Física Volumen I Capítulo I

Una medición directa se realiza con un instrumento de medida, mientras que una medición indirecta se realiza mediante un cálculo matemático.

E.D.: Ecuación Dimensional, será la forma de representar la dimensión de cualquiera de estas magnitudes:[Longitud] = Dimensiones de longitud[Longitud] = L

El ángulo plano se expresa en dos dimensiones, mientras el ángulo sólido lo hace en tres dimensiones:

ángulo plano ángulo sólido

Una magnitud escalar, nunca se representa gráficamente, una vectorial si es necesario hacerlo y una tensorial, es preferible graficarla en el sentido a usar.

Magnitud: Son todas aquellas que describen una propiedad física y se pueden medir, ya sea directa o indirectamente.

Clases de Magnitudes:

1.Por su Origen:

a)Fundamentales: Son todas aquellas que dan origen a otras magnitudes, según el SI (Sistema Internacional) son 7.

Magnitud Unidad (SI) Símbolo E.D.Longitud metro m LMasa kilogramo Kg MTiempo segundo s TTemperatura kelvin K Intensidad de corriente eléctrica Amperios A I

Intensidad Luminosa candela Cd JCantidad de sustancia mol mol N

b)Auxiliares: Carecen de sentido físico, pero nacen bajo un concepto matemático

Magnitud Unidad (SI)Ángulo Plano radianes(rad)Ángulo Sólido stereoradianes (sr)

c)Derivadas: Son todas aquellas que se originan de las magnitudes fundamentales.Podemos tener: Velocidad (m/s)

Área (m2)Fuerza (N = kg∙m/s2)

2.Por su Naturaleza:

Julio 1

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La mejor forma de diferenciar estas magnitudes, es haciendo la pregunta:¿Hacia dónde?De no poder responder la pregunta, la magnitud es vectorial.Si la respuesta indica una sola dirección, será vectorial.Si nos indica más de una dirección será tensorial.En el último punto debemos tener cuidado, ya que a veces resulta confuso.

F

F

Los múltiplos, indican cantidades por encima de la unidad y los submúltiplos, cantidades por debajo de la unidad.

a)Escalares: Son todas aquellas que para definirse requieren de un módulo y una unidad de medida.

El tiempo, es una magnitud escalar, ya que no es posible señalar una dirección a esta magnitud

b)Vectoriales: Son aquellas que para definirse, además de un módulo y una unidad de medida, requieren de una dirección y un sentido.

La fuerza, es una magnitud vectorial, ya que es necesario hacer una representación gráfica para saber hacia donde actúa.

Vemos que la fuerza que ejerce la grúa sobre el auto, para poder levantarlo, es vertical y hacia arriba, entonces así tendremos que dibujarlo

c)Tensoriales: Estas magnitudes, son aún mucho más complejas que las anteriores, ya que a diferencia de las anteriores, estas se dirigen en varias direcciones.

La presión, es una magnitud tensorial, ya que no actúa en un punto, sino en diversas direcciones.

Vemos que al actuar una fuerza en el émbolo, la presión que se manifiesta en el líquido es en todas las direcciones del líquido y no en un sólo punto.

Múltiplos y submúltiplos de las unidades:

Los múltiplos y submúltiplos, son prefijos que se agregan a una magnitud, para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas, sin necesidad de escribir todo el número.

Así tendremos:

PREFIJO SÍMBOLO FACTORyotta Y 1024

Julio Ernest 2

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1

100

m

cm [x]: Se lee “ecuación dimensional de x”Las dimensiones de una magnitud, no es más que la expresión de sus unidades en el S.I.

mmV Vs s

zetta Z 1021

exa E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hecto h 102

deca da 101

unidad 1deci d 10–1

centi c 10–2

mili m 10–3

micro 10–6

nano n 10–9

pico p 10–12

femto f 10–15

atto a 10–18

zepto z 10–21

yocto y 10–24

Análisis Dimensional

Designamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. Así, si x es una magnitud derivada, se establece que [x] es la fórmula dimensional de x, tal que:

[x] = La Mb Tc d Ie Jf Ng

Dimensiones de algunas magnitudes derivadas

Magnitud DimensionesAceleración LT-2

Aceleración angular T-2

Ángulo AdimensionalÁrea L2

Densidad ML-3

Desplazamiento LFrecuencia angular T-1

Momento angular ML2T-1

Número atómico AdimensionalVelocidad angular T-1

Energía ML2T-2

Entropía ML2T-2-1

Fuerza MLT-2

Frecuencia T-1

Calor ML2T-2

Julio 3

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Un número por si mismo, aparte de expresar una cantidad, no expresa nada, por ello no podemos decir que un número es una magnitud, ya que no sabemos de que se habla exactamente.

Una consecuencia que genera el principio de homogeneidad en E.D. es que la suma y la resta en dichas ecuaciones no existen, de encontrarse alguna se cambiara por un signo igual.L + L – L = LL = L = L = L

L + M = No existeL = M Es incorrecto

Masa MCalor específico molar ML2T-2-1

Momento de inercia ML2

Momento lineal o cantidad de movimiento MLT-1

Periodo TPotencia ML2T-3

Presión ML-1T-2

Calor específico L2T-2-1

Temperatura Tiempo TTorque o momento de torsión ML2T-2

Velocidad LT-1

Volumen L3

Trabajo ML2T-2

Gasto másico MT-1

Gasto o Caudal L3T-1

Carga ITPotencial eléctrico ML2T-3I-1

Capacidad calorífica ML2T-2-1

Ecuaciones Dimensionales

Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes físicas son conocidas y otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas.

Leyes de las Ecuaciones Dimensionales:

1º Ley: La ecuación dimensional de todo número, constante matemática, logaritmo, ángulo, función trigonométrica, exponente, etc. es igual a 1.*Cantidad adimensional: Es aquella que carece de dimensiones, es decir el exponente de las magnitudes fundamentales en la fórmula dimensional es cero (0). De este modo se tiene que la fórmula dimensional de una cantidad adimensional es:

[Cantidad adimensional] = 1

Algo que debemos tener en cuenta es que una cantidad adimensional no presenta unidades, por ello no tiene dimensiones, las dimensiones de una magnitud debemos asociarlo directamente con las unidades fundamentales del S.I.2º Ley (Principio de homogeneidad): Nos indica que para poder sumar dos magnitudes, están deben presentar las mismas unidades, de no ser así, estas unidades no pueden sumarse.

10 m + 3 m = 13 m

Julio Ernest 4

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1

aA

25 Kg – 12 Kg = 13 Kg

Estas magnitudes se pueden sumar por presentar las mismas unidades.

8 m + 5 Kg = IMPOSIBLE10 h + 15 A = IMPOSIBLE

Estas magnitudes no se pueden sumar por poseer unidades diferentes.

3º Ley: Todas las leyes del algebra son válidas, excepto la suma y resta.

Esto se debe a que en las ecuaciones dimensionales por el principio de homogeneidad, la suma y resta, nunca se darán como se menciono anteriormente, y todo lo relacionado a teoría de exponentes será realmente aplicable a cualquiera de los planteamientos en el tema.

Problema Desarrollado:1.La ecuación mostrada es dimensionalmente correcta:

x = Fv + myDonde:F = Fuerzav = Velocidadm = masaDetermine:a) La fórmula dimensional de x.b) La fórmula dimensional de y.c) La fórmula dimensional de x . yResolución:a) x = Fv + my [x] = [Fv + my]Sabemos que:

[A + B] = [A] = [B]

⇒ [ x ]=[ Fv ]=[ my ][ x ]=[ Fv ]⇒ [ x ]=[ F ] [ v ]

⇒ [ x ]=MLT−2 L⋅T−1

[ x ]=ML2T−3

b)

Julio 5

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Fv my

F v m y

F v My y

m

2 1LT LTM

2 3y L T

c)

2 3 2 3

2 6

x y x y

ML T L T

x y ML T

Problemas PropuestosNivel Principiante:1.Decimos magnitud de aquello que podemos …………….. en forma directa o indirecta.

a) Observar b) Agrupar c) Medird) Asociar e) Fraccionar

2.De las siguientes magnitudes ¿Cuántas no son fundamentales en el SI?Peso, área, Temperatura, Longitud, Intensidad Luminosa, Fuerza

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3.Las fórmulas dimensionales de la frecuencia y la velocidad angular son:

a) Diferentes b) No existen c) Igualesd) Equivalentes a 1 e) Equivalentes a LT

4.¿Cuál es la fórmula dimensional de la presión?

a) L–1MT–2 b) LMT–2 c) L2MT–2 d) L2MT–3 e) LMT

5.Si V: velocidad, D: densidad y Q: calor. ¿qué formulas dimensionales son correctas?

I. [V] = LT–2

II. [D] = L–3MIII.[Q] = L2MT–2

a) I b) I y II c) II d) Todas e) N.A.

6.La ecuación dimensional de la temperatura es:

a) T b) IT c) d) J e) I

7.¿Cuántas magnitudes fundamentales tiene el SI?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e)Muchas

8.Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones con respecto a las ecuaciones dimensionales

I. [sen] = [sen]II. [30°] = LIII.[logN] = 1

a) VVV b) FVV c) VFV d) FVF e) FFF

9.Usando las reglas de las ecuaciones dimensionales son verdaderas

I. LMT–2 – LMT–2 = 0II. LT–1 + LT–1 = LT–1

III.LMT / MT–1 = LT2

a) I y II b) II y III c) III d) I y III e) Todas

10. Señale con “V” si la afirmación es verdadera o con “F” si es falsa

I. es adimensionalII. La carga eléctrica es una magnitud fundamentalIII.La masa y el peso tienen la misma fórmula dimensional

a) VFF b) VVF c) VFV d) FFV e) VVV

Julio Ernest 6

Física Volumen I Capítulo I11. Generalmente mediante las ecuaciones dimensionales expresamos las magnitudes …………. mediante las magnitudes ………………

a) fundamentales, derivadasb) fundamentales, auxiliaresc) auxiliares, fundamentalesd) derivadas, fundamentalese) derivadas, auxiliares

12. Si “W” es peso y “m” es masa podemos afirmar que:

I. [W] = [m]II. [W] = LMT–2

III.[m] = M

a) I y II b) II y III c) I y III d) II e) III

13. La ecuación dimensional de la intensidad de corriente eléctrica es:

a) J b) LT c) LM d) I e) N

14. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea X = YZk, podemos asegurar que:a) [X] = 1 b) [Y] = 1 c) [Z] = 1 d) [K] = 1 e) NA

15. Complete correctamente:“La magnitud fundamental ………………. se mide con la unidad …………..”

a) Longitud, segundob) Masa, metroc) Intensidad Luminosa, amperiod) Intensidad de Corriente, candelae) Cantidad de Sustancia, mol

16. Sea F: fuerza, W: trabajo, Q: calor y E: energía; se cumplirá que:

a) [F] = [Q]b) [F] = [W]c) [F] = [E]d) [Q] + [E] = [W]e) [F] + [W] = [E]

Nivel Básico:

17. En la ecuación homogénea determine la ecuación dimensional de “x”

v x = a log300

v: velocidad y a: aceleración

a) T b) LT c) T–2 d) T–1 e) L–1

18. Si un alambre es calentado, este se dilata según la siguiente ley, halle []

L = L0 T

en donde:L: variación de la longitudL0: longitud inicialT: variación de la temperatura

a) b) 2 c) –1 d) T–1 e) L–1

19. El peso específico () es la relación entre el peso de un cuerpo y el volumen que este ocupa, halle su respectiva fórmula dimensional

γ= PesoVolumen

a) LMT–2 b) L–1MT–2 c) LM–1T–2

d) L–2MT–2 e) LMT–1

20. La aceleración angular mide la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo, determine []

α= Δωt

a) T–1 b) T–2 c) T d) T–1 e) T–2

21. La siguiente determina el calor (Q) que debe de suministrar a una “m” para que su temperatura se incremente en “T”, halle la fórmula dimensional del calor específico “Ce”

Q = m Ce T

a) L2T–2–1 b) LT–2 c) LT–2

d) L2T–2 e) LT–1

22. Determinar la ecuación dimensional de “X” sabiendo que sabiendo P: peso y Q: calor

Julio 7

Física Volumen I Capítulo I

200 x=Ptan 30°Q

a) L b) L–1 c) LT d) L–1T e) T

23. En la ecuación homogénea, ¿qué magnitud podría ser “P”?

P= DFLm

D: densidad, F: fuerza, L: longitud, m: masa

a) peso b) potencia c) presiónd) trabajo e) fuerza

24. En la ecuación dimensional correcta determine la ecuación dimensional de “x”

M x = F + C D

M: masa, F: fuerza, C y D: magnitudes desconocidas

a) LT b) L2T c) LT2 d) LT–2 e) LT–1

25. Si la ecuación mostrada cumple con el principio de homogeneidad podremos afirmar que (V: verdadero y F: falso)

AB

=C+DF

I. [A] = [B] [C]II. [F] = [D] / [C]III.si [A] = [D] →[B]∙[F] = 1

a) VVV b) VFV c) FVV d) FFV e) VFF

26. Hállese [B] y [C] considerando que la siguiente ecuación cumple con el principio de homogeneidad.

B sen30° = A V + C D log N

A: área, V: Volumen, y D densidad

a) L3 y L5M b) L5 y L8M–1 c) L4yL7Md) L5 y LM–1 e) L3 y M–1

27. La intensidad de campo eléctrico (E) es la fuerza eléctrica (F) por unidad de carga (q), determine [E]

E=Fq

a) LMT–2I b) LMT–3I–1 c) LMT–2I–2

d) LMTI–1 e) LMT3I

Nivel Intermedio:

28. La energía potencial de una masa “m” suspendida hasta una altura “h” es:

E = magbhc

Hallar a+b+c, si “g” es aceleración de la gravedad

a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

29. Un pulso en una cuerda viaja con una velocidad “V”, la fuerza de tensión en la cuerda es “T”, “m” es su masa y “L” es su longitud, hallar “a”, “b” y “c”

V = TambLc

a) ½, ½, ½ b) ½, -½, ½ c) 1, 2, -½d) -½, 1, 1 e) 1, -½, 1

30. Si consideramos que la siguiente ecuación es homogénea, “S” podría ser la magnitud…………..

x=3√ πF –S tanθ

RF: fuerza y R: radio

a) aceleración b) energía c) presiónd) potencia e) velocidad

31. Dada la igualdad homogénea, halle [B]BF

=D−ePD

F: fuerza y P: potencia

a) LT b) LT–1 c) L–1T d) LT2 e) L

32. En la expresión correcta, halle la ecuación dimensional de “x”

S=S0 log [Z+ αtx ]

Julio Ernest 8

Física Volumen I Capítulo I: aceleración angular y t: tiempo

a) T b) T2 c) T–2 d) T–1 e) 1

33. En la expresión homogénea, D: densidad, F: fuerza, hállese [y]

(N + tan) D y = p N F sen

a) L–3T–2 b) L3T–2 c) LT–2 d) L4T–2 e) T–2

34. Dado que en la ecuación podemos usar el principio de homogeneidad hallar “x”

Q = tan m Vx

Siendo: Q: calor, m: masa, y V: velocidad

a) 2 b) –2 c) 3 d) –3 e) ½

35. La fuerza de Lorentz puede calcularse con

F = q V sen

Donde q: carga eléctrica, V: velocidad de la carga, : inducción magnética y : ángulo entre V y b, Halle []

a) MT–2I–1 b) MTI–1 c) MT–2Id) M2TI–2 e) MTI–2

36. En la ecuación homogénea, halle [P]

PR+P= 1R

a) 0 b) 1 c) –1 d) FD e) NA

37. Usando el principio de homogeneidad determine [B] en la siguiente ecuación, considerando que “S” es superficie

√B2−CcosθS

=πC

a) L2 b) L–1 c) L–2 d) LT e) LT–2

38. En la ecuación homogénea, la magnitud “D” podría ser:

A W log(N + S F) = ( + S D) P

Si se sabe que: W: trabajo, F: fuerza y P: potencia

a) área b) potencia c) fuerza d) presión e) NA

39. La energía cinética de los gases monoatómicos esta por la siguiente ley:

E=32

KT

en donde:K: constante de BoltzmanT: temperatura absolutaHalle [K]

a) L2MT-2-1 b) L2MT-2 c) LMT-1 d) LMT-1-1 e) L2MT-22

40. En la ley de Ohm (V = IR) tenemos que

V: potencial eléctricoI: intensidad de corrienteR: resistencia eléctricaDetermine [R]

a) L2MT-2I b) LMT-1I-2 c) LMTI-2

d) L2MT-3I e) L2MT-3I-2

Problemas UNSA:

41. Hallar la ecuación Dimensional de K en la fórmula homogénea: K = PC2, donde: P: masa, C: velocidad.

a) L2M2T2 b) L2MT–2 c) LMT2

d) L–2MT–2 e) LM2T–2

42. Si al siguiente ecuación E = kmv2 es dimensionalmente homogénea, determinar la ecuación dimensional de k; E: energía cinética, m: masa y v: velocidad

a) L–1 b) LMT c) 1/2 d) 1 e) MLT–1

43. Calcular “a + b” en la siguiente expresión: K=FambVc. Siendo K: Energía cinética, m: masa, V: velocidad y F: fuerza

a) 1–c b) –1 c) 1+c d) 2 e) 1

44. ¿Cuál es la expresión dimensional de la potencia en el sistema absoluto?

a) ML2T-1 b) ML2T-2 c) MLT-2

Julio 9

Física Volumen I Capítulo Id) ML2T-3 e) MLT-1

45. La trayectoria de una masa puntual en movimiento está definido por:

x= V 2

2 A (senϕ+μc cosϕ)

donde: x: distancia, V: velocidad, c: coeficiente de fricción y : ángulo. Hallar las dimensiones de “A”.

a) LT-2 b) LT c) LT-1 d) L e) LT2

46. La ecuación a=√ 2 V 2

t 2−2 g2 es

dimensionalmente correcta, si V: velocidad, t: tiempo, g: aceleración, hallar las dimensiones “a”:

a) 0 b) L2T-2 c) LT-2 d) LT e) LT-1

47. Determinar las dimensiones de [x.y.z], si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta:

ω ⋅ Senθ= x

2 t 2+ d+ y

z

Donde : velocidad angular; d: longitud, t: tiempo, : ángulo

a) TL2 b) T2L-2 c) T-2L2 d) T2L e) T2L2

48. El polinomio a+ 1b+c es dimensionalmente

homogéneo. Determinar [b] si: [ ab ]=L2T 4

a) L2T-2 b) L-1T2 c) LT d) LT2 e) L-1T-2

49. Si W es peso y m es masa, ¿Cuál o cuáles expresiones son correctas?I. [W] = [m]II. [W] = LMT-2

III.[m] = M

a) I y III b) I y II c) II y III d) todas e) Solo I

50. Sabiendo que X=mvt

, donde m: masa, v:

velocidad y t: tiempo; reconocer a que magnitud corresponde “X”

a) Fuerza b) Densidad c) Presiónd) Potencia e) Energía

51. Si la ecuación

(2π )3 B=AXlog( aXV )

es dimensionalmente correcta, donde A: área, a: aceleración y V: velocidad; halle la ecuación dimensional de B

a) LT b) LT2 c) L2T d) LT-1 e) L2T2

52. Sabiendo que la ecuación:

C=√ p k 2

dD

Es dimensionalmente correcta, halle las dimensiones de k, siendo:C: velocidad, P: presión, d: densidad, D: diámetro

a) L-1/3 b) L-1/2 c) L1/3 d) L1/2 e) L-2

53. ¿Qué dimensiones tiene “n” en la siguiente ecuación SF = (PS)UNSA que es dimensionalmente correcta? siendo:F: fuerza, P: presión, u: energía, s: superficie y a: aceleración

a) LMT-2 b) L-5M-1T4 c) LMTd) L3MT4 e) L-5T4

54. Si la siguiente ecuación:

E=F2

A+S+√ A2+V 2

5 Q

es dimensionalmente homogénea. Hallar las dimensiones de V.Q, siendo:E: energía cinética, F: fuerza

Julio Ernest 10

Física Volumen I Capítulo Ia) L-4M2T-2 b) L4MT-2 c) MT-2

d) L-4MT-2 e) L-4T

55. ¿Cuál en el análisis dimensional de la relación

K= E r2

q

donde K es la constante de proporcionalidad, E el campo eléctrico, q la carga eléctrica y r la distancia entre la prueba (q0) y la carga eléctrica q?

a) ML3T-4I-1 b) ML3T-3I-2

c) ML2T-4I-1 d) ML3T-4I-2

e) ML2T-3I-2

56. Si V = A + BT + CT2

Donde V: velocidad T: tiempo

Hallar: [ ACB ]

a) T b) L c) LT-2 d) LT2 e) T-2

57. Determinar las dimensiones de I en la siguiente ecuación E = ½ I2 donde E: energía, se mide en rad/s

a) MLT-4 b) MLT-1 c) ML2

d) ML-1 e) ML2T

58. En la ley de Hooke se establece que la fuerza que la fuerza aplicada a un resorte elástico es directamente proporcional a su deformación x (x = longitud). Hállese [k] en F = kx

a) MT b) M2T-2 c) MT-2 d) MT-1 e) MT2

59. ¿Cuál de los siguientes conceptos requiere de un vector para su representación completa?

a) Densidad (de masa)b) Temperaturac) Frecuenciad) Carga eléctricae) Aceleración angular

60. La ecuación de un péndulo está dad por T=2Lygx

donde T: tiempo, g: aceleración de la gravedad y L: longitudDetermine el valor de x

a) 1/3 b) 1 c) –1 d) –1/2 e) 1/2

61. En la siguiente expresión homogénea, calcular x + y

d = Rbxcy

Siendo

b: aceleraciónc: tiempod: distanciaR: constante numérica

62. En la siguiente formula física dimensionalmente homogénea, hallar las dimensiones de “p”

P=C2 tan (ωt )

ABlogπ

Donde: A = aceleración; B = Densidad; C = Velocidad

a) M-2L-2 b) ML-4 c) ML-1 d) M2L2 e) M-1L3

63. En la siguiente fórmula física calcular las dimensiones de “K”.

T=12

k x2

Donde:T = Energia; x = Longitud

a) ML2T b) MT-2 c) ML d) MT2L e) M-1L-2

64. En la siguiente formula física calcular:[C]

D = AB + PCDonde:D = calor; P = Potencia

a) TL b) T c) T3 d) T2 e) T-1

65. En la siguiente formula física calcular ZY/X

F = AXBYCZ

Donde:F: Fuerza; A: Tiempo; B: Densidad; C: Velocidad

a) 1 b) -1 c) 2 d) 4 e) 6

Julio 11

Física Volumen I Capítulo I66. El periodo de un péndulo depende de la longitud del mismo y la aceleración de la gravedad, entonces su ecuación será:

T = KLXgY

Donde K es adimensional, calcular XY

a)1/2 b)-1/2 c)-1/4 d)1/4 e)2

67. En la siguiente fórmula física calcular [B]:

P= A x2+Bx+CA T 2+BT+C

Donde: A = velocidad; T = tiempo

a) L b) L-1 c) T d) T-1 e) LT

Inténtalo:

68. Alexandra, una eficiente enfermera, ha observado que la potencia (P) con que aplica una inyección, depende de la densidad (d) del líquido encerrado, de la velocidad (v) del émbolo al empujar el líquido y el tiempo de aplicación de la inyección (t). Julio un ingeniero de la UNSA le ha conseguido una fórmula con los datos que ella ha proporcionado. Si d = 0,8 g/cm3; v = 5 cm/s y t = 2s, entonces P = 0,9W ¿Cuál será la fórmula descubierta?

a) 900dv5t2 b) 450dv3t3 c) 450dvtd) 900d2v3t e) 450dvt2

Julio Ernest 12