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CALCULO INTEGRAL

100411_336

TRABAJO COLABORATIVO 3

LUCERO MONTAÑO SÁNCHEZ

YENNY ADRIANA HUELGOS ANDREA MAYERLY ALBARRACIN MONSALVE

MAURICIO DAVID PEREZ RAMIREZ

TUTOR JAVIER MEL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD

CARTAGENA, NOVIEMBRE 2013

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CONTENIDO

Pagina

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………......... 3

1. OBJETIVOS……………………………………………………………………………………….. 4

1.1 Objetivo General…………………………………………………………………………………4

1.2 Objetivos Específicos………………………………………………………………………..... 4

2. Desarrollo de los Ejercicios Planteados…………………………………………………….. 5

CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………….12

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………13

3

INTRODUCCIÓN

Con este trabajo logramos afianzar los conocimientos sobre los temas de la unidad tres, técnicas de integración del módulo de cálculo integral, comprendiendo así su contenido y sus diferentes aplicaciones.

Dando a conocer las habilidades adquiridas con los ejercicios que a continuación se relacionan. Por ende desarrolle las competencias pertinentes para que inicie el proceso de fortalecimiento que serán observadas en sus diferentes formas y en su interpretación; mediante el desarrollo de habilidades de orden superior. Luego de poner en práctica nuestros conocimientos previos de matemáticas básicas, vamos a estudiar un tema de mucha relevancia, para nuestro desarrollo profesional, donde tendremos muy claro la importancia de hallar implicaciones concretas, esto adquiriendo herramientas que de una u otra forma nos servirán para formar nuestro conocimiento, enfocado a la práctica, dando como reflejo que nuestro estudio tiene un alcance a largo plazo. En el presente trabajo se desarrollaron una serie de ejercicios los cuales contribuyen en la formación para adquirir habilidad, destreza y potenciar la capacidad de análisis y síntesis que se requiere para describir, interpretar y entender las integrales definidas e indefinidas.

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1. OBJETIVOS

1.1. Objetivo General:

Resolver en grupo colaborativo los ejercicios del módulo de Cálculo integral correspondientes a las temáticas revisadas de los Capítulos que comprenden la Unidad tres. Pueden interactuar de una forma formal en el foro, para aclarar posibles dudas y participación del desarrollo de los ejercicios planteados, reconocer los compañeros del grupo colaborativo iniciando el intercambio de ideas y aportes para así tener un mejor aprendizaje durante nuestro proceso de estudio.

1.2. Objetivos Específicos:

Aplicar herramientas para las soluciones de problemas en cualquier campo de la ciencia, tecnología e ingeniería.

Realizar una contextualización general de los temas del módulo y conocer la importancia de cada tema visto de la tercera unidad.

Manejar los diferentes temas planteados, sus aplicaciones, definiciones, teoremas y principios.

Volver el razonamiento más flexible en el procesamiento de información

Y al enfrentarse a las obligaciones adquiridas en un trabajo en grupo

Describir, interpretar y entender las integrales definidas para poder ser utilizadas como

herramientas primordiales en cada una de las aplicaciones en el desarrollo de esta

tercera unidad.

Identificar claramente el desarrollo de las integrales definidas, para poder aplicarlo en

las diferentes temáticas de la materia.

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LECCION No. 33

Aéreas de superficies de revolución.

𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝐹(𝑦) ∗𝑏

𝑎

√1 + [𝑓1(𝑦)]2𝑑𝑦

El arco de la parábola 𝑦 = 𝑥2 se hace girar en torno del eje 𝑦 𝑑𝑒 (1,1) 𝑎 (2,2). Calcula el área de la figura

resultante sm:

𝑦 = 𝑥2

𝑥 = √𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

1

2 √𝑦

𝐴 = ∫ 2𝜋 ∗ √𝑦 ∗4

1√1 + (

1

2√𝑦)2 ∗ 𝑑𝑦

𝐴 = 2𝜋 ∫ √𝑦 ∗4

1

√1 +1

4𝑦∗ 𝑑𝑦

𝐴 = 2𝜋 ∫ √𝑦 ∗4

1

√4𝑦 + 1

4𝑦∗ 𝑑𝑦

𝐴 = 2𝜋 ∫ √𝑦 (4𝑦 + 1)

4𝑦∗

4

1

𝑑𝑦

𝐴 = 2𝜋 ∫4

1

1

2√4𝑦 + 1𝑑𝑦

𝐴 = 𝜋 ∫4

1√4𝑦 + 1𝑑𝑦

𝑈 = 4𝑦 + 1

𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑦

𝐴 = 𝜋 ∫4

1

√𝑢

4 𝑑𝑢

6

𝐴 =𝜋

4∫

17

5√𝑢 𝑑𝑢

𝐴 =𝜋

4∫

17

5

𝑢12 𝑑𝑢

𝐴 =𝜋

4 ∗

𝑢3

2⁄

32⁄

∫17

5

𝐴 =2

12𝜋 ∗ 𝑢

32⁄ ∫

17

5

𝐴 =𝜋

6 ∗ 𝑢

32⁄ ∫

17

5

𝐴 =𝜋

6√𝑢3 ∫

17

5

𝐴 =𝜋

6(√173 − √53)

𝐴 =𝜋

6(17√17 − 5 √5)

𝐴 =𝜋

6(70,09 − 11,18)

𝐴 =𝜋

6(58,90)

𝐴 = 30,82 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

LECCION 39

Momentos y centro de masa.

Una varilla de 2,6 m de longitud presenta una densidad de 𝑃(𝑥) =4

3𝑥2 + 3𝑥 + 10, hallar el centro de masa.

𝐶𝑒 = ∫ 𝑥 𝜌(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

∫ 𝜌(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝐶𝑒 = ∫ 𝑥 (

43 𝑥2 + 3𝑥 + 10) 𝑑𝑥

2,6

0

∫ (43 𝑥2 + 3𝑥 + 10) 𝑑𝑥

2,6

0

𝐶𝑒 = ∫ 𝑥 (

43 𝑥3 + 3𝑥2 + 10𝑥) 𝑑𝑥

2,6

0

∫ (43 𝑥2 + 3𝑥 + 10) 𝑑𝑥

2,6

0

7

𝐶𝑒 = (

43

∗𝑥4

4+

3𝑥3

3+

10𝑥2

2) ∫

2,6

0

(43

∗ 𝑥3

3+

3𝑥2

2+ 10𝑥) ∫

2,6

0

𝐶𝑒 = (

𝑥4

3+ 𝑥3 + 5𝑥2) ∫

2,6

0

(4𝑥3

9+

3𝑥2

2+ 10) ∫

2,6

0

𝐶𝑒 =

(2,6)4

3+ (2,6)3 + 5(2,6)2

49

(2,6)3 +32

(2,6)2 + 10 − 10

𝐶𝑒 = 15,23 + 17,58 + 33,8

7,8 + 10,14=

66,61

17,94

𝐶𝑒 = 3,71 𝑚

El centro de masa es 3,71 m.

LECCION 45

INTEGRALES EN LAS CIENCIAS SOCIALES.

Una población de bacterias crece de tal manera que la razón de crecimiento en el tiempo t (medida en horas) es

igual a 0,2 𝑡2 + 0,01 𝑒3𝑡.

Si el tamaño de la población en t=0 es 2.000, cuál será el tamaño de la población al cabo de 3 horas.

∫(0,2 𝑡2 + 0,01 𝑒3𝑡) 𝑑𝑡

0,2 𝑡3

3+

0,01 𝑒

3

3𝑡

+ 𝑐

𝑓(0) =0,2

3(0)3 + (

0,01

3) 𝑒3.0 + 𝑐

2000 =0,01

3+ 𝑐

𝑐 = 1999,96

𝑓(𝑥) = 0,2 𝑡2 + 0,01 𝑒3.𝑡 + 1999,9

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑓(3) = 0,2 (3)2 + 0,01 𝑒3.3 + 1999,96

𝑓(3) = 1,8 + 78,83 + 1999,96

8

𝑓(3) = 2080,59

𝐸𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑑𝑒 3ℎ 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝟐𝟎𝟖𝟎, 𝟓𝟗

12. Hallar la longitud del arco de la curva, desde 24𝑥𝑦 = 𝑥4 + 48, 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 4 A. 4.61 Unidades.

B. 5.26 Unidades.

C. 0.40 Unidades.

D. 2.83 Unidades.

𝑙 = ∫ √1 + (𝑓(𝑥)′ )2

𝑏

𝑎

∗ 𝑑𝑥

𝑦 =𝑥4 + 48

24𝑥

𝑦′ =4𝑥3(24𝑥) − (𝑥4 + 48)(24)

(24𝑥)2

𝑦′ =24 (4𝑥4 − 𝑥4 − 48)

(24𝑥)(24𝑥)

𝑦′ =3𝑥4 − 48

24𝑥2

𝑦′ =3(𝑥4 − 16)

24𝑥2

𝑦′ =𝑥4 − 16

8𝑥2

𝑦′ =𝑥2

8−

2

𝑥2

(𝑦´)2 = (𝑥2

8−

2

𝑥2)

2

(𝑦´)2 =𝑥

64

4

−1

2+

4

𝑥4

(𝑦´)2 + 1 =𝑥

64

4

−1

2+

4

𝑥4+ 1

(𝑦´)2 + 1 =𝑥

64

4

−1

2+

4

𝑥4

9

(𝑦´)2 + 1 = (𝑥2

8+

2

𝑥2)

2

√(𝑦′)2 + 1 = √(𝑥2

8+

2

𝑥2)

2

√(𝑦′)2 + 1 =𝑥2

8+

2

𝑥2

𝑙 = ∫ (𝑥2

8+

2

𝑥2)4

2

𝑑𝑥

𝑙 = (𝑥3

24− 2𝑥−1) ∫

4

2

𝑙 = (𝑥3

24−

2

𝑥) ∫

4

2

𝑙 = (64

24−

2

4) − (

8

24−

2

2)

𝑙 = 2,6 − 0,5 + 0,66

Respuesta D= 2.83 Unidades

13. Un cable de 100 metros y 5 Newton por metro de peso, está unido a un cuerpo de 49 Newton. Hallar

el trabajo realizado al enrollar 80 metros de cable sobre el tambor

Simplificación: el tambor tiene diámetro despreciable y tomamos los 100m hasta su eje.

W1 = trabajo necesario elevar el peso de 49N

W2 = trabajo necesario para elevar el cable

W = W1 + W2

El trabajo de enrollar es el trabajo de aplicar el momento que genera el peso del conjunto por el ángulo de

rotación, pero eso debe ser igual al trabajo de levantar el conjunto.

W1 = 49 N . 80 m = 3920 J

dW2 = x (λ dx)

donde λ=5 N/m es el peso específico lineal

x = desplazamiento de un elemento de longitud de cable al subir.

10

x variará de -100m a -20m (tomando como referencia el eje del tambor)

W2 = λ x²/2 ] (de -100 a -20)

W2= 5 N/m (-100)² m² / 2 - 5 N/m (-20)² m² / 2

W2 = 24000 J

W= 3920J +24000 J

W= 27920 J

Respuesta 27.920 J o N. m

Sin embargo la respuesta que obtuvimos no corresponde a ninguna de las estipuladas como opción,

suponemos que hay un error en el valor de N que debe ser 490N y no 49N , al hacerlo con este dato W1

sería igual a 39200J que al sumarlo con W2 que es 24000J nos daría un resultado para W=63200 J, cercano

a la respuesta a, y si el valor de N está errado y es 500N nos daría lo siguiente:

Simplificación: el tambor tiene diámetro despreciable y tomamos los 100m hasta su eje.

W1 = trabajo necesario elevar el peso de 500N

W2 = trabajo necesario para elevar el cable

W = W1 + W2

El trabajo de enrollar es el trabajo de aplicar el momento que genera el peso del conjunto por el ángulo de

rotación, pero eso debe ser igual al trabajo de levantar el conjunto.

W1 =500 N . 80 m = 40000 J

dW2 = x (λ dx)

donde λ=5 N/m es el peso específico lineal

x = desplazamiento de un elemento de longitud de cable al subir.

x variará de -100m a -20m (tomando como referencia el eje del tambor)

W2 = λ x²/2 ] (de -100 a -20)

W2= 5 N/m (-100)² m² / 2 - 5 N/m (-20)² m² / 2

W2 = 24000 J

W= 40000J +24000 J

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W= 64000 J ó 64000 N.m

Respuesta A= 64000 N. m

14. Si la función demanda es D (q) 1000 - 0.4q2y la función oferta es

S (q) = 42q.Calcule el excedente del productor EP Y el excedente del consumidor EC. A., 1532 EC 9200 EP B., 1630 EC 1500 EP C., 2133 EC 8400 EP D., 1200 EC 1500 EP

𝐷(𝑞)=100−0,4 𝑞2

𝑆(𝑞)=42 q

𝐸. 𝐶 = ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑄. 𝑃𝑄

0

𝐸𝑃 = 𝑄. 𝑃 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥𝑄

0

𝐷(𝑞)=𝑆(𝑞)

1000 − 0,4 𝑞2 = 42 𝑞

0,4𝑞2 + 42𝑞 − 1000 = 0

𝑞 =42 ± √(42)2 − 4(0,4)(−1000)

2(0,4)

𝑞 = −42 ± √3364

𝑞 =−42 ± 58

0,8

𝑞1 = 20

𝑺(q)=42(20)=840

𝑄 = 20 𝑃 = 840

𝐸𝐶= ∫ 1000 − 0,4𝑞2 𝑑𝑥. 𝑄. 𝑃

20

0

𝐸𝐶= (1000𝑥 −0,4𝑞3

3) ∫ −(20)(84)

20

0

12

𝐸𝐶=20000 − 1066,66 − 168,00

𝐸𝐶=2133,4

𝐸. 𝑃 = 𝑄. 𝑃 − ∫ 42𝑞

20

0

𝐸. 𝑃 = (20)(840) −42𝑞2

2∫

20

0

𝐸𝑝 = 16800 − 8400

𝐸𝑝 = 8400

𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝐶

15. El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas

de las ecuaciones 𝑦 = 𝑥2 y 𝑦 = 4 gira alrededor del eje Y, es. A. 10 𝜋 B. 8 𝜋 C. 12 𝜋 D. 16 𝜋

𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 4

Alrededor del eje y

𝑦 = 𝑥2

𝑥 = √𝑦

𝑉 = ∫ 𝜋𝑏

𝑎

(𝑓𝑦)2 𝑑𝑦

𝑉 = ∫ 𝜋4

0

(√𝑦)2 𝑑𝑦

𝑉 = ∫ 𝜋4

0

. 𝑦. 𝑑𝑦

𝑉 = 𝜋 𝑦2

2∫

4

0

𝑉 = 𝜋 (4)2

2=

16𝜋

2= 8𝜋

13

𝑉 = 8𝜋

La respuesta es la B.

CONCLUSIONES

Con los aportes de cada uno de los integrantes del grupo colaborativo de cálculo integral,

hemos desarrollado los ejercicios propuestos del trabajo colaborativo No3. Dejándonos como

enseñanza, como proceder para darle solución a una integral indefinida y definida.

Este trabajo nos sirvió para entender, las aplicaciones que tienen las integrales y sus

aplicaciones. Dándonos así una idea más clara y concisa comprendiendo los temas vistos de

la unidad 3 del módulo de cálculo integral.

Obtuvimos mayor claridad en los objetivos trazados para el desarrollo de las diferentes

asignaturas de la materia de cálculo integral, igualmente facilita las instrucciones impartidas

por los tutores ya que nosotros los estudiantes tenemos pleno conocimiento de los temas a

tratar en las diferentes tutorías del módulo en el aula virtual.

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BIBLIOGRAFIA

Módulo De Calculo Integral, diseñado por el Ing. Jorge Eliecer Rondón Duran, en el año 2010.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia, [en línea] Citado el 14 de marzo del 2013, Disponible en Internet: http://www.unad.edu.co/home/