d.m. y con movimiento de

traslación (Gx’y’z’) y solidario al c.d.m. con movimiento de rotación (Gx’1y’1z’1).

momento angular en base giratoria

Se parte de considerar las componentes del momento angular ( GHr

) respecto de la base giratoria (x’1y’1z’1)

1'z1'y1'xG 'kH'jH'iHH111

rrrr++=

derivada del momento angular en base

giratoria Al derivarlo respecto del tiempo ( GH

&r) se ha de tener en cuenta que la base es móvil, y se han de derivar

tanto las componentes (111 'z'y'x H,H,H ) como los unitarios ( 111 'k,'j,'i

rrr) por lo que se obtiene

1'z1'y1'x1'z1'y1'xG 'kH'jH'iH'kH'jH'iHH111111

&r&r&rr&

r&

r&&r

+++++=

derivada de las componentes

Expresión en la que los tres primeros términos corresponden a la derivada de las componentes del momento angular (

111 'z'y'x H,H,H ) respecto de la base giratoria ( 111 'k,'j,'irrr

) considerando ésta como si fuera fija, ya que no aparecen las derivadas de los unitarios.

1'z1'y1'x'z'y'Gx

G 'kH'jH'iHH111

111

r&

r&

r&&r

++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

a los que se añade el producto de las componentes por la derivada de los unitario de la base móvil

1'z1'y1'x 'kH'jH'iH111

&r&r&r++

derivada de los unitarios

Para derivar los unitarios ( 111 'k,'j,'irrr

) se utiliza la expresión de Poisson

111111 'k'k'j'j'i'irr&rrr&rrr&r

×=×=×= ΩΩΩ

en la que Ωr

es la velocidad angular del sistema de referencia giratorio (Gx’1y’1z’1) por lo que


- 42/105 -

( ) ( ) ( ) ( )1'z1'y1'x1'z1'y1'x

111111

1'z1'y1'x

'kH'jH'iH'kH'jH'iH

'k'k'j'j'i'i

'kH'jH'iH

111111

111

rrrrrrrrrr

rr&rrr&rrr&r

&r&r&r

++×=×+×+×

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

×=×=×=

++

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ

luego

G1'z1'y1'x H'kH'jH'iH111

rr&r&r&r×=++ Ω

y finalmente la expresión buscada es

( )

( )G'z'y'Gx

GG

G1'z1'y1'x

1'z1'y1'x'z'y'Gx

G

1'z1'y1'x1'z1'y1'xG

HHH

H'kH'jH'iH

'kH'jH'iHH

'kH'jH'iH'kH'jH'iHH

111

111

111

111

111111

rr&r&r

rr&r&r&r

r&

r&

r&&r

&r&r&rr&

r&

r&&r

×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

×=++

++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++++=

Ω

Ω

derivada del momento angular en base

giratoria

y la derivada del momento angular respecto del c.d.m. (G) y del tiempo es

( )G'z'y'Gx

GG HHH111

rr&r&r×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Ω

Concepto clave

La derivada del momento angular respecto del centro de masas y del tiempo viene expresada por

( )G'z'y'Gx

GG HHH111

rr&r&r×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Ω

En esta expresión el primer sumando (111 'z'y'Gx

GH ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ &r) corresponde a la derivada del momento angular

respecto del tiempo, pero derivando únicamente las componentes (no los unitarios). Para su obtención se multiplica el tensor de inercia másico ( [ ]GT ) asociado al c.d.m. (G) por la derivada de las componentes (no

de los unitarios) de la velocidad angular del sólido ( { }er

&ω )

[ ] { }eTHG

111 'z'y'GxG

r&

&rω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Concepto clave

La derivada de las componentes del momento angular respecto del centro de masas y del tiempo en una base en la que el tensor de inercia no varía viene expresada por

[ ] { }eTHG

111 'z'y'GxG

r&

&rω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


- 43/105 -

El momento angular respecto del c.d.m. ( GHr

) del segundo sumando de

( )G'z'y'Gx

GG HHH111

rr&r&r×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Ω

se obtiene multiplicando el tensor de inercia másico ( [ ]GT ) asociado al c.d.m. (G) por la velocidad angular del sólido ( { }ω )

( ) [ ] { }ωG111

TH 'z'y'GxG =r

Según lo anterior, la expresión de la derivada del momento angular respecto del c.d.m. (G) y del tiempo

( GH&r

) se puede expresar mediante

[ ] { }

( )[ ] { }

43421

rr

4434421

&r&r

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111 T

'z'y'GxG'z'y'x

eT

'z'y'GxGG HHH ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Concepto clave

Si el punto al que se aplica la expresión no es el centro de masas (G) en un sistema de referencia solidario a él y con movimiento de traslación (Gxyz), y no se utiliza para derivar un sistema giratorio (Gx’1y’1z’1) en el que el tensor de inercia ( [ ]GT ) no varíe, la expresión anterior no es válida.

Para que el tensor de inercia ( [ ]GT ) no varíe respecto del sistema de referencia giratorio (Gx’1y’1z’1), en

general la velocidad angular del sistema de referencia ( Ωr

) se hace coincidir con la del sólido (ωr

), pero como se verá posteriormente, en los casos en los que el sólido gira respecto de un eje de simetría másico, la velocidad angular del sistema de referencia ( Ω

r) puede ser distinta de la del sólido (ω

r) sin que el tensor de

inercia ( [ ]GT ) varíe.

8.1 Ecuación de Euler del movimiento. Extensión del principio de d’Alembert.

- 44/105 -

8.1. Ecuación de Euler del movimiento. Extensión del principio de d’Alembert.

equilibrio dinámico Definido un sólido rígido en movimiento, se desea desarrollar las ecuaciones de equilibrio dinámico del mismo

Gam Frr

=∑ GG HM&rr

=∑

Para determinar el sumatorio de momentos de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. ( ∑ GMr

) se ha de

derivar el momento angular respecto del tiempo ( GH&r

). Como esta expresión depende del tensor de inercia

{ } [ ] { }ωGG TH =

se considera un sistema de referencia giratorio (Gx’1y’1z’1) en el que el tensor de inercia ( [ ]GT ) no varíe, de forma que la expresión sea

[ ] { }

( )[ ] { }

4434421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111 T

'z'y'GxG'z'y'x

eT

'z'y'GxGGG HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

aplicación a base principal de inercia

Para simplificar el proceso, los ejes del sistema de referencia móvil (Gx’1y’1z’1) se escogen de forma que coincidan con los principales de inercia del sólido (e’1, e’2, e’3), que sustituidos en la expresión anterior es

[ ] { }

( )[ ] { }

43421

rr

4434421

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

321321

G

321 T

'e'e'GeG'e'e'e

eT

'e'e'GeGGG HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

o bien

G3G2G1

321

G3

G2

G1

G3

G2

G1

'e'e'e

'e'e'e

321

'e

'e

'e

'e

'e

'e

HHH

'e'e'e

H

H

H

MMM

ΩΩΩ

rrr

&

&

&

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

como el momento angular ( GHr

) se obtiene mediante

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

33

22

11

3

2

1

3

2

1

G1

G3

G1

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

I

I

I

I000I000I

H

H

H

ω

ω

ω

ω

ω

ω

su derivada respecto de la referencia móvil (Gx’1y’1z’1) se determina derivando las componentes de la velocidad angular (

321 'e'e'e ,, ωωω ) respecto del tiempo.

diferencia entre la derivada de las

componentes de la velocidad angular y la

aceleración angular

Es importante remarcar una vez más que se derivan las componentes (321 'e'e'e ,, ωωω ) pero no los unitarios

( 321 'e,'e,'errr

), por lo que la derivada de las componentes de la velocidad angular (321 'e'e'e ,, ωωω ) respecto

del tiempo no tiene por qué coincidir con la aceleración angular del sólido (αr

). Coincidirá únicamente en el caso en que la dirección de la velocidad angular ( e

r) sea constante


- 45/105 -

eee0ectee

e r&&rr

&&rrr&rr

rr

ωωωωαωω

=+==⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=⇒=

=

Concepto clave La aceleración angular de un sólido solo coincide con la derivada de las componentes de la velocidad angular cuando la dirección de dicha velocidad es constante en el tiempo.

Según esto, la derivada del momento angular respecto del c.d.m. (G) respecto del tiempo 321 'e'e'Ge)H(

&r en

una base principal de inercia ( 321 'e,'e,'errr

) móvil, en la que el tensor de inercia ( [ ]GT ) no varía, se obtiene derivando las componentes de la velocidad angular (

321 'e'e'e ,, ωωω ) pero no los unitarios ( 321 'e,'e,'errr

)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

33

22

11

G3

G2

G1

32133

22

11

G3

G2

G1

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

'e'e'GeG

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

I

I

I

H

H

H

H

I

I

I

H

H

H

ω

ω

ω

ω

ω

ω

&

&

&

&

&

&

&r

mientras que el desarrollo del producto vectorial correspondiente al segundo sumando es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=

G12G21

G31G13

G23G32

G3G2G1

321

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e'e

'e'e'e

321

HHHHHH

HHH

'e'e'e

ΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩ

rrr

en la que cada una de las componentes del momento angular (G3G2G1 'e'e'e H,H,H ) respecto del c.d.m. (G) en

base principal de inercia (e1, e2, e3) viene expresada por

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

33

22

11

3

2

1

3

2

1

G3

G2

G1

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

I

I

I

I000I000I

H

H

H

ω

ω

ω

ω

ω

ω

por lo que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

==

112221

331113

223332

332211

321

G3G2G1

321

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e

321

'e'e'e

'e'e'e

321

IIIIII

III

'e'e'e

HHH

'e'e'e

ωΩωΩωΩωΩωΩωΩ

ωωωΩΩΩΩΩΩ

rrrrrr

ecuaciones de Euler generalizadas

y finalmente el sumatorio de momentos de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. ( ∑ GMr

) en base principal de inercia (e1, e2, e3) es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

112221

331113

223332

33

22

11

G3G2G1

321

G3

G2

G1

G3

G2

G1

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e'e'e

'e'e'e

321

'e

'e

'e

'e

'e

'e

IIIIII

I

I

I

HHH

'e'e'e

H

H

H

MMM


ω

ω

ω

ΩΩΩ&

&

&rrr

&

&

&

que se denominan ecuaciones de Euler generalizadas.


- 46/105 -

ecuaciones de Euler En el caso de que la velocidad angular del sistema de referencia se tome coincidente con la del sólido ( Ωω

rr= ) las expresiones se denominan ecuaciones de Euler

( )( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1212

3131

3223

33

22

11

G3

G2

G1

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

IIIIII

I

I

I

MMM

ωωωωωω

ω

ω

ω

&

&

&

Ejemplo 8.1: Un disco homogéneo de masa m=20 kg. y radio R=20 cm. cuyo centro de masas se encuentra en un punto G de componentes {0, 1, 0} (m), orientado tal como muestra la figura. Si el sólido gira respecto de su eje de simetría con una velocidad angular de 5 rad/s y aumentando su magnitud con una aceleración angular de 10 rad/s2, determinar el momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas.

x

O y

z

G

En este caso no es necesario hacer el estudio en un sistema de referencia giratorio, ya que debido a la geometría del sólido y a que gira respecto del eje de simetría, el tensor de inercia asociado al sistema de referencia fijo no varía. El momento de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. es

[ ] { }

( )[ ] { }

43421

rr

4434421

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

321321

G

321 T

eeGeGeee

eT

eeGeGGG HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

La velocidad angular del sólido, la velocidad angular del sistema, la derivada de las componentes de la velocidad angular, el tensor de inercia másico respecto del c.d.m. y la velocidad angular del sistema son

( )s/rad050

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r ( )s/rad

000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

r ( )2s/rad

0100

e⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r&ω

La velocidad angular del sistema se ha tomado nula y el tensor de inercia no varía debido a la simetría del disco, aunque en este caso también sería válido haberla tomado igual a la del sólido.

Los momentos de inercia respecto del c.d.m. del disco son

2zGxG mR

41II == 2

yG mR21I =

en los que sustituyendo valores se tiene

( )222GeGezGxG mkg2,02,020

41mR

41IIII

31=⋅=====

( )222GeyG mkg4,02,020

21mR

21II

2=⋅===

luego el tensor de inercia másico asociado al c.d.m. es

[ ] ( )21G mkg10

200040002

T −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

a partir del cual se pueden determinar


- 47/105 -

[ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2

21

eeGeG s

mkg040

0100

10200040002

eTHG

321

r&

&rω

( ) [ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== −

smkg

020

050

10200040002

TH2

1eeGeG G321

ωr

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==× 2

2321

eeGeGeee smkg

000

020000eee

H321321

rrr

rrΩ

luego finalmente

[ ] { }

( )[ ] { }

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑ 2

2

T

eeGeGeee

eT

eeGeGGG s

mkg040

000

040

HHHM

G

321321

G

32143421

rr

4434421

&r&rr

r&

ωω

Ω

8.2 Movimiento de un sólido con un punto fijo.

- 48/105 -

8.2. Movimiento de un sólido con un punto fijo.

Igual que en el caso del momento angular ( QHr

) de un sólido rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo (Q), se pueden utilizar un punto fijo para determinar el sumatorio de momentos de las fuerzas exteriores ( ∑ QM

r).

equilibrio dinámico de un sólido con un punto

fijo

Si se considera un sistema de referencia fijo (Qxyz) solidario al punto Q también fijo del sólido, éste solo puede rotar respecto de esa referencia, por lo que si se toma un sistema de referencia giratorio solidario al punto fijo (Qx’1y’1z’1) en el que el tensor de inercia másico ( [ ]QT ) no varíe (Fig. 8.2), el sumatorio de

momentos de las fuerzas exteriores respecto de ese punto ( ∑ QMr

) adquiere una expresión análoga a la obtenida para el c.d.m. (G)

[ ] { }

( )[ ] { }

4434421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

ωω

Ω

Q

111111

Q

111 T

'z'y'QxQ'z'y'x

eT

'z'y'QxQQQ HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

x

Q y

z

x’1

y’1

z’1 Ωr

QHr

Fig. 8.2 – Sólido con un punto fijo (Q) sistema de referencias inercial (Qxyz) y

solidario al punto fijo y con movimiento de rotación (Qx’1y’1z’1).

desarrollando para un sistema de referencia principal de inercia (Qe’1e’2e’3) que pase por Q

[ ] { }

( )[ ] { }

43421

rr

4434421

&r&rr

r&

ωω

Ω

Q

321321

Q

321 T

'e'e'QeQ'e'e'e

eT

'e'e'QeQQQ HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

112221

331113

223332

33

22

11

Q3

Q2

Q1

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

IIIIII

I

I

I

MMM


ω

ω

ω

&

&

&

Si además la velocidad angular del sólido (ωr

) y del sistema ( Ωr

) son la misma

( )( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1212

3131

3223

33

22

11

Q3

Q2

Q1

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

IIIIII

I

I

I

MMM

ωωωωωω

ω

ω

ω

&

&

&


- 49/105 -

Concepto clave Si el punto (Q) al que se aplica esta expresión no es un punto fijo de un sólido, y no se utiliza para derivar un sistema giratorio (Qx’1y’1z’1) en el que el tensor de inercia ( [ ]QT ) no varíe, la expresión anterior no es válida.

Ejemplo 8.2: Para el disco del ejemplo 8.1, determinar el momento de las fuerzas exteriores respecto del origen del sistema de referencia O, considerado como punto fijo del sólido.

Ejemplo 8.1: Un disco homogéneo de masa m=20 kg. y radio R=20 cm. cuyo centro de masas se encuentra en un punto G de componentes {0, 1, 0} (m), orientado tal como muestra la figura. Si el sólido gira respecto de su eje de simetría con una velocidad angular de 5 rad/s y aumentando su magnitud con una aceleración angular de 10 rad/s2, determinar el momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas.

x

O y

z

G

El momento de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. es

[ ] { }

( )[ ] { }

43421

rr

43421

&r&rr

r&

ωω

Ω

O

321321

O

321 T

eeOeOeee

eT

eeOeOOO HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

La velocidad angular del sólido, la velocidad angular del sistema, la derivada de las componentes de la velocidad angular, el tensor de inercia másico respecto del c.d.m. y la velocidad angular del sistema son

( )s/rad050

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r ( )s/rad

000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

r ( )2s/rad

0100

e⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r&ω

Nuevamente la velocidad angular del sistema se ha considerado nula.


( )2zGxG mkg2,0II == ( )2

yG mkg4,0I =

por lo que hay que trasladarlas por Steiner al punto O de forma que 2

xxxx GoGomdII −+= 2

yyyy GoGomdII −+= 2

xzzz GoGomdII −+=

GGGGGo Gzy,yOzGzx,xOzxyxy dmdII += GGGGGo Gyz,zOyGyx,xOyxzxz dmdII +=

GGGGGo Gzy,yOzGzx,xOzyzyz dmdII +=

en las que sustituyendo valores

( ) ( )2222xxxx mkg2,2001202,0mdII

GoGo=+⋅+=+= −

( ) ( )2222yyyy mkg4,000204,0mdII

GoGo=+⋅+=+= −

( ) ( )2222xzzz mkg2,2010202,0mdII

GoGo=+⋅+=+= −

( )2Gzy,yOzGzx,xOzxyxy mkg001200dmdII

GGGGGo=⋅⋅+=+=


- 50/105 -

( )2Gyz,zOyGyx,xOyxzxz mkg000200dmdII

GGGGGo=⋅⋅+=+=

( )2Gzx,xOzGyx,xOyyzyz mkg010200dmdII

GGGGGo=⋅⋅+=+=

luego el tensor de inercia asociado al punto O es

[ ] ( )2O mkg

2,200004,00002,20

T⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=


[ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

OeeOe

O smkg

040

0100

2,200004,00002,20

eTH321

r&

&rω

( ) [ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

smkg

020

050

2,200004,00002,20

TH2

OeeOeO 321ω

r

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==× 2

2321

eeOeOeee smkg

000

040000eee

H321321

rrr

rrΩ

luego finalmente

[ ] { }

( )[ ] { }

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑ 2

2

T

eeOeOeee

eT

eeOeOOO s

mkg040

000

040

HHHM

O

321321

O

32143421

rr

43421

&r&rr

r&

ωω

Ω

que coincide con el momento respecto del c.d.m. obtenido anteriormente, ya que la resultante de fuerzas exteriores es nula al no tener el c.d.m. aceleración

0am F G

rrr==∑

y como

( ) GGO MFOGMMrrrr

=×−+= ∑

se comprueba que el momento respecto del c.d.m. y del origen del sistema de referencia coinciden.

8.3 Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo.

- 51/105 -

8.3. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo.

En este caso se considera un sólido que gira alrededor de un eje fijo (Fig. 8.3) con una velocidad y aceleración angular ( e,

r&

rrωαω = ) conocidas.

Concepto clave En el caso de giro respecto de un eje fijo la derivada de las componentes de la velocidad angular y la aceleración angular coinciden.

x

Q=G y

z=z’1

ωΩrr

=

x’1

y’1

A

B

Fig. 8.3 – Sólido que gira respecto de un eje fijo, sistema de referencia inercial (Qxyz) y sistema de

referencia solidario a un punto fijo y con movimiento de rotación (Qx’1y’1z’1).

eje z de rotación Para simplificar el proceso se toma el sistema de referencia fijo con eje z coincidente con el eje de rotación, con lo que la velocidad angular del sólido es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

z

00

ωωr

simplificación Nuevamente por simplificar, se considera una base giratoria (Qx’1y’1z’1) con eje z’1 que coincide con el eje de rotación, y que la velocidad angular del sólido y del sistema coinciden ( Ωω

rr= ) por lo que no existe

movimiento relativo entre ambos y el tensor de inercia en ese sistema de referencia no varía. Aplicando la ecuación correspondiente al movimiento de un sólido rígido con un punto fijo se tiene

[ ] { }

( )[ ] { }

4434421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

ωω

Ω

Q

111111

Q

111 T

'z'y'QxQ'z'y'x

eT

'z'y'QxQQQ HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

En la que desarrollando

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

1Q1

1Q11

1Q11

1Q1Q11Q11

Q11Q1Q11

Q11Q11Q1

Q1

Q1

Q1

'z'z

'z'z'y

'z'z'x

'z'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

Q

I

I

I

00

IIIIIIIII

H

H

H

H

ω

ω

ω

ω

r

8.3 Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo.

- 52/105 -

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1Q1

1Q11

1Q11

1Q1Q11Q11

Q11Q1Q11

Q11Q11Q1

Q1

Q1

Q1

111

'z'z

'z'z'y

'z'z'x

'z'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

'z'y'QxQ

I

I

I

00

IIIIIIIII

H

H

H

H

ω

ω

ω

ω &

&

&

&&

&

&

&r

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−

=×0

I

I

III00

'k'j'iH 2

'z'z'x

2'z'z'y

'z'z'z'z'y'z'z'x

'z

111

Q 1Q11

1Q11

1Q11Q111Q11

1ω

ω

ωωωωΩ

rrr

rr

y el sumatorio de momentos es

[ ] { }

( )[ ] { } ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+−

=×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

1Q1

1Q111Q11

1Q111Q11

Q

111111

Q

111

'z'z

2'z'z'x'z'z'y

2'z'z'y'z'z'x

T

'z'y'xQ'z'y'x

eT

'z'y'QxQQQ

I

II

II

HHHM

ω

ωω

ωω

Ω

ωω

&

&

&

43421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

que junto con las ecuaciones de equilibrio dinámico con fuerzas

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==∑

1

1

1

'Gz

'Gy

'Gx

G

a

a

a

mam Frr

permiten determinar las seis ecuaciones de equilibrio.

Concepto clave Si el punto al que se aplica la expresión no es fijo o el eje z’1 no coincide con el de rotación del sólido, la expresión anterior no es válida.

8.4 Estudio del equilibrio de ejes o árboles planos rotatorios.

- 53/105 -

8.4. Estudio del equilibrio de ejes o árboles planos rotatorios.

Como aplicación a un caso concreto, se considera un cigüeñal de longitud l y peso W que se sitúa en un plano vertical (Fig. 8.4) pasando su eje de rotación por el c.d.m. (G) del sólido. La reacción vertical actúa únicamente en el vínculo inferior (A).

x

Q=G y

z=z’1

ωΩrr

=

x’1

y’1

A

B

g

Fig. 8.4 – Cigüeñal rotatorio respecto de un eje fijo, sistema de referencia inercial (Qxyz) y sistema de

referencia solidario a un punto fijo y con movimiento de rotación (Qx’1y’1z’1).

equilibrio en reposo Si el cigüeñal está inicialmente en reposo, no ejerce fuerza lateral sobre los soportes (A, B), ya que su c.d.m. (G) se encuentra en la vertical del vínculo A y su reacción (

A'z 1R ) tiene de módulo el peso (W) del

cigüeñal.

equilibrio en movimiento

Si el cigüeñal gira con una velocidad y aceleración angular (ω y ω& ) y se considera un sistema de referencia (Qx’1y’1z’1) solidario a un punto fijo del sólido (Q) que gira con su velocidad angular (ω

r), la

expresión de equilibrio de momentos de las fuerzas exteriores es

[ ] { }

( )[ ] { } ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+−

=×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

1Q1

1Q111Q11

1Q111Q11

Q

111111

Q

111

'z'z

2'z'z'x'z'z'y

2'z'z'y'z'z'x

T

'z'y'QxQ'z'y'x

eT

'z'y'QxQQQ

I

II

II

HHHM

ω

ωω

ωω

Ω

ωω

&

&

&

4434421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

característica geométrica

sin embargo, por definición de momentos de inercia centrífugos

∫=m

1111'z'x 'dz'dx'z'xIQ11

expresión en la que, al ser un sólido bidimensional situado en el plano giratorio Qy’1z’1 las componentes 1'x de todos los puntos del sólido son nulas en todo instante, por lo que

0'dz'dx'z'xIm

1111'z'x Q11== ∫

Concepto clave Para sólidos planos los momentos de inercia centrífugos con subíndices que contengan al eje perpendicular al plano son nulos.


- 54/105 -

y la derivada del momento angular respecto del punto Q y respecto del tiempo ( QH&r

) se simplifica a

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

1Q1

1Q11

1Q11

'z'z

'z'z'y

2'z'z'y

Q

I

I

I

H

ω

ω

ω

&

&&r

caso de velocidad constante

En el caso en el que la velocidad angular (ωr

) del cigüeñal sea constante, su derivada respecto del tiempo es nula 0

1'z =ω& y la expresión es

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=00

I

H

2'z'z'y

Q

1Q11ω

&r

o lo que lo mismo

2'z'z'y'x 1Q11Q1

IH ω=&

Concepto clave

Para elementos planos simétricos respecto de su centro de masas (m) que giran con velocidad angular (ω

r) constante, la derivada del momento angular respecto de un punto

fijo (Q) y respecto del tiempo ( QH&r

) solo tiene componente en la dirección perpendicular al plano del elemento.

Q

z’1

x’1

y’1

A

B

A1'zR

A1'yR

B1'yR

W

l Q1'xM

Fig. 8.5 – Momento y reacciones del cigüeñal rotatorio.

A partir de la ecuación del equilibrio dinámico se tiene

QQ HM&rr

=∑

reacciones giratorias por lo que para que exista dicho equilibrio se tienen que generar dos reacciones giratorias (A1'yR y

B1'yR )


- 55/105 -

que de forma conjunta producen la componente del momento Q1'xM

r (Fig. 8.5).

Concepto clave En el equilibrio de sistemas dinámicos las reacciones que aparecen giran con la velocidad angular del sistema de referencia.

cálculo de reacciones Para la obtención de dichas reacciones se aplica lo siguiente

l

IRRIlR

2lR

2lRM

RR0amF

IHM2'z'z'y

'y'y2'z'z'y'y

'y'y'x

'y'y'y'y

2'z'z'y'x'x

1Q11

B1A11Q11A1

B1A1Q1

B1A111

1Q11Q1Q1ω

ω

ω

==⇒=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

=⇒==

==

∑

∑

∑rr

&

Concepto clave Las reacciones que aparecen en sólidos giratorios son indeseables ya que generan efectos vibratorios que se evita equilibrando el sólido, de forma que los momentos de inercia centrífugos desaparezcan.

La eliminación de los momentos de inercia centrífugos es la base del equilibrado de sistemas giratorios.

9. Movimiento de un giroscopio.

- 56/105 -



Determinar la relación entre los movimientos de un giroscopio, los ángulos de Euler y el equilibrio dinámico.

Desarrollar las ecuaciones de equilibrio dinámico en un sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación en base arbitraria y principal de inercia.

Un giroscopio es un rotor montado en una suspensión Cardan que puede girar libremente respecto de tres ejes que pasan por su c.d.m. (G) de forma que puede adquirir cualquier orientación.

ángulos de Euler Para su estudio se utilizan los ángulos de Euler ya que se adaptan perfectamente a su movimiento. En el estudio se considera una base fija (xyz), una base con movimiento de precesión (x1y1z1) que se mueve con velocidad de precesión (ψ& ) respecto del eje z, una base con movimiento de precesión y nutación

(x’1y’1z’1) que se mueve con velocidad de precesión y nutación (ψ& y θ& ) sobre los ejes z1 y x’1 respectivamente, y una base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (x’’1y’’1z’’1) que se mueve con velocidad de precesión, nutación y rotación propia (ψ& ,θ& y ϕ& ) sobre de los ejes z1, x’1 y z’’1 respectivamente (Fig. 9.1).

x

y

z= z1

G

x1 = x’1

y1 ψψ

ψ&

θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ&ϕ

ϕ

y’’1

x’’1 Fig. 9.1 – Giroscopio con bases de Euler.

Como se vio en el estudio cinemático de sólido rígido, la velocidad angular total (ωr

) tiene distintas componentes en función de la base en la que se realiza en el análisis. En el estudio dinámico hay que

derivar el momento angular respecto del c.d.m. y respecto del tiempo ( GH&r

), para lo que habrá que utilizar una base giratoria que cumpla con la propiedad de que el tensor de inercia másico respecto del c.d.m. ( [ ]GT ) no varíe. Los ángulos de Euler permiten utilizar distintas bases, de entre las que se seleccionará la que cumpla con la condición indicada.

bases fija y con movimiento de

precesión

Las bases fija (xyz) y con movimiento de precesión (ψ& , x1y1z1) se podrán utilizar cuando el sólido gira respecto de un eje fijo. En este caso el estudio se pude hacer sin usar ángulos de Euler ya que el unitario asociado a la velocidad angular no varía, y la derivada de las componentes de la velocidad angular coincide con las componentes de la aceleración angular.

base con movimiento de precesión y nutación

La base con movimiento de precesión y nutación (ψ& y θ& , x’1y’1z’1) se podrá utilizar cuando el sólido tiene simetría axil respecto del eje de rotación propia, y el movimiento relativo del sólido respecto del sistema de referencia es únicamente esta rotación propia (ϕ& ), por lo que el tensor de inercia ( [ ]GT ) no varía.


- 57/105 -

base con movimiento de precesión, nutación y

rotación propia

La base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (ψ& , θ& y ϕ& , x’’1y’’1z’’1) se podrá utilizar cuando el sólido está sometido a tres giros consecutivos, ya que no existe movimiento relativo entre el sólido y el sistema de referencia y el tensor de inercia ( [ ]GT ) no varía.

análisis en base con movimiento de

precesión y nutación

Mientras no se indique lo contrario, los estudios que se realizarán estarán asociados a un sólido rígido con simetría axial y velocidad angular de precesión, nutación y rotación propia en la base con movimiento de precesión y nutación (x’1y’1z’1), estando la velocidad de rotación propia (ϕ& ) sobre su eje de simetría.

La expresión de equilibrio dinámico a utilizar es

[ ] { }[ ] { }

43421

rr

4434421

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111 T

'z'y'xG'z'y'x

eT

'z'y'xGGG HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

en la que la velocidad angular del sólido (ωr

) está en función de las coordenadas de Euler ( ϕθψ ,, ) definidas en tres bases distintas al mismo tiempo,

11 'kikr

&r&

r&

r ϕθψω ++=

por lo que conocidas las matrices ( [ ]A y [ ]B ) de cambio de base

[ ] [ ]111

B111

A 'z'y'xzyxxyz ⎯→⎯⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A ψψψψ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B

se realizan los procesos necesarios para transformar los unitarios ( 11 'k,i,krrr

) a la base con movimiento de precesión y nutación ( 111 'z'y'x )

[ ]111

A zyxk ⎯→⎯r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

100

1000cossen0sencos

zyx

1

1

1ψψψψ

[ ] [ ]111

B111

A 'z'y'xzyxk ⎯→⎯⎯→⎯r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθ

θθθθ

cossen

0

100

cossen0sencos0

001

'z'y'x

1

1

1

[ ]111

B1 'z'y'xi ⎯→⎯r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

001

001

cossen0sencos0

001

'z'y'x

1

1

1

θθθθ

[ ]111

I1 'z'y'x'k ⎯→⎯r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

100

100010001

'z'y'x

1

1

1

velocidad angular del sólido

a partir de los cuales se obtiene la velocidad angular del sólido ( 1'z1'y1'xωr

) en dicha base

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ϕθψ

θψθ

ϕθθθψ

ωωω

ω&&

&

&

&&&r

cossen

100

001

cossen

0

1

1

1

111

'z

'y

'x

'z'y'x


- 58/105 -

velocidad angular del sistema de referencia

La velocidad angular del sistema de referencia ( 1'z1'y1'xΩr

) en base con movimiento de precesión y

nutación varía de la del sólido ( 1'z1'y1'xωr

) en la componente de rotación propia (ϕ& )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=θψθψ

θΩ

cossen

111 'z'y'x&

&

&r

derivada de las componentes de la

velocidad angular del sólido

mientras que la derivada de las componentes de la velocidad angular del sólido ( { }er

&ω ) se obtienen de

dicha velocidad (ωr

)

{ }⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

ϕθθψθψθθψθψ

θ

ωωω

ωϕθψ

θψθ

ω&&&&&&

&&&&

&&

&

&

&r

&

&&

&

&r

sencoscossene

cossen

1

1

1

111

'z

'y

'x

'z'y'x

Concepto clave La velocidad angular de un sólido definida a partir de los ángulos de Euler ( ( )ϕθψω &&&

r,, )

facilita la obtención de la derivada de las componentes de la velocidad angular respecto del tiempo ( { }e

r&ω ) sin derivar los unitarios.

estudio en base arbitraria

Para generalizar se desarrollan las expresiones considerando que el tensor de inercia ( [ ]GT ) está asociado

a una base no principal de inercia (x’1y’1z’1) por lo que la cantidad de movimiento angular ( GHr

), la

derivada de sus componentes respecto del tiempo ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛GH&r

) y el producto de la velocidad angular del

sistema por la cantidad de movimiento angular ( Hrr

×Ω ) son

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−−

+−+−

+−−

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕθψθψθ

ϕθψθψθ

ϕθψθψθ

ϕθψθψ

θ

ω

ω

ω

&&&&

&&&&

&&&&

&&

&

&

cosIsenII

cosIsenII

cosIsenII

cossen

IIIIIIIII

IIIIIIIII

H

H

H

11111

11111

11111

11111

11111

11111

1

1

1

11111

11111

11111

G1

G1

G1

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎭⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−++−−

+−−++−

+−−+−

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ϕθθψθψθθψθψθ



ϕθθψθψθθψθψ

θ

ω

ω

ω

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&

&&&&

&&

&

&

&

&

&

&

&r

sencosIcossenII

sencosIcossenII

sencosIcossenII

sencoscossen

IIIIIIIII

IIIIIIIII

H

H

H

H

11111

11111

11111

11111

11111

11111

1

1

1

11111

11111

11111

G1

G1

G1

111

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z

'y

'x

'z'y'xGG


- 59/105 -

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−−+−+−

++−−−+−−

+−+−−++−−

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

−

==×

θψϕθψθψθθϕθψθψθ

θϕθψθψθψϕθψθψθ

θψϕθψθψθθψϕθψθψθ

θψθ

θψ

θψθψ

θψθψθΩ

sencosIsenIIcosIsenII

cosIsenIIcoscosIsenII

coscosIsenIIsencosIsenII

senHH

HcosH

cosHsenH

HHHcossen

'k'j'iH

1111111111

1111111111

1111111111

G1G1

G1G1

G1G1

G1G1G1

111111

'z'x'y'x'x'z'y'y'y'x

'z'z'y'z'x'z'x'y'x'x

'z'y'y'y'x'z'z'y'z'x

'x'y

'z'x

'y'z

'z'y'x

111

'z'y'xG'z'y'x

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&

&&

&&

&&&

rrr

rr

y la expresión final es

[ ] { }[ ] { }

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−−+−+−

++−−−+−−

+−+−−++−−

+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−++−−

+−−++−

+−−+−

=

=×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑







Ω

ωω




sencosIcossenII

sencosIcossenII

sencosIcossenII

HHHM

1111111111

1111111111

1111111111

11111

11111

11111

G

111111

G

111

111




'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

T

'z'y'xG'z'y'x

eT

'z'y'xGGG'z'y'xG

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

43421

rr

4434421

&r&rr

r&

Debido a su extensión la expresión simbólica obtenida no es manejable, por lo que si hay que utilizarla en algún caso práctico se recomienda que en vez de sustituir sobre esta expresión ya desarrollada se parta de la fórmula inicial

[ ] { }[ ] { }

43421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111

111

T

'z'y'xG'z'y'x

eT

'z'y'xGGG'z'y'xG HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

y se realicen las operaciones sustituyendo los términos por los valores específicos.

estudio en base principal de inercia

En el caso en el que la base de estudio sea principal de inercia (e’1e’2e’3) y se identifiquen los momentos de inercia respecto de los ejes de las dos bases (

11 'e'x II = , 21 'e'y II = ,

31 'e'z II = ) los momento de inercia

centrífugos se anulan ( 0III111111 'z'y'z'x'y'x === ) y la expresión se simplifica

[ ] { }[ ] { }

( )( )

( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]

( )[ ] [ ] ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

+−

−+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+=

=×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

θψθθθψ

θϕθψψθ

θψθψθψϕθψ

ϕθθψθψ

θθψθψ

θ

Ω

ωω

senIsenI

cosIcosI

cossenIsencosI

sencosI

cossenI

I

HHHM

12

31

23

3

2

1

G

321321

G

321

321

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

T

'e'e'eG'e'e'e

eT

'e'e'eGGG'e'e'eG

&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&&

&&&&

&&

43421

rr

4434421

&r&rr

r&


- 60/105 -

Ejemplo 9.1: El sólido del ejemplo 5.3 del tema de Cinemática del Sólido Rígido es un disco homogéneo de masa m=10 kg. y radio R=10 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto A orientado tal como muestra la figura. Determinar los momentos que actúan en el centro de masas de dicho sólido.

Ejemplo 5.3: El disco homogéneo del problema 5.1 gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y. Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas del disco respecto de un sistema de referencia que en el instante de estudio coincide con el que tiene movimiento de precesión y nutación del problema anterior. Determinar la velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación.

α1

α3

B

ω2

3

La expresión a utilizar es

[ ] { }[ ] { }

43421

rr

4434421

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111 T

'z'y'xG'z'y'x

eT

'z'y'xGGG HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

El estudio se va ha hacer sobre un sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación Gx’1y’1z’1 de forma que el tensor de inercia másico respecto del c.d.m. no varíe, sistema que aparece en la figura

α1

α3

B

ω2

3 y1

ψ

xe=z’1

ye=x1=x’1

ze=z1=y’1

y1 θ

ψ

Los parámetros de Euler obtenidos en el problema cinemático son los siguientes

( ) ( )( )( ) ( )2

2

s/rad9s/rad15

0s/rad102

s/rad6s/rad82

−==

===

−===

ϕϕϕ

θθπθ

ψψπψ

&&&

&&&

&&&

Por lo que sustituyendo en las ecuaciones asociadas a la velocidad angular del sólido, del sistema y la derivada de las componentes de la velocidad angular


- 61/105 -

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

θψθψ

θΩ

θψϕθψ

θω

cossen

cossen

111111 'z'y'x'z'y'x&

&

&r

&&

&

&r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−++=

θθψθψϕθθψθψ

θω

sencoscossene

111111 'z'y'x'z'y'x&&&&&&

&&&&

&&r

&

se obtienen dichos valores

( )s/rad158

10

111 'z'y'x⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r ( )s/rad

08

10

111 'z'y'x⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

896

0e

111111 'z'y'x'z'y'xr

&ω


2'y'x mR

41II

G1G1== 2

'z mR21I

G1=

en los que sustituyendo valores se tiene

( )222'y'x mkg025,01,010

41mR

41II

G1G1=⋅===

( )222'z mkg05,01,010

21mR

21I

G1=⋅==

luego el tensor de inercia másico asociado al c.d.m. en la base con movimiento de precesión y nutación es

[ ] ( )2G mkg

05,0000025,0000025,0

T⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=


[ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

'z'y'xG s

mkg45,415,0

0

896

0

05,0000025,0000025,0

eTHG

111

r&

&rω

( ) [ ] { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

smkg

75,02,0

25,0

158

10

05,0000025,0000025,0

TH2

'z'y'xG G111ω

r

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==× 2

2111

'z'y'GxG'z'y'x smkg

05,7

6

75,02,025,00810'k'j'i

H111111

rrr

rrΩ

Luego el momento de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. es

[ ] { }[ ] { }

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑ 2

2

T

'z'y'xG'z'y'x

eT

'z'y'xGGG s

mkg45,465,7

6

05,7

6

45,415,0

0HHHM

G

111111

G

11143421

rr

4434421

&r&rr

r&

ωω

Ω

9.1 Precesión estacionaria en un giroscopio.

- 62/105 -

9.1. Precesión estacionaria en un giroscopio.


Definir las características de la precesión estacionaria. Aplicar el equilibrio dinámico a un giroscopio con movimiento de precesión estacionaria. Simplificar para

nutación de 90º. Analizar el comportamiento experimental de un giróscopo con movimiento de precesión estacionaria y

nutación de 90º al desequilibrarse. Aplicar los efectos giroscópicos a aviones y vehículos de dos ruedas. Determinar las relaciones entre velocidad de precesión y rotación propia para cualquier ángulo de nutación

en movimientos de precesión estacionaria. Definir la variación del momento angular de un sólido de revolución con precesión estacionaria y momento

de las fuerzas exteriores nulo. Definir el elipsoide de Poinsot. Analizar la influencia de la geometría en el movimiento de un sólido de revolución con precesión

estacionaria y momento de las fuerzas exteriores nulo.

definición La precesión estacionaria es el movimiento giroscópico que aparece cuando el ángulo de nutación (θ ) y las velocidades de precesión (ψ& ) y rotación propia (ϕ& ) son constantes (Fig. 9.2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

cte cte ψ cteθ

ria estacionaprecesión ϕ&&

1'kr

&ϕ

x=x1=x’1 = e’1

y=y1

z=z1

y’1 = e’2

z’1 = e’3

ω

θ k

r&ψ

0i1rr

& =θ

Fig. 9.2 – Giroscopio con precesión estacionaria.

aplicación Las expresiones de velocidad angular del sólido ( 1'z1'y1'xωr

), del sistema de referencia ( 1'z1'y1'xΩr

) y de

la derivada de las componentes de la velocidad angular ( { }111 'z'y'xe

r&ω ) son

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

θψθψ

θΩ

θψϕθψ

θω

cossen

cossen

111111 'z'y'x'z'y'x&

&

&r

&&

&

&r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−++=

θθψθψϕθθψθψ

θω

sencoscossene

111111 'z'y'x'z'y'x&&&&&&

&&&&

&&r

&

y quedan en este caso reducidas a


- 63/105 -

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

ϕθψθψω&&

&r

cossen0

111 'z'y'x ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

θψθψΩ

cossen0

111 'z'y'x&

&r

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

000

e111 'z'y'x

r&ω

equilibrio dinámico Con ellas se desarrolla el equilibrio dinámico de forma que cumpla con la ecuación

[ ] { }[ ] { }

43421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111

111

T

'z'y'xG'z'y'x

eT


⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

Expresión que desarrollada en base principal de inercia es

( )( )

( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]

( )[ ] [ ] ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

+−

−+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+=

θψθθθψ

θϕθψψθ

θψθψθψϕθψ

ϕθθψθψ

θθψθψ

θ

senIsenI

cosIcosI

cossenIsencosI

sencosI

cossenI

I

H

12

31

23

3

2

1

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

G

&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&&

&&&&

&&&r

con lo que sustituyendo en el caso de precesión estacionaria se obtiene

( )[ ] ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −++

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

00

cossenIsencosI

000

H23 'e'e

G

θψθψθψϕθψ &&&&&&r

expresión en la que se anulan todos los términos excepto del eje e’1

Concepto clave

Para que exista equilibrio dinámico de momentos respecto del centro de masas (G) en un sólido con precesión estacionaria, estudiado respecto de un sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación (Ge’1e’2e’3), tiene que existir la derivada del momento

angular respecto del centro de masas ( GH&r

) en la dirección del eje giratorio e’1.

nutación de 90º En el caso particular en que el ángulo de nutación sea de 90º (

2πθ = , Fig. 9.3) la expresión anterior se

reduce a

( )[ ] ( )[ ]

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −+=

00I

H

º90

00

cossenIsencosIH 3

23'e

G

'e'e

G

ϕψ

θ

θψθψθψϕθψ&&

&r

&&&&&&r

1'xM

x=x1=x’1=e’1

y=y1

z=z1 =y’1=e’2

z’1= e’3

ωr

1'kr

&ϕ

kr

&ψ

θ

Fig. 9.3 – Giroscopio con precesión estacionaria y nutación a 90º.


- 64/105 -

relación giroscópica Este último término es una relación frecuentemente empleada en el movimiento giroscópico y permite obtener

la derivada respecto del tiempo del momento angular ( GH&r

) que se produce en un sólido, conocidas la velocidad de precesión (ψ& ) y de rotación propia (ϕ& ) cuando la velocidad de precesión es perpendicular al eje del rotor ( 2/πθ = ).

A partir de esta expresión

311 'e'eG'eG IHM ϕψ &&& ==∑

se puede deducir que aplicando el equilibrio dinámico, cuando el rotor gira con velocidad angular de rotación propia (ϕ& ) y se produce un momento (

1'eGMr

) en dirección perpendicular, el giroscopio adquiere velocidad de

precesión (ψ& ), anulándose dicha velocidad al cesar el momento exterior.

Ejemplo 9.2: El sólido del ejemplo 5.3 del tema de Cinemática del sólido rígido es un disco homogéneo de masa m=10 kg. y radio R=10 cm. cuyo centro de masas se encuentra en el punto A orientado tal como muestra la figura. El sólido gira con velocidad angular ω1 = 15 rad/s respecto del eje que pasa por A; y al mismo tiempo gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s respecto del eje y. Determinar el sumatorio de momentos respecto del centro de masas del sólido.

B

3

El ejemplo corresponde a una precesión estacionaria con nutación a 90º por lo que la expresión a utilizar es

1'e'eG'eG 'eIHM311

r&&

&rr ϕψ==∑

El estudio se va ha hacer sobre un sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación Gx’1y’1z’1, que coincide con el 321 'e'e'Ge de forma que el tensor de inercia másico respecto del c.d.m. no varíe, sistema que aparece en la figura

B

3

xe=z’1

ye=x1=x’1

ze=z1=y’1

y1 θ

ψ

Los parámetros de Euler obtenidos en el problema cinemático son los siguientes


- 65/105 -

( )

( ) 0s/rad15

002

0s/rad82

==

===

===

ϕϕϕ

θθπθ

ψψπψ

&&&

&&&

&&&

El momento de inercia respecto del eje z’1 del c.d.m. del disco es

( )222'e mkg05,01,010

21mR

21I

G3=⋅==

Luego el momento de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. es

( )mN'e6'e05,0158'eIHM 111'e'eG'eG 311

rrr&&

&rr=⋅⋅===∑ ϕψ

giroscopio experimental El comportamiento de un giroscopio se analiza de forma sencilla con una experiencia de laboratorio (Fig. 9.4). El estudio se desarrolla considerando un sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación principal de inercia ( 111 'e'e'Ge ).

Fig. 9.4 – Giroscopio experimental.

elementos El aparato que se va a estudiar consta de los siguientes elementos (Fig. 9.5):

• Una base con un soporte vertical que sostiene un eje por un punto de apoyo O. Este eje está articulado en O permitiendo su libre giro.

• Un disco (giroscopio) grande y pesado que genera un momento de inercia grande respecto del eje axil, y que gira en torno a dicho eje.

• Un contrapeso al otro lado del disco para equilibrar el eje en la posición de equilibrio estático en el que el c.d.m. del sistema se halla en el punto (O) coincidente con el soporte del eje.

• Una pesa (A) que se colocará en uno de los extremos del eje para generar desequilibrio, de forma que el c.d.m. (G) se desplace respecto del punto O.


- 66/105 -

Eje del giróscopo

Giróscopo

Contrapeso

ψ&

ϕ&

OHr ϕ&

O

Pesa

A

Fig. 9.5 – Elementos de un giroscopio de laboratorio.

características geométricas

Por ser la masa del giroscopio grande, el momento de inercia másico respecto del eje perpendicular al disco (

3'eI ) es mayor que el de cualquier eje perpendicular a él (21 'e'e I,I ).

321 'e'e'e III <<<=

equilibrio estático Se parte de la posición de equilibrio estático del sistema en la que el peso del disco se equilibra con el contrapeso. En ese instante se hace girar el disco con velocidad angular de rotación propia constante (ϕ& ) en la dirección del eje de simetría (e’3) por lo que el equilibrio estático no varía.

Concepto clave Un giroscopio en equilibrio estático al que se aplica una velocidad de rotación propia (ϕ& ) sobre su eje de simetría (e’3) permanece equilibrado.

coordenadas de Euler En esta situación la velocidad angular del sólido (321 'e'e'eω

r), utilizando las coordenadas de Euler en

la base con movimiento de precesión y nutación, será

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

ϕω

ψθ

ϕθψθψ

θ

ωωω

ω

&

r

&

&

&&

&

&r

00

00

cossen

321

1

1

1

321

'e'e'e

'z

'y

'x

'e'e'e

momento angular y el momento angular (321 'e'e'eOH

r) respecto del punto O, punto fijo del sistema es

[ ] { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

33

2

1

3213'e2'e1'e321

'e'e

'e

'e

'e'e'eO'e'e'eO

I00

00

I000I000I

TH ϕϕ

ω&&

r

equilibrio dinámico Al ser éste momento angular constante, se comprueba que el sumatorio de momentos de las fuerzas exteriores ( ∑ OM

r) respecto del punto O es nulo


- 67/105 -

0M0HcteH

HMO

OO

OOrr

r&rr

&rr

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⇒=

=∑

∑

Concepto clave Un giroscopio en equilibrio estático al que se aplica una velocidad de rotación propia (ϕ& ) sobre su eje de simetría (z’1) tiene momento de las fuerzas exteriores nulo respecto del punto de equilibrio (O).

Eje del giróscopo

Giróscopo

Contrapeso

ϕ&

OHr ϕ&O=G

Fig. 9.6 – Giroscopio con rotación propia en equilibrio dinámico.

equilibrio estable Esto indica que el momento angular (321 'e'e'eOH

r) respecto del punto de equilibrio O tiene únicamente una

componente constante, paralela al eje del giroscopio ( 3'e ) y a la velocidad angular del disco (321 'e'e'eω

r),

pudiendo el sistema permanecer en esta situación de forma estable (Fig. 9.6).

desequilibrio Si ahora se coloca una pequeña pesa en A, se produce una variación de la posición del c.d.m. (G) de forma que el sistema se desequilibra debido a su desplazamiento ( OGr −

r). Este desplazamiento genera un

momento en el punto de apoyo O ( OMr ) de magnitud constante y dirección perpendicular tanto al peso del

sistema como a la velocidad de rotación propia (ϕ& ), por lo que el giroscopio pierde la estabilidad anterior (Fig. 9.7).

Eje del giróscopo

Giróscopo

Contrapeso ψ&

ϕ&

O H r ϕ& O

Pesa

A

G

OMr

Peso

1'e

OGr −

r

2'e

3'e

Fig. 9.7 – Comportamiento de un giroscopio de laboratorio desequilibrado.


- 68/105 -

Concepto clave Si el momento de las fuerzas exteriores del giroscopio ( OMr

) respecto del punto de equilibrio (O) no es nulo, el sistema no es estáticamente estable.

variación del momento angular

A partir de la ecuación de equilibrio dinámico se tiene

dtMHddtHd

HM OOO

OO

rrr

&rr=⇒==

luego el momento de las fuerzas exteriores en O ( OMr

) hace variar el momento angular respecto de dicho

punto ( OHdr

).

Como el momento de las fuerzas exteriores ( OMr

) está contenido en el plano paralelo al terreno, la

variación del momento angular respecto del punto O ( OHdr

) está también en dicho plano, tal como se indica en la Fig. 9.8.

dt M Hd Or r

=

OHr

OO HdHrr

+

O

ψ&

θ

MrO

O

Fig. 9.8 – Variación de un momento angular debido a un momento de las fuerzas exteriores.

El efecto generado por el momento de las fuerzas exteriores ( OMr

) es una variación del momento angular

( OHr

) en la misma dirección que el momento las fuerzas exteriores ( OMr

) y que, tal como se ha visto en la precesión estacionaria con ángulo de nutación (θ ) de 90º, corresponde a la aparición de una velocidad de precesión (ψ& ) en sentido perpendicular al plano definido por el momento de las fuerzas exteriores y el momento angular

31 'e'eO IM ϕψ &&r

=∑

Concepto clave

El momento de las fuerzas exteriores ( OMr

) genera una variación del momento angular

( OHr

) en la dirección del momento, y la aparición de una velocidad de precesión (ψ& ) en el sentido perpendicular al plano generado por el momento de las fuerzas exteriores y el momento angular.

estabilidad Un efecto giroscópico importante es que la dirección del eje de rotación propia (e’3) cuando esta velocidad (ϕ& ) es elevada tiende a mantenerse estable.

Concepto clave Cuando la velocidad de rotación propia (ϕ& ) es elevada, un giroscopio opone resistencia a la variación de su dirección.


- 69/105 -

aplicación en aviones Este efecto se utiliza para guiar aviones sin referencia con el terreno y sin el uso de brújulas (por ejemplo cuando sobrevuelan los polos, situación en la que las brújulas magnéticas pierden su utilidad). Para ello se utilizan giroscopios mecánicos, de forma que si el anillo más exterior del giroscopio está unido al chasis del avión y éste cambia su dirección, el eje de rotación propia del giroscopio no modifica su orientación, y el movimiento relativo entre el anillo exterior y el eje de rotación propia permite detectar su variación.

1'xM

1'kr

&ϕ

kr

&ψ

θ

kr

&ψ

1'kr

&ϕ

W

G

OMr

O

Fig. 9.9 – Efectos giroscópicos sobre un motociclista.

aplicación en vehículos de dos ruedas

Otro efecto giroscópico sobradamente experimentado es la estabilidad de los vehículos de dos ruedas en movimiento, lo que facilita, junto con la fuerza centrífuga, que un motorista o ciclista puedan mantenerse en equilibrio, a diferencia de lo que ocurre cuando están parados. En este caso son las ruedas del vehículo las que actúan como giroscopios estabilizadores (Fig. 9.9).

Concepto clave La estabilidad giroscópica se manifiesta en el equilibrio dinámico en el movimiento de los vehículos de dos ruedas.

Para que un vehículo de dos ruedas tome una curva a alta velocidad es necesario generar un momento ( OMr

) en sentido perpendicular al eje de rotación propia (ϕ& ) de las ruedas (creado por el peso del vehículo y del piloto cuando se inclinan) por lo que aunque estáticamente el piloto se encuentra completamente desequilibrado (efecto que se puede apreciar al analizar una imagen instantánea del movimiento), dinámicamente el equilibrio existe y el piloto no se cae.

Al inclinarse y generar con el peso un momento ( OMr

) respecto del punto de contacto con el asfalto (O) el piloto provoca la aparición de una velocidad de precesión (ψ& ) que le permite girar respecto de un eje

vertical y trazar una curva. Cuanto más se inclina el vehículo, mayor es el momento ( OMr

) producido por el peso y más elevada es la velocidad de precesión (ψ& ), lo que le permite tomar más rápidamente la curva.

La inclinación del piloto se podrá aumentar siempre que la componente normal del peso en los puntos de contacto entre los neumáticos y el asfalto (O) sea suficiente como para que la fuerza de rozamiento generada evite el deslizamiento de los neumáticos, o el momento generado por el peso supere el equilibrio dinámico debido a la rotación de los neumáticos.

9.1.1. Precesión lenta y rápida. Velocidad mínima de rotación propia.

En el caso de un giróscopo con precesión estacionaria y ángulo de nutación (θ ) arbitrario, estudiado en una base principal de inercia con movimiento de precesión y nutación ( 321 'e'e'e ), la expresión del equilibrio dinámico es


- 70/105 -

( )[ ] ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −+=∑

00

cossenIsencosIM

23

321

'e'e

'e'e'eG

θψθψθψϕθψ &&&&&r

o bien, aislando la única componente distinta de cero

( )[ ] ( )[ ] θψθψθψϕθψ cossenIsencosIM231 'e'e'eG

&&&&& −+=∑

expresión que puesta en función de la velocidad de precesión (ψ& ) queda

( ) 0MsenIcossenII1323 'eG'e'e'e

2 =−+− ∑θϕψθθψ &&&

y dividiendo por el coeficiente que multiplica a la precesión al cuadrado

( ) ( ) 0cossenII

M

cosIII

23

1

23

3

'e'e

'eG

'e'e

'e2 =−

−−

+∑

θθψ

θ

ϕψ

&

&&

velocidad de precesión fórmula cuadrática a partir de la que se pueden obtener dos velocidades de precesión

( ) ( ) ( )2

cossenII

M4

cosIII

cosIII

23

1

23

3

23

3

'e'e

'eG2

'e'e

'e

'e'e

'e

θθθ

ϕ

θ

ϕ

ψ −

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−±

−−

=

∑&&

&

o simplificando

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) θ

ϕ

θ

ϕ

θθ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

ψ

cosIII

2

cosIII

cossenII

M

4

cosIII

cosIII

cosIII

cosIII

23

3

23

3

23

1

23

3

23

3

23

3

23

3

'e'e

'e

2

'e'e

'e

'e'e

'eG

2

'e'e

'e

2

'e'e

'e

'e'e

'e

'e'e

'e

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−±

−

−−

=

∑

&

&&

&

&

&

&

( )( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −+±−

−=

∑22

'e

'e'e'eG

'e'e

'e

3

231

23

3

Isen

cosIIM411

cosII2I

ϕθ

θ

θ

ϕψ

&

&&

expresión con la que se obtendrán dos valores. Al menor se le denomina precesión lenta y al mayor precesión rápida.

Concepto clave La precesión estacionaria se puede producir con velocidad de precesión (ψ& ) lenta o rápida.

velocidad mínima de rotación propia

Para que estos valores sean reales el término dentro del radical ha de ser positivo, luego


- 71/105 -

( ) ( )22

'e

'e'e'eG22

'e

'e'e'eG

3

231

3

231

Isen

cosIIM410

Isen

cosIIM41

ϕθ

θ

ϕθ

θ&&

−−>⇒>

−+

∑∑

y la condición que ha de cumplir la velocidad mínima de rotación propia ( minϕ& ) para que las velocidades de precesión (ψ& ) con un ángulo de nutación conocido (θ ) sean reales es

( )2'e

'e'e'eG2min

3

231

Itg

IIM4

θϕ

−−>

∑&

Concepto clave Para que la precesión estacionaria tenga velocidades de precesión (ψ& ) reales, la velocidad de rotación propia del giroscopio ha de ser superior a la mínima ( minϕ& ).

Ejemplo 9.3: Un disco homogéneo de masa m=10 kg. y radio R=10 cm. gira con los parámetros de Euler definidos en la tabla

e’3 G

e’2

e’1

( ) 0s/rad15

004

0?2

==

===

==

ϕϕϕ

θθπθ

ψψπψ

&&&

&&&

&&&

y con un momento respecto del eje e’1 de magnitud ( )mN6M1'eG =∑

r. Determinar 1) Las velocidades

de precesión estacionaria lenta y rápida. 2) La velocidad mínima de rotación propia para que la velocidad de precesión sea real.

El ejemplo corresponde a una precesión estacionaria con nutación a 45º por lo que partiendo de la expresión del momento respecto del c.d.m. en base con movimiento de precesión y nutación

( )[ ] ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −+=∑

00

cossenIsencosIM

23

321

'e'e

'e'e'eG

θψθψθψϕθψ &&&&&r

se obtienen las velocidades de precesión lenta y rápida

( )( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+±−

−=

∑22

'e

'e'e'eG

'e'e

'e

3

231

23

3

Isen

cosIIM411

cosII2I

ϕθ

θ

θϕ

ψ&

r&

&

El estudio se va ha hacer sobre un sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación Ge’1e’2e’3 de forma que el tensor de inercia másico respecto del c.d.m. no varíe.

Los momento de inercia respecto de los ejes e’2 y e’3 del c.d.m. del disco son

( )222'e mkg025,01,010

41mR

41I

G2=⋅==

( )222'e mkg05,01,010

21mR

21I

G3=⋅==

Luego las velocidades de precesión son lenta y rápida son


- 72/105 -

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )⎩⎨⎧−

=±−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅−

+±−−

⋅=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+±−

−=

∑

s/rad7,51s/rad28,9

066,2121,211505,0 45sen

45 cos 025,005,0641145 cos 025,005,02

1505,0

Isen

cosIIM411

cosII2I

22

22'e

'e'e'eG

'e'e

'e

3

231

23

3

ϕθ

θ

θϕ

ψ&

r&

&

La condición de velocidad de rotación propia mínima para que las velocidades de precesión lenta y rápida sean reales es que el radical anterior sea positivo

( )0

Isen

cosIIM41 22

'e

'e'e'eG

3

231 >−

+∑

ϕθ

θ&

r

lo que lleva a una expresión

( )2'e

'e'e'eG2mi

3

231

Itg

IIM4

θϕ

−−>

∑r

&

luego sustituyendo valores

( ) ( ) 24005,0 45tg 025,005,064

Itg

IIM4 22

'e

'e'e'eG2min

3

231 −=−

−>−

−>∑

θϕ

r

&

como en este caso todos los términos a la derecha de la desigualdad son positivos, cualquier velocidad de rotación propia cumple con ella y existirán siempre esas velocidades de precesión.

9.1.2. Influencia de la geometría en el movimiento de un sólido de revolución con precesión

estacionaria y momento de las fuerzas exteriores nulo.

En la expresión

[ ] { }[ ] { }

43421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111

111

T

'z'y'xG'z'y'x

eT


⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

es evidente la influencia de la geometría en el equilibrio dinámico del sólido, expresada a través del tensor de inercia másico en el centro de gravedad ( [ ]GT ), sin embargo se va a aplicar a casos simplificados en los que se refleje de forma clara.

Para ello se estudia el movimiento de precesión estacionaria en un sólido con simetría másica respecto de un eje cuando la resultante de momentos de las fuerzas exteriores ( ∑ GM

r) respecto del c.d.m. (G) es nula.

Este caso aparece en aeronaves (considerando el efecto de la resistencia del aire despreciable), satélites artificiales y vehículos espaciales.

influencia de la geometría en el

movimiento

Si se considera un sólido con simetría másica respecto del eje ( 3'e ) en el que se produce el movimiento de rotación propia (ϕ& ) de forma que

21 'e'e II = , que gira con precesión estacionaria, y el estudio se realiza respecto de un sistema de referencia principal de inercia con movimiento de precesión y nutación ( 321 'e'e'e ), y se denominan α y γ los ángulos constantes que forman el momento angular y la velocidad

angular del sólido ( GHr

, ωr

) respectivamente con el eje de simetría ( 3'e , Fig. 9.10), siendo GH el módulo

del momento angular del sólido respecto del c.d.m. (G), la velocidad angular del sólido (ωr

), tal como se indicó anteriormente, es


- 73/105 -

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ϕθψ

θψωωω

&&

&r

cossen00

3

2321

'e

'e'e'e'e

y las componentes del momento angular respecto del c.d.m. (321 'e'e'eGH

r) son

[ ] { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

33

22

3

2

3

2

1

3213'e2'e1'e321

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e'e'eG'e'e'eG

II

00

I000I000I

TH

ωω

ωωω

r

x=x1=x’1=e’1

y=y1

z=z

y’1 =e’2

z’1=e’3 ωr

GHr

γ

α

Fig. 9.10 – Ángulos de la velocidad angular del sólido y el momento angular del c.d.m.

respecto del eje de simetría axil.

Estas componentes también se pueden poner en función del módulo del momento angular ( GH ) y del ángulo (α) que forman dicho momento y el eje de simetría ( 3'e )

αα

cosHHsenHH0H

G'eG

G'eG

'eG

3

2

1

==

=

luego identificando las componentes

333

222

1

e'e'Ge'G

e'e'Ge'G

e'G

Iωαcos HH Iω senαHH

0H

====

=

El ángulo que forma la velocidad angular del sólido (321 'e'e'eω ) con el eje de simetría ( 1'z ) γ se puede poner

en función de las componentes de la velocidad angular

3

2

'e

'etgωω

γ =

por lo que dividiendo las componentes 2'e y 3'e del momento angular (321 'e'e'eGH

r) se obtiene

relación entre velocidad angular, momento

angular y geometría del sólido

3

2

3

2

3

2

3'e

2'e

333'e

222'e

'e

'e

'e

'e

'e

'e

G

G

'e'eGG

'e'eGG

II

tgII

H

Htg Iωαcos HH

Iω senαHHγ

ωω

α ===⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

====

expresión que relaciona los ángulos que forman la velocidad angular (γ ) y el momento angular (α ) respecto del eje de simetría ( 3'e ) con las características geometrías del sólido (

32 'e'e I,I ).


- 74/105 -

Concepto clave

Si el momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas es nulo, existe una relación directa entre las componentes del momento angular respecto del centro de masas (

321 'e'e'eGHr

), la velocidad angular del sólido (321 'e'e'eω ) y su geometría (

32 'e'e I,I ).

9.1.2.1. Aplicación a casos particulares.

1- Sólido que gira solo sobre su eje de simetría ( 3'e ).

GHr

y=y1

z=z1

1.

1'z 'krrr

ϕωω ==

x=x1=x’1=e’1

y’1 =e’2

z’1=e’3

Fig. 9.11 – Sólido que gira respecto de su eje de simetría.

En este caso la velocidad angular del sólido (321 'e'e'eGω

r) solo tiene componente según el eje de

simetría ( 3'e , Fig. 9.11), por lo que a partir de expresar las velocidades en la base con movimiento de precesión y nutación en función de los parámetros de Euler, se deduce que la velocidad de precesión es nula

0

cos

sen

0

0

0

3

2

1

3

2

1

'e

'e

'e

'e

'e

'e

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

=

=

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

=

ψ

ϕθψω

θψω

ω

ϕω

ω

ω&

&&

&

&

y las componentes del momento angular (321 'e'e'eGH

r) son

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

=

3333

222

1

'e'e'e'eG

'e'e'eG

'eG

IIH

0IH

0H

ϕω

ω

&

con lo que los vectores velocidad angular (321 'e'e'eGω

r) y momento angular del sólido (

321 'e'e'eGHr

)

tienen ambos la dirección del eje de simetría ( 3'e ). Este caso ya se había analizado, y corresponde a

una velocidad angular (321 'e'e'eGω

r) sobre un eje principal de inercia ( 3'e ), por lo que al sólido tiene

un momento angular (321 'e'e'eGH

r) colineal.


- 75/105 -

2- El sólido gira solo respecto de un eje perpendicular al de simetría ( 2'e ).

x=x1=x’=e’1

y=y1

z=z1= y’1=e’2

z’1=e’3

GHr

γ α

k

1'y

r&

rψωω ==

Fig. 9.12 – Sólido que gira respecto de un eje perpendicular al de simetría.

En este caso la componente 3'e de la velocidad angular del sólido (321 'e'e'eGω

r) es nula y el ángulo de

nutación es 2/πθ = (Fig. 9.12), por lo que

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

=

=

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

=

2

0

cos

sen

0

0

0

3

2

1

3

2

1

'e

'e

'e

'e

'e

'e

πθ

ϕ

ϕθψω

θψω

ω

ω

ψω

ω &

&&

&&

y las componentes del momento angular (321 'e'e'eGH

r) vienen expresadas por

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

=

0IH

IIH

0H

333

2222

1

'e'e'eG

'e'e'e'eG

'eG

ω

ψω &

con lo que los vectores velocidad angular (321 'e'e'eGω

r) y momento angular del sólido (

321 'e'e'eGHr

)

tienen la orientación del eje 2'e . Vuelve a ser el caso en el que la velocidad angular (321 'e'e'eGω

r) está

situada sobre un eje principal de inercia ( 2'e ), por lo que al sólido le corresponde un momento

angular (321 'e'e'eGH

r) colineal.

3- El sólido gira respecto de un eje que no es principal de inercia.

Si se considera el caso general en el que la velocidad angular del sólido (321 'e'e'eGω

r) no se encuentra

sobre ninguno de los ejes principales de la base con movimiento de precesión y nutación ( 321 'e'e'e , Fig. 9.13) se cumple la expresión

3

2

'e

'e

II

tgtg γα =


- 76/105 -

k. r

ψ

1

.'kr

ϕ

1'yω

1'zω

y=y1

ωr

γ

α GHr

z= z1

x=x1=x’1=e’1

y’1 =e’2

z’1=e’3

Fig. 9.13 – Sólido que gira respecto de un eje arbitrario.

La representación del movimiento mediante axoides permite determinar claramente la influencia de la geometría en el movimiento del sólido.

En este tipo de movimiento, ambos axoides son conos de base circular, siendo el eje en el que se sitúa la velocidad angular del sólido (

321 'e'e'eGωr

) la arista de contacto.

El eje de simetría del cono, correspondiente al axoide fijo, es la dirección del momento angular (

321 'e'e'eGHr

), ya que se mantiene invariable en el espacio, mientras que el eje de simetría del cono

correspondiente al axoide móvil es la velocidad de rotación propia ( 3'e ), que coincide con el eje de simetría del sólido.

Concepto clave

En la representación de movimiento de un sólido mediante axoides, el eje de simetría del cono correspondiente al axoide fijo es la dirección del momento angular (

321 'e'e'eGHr

),

mientras que el eje de simetría del cono correspondiente al axoide móvil es la velocidad de rotación propia (ϕ& ), que coincide con el eje de simetría del sólido ( 3'e ).

En función de la geometría que presente el sólido se pueden tener dos posibles tipos de movimiento:

1- Sólido alargado (32 'e'e II > ).

En este caso el momento de inercia respecto del eje perpendicular al de simetría (2'eI ) es mayor

que el del eje de simetría (3'eI ), por lo que

1II

II3

2

32'e

'e'e'e >⇒>

luego aplicando la expresión que relaciona los ángulos que forman la velocidad angular (γ ) y el momento angular (α ) respecto del eje de simetría ( 3'e ) con las características geometrías del sólido (

2'eI , 3'eI ) se tiene

γαγαγα >⇒>⇒= tgtgII

tgtg3

2

'e

'e

con lo que el ángulo (α) que sitúa el momento angular ( GHr

) es mayor que el ángulo (γ) que sitúa la velocidad angular del sólido ( Gω

r, Fig. 9.14) y los axoides son externos entre sí.


- 77/105 -

ψ& ϕ&

1'yω

1'zω

y=y1

ωr

γ α

Axoide fijo

Axoide móvil

GHr

z= z1

x=x1=x’1=e’1

y’1 =e’2

z’1=e’3

Fig. 9.14 – Axoides para el caso de sólido alargado.

Concepto clave

En la representación de movimiento de un sólido alargado con movimiento de precesión estacionaria y momento nulo respecto del centro de masas mediante axoides, estos son tangentes externos y las velocidades de rotación propia (ϕ& ) y precesión (ψ& ) antihorarias. En este caso se dice que la precesión es directa.

2- Sólido achatado (32 'e'e II < ).

En este caso el momento de inercia respecto del eje perpendicular al de simetría (2'eI ) es menor

que el correspondiente al eje de simetría (3'eI ), por lo que

1II

II3

2

32'e

'e'e'e <⇒<

luego aplicando la expresión que relaciona los ángulos que forman la velocidad angular (γ ) y el momento angular (α ) respecto del eje de simetría ( 3'e ) con las características geometrías del sólido (

2'eI , 3'eI ) se tiene

γαγαγα <⇒<⇒= tgtgII

tgtg3

2

'e

'e


) es menor que el ángulo (γ) que sitúa la velocidad angular del sólido ( Gω

r, Fig. 9.15) y el axoide fijo es interior al axoide móvil.

k. r

ψ

1

.'kr

ϕ

1'yω

1'zω y=y1

z=z1

ωr

γ

α

Axoide fijo

Axoide móvil x=x1=x’1=e’1

y’1 =e’2

z’1=e’3

GHr

Fig. 9.15 – Axoides para el caso de sólido achatado.


- 78/105 -

Concepto clave En la representación de movimiento de un sólido acharado mediante axoides, los axoides son tangentes internos estando el axoide fijo en el interior del axoide móvil. En este caso se dice que la precesión es inversa.

Ejemplo 9.4: Si un disco homogéneo de masa m=10 kg. y radio R=10 cm. tiene momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas nulo, determinar si el axoide fijo es interior o exterior al móvil.

El ejemplo corresponde a una precesión estacionaria por lo que habrá que utilizar la expresión

3

2

'e

'e

II

tgtg γα =

en la que es necesario conocer la relación entre momentos de inercia. En este caso los momentos de inercia respecto del c.d.m. del disco son

( )222'e mkg025,01,010

41mR

41I

2=⋅== ( )222

'e mkg05,01,01021mR

21I

3=⋅==

luego

15,005,0

025,0II

3

2

'e

'e <==

que corresponde a un sólido achatado

1II

II3

2

32'e

'e'e'e <⇒<

por lo que se tiene que


tgtg3

2

'e

'e


) es menor que el ángulo (γ) que sitúa la velocidad angular del sólido ( Gω

r) y el axoide fijo es interior al axoide móvil.

k. r

ψ

1

.'kr

ϕ

1'yω

1'zω y=y1

z=z1

ωr

γ

α

Axoide fijo

Axoide móvil x=x1=x’1=e’1

y’1 =e’2

z’1=e’3

GHr


- 79/105 -

9.1.3. Movimiento de un sólido de revolución con precesión estacionaria y momento de las fuerzas

exteriores nulo (modelo de Poinsot).

momento angular constante y recta

invariante

Se analiza el caso de un sólido afectado por un movimiento de precesión estacionaria en el que el momento de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. es nulo. En este caso el momento angular del sólido respecto del c.d.m. ( GH

r) es constante (tanto en módulo como en dirección)

cteH0HM GGG =⇒==∑rr&rr

velocidad angular constante respecto de

321 'e'e'e

Al mismo tiempo, la velocidad angular respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación en base principal de inercia (

321 'e'e'eωr

) de expresión

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

ϕθψθψω&&

&r

cossen0

321 'e'e'e

velocidad angular variable respecto de un

sistema de referencia con movimiento de

traslación

también es constante, aunque dicha velocidad no lo es respecto de un sistema de referencia solidario al c.d.m. y con movimiento de traslación, debido a la variación del ángulo de precesión (ψ ).

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=θϕψ

θψϕψθθψϕψθ

ω

cossencossensensencos

xyz&&

&&

&&r

energía cinética de rotación constante

La energía cinética de rotación se ha definido respecto de una referencia solidaria al c.d.m. del sólido con movimiento de traslación (Gxyz) mediante la expresión

{ } { } ( )yzzyxzzxxyyxz2zy

2yx

2xG

trc I2I2I2III

21H

21E ωωωωωωωωωω −−−++=⋅=

por lo que aplicada al caso de precesión estacionaria en ejes no giratorios principal de inercia, en la que se cumple que los centrífugos son nulos ( 0III yzxzxy === ), es

( )332211 e

2ee

2ee

2e

r.princbase,c III

21E ωωω ++=

y como la velocidad angular en ese sistema de referencia en el que los ejes no giran, equivalente al fijo de Euler, puesta en función de sus parámetros es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=

θϕψθψϕθψϕ

ω

θ

θϕψθψϕψθθψϕψθ

ω

cossencossensen

0

cossencossensensencos

.est.prec,eeeeee

321

321

&&

&

&r

&

&&

&&

&&r

la energía cinética queda

( ) ( ) ( )[ ]321 e

2e

2e

2r.princbase,c IcosIsencosIsensen

21E θϕψθψϕθψϕ &&&& +++=

sólido de revolución como esta expresión se aplica a un sólido de revolución respecto del eje 3er

(21 ee II = ), se tiene


- 80/105 -

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] cteIcosIsen

21

IcosIsencossensen21E

32

32

e2

e22

e2

e22r

.princbase,c

=++=

=+++=

θϕψθϕ

θϕψθψϕθψϕ

&&&

&&&&

que demuestra que la energía cinética debido al efecto de rotación del sólido ( rcE ) es constante.

Concepto clave Si el momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas es nulo, el momento angular, el módulo de la velocidad angular y la energía cinética de rotación son constantes.

proyección de la velocidad angular del

sólido sobre el momento angular

constante

A partir de lo anterior se comprueba que la proyección de la velocidad angular del sólido (ωr

) sobre el momento angular respecto del c.d.m. ( GH

r) también es constante (Fig. 9.16)

{ } { } { } { } cteHcteH21E G

tG

trc =⋅⇒=⋅= ωω

Lo que solo es posible si el módulo de la velocidad angular (ω) es constante

x

kr

&ψ 1'Zω

y

=e’3

GHr

z= z1

1'kr

&ϕ

G

x1=x’1=e’1

y1

y’1=e’2

1'yω

ωr

Plano invariante

Recta invariante

Fig. 9.16 – Proyección de la velocidad angular del sólido sobre el momento angular.

Recta y plano invariante.

unitario asociado a la dirección de la

velocidad angular

Como ya se ha indicado, la energía cinética de rotación ( rcE ) es constante, aunque la velocidad angular del

sólido (ωr

) respecto de un sistema fijo no lo es, por lo que, como el momento angular y el módulo de la

velocidad angular ( ω,HG

r) son constantes lo único que varía es la dirección de la velocidad angular del

sólido ( ωer

).

velocidad angular perpendicular al

momento angular

Se demuestra entonces que la variación de la dirección de la velocidad del sólido ( ωedr

) es perpendicular

al momento angular ( GHr

)

{ } { } { } { } { } { }Gt

Gtr

crc

Gtr

c Hd21Hd

21dE

0dE

cteH21E

⋅+⋅=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=⋅=ωω

ω

y como el momento angular ( GHr

) y el módulo de la velocidad angular (ω ) son constantes


- 81/105 -

{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }GG

trcG

Gt

Gtr

c

Hed0Hed21dE

ctee

cteH

Hd21Hd

21dE

⊥⇒=⋅=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

≠=

=

⋅+⋅=

ωω

ω

ω

ωω

ωωrr

rr

plano invariante Como la velocidad angular del sólido (ωr

) gira respecto del eje fijo asociado al momento angular ( GHr

) y su variación es perpendicular al momento angular, el extremo del vector velocidad angular ha de estar situado sobre un plano fijo perpendicular al momento angular ( GH

r), denominado plano invariante, tal

como se representa en la figura Fig. 9.16.

Concepto clave Si el momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas en un sólido de simetría axial con precesión estacionaria es nulo, la velocidad del sólido puede variar siempre que sea en dirección perpendicular al momento angular.

elipsoide de Poinsot El desarrollo de la proyección de la velocidad angular del sólido (ωr

) sobre el momento angular respecto del c.d.m. ( GH

r) en base principal de inercia corresponde al doble de la energía cinética del sólido debido

al movimiento de rotación ( rcE )

{ } { } { } { } { } ( )332211

33

22

11

321 'e2'e'e

2'e'e

2'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e'e'eGtr

cGtr

c III

I

I

I

HE2H21E ωωω

ω

ω

ω

ωωωωω ++=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=⋅=⇒⋅=

expresión que también se puede poner

( ) 1

IE2

IE2

IE2

'FIIIE2

3

3

2

2

1

1

332211

'e

rc

2'e

'e

rc

2'e

'e

rc

2'e

'e2'e'e

2'e'e

2'e

rc −++=⇒++=

ωωωωωω

que corresponde a un elipsoide denominado de Poinsot (Fig. 9.17) que tiene de semiejes

321 'e

rc

'e

rc

'e

rc

IE2

IE2

IE2

3'e

GHr

G

ωr

Plano invariante

Recta invariante

Elipsoide de Poinsot

kr

&ψ 3eω

e’1

e’2

2eω

1'kr

&ϕ

u

Fig. 9.17 – Elipsoide de Poinsot.


- 82/105 -

elipsoide de inercia Recordando las características geométricas de un sólido, la expresión del elipsoide de inercia (Fig. 9.18) es

1

I1'e

I1'e

I1'e1'eI'eI'eI

321

321

'e

23

'e

22

'e

212

3'e22'e

21'e =++⇒=++

de semiejes

321 'e'e'e I1

I1

I1

por lo que se comprueba que el elipsoide de inercia es proporcional al de Poinsot. Esto lleva a que el análisis realizado a continuación sea válido para cualquiera de los dos elipsoides.

3'e

GHr

G

ωr

Plano invariante

Recta invariante

Elipsoide de Poinsot

kr

&ψ 3eω

e’1

e’2

2eω

1'kr

&ϕ

Elipsoide de inercia

Plano invariante

M

Fig. 9.18 – Elipsoide de inercia.

coordenadas del polo M Las coordenadas del polo M, punto de intersección del elipsoide de inercia con el vector velocidad angular (ωr

), en función de la distancia desconocida GM, vienen definidas por

1'e1lGMM 'e ω=

2'e2mGMM 'e ω=

3'e3nGMM 'e ω=

en la que las componente unitarias viene definidas mediante

ω

ω

ω

ω

ω

ωωωω

3

3'e

2

2'e

1

1'e

'e'e'e nml ===

La distancia GM se obtiene a partir de la condición de que el polo M ha de pertenecer al elipsoide de inercia, luego

( ) ( ) 1nGMImGMIlGMI

nGMM

mGMM

lGMM

1'eI'eI'eI

2

'e2

'e2

'e

'e

'e

'e

23'e

22'e

21'e

3'e32'e21'e1

3'e3

2'e2

1'e1

321

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛++⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

=++

ωωω

ω

ω

ω

o bien


- 83/105 -

22

'e2

'e2

'eGM

1nImIlI3'e32'e21'e1

=++ ωωω

el término a la izquierda de la igualdad corresponde al momento de inercia del sólido (ωeI ) respecto de la

dirección de la velocidad angular ( ωer

), definido mediante

[ ]{ }[ ] { } 2'e

2'e

2'e

'e

'e

'e

e 3'e32'e21'e1

3'e

2'e

1'e

3'e

2'e

1'e

3

2

1

nImIlI

n

m

l

n

m

l

I000I000I

eeTI ωωω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωωω++=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⋅=rr

luego

ω

ω

ω

ωωω

ωωω

e2e

22

'e2

'e2

'e

2'e

2'e

2'ee

I1GM

GM1I

GM1nImIlI

nImIlII

3'e32'e21'e1

3'e32'e21'e1

=⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++

++=

o bien, en función de la energía cinética de rotación ( rcE )

( )rc2

ee2ee

2ee

rc

2ee

2ee

2ee

2'e

2'e

2'ee

E2GM

III21E

IIInImIlI

1I1GM

332211

3322113'e32'e21'e1ω

ωωω

ωωω

ω

ωωωω =⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

++=

++=

++==

por lo que las componentes del polo M son

rc

'e'e'e

E2GMM 11

1

ωω

ω==

rc

'e'e'e

E2GMM 22

2

ωω

ω==

rc

'e'e'e

E2GMM 33

3

ωω

ω==

gradiente del elipsoide por el polo M

Si se considera la función asociada al elipsoide de inercia

1'eI'eI'eIF 23'e

22'e

21'e 321

−++=

la variación respecto de las componentes 321 'ey'e,'e es

( ) 1'e23'e

22'e

21'e

11

'eI21'eI'eI'eI'e'e

F1321

=−++∂

∂=

∂

∂ 2'e2

'eI2'eF

2=

∂

∂ 3'e3

'eI2'eF

3=

∂

∂

correspondientes a las componentes del gradiente de F, normal al elipsoide en cada punto

( ) 33'e22'e11'e33

22

11

321 'e'eI2'e'eI2'e'eI2'e'eF'e

'eF'e

'eF'e,'e,'eFgrad

321

rrrrrr++=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

→

que aplicado al polo M, intersección de la velocidad angular con el elipsoide de inercia, se obtiene la normal al elipsoide por dicho punto

( ) 3rc

'e'e2r

c

'e'e1r

c

'e'e3

32

21

1'e'e'e 'e

E2I2'e

E2I2'e

E2I2'e

'eF'e

'eF'e

'eFM,M,MFgrad 3

3

2

2

1

1321

rrrrrr ωωω++=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

→

gradiente por el polo paralelo al momento

angular

Como el momento angular respecto del c.d.m. ( GHr

) es


- 84/105 -

3'e'e2'e'e1'e'eG 'eI'eI'eIH332211

rrrrωωω ++=

se comprueba que el gradiente al elipsoide de inercia por el polo y el momento angular son paralelos.

ecuación del plano invariante

La ecuación del plano invariante, cuya dirección normal es el gradiente por el polo M, se puede expresar mediante

0D'eC'eB'eA 321 =+++

donde A, B y C son las componentes de la normal al plano y 321 'e,'e,'e las componentes del sistema de referencia de estudio.

Sustituyendo las componentes de la normal por las del gradiente del elipsoide de inercia por el polo M queda

0D'eE2

I2'e

E2

I2'e

E2

I23r

c

'e'e2r

c

'e'e1r

c

'e'e 332211 =+++ωωω

sustituyendo las componentes 321 'e,'e,'e por las correspondientes al polo (M) se obtiene el parámetro D

0DE2E2

I2

E2E2

I2

E2E2

I2

E2M

E2M

E2M

0D'eE2

I2'e

E2

I2'e

E2

I2

rc

'e

rc

'e'e

rc

'e

rc

'e'e

rc

'e

rc

'e'e

rc

'e'e

rc

'e'e

rc

'e'e

3rc

'e'e2r

c

'e'e1r

c

'e'e

333222111

3

3

22

11

332211

=+++

⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

=+++

ωωωωωω

ω

ω

ω

ωωω

y simplificando

( )2'e'e

2'e'e

2'e'er

crc

2'e'e

rc

2'e'e

rc

2'e'e

332211

332211 IIIE1D0D

E2

I2

E2

I2

E2

I2ωωω

ωωω++−=⇒=+++

y como la energía cinética de rotación es

( )2'e'e

2'e'e

2'e'e

rc 332211

III21E ωωω ++=

el parámetro D queda

( )

( )2D

III21E

IIIE1D

2'e'e

2'e'e

2'e'e

rc

2'e'e

2'e'e

2'e'er

c

332211

332211

−=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++=

++−=

ωωω

ωωω

con lo que la ecuación del plano es

0E2'eI'eI'eI02'eE2

I2'e

E2

I2'e

E2

I2rc3'e'e2'e'e1'e'e3r

c

'e'e2r

c

'e'e1r

c

'e'e332211

332211 =−++⇒=−++ ωωωωωω


- 85/105 -

distancia del plano invariante al c.d.m.

La distancia del plano invariante al origen del sistema de referencia situado en el c.d.m. del sólido se obtiene dividiendo la ecuación del plano por el módulo de las componentes normal al plano

222321

CBA

D'eC'eB'eAd++

+++=

mientras que las componentes unitarias del vector normal sustituidas en el plano invariante son

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

rc

222

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

'e'e

222

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

'e'e

222

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

'e'e

222

332211

332211

33

332211

22

332211

11

III

E2

CBA

D

III

I

CBA

C

III

I

CBA

B

III

I

CBA

A

ωωω

ωωω

ω

ωωω

ω

ωωω

ω

++

−=

++

++=

++

++=

++

++=

++

y la distancia es

222322222221222 CBA

D'eCBA

C'eCBA

B'eCBA

Ad++

+++

+++

+++

=

que aplicada en el origen del sistema de referencia 0'e'e'e 321 === , permite determinar la distancia

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

rc

222332211

III

E2

CBA

Ddωωω ++

=++

=

en la que el denominador es el módulo del momento angular respecto del c.d.m. en base principal de inercia

{ } 2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

2'eG3'e'e2'e'e1'e'eG 332211332211

IIIH'eI'eI'eIH ωωωωωω ++=⇒++=rrr

y la distancia al c.d.m. es

G

rc

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

2'e

rc

HE2

III

E2d

332211

=++

=ωωω

con lo que se comprueba que también permanece constante durante el movimiento.

modelo de Poinsot Con todas estas características, Poinsot genero un modelo en el que el movimiento del sólido es el mismo que el del elipsoide de inercia, que rueda sobre el plano invariante sin deslizar por su polo de contacto M, manteniendo constante la distancia (d) de su centro (G) al plano.

El movimiento del polo M genera dos curvas, una sobre el plano invariante denominada herpolhodia, y la otra sobre el elipsoide de inercia denominada polhodia.

ecuación de la polhodia La ecuación de la polhodia sobre el elipsoide de inercia se obtiene de la intersección del elipsoide de inercia

1'eI'eI'eI 23'e

22'e

21'e 321

=++

con la condición de que la distancia del polo M al plano invariante sea constante y positiva, que denominaremos 'G/1 (Fig. 9.19)


- 86/105 -

'GE2'eI'eI'eI

'G1d

'eI'eI'eI

E2d

rc

23

2'e

22

2'e

21

2'e

23

2'e

22

2'e

21

2'e

rc

321321 =++⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

++=

para simplificar, al término 'GE2 rc , relacionado con la energía cinética de rotación y la distancia del polo

M al plano invariante, se va a denominar G, luego la expresión anterior queda

G'eI'eI'eI 23

2'e

22

2'e

21

2'e 321

=++

y las ecuaciones que ha de cumplir la polhodia son las del elipsoide de inercia y las de la distancia del plano invariante al polo constante

G'eI'eI'eI

1'eI'eI'eI23

2'e

22

2'e

21

2'e

23'e

22'e

21'e

321

321

=++

=++

multiplicando la primera por G y restando las igualdades se tiene

( ) ( ) ( ) 0'eIGI'eIGI'eIGIG'eI'eI'eI

G'eIG'eIG'eIG23'e'e

22'e'e

21'e'e2

32'e

22

2'e

21

2'e

23'e

22'e

21'e

332211

321

321 =−+−+−⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=++

=++

ecuación del axoide móvil

expresión que representa un cono con vértice en el origen de referencia, correspondiente al axoide móvil del sólido.

e1

e2

e3

d

Fig. 9.19 – Elipsoide de inercia, polo, polhodia y herpolhodia.

9.1.3.1. Análisis del movimiento en función del axoide móvil.

Si se considera un sólido de revolución respecto del eje de rotación propia con movimiento de precesión estacionaria y momento de las fuerzas exteriores nula respecto del c.d.m. en el que la relación entre los momentos principales de inercia es

321 'e'e'e III <<

se puede analizar el movimiento del sólido a partir de las polhodias que aparecen sobre el elipsoide de inercia, y que dependerán de las características geométricas, y de la constante G.

Se pueden distinguir distintos casos:


- 87/105 -

1- La constante G es igual al momento de inercia intermedio 2'eIG = .

En este caso, la expresión del axoide móvil queda

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0'eIGI'eIGI0IG

0'eIGI'eIGI'eIGI 23'e'e

21'e'e

'e

23'e'e

22'e'e

21'e'e

3311

2

332211 =−+−⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=−+−+−

ecuación que representa dos planos que pasan por el eje e’2 y dividen a la superficie del elipsoide en cuatro zonas. El coeficiente que multiplica a 2

1'e ( )1'eIG − es positivo mientras el que multiplica a 2

3'e ( )3'eIG −

es negativo, por lo que la polhodia puede ser cualquiera de las dos elipses correspondientes a la intersección del elipsoide con los planos anteriores (Fig. 9.20).

e’1e’2

e’3

2'eIG =

2'eIG =

321 'e'e'e IGIIZona <<< 3'eIGPunto =

1'eIGPunto =

321 'e'e'e IIGIZona <<<

321 'e'e'e IGIIZona <<<

321 'e'e'e IIGIZona <<<

Fig. 9.20 – Polhodias.

2- La constante G está entre los valores 2'eI y

3'eI . 321 'e'e'e IGII <<<

En este caso son positivos los coeficientes de 21'e ( )

1'eIG − y 22'e ( )

2'eIG − , mientras que es negativo el de 23'e ( )

3'eIG − , lo cual corresponde a un cono cuya intersección con el elipsoide de inercia son curvas

cerradas que rodean al eje 3'e . Estas curvas degeneran en los vértices de 3'e cuando 3'eIG = .

3- La constante G está entre los valores 1'eI y

2'eI . 321 'e'e'e IIGI <<<

En este caso el único coeficiente positivo es el de 21'e ( )

1'eIG − , lo que indica que las polhodias son curvas

cerradas que rodean al eje 1'e , y que degeneran el los vértices de 1'e cuando 1'eIG = .


- 88/105 -

4- La constante G es igual al momento de inercia máximo 1'eI o mínimo

3'eI 1'eIG = o

3'eIG = .

En estos casos las polhodias degeneran en los vértices del elipsoide y corresponden a movimientos de pivotamiento de éste sobre el plano fijo. El sólido gira entonces alrededor de los ejes 1'e o 3'e , respectivamente.

Se observa además que si varían ligeramente las condiciones iniciales, se pasa de polhodias puntuales a curvas que rodean los vértices, por lo que el movimiento no variará mucho de la rotación del elipsoide respecto del eje, por lo que estas rotaciones son estables.

Al girar el sólido respecto del eje 2'e y variar su movimiento ligeramente, esta variación lleva a polhodias que rodean a los ejes 1'e o 3'e , con lo que se genera un movimiento que difiere mucho de la rotación respecto del eje 2'e , por lo que estas rotaciones son inestables.

ANEXO 1 Bibliografía

- 89/105 -

9.2. Análisis de estabilidad de un sólido con momento nulo ante una perturbación.


Obtener las ecuaciones de equilibrio dinámico en base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia en sistemas con momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas nulo.

Rectificar las ecuaciones de equilibrio dinámico en el caso en que aparezca una perturbación. Resolver ecuaciones diferenciales acopladas. Analizar el comportamiento del sistema en función del eje principal de inercia en el que se produce la

perturbación. Aplicar a casos de geometría sencilla.

estudio en base principal de inercia con

movimiento de precesión, nutación y

rotación propia

Se analiza la estabilidad del movimiento giroscópico a partir de las ecuaciones diferenciales que lo rigen. En este caso el estudio se realiza respecto de la base solidaria al sólido con movimiento de precesión, nutación y rotación propia ( 111 z''y''x'' ) de forma que las velocidades angulares del sólido y del sistema de referencia sean iguales y sobre ejes principales de inercia (se utilizará la notación 111 z''y''x'' , considerando estos ejes principales de inercia).

Cuando un sólido rígido gira respecto de uno de sus ejes principales de inercia ( 111 z''y''x'' ) el movimiento tiende a mantener su orientación, por lo que algunos autores les denominan ejes de rotación permanentes.

definición de movimiento estable

Se considera movimiento estable aquel que recupera por sí mismo su posición inicial o realiza oscilaciones respecto a dicha posición tras someter al sólido a una pequeña perturbación.

Concepto clave Movimiento estable es aquel que recupera por sí mismo su posición inicial o realiza oscilaciones respecto a dicha posición.

Si el sumatorio de los momentos de las fuerzas exteriores respecto del c.d.m. del sólido (∑ GMr

) es nulo,

el momento angular del sólido respecto de dicho punto ( GHr

) es constante

cteH0HM GG

.

G =⇒==∑rrrr

equilibrio dinámico luego a partir del equilibrio de momentos

[ ] { }[ ] { }

0HHHM

G

111111

G

111

111

T

''z''y''xG''z''y''x

eT

''z''y''xGGG''z''y''xG

r

43421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

=×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

ωω

Ω

velocidad angular del sólido y del sistema

en el que la velocidad angular del sólido (111 ''z''y''xω

r) y del sistema de referencia (

111 ''z''y''xΩr

) coinciden, y cuyas componentes son

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

==⇒++=θψϕ

ϕθϕθψϕθϕθψ

Ωωϕθψω

cos

sencossencossensen

'kik111111 ''z''y''x''z''y''x11

&&

&&

&&rrr

&r&

r&

r

derivadas de las componentes de la velocidad angular

mientras que la derivada de las componentes de la velocidad angular ( { }er

&ω ) se obtienen de dicha

velocidad (ωr

)


- 90/105 -

{ }⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−−−+−+++

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=θθψθψϕ

ϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψ

ωωω

ω

sencoscossensensencoscoscossensencoscossensencossensen

e

1

1

1

'z

'y

'x

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&

&

&r

&

Aunque por clarificar se han identificado las componentes de la velocidad angular del sólido y del sistema de referencia y su derivada respecto del tiempo ( e,,

r&

rrωΩω ) en función de los ángulos de Euler ( ϕθψ ,, ),

no se van a sustituir en los desarrollos posteriores.

Como se ha indicado se el tensor de inercia ( [ ]GT ) está asociado a la base principal, por lo que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

11

11

11

1

1

1

1

1

1

G1

G1

G1

''z''z

''y''y

''x''x

''z

''y

''x

''z

''y

''x

''z

''y

''x

III

I000I000I

H

H

H

ωωω

ω

ω

ω

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

11

11

11

1

1

1

1

1

1

G1

G1

G1

111 ''z''z

''y''y

''x''x

''z

''y

''x

''z

''y

''x

''z

''y

''x

''z''y''xGG

III

I000I000I

H

H

H

Hωωω

ω

ω

ω

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

==×

111111

111111

111111

1G11G1

1G11G1

1G11G1

G1G1G1

111111111

''y''x''x''x''y''y

''x''z''z''z''x''x

''z''y''y''y''z''z

''y''x''x''y

''x''z''z''x

''z''y''y''z

''z''y''x

''z''y''x

111

'z'y'xG''z''y''x

IIIIII

HHHHHH

HHH

'k'j'iH

ΩωΩωΩωΩωΩωΩω

ΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

rrr

rr

equilibrio dinámico y la expresión del equilibrio dinámico es

[ ] { }[ ] { }

0IIIIII

III

HHHM

111111

111111

111111

11

11

11

G

111111

G

111

111

''y''x''x''x''y''y

''x''z''z''z''x''x

''z''y''y''y''z''z

''z''z

''y''y

''x''x

T

''z''y''xG''z''y''x

eT

''z''y''xGGG''z''y''xG

r

&

&

&

43421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

ΩωΩωΩωΩωΩωΩω

ωωω

Ω

ωω

como la velocidad angular del sistema de referencia (111 ''z''y''xΩ

r) y del sólido (

111 ''z''y''xωr

) son iguales, la expresión anterior en componentes es

( )( )( ) 0IIIM

0IIIM

0IIIM

1111111

1111111

1111111

''y''x''y''x''z''z''zG

''x''z''x''z''y''y''yG

''z''y''z''y''x''x''xG

=−−=

=−−=

=−−=

∑

∑

∑

ωωω

ωωω

ωωω

&

&

&


- 91/105 -

9.2.1. Comportamiento de un sólido que gira inicialmente respecto del eje de inercia máxima.

velocidad angular inicial en la dirección

de 1''x

Se supone que los momentos principales de inercia cumplen con la siguiente propiedad 111 ''z''y''x III >>

y, para simplificar, el sólido inicialmente solo tiene velocidad angular en componente 1''x , de modo que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

00

1''x

1''z1''y1''x

ωωr

perturbación Si en estas condiciones se aplica una pequeña perturbación que varía la velocidad angular una magnitud infinitesimal ( 1''z1''y1''xdω

r, Fig. 9.21) pero que no varía el momento respecto del c.d.m. ( 0MG

rr=∑ ), las

componentes de la velocidad angular del sólido (1''z1''y1''xGω

r) son

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+

1

1

1

1

1

11

111111

''z

''y

''x

''z

''y

''x''x

''z''y''x''z''y''x

dd

ddd

00d

ωω

ω

ωωωω

ωωrr

por lo que las ecuación de Euler pasan a ser

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0dIIddtdIM

0dIIddtdIM

0ddIIdtdIM

1111111

1111111

1111111

''y''x''y''x''z''z''zG

''x''z''x''z''y''y''yG

''z''y''z''y''x''x''xG

=−−=

=−−=

=−−=

∑

∑

∑

ωωω

ωωω

ωωω

1x ''ω

1yd ''ω

1zd ''ω

x=x1=x’1=x’’1

y=y1

z=z1

y’1= y’’1

z’1=z’’1

ωr

ωr

x=x1=x’1=x’’1

y=y1

y’1= y’’1

z=z1

z’1= z’’1

Fig. 9.21 – Sólido que gira inicialmente respecto del eje principal de inercia x’1 y perturbación de

la velocidad.

o bien

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )111111

111111

111111

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''z''y''z''y''x''x

dIIddtdI

dIIddtdI

ddIIdtdI

ωωω

ωωω

ωωω

−=

−=

−=

eliminación de infinitésimos de segundo orden

y puesto que se desprecian los infinitésimos de segundo orden

0dd 1''z1''y ≈ωω


- 92/105 -

las expresiones pasan a ser

( )

( ) ( )

( ) ( )111111

111111

11

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''x''x

dIIddtdI

dIIddtdI

0dtdI

ωωω

ωωω

ω

−=

−=

=

ecuaciones diferenciales acopladas

o anteponiendo la derivada respecto del tiempo (utilizando la notación del punto) a la diferencial

( )( )

111111

111111

11

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''x''x

dIIdI

dIIdI

0I

ωωω

ωωω

ω

−=

−=

=

&

&

&

La primera ecuación implica que la componente 1''xω es constante

cte00I1111 ''x''x''x''x =⇒=⇒= ωωω &&

luego, despejando las otras variaciones de la velocidad angular respecto del tiempo se obtiene

( ) ( )11

1

11111

1

111 ''y''x

''z

''y''x''z''z''x

''y

''x''z''y d

III

ddI

IId ωωωωωω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −= &&

constituyendo un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas (las distintas componentes de la velocidad angular están intercaladas en las ecuaciones diferenciales) en el que los términos entre corchetes son constantes.

Concepto clave El comportamiento de un sólido que inicialmente gira respecto de un eje de momento de inercia máximo x’’1 tras una perturbación da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.

proceso de desacoplado Para solucionar el sistema derivamos la segunda expresión respecto del tiempo y despejamos 1''ydω&

( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

11

11

1111

1

111

''x''z

''y''x

''z''y''y''x

''z

''y''x''z

III

ddd

III

d

ω

ωωωωω

&&&&&&

sustituyendo en la primera

( )

( ) ( )( )

111

11

11

11

1

11

11

11

111

111

''z''x''y

''x''z

''x''z

''y''x

''z

''x''z

''y''x

''z''y

''z''x''y

''x''z''y

dI

II

III

d

III

dd

dI

IId

ωω

ω

ω

ω

ωω

ωωω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

&&&&

&

&

Expresión a partir de la cual obtenemos,

( ) ( )11

1

111

1

111 ''z''x

''y

''z''x''x

''z

''y''x''z d

III

III

d ωωωω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=&&

en la que se ha cambiado de signo uno de los términos y se ha sacado factor común un signo negativo para evitar la aparición de un radical negativo, como se comprobará a continuación.


- 93/105 -

Si se denomina 2xA al término constante,

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

11

111

1

11''x

''y

''z''x''x

''z

''y''x2x I

III

IIA ωω con 0A2

x >

y se sustituye en la ecuación anterior, se obtiene la ecuación diferencial del movimiento desacoplada en componentes 1''z

0dAddAd 1''z2x1''z1''z

2x1''z =+⇒−= ωωωω &&&&

Mediante un proceso análogo se obtendría la ecuación diferencial desacoplada para el primer término

( )11

1

111 ''z''x

''y

''x''z''y d

III

d ωωω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=&

ecuaciones diferenciales desacopladas

en componentes 1''y , con lo que el sistema de ecuaciones diferenciales desacopladas es

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0dAd

0dAd

11

11

''z2x''z

''y2x''y

ωω

ωω

&&

&&

cuya solución corresponde a movimientos armónicos simples de la misma pulsación (Ax) y direcciones perpendiculares.

La primera ecuación diferencial tiene como solución,

( ) xxxy''''y2x''y αtA senCdω0dAd

111+=⇒=+ ωω&&

donde xC y xα son constantes que se obtienen de las condiciones iniciales.

Sustituyendo ahora la solución 1y''dω en la expresión de 1''zdω& se obtiene

( )

( )

( ) ( ) ( )xxxxxxx''''z

''y''xz''

xxxy''

''y''x''z

''y''x''z αtA senDαtA senCω

III

ωd

αtA senCdω

dI

IId

11

111

1

111

111 +=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

&&

ωωω

con Dx constante de magnitud

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

11

11''x

''z

''y''xxx I

IICD ω

luego la solución en este caso es

( ) ( )xxx

xz''xxxz'' αtAcos

ADdωαtA senDωd

11+−=⇒+=&

solución por lo que la solución del sistema de las ecuaciones diferenciales es

( )

( )

αtAcos AD

dω

αtA senCdω

0dω

xxx

xz''

xxxy''

x''

1

1

1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

+=

=


- 94/105 -

oscilación elíptica y la perturbación introducida al forzar pequeñas variaciones de la velocidad angular ( 1''z1''y1''xdωr

) en un

sólido que gira respecto al eje asociado al momento principal de inercia máximo 1''x no se incrementa con el tiempo, sino que se produce una oscilación elíptica con velocidades angulares de componentes

( ) ( )xxx

x''zxxx''y''x αtAcos

ADdαtA senCdcte

111+−=+== ωωω

con lo que la rotación respecto del eje principal 1''x permanece estable (Fig. 9.22).

xA

111111 zyxzyx d '''''''''''' ωωrr

+

x=x1=x’1=x’’1

y=y1

z=z1

y’1=y’’1

z’1=z’’1

Fig. 9.22 – Movimiento estable tras la perturbación de un giro inicial respecto del eje 1''x .

Un valor grande de la pulsación (Αx) representa una alta frecuencia de oscilación (f) y un periodo (T) pequeño, lo que garantiza la estabilidad del movimiento.

T1f

Aπ2Tx

=⇒=

Concepto clave El comportamiento de un sólido que inicialmente gira respecto del eje de momento de inercia máximo x’’1 tras una perturbación da lugar a una oscilación elíptica estable.

9.2.2. Comportamiento de un sólido que gira inicialmente respecto del eje de inercia mínima.

velocidad angular tras la perturbación

Si se consideran rotaciones iniciales del sólido alrededor del eje de inercia mínimo (z’’1) la velocidad angular del sólido tras la perturbación es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

1

1

1

1

1

1

1

111111

''z

''y

''x

''z

''y

''x

''z

''z''y''x''z''y''x dd

ddd

00

dωωω

ωωω

ωωωrr

ecuaciones de equilibrio dinámico

y las ecuaciones de Euler

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )111111

111111

111111

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''z''y''z''y''x''x

ddIIdtdI

dIIddtdI

dIIddtdI

ωωω

ωωω

ωωω

−=

−=

−=

en la que despreciando infinitésimos y derivando antes de diferenciar se obtiene


- 95/105 -

( )( )

0I

dIIdI

dIIdI

11

111111

111111

''z''z

''x''z''x''z''y''y

''z''y''z''y''x''x

=

−=

−=

ω

ωωω

ωωω

&

&

&

parámetro siguiendo el mismo procedimiento con el que se ha obtenido el coeficiente 2xA de la perturbación respecto

del eje x

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

11

111

1

11''x

''y

''z''x''x

''z

''y''x2x I

III

IIA ωω con 0A2

x >

se obtendrían el coeficiente 2zA , de expresión

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

11

11

11

11''z

''y

''z''x''z

''x

''z''y2z I

III

IIA ωω

y recordando la propiedad

111 ''z''y''x III >>

se tiene que

0A2z >

ecuaciones diferenciales obteniéndose las ecuaciones diferenciales desacopladas

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0dAd

0dAd

1''y2z1''y

1''x2z1''x

ωω

ωω

&&

&&

solución semejantes a las obtenidas en el estudio del giro respecto al eje x’’1, por lo que la solución vuelve a ser una combinación de movimientos armónicos simples de direcciones perpendiculares

( ) ( ) cteωαtA senAD

dωαtA senCdω111 z''zz

z

zy''zzzx'' =+−=+=

por lo que una perturbación que fuerza pequeñas variaciones de la velocidad angular respecto del giro inicial en la dirección de la componente principal de inercia mínima 1''z , también produce una oscilación elíptica respecto a ese eje, y por lo tanto el movimiento es estable (Fig. 9.23).

Concepto clave El comportamiento de un sólido que inicialmente gira respecto del eje de momento de inercia mínimo z’’1 tras una perturbación da lugar a una oscilación elíptica estable.

zA

111111 zyxzyx d '''''''''''' ωωrr

+

x=x1=x’1=x’’1

y=y1

z=z1

y’1=y’’1

z’1=z’’1

Fig. 9.23 – Movimiento estable tras la perturbación de un giro inicial respecto del eje 1''z .


- 96/105 -

9.2.3. Comportamiento de un sólido que gira inicialmente respecto del eje de inercia intermedia.

Sin embargo, si el giro inicial es respecto del eje de principal de inercia intermedio 1''y , el comportamiento tras la perturbación es distinto al de los otros ejes.

velocidad angular tras la perturbación

La velocidad angular del sólido tras la perturbación sería

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+

1

1

1

1

1

1

1111111

''z

''y

''x

''z

''y

''x

''y''z''y''x''z''y''x

d

d

ddd

0

0d

ωωω

ωωω

ωωωrr

ecuaciones de equilibrio dinámico

y las ecuaciones de Euler

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )111111

111111

111111

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''z''y''z''y''x''x

dIIddtdI

ddIIdtdI

dIIddtdI

ωωω

ωωω

ωωω

−=

−=

−=

en la que despreciando infinitésimos y derivando antes de diferenciar

( )

( )111111

11

111111

''y''x''y''x''z''z

''y''y

''z''y''z''y''x''x

dIIdI

0I

dIIdI

ωωω

ω

ωωω

−=

=

−=

&

&

&

parámetro siguiendo el mismo procedimiento con el que se ha obtenido el coeficiente 2xA de la perturbación respecto

del eje 1''x

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

11

111

1

11''x

''y

''z''x''x

''z

''y''x2x I

III

IIA ωω con 0A2

x >

se obtendría el coeficiente 2yA , de expresión

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

11

11

11

11''y

''x

''y''z''y

''z

''y''x2y I

III

IIA ωω

en la que recordando la propiedad

111 ''z''y''x III >>

se tiene que

0A2y <

ecuaciones diferenciales obteniéndose las ecuaciones diferenciales

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

0dAd

0dAd

11

11

''z2y''z

''x2y''x

ωω

ωω

&&

&&

solución cuya solución es una función exponencial


- 97/105 -

tAyz''y''

tAyx''

y

11

y

1 eDdωcteω eCdω ===

con lo que la perturbación aumenta con el tiempo de forma ilimitada, y el movimiento se vuelve inestable (Fig. 9.24).

111111 zyxzyx d '''''''''''' ωωrr

+

x=x1=x’1=x’’1

y=y1

z=z1

y’1=y’’1

z’1=z’’1

Fig. 9.24 – Movimiento inestable tras la perturbación de un giro inicial respecto del eje 1''y .

Concepto clave El comportamiento de un sólido que inicialmente gira respecto del eje de momento de inercia intermedio y’’1 tras una perturbación da lugar a un movimiento inestable.

La conclusión es que perturbaciones respecto de la rotación inicial alrededor de ejes principales con momentos de inercia máximo y mínimo ( 11 ''z''x ) producen movimientos estables, mientras que perturbaciones respecto de la rotación inicial alrededor del eje principal con momento de inercia intermedio ( 1''y ) genera movimientos inestables.

9.2.4. Sólido con simetría axil.

características geométricas

En el caso en que dos de los momentos principales de inercia sean iguales (por ejemplo el máximo y el intermedio

11 ''y''x II = ) el sólido tiene simetría másica respecto del eje perpendicular 1''z .

giro inicial respecto al eje 1''x

En este caso la diferencia entre estos momento de inercia se anula 0II11 ''y''x =− , por lo que teniendo en

cuenta las ecuaciones diferenciales correspondientes a un sólido que gira inicialmente con velocidad en la dirección del eje x’’1

( )( )

111111

111111

11

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''x''x

dIIdI

dIIdI

0I

ωωω

ωωω

ω

−=

−=

=

&

&

&

la tercera ecuación también se anula

( )0dI

dIIdI

0I

11

111111

11

''z''z

''x''z''x''z''y''y

''x''x

=

−=

=

ω

ωωω

ω

&

&

&

repuesta en la dirección del eje 1''z

lo que implica que la variación de la componente 1''z de la velocidad angular (al igual que lo es la componente 1''x de la velocidad inicial) es constante (Fig. 9.25)

cted0d0dI1111 ''z''z''z''z =⇒=⇒= ωωω &&


- 98/105 -

111 ''z''y''xω

r

x=x1=x’1=x’’1

y=y1

z=z1

y’1=y’’1

z’1=z’’1

Fig. 9.25 – Movimiento estable tras la perturbación en un sólido con simetría axil respecto del eje 1''z y

velocidad inicial en el eje 1''x .

repuesta en la dirección del eje 1''y

En esta situación, la velocidad en la dirección del eje 1''y tras la perturbación cuando el sólido gira inicialmente respecto al eje 1''x , a partir de la segunda ecuación diferencial es

( )

⎩⎨⎧ +

=⇒=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

0BtA

dcted

cted

ctedI

IId

11

1

111

11

1''y''y

''z

''z''x''y

''x''z''y ωω

ω

ωωω&

&

el principio de mínima energía indica que se considere la solución nula, con lo que la perturbación del sólido en la dirección del eje 1''y es nula.

0d0dcte111 ''z''y''x === ωωω

La conclusión es que la respuesta de un sólido con simetría axil en el eje 1''z que gira respecto del eje 1''x a una perturbación es nula.

Concepto clave La respuesta de un sólido con simetría axil en el eje 1''z tras una perturbación es nula.

giro inicial respecto al eje 1''y

Si el giro inicial fuese respecto del eje 1''y el resultado sería el mismo, una variación de la velocidad nula en los ejes 1''y y 1''z .

( )

( ) 0dIIdI

0I

dIIdI

111111

11

111111

''y''x''y''x''z''z

''y''y

''z''y''z''y''x''x

=−=

=

−=

ωωω

ω

ωωω

&

&

&

0dcte0d111 ''z''y''x === ωωω

giro inicial respecto al eje 1''z

Si el giro inicial fuese respecto del eje 1''z , las ecuaciones diferenciales correspondientes son

( )( )

0I

dIIdI

dIIdI

11

111111

111111

''z''z

''x''z''x''z''y''y

''z''y''z''y''x''x

=

−=

−=

ω

ωωω

ωωω

&

&

&

que no se ven afectadas por la igualdad de los momentos de inercia respecto de los ejes 1''x e 1''y , por lo que la solución vuelve a ser una oscilación elíptica estable.


- 99/105 -



z

zy''zzzx'' =+−=+=

9.2.5. Sólido con simetría polar.

En el caso en que los tres momentos de inercia son iguales, los coeficiente 11 ''y''x II − y

11 ''x''z II − se anulan.

giro inicial respecto del eje 1''x

Si se considera el giro inicial respecto del eje 1''x las ecuaciones diferenciales son

( )( )

111111

111111

11

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''x''x

dIIdI

dIIdI

0I

ωωω

ωωω

ω

−=

−=

=

&

&

&

por lo que sustituyendo la diferencia de momentos de inercia se obtiene

0dI

0dI

0I

11

11

11

''z''z

''y''y

''x''x

=

=

=

ω

ω

ω

&

&

&

y tanto 1y''dω como 1z''dω permanecen constantes en el tiempo

0d0d0dI

0d0d0dI

1111

1111

''z''z''z''z

''y''y''y''y

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

ωωω

ωωω&&

&&

0d0dcte111 ''z''y''x === ωωω

y la perturbación producirá rotaciones estables (Fig. 9.26).

111 ''z''y''xω

r

x=x1=x’1=x’’1

y=y1

z=z1

y’1=y’’1

z’1=z’’1

Fig. 9.26 – Movimiento estable tras la perturbación en un sólido con simetría polar y velocidad inicial en el

eje 1''x .

giro inicial respecto de los ejes 1''y y 1''z

Si se considera los giros iniciales respecto de los ejes 1''y y 1''z los resultados serían los siguientes

0dcte0d111 ''z''y''x === ωωω

cte0d0d111 ''z''y''x === ωωω

y las perturbaciones producirán rotaciones estables.


- 100/105 -

Conceptos fundamentales: Cantidad de movimiento lineal de un sólido rígido.

mvL Grr

= Equilibrio dinámico de fuerzas y momentos.

Gam Frr

=∑ OO HM&rr

= Sumatorio de momentos respecto del c.d.m.

GGG 'HHM&r&rr

== Relación entre el momento angular y la velocidad angular de un sólido rígido.

{ } [ ] { }ωGG TH = Momento angular respecto de un punto distinto del c.d.m.

GQGGQ vmrHHrrrr

×+= − Momento angular de un sólido rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo.

{ } [ ] { }ωQQ TH = Aplicación de los principios del impulso lineal y angular al movimiento de un sólido rígido.

12

t

tii LLdtF

dtLdF

2

1

rrrr

r−=⇒= ∫ ∑∑

12 GG

2

1G

GG HHdtM

dtHd

Mrrr

rr

−=⇒= ∫

Energía cinética de un sólido rígido en tres dimensiones.

{ } [ ] { } rc

GcG

t2Gc EET

21vm

21E +=+= ωω

Relación entre energía cinética y cantidad de movimiento lineal.

'kdvdE

'jdvdE

'idvdE

LGGG 'z

c

'y

c

'x

crrrr

++=

Relación entre energía cinética y momento angular.

'kddE

'jddE

'iddE

H'z

c

'y

c

'x

cG

rrrr

ωωω++=

Energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo.

{ } [ ] { }ωω Qt

c T21E =

Trabajo.

12i

cc21FGGi EETdMrdFdT −=⇒⋅+⋅= −θ

rrrr r

Movimiento de un sólido rígido en tres dimensiones.

[ ] { }

( )[ ] { }

4434421

rr

44 344 21

&r&rr

r&

ωω

Ω

G

111111

G

111 T

'z'y'GxG'z'y'x

eT

'z'y'GxGGG HHHM ×+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∑

Ecuaciones de Euler generalizadas del movimiento.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

112221

331113

223332

33

22

11

G3

G2

G1

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e'e'e'e'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

IIIIII

I

I

I

MMM


ω

ω

ω

&

&

&

Ecuaciones de Euler del movimiento.

( )( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1212

3131

3223

33

22

11

G3

G2

G1

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

IIIIII

I

I

I

MMM

ωωωωωω

ω

ω

ω

&

&

&


- 101/105 -

Movimiento de un sólido con un punto fijo.

( )( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1212

3131

3223

33

22

11

Q3

Q2

Q1

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e'e'e

'e'e

'e'e

'e'e

'e

'e

'e

IIIIII

I

I

I

MMM

ωωωωωω

ω

ω

ω

&

&

&

Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∑

1

1

1

'Gz

'Gy

'Gx

a

a

a

mFr

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+−

=∑

1Q1

1Q111Q11

1Q111Q11

'z'z

2'z'z'x'z'z'y

2'z'z'y'z'z'x

Q

I

II

II

M

ω

ωω

ωω

&

&

&

r

Estudio del equilibrio de ejes o árboles rotatorios.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

1Q1

1Q11

1Q11

'z'z

'z'z'y

2'z'z'y

Q

I

I

I

H

ω

ω

ω

&

&&r

Estudio del equilibrio de ejes o árboles rotatorios con velocidad constante. 2'z'z'y'x 1Q11Q1

IH ω=&

Movimiento de un giroscopio en base arbitraria con movimiento de precesión y nutación. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−−+−+−

++−−−+−−

+−+−−++−−

+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−++−−

+−−++−

+−−+−

=∑










sencosIcossenII

sencosIcossenII

sencosIcossenII

M

1111111111

1111111111

1111111111

11111

11111

11111

111




'z'z'y'z'x

'z'y'y'y'x

'z'x'y'x'x

'z'y'xG

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&r

Movimiento de un giroscopio en base principal de inercia con movimiento de precesión y nutación.

( )( )

( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]

( )[ ] [ ] ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

+−

−+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+=∑θψθθθψ

θϕθψψθ

θψθψθψϕθψ

ϕθθψθψ

θθψθψ

θ

senIsenI

cosIcosI

cossenIsencosI

sencosI

cossenI

I

M

12

31

23

3

2

1

321

ee

ee

ee

e

e

e

eeeG

&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&&

&&&&

&&r

Precesión estacionaria en un giroscopio en base principal de inercia.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

cte cte ψ cteθ

ria estacionaprecesión ϕ&&

( )[ ] ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −++

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

00

cossenIsencosI

000

H23 'e'e

G

θψθψθψϕθψ &&&&&&r

Precesión estacionaria en un giroscopio con nutación a 90º.

311 'e'eG'eG IHM ϕψ &&& ==∑

Precesión lenta y rápida.

( )( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −+±−

−=

∑22

'e

'e'e'eG

'e'e

'e

3

231

23

3

Isen

cosIIM411

cosII2I

ϕθ

θ

θ

ϕψ

&

&&

Condición de velocidad mínima de rotación propia. ( )

2'e

'e'e'eG2min

3

231

Itg

IIM4

θϕ

−−>

∑&

Relación entre velocidad angular, momento angular y geometría del sólido con precesión estacionaria

3

2

'e

'e

II

tgtg γα =


- 102/105 -

Sólido alargado (32 'e'e II > ).

γαγαγα >⇒>⇒= tgtgII

tgtg3

2

'e

'e

Sólido achatado (32 'e'e II < ).


tgtg3

2

'e

'e

Plano invariante

0E2'eI'eI'eI rc3'e'e2'e'e1'e'e 332211

=−++ ωωω

Elipsóide de Poisont

( ) 01E2

I

E2

I

E2

IIIIE2 r

c

2'e'e

rc

2'e'e

rc

2'e'e

'e2'e'e

2'e'e

2'e

rc

332211

332211=−++⇒++=

ωωωωωω

Elipsoide de inercia. 1'eI'eI'eI 2

3'e22'e

21'e 321

=++ Axoide móvil.

( ) ( ) ( ) 0'eIGI'eIGI'eIGI 23'e'e

22'e'e

21'e'e 332211

=−+−+− Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima

1''x con sistema de referencia solidario al sólido. Velocidad angular.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+

1

1

1

1

1

11

111111

''z

''y

''x

''z

''y

''x''x

''z''y''x''z''y''x

dd

ddd

00d

ωω

ω

ωωωω

ωωrr

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima1''x . Ecuaciones de equilibrio dinámico.

( )

( ) ( )

( ) ( )111111

111111

11

''y''x''y''x''z''z

''x''z''x''z''y''y

''x''x

dIIddtdI

dIIddtdI

0dtdI

ωωω

ωωω

ω

−=

−=

=

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima1''x . Solución de las ecuaciones diferenciales.

( ) ( )xxx

x''zxxx''y''x αtAcos

ADdαtA senCdcte

111+−=+== ωωω

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia mínima1''z . Velocidad angular.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

1

1

1

1

1

1

1

111111

''z

''y

''x

''z

''y

''x

''z

''z''y''x''z''y''x dd

ddd

00

dωωω

ωωω

ωωωrr

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia mínima1''z . Ecuaciones de equilibrio dinámico.

( )( )

0I

dIIdI

dIIdI

11

111111

111111

''z''z

''x''z''x''z''y''y

''z''y''z''y''x''x

=

−=

−=

ω

ωωω

ωωω

&

&

&

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia mínima1''z . Solución de las ecuaciones diferenciales. Sistema estable.


- 103/105 -



z

zy''zzzx'' =+−=+=

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia intermedia1''y . Velocidad angular.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+

1

1

1

1

1

1

1111111

''z

''y

''x

''z

''y

''x

''y''z''y''x''z''y''x

d

d

ddd

0

0d

ωωω

ωωω

ωωωrr

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia intermedia1''y . Ecuaciones de equilibrio dinámico.

( )

( )111111

11

111111

''y''x''y''x''z''z

''y''y

''z''y''z''y''x''x

dIIdI

0I

dIIdI

ωωω

ω

ωωω

−=

=

−=

&

&

&

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia intermedia1''y . Solución de las ecuaciones diferenciales. Sistema estable.

tAyz''y''

tAyx''

y

11

y

1 eDdωcteω eCdω ===

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima1''x con simetría axial (

11 ''y''x II = ). Ecuaciones de equilibrio dinámico.

( )0dI

dIIdI

0I

11

111111

11

''z''z

''x''z''x''z''y''y

''x''x

=

−=

=

ω

ωωω

ω

&

&

&

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima1''x con simetría axial (

11 ''y''x II = ). Solución de las ecuaciones diferenciales. Sistema estable.

0d0dcte111 ''z''y''x === ωωω

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia intermedia1''y con simetría axial (


( )

0dI

0I

dIIdI

11

11

111111

''z''z

''y''y

''z''y''z''y''x''x

=

=

−=

ω

ω

ωωω

&

&

&

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia intermedia1''y con simetría axial (


0dcte0d111 ''z''y''x === ωωω

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia mínima 1''z con simetría axial (


( )( )

0I

dIIdI

dIIdI

11

111111

111111

''z''z

''x''z''x''z''y''y

''z''y''z''y''x''x

=

−=

−=

ω

ωωω

ωωω

&

&

&

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia mínima1''z con simetría axial (




z

zy''zzzx'' =+−=+=

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima 1''x con simetría polar. Ecuaciones de equilibrio dinámico. Solución de las ecuaciones diferenciales. Sistema

estable.


- 104/105 -

0dI

0dI

0I

11

11

11

''z''z

''y''y

''x''x

=

=

=

ω

ω

ω

&

&

&

0d0dcte111 ''z''y''x === ωωω

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima 1''y con simetría polar. Ecuaciones de equilibrio dinámico. Solución de las ecuaciones diferenciales. Sistema

estable.

0dI

0I

0dI

11

11

11

''z''z

''y''y

''x''x

=

=

=

ω

ω

ω

&

&

&

0dcte0d111 ''z''y''x === ωωω

Comportamiento de un sólido que gira inicialmente con velocidad angular en la dirección de inercia máxima 1''z con simetría polar. Ecuaciones de equilibrio dinámico. Solución de las ecuaciones diferenciales. Sistema

estable.

0I

0dI

0dI

11

11

11

''z''z

''y''y

''x''x

=

=

=

ω

ω

ω

&

&

&

cte0d0d111 ''z''y''x === ωωω


- 105/105 -

ANEXO 1. Bibliografía

Autor: Beer y Johnston

Título: Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica

Edición: 08

Fecha Publ.: 2007

ISBN: 97-010-6102-0

Autor: Meriam y Craige

Título: Dinámica

Edición: 3

Editor: Mc Graw Hill

Fecha Publ.: 2000

ISBN: 84-291-4259-2

Autor: Riley y Sturges

Título: Ingeniería Mecánica: Dinámica

Edición: 1

Editor: Editorial Reverté S.A.

Fecha Publ.: 2006

ISBN: 978429142556

Autor: Prieto Alberca

Título: Curso de Mecánica Racional. Dinámica (Volumen 2)

Edición: 1

Editor: Aula Documental de Investigación

Fecha Publ.: 1994

ISBN: 9788460490715

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