estadistica inferencial

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA

“GABRIEL RENÉ MORENO” FACULTAD DE AUDITORIA FINANCIERA O CONTADURÍA PÚBLICA

CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA

INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Lic. Julio Vargas Herbas

Santa Cruz de la Sierra-EP Bolivia

Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 2

PRÓLOGO

El objetivo principal del presente material llamado guía MEA, es brindar las herramientas y facilitar a

los estudiantes de manera didáctica, su formación académica en el área de Estadística Inferencial,

donde comprende una parte básica de teoría de probabilidades que ayudaran a comprender las

aplicaciones de la estadística Inferencial en la vida cotidiana que nos presenten problemas y dar una

solución.

Siendo la Estadística Inferencial, una disciplina practica en todas las áreas, se ha procurado ilustrar

los conceptos con problemas y ejercicios aplicables en distintos campos, como economía,

administración, contabilidad, finanzas e ingenierías, etc.

El texto consta de seis unidades donde se da un tratamiento adecuado, caracterizado gráfica y

analíticamente en forma fácil, haciendo así posible el manejo de la información obtenida en ella,

teniendo un panorama completo del uso apropiado de los términos y la estadística Inferencial.

Es importante aclarar que la finalidad de estés cursos de la materia de estadística inferencial, es

mostrar la forma en que puede emplearse la estadística inferencial para resolver problemas reales de

la vida profesional y no para eliminar a los menos aptos en habilidades matemáticas.

Esperando sea de su máximo aprovechamiento y deseándoles muchos éxitos siempre a su

disposición, tu docente de la materia de Estadística Inferencial.

Lic. Julio Vargas Herbas


I.- IDENTIFICACION

Facultad: AUDITORIA FINANCIERA O CONTADURIA PUBLICA

Programa de Formación: PARA LA CARRERA DE CONTADURIA PUBLICA

Área de Formación: ESTADISTICA APLICADA A LA CONTADURIA Y FINANZAS

Nombre de la asignatura: ESTADISTICA INFERENCIAL

Sigla y código: MAT 260

Año: SEGUNDO AÑO (CUARTO SEMESTRE)

Total de Horas: 4 HT – 2 HP- 96 HORAS SEMESTRALES

Prerrequisitos: MAT 200 - ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Coordinación vertical: MAT-100 MAT-150 MAT-200

Coordinación horizontal: ECO 250; CPA 250; MAT 250; CPA 260

Aula Digital (dirección): EN PROCESO DE CREACION

Fecha de elaboración: 14/11/2013

Elaborado por:

DAVID BELMONTE OBLITAS MARLEN BENITA MOLLOJA DE CABRERA

RONALD CABRERA PANIAGUA JULIO VARGAS HERBAS GEORGINA ROSARIO FLORES DE LAMAS

JAIME VELASCO ESCOBAR

[email protected] [email protected]

[email protected] [email protected] [email protected] [email protected]

Aprobado por: MSC. EZEQUIEL PANIAGUA BANEGAS

II.-JUSTIFICACIÓN

La estadística inferencial proporciona fundamentos científicos y metodológicos, para ser utilizados en el proceso de toma de decisiones oportunas y solución de problemas que surgen con frecuencia en el desempeño profesional del Contador Público, aplicando la teoría de las probabilidades y muestreo.

III.- OBJETIVO (S) GENERAL (ES)

Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: Aplicar los conocimientos de la estadística inferencial en el ejercicio profesional del contador Público, para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

IV.- CONTENIDOS MÍNIMOS

Probabilidades – Variables Aleatorias – Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias discretas –

Distribuciones de Probabilidad para Variables aleatorias continuas – Distribuciones Muestrales – Estimación

Estadística – Prueba de Hipótesis.


V.- CONTENIDOS ANALÍTICOS

UNIDAD I

PROBABILIDADES TIEMPO 24 Horas – aula

OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que al finalizar la unidad, el estudiante sea capaz de:

Determinar las probabilidades de eventos. Aplicar reglas de adición, multiplicación y teorema de Bayes. Resolver problemas o estudio de casos de las ciencias Contables - financieras.

CONTENIDO:

1.1.0 Probabilidades. 1.1.1 Introducción. 1.1.2 Definiciones básicas de probabilidad. 1.1.3 Probabilidad del suceso y del suceso imposible. 1.1.4 Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes. 1.1.5 Reglas de adición.

1.1.6 Eventos dependientes, eventos independientes y probabilidad condicional. 1.1.7 Reglas de la multiplicación. 1.1.8 Teorema de Probabilidad total y de Bayes. 1.1.9 Tablas de probabilidades conjuntas. 1.1.10 Análisis combinatorio, permutaciones, combinaciones; probabilidad y combinatoria.

UNIDAD II DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

TIEMPO 12 Horas – aula


Diferenciar variables aleatorias discretas y continuas. Resolver problemas y estudio de casos aplicados a las ciencias contables y financieras

CONTENIDO:

2.1.0 Distribución de probabilidad para variables aleatorias: 2.1.1 Distribución de probabilidades fundamentales. 2.1.2 Variables aleatorias. Discreta y continua 2.1.3 Distribución de probabilidades. 2.1.4 Variables aleatoria discreta. 2.1.5 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria discreta. 2.1.6 Variable aleatoria continúa y distribución continúa.


UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.



Determinar que distribución probabilística a emplear en una situación dada. CONTENIDO:

3.1.1 Distribuciones discretas. 3.1.2 Distribución de Bernoulli. 3.1.3 Distribución Binomial. 3.1.4 Distribución Hipergeométrica. 3.1.5 Distribución de Poisson. 3.1.6 Aproximación de la binomial a la Poisson. 3.1.7 Distribuciones continuas. 3.1.8 La distribución Normal de probabilidad. 3.1.9 Aproximación Binomial a la probabilidad Normal. 3.1.10 Aproximación de Poisson a la probabilidad Normal 3.1.11 La distribución Exponencial. UNIDAD IV TEORIA DE MUESTREO.



Calcular el tamaño de muestra adecuado para la estimación de parámetros

CONTENIDO:

4.1.1 Población y parámetro. 4.1.2 Distribuciones muestrales. 4.1.3 Distribución muestral de la media. 4.1.4 Distribución muestral de una proporción. 4.1.5 Determinación de los tamaños muestrales

UNIDAD V ESTIMACION DE PARAMETROS E INTERVALOS DE CONFIANZA



Estimar los parámetros de una población Determinar los intervalos de confianza para la media y proporción.

CONTENIDO: 5.1.1 Tipos de estimaciones 5.1.2 Propiedades de un estimador. 5.1.3 Estimación por intervalos. 5.1.4 Intervalo de confianza.


UNIDAD VI PRUEBA DE HIPOTESIS



Verificar hipótesis considerando las diferentes situaciones en relación al tamaño de muestra y los

parámetros de mayor aplicación. CONTENIDO:

6.1.1 Hipótesis estadística. 6.1.2 Hipótesis nula y alternativa. 6.1.3 Prueba de una hipótesis estadística. 6.1.4 Errores tipo I y tipo II y Nivel de significación. 6.1.5 Región crítica y regla de decisión. 6.1.6 Procedimiento de la prueba de hipótesis.

VI.- METODOLOGÍA CONTENIDOS ANALÍTICOS

El desarrollo de los contenidos se realizará utilizando diferentes estrategias de enseñanza-aprendizaje de

acuerdo a los objetivos a alcanzar y a la naturaleza de los contenidos.

Se utilizará el método inductivo-deductivo en la exposición de las bases teóricas de los contenidos de las

diferentes unidades, y el método heurístico (aproximación progresiva a la interpretación y correcta aplicación

de conceptos, a través de preguntas sucesivas) para desarrollar la parte práctica de ejercitación y aplicación.

VII.- METODOS

Expositivo. Visual. Solución de casos.

Clases magistrales para el desarrollo teórico y práctico con apoyo del pizarrón

Exposiciones del docente con apoyo del proyector multimedia Resolución de problemas, manejo de tablas, clases prácticas e interacción docente estudiante y viceversa.

trabajos de investigación y resolución de problemas utilizando programas estadísticos SPSS o Excel.


VIII.- EVALUACIÓN

TRABAJOS PRACTICOS………………………. 20 PUNTOS PRIMER EXAMEN PARCIAL………………..….. 25 PUNTOS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL………………… 25 PUNTOS EXAMEN FINAL …………………………………..30 PUNTOS TOTAL………………………………………….…..100 PUNTOS

VIII.- BILIOGRAFÍA

Kazmier J. Leonard- Estadística aplicada a la Administración y Economía.Editorial Mc. Graw Hill, Bogotá. Colombia 1993

Moya Calderón Rufino - Estadística y Cálculo de Probabilidades-Univ. de Callao Lima Perú 1985

Chungara Castro Victor-Estadística, UMSA Edición 2013 SPIEGEL, Murray-Estadística2ºedicion. McGRAW-HILL, Espana 1993

García Oré- “Estadística Descriptiva y Probabilidades”-Editorial Gómez. 1992 Lind Douglas; Mason Robert Estadística para administración y economía. España: McGraw-Hill, 2000 Córdova Zamora Manuel- Estadística Descriptiva e Inferencia. 4º edición junio 2000 Perú Lind Douglas A. – Marchal William G. – Mason, Robert D. ESTADISTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA. 11ª Edición. Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V., México, 2004. Webster, Allen L. ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y LA ECONOMIA, 3ª. Ed., Edit. McGraw-Hill. Colombia 2000.

LIBROS DE LA BIBLIOTECA Murray R. Spiegel - John Schiller - R. AluSrinivasan Probabilidad y estadística -Shaum 3ª Ed. McGraw Hill – Companies México-2010 EN ESPAÑOL. Ciro MartìnezBencardino Estadìstica y Muestreo 2ª Ed. Ecoe Ediciones Colombia 2010 Humberto Llinás Solano Estadística Inferencial Ed. Uninorte Colombia 2010 Bacchini R. y Vázquez Lara ESTADISTICAS PROBABILIDADES E INFERENCIA R. Schiller Srinivasan PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS Palacio C. Severo ESTADISTICA APLICADA Stephen P. Shao ESTADISTICA PARA ECONOMISTAS Y ADMINISTRADORES DE EMPRESAS Celestino García Ore ESTADISTICAS INFERENCIAL Roberto Escuder Valles

INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD CON NOCIONES DE MUESTREO E INFERENCIA ESTADISTICA Seymour Lipschutz PROBABILIDAD George C. Canavos PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Rufino Maya C. PROBABILIDAD DE INFERENCIA ESTADISTICA I.Mtenez de Lejarza PROBALIDAD Y MODELOS ESTADISTICOS EMPRESARIAL C.M.Cuadros PROBLEMA DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA.


PROBABILIDADES


PROBABILIDADES

Probabilidad.- La probabilidad es la posibilidad de que algo pase o no pase y se denota de la siguiente manera “𝒑”.Las probabilidades se pueden expresar de tres maneras como:

a) Fracciones: 1

2;

4

5;

9

15;

1

8 b) Decimales: 0,8000; 0,7570; 0,0499; 0,9990 c) Porcentajes: 10%; 15%; 33%; 16%; 6%; 79%; 100%.

Las probabilidades están siempre entre cero y uno 𝟎 ≤ 𝑷(𝑬) ≤ 𝟏.Tener una probabilidad de 0 significa que algo nunca va a suceder y tener una probabilidad de 1 indica que algo va a suceder siempre.

Experimento.- Es aquella actividad que origina un evento (𝑬𝒙). Experimento Determinístico.- La observación se puede predecir en forma precisa. Sumar dos número impares y observar si el resultado es par o impar. Experimento Aleatorio.- La observación no se puede predecir con exactitud. Lanzar una moneda y observar si se obtiene cara o sello. Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral al conjunto que contiene a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, a dicho

conjunto se lo representa con letras mayúsculas “𝑺”. 𝑺 = 𝑾/𝑾 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 Evento.- En teoría de probabilidad, un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer un experimento. En otras palabras, un evento es todo lo que puede suceder.

Un evento o suceso (𝑬) es cualquier subconjunto de un espacio muestral (𝑺) a la ocurrencia de un 𝑬 (éxito), a su no ocurrencia Ē (fracaso).

EJEMPLO#1 Se lanza un dado, esperando obtener un 5 como resultado.

SOLUCIÓN:

𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑺 𝒆𝒔 𝒏 = 𝟔 ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟔

EJEMPLO#2 Se lanza una moneda tres veces al aire y se observa cuantas veces se obtiene sello.

SOLUCIÓN: 𝑺 = 𝑪𝑪𝑪, 𝑪𝑪𝑺, 𝑪𝑺𝑪, 𝑺𝑪𝑪, 𝑪𝑺𝑺, 𝑺𝑪𝑺, 𝑺𝑺𝑪, 𝑺𝑺𝑺 𝒏 = 𝟖 ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟖

EJEMPLO#3 Se lanzan dos dados, esperando obtener un 10 como resultado.

SOLUCIÓN: 𝑺 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟒), (𝟏, 𝟓), (𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟏), (𝟐, 𝟐), (𝟐, 𝟑), (𝟐, 𝟒), (𝟐, 𝟓), (𝟐, 𝟔), (𝟑, 𝟏), (𝟑, 𝟐), (𝟑, 𝟑), (𝟑, 𝟒), (𝟑, 𝟓), (𝟑, 𝟔), (𝟒, 𝟏), (𝟒, 𝟐), (𝟒, 𝟑), (𝟒, 𝟒),

(𝟒, 𝟓), (𝟒, 𝟔), (𝟓, 𝟏), (𝟓, 𝟐), (𝟓, 𝟑), (𝟓, 𝟒), (𝟓, 𝟓), (𝟓, 𝟔), (𝟔, 𝟏), (𝟔, 𝟐), (𝟔, 𝟑), (𝟔, 𝟒), (𝟔, 𝟓), (𝟔, 𝟔) 𝒏 = 𝟑𝟔 ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟔

𝑬 = (𝟒, 𝟔), (𝟔, 𝟒), (𝟓, 𝟓) 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏 𝟏𝟎. Número De Puntos Muéstrales:

𝒏(𝑨); 𝒏(𝑺); 𝒏(𝑬)𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒓𝒐 𝒏(𝑺) = 𝒏(𝑬)

EJEMPLO#4 Del experimento aleatorio de lanzar un dado, se indica su espacio muestral y algunos eventos, indicando los elementos de tales eventos.

SOLUCIÓN:

𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 → 𝒏(𝑺) = 𝟔 a) E1: Lograr un 5; E1=5 → n(E1)=1 b) E2: Lograr un impar; E2=1, 3, 5 → n(E2)=3 c) E3: Lograr mayor o igual a 4; E3=4, 5, 6 → n(E3)=3 d) E4: Lograr mayor a 4; E4=5, 6 → n(E4)=2 e) E5: No lograr un 5; E5=1, 2, 3, 4, 6 → n(E5)=5 f) E6: Lograr mayor o cero; E6=1, 2, 3, 4, 5, 6 → n(E6)=6 → =n(S) g) E7: Lograr un siete; E7==Ø → n(E7)=0

Principio De Multiplicación:

𝒏 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠; 𝑎 𝑠𝑢 𝑣𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝒎 → “𝒏 ∗ 𝒎”

𝒏 = #𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔𝑺 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆 𝟔𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔

𝒏 = #𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝑺.

EJEMPLO#5 Si un experimento es el de lanzar dos dados a la vez, se calcula el número de elementos que posee su espacio muestral.

SOLUCIÓN: S1: Experimento de lanzar un dado n(S1)=6 ; S1: Experimento de lanzar otro dado n(E2)=6 𝑺 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟒), (𝟏, 𝟓), (𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟏), (𝟐, 𝟐), (𝟐, 𝟑), (𝟐, 𝟒), (𝟐, 𝟓), (𝟐, 𝟔), (𝟑, 𝟏), (𝟑, 𝟐), (𝟑, 𝟑), (𝟑, 𝟒), (𝟑, 𝟓), (𝟑, 𝟔), (𝟒, 𝟏), (𝟒, 𝟐), (𝟒, 𝟑), (𝟒, 𝟒),

(𝟒, 𝟓), (𝟒, 𝟔), (𝟓, 𝟏), (𝟓, 𝟐), (𝟓, 𝟑), (𝟓, 𝟒), (𝟓, 𝟓), (𝟓, 𝟔), (𝟔, 𝟏), (𝟔, 𝟐), (𝟔, 𝟑), (𝟔, 𝟒), (𝟔, 𝟓), (𝟔, 𝟔) 𝒏 = 𝟑𝟔 ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟔

n(S1) ∗ n(S2) = 𝟔 ∗ 𝟔 = 𝟑𝟔 → 𝒔𝒊 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝑺 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐),… , (𝟔, 𝟔) 𝑽𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟑𝟔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔.

EJEMPLO#6 Si el experimento es lanzar tres dados, calcular el número de elementos del espacio muestral es:

SOLUCIÓN: n(S1)=6 n(S2)=6 n(S3)=6 n(S1) · n(S2) · n(S3)=6 · 6 · 6=6

3=216 elementos.

EJEMPLO#7 Si un experimento es el de lanzar monedas los espacios muéstrales son:

a) Una moneda: (S1)=C, S → n(S1)=21=2

b) 2 monedas: (S2)=CC, CS, SC, SS → n(S2)=22=4

c) 3 monedas: (S3)=CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS → n(S3)=23=8

d) N monedas: (SN)=CCC…C; CC…S; …; SS…S → n(SN)=2N


EJEMPLO#8 Si un experimento es el de lanzar un dado y una moneda a la vez, calcular el número de elementos que posee su espacio muestral.

SOLUCION:

1,C 2,C 3,C 4,C 5,C 6,C

1,S 2,S 3,S 4,S 5,S 6,S

n(S1)=6 n(S2)=2

n(S1) · n(S2)=6 · 2=12

EJEMPLO#9 Un juego de cartas o naipes, posee 52 cartas, distribuidas de acuerdo a la tabla siguiente:

♥CORAZONES ASC 2C 3C 4C 5C 6C 7C 8C 9C 10C JC QC KC

♦DIAMANTES ASD 2D 3D 4D 5D 6D 7D 8D 9D 10D JD QD KD

♠ESPADAS ASE 2E 3E 4E 5E 6E 7E 8E 9E 10E JE QE KE

♣TREBOLES AST 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T JT QT KT

SOLUCION:

13 Cartas → ♥♦♠♣ Palos (signos) → n(S)=52 a) Si E1 es el evento de sacar diamante: E1=ASD, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, KD, QD → n(E1)=13 b) Sacar un 5: E2=5C, 5D, 5E, 5T → n(E2)=4 c) Sacar un AS de espadas: n(E3)=1 d) sacar una vieja → n(E4)=12 (J, Q, K, de cualquier palo)

Nota: Las cartas contienen 54 piezas ya se agregan dos joker.

EJEMPLO#10 En un almacén se tienen bolsas de azúcar de 2, 4, 6, 8, 10 kgs. Si se eligen dos bolsas cada vez de pesos respectivos (x, y)

entonces cada evento es de la forma (x, y), indicar los espacios muéstrales de:

a) (x, y) / x=y → Sa=(2,2), (4,4), (6,6), (8,8), (10,10)⟹5 elementos b) (x, y) / y>x → Sb=(2,4), (2,6), (2,8), (2,10), (4,6), (4,8), (4,10), (6,8), (6,10), (8,10)⟹10 elementos

c) (x, y) / y=2x → Sc=(2,4), (4,8)⟹2 elementos

EJEMPLO#11 Hallar el número de elementos de los espacios muéstrales en los siguientes experimentos:

a) Se lanzan 4 monedas → n(S)=24=16

b) Se lanzan 4 dados → n(S)=64=1296

c) Se elige un día de la semana → n(S)=71=7

d) Se elige un departamento de Bolivia → n(S)=91=9

e) Se lanzan dos monedas y se lanza un dado → n(S)=22 · 6

1=24

f) Se lanza una moneda y se saca una carta de un mazo de 52 → n(S)=21 · 52

1=104

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

a) 𝟎 ≤ 𝑷(𝑬) ≤ 𝟏

b) 𝑷(𝑺) = 𝟏 ⟹ 𝑷(𝑺) = 𝑷(𝑬) + 𝑷(Ē) = n(E)

n(S)+ n(S) - n(E)

n(S)= n(E) + n(S) - n(E)

n(S)=1

𝑷(𝑬) =𝒏(𝑬)

𝒏(𝑺); 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒂 𝑷() =

𝒏(𝑺) − 𝒏(𝑬)

𝒏(𝑺); 𝒏𝒐 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒂

c) Si E1, E2 son dos eventos mutuamente excluyentes: P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2); unión “∪”

EJEMPLO#12 Calculando las probabilidades de que ocurra un evento E.

a) De obtener cara al lanzar una moneda

S = S, C → n(S)=2 P(E)= n(E)

n(S) =𝟏

𝟐=0,5 ó 50%

E = C → n(E)=1

EJEMPLO#13 Del experimento aleatorio de lanzar un dado, se indica su espacio muestral y se calculan las probabilidades de los siguientes

elementos: S =1, 2, 3, 4, 5, 6 → n(S)=6 P(E)= n(E)

n(S)

SOLUCION:

a) Lograr un 5: E1=5 → n(E1)=1 → P(E1)=𝟏

𝟔=0,1667 ó 16,6667%

b) Lograr un impar: E2=1, 3, 5 → n(E2)=3 → P(E2)=𝟑

𝟔=0,5000 ó 50%

c) Lograr mayor o igual a 4: E3=4, 5, 6 → n(E3)=3 → P(E3)=𝟑

𝟔=50%

d) Lograr mayor a 4: E4=5, 6 → n(E4)=2 → P(E4)=𝟐

𝟔=0,3333 ó 33,33%

e) No lograr un 5: E5=1, 2, 3, 4, 6 → n(E5)=5 → P(E5)=𝟓

𝟔=0,8333 ó 83,33%

f) Un 8: P(E)=0

6=0

g) Menor o igual a 6: P(E)=6

6=1

h) Menor a 6: P(E)=5

6=0,8333

i) No menor o igual a 4: P(E)=2

6=

1

3=0,3333


EJEMPLO#14 Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga mayor que 0.

SOLUCION: S=1, 2, 3, 4, 5, 6

E=1, 2, 3, 4, 5, 6

n(S)=6

n(E)=6

⟹P(E)=

6

6 =1

EJEMPLO#15 Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga 7.

S=1, 2, 3, 4, 5, 6

E= =∅

n(S)=6

n(E)=0 ⟹

P(E)=

0

6=0

EJEMPLO#16 Calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga una suma de 10.

S=(1,1), (1,2),…,(6,6)

E=(4,6), (5,5), (6,4) n(S)=36

n(E)=3 P(E)=

3

36=

1

12

EJEMPLO#17 Calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga una suma menor a 5.

S=(1,1), (1,2),…,(6,6)

E=(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) n(S)=36

n(E)=6 ⟹ P(E)=

6

36=

1

6

EJEMPLO#18 Calcular la probabilidad de sacar la “grande” en el juego clásico del cacho.

S=(1,1,1,1,1), (1,1,1,1,2),…,(6,6,6,6,6)

E=6,6,6,6,6 n(S)=6

5=7776

n(E)=1 grande, de un solo tiro sacar (6,6,6,6,6) ⟹P(E)=

1

7776

EJEMPLO#19 Se lanzan 3 monedas, calcular las probabilidades de los siguientes eventos.

3 Monedas CS

CS

CS

→ S =CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS → n(S)=23=8

a) Obtener dos veces la cara: E=CCS, CSC, SCC n(E)=3 → P(E)=3

8

b) No obtener sello en ningún caso: E=CCC n(E)=1 → P(E)=1

8

c) Obtener al menos una vez cara: E=CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC n(E)=7 𝑷(𝑬) =𝟕

𝟖

d) No obtener cara: E=SSS n(E)=1 → P(E)=1

8

e) Obtener una vez cara: E=CSS, SCS, SSC n(E)=3 → P(E)=3

8

f) Obtener al menos una vez sello: E=CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS n(E)=7 𝑷(𝑬) =𝟕

𝟖

EJEMPLO#20 Al lanzar dos monedas, calcular la probabilidad de obtener:

2 Monedas CS

CS → S =CC, CS, SC, SS → n(S)=2

2=4

a) 2 caras: E=CC n(E)=1 → P(E)=1

4

b) 1 cara: E=CS, SC n(E)=2 → P(E)=2

4=

1

2

c) Ninguna cara: E=SS n(E)=1 → P(E)=1

4

d) Al menos una cara: E=CC, SC, CS n(E)=3 → P(E)=3

4

EJEMPLO#21 Al lanzar dos dados se busca la probabilidad de:

2 Dados 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 → S =(1,1), (1,2), (1,3),…,(6,6) → n(S)=6

2=36

a) Obtener 9: E=(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) n(E)=4 → P(E)=4

36=

1

9

b) Menor o igual a 7: E=(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),(1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (6,1)

n(E)=21 → P(E)=21

36=

7

12

c) Menor a 7: E=(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)

n(E)=15 → P(E)=15

36=

5

12

d) Mayor a 8: E=(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

n(E)=10 → P(E)=10

36=

5

18

e) Obtener 12: E=(6,6) n(E)=4 → P(E)=1

36

f) Obtener 1: E= n(E)=0 → P(E)=0

36=0

EJEMPLO#22 De un mazo de cartas: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

♥C; ♦D; ♠E; ♣T

S =ASC, ASD, ASE, AST, 2C, 2D,…KT → n(S)=13(4)=52 cartas SOLUCION:

a) Sacar un 5: E=5C, 5D, 5E, 5T n(E)=4 → P(E)=(1)(𝟒)

52=

1

13

(1), va 1 porque solo hay un número 5. (𝟒), va cuatro porque hay ♥;♦; ♠;♣ b) Sacar un carta roja: E=ASC, ASD, 2C, 2D, 3C, 3D, 4C, 4D 5C, 5D, 6C, 6D, 7C, 7D, 8C, 8D, 9C, 9D, 10C, 10D, JC, JD, QC, QD, KC, KD

n(E)=26⟹ n(S)=13(2)=26 donde 13 se coloca son las 13 cartas de cada ♥ ♦ de AS,2,3,…k (cartas rojas); se coloca 2 por las ♥ ♦(que son cartas rojas)

n(E)=26 → P(E)=26

52=

1

2

c) Sacar un vieja roja: E=JC, JD, QC, QD, KC, KD ⟹n(E)=6 n(E)=2(3)=6 2 se coloca por ♥ ♦ y 3 se coloca por J, Q, K→ P(E)=6

52=

3

26


d) Una espada: E=ASE, 2E, 3E, 4E, 5E, 6E, 7E, 8E, 9E, 10E, JE, QE, KE ⟹ n(E)=13 ó n(E)=13(1)=13→ P(E)=13

52=

1

4

e) Obtener un 9 de ♥: E=9C n(E)=1 → P(E)=1

52

f) Obtener un 9: E=9C, 9D, 9E, 9T n(E)=4 → P(E)=4

52=

1

13

g) Obtener un espada: E=ASE, 2E, 3E, 4E, 5E,…, KE n(E)=13 → P(E)=13

52=

1

4

h) No obtener una vieja: E=JC, QC, KC, JD, QD, KD, JE, QE, KE, JT, QT, KT → n(E)=12

P(E)= n(E)

n(S)=

12

52=

3

13 P(Ē)=1-P(E)=1-

3

13=

10

13 → P(Ē)=

10

13

EJEMPLO#23 Si un radio trabaja durante 300 días al año, cuál es su probabilidad de no estar trabajando.

n(S)=n(E) + n(Ē) → 365=300 + n(Ē) → 365 – 300= n(Ē) n(Ē)=65 días P(Ē)= 65

365=

13

73

EJEMPLO#24 Que una persona nazca el día miércoles.

S =L, M, M, J, V, S, D → n(E)=1 → P(E)= 1

7

EJEMPLO#25 Que una persona nazca el fin de semana (Sábado o Domingo).

S =L, M, M, J, V, S, D → n(E)=S, D=2 → P(E)= 2

7

EJEMPLO#26 Una rifa ofrece un primer premio de Bs.- 1000, dos segundos premios de Bs.-500, 5 terceros premios de Bs.- 200, 100 cuartos

premios de Bs.- 10. Si se ponen a la venta 2000 boletos, cual es la probabilidad de: a) ganar el primer premio b) ganar 100 Bs o más c) no ganar premio alguno. SOLUCION:

a) Ganar el primer premio: P(E)= 1

2000

b) Ganar Bs.- 100 o más: P(E)= (5 + 2 + 1)

2000=

8

2000=

1

250

c) No ganar premio alguno: P(Ē)= 1892

2000=

4(473)

4(500)=

473

500

EJEMPLO#27 En una encuesta a 80 personas, 60 están a favor del matrimonio. Calcular la probabilidad de que una persona esté en contra

del matrimonio.

n(S)= n(E)+ n(Ē) → 80=60 + n(Ē) → 80 – 60= n(Ē) ⟹ n(Ē)=20 ⟹ P(Ē)= 20

80=

10

40=

5

20=

1

4

EJEMPLO#28 En una urna se tiene 3 bolas blancas y 2 negras. Calcular la probabilidad de: 1 bola blanca; 1 bola negra.

S =B, B, B, N, N → n(S)=5

a) Extraer una bola blanca: P(E)= 3

5

b) Extraer una bola negra: P(E)= 2

5

EJEMPLO#29 En una lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída.

a) Sea un número de una sola cifra: P(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)= 9

49

b) Sea un número múltiplo de 7: P(7, 14, 21, 28, 35, 42, 49)= 7

49=

1

7

c) Sea un número mayor que 25: P(26, 27, 28,…,49)= 24

49

EJEMPLO#30 En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni que colores tienen. En 1000 extracciones (devolviendo la bola

cada vez) hemos obtenido bola blanca en 411 ocasiones, bola negra en 190, bola verde en 179 y bola azul en 220. Al hacer una nueva extracción: Calcular la probabilidad de: SOLUCIÓN:

Como se han hecho 1000 extracciones

P(Bola Blanca)= 411

1000=0,411 P(Bola Negra)=

190

1000=0,19

P(Bola Verde)= 179

1000=0,179 P(Bola Azul)=

220

1000=0,22

Nota: si en la bolsa hay 22 bolas ¿Cuántas estimas que habrá de cada uno de los colores?

a) Sacar bola blanca⟹ P(B. Blanca)=0,411

b) No sacar bola blanca⟹ P(No bola blanca)=1-0,411=0,589

c) Sacar bola verde o azul ⟹P(B. Verde o Azul)=0,179+0,22=0,399 d) No sacar bola negra ni azul ⟹P(No B. Negra ni Azul)=1-(0,19+0,22)=0,59. Si hay 22 bolas: entonces será:

el 41% son B → 22(0,41)=9 B.B el 19% son N → 22(0,19)=4 B.N el 18% son V → 22(0,18)=4 B.V el 22% son A → 22(0,22)=5 B.A

LUGAR # DE PREMIOS MONTO EN BS. 𝒏(𝑺) = 𝟏 + 𝟐 + 𝟓 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝒙 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖 + 𝒙

𝟐𝟎𝟎𝟎 – 𝟏𝟎𝟖 = 𝒙 𝒙 = 𝟏𝟖𝟗𝟐 𝒃𝒐𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔

PRIMER 1 1000 Bs.

SEGUNDO 2 500 Bs.

TERCERO 5 200Bs.

CUARTO 100 10 Bs.

Ninguno 1892 0 Bs.

Total 2000 boletos


EJEMPLO#31 Julio lanza un dado y su hermana Lía lo lanza después. Cuál es la probabilidad de que la puntación de Lía sea superior a la de Julio.

SOLUCIÓN:

MUY PROBABLE, POCO PROBABLE

EJEMPLO#32 Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V), azul(A), y una gran caja vacía.

Echamos en la caja 1R, 10V y el resto A (muchas más de 10) removemos y extraemos una al azar. Asocia con flechas.

EJEMPLO#33 ¿De cuál de las siguientes bolsas es más probable sacar la bola roja?

𝒑(𝑨) =𝟐

𝟑= 𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟕 ⟹ 𝒑() = 𝟔𝟔,𝟔𝟕%

𝒑(𝑩) =𝟒

𝟕= 𝟎,𝟓𝟕𝟏𝟒 ⟹ 𝒑() = 𝟓𝟕, 𝟏𝟒%

𝒑(𝑪) =𝟑

𝟓= 𝟎,𝟔𝟎𝟎𝟎 ⟹ 𝒑() = 𝟔𝟎%

Por lo tanto, es más probable sacar bola roja de la

bolsa A, porque su probabilidad es más grande.

EJEMPLO#34 De una bolsa con 7 bolsas rojas, 5 verdes, 3 amarillas, 11 negras y 3 azules, sacamos una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que?

SOLUCIÓN:

a) Sea roja: P(roja)= 7

29

b) No sea negra: P(no negra)= 18

29

EJEMPLO#34,1 En cuál de las ruletas es más difícil obtener el color azul.


EJEMPLO#34,2

EJEMPLO#34,3

EJEMPLO#34,4


EJEMPLO#34,4

EJEMPLO#35 Hallar las siguientes probabilidades asociados al lanzamiento de un dado correcto.

S =1, 2, 3, 4, 5, 6

a) El resultado es múltiplo de 3: P(múltiplo de 3)= 2

6=

1

3

b) El resultado es múltiplo de 2: P(múltiplo de 2)= 3

6=

1

2

c) El resultado es mayor que 1: P(mayor que 1)= 5

6

d) El resultado es menor que 5: P(menor que 5)= 4

6=

2

3

e) El resultado es menor que 1: P(menor que 1)=0

EJEMPLO#36 Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en un papel diferente y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar.

a) Describe los sucesos elementales de este experimento aleatorio. ¿Tienen todas las mismas probabilidades?

∴ 𝑺𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: (𝑷), (𝑹), (𝑬), (𝑴), (𝑰), (𝑶) P(E)= 1

6 Todos tienen la misma 𝒑

b) Describe el suceso de obtener vocal y calcula su probabilidad.

S =E, I, O P(E)= 3

6=

1

2

c) Si la palabra elegida fuera SUERTE. Responder a) y b). a) S =S, U, E, R, T,E

No todos tienen la misma (𝒑) puesto que la palabra “E” esta repetida.

P(S)=P(U)=P(R)=P(T)= 1

6 pero P(E)=

2

6=

1

3

b) S =U, E P(vocal)= 3

6=

1

2

EJEMPLO#37 Los alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo (tabla) escogemos al azar a una persona de clase. Calcular la

probabilidad de que:

CHICAS CHICOS

CON/GAFAS 3 6

SIN/GAFAS 12 10

a) Sea chica: P(chica)= 15

31

b) Tenga gafas: P(tenga gafas)= 9

31

c) Sea una chica con gafas: P(chica con gafas)= 3

31

EJEMPLO#38 Lanzamos 2 dados. Calcular la probabilidad de que el producto de las puntuaciones sea:

a) 5 b) 6 c)4


EJEMPLO#39 Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la de uno de ellos).

a) Completa la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales 1,2,3,4,5,6.

b) Halla la probabilidad de los sucesos A: número par; B: número menor que 4; 𝑨 ∪ 𝑩

Complete el cuadro

𝒃) 𝒑(𝑨) = 𝒑(𝟐) + 𝒑(𝟒) + 𝒑(𝟔) =

𝟑

𝟑𝟔+𝟕

𝟑𝟔+𝟏𝟏

𝟑𝟔=𝟐𝟏

𝟑𝟔=𝟕

𝟏𝟐

En la tabla hay 21 números pares

𝒑(𝑩) = 𝒑(𝟏) + 𝒑(𝟐) + 𝒑(𝟑) =𝟏

𝟑𝟔+𝟑

𝟑𝟔+𝟓

𝟑𝟔=𝟗

𝟑𝟔=𝟏

𝟒

En la tabla hay 9 números menor a 4.

𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝟐) =𝟑

𝟑𝟔=𝟏

𝟏𝟐

𝑬𝒍 𝒑(𝟐) 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒏 𝒑(𝑨) 𝒚 𝒑(𝑩)

EJEMPLO#40 En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. Calcula la probabilidad de que:

a)Los dos sean chicos b)Sean dos chicas c)Sean un chico y una chica.

EJEMPLO#41 Extraemos una tarjeta de cada una de estas bolsas.

a)Calcula la tabla de obtener una S y una I, “SI”. Resuélvelo rellenando esta tabla: b)¿ Cuál es la probabilidad de obtener “NO”? c) ¿Son suceso contrarios “SI” y “NO”?


EJEMPLO#42 En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar

el segundo es 0,93 y la de pasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas?

Las tres pruebas son independientes una de otra. P(Pasar primer control)=0,89 P(Pasar segundo control)=0,93 P(Pasar tercer control)=0,85 P(Pasar los tres controles)=0,89 · 0,93 · 0,85=0,703

EJEMPLO#43 Julio Vargas Herbas tiene en su monedero 4 monedas de cinco céntimos, 3 de veinte y 2 de un euro. Saca dos monedas al

azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Que las dos sean de cinco centésimos. b) Que ninguna sea de un euro c) Que saque 1,20 euros.

EJEMPLO#44 En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tres extracciones y se

anotan los resultados en orden. Calcula la probabilidad de que el número formado se el 121, suponiendo que: a) La bola se reintegra a la bolsa b) La bola no se devuelve a la bolsa.

EJEMPLO#45 Un jugador de baloncesto suele acertar el 75% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer

tiro, puede tirar de nuevo. Calcular la probabilidad de que: a)Haga dos puntos b)Haga un punto c)No haga ningún punto.

𝒑(𝑨𝒄𝒆𝒓𝒕𝒂𝒓) = 𝟎,𝟕𝟓 = 𝟕𝟓%


EJEMPLO#46 Ariel y Lía juegan con una moneda. Lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez

cara, gana Ariel. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Lía. Calcular la probabilidad que tiene cada uno de ganar. a)Gane Ariel b)gane lía.

EJEMPLO#47 En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.

a)Haz con los datos una tabla de contingencia b)Si elegimos un empleado al azar, calcular la probabilidad de que sea hombre y no fume:

𝒑(𝑯 𝒚 𝑵𝒐 𝑭) c)Calcula también: 𝒑(𝑴 𝒚 𝑭),𝒑(𝑴/𝑭),𝒑(𝑭/𝑴) esta barra / significa, sabiendo. a) Haz con los datos una tabla de contingencia:

HOMBRE MUJER TOTAL

Fumador 40 35 75

NO Fumador 60 65 125

b) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume: P(H y no F): P(H y no F)= 60

200=0,3

c) Calcula también: P(M y F), P(M/F), P(F/M):

P(M y F)= 35

200=0,175

P(M/F)= 35

75=0,467 → M/F de todos los fumadores, cuántos son mujeres. Mujer, sabiendo que es fumadora.

P(F/M)= 35

100=0,35 → de todas las mujeres, cuántos son fumadores.

EJEMPLO#48 En una carrera de UAGRM hay 1000 alumnos y alumnas repartidas así:

a)P(A), P(O), P(G), P(no G):

P(A)=135 + 350

1000=

485

1000=0,485

P(O)=1 – P(A)=1 - 0,485=0,515

P(G)=147 + 135

1000=

282

1000=0,282

P(no G)=1 – P(G)=1 – 0,282=0,718

b)Describe los siguientes suceso y calcula sus probabilidades: A y G; O y no G; A/G; G/A; G/O:

A y G ⟹chica con gafas P(A y G)=135

1000=0,135

O y no G ⟹chico sin gafas P(O y no G)=368

1000=0,368

A/G ⟹ de los que llevan gafas, cuántos son chicas P(A/G)=135

282=0,479

CHICOS CHICAS Llamamos: A ⟹Chicas O ⟹ Chicos

G ⟹ Tiene Gafas No G⟹ No tiene Gafas Calcular: 1) P(A), P(O), P(G), P(no G): 2) Describe los siguientes suceso y calcula sus probabilidades:

A y G; O y no G; A/G; G/A; G/O:

Usan Gafas 147 135

No Usan Gafas 368 350


G/A ⟹ de todas las chicas, cuantos llevan gafas P(G/A)=135

485=0,278

G/O ⟹ de todos los chicos, cuantos llevan gafas P(G/O)=147

515=0,285

EJEMPLO#49 Los 1000 socios de un club deportivo se distribuyen de la forma que se indica en la siguiente tabla:

HOMBRES MUJERES

Juegan al Baloncesto 147 135

No Juegan al Baloncesto 368 350

Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea un hombre: P(H)=147 + 368

1000=

515

1000=0,515

b) Sea una mujer: P(M)=1 – P(H)=1 – 0,515=0,485

c) Juegue al baloncesto: P(B)=147 + 135

1000=

282

1000=0,282

d) Sea una mujer que practique baloncesto: P(M y B)=135

1000=0,135

e) Sea un hombre que no practique baloncesto: P(H y no B)=368

1000=0,368

f) Juegue al baloncesto, sabiendo que es hombre: P(B/H)=147

515=0,285

g) Sea mujer, sabiendo que no juega al baloncesto: P(M/no B)=350

718=0,487

EJEMPLO#50 En cierto lugar se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana también lo haga es de 4/5. Pero si hoy esta

nublado, la probabilidad de que mañana lo siga estando es de 2/3. Si hoy es viernes y hace sol, ¿Cuál es la probabilidad de que el domingo también haga sol. Para resolverlo completa el diagrama y razona sobre el:

EJEMPLO#51 Esto es un plano de parte de la red de cercanía de una ciudad. En cada nudo es igual de probable que el tren continúe por

cualquiera de los caminos que salen de él.

SOLUCÓN:


EJEMPLO#52 En un examen para unas oposiciones hay 80 temas, de los cuales se elige uno al azar. Si un opositor se sabe 60 de los temas,

halla la probabilidad de que:

a) Le toque uno de los que sabe: P(sabe)=60

80=

3

4

b) Le toque uno de los que no sabe: P(no sabe)= 20

80=

1

4

EJEMPLO#53 En una carrera hay 990 alumnos matriculados, de los cuales 510 son mujeres. Si elegimos al azar un estudiante de esa

carrera ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

990 – 510=480 hombres P(H)=480

990=0,485

EJEMPLO#54 En la carrera de Contaduría Pública, los alumnos y alumnas están distribuidos por cursos (semestres) del modo siguiente:

1º SEM. 2º SEM. 3º SEM. 4º SEM. 1º DIPLOM. 2º DIPLOM.

210 250 260 220 140 120

Hay 1200 alumnos en total Si elegimos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que: a)Sea del tercer semestre b)Sea del semestre c)Sea del diplomado.

a) Sea de 3º semestre: P(3º sem.)=260

1200=0,22

b) Sea del semestre: 210 + 250 + 260 + 220=940 alumnos del semestre (I ó II)

P(semestre)=940

1200=0,7833

c) Sea del diplomado: P(diplomado)=140 + 120

1200=

260

1200=0,2167

RESPONDER FALSO O VERDADERO 1.- La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1. Respuesta: Verdadero, porque la probabilidad de un suceso se define mediante la ley de La place como.

P(S)=Nº casos faborables

Nº casos posibes

Y el denominador es menor o igual que el denominador. 2.- Al lanzar un dado correcto, es más probable obtener un 2 que un 5.

Respuesta: Falso, si el dado es correcto P(2)=P(5)=1

6

3.- Si un suceso es muy probable, su probabilidad es próxima a 1. Respuesta: Verdadero, porque si el número de casos favorables es muy grande respecto al de casos posibles, P(S)=1 4.- Si al lanzar una moneda seis veces nos ha salido CARA en los seis casos, la próxima vez es más probable que salga CRUZ.

Respuesta: Falso, la probabilidad es la misma en cualquier lanzamiento P(C)=P(†)=1

2

EJEMPLO#55 Se han hecho análisis de sangre a 200 personas para determinar su grupo sanguíneo, así como Rh los resultados se resumen

en esta tabla:

GRUPO A GRUPO B GRUPO AB GRUPO O TOTALES

RH+ 74 12 6 70 162

RH- 18 3 1 16 38

TOTALES 92 15 7 86 200

Este tipo de tabla se llama tabla de contingencia. a) Si elegimos al azar una persona de entre esas 200 personas, ¿cuál es la probabilidad de que su grupo de sanguíneo sea A? ¿y de que sea O? ¿y de que tenga Rh+? b) si elegimos una persona del grupo sanguíneo B, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga Rh+?.

a) Si elegimos al azar una persona de entre esas 200, ¿Cuál es la probabilidad de que su grupo sanguíneo sea A? ¿Y de que sea O? ¿Y de que tenga Rh+?

P(A)=92

200=0,46 P(O)=

86

200=0,43 P(Rh+)=

162

200=0,81

b) Si elegimos una persona del grupo sanguíneo B, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga Rh+?

P(Rh+)=12

15=

4

5=0,80


EJEMPLO#55,1

EJEMPLO#55,2

EJEMPLO#55,3


ELEMENTOS COMPUESTOS

Sean dos eventos llamados: E1, E2 → E1UE2; E1∩E2 → ó (U); y(∩)

EJEMPLO#56 Calcular el número de elementos de una unión de eventos de: 𝑺 = 𝒂,𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇,𝒈,𝒉; 𝑨 = 𝒂, 𝒄, 𝒆, 𝒈;𝑩 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆

𝒏(𝑺) = 𝟖 𝒏(𝑨) = 𝟒 𝒏(𝑩) = 𝟓

a) A∩B=a, c, e → n(A∩B)=3 b) AUB=a, b, c, d, e, g → n(AUB)=6

n(AUB)= n(A) + n(B) – n(A∩B) =4 + 5 – 3=6 c) No A → Ā=b, d, f, h → n(Ā)=4

d) No B → =f, g, h → n()=3

e) No AUB → 𝑨𝑼𝑩 =f, h → n(𝑨𝑼𝑩 )=2

f) No A∩B → 𝑨 ∩𝑩 =b, d, g, f, h → n(𝑨 ∩ 𝑩 )=5

g) Solo A → A∩=g → n(A∩)=1 h) Solo B → Ā ∩B=b,d → n(Ā ∩B)=2

EJEMPLO#57 En una encuesta a 100 lectores, 50 leen la razón (R), 45 leen la prensa (P), 10 leen ambas. Calcular:

a) Cuantos leen solo R b) Cuantos leen R ó P c) Cuantos no leen ni R ni P.

a) Cuantos leen solo R: Solo leen R=40

n(R∩)=40 b) Cuantos leen R o P:

R o P=85 n(RUP)=40 + 10 + 35=85

c) Cuantos no leen ni R ni P: No leen ni R ni P=15

n(𝑹 ∪ 𝑷 )=15 ó (100 – 85)=15

d) n(∩P)=35

EJEMPLO#58 Un grupo de 54 estudiantes llevan las materias de álgebra (A), Botánica (B) y Contabilidad (C). Clasificándose como: 18

cursan A; 19 cursan B; 21 cursan C; sólo B 8; A y B 5; A y C 3; A y B y C 1. Calcular el número de universitarios que cursan: a)Sólo A b)Sólo C c)B y C d)Ninguna e)A o B f) A o B pero no C g)B y C pero no A.

a) Solo A: 11 ⟹ n(𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪 )=11

b) Solo C: 12 ⟹ n(C∩𝑨 ∪ 𝑩 )=12

c) B y C: 7 ⟹ n(B∩C)=7

d) Ninguna: 10 ⟹ n(𝑨 ∪ 𝑩∪ 𝑪 )=10 e) A o B: 32 ⟹ n(𝑨 ∪ 𝑩)=32

f) A o B pero no C: 23 ⟹ 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) ∩ = 𝟐𝟑

g) B y C pero no A: 6 ⟹ 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) ∩ ) = 𝟔

EJEMPLO#59 De un grupo de 75 Radio-Oyentes, 30 escuchan radio Panamericana (P), 50 escuchan radio Fides (F) y 10 escuchan ambas

radios. Calcular: a)Cuantos escuchan sólo P b)Cuantos escuchan PoF c)Cuantos no escuchan P ni F d)Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar escuche P e)Probabilidad de que escuche sólo a F.

F TOTAL

P 10 20 30

40 5 (Ninguno)

45

TOTAL 50 25 75

50 – 10=40 30 – 10=20 75=20 + 10 + 40 + x 75=70 + x X=5 ninguno 20 + 5=25 40 + 5=45 75=50+25=30+45


a) Cuantos escuchan solo P ⟹ n(P)=20

b) Cuantos escuchan P o F ⟹ 70

c) Cuantos no escuchan P ni F ⟹ 5 d) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar escuche P:

P(Panamericana)=30

75=

2

5

e) Probabilidad de que escuche solo a F:

P(Fides)=40

75=

8

15

EJEMPLO#60 Una persona come manzanas o naranjas cada mañana durante el mes de mayo, si come naranja 25 mañanas y manzana 18

mañanas. ¿Cuántas mañanas come manzanas y naranjas?

𝑵 → 𝟐𝟓 𝒅í𝒂𝒔𝑴 → 𝟏𝟖 𝒅í𝒂𝒔

𝟒𝟑 𝒅í𝒂𝒔(−𝟑𝟏 𝒅í𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒚𝒐)

𝟏𝟐 𝒅í𝒂𝒔

Respuesta: Esta persona come manzanas y naranjas durante 12 días o durante 12 mañanas.

EJEMPLO#61 De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de aritmética, 53 no llevan algebra y 27 no llevan algebra ni aritmética.

¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?

a) ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?

1) 𝟒𝟗 − 𝒙 = 𝑩 2) 𝟓𝟑 − 𝒙 = 𝑨

Sumo todos los lleva por lo menos algo: 𝑨 +𝑩 + 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟕𝑨 +𝑩 + 𝒙 = 𝟕𝟑

(𝟓𝟑 − 𝒙) + (𝟒𝟗 − 𝒙) + 𝒙 = 𝟕𝟑𝟓𝟑 − 𝒙 + 𝟒𝟗 − 𝒙 + 𝒙 = 𝟕𝟑

𝟏𝟎𝟐 − 𝒙 = 𝟕𝟑𝟏𝟎𝟐 − 𝟕𝟑 = 𝒙𝟐𝟗 = 𝒙𝒙 = 𝟐𝟗

(𝟓𝟑 − 𝒙) + (𝟒𝟗 − 𝒙)(𝟓𝟑 − 𝟐𝟗) + (𝟒𝟗 − 𝟐𝟗)

𝟐𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟒𝟒

Respuesta: 44 alumnos llevan unos de los cursos.

EJEMPLO#62 Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A, B o C. Se observa que 180 ven el canal A, 240 ven el canal B

y 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos dos canales son 230. ¿Cuántos ven los 3 canales?

𝒏(𝑺) = 𝟒𝟐𝟎 𝒏(𝑨) = 𝒂 + 𝒆 + 𝒅 + 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎𝒏(𝑩) = 𝒃 + 𝒆 + 𝒇 + 𝒙 = 𝟐𝟒𝟎

𝒏(𝑪) = 𝒅 + 𝒄 + 𝒇 + 𝒙 = 𝟐𝟕𝟎𝟒𝟐𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 = 𝟐𝟕𝟎

; 𝑽𝒆𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔

𝒅 + 𝒆 + 𝒇 + 𝒙 = 𝟐𝟑𝟎

Sabemos que:

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 + 𝒇 + 𝒙 = 𝟒𝟐𝟎

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + (𝒅 + 𝒆 + 𝒇 + 𝒙)⏟ 𝟐𝟑𝟎

= 𝟒𝟐𝟎

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝟐𝟑𝟎 = 𝟒𝟐𝟎𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟒𝟐𝟎 − 𝟐𝟑𝟎 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟗𝟎

Sumando las primeras tres ecuaciones:

𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪)𝒂 + 𝒆 + 𝒅 + 𝒙 + 𝒃 + 𝒆 + 𝒇 + 𝒙 + 𝒅 + 𝒄 + 𝒇 + 𝒙 = 𝟔𝟗𝟎𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝟐𝒆 + 𝟐𝒅 + 𝟐𝒇 + 𝟐𝒙 + 𝒙 = 𝟔𝟗𝟎

𝒂 + 𝒃 + 𝒄⏟ 𝟏𝟗𝟎

+ 𝟐 (𝒅 + 𝒆 + 𝒇 + 𝒙)⏟ 𝟐𝟑𝟎

+ 𝒙 = 𝟔𝟗𝟎

𝟏𝟗𝟎 + 𝟐(𝟐𝟑𝟎) + 𝒙 = 𝟔𝟗𝟎𝟏𝟗𝟎 + 𝟒𝟔𝟎 + 𝒙 = 𝟔𝟗𝟎𝟔𝟓𝟎 + 𝒙 = 𝟔𝟗𝟎𝒙 = 𝟔𝟗𝟎− 𝟔𝟓𝟎

𝒙 = 𝟒𝟎

Según las preferencias de los televidentes, 40 personas ven los tres canales.


REGLAS DE PROBABILIDAD

Eventos Excluyentes a) Eventos Mutuamente Excluyentes.- Se dice que dos eventos A,B son mutuamente excluyentes (ME), cuando uno y solo uno de ellos

puede ocurrir (suceder a la vez), a un mismo tiempo, esto significa que su intersección es el vacío. Son ME si uno y solo uno de ellos puede suceder a la vez. Si dos eventos son ME, la probabilidad de su unión se calcula como: matemáticamente. La probabilidad que al menos uno de ellos sucede se calcula con:

𝑷(𝑨𝒐𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) → 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) Generalizando varios eventos 𝑨,𝑩,… , 𝑬 → 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ …∩ 𝑬) = 𝟎

𝑺𝒊: 𝒏(𝑨 ∗ 𝑩) = 𝟎 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎 𝒆𝒔 𝑴𝑬, 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐. 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ …∪ 𝑬) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) + ⋯+ 𝑷(𝑬)

b) Eventos No Mutuamente Excluyentes.- Se dice que dos eventos A, B son NME si ambos pueden suceder a la vez. 𝑷(𝑨𝒐𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∗ 𝑩)

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨∩ 𝑩)𝑺𝒊: 𝒏(𝑨 ∗ 𝑩) > 𝟎 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) > 𝟎

𝑺𝒐𝒏 𝑵𝑴𝑬

c) Eventos Independientes.- Se dice que dos eventos A, B son independientes cuando el resultado de uno de ellos no afecta el posterior resultado de otro experimento.

Probabilidad Marginal → 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨) Probabilidad Conjunta → 𝑷(𝑨 ∗ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) → 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) Probabilidad Condicional → 𝑷(𝑨/𝑩) = 𝑷(𝑨)

d) Eventos Dependientes.- Se dice que dos eventos A, B son dependientes cuando el resultado de uno de ellos afecta el posterior resultado de otro experimento.

Probabilidad Marginal → 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨𝑩) + 𝑷(𝑨𝑪) + 𝑷(𝑨𝑫) + ⋯

Probabilidad Conjunta → 𝑷(𝑨𝑩) = 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑨/𝑩)

Probabilidad Condicional → 𝑷(𝑨/𝑩) =𝑷(𝑨∗𝑩)

𝑷(𝑩)

e) Probabilidad Condicional en Condiciones de Dependencia:

𝑷(𝑨/𝑩) =𝑷(𝑨 ∗ 𝑩)

𝑷(𝑩)

f) Probabilidad Condicional en Condiciones de Independencia: EJEMPLO#63 Un experimento aleatorio consistió en tomar la edad en años cumplidos de un grupo de 6 universitarios, logrando el espacio

muestra S = 18, 19, 20, 21, 22, 23 el evento A es de elegir una persona de edad menor o igual a 19, el evento B de mayor o igual a 21 años. Calcular la probabilidad de A o B.

𝑺 = 𝟏𝟖, 𝟏𝟗, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏,𝟐𝟐, 𝟐𝟑 → 𝒏(𝑺) = 𝟔

𝑨 = 𝟏𝟖, 𝟏𝟗 → 𝒏(𝑨) = 𝟐 → 𝑷(𝑨) =𝟐

𝟔

𝑩 = 𝟐𝟏,𝟐𝟐, 𝟐𝟑 → 𝒏(𝑩) = 𝟑 → 𝑷(𝑩) =𝟑

𝟔

𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟎

𝟔= 𝟎

No hay intersección

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =𝟐

𝟔+𝟑

𝟔− 𝟎

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =𝟓

𝟔

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =𝟓

𝟔 → 𝑨, 𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑴𝑬

EJEMPLO#64 De un mazo de 52 cartas. Calcular la probabilidad de extraer un AS o una Reina.

𝑺 = 𝑨𝑺𝑪, 𝑨𝑺𝑫, …𝑲𝑻 → 𝒏(𝑺) = 𝟓𝟐

𝑨 = 𝑨𝑺𝑪, 𝑨𝑺𝑫, 𝑨𝑺𝑬, 𝑨𝑺𝑻 → 𝒏(𝑨) = 𝟒

𝑩 = 𝑸𝑪, 𝑸𝑫, 𝑸𝑬, 𝑸𝑻 → 𝒏(𝑩) = 𝟒 𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟒

𝟓𝟐+𝟒

𝟓𝟐− 𝟎 =

𝟖

𝟓𝟐=𝟐

𝟏𝟑 𝒔𝒐𝒏 𝑴𝑬

EJEMPLO#65 De un mazo de 52 cartas. Calcular la probabilidad de extraer un AS o una espada.

𝑺 = 𝑨𝑺𝑪, 𝟐𝑫, …𝑲𝑻 → 𝒏(𝑺) = 𝟓𝟐

𝑨 = 𝑨𝑺𝑪 ,𝑨𝑺𝑫, 𝑨𝑺𝑬, 𝑨𝑻 → 𝒏(𝑨) = 𝟒

𝑩 = 𝑨𝑺𝑬, 𝟐𝑬, 𝟑𝑬, 𝟒𝑬, 𝟓𝑬, 𝟔𝑬, 𝟕𝑬, 𝟖𝑬, 𝟗𝑬, 𝟏𝟎𝑬, 𝑱𝑬, 𝑸𝑬, 𝑲𝑬 → 𝒏(𝑩) = 𝟏𝟑

𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨𝑺𝑬 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟏

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟒

𝟓𝟐+𝟏𝟑

𝟓𝟐−𝟏

𝟓𝟐=𝟏𝟔

𝟓𝟐=𝟒

𝟏𝟑 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

EJEMPLO#66 Al lanzar dos dados se calcula la probabilidad de que la suma sea 7 o que ambos sean impares. Al lanzar dos dados, el

evento A es de que la suma salga 7; el evento B es que ambos salgan impares. Calcular la probabilidad de A o B es unión:

𝑺 = (𝟏,𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑),…… , (𝟔, 𝟔) → 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟔

𝑨 = (𝟏, 𝟔), (𝟔, 𝟏), (𝟐, 𝟓), (𝟓, 𝟐), (𝟑, 𝟒), (𝟒, 𝟑) → 𝒏(𝑨) = 𝟔 → 𝑷(𝑨) =𝟔

𝟑𝟔=𝟏

𝟔

𝑩 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟑), (𝟑, 𝟏), (𝟑, 𝟑), (𝟑, 𝟓), (𝟓, 𝟑), (𝟓, 𝟓), (𝟏, 𝟓), (𝟓, 𝟏) → 𝒏(𝑩) = 𝟗 → 𝑷(𝑩) =𝟗

𝟑𝟔=𝟏

𝟒𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟔

𝟑𝟔+𝟗

𝟑𝟔− 𝟎 =

𝟏𝟓

𝟑𝟔=𝟓

𝟏𝟐 𝒔𝒐𝒏 𝑴𝑬

ó → 𝑼𝒏𝒊𝒐𝒏 ∪

𝒚 → 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 ∩


EJEMPLO#67 Para contratar a empleados de una empresa se tiene las postulaciones: a, b, c, d, e. Calcular la probabilidad de elegir b ó d.

𝑺 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆 → 𝒏(𝑺) = 𝟓 𝑨 = 𝒂 𝑩 = 𝒃 𝑪 = 𝒄 𝑫 = 𝒅 𝑬 = 𝒆

𝒏(𝑨) = 𝒏(𝑩) = 𝒏(𝑪) = 𝒏(𝑫) = 𝒏(𝑬) = 𝟏

𝑩 ∩ 𝑫 = = Ø → 𝒏(𝑩 ∩ 𝑫) = 𝟎

𝑷(𝑩 ∪ 𝑫) = 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑫) − 𝑷(𝑩 ∩ 𝑫) =𝟏

𝟓+𝟏

𝟓− 𝟎 =

𝟐

𝟓 𝒔𝒐𝒏 𝑴𝑬

EJEMPLO#68 Un experimento aleatorio consistió en tomar la edad en años cumplidos de un grupo de 8 universitarios, logrando el espacio

muestral de: S = 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 el evento A es de elegir una persona de edad menor o igual a 22 años, el evento B de mayor o igual a 20 años, el evento C de menor o igual a 18 años.

a) Calcular la probabilidad de la unión de los eventos: A, B: 𝑺 = 𝟏𝟖, 𝟏𝟗, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏,𝟐𝟐, 𝟐𝟑, 𝟐𝟒,𝟐𝟓 → 𝒏(𝑺) = 𝟖

𝑨 = 𝟏𝟖, 𝟏𝟗,𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐 → 𝒏(𝑨) = 𝟓 → 𝑷(𝑨) =𝟓

𝟖

𝑩 = 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐,𝟐𝟑, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓 → 𝒏(𝑩) = 𝟔 → 𝑷(𝑩) =𝟔

𝟖

𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟐𝟎, 𝟐𝟏,𝟐𝟐 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟑 → 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟑

𝟖

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟓

𝟖+𝟔

𝟖−𝟑

𝟖= 𝟏 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

b) Calcular la probabilidad de la unión de los eventos: B, C: 𝒏(𝑺) = 𝟖

𝑩 = 𝟐𝟎,𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟑, 𝟐𝟒,𝟐𝟓 → 𝒏(𝑩) =𝟔

𝟖 → 𝑷(𝑩) =

𝟔

𝟖

𝑪 = 𝟏𝟖 → 𝒏(𝑪) = 𝟏 → 𝑷(𝑪) =𝟏

𝟖

𝑩 ∩ 𝑪 = = Ø → 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) = 𝟎 → 𝑷(𝑩 ∩ 𝑪) = 𝟎

𝑷(𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) − 𝑷(𝑩 ∩ 𝑪) =𝟔

𝟖+𝟏

𝟖− 𝟎 =

𝟕

𝟖 𝒔𝒐𝒏 𝑴𝑬

c) Calcular la probabilidad de la unión: A, C:

𝑷(𝑨) =𝟓

𝟖 → 𝑷(𝑪) =

𝟏

𝟖

𝑨 ∩ 𝑪 = 𝟏𝟖 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪) = 𝟏 → 𝑷(𝑨 ∩ 𝑪) =𝟏

𝟖

𝑷(𝑨 ∪ 𝑪) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑪) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑪) =𝟓

𝟖+𝟏

𝟖−𝟏

𝟖=𝟓

𝟖 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

EJEMPLO#69 Se lanza un dado. Calcular la probabilidad de que se obtenga a mayor que 2 ó que sea par.

𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 → 𝒏(𝑺) = 𝟔

𝑨 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 → 𝒏(𝑨) = 𝟒 → 𝑷(𝑨) =𝟒

𝟔=𝟐

𝟑

𝑩 = 𝟐, 𝟒, 𝟔 → 𝒏(𝑩) = 𝟑 → 𝑷(𝑩) =𝟑

𝟔

𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟒, 𝟔 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟐 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟐

𝟔

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟒

𝟔+𝟑

𝟔−𝟐

𝟔=𝟓

𝟔 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

EJEMPLO#70 Al efectuarse una encuesta de tipo político, sobre 20 encuestados, 9 son de izquierda (I); 10 son de derecha (D); 3 son de

ambas tendencias. Calcular la probabilidad de:

a) Es de sólo D:

𝑺ó𝒍𝒐 𝑫:𝟕

𝟐𝟎⟹ 𝑷(𝑫 ∩ Ī) =

𝒏(𝑫∩Ī)

𝒏(𝑺)=

𝟕

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟑𝟓 ó 𝟑𝟓% 𝟐𝟎(𝟎,𝟑𝟓) = 𝟕 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

b) Es de sólo I:

𝑺ó𝒍𝒐 𝑰:𝟔

𝟐𝟎⟹𝑷(𝑰 ∩ ) =

𝒏(𝑰∩)

𝒏(𝑺)=

𝟔

𝟐𝟎= 𝟎,𝟑𝟎 ó 𝟑𝟎% 𝟐𝟎(𝟎,𝟑) = 𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

c) Es de D o I:

𝑫 𝒐 𝑰:𝟏𝟔

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟖𝟎 ó 𝟖𝟎%

𝑷(𝑫 ∪ 𝑰) = 𝑷(𝑫) + 𝑷(𝑰) − 𝑷(𝑫 ∩ 𝑰) =𝒏(𝑫)

𝒏(𝑺)+𝒏(𝑰)

𝒏(𝑺)−𝒏(𝑫 ∩ 𝑰)

𝒏(𝑺)

𝑷(𝑫 ∪ 𝑰) =𝟏𝟎

𝟐𝟎+𝟗

𝟐𝟎−𝟑

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟖𝟎 ó 𝟖𝟎% → 𝟎, 𝟖𝟎(𝟐𝟎) = 𝟏𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

d) No es de I:

𝐍𝐨 Ī =𝟏𝟏

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟓𝟓

𝑷(Ī) = 𝟏 − 𝑷(𝑰) = 𝟏 −𝒏(𝑰)

𝒏(𝑺)= 𝟏 −

𝟗

𝟐𝟎= 𝟎,𝟓𝟓 ó 𝟓𝟓% → 𝟎, 𝟓𝟓(𝟐𝟎) = 𝟏𝟏 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔


EJEMPLO#71 Las edades de un grupo de personas son: (25, 27, 27, 28, 31, 32, 34, 35). 𝑺 = 𝟐𝟓, 𝟐𝟕, 𝟐𝟕,𝟐𝟖, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐, 𝟑𝟒,𝟑𝟓 → 𝒏(𝑺) = 𝟖

a) El evento A es de personas de edad menor o igual a 27, el evento B de mayor o igual a 34. Calcular la probabilidad de A o B, son o no ME:

𝑺 = 𝟐𝟓, 𝟐𝟕, 𝟐𝟕,𝟐𝟖, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐, 𝟑𝟒,𝟑𝟓 → 𝒏(𝑺) = 𝟖

𝑨 = 𝟐𝟓, 𝟐𝟕, 𝟐𝟕 𝒏(𝑨) = 𝟑 𝑷(𝑨) =𝟑

𝟖

𝑩 = 𝟑𝟒, 𝟑𝟓 𝒏(𝑩) = 𝟐 𝑷(𝑩) =𝟐

𝟖

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟑

𝟖+𝟐

𝟖− 𝟎 =

𝟓

𝟖 𝒔𝒐𝒏 𝑴𝑬

𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒐𝒏: 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

𝟓

𝟖=𝟑

𝟖+𝟐

𝟖

𝟓

𝟖=𝟓

𝟖 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝑨, 𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝑴𝑬

b) El evento C es de personas de edad menor o igual a 32, el evento D de mayor o igual a 28. Calcular la probabilidad de C o D son o no ME:

𝑪 = 𝟐𝟓, 𝟐𝟕,𝟐𝟕, 𝟐𝟖, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐 → 𝒏(𝑪) = 𝟔 𝑷(𝑪) =𝟔

𝟖

𝑫 = 𝟐𝟖, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐, 𝟑𝟒,𝟑𝟓 → 𝒏(𝑫) = 𝟓 𝑪 ∩ 𝑫 = 𝟐𝟖,𝟑𝟏, 𝟑𝟐 → 𝒏(𝑪 ∩ 𝑫) = 𝟑

𝑷(𝑪 ∪ 𝑫) = 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑫) − 𝑷(𝑪 ∩ 𝑫) =𝟔

𝟖+𝟓

𝟖−𝟑

𝟖= 𝟏

𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒐𝒏: 𝑷(𝑪 ∪ 𝑫) = 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑫)

𝟏 =𝟔

𝟖+𝟓

𝟖

𝟏 ≠𝟏𝟏

𝟖 𝒏𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑪,𝑫 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

c) El evento E es de personas de edad mayor o igual a 28, el evento F de mayor o igual a 32. Calcular la probabilidad de E o F son o no ME:

𝑬 = 𝟐𝟖, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐, 𝟑𝟒,𝟑𝟓 → 𝒏(𝑬) = 𝟓 𝑭 = 𝟑𝟐, 𝟑𝟒, 𝟑𝟓 → 𝒏(𝑭) = 𝟑 𝑬 ∩ 𝑭 = 𝟑𝟐,𝟑𝟒, 𝟑𝟓 → 𝒏(𝑬 ∩ 𝑭) = 𝟑

𝑷(𝑬 ∪ 𝑭) = 𝑷(𝑬) + 𝑷(𝑭)− 𝑷(𝑬 ∩ 𝑭) =𝟓

𝟖+𝟑

𝟖−𝟑

𝟖=𝟓

𝟖

𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒐𝒏: 𝑷(𝑬 ∪ 𝑭) = 𝑷(𝑬) + 𝑷(𝑭)

𝟓

𝟖=𝟓

𝟖+𝟑

𝟖

𝟓

𝟖≠ 𝟏 𝒏𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑬,𝑭 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

EJEMPLO#72 Calcular la probabilidad de los siguientes eventos, analizando si son o no ME.

a) Se lanzan dos dados buscando que la suma sea 5 ó que ambos sean impares:


b) Se lanzan dos dados buscando que la suma sea 8 ó que ambas sean pares:

𝑨 = (𝟐,𝟔), (𝟑, 𝟓), (𝟒, 𝟒), (𝟓, 𝟑), (𝟔, 𝟐) → 𝒏(𝑨) = 𝟓 𝑩 = (𝟐, 𝟐), (𝟐, 𝟒), (𝟐, 𝟔), (𝟒, 𝟐), (𝟒, 𝟒), (𝟒, 𝟔), (𝟔, 𝟐), (𝟔, 𝟒), (𝟔, 𝟔) → 𝒏(𝑩) = 𝟗𝑨 ∩ 𝑩 = (𝟐,𝟔), (𝟒, 𝟒), (𝟔, 𝟐) → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟑

𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒐𝒏:

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =𝟓

𝟑𝟔+𝟗

𝟑𝟔−𝟑

𝟑𝟔= 𝟏𝟏/𝟑𝟔

𝟏𝟏

𝟑𝟔≠𝟏𝟒

𝟑𝟔 𝒏𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑨, 𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

c) Se lanza un dado buscando obtener impar ó menor que 5:

𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 → 𝒏(𝑺) = 𝟔 𝑨 = 𝟏, 𝟑, 𝟓 → 𝒏(𝑨) = 𝟑 𝑩 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 → 𝒏(𝑩) = 𝟒 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟏, 𝟑 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟐

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =𝟑

𝟔+𝟒

𝟔−𝟐

𝟔=𝟓

𝟔


𝟓

𝟔=𝟑

𝟔+𝟒

𝟔

𝟓

𝟔≠𝟕

𝟔 𝒏𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑨,𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

Nota: los cuadro que están marcados con color plomo son los datos que me da el enunciado, son los datos que tenemos de entrada. Y después completamos la tabla los cuadros blancos.

d) De un mazo de 52, cartas. Calcular la probabilidad de extraer un 9 o un Rey:

𝑨𝑺 𝟐 𝟑…𝟏𝟎 𝑱 𝑸 𝑲

𝑪,𝑫,𝑬, 𝑻𝑺 = 𝑨𝑺𝑪,… , 𝑲𝑻 → 𝒏(𝑺) = 𝟏𝟑(𝟒) = 𝟓𝟐

𝑨 = 𝟗𝑪, 𝟗𝑫, 𝟗𝑬, 𝟗𝑻 → 𝒏(𝑨) = 𝟒

𝑩 = 𝑲𝑪,𝑲𝑫,𝑲𝑬,𝑲𝑻 → 𝒏(𝑩) = 𝟒

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(∩𝑩) =𝟒

𝟓𝟐+𝟒

𝟓𝟐−𝟎

𝟓𝟐=𝟖

𝟓𝟐=𝟐

𝟏𝟑


𝟐

𝟏𝟑=𝟒

𝟓𝟐+𝟒

𝟓𝟐

𝟐

𝟏𝟑=𝟐

𝟏𝟑 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑨,𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝑴𝑬

e) De un mazo de 52 cartas. Calcular la probabilidad de extraer un 7 ó un trébol:

𝑨 = 𝟕𝑪, 𝟕𝑫, 𝟕𝑬, 𝟕𝑻 → 𝒏(𝑨) = 𝟒

𝑩 = 𝑨𝑺𝑻, 𝟐𝑻, 𝟑𝑻, 𝟒𝑻, 𝟓𝑻, 𝟔𝑻, 𝟕𝑻, 𝟖𝑻, 𝟗𝑻, 𝟏𝟎𝑻, 𝑱𝑻, 𝑸𝑻, 𝑲𝑻 → 𝒏(𝑩) = 𝟏𝟑

𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟕𝑻 → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟏

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =𝟒

𝟓𝟐+𝟏𝟑

𝟓𝟐−𝟏

𝟓𝟐=𝟏𝟔

𝟓𝟐=𝟒

𝟏𝟑


𝟒

𝟏𝟑=𝟒

𝟓𝟐+𝟏𝟑

𝟓𝟐

𝟒

𝟏𝟑≠𝟏𝟕

𝟓𝟐 𝒏𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑨,𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝑵𝒐 𝑴𝑬

EJEMPLO#73 Pronostico de cambio de precio: Los precios de cierre mañana para azúcar en la junta de comercio de Bolivia son

clasificados como: Más bajo=L ; el mismo=S; más alto=H. Cuando los compradores con los precios de apertura. El que ocurrirá mañana, en cuanto a la comparación de los precios de cierre para azúcar con los de apertura se refiere, es obviamente un experimento aleatoria. ¿Cómo describiría usted los siguientes sucesos, uno o más de los cuales ocurrirán mañana en la junta de comercio de Bolivia? SOLUCIÓN:

a) Espacio muestral:

𝑺 = 𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐, 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐 𝑺 = 𝑳, 𝑺,𝑯❶ b) El suceso, el precio de cierre de azúcar es el mismo o más bajo que el precio de apertura:

𝑬(𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒐 𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐) = 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐 = 𝑺, 𝑳❷ c) El suceso, el precio de cierre de azúcar es el mismo o más alto que el precio de apertura:


𝑬(𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒐 𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐) = 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐 = 𝑺,𝑯❸ …… Es su espacio muestral S dado en a)

d) ¿Mutuamente excluyente? ME

S es ME ya que no contiene resultados duplicados❹

e) ¿Colectivamente exhaustivo? CE

S es CE ya que contiene todos los posibles resultados del Experimento Aleatorio ❺

¿Cuáles de los sucesos son ME? Ninguno de los sucesos son ME ya que de:

❶ 𝒚 ❷: 𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐, 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐 ∩ 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐 = 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐

𝑺 ∩ 𝑺, 𝑳 = 𝑺, 𝑳

❶ 𝒚 ❸: 𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐, 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐 ∩ 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐 = 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐

𝑺 ∩ 𝑺, 𝑯 = 𝑺

❷ 𝒚 ❸: 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒋𝒐 ∩ 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐,𝒎𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒐 = 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝑺, 𝑳 ∩ 𝑺, 𝑯 = 𝑺

REGLA DE ADICION EJEMPLO#74 Auditando un archivo de cuentas por cobrar. Durante el último mes se auditaron 2500 cuentas en un archivo de cuentas por

cobrar. Fueron auditadas y en seguida clasificadas dentro de una de las tres categorías: exenta de error, menor (contiene menos errores), y mayor (contiene más errores). La frecuencia de ocurrencia de cada clasificación está dada en la tabla JVH. Durante un auditaje futuro, una cuenta seleccionada arbitrariamente seria alguna que perteneciera a A ó B ó C, donde A denota exenta de error, B denota contiene menos errores, y C denota contiene más errores. Sea P(A), P(B) y P(C) dados en la tabla JVH las probabilidades de que A ó B ocurran, respectivamente, para un cuenta seleccionada arbitrariamente en un auditaje futuro.

TABLA JVH. RESULTADOS DE AUDITAJE – ARCHIVO DE CUENTAS POR COBRAR

CATEGORIA DE LAS CUENTAS SUCESO NUMERO DE CUENTAS PROBABILIDAD DE OCURRECIA

Exenta de error Menos cantidad de errores Más cantidad de errores

A B C

2000 400 100

P(A)=0,80 P(B)=0,16 P(C)=0,04

SOLUCIÓN: Sabemos que los sucesos A, B y C son ME y exhaustivos.

𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) = 𝟏 → 𝟎, 𝟖𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟏 𝑷(𝑨 ó 𝑩 ó 𝑪) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩∪ 𝑪) =? 𝑺𝒐𝒏: 𝑴𝑬 𝑨 ∩ 𝑩 = Ø 𝑨 ∩ 𝑪 = Ø 𝒚 𝑩 ∩ 𝑪 = Ø 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑺

Observamos que la probabilidad de una cuenta seleccionada al azar está exenta de error (suceso A ocurra), más probabilidad de que contenga al menos un error (el complemento de A ocurra, se escribe como el suceso A

c ocurre), tiene lógicamente que ser igual a 1.

𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑨𝒄) = 𝟏 ⟹ 𝑷(𝑨) = 𝟏 − 𝑷(𝑨𝒄) ó 𝑷(𝑨𝒄) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) Desarrollamos un diagrama de Venn:

𝑨𝒄 → 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑨

𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝑨 ó 𝑪 → 𝑨 ∪ 𝑪 =? CATEGORIA DE

CUENTAS SUCESO PROBABILIDAD

Exenta de error A P(A)=0,80

Más cantidad de errores C P(C)=0,04

0,84

𝑷(𝑨 ó 𝑪) = 𝑷(𝑨 ∪ 𝑪) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑪) = 𝟎, 𝟖𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟎, 𝟖𝟒 (𝑨 ∪ 𝑪)𝒄 = 𝑩 𝒚 𝑷((𝑨 ∪ 𝑪)𝒄) = 𝟏 −𝑷(𝑨 ∪ 𝑪) = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟒 = 𝟎, 𝟏𝟔

Exenta de error

A (0,80)

No exenta de error y no más cantidad de errores

(AUC)c

(0,16)

Más cantidad de errores

C (0,04)

Los sucesos en muchas aplicaciones No son ME. Supongamos que el 60% de las cuentas en el archivo de cuentas por cobrar tienen saldos de Bs.- 10000 o más y el 40% de las cuentas tienen saldos menores que Bs.- 10000 sea:

RESULTADOS DE UN AUDITAJE – ARCHIVO DE CUENTAS POR COBRAR

CUENTAS SUCESO PROBABILIDAD

Exento de error con un saldo menor que Bs.- 10000 A∩D

0,5 Exento de error con un saldo igual o mayor que Bs.- 10000

A∩D

C 0,3

Exento de error A 0,80

Contiene más de un error Ac 0,20

Saldo mayor de Bs.- 10000 D 0,60

Saldo menor que Bs.- 10000 Dc 0,40

𝑫 → 𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑩𝒔.𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑷(𝑫) = 𝟎,𝟔(𝟔𝟎%)

𝑫𝒄 → (𝑳𝒂 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒂𝒍 𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒕𝒆𝒏𝒈𝒂 𝒖𝒏 𝒔𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝑩𝒔.𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎)

= 𝑷(𝑫𝑪) = 𝟏 − 𝑷(𝑫) = 𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟎,𝟒𝟎(𝟒𝟎%)

𝑷(𝑨 ∪ 𝑫) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑫)− 𝑷(𝑨 ∩ 𝑫)

𝑷(𝑨∪ 𝑫) = 𝟎,𝟖𝟎+ 𝟎,𝟔𝟎− 𝟎,𝟓𝟎 = 𝟏,𝟒𝟎− 𝟎,𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟎 ó 𝟗𝟎%


PROBABILIDAD CONDICIONAL Es frecuente la necesidad de conocer la probabilidad de un evento, luego de que otro evento previo haya ocurrido, para ello se tiene el concepto de probabilidad condicional.

La notación se denota de la siguiente manera: 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) se lee como “la probabilidad de que un evento B ocurra dado que A ha ocurrido”, o simplemente “la probabilidad condicional de B dado A”.

Si A, B son dos eventos de un espacio muestral S la probabilidad condicional de B dado A, es el número 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) que se define como:

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨); 𝑺𝒊 𝑷(𝑨) > 𝟎 ; 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝑷(𝑨) = 𝟎, 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) = 𝟎

La probabilidad condicional 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) satisface a los axiomas de la probabilidad en términos generales cuando se verifica lo siguiente:

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) ≠ 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩). La probabilidad condicional 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) debe entenderse como la probabilidad de que ocurra B, luego de que ya ha ocurrido A.

EJEMPLO#75 Probabilidad de que al lanzar dos dados, se obtengan dos pares, dado que su suma es 8.

SOLUCIÓN: Se trata de una probabilidad condicional de B dado A donde el evento A es que la suma sea 8, a su vez B es obtener los dos pares. En otras palabras dentro del evento A, se busca a aquellos elementos donde ambos sean pares B.

𝑺 = (𝟏,𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑),… , (𝟔, 𝟔) ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟔 𝑨 = (𝟐, 𝟔), (𝟔, 𝟐), (𝟑, 𝟓), (𝟓, 𝟑), (𝟒, 𝟒) ⟹ 𝒏(𝑨) = 𝟓

𝑩 = (𝟐, 𝟐), (𝟐, 𝟒), (𝟒, 𝟐), (𝟔, 𝟐), (𝟒, 𝟒), (𝟒, 𝟔), (𝟔, 𝟒), (𝟔, 𝟔), (𝟐, 𝟔) ⟹ 𝒏(𝑩) = 𝟗𝑨 ∩ 𝑩 = (𝟐, 𝟔), (𝟔, 𝟐), (𝟒, 𝟒) ⟹ 𝒏(𝑨∩ 𝑩) = 𝟑

⟹ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)=

𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)𝒏(𝑺)

𝒏(𝑨)𝒏(𝑺)

=

𝟑𝟑𝟔𝟓𝟑𝟔

=𝟑

𝟓

Puede obtenerse el mismo resultado razonando que dentro de las cinco opciones del evento A, se buscan aquellos de números pares, son

tres tales opciones: 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝟑

𝟓

Note que (A) actúa como un nuevo espacio muestral pero restringido, ya que dentro de este se buscan las posibilidades de (B). b) Otro ejemplo:

Para el caso de que precise la probabilidad de que al lanzar dos dados, se obtenga suma 8 dado que ambos dados deben ser pares.

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) ==𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)𝒏(𝑺)

𝒏(𝑩)𝒏(𝑺)

=

𝟑𝟑𝟔𝟗𝟑𝟔

=𝟏

𝟑

EJEMPLO#76 De un grupo de estudiantes el 60% aprobó Algebra, 35% aprobó Botánica y 20% aprobó ambas materias. Eligiendo un

estudiante al azar. Calcular la probabilidad de:

a) Haber aprobado Botánica dado que aprobó Algebra: 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑨)=𝒏(𝑨∩𝑩)

𝒏(𝑨)=𝟐𝟎

𝟔𝟎=𝟏

𝟑

b) Haber aprobado Algebra dado que aprobó Botánica: 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) =𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑩)=𝒏(𝑨∩𝑩)

𝒏(𝑩)=𝟐𝟎

𝟑𝟓=𝟒

𝟕

c) Haber aprobado Algebra o Botánica: 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟔𝟎

𝟏𝟎𝟎+𝟑𝟓

𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟎

𝟏𝟎𝟎=𝟑

𝟒

EJEMPLO#77 De un grupo de 300 universitario donde 𝟐

𝟑 estudian Auditoria (A) y el resto Bioquímica (B), se sabe que un 40% son mujeres de las

cuales 𝟏

𝟒 estudian Bioquímica. a) Calcular la probabilidad de que un estudiante sea hombre y de auditoria.

b) Que un estudiante sea hombre, dado que es de auditoria.

SOLUCIÓN:

Total de universitarios: 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗𝒆𝒓𝒔𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔.

Total de hombres:𝒏(𝑯) =𝟔𝟎%

𝟏𝟎𝟎%∗ 𝟑𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗 =

𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟖𝟎 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒐𝒏 𝟔𝟎% = 𝟏𝟖𝟎 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔

Total de mujeres: 𝒏(𝑴) =𝟒𝟎%

𝟏𝟎𝟎%∗ 𝟑𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗 =

𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟐𝟎 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒐𝒏 𝟒𝟎% = 𝟏𝟐𝟎 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔

Total de universitarios que estudian Auditoria: 𝒏(𝑨) =𝟐

𝟑∗ 𝟑𝟎𝟎 =

𝟔𝟎𝟎

𝟑= 𝟐𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗

Total de universitario que estudian Bioquímica: 𝒏(𝑩) =𝟏

𝟑∗ 𝟑𝟎𝟎 =

𝟑𝟎𝟎

𝟑= 𝟏𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗

Luego considerando que 𝟏

𝟒 de las mujeres estudian Bioquímica: que seria 30 mujeres que estudian bioquímica.

𝟏𝟐𝟎𝒎 ∗𝟏

𝟒= 𝟑𝟎

a) Calcular la probabilidad de que un estudiante sea hombre y de Auditoria:

𝑷(𝑯 ∩ 𝑨) =𝒏(𝑯 ∩ 𝑨)

𝒏(𝑺)=𝟏𝟏𝟎

𝟑𝟎𝟎= 𝟎, 𝟑𝟔𝟔𝟕 ó 𝟑𝟔, 𝟔𝟕% "y" 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏

b) Que un estudiante se hombre, dado que es de Auditoria:

𝑷(𝑯 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑯 ∩ 𝑨)

𝑷(𝑨)=𝒏(𝑯 ∩ 𝑨)

𝒏(𝑨)=𝟏𝟏𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟓𝟓 ó 𝟓𝟓%

AUDITORIA BIOQUIMICA TOTAL

HOMBRES 110 70 180

MUJERES 90 30 120

TOTAL 200 100 300


EJEMPLO#78 Calcular las siguientes probabilidades condicionales.

a) Al lanzar dos dados, se obtengan dos impares, dado que se suma es 6:

𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔

𝑺 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), … , (𝟔, 𝟔) 𝒏(𝑺) = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔

𝑩 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟓), (𝟑, 𝟏), (𝟑, 𝟑), (𝟑, 𝟓), (𝟓, 𝟏), (𝟓, 𝟑), (𝟓, 𝟓) 𝒏(𝑩) = 𝟗𝑨 = (𝟏,𝟓), (𝟐, 𝟒), (𝟑, 𝟑), (𝟒, 𝟐), (𝟓, 𝟏) 𝒏(𝑨) = 𝟓

𝑨 ∩ 𝑩 = (𝟏,𝟓), (𝟑, 𝟑), (𝟓, 𝟏) 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟑

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)=

𝟑𝟑𝟔𝟓𝟑𝟔

=𝟑

𝟓

b) ¿Qué al lanzar un dado, se obtengan números divisibles por 3, dado que se obtuvo par?:

𝑩 = 𝟑, 𝟔 𝒏(𝑩) = 𝟐 𝑷(𝑩) =𝟐

𝟔

𝑨 = 𝟐, 𝟒, 𝟔 𝒏(𝑨) = 𝟑 𝑷(𝑨) =𝟑

𝟔

𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟔 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟏 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟏

𝟔

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)=

𝟏𝟔𝟑𝟔

=𝟏(𝟔)

𝟔(𝟑)=𝟏

𝟑

EJEMPLO#79 De un grupo de 200 universitarios de Auditoria o Biología, 30% son mujeres. Un 60% estudia Auditoria de las 𝟏

𝟒 son mujeres.

Calcular la probabilidad de: a)Que un universitario sea hombre y de auditoria b)Que una universitaria sea mujer, dado que estudia biología.

Total de mujeres: 𝟐𝟎𝟎(𝟎,𝟑𝟎) = 𝟔𝟎 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 Total de hombres: 𝟐𝟎𝟎(𝟎,𝟕𝟎) = 𝟏𝟒𝟎 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 Total de universitarios que estudian Auditoria: 𝟐𝟎𝟎(𝟎,𝟔) = 𝟏𝟐𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗. Total de universitarios que estudian Biología: 𝟐𝟎𝟎(𝟎,𝟒) = 𝟖𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗.

𝟏

𝟒 𝒔𝒐𝒏 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 𝟏𝟐𝟎 ∗

𝟏

𝟒= 𝟑𝟎 𝑴.𝑨𝒖𝒅𝒊𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂.

= 𝟗𝟎 𝑯.𝑨𝒖𝒅𝒊𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂.

AUDITORIA BIOLOGIA

MUJER 30 30 60

HOMBRE 90 50 140

TOTAL 120 80 200

a) Que un universitario sea hombre y de Auditoria: 𝑷(𝑯 ∩ 𝑨) =𝟗𝟎

𝟐𝟎𝟎=

𝟗

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟒𝟓 ó 𝟒𝟓%

b) Que una universitaria sea mujer, dado que estudia Biología: 𝑷(𝑴 ∖ 𝑩) =𝑷(𝑴∩𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟑𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟖𝟎

𝟐𝟎𝟎

=𝟑𝟎

𝟖𝟎=𝟑

𝟖= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 ó 𝟑𝟕, 𝟓%

EJEMPLO#80 En una empresa el 70% de los empleados son hombres, de los cuales el 40% son profesionales, entre las mujeres solo el

25% son profesionales. Calcular la probabilidad de: a)El empleado elegido es hombre profesional b)El empleado elegido es mujer no profesional. Supongamos que hay 1000 empleados.

Total hombres: 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟎,𝟕) = 𝟕𝟎𝟎 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 Total mujeres: 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟎,𝟑) = 𝟑𝟎𝟎 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 Hombres profesionales: 𝟐𝟖𝟎 𝑯.𝑷𝒓𝒐𝒇. → 𝟕𝟎𝟎(𝟎,𝟒) = 𝟐𝟖𝟎 𝑯.𝑷𝒓𝒐𝒇. Mujeres profesionales: 𝟑𝟎𝟎(𝟎,𝟐𝟓) = 𝟕𝟓 𝑴.𝑷𝒓𝒐𝒇. Hombres no profesionales: 𝟕𝟎𝟎 − 𝟐𝟖𝟎 = 𝟒𝟐𝟎 𝑯.𝒏𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒇. Mujeres no profesionales: 𝟑𝟎𝟎 − 𝟕𝟓 = 𝟐𝟐𝟓 𝑴.𝒏𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒇.

a) El empleado elegido es hombre profesional:

𝑷(𝑯𝑷) = 𝑷(𝑯 ∩ 𝑷) =𝟐𝟖𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎=𝟐𝟖

𝟏𝟎𝟎= 𝟎,𝟐𝟖

b) El empleado elegido es mujer no profesional:

𝑷(𝑴𝒏𝑷) = 𝑷(𝑴∩𝒏𝒐 𝑷) =𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟐𝟐𝟓

EJEMPLO#81 La probabilidad de que al lanzar dos dados, dado que se obtenga números diferentes se logre.

𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔

→ 𝑺 = (𝟏,𝟏), (𝟏, 𝟐),… , (𝟔, 𝟔) 𝒏(𝑺) = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔

𝑨 = (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟒), (𝟏, 𝟓), (𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟏), (𝟐, 𝟑), (𝟐, 𝟒),(𝟐, 𝟓), (𝟐, 𝟔), (𝟑, 𝟏), (𝟑, 𝟐), (𝟑, 𝟒), (𝟑, 𝟓), (𝟑, 𝟔) (𝟒, 𝟏), (𝟒, 𝟐), (𝟒, 𝟑), (𝟒, 𝟓), (𝟒, 𝟔), (𝟓, 𝟏), (𝟓, 𝟐), (𝟓, 𝟑), (𝟓, 𝟒), (𝟓, 𝟔), (𝟔, 𝟏), (𝟔, 𝟐), (𝟔, 𝟑), (𝟔, 𝟒), (𝟔, 𝟓) → 𝒏(𝑨) = 𝟑𝟎


a) Suma 8:

𝑩 = (𝟐, 𝟔), (𝟑, 𝟓), (𝟒, 𝟒), (𝟓, 𝟑), (𝟔, 𝟐) → 𝒏(𝑩) = 𝟓 𝑨 ∩ 𝑩 = (𝟐,𝟔), (𝟑, 𝟓), (𝟓, 𝟑), (𝟔, 𝟐) → 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟒

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =

𝟒𝟑𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔

=𝟒(𝟑𝟔)

𝟑𝟔(𝟑𝟎)=𝟒

𝟑𝟎=𝟐

𝟏𝟓

b) Aparezca el numero 3:

𝑩 = (𝟏, 𝟑), (𝟐, 𝟑), (𝟑, 𝟏), (𝟑, 𝟐), (𝟑, 𝟑), (𝟑, 𝟒), (𝟑, 𝟓), (𝟑, 𝟔), (𝟒, 𝟑), (𝟓, 𝟑), (𝟔, 𝟑) ⟹ 𝒏(𝑩) = 𝟏𝟏

𝑨 ∩ 𝑩 = (𝟏,𝟑), (𝟐, 𝟑), (𝟑, 𝟏), (𝟑, 𝟐), (𝟑, 𝟒), (𝟑, 𝟓), (𝟑, 𝟔), (𝟒, 𝟑), (𝟓, 𝟑), (𝟔, 𝟑) ⟹ 𝒏(𝑨∩ 𝑩) = 𝟏𝟎

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =

𝟏𝟎𝟑𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔

=𝟏𝟎

𝟑𝟎=𝟓

𝟏𝟓=𝟏

𝟑

c) La suma sea menor o igual a 4:

𝑩 = (𝟏,𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟐, 𝟏), (𝟐, 𝟐), (𝟑, 𝟏) ⟹ 𝒏(𝑩) = 𝟔

𝑨 ∩ 𝑩 = (𝟏,𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟐, 𝟏), (𝟑, 𝟏) ⟹ 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟒

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =

𝟒𝟑𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔

=𝟒

𝟑𝟎=𝟐

𝟏𝟓

EJEMPLO#82 De un grupo de estudiantes el 50% aprobó Historia (H), 55% aprobó Geografía (G) y 15% aprobó ambas, eligiendo un estudiante al

azar, calcular la probabilidad de: a)Haber aprobado G dado que aprobó H b)Haber aprobado H dado que aprobó G c)Haber aprobado HoG.

a) Haber aprobado G dado que aprobó H:

𝑷(𝑮 ∖ 𝑯) =

𝟏𝟓𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎𝟏𝟎𝟎

=𝟏𝟓(𝟏𝟎𝟎)

𝟓𝟎(𝟏𝟎𝟎)=𝟏𝟓

𝟓𝟎=𝟑

𝟏𝟎

b) Haber aprobado H dado que aprobó G:

𝑷(𝑯 ∖ 𝑮) =

𝟏𝟓𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓𝟏𝟎𝟎

=𝟏𝟓(𝟏𝟎𝟎)

𝟓𝟓(𝟏𝟎𝟎)=𝟏𝟓

𝟓𝟓=𝟑

𝟏𝟏

c) Haber aprobado H o G:

𝑷(𝑯⋃𝑮) =𝟓𝟎

𝟏𝟎𝟎+𝟓𝟓

𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟓

𝟏𝟎𝟎=𝟓𝟎 + 𝟓𝟓 − 𝟏𝟓

𝟏𝟎𝟎=𝟗𝟎

𝟏𝟎𝟎=𝟗

𝟏𝟎

EJEMPLO#83 Durante los últimos años, desde el 16 junio de 1979 la empresa AL-QUADOSH+ ha aplicado una prueba escrita a cada uno de

los candidatos a ocupar cargos administrativos y que lo practican durante una entrevista en la compañía. Un resumen de las estadísticas de los últimos 10 años (1979 – 1989) de aquellos que fueron contratados y sus resultados con AL-QUADOSH+ esta dado en la siguiente tabla:

Examen de la Empresa AL-QUADOSH+ Prueba de la Primera Entrevista (TABLA I)

Resultados de la Prueba de la Entrevista (de 100 puntos posibles)

ESTADO PRESENTE Total

Alta Posición Administrativa(S)

Posición ADM Intermedia (J)

Despedido (D)

70 o más (H) Menos de 70 (L)

20 10

120 50

60 40

200 100

Total 30 170 100 300

NOTA: Contrato 300 de los entrevistados durante 1979 – 1989 de los cuales 200 sacaron 70 o más en la prueba y 100 sacaron menos de 70 en

la primera prueba, de los 200 que sacaron 70 o más en la prueba, 𝟏𝟒𝟎 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟐𝟎 tuvieron éxito con AL-QUADOSH+ y 60 de los 200 fueron despedidos. 20 de los 140 avanzaron a la más alta posiciones administrativas y 120 avanzaron a las posiciones intermedias en la

administración. De los 100 practicantes que fueron contratados y que secaron menos de 70, 𝟔𝟎 = 𝟏𝟎 + 𝟓𝟎 tuvieron éxito con QUADOSH, y 40 de los 100 que sacaron menos de 70 fueron despedidos por QUADOSH 10 de los 60 han avanzado a las más altas posiciones administrativas y 50 de los 60 avanzaron a posiciones intermedias en la ADM.

𝑷 (𝒖𝒏 𝒑𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒗𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒂𝒅𝒎 ∖ 𝒔𝒂𝒄𝒂 𝟕𝟎 𝒐 𝒎á𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂) =? 𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒃𝒐𝒍𝒐 “ ∖ ” 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 “𝒅𝒂𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆” Antes de la barra, está dado el suceso S en suya probabilidad estamos interesados; después de la barra se da el suceso H que ha ocurrido u

ocurrirá ciertamente. 𝑷(𝑺 ∖ 𝑯) =? En la tabla observamos que 200 practicantes (200 observaciones) sacaron 70 o más esto es 𝒏(𝑯) = 𝟐𝟎𝟎, además de la tabla, 20 de los que

sacaron 70 o más avanzaron hasta una posición alta: será 𝒏(𝑯 ∩ 𝑺) = 𝟐𝟎

𝑷(𝑺 ∖ 𝑯) = 𝑷(𝒂𝒗𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏(𝑺) ∖ 𝒔𝒂𝒄𝒂 𝟕𝟎 𝒐 𝒎á𝒔(𝑯)) ⟹ 𝑷(𝑺 ∖ 𝑯) =𝒏(𝑯 ∩ 𝑺)

𝒏(𝑯)=𝟐𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎,𝟏𝟎

En el cálculo 𝑷(𝑺 ∖ 𝑯) solo hemos considerado 200 practicantes que sacaron 70 ó más, no considerando todos los 300 practicantes. Esto es, nuestro espacio muestral son esos practicantes que sacaron 70 o más. “Excluyendo” a los practicantes con menos de 70.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un practicante contratado recientemente avance a una posición alta dado que saca baja

calificación en la prueba?


𝑷(𝑺 ∖ 𝑳) =𝒏(𝑺 ∩ 𝑳)

𝒏(𝑳)=𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟎, 𝟏𝟎

b) ¿Cuáles son las probabilidades de que un practicante contratado recientemente avance a posiciones intermedias dado cuando el saque en la prueba el practicante sacará bajo (H) o alto (L)?

𝑷(𝑱 ∖ 𝑯) =𝒏(𝑱 ∩ 𝑯)

𝒏(𝑯)=𝟏𝟐𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟔𝟎 𝑷(𝑱 ∖ 𝑳) =

𝒏(𝑱 ∩ 𝑳)

𝒏(𝑳)=𝟓𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟎,𝟓𝟎

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo practicante que saca bajo en la prueba, pueda ser despedido eventualmente por AL-QUADOSH+?

𝑷(𝑫 ∖ 𝑳) =𝒏(𝑫 ∩ 𝑳)

𝒏(𝑳)=𝟒𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟎, 𝟒𝟎

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un practicante que saca alto en la prueba, pueda ser despedido eventualmente por AL-QUADOSH+?

𝑷(𝑫 ∖ 𝑯) =𝒏(𝑫 ∩ 𝑯)

𝒏(𝑯)=𝟔𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎,𝟑𝟎

Resumen: 1979 – 1989 examen de la empresa AL-QUADOSH+ (TABLAII)

Resultados Obtenidos de la Entrevista

PREDICCIONES CONDICIONALES Total

Alta Posición Administrativa(S)

Posición ADM Intermedia (J)

Despedido (D)

ALTA (H) BAJA (L)

0,10 0,10

0,6 0,5

0,30 0,40

1,00 1,00

Interpretación: Que 𝑷(𝑺 ∖ 𝑯) = 𝑷(𝑺 ∖ 𝑳) = 𝟎, 𝟏𝟎 existe un 10% de probabilidad de que un practicante avance a una alta posición ADM, sin importar que resultado saque en la prueba. Que es más probable que un practicante que saca bajo en la prueba, pueda ser despedido que un practicante que saca alto será así:

𝑷(𝑫 ∖ 𝑳) = 𝟎, 𝟒𝟎 > 𝟎, 𝟑𝟎 = 𝒑(𝑫 ∖ 𝑯) Durante el 1979 – 1989 tenemos cerca de 300 contratados. (TABLA II)

BUENOS RESULTADOS Despedidos (D)

Total Alta Posición ADM (S) Posición ADM Intermedia (J)

30 170 100 300

Han sido exitosos, 30 y 70, y 100 el número de despedidos de los 300 practicantes.

𝑷(𝒖𝒏 𝒑𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒖𝒆 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒂𝒍𝒕𝒂) = 𝑷(𝑺) =𝟑𝟎

𝟑𝟎𝟎=𝟏

𝟏𝟎= 𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝑷(𝒖𝒏 𝒑𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒖𝒆 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒎𝒅𝒊𝒂) = 𝑷(𝑱) =𝟏𝟕𝟎

𝟑𝟎𝟎=𝟏𝟕

𝟑𝟎= 𝟎, 𝟓𝟔𝟕

𝑷(𝒖𝒏 𝒑𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐) = 𝑷(𝑫) =𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟎=𝟏

𝟑= 𝟎, 𝟑𝟑𝟑

𝑷(𝑺) + 𝑷(𝑱) + 𝑷(𝑫) = 𝟏 (𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐 𝒖𝒏 𝑺 ó 𝑱, 𝒄𝒐𝒏 𝑨𝑳 − 𝑸𝑼𝑨𝑫𝑶𝑺𝑯 𝒐 𝒔𝒆𝒓 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 𝑫)

𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑰𝑰: 𝑷(𝑺 ∖ 𝑯) = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒚 𝑷(𝑺) = 𝟎, 𝟏𝟎

𝑷(𝑺 ∖ 𝑯)⏟ 𝑻𝑨𝑩𝑳𝑨 𝑰𝑰

= 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝑷(𝑺)⏟𝑻𝑨𝑩𝑳𝑨 𝑰𝑽

TABLA IV

BUENOS RESULTADOS Despedidos (D) Total

Alta Posición ADM (S) Posición ADM Intermedia (J)

0,1 0,567 0,333 1,00

Probabilidad de la tabla III 𝑷(𝑱 ∖ 𝑯)⏟ 𝑻𝑨𝑩𝑳𝑨 𝑰𝑰

= 𝟎, 𝟔𝟎 ≠ 𝑷(𝑱)⏟𝑻𝑨𝑩𝑳𝑨 𝑰𝑽

= 𝟎, 𝟓𝟔𝟕

𝑷(𝑱 ∖ 𝑯) = 𝟎, 𝟔

𝑷(𝑱) = 𝟎,𝟓𝟔𝟕

Si usted predice insuficientemente el éxito a nivel intermedio 𝑷(𝑱) = 𝟎, 𝟓𝟔𝟕 , Si no conoce el resultado de H (70 ó más).

Predicción baja en cantidad 𝟎, 𝟎𝟑𝟑 𝑷(𝑫 ∖ 𝑯) ≠ 𝑷(𝑫)

REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACION Se llama evento de la intersección A: A∩B representa al evento de que tanto A como B ocurran, entonces a partir de la probabilidad condicional.

𝑺𝒊: 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)→ 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨)

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) → 𝑺𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏.

EJEMPLO#84 De un lote de 12 televisores (TV) usados en venta, se sabe que 3 son defectuosos, calcular la probabilidad de vender

sucesivamente a 2 TV defectuosos.

D1: Evento de que el primer TV sea defectuoso 𝑷(𝑫𝟏) =𝟑

𝟏𝟐

Luego de vender el primer TV defectuoso, quedan 11 TV de los cuales 2 son defectuosos.

D2: Evento de que el segundo TV sea defectuoso 𝑷(𝑫𝟐) =𝟐

𝟏𝟏

La probabilidad e vender sucesivamente dos TV defectuosos es: 𝑷(𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐) =?

𝑷(𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐) = 𝑷(𝑫𝟏) ∗ 𝑷(𝑫𝟐 ∖ 𝑫𝟏) =𝟑

𝟏𝟐∗𝟐

𝟏𝟏=

𝟔

𝟏𝟑𝟐=

𝟑

𝟔𝟔=

𝟏

𝟐𝟐= 𝟒, 𝟓𝟒𝟓𝟒%

Dónde: 𝑷(𝑫𝟐 ∖ 𝑫𝟏) es la probabilidad condicional de vender un segundo Televisor defectuosos, luego de que vendió el primer TV defectuosos.


EJEMPLO#85 En la tabla se muestra la cantidad de universitarios que se matricularon y luego egresan de una carrera.

AUDITORIA BIOLOGIA DERECHO TOTAL

Matriculados 180 160 240 580

Egresados 120 40 210 370

Total 300 200 450 950

Los matriculados son los que inician una carrera y los egresados son los mismos que al cabo de ciertos años terminan su carrera. Calcular la probabilidad de que un universitario sea de Auditoria (A) y sea egresado. Lo mismo con uno de derecho. A: evento de que el universitario es de auditoria.

Probabilidad de que el universitario elegido sea de auditoria: 𝑷(𝑨) =𝟏𝟖𝟎

𝟓𝟖𝟎=

𝟗

𝟐𝟗= 𝟑𝟏, 𝟎𝟑𝟒𝟓%

E: Evento de que el universitario elegido haya egresado.

Que sea de Auditoria y egresado será el evento: A∩E ⟹ 𝑷(𝑨 ∩ 𝑬) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬 ∖ 𝑨) =𝟏𝟖𝟎

𝟓𝟖𝟎∗𝟏𝟐𝟎

𝟑𝟕𝟎=

𝟐𝟏𝟔𝟎𝟎

𝟐𝟏𝟒𝟔𝟎𝟎=

𝟏𝟎𝟖

𝟏𝟎𝟕𝟑= 𝟏𝟎, 𝟎𝟔𝟓𝟐%

Dónde: 𝑷(𝑬 ∖ 𝑨) es la probabilidad condicional de que sea egresado dado que es de Auditoria. En la tabla se observa que de los 370 egresados, 120 son de Auditoria.

b) Probabilidad de que el universitario elegido sea de derecho y haga egresado:

𝑷(𝑫 ∩ 𝑬) = 𝑷(𝑫) ∗ 𝑷(𝑬 ∖ 𝑫) =𝟐𝟒𝟎

𝟓𝟖𝟎∗𝟐𝟏𝟎

𝟑𝟕𝟎=

𝟐𝟓𝟐

𝟏𝟎𝟑𝟕= 𝟐𝟑,𝟒𝟖𝟓𝟔%

EJEMPLO#86 En una urna (caja cerrada) se tiene 7 bolas o canicas, 2 son blancas, 5 son negras. Calcular la probabilidad de:

a) Obtener una bola blanca y luego otra negra al sacar sucesivamente sin reposición: b) Obtener una bola negra y luego otra negra al sacar sucesivamente sin reposición: c) Obtener una bola negra y luego otra negra y luego otra blanca al sacar sin reposición:

a) Obtener una bola blanca y luego otra negra al sacar sucesivamente sin reposición: Si se sacan de una urna, se supone que se sacan las bolas sin ver previamente su color. Al indicarse sin reposición significa que tras sacar una bola no se la repone o no se la devuelve a la urna, de modo que al sacar la segunda bola las condiciones iniciales han cambiado. Esto significa que los eventos son dependientes. El espacio muestral S contiene a siete elementos (cada una de las bolas). Se considera que el evento de sacar una bola blanca es “B”, una negra es “N”, por

tanto se busca. Calcular la probabilidad de obtener 𝑷(𝑩∩ 𝑵) =? 𝑺 = 𝑩, 𝑩,𝑵,𝑵,𝑵,𝑵,𝑵 ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟕 𝑵𝟏 = 𝑵,𝑵,𝑵,𝑵,𝑵 ⟹ 𝒏(𝑵) = 𝟓 ; 𝑩 = 𝑩, 𝑩 ⟹ 𝒏(𝑩) = 𝟐

𝑷(𝑩) =𝒏(𝑩)

𝒏(𝑺)=𝟐

𝟕→ 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒃𝒍𝒂𝒏𝒄𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏

Al sacar la primera bola, quedan en la urna solo 6 como posibilidades para sacar la segunda bola. Aplicando la regla de multiplicación.

𝑷(𝑩 ∩ 𝑵) = 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩) =𝟐

𝟕∗𝟓

𝟔=𝟏𝟎

𝟒𝟐=𝟓

𝟐𝟏

𝑷(𝑵 ∖ 𝑩) Significa la probabilidad de sacar una bola “N” luego de saber sacado una “B”. b) Obtener una bola negra y luego otra negra al sacar sucesivamente sin reposición:

Para este caso se considera que el evento de sacar una bola negra en la primera extracción es “N1”, una negra en la segunda extracción es

“N2” por lo tanto se busca calcular la probabilidad de obtener 𝑷(𝑵𝟏 ∩ 𝑵𝟐) =? 𝑺 = 𝑩, 𝑩,𝑵,𝑵,𝑵,𝑵,𝑵 ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟕 𝑵𝟏 = 𝑵,𝑵,𝑵,𝑵,𝑵 ⟹ 𝒏(𝑵𝟏) = 𝟓

𝑷(𝑵𝟏) =𝒏(𝑵𝟏)

𝒏(𝑺)=𝟓

𝟕→ 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏

𝑵𝟐 = 𝑵,𝑵,𝑵,𝑵 ⟹ 𝒏(𝑵𝟐) = 𝟒

Al sacar la primera bola negra, quedan en la urna sólo 6, de ellas 4 con probabilidades para sacar la segunda bola negra. Aplicando la ley de multiplicación.

𝑷(𝑵𝟏 ∩ 𝑵𝟐) = 𝑷(𝑵𝟏) ∗ 𝑷(𝑵𝟐 ∖ 𝑵𝟏) =𝟓

𝟕∗𝟒

𝟔=𝟐𝟎

𝟒𝟐=𝟏𝟎

𝟐𝟏

𝑷(𝑵𝟐 ∖ 𝑵𝟏): 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓 𝒖𝒏 𝒃𝒐𝒍𝒂 𝑵, 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒉𝒂𝒃𝒆𝒓 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝑵. c) Obtener una bola negra y luego otra negra y luego otra blanca al sacar sin reposición:

Sacar una blanca en la tercera extracción es el evento “B”

𝑷(𝑵𝟏 ∩ 𝑵𝟐 ∩ 𝑩) = 𝑷 (𝑵𝟏)⏞

𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓 𝑵𝟏

∗ 𝑷

(

𝑵𝟐⏟𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂

𝟒𝟔;𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂𝒏 𝒕𝒐𝒅𝒂𝒗í𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒖𝒓𝒏𝒂

𝒚 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓 "𝑵"

∖ 𝑵𝟏⏞𝒚𝒂 𝒔𝒂𝒄𝒐 𝑵𝟏

)

∗ 𝑷

𝑩 ∖ (𝑵𝟏 ∩ 𝑵𝟐)⏟ 𝒚𝒂 𝒔𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓𝒂𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒃𝒐𝒍𝒂𝒔

"𝟐 𝑵"𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂𝒏 𝟓 𝒃𝒐𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒖𝒓𝒏𝒂

=?

𝑷(𝑵𝟏 ∩ 𝑵𝟐 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑵𝟏) ∗ 𝑷(𝑵𝟐 ∖ 𝑵𝟏) ∗ 𝑷𝑩 ∖ (𝑵𝟏 ∩ 𝑵𝟐) =𝟓

𝟕∗𝟒

𝟔∗𝟐

𝟓=𝟒𝟎

𝟐𝟏𝟎=𝟐𝟎

𝟏𝟎𝟓=𝟒

𝟐𝟏

Dónde: 𝑷𝑩 ∖ (𝑵𝟏 ∩ 𝑵𝟐) significa la probabilidad de sacar una bola “B” luego de haber sacado una “N” y otra “N” también.


EJEMPLO#87 De una caja de 10 disquetes, dos son defectuosos. Calcular la probabilidad cuando:

a) Los dos primeros disquetes que se usan sean defectuosos: 𝑫 = 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔 𝑩 = 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔

𝑺 = 𝑫𝟏, 𝑫𝟐, 𝑩,𝑩, 𝑩, 𝑩, 𝑩, 𝑩,𝑩, 𝑩 𝒏(𝑺) = 𝟏𝟎 𝒏(𝑺) = 𝟐𝑫+ 𝟖𝑩 𝐬𝐢𝐧𝒓𝒆𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏

𝑷(𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐) = 𝑷(𝑫𝟏) ∗ 𝑷(𝑫𝟐 ∖ 𝑫𝟏) =𝟐

𝟏𝟎∗𝟏

𝟗=𝟐

𝟗𝟎=𝟏

𝟒𝟓

b) Los dos primeros disquetes que se usan sean buenos:

𝑷(𝑩𝟏 ∩ 𝑩𝟐) = 𝑷(𝑩𝟏) ∗ 𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑩𝟏) =𝟖

𝟏𝟎∗𝟕

𝟗=𝟐(𝟒)(𝟕)

𝟗𝟎(𝟓)(𝟗)=𝟓𝟔

𝟗𝟎=𝟐𝟖

𝟒𝟓

c) El primer disquete es bueno, pero los dos siguientes son defectuosos:

𝑷(𝑩 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐) = 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑫𝟏 ∖ 𝑩) ∗ 𝑷𝑫𝟐 ∖ (𝑩 ∩ 𝑫𝟏) =𝟖

𝟏𝟎∗𝟐

𝟗∗𝟏

𝟖=𝟏

𝟒𝟓

EJEMPLO#88 Un dado se lanza dos veces, el evento “A” es que el primer lanzamiento se obtenga 5, el evento “B” es de que el segundo

lanzamiento se obtenga 6. Calcular la probabilidad de los eventos A, B, A∩B; ¿son independientes? A, B son independientes si la ocurrencia de “A” no afecta a la ocurrencia de “B”.

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔

⟹ 𝑺 = (𝟏,𝟏), (𝟏, 𝟐),… , (𝟔, 𝟔) ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟔

𝑨 = (𝟓,𝟏), (𝟓, 𝟐), (𝟓, 𝟑), (𝟓, 𝟒), (𝟓, 𝟓), (𝟓, 𝟔) ⟹ 𝒏(𝑨) = 𝟔 𝑩 = (𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟔), (𝟑, 𝟔), (𝟒, 𝟔), (𝟓, 𝟔), (𝟔, 𝟔) ⟹ 𝒏(𝑩) = 𝟔

𝑨 ∩ 𝑩 = (𝟓,𝟔) ⟹ 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟏

𝑷(𝑨) =𝟔

𝟑𝟔=𝟏

𝟔 ; 𝑷(𝑩) =

𝟔

𝟑𝟔=

𝟏

𝟑𝟔 ; 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =

𝟏

𝟑𝟔

𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) 𝟏

𝟑𝟔=𝟏

𝟔·𝟏

𝟔

𝟏

𝟑𝟔=𝟏

𝟑𝟔 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑨, 𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

B TOTAL

A 1 5 6

5 25 30

TOTAL 6 30 36

EJEMPLO#89 En una urna se tiene 6 bolas, 3 azules (A), 2 blancas (B), una roja (R). Calcular las probabilidades de extraer de dicha urna.

𝑺 = 𝑨, 𝑨, 𝑨,𝑩, 𝑩, 𝑹 ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟔

a) Una bola blanca (B): 𝑷(𝑩) =𝟐

𝟔=𝟏

𝟑

b) Una bola A y una B con reposición: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟑

𝟔∗𝟐

𝟔=

𝟔

𝟑𝟔=𝟏

𝟔

c) Una bola A y una B sin reposición: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟑

𝟔∗𝟐

𝟓=

𝟔

𝟑𝟎=𝟏

𝟓

d) Una bola A y una B y una R con reposición: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑹) =𝟑

𝟔∗𝟐

𝟔∗𝟏

𝟔=

𝟔

𝟐𝟏𝟔=

𝟏

𝟑𝟔

e) Una bola A y una B y una R sin reposición: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑹) =𝟑

𝟔∗𝟐

𝟓∗𝟏

𝟒=

𝟏

𝟐𝟎

f) Una bola A y una A y una R sin reposición: 𝑷(𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ∩ 𝑩) =𝟑

𝟔∗𝟐

𝟓∗𝟐

𝟒=

𝟏

𝟏𝟎

EJEMPLO#90 En una urna se tiene 12 bolas, 4 son rojas (R) ,3 son blancas (B), y 5 son azules (A) .Calcular la probabilidad de los siguientes casos:

𝑺 = 𝑹,𝑹, 𝑹, 𝑹, 𝑩,𝑩, 𝑩, 𝑨, 𝑨, 𝑨, 𝑨, 𝑨 𝒏(𝑺) = 𝟏𝟐 𝒏(𝑺) = 𝟒𝑹 + 𝟑𝑩+ 𝟓𝑨

a) Sacar un bola roja (R): 𝑷(𝑹) =𝟒

𝟏𝟐=𝟏

𝟑

b) Sacar una bola R y una A, con reposición: 𝑷(𝑹 ∩ 𝑨) =𝟒

𝟏𝟐∗𝟓

𝟏𝟐=

𝟓

𝟑𝟔

c) Sacar una bola R y A, sin reposición: 𝑷(𝑹 ∩ 𝑨) =𝟒

𝟏𝟐∗𝟓

𝟏𝟏=

𝟓

𝟑𝟑

d) Sacar una bola R y B y A con reposición: 𝑷(𝑹 ∩ 𝑩 ∩ 𝑨) =𝟒

𝟏𝟐∗𝟑

𝟏𝟐∗𝟓

𝟏𝟐=

𝟓

𝟏𝟒𝟒

e) Sacar una bola R y B y A sin reposición: 𝑷(𝑹 ∩ 𝑩 ∩ 𝑨) =𝟒

𝟏𝟐∗𝟑

𝟏𝟏∗𝟓

𝟏𝟎=

𝟏

𝟐𝟐

f) Sacar una bola R y A y A sin reposición: 𝑷(𝑹 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐) =𝟒

𝟏𝟐∗𝟓

𝟏𝟏∗𝟒

𝟏𝟎=

𝟐

𝟑𝟑

EVENTOS INDEPENDIENTES (EI)

Se entiende por EI a aquellos eventos A, B donde la ocurrencia de A no afecta a la ocurrencia de B caso contrario se llaman eventos dependientes ED. Sin embargo para un definición matemática de la independencia de eventos, se debe considerar lo siguiente.

Los eventos A, B son (EI), si y solo si:𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) Es decir que cuando los eventos son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades. A la expresión suele llamarse también regla especial de la multiplicación. A partir de la definición de probabilidad condicional:

𝑺𝒊: 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)→ 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨)

𝑺𝒊: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) → 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) = 𝑷(𝑩) ⟹ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 (𝑬𝑰); (A,B) 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒊𝒓 𝒍𝒂 𝒖𝒍𝒕𝒊𝒎𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅.

Obviamente también debe cumplirse que: 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) = 𝑷(A)

Para el caso de “n” eventos independientes: 𝑷(𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 ∩ …∩ 𝑬𝒏) = 𝑷(𝑬𝟏) ∗ 𝑷(𝑬𝟐) ∗ … ∗ 𝑷(𝑬𝒏) Si A, B son eventos de un espacio muestral S, “A” y “B” son dependientes si la ocurrencia de “A” afecta a la ocurrencia de “B”. Ejemplo: Las extracciones de dos naipes sin reemplazo de un mazo son eventos dependientes:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) → 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)


Otra forma:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) → 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) → 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)

Dónde: 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨), probabilidad de que ocurra (B), luego de que ya ha ocurrido (A). Si A, B son eventos de un espacio muestra S; A y B son independientes si la ocurrencia de “A” no afecta a la ocurrencia de “B”. Ejemplos: Los resultados asociados con el lanzamiento de una moneda equilibrada dos veces seguidas se consideran (EI), porque el resultado del primer lanzamiento no tiene ningún afecto en las probabilidades respectivas de que en el segundo lanzamiento ocurra una cara

o un sello. 𝑷(𝑨𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) Otra forma: 𝑷(𝑨∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩)

EJEMPLO#91 Los siguientes ejemplos de eventos son (EI) y (ED).

a) Si los eventos A, B son obtener cara y cara en dos lanzamientos de una moneda: Los eventos son independientes, ya que el resultado de un primer lanzamiento influye en el segundo:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) =𝟏

𝟐∗𝟏

𝟐=𝟏

𝟒 (𝑬𝑰), 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒆𝒔 =

b) Una urna contiene 2 bolas blancas y 5 negras. Si el evento “A” si el evento consiste en sacar una bola blanca ; el evento “B” consiste en sacar una bola negra , sin reposición:

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝟐

𝟕∗𝟓

𝟔=𝟏𝟎

𝟒𝟐=𝟓

𝟐𝟏 (𝑬𝑫) 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 ≠

Los eventos son dependientes, ya que al haber sacado una primero bola y no reponerla, las condiciones son diferentes para la ocurrencia del segundo evento, por lo tanto el primer evento afecta al segundo.

c) Un dado se lanza dos veces , el evento “A” es de que en el primer lanzamiento se obtenga 3 , el evento “B” es de que en el segundo lanzamiento se obtenga 4 .Calcular: 1. Las probabilidades de los eventos A, B, ¿Son independientes?

Solución:

𝑺 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟒),… , (𝟔, 𝟔) ⟹ 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟔 Sacamos de un dado:

𝑷(𝑨) =𝟏

𝟔 𝑷(𝑩) =

𝟏

𝟔 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =

𝟏

𝟔∗𝟏

𝟔=𝟏

𝟑𝟔

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟏𝟑𝟔𝟏𝟔

=𝟏

𝟔 ; 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟏𝟑𝟔𝟏𝟔

=𝟏

𝟔

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ⟷ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) = 𝑷(𝑨) ; 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) =𝟏

𝟔∗𝟏

𝟔=𝟏

𝟑𝟔 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒔𝒐𝒏 (𝑬𝑰)

2. Las probabilidades de obtener los números 3 y 4: 𝒅𝒆𝒍 𝑺 = 𝑺 = (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟒),… . , (𝟑, 𝟒)… , (𝟒, 𝟑) …… . . , (𝟔, 𝟔)

𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 =𝟐

𝟑𝟔=𝟏

𝟏𝟖= 𝟓, 𝟓𝟓𝟓𝟓%

TEOREMA DE BAYES TDB El teorema de Bayes ofrece un método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones. Un teorema de gran importancia, llamado TDB, permite el cálculo de probabilidades de un evento si se conocen las otras probabilidades del mismo espacio muestral. Si: B1, B2,…, BK es una partición del espacio muestral “S” y “A” es un evento asociado con “S”, entonces:

𝑷(𝑩𝒋 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝒋) ∗ 𝑷(𝑩𝒋)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) ∗ 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) ∗ 𝑷(𝑩𝟐) + ⋯+𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝑲) ∗ 𝑷(𝑩𝑲)⟹ 𝑷(𝑩𝒋 ∖ 𝑨) =

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝒋) ∗ 𝑷(𝑩𝒋)

∑𝒊=𝟏𝑲 ∗ 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝒊) ∗ 𝑷(𝑩𝒊)

; 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,… ,𝑲

Para calcular la probabilidad de Bj dado A; (𝑩𝒋 ∖ 𝑨), es preciso conocer todas las otras probabilidades de “B” dentro del espacio muestral “S”

esto indudablemente limita la aplicación del TDB. La interpretación más aceptada del TDB, es que su estructura permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades a posteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidad a priori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento) donde:

𝑷(𝑩𝒋) 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒑𝒓𝒊𝒐𝒓𝒊

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝒋) 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 A 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝑩𝒋

𝑷(𝑩𝒋 ∖ 𝑨) 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒊

𝑷(𝑨 ∖ 𝑫) =𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑨)

𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑩)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑹) =𝑷(𝑹 ∖ 𝑨) ∗ 𝑷(𝑨)

𝑷(𝑹 ∖ 𝑨) ∗ 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑹 ∖ 𝑩) ∗ 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑹 ∖ 𝑪) ∗ 𝑷(𝑪) +⋯

𝑷(𝑨𝒊 ∖ 𝑩) =𝑷(𝑨𝒊) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨𝒊)

𝑷(𝑨𝟏) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨𝟏) + 𝑷(𝑨𝟐) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨𝟐) + ⋯+ 𝑷(𝑨𝒏) ∗ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨𝒏)


EJEMPLO#92 De darse la capitalización de las empresas papeleras el próximo año, la probabilidad de que el papel de imprenta aumente de

precio es de 90%. Pero si la capitalización no se realiza, la probabilidad de un aumento es de 40%. En general, estimamos que hay una posibilidad de 60% de que se realice la capitalización el próximo año.

a) Elabore un árbol de probabilidad de esta situación que implica eventos independientes empleando 𝑪 𝒚 𝑪′, para la capitalización y no

capitalización. 𝑨 𝒚 𝑨′para el aumento y no aumento en el precio del papel: 𝑪 = 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝑨 = 𝑨𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑪′ = 𝑵𝒐 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒍𝒂𝒕𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝑨′ = 𝑵𝒐 𝑨𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐

b) Supongamos que, en efecto, el precio del papel aumenta en el curso del año próximo. ¿Cuál es la posibilidad de que se realice la

capitalización de las papeleras?:

𝑷(𝑪 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑪) ∗ 𝑷(𝑪)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑪) ∗ 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑨 ∖ 𝑪′) ∗ 𝑷(𝑪′)=

(𝟎,𝟗𝟎) ∗ (𝟎, 𝟔𝟎)

(𝟎, 𝟗𝟎) ∗ (𝟎, 𝟔𝟎) + (𝟎,𝟒𝟎) ∗ (𝟎,𝟒𝟎)=

𝟎, 𝟓𝟒

𝟎, 𝟓𝟒 + 𝟎, 𝟏𝟔=𝟎, 𝟓𝟒

𝟎, 𝟕𝟎=𝟐𝟕

𝟑𝟓= 𝟎,𝟕𝟕𝟏𝟒 ó 𝟕𝟕, 𝟏𝟒%

EJEMPLO#93 Tres máquinas A, B, C, producen el 45%, 30% y 25% respectivamente del total de las piezas producidas en una fábrica.

Los porcentajes defectuosa de estas máquinas son 3%, 4% y 5% a) Seleccionamos una pieza a lazar, calcular la probabilidad de que sea defectuosa: b) Tomamos, a lazar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcular la probabilidad de haber sido producida por la maquina B: c) ¿Qué maquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?: Solución:

𝑫 = 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂 𝑵 = 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂 a) Seleccionamos una pieza a lazar, calcular la probabilidad de que sea defectuosa:

𝑷(𝑫) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑩) + 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑫 ∖ 𝑪) = 𝟎, 𝟒𝟓(𝟎,𝟎𝟑) + 𝟎,𝟑𝟎(𝟎,𝟒𝟎) + 𝟎,𝟐𝟓(𝟎,𝟎𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟓+ 𝟎,𝟎𝟏𝟐+ 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖 ó 𝟑, 𝟖%

b) Tomamos, a lazar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcular la probabilidad de haber sido producida por la maquina B:

𝑷(𝑩 ∖ 𝑫) =𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑩)

𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑩) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑫 ∖ 𝑪)=

𝟎, 𝟑𝟎(𝟎,𝟎𝟒)

𝟎, 𝟒𝟓(𝟎,𝟎𝟑) + 𝟎, 𝟎𝟑(𝟎,𝟎𝟒) + 𝟎, 𝟐𝟓(𝟎, 𝟎𝟓)=

𝟎, 𝟎𝟏𝟐

𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 + 𝟎,𝟎𝟏𝟐𝟓=𝟎, 𝟎𝟏𝟐

𝟎, 𝟎𝟑𝟖=𝟔

𝟏𝟗= 𝟑𝟏,𝟓𝟖%

c) ¿Qué maquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?:

Calculamos 𝑷(𝑨 ∖ 𝑫) y 𝑷(𝑪 ∖ 𝑫) comparar con 𝑷(𝑩 ∖ 𝑫) = 𝟑𝟏, 𝟓𝟖%

𝑷(𝑨 ∖ 𝑫) =𝟎, 𝟒𝟓 ∗ (𝟎, 𝟎𝟑)

𝟎, 𝟒𝟓 ∗ (𝟎, 𝟎𝟑) + 𝟎, 𝟑𝟎 ∗ (𝟎, 𝟎𝟒) + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ (𝟎, 𝟎𝟓)=𝟏𝟑𝟓

𝟑𝟖𝟎= 𝟎, 𝟑𝟓𝟓 ó 𝟑𝟓,𝟓%

𝑷(𝑪 ∖ 𝑫) =𝟎, 𝟐𝟓 ∗ (𝟎, 𝟎𝟓)

𝟎, 𝟒𝟓 ∗ (𝟎, 𝟎𝟑) + 𝟎, 𝟑 ∗ (𝟎, 𝟎𝟒) + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ (𝟎, 𝟎𝟓)=𝟏𝟐𝟓

𝟑𝟖𝟎= 𝟎, 𝟑𝟐𝟗 ó 𝟑𝟐, 𝟗%

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.

EJEMPLO#94 Tenemos tres urnas: (A con 3 bolas rojas y 5 negra); (B con 2 bolas rojas y 1 negra); y (C con 2 bolas rojas y 3 negras).

Escogemos una urna a lazar y extraemos. Si la bola ha sido roja, ¿Cuál es la probabilidad de haber sido extraído de una urna A? Solución: R = Sacar bola roja ; N = Sacar bola negra En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

𝑷(𝑨 ∖ 𝑹) =𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑹 ∖ 𝑨)

𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑹 ∖ 𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑹 ∖ 𝑩) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑹 ∖ 𝑪)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑹) =

𝟏𝟑·𝟑𝟖

𝟏𝟑·𝟑𝟖+𝟏𝟑·𝟐𝟑+𝟏𝟑·𝟐𝟓

𝑷(𝑨 ∖ 𝑹) =

𝟏𝟖

𝟏𝟖+

𝟐𝟗 +

𝟐𝟏𝟓

=

𝟏𝟖𝟏𝟕𝟑𝟑𝟔𝟎

𝑷(𝑨 ∖ 𝑹) =𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟑𝟖𝟒=𝟒𝟓

𝟏𝟕𝟑= 𝟎,𝟐𝟔𝟎𝟏 ó 𝟐𝟔, 𝟎𝟏%

EJEMPLO#95 En una reunión de profesionales 65% son auditores (B1), el resto son economistas (B2). Los hombres (H) son 80% y 60%

respectivamente: a) calcular la probabilidad de que sea economista, dado que es hombre: b) Tomando una mujer a lazar, Calcular la probabilidad de que sea auditora: Su diagrama de árbol es:

Solución:

𝑳𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏: 𝑷(𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟔𝟓

𝑷(𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟑𝟓 ⟹

𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟎,𝟖𝟎 𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟎,𝟔𝟎

𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟐𝟎 𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟒𝟎

La probabilidad de que sea 𝑩𝟐 dado que es H se calcula como: a) Calcular la probabilidad de que sea economista, dado que es hombre:

𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑯) =(𝑯 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)

𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)=

𝟎, 𝟔𝟎(𝟎,𝟑𝟓)

𝟎, 𝟖𝟎(𝟎,𝟔𝟓) + 𝟎,𝟔𝟎(𝟎,𝟑𝟓)=𝟐𝟏

𝟕𝟑

b) Tomando una mujer a lazar, Calcular la probabilidad de que sea auditora:

𝑷(𝑩𝟏 ∖𝑴) =𝑷(𝑴∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏)

𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑴∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)=

𝟎, 𝟐𝟎(𝟎,𝟔𝟓)

𝟎, 𝟐𝟎(𝟎,𝟔𝟓) + 𝟎,𝟒𝟎(𝟎,𝟑𝟓)=𝟏𝟑

𝟐𝟕


Asumiendo que se trata de 1000 profesionales, se los distribuye de acuerdo a los porcentajes indicados, por ejemplo de los 350 𝑩𝟐 un 60%

son hombres H; 𝟎,𝟔𝟎 ∗ (𝟑𝟓𝟎) = 𝟐𝟏𝟎

EJEMPLO#96 En una escuela se tienen tres cursos (B1, B2, B3), con número de alumnos 40,70 y 90 respectivamente. Tras un examen de

aptitud, Se declaran como aptos “A” 25, 40 y 20% respectivamente para cada curso.

𝑷(𝑩𝟏) =𝟒𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟐𝟎 𝑷(𝑩𝟐) =

𝟕𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎,𝟑𝟓 𝑷(𝑩𝟑) =

𝟗𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟒𝟓

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟐𝟓 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟒𝟎 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟑) = 𝟎, 𝟐𝟎

A los no aptos se los designa con “N” y Apto “A”.

a) Calcular la probabilidad de ser alumno del curso 𝑩𝟑 dado que es apto (A):

𝑷(𝑩𝟑 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟑) · 𝑷(𝑩𝟑)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐) + 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟑) · 𝑷(𝑩𝟑)=

(𝟎,𝟐) · (𝟎, 𝟒𝟓)

𝟎, 𝟐𝟓 · (𝟎, 𝟐) + 𝟎,𝟒 · (𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟎, 𝟐 · (𝟎, 𝟒𝟓)=𝟗

𝟐𝟖

b) Si un alumno no es apto, que probabilidad tiene de ser del curso 𝑩𝟐:

𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)

𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐) + 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟑) · 𝑷(𝑩𝟑)=

(𝟎,𝟔) · (𝟎, 𝟑𝟓)

𝟎, 𝟕𝟓 · (𝟎, 𝟐) + 𝟎, 𝟔 · (𝟎, 𝟑𝟓) + 𝟎, 𝟖 · (𝟎, 𝟒𝟓)=𝟕

𝟐𝟒

Conformada la tabla de acuerdo a los datos y porcentajes dados por ejemplo de los 40 alumnos de 𝑩𝟏 un 25% son aptos (A); 𝟎, 𝟐𝟓(𝟒𝟎) =𝟏𝟎 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔 obviamente el restante 75% no son aptos (N); 𝟎, 𝟕𝟓(𝟒𝟎) = 𝟑𝟎 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔.

Las probabilidades requeridas son: 𝑷(𝑩𝟑 ∖ 𝑨) =𝟏𝟖

𝟓𝟔=

𝟗

𝟐𝟖 𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑵) =

𝟒𝟐

𝟏𝟒𝟒=

𝟕

𝟐𝟒

EJEMPLO#97 En una agencia bancaria se recibe un 60% de billetes nacionales (𝑩𝟏), el resto en billetes, extranjeros (𝑩𝟐), de los billetes

nacionales el 95% son auténticos (A), el resto son falsos (F), de los billetes extranjeros 80% son auténticos. a) Calcular la probabilidad de que un billete autentico sea nacional: b) Si un billete es auténtico. Calcular su probabilidad de que sea extranjero: 𝑩𝟏 = 𝑵𝒂𝒍. ; 𝑩𝟐 = 𝑬𝒙𝒕. ; 𝑷(𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟔𝟎 ; 𝑷(𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟒𝟎

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟗𝟓 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟖𝟎

𝑷(𝑭 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟎𝟓 𝑷(𝑭 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟐𝟎

Calcular la probabilidad de que un billete autentico sea nacional:

𝑷(𝑩𝟏 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)=

𝟎, 𝟗𝟓 · (𝟎, 𝟔𝟎)

𝟎,𝟗𝟓 · (𝟎, 𝟔𝟎) + 𝟎, 𝟖𝟎 · (𝟎, 𝟒𝟎)=𝟓𝟕

𝟖𝟗

Si un billete es autentico. Calcular su probabilidad de que sea extranjero:

𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)=

𝟎, 𝟖𝟎 · (𝟎, 𝟒𝟎)

𝟎,𝟗𝟓 · (𝟎, 𝟔𝟎) + 𝟎, 𝟖𝟎 · (𝟎, 𝟒𝟎)=𝟑𝟐

𝟖𝟗

𝟔𝟎𝟎𝟎(𝑩𝟏) 𝒖𝒏 𝟗𝟓% 𝒔𝒐𝒏 "𝑨"

𝟔𝟎𝟎𝟎(𝟎, 𝟗𝟓) = 𝟓𝟕𝟎𝟎

A F

𝑩𝟏 5700 300 6000

𝑩𝟐 3200 800 4000

8900 1100 10000


EJEMPLO#98 En un hospital 70% son médicos (𝑩𝟏), el resto son odontólogos (𝑩𝟐). Los hombres (H) son 80 y 60% respectivamente.

a)Calcular la probabilidad de que sea ,medico, dado que es hombre b)Tomando una mujer al azar, calcular la probabilidad de que sea odontóloga.

𝑷(𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟕𝟎 𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟓𝟔 ⟹ 𝒏(𝑯 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟓𝟔 ⟹ 𝟖𝟎% 𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟎, 𝟏𝟒 ⟹ 𝒏(𝑴 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟏𝟒 ⟹ 𝟐𝟎%

𝑷(𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟑𝟎 𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟏𝟖 ⟹ 𝒏(𝑯 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟏𝟖 ⟹ 𝟔𝟎% 𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟎, 𝟏𝟐 ⟹ 𝒏(𝑴 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟏𝟐 ⟹ 𝟒𝟎% : 𝒉𝒂𝒚 𝟏𝟎𝟎 𝒎é𝒅𝒊𝒄𝒐𝒔

𝑯 → 𝟕𝟎(𝟖𝟎%) = 𝟓𝟔 𝟑𝟎(𝟔𝟎%) = 𝟏𝟖𝑴 → 𝟕𝟎(𝟎, 𝟐𝟎) = 𝟏𝟒

𝟑𝟎(𝟎,𝟒𝟎) = 𝟏𝟐

Médicos Odontólogos

H 56 18 74

M 14 12 26

70 30 100

a) Calcular la probabilidad de que sea médico, dado que es hombre:

𝑷(𝑩𝟏 ∖ 𝑯) =𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏)

𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑯 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)=

𝟓𝟔𝟕𝟎·𝟕𝟎𝟏𝟎𝟎

𝟓𝟔𝟕𝟎·𝟕𝟎𝟏𝟎𝟎

+𝟏𝟖𝟑𝟎·𝟑𝟎𝟏𝟎𝟎

=

𝟓𝟔𝟏𝟎𝟎

𝟓𝟔𝟏𝟎𝟎

+𝟏𝟖𝟏𝟎𝟎

=

𝟓𝟔𝟏𝟎𝟎𝟕𝟒𝟏𝟎𝟎

=𝟓𝟔

𝟕𝟒=𝟐𝟖

𝟑𝟕

Otra forma: 𝑷(𝑩𝟏 ∖ 𝑯) =𝑷(𝑩𝟏∩𝑯)

𝑷(𝑯)=

𝟓𝟔

𝟏𝟎𝟎𝟕𝟒

𝟏𝟎𝟎

=𝟓𝟔

𝟕𝟒=𝟐𝟖

𝟑𝟕

b) Tomando una mujer al azar, calcular la probabilidad de que sea odontóloga:

𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑴) =𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)

𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑴 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)=

𝟏𝟐𝟑𝟎·𝟑𝟎𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟕𝟎·𝟕𝟎𝟏𝟎𝟎

+𝟏𝟐𝟑𝟎·𝟑𝟎𝟏𝟎𝟎

=

𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟏𝟎𝟎

+𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎

=

𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎𝟐𝟔𝟏𝟎𝟎

=𝟏𝟐

𝟐𝟔=𝟔

𝟏𝟑

Otra forma: 𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑴) =𝑷(𝑩𝟐∩𝑴)

𝑷(𝑴)=

𝟏𝟐

𝟏𝟎𝟎𝟐𝟔

𝟏𝟎𝟎

=𝟔

𝟏𝟑

EJEMPLO#100 Una oficina de inmigración de un país, está controlando a los recién llegados de tres barcos (𝑩𝟏, 𝑩𝟐,𝑩𝟑) con números de

pasajeros de 200,300 y 500 respectivamente. Tras un análisis, se declaran con documentos auténticos (A) el 25 ,40 y 20% de los provenientes de cada barco respectivamente. a)La probabilidad de ser pasajero del Barco1, dado que tiene documentos auténticos. b)Un pasajero no tiene documentos auténticos, que probabilidad tiene de venir del Barco 2.

𝑷(𝑩𝟏) =𝟐𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟐𝟎 𝒏(𝑩𝟏) = 𝟐𝟎𝟎 → 𝑩𝒂𝒓𝒄𝒐 𝟏

𝑷(𝑩𝟐) =𝟑𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟑𝟎 𝒏(𝑩𝟐) = 𝟑𝟎𝟎 → 𝑩𝒂𝒓𝒄𝒐 𝟐

𝑷(𝑩𝟑) =𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟓𝟎 𝒏(𝑩𝟑) = 𝟓𝟎𝟎 → 𝑩𝒂𝒓𝒄𝒐 𝟑

𝑷(𝑩𝟏 ∖ 𝑨) = 𝟐𝟓% 𝒏(𝑩𝟏 ∩𝑨) = 𝟓𝟎 𝑷(𝑩𝟏 ∖ 𝑵) = 𝟕𝟓% 𝒏(𝑩𝟏 ∩𝑵) = 𝟏𝟓𝟎

𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑨) = 𝟒𝟎% 𝒏(𝑩𝟐 ∩ 𝑨) = 𝟏𝟐𝟎 𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑵) = 𝟔𝟎% 𝒏(𝑩𝟐 ∩ 𝑵) = 𝟏𝟖𝟎

𝑷(𝑩𝟑 ∖ 𝑨) = 𝟐𝟎% 𝒏(𝑩𝟑 ∩ 𝑨) = 𝟏𝟎𝟎 𝑷(𝑩𝟑 ∖ 𝑵) = 𝟖𝟎% 𝒏(𝑩𝟑 ∩ 𝑵) = 𝟒𝟎𝟎

Opcional depende del enunciado del problema

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟐𝟓% 𝒏(𝑨∩ 𝑩𝟏) = 𝟓𝟎 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟏) = 𝟕𝟓% 𝒏(𝑵∩ 𝑩𝟏) = 𝟏𝟓𝟎

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟒𝟎% 𝒏(𝑨∩ 𝑩𝟐) = 𝟏𝟐𝟎 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟐) = 𝟔𝟎% 𝒏(𝑵∩𝑩𝟐) = 𝟏𝟖𝟎

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟑) = 𝟐𝟎% 𝒏(𝑨∩ 𝑩𝟑) = 𝟏𝟎𝟎 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟑) = 𝟖𝟎% 𝒏(𝑵∩𝑩𝟑) = 𝟒𝟎𝟎

Opcional depende del enunciado del problema

a) La probabilidad de ser pasajero del Barco 𝑩𝟏 dado que tiene documentos auténticos.

𝑷(𝑩𝟏 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏)

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏)+ 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐) + 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩𝟑) · 𝑷(𝑩𝟑) =

𝟓𝟎𝟐𝟎𝟎

·𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟐𝟎𝟎 ·

𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎+

𝟏𝟐𝟎𝟑𝟎𝟎 ·

𝟑𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎+

𝟏𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎 ·

𝟓𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

=

𝟓𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎+

𝟏𝟐𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎+

𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

==

𝟓𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐𝟕𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

=𝟓

𝟐𝟕

Otra forma:𝑷(𝑩𝟏 ∖ 𝑨)=𝑷(𝑩𝟏∩𝑨)𝑷(𝑨)

=𝟓𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐𝟕𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

= 𝟓𝟐𝟕

b) Un pasajero no tiene documentos auténticos, que probabilidad tiene de venir del barco 𝑩𝟐:

𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑵) =𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐)

𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟏) · 𝑷(𝑩𝟏) + 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟐) · 𝑷(𝑩𝟐) + 𝑷(𝑵 ∖ 𝑩𝟑) · 𝑷(𝑩𝟑)=

𝟏𝟖𝟎𝟑𝟎𝟎 ·

𝟑𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟓𝟎𝟐𝟎𝟎

·𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

+𝟏𝟖𝟎𝟑𝟎𝟎

·𝟑𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

+𝟒𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎

·𝟓𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

=

𝟏𝟖𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟓𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

+𝟏𝟖𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

+𝟒𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

==

𝟏𝟖𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟕𝟑𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

=𝟏𝟖

𝟕𝟑

Otra forma:

𝑷(𝑩𝟐 ∖ 𝑵) =𝑷(𝑩𝟐 ∩ 𝑵)

𝑷(𝑵)=

𝟏𝟖𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟕𝟑𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎

=𝟏𝟖

𝟕𝟑


EJEMPLO#101 Dado las siguientes ecuaciones:

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) =

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑩) · 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩)

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) · 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨)

𝑵𝒐 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔: [𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) ≠ 𝑷(𝑩 ∖ 𝑨)]

Sean “A” el suceso de que el precio de la gasolina suba el próximo mes y “B” el suceso de que el precio de la gasolina suba en el mes

subsiguiente. Se supone de las siguientes asignaciones de probabilidades. 𝑷(𝑨) = 𝟎, 𝟐 𝑷(𝑩) = 𝟎,𝟒 𝒚 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) = 𝟎, 𝟏𝟓 a) Cuál es la probabilidad de que el precio de gasolina suba en cada uno de las próximos dos meses:

𝑷(𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒔𝒖𝒃𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒎𝒆𝒔 𝒚 𝒆𝒍 𝒔𝒖𝒃𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑩) · 𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) = 𝟎, 𝟒𝟎(𝟎,𝟏𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟔 = 𝟔% b) Cuál es la probabilidad de que el precio de gasolina suba el próximo mes o suba el mes subsiguientes:

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎, 𝟐 + 𝟎, 𝟒𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟔 = 𝟎, 𝟓𝟒 ó 𝟓𝟒% c) Los cambios de los precios durante los 2 próximos meses son independientes?

𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) = 𝑷(𝑨) → 𝟎, 𝟏𝟓 ≠ 𝟎, 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 EJEMPLO#102 Que un archivo de cuentas por cobrar contiene 50 cuentas y que se sometió a un auditaje parcial. Se cree que el 10%

contiene mayor cantidad de errores. Es decir, se cree que 5 de las 50 cuentas contiene más cantidades de errores. Ahora el auditor selecciona 3 cuentas aleatoriamente (M1, M2 y M3) indican que la primera, segunda y tercera cuentas contiene mayor cantidad de errores, respectivamente, y C1, C2 y C3 indican que la primera, segunda y tercera cuentas son correctas. Cada resultado del auditaje es representado por una rama en el diagrama. La probabilidad de cada resultado es indicada a lo largo de cada rama. Observe que en la figura que hay 2 ramas por cada cuenta auditada – una para mayor cantidad de errores y otra para no errores. Finalmente observe en la figura que cada ruta (una ruta es igual a 3 ramas) define un resultado del auditaje completo. Los resultados de cada cuenta auditada no son independientes, ya que después de que una cuenta es auditada esta no es considerada (no es puesta de nuevo en el archivo) otra vez para ser auditada. Por ejemplo, si la primera cuenta auditada contiene mayor cantidad de errores (M1 ocurre), quedan solamente 4 cuentas de esta clase en el

archivo, de un total de 49, entonces si M1 ocurre, la probabilidad que M2 ocurra es de 𝟒

𝟒𝟗; por cuya razón es una probabilidad condicional:

Técnicamente estamos diciendo lo siguiente:

𝑷(𝑴𝟏) = 𝑷 (𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓𝒆𝒔 =𝟓

𝟓𝟎)

𝑷(𝑴𝟐 ∖ 𝑴𝟏) = 𝑷 (𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓𝒆𝒔

𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓𝒆𝒔=𝟒

𝟒𝟗)

Diagrama de árbol: de una archivo de tamaño de 50 cuentas:

𝑴 = 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓; 𝑪 = 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐 𝟒𝟓

𝟓𝟎∗𝟒𝟒

𝟒𝟗∗𝟒𝟑

𝟒𝟖= 𝟎, 𝟕𝟐𝟑𝟗𝟕𝟗


a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera y la segunda cuenta contengan mayor cantidad de errores?

𝑷(𝑴𝟏 ∩𝑴𝟐) = 𝑷(𝑴𝟏) · 𝑷(𝑴𝟐 ∖ 𝑴𝟏) =𝟓

𝟓𝟎·𝟒

𝟒𝟗=𝟐𝟎

𝟐𝟒𝟓𝟎= 𝟎,𝟎𝟎𝟖𝟏𝟔𝟑 ó 𝟎, 𝟖𝟏𝟔𝟑% ; 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒄𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝟏%.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera cuenta auditada contenga mayor cantidad de errores y la segunda sea correcta?

𝑷(𝑴𝟏 ∩ 𝑪𝟐) = 𝑷(𝑴𝟏) · 𝑷(𝑪𝟐 ∖ 𝑴𝟏) =𝟓

𝟓𝟎·𝟒𝟓

𝟒𝟗=𝟐𝟐𝟓

𝟐𝟒𝟓𝟎= 𝟎, 𝟎𝟗𝟏𝟖𝟑𝟕 ó 𝟗, 𝟏𝟖𝟑𝟕%

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la 3ra

cuenta auditada contenga mayor cantidad de errores dado que la 1ra

y la 2da

cuentas contienen mayor cantidad de errores?

𝑷(𝑴𝟑 ∖ 𝑴𝟏 ∩𝑴𝟐) =𝟑

𝟒𝟖 (𝟐 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒂𝒖𝒅𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒏𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂𝒏 𝟑 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔,𝒅𝒆 𝟒𝟖 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 cuentas auditadas contengan mayor cantidad de errores?: 𝑨 = 𝑴𝟏 ∩𝑴𝟐𝑩 = 𝑴𝟑

𝑷(𝑴𝟏 ∩𝑴𝟐 ∩𝑴𝟑) = 𝑷(𝑴𝟑 ∖ 𝑴𝟏 ∩𝑴𝟐) · 𝑷(𝑴𝟏 ∩𝑴𝟐) =𝟑

𝟒𝟖· (𝟎, 𝟎𝟎𝟖𝟏𝟔𝟑) =

𝟑

𝟒𝟖(𝟓

𝟓𝟎∗𝟒

𝟒𝟗) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏𝟎

e) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 cuentas auditadas sean correctas?

𝑷(𝑪𝟏 ∩ 𝑪𝟐 ∩ 𝑪𝟑) = 𝑷(𝑪𝟑 ∖ 𝑪𝟏 ∩ 𝑪𝟐) · 𝑷(𝑪𝟏 ∩ 𝑪𝟐) =𝟒𝟑

𝟒𝟖·𝟒𝟒

𝟒𝟗·𝟒𝟓

𝟓𝟎= 𝟎, 𝟕𝟐𝟑𝟗𝟕𝟗

𝑷(𝑪𝟏 ∩ 𝑪𝟐 ∩ 𝑪𝟑) = 𝑷(𝑪𝟑 ∖ 𝑪𝟏 ∩ 𝑪𝟐) · 𝑷(𝑪𝟏 ∩ 𝑪𝟐)⏟

𝑷(𝑪𝟏∩𝑪𝟐)=𝑷(𝑪𝟐∖𝑪𝟏)·𝑷(𝑪𝟏)=𝟒𝟒𝟒𝟗·𝟒𝟓𝟓𝟎

= 𝟎,𝟕𝟐𝟑𝟗𝟕𝟗

𝑷(𝑩 ∖ 𝑨) =𝑷(𝑨 ∖ 𝑩) · 𝑷(𝑩)

𝑷(𝑨) ; 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒂

Explicación del TDB.- Es la probabilidad que se utiliza cuando tenemos dos eventos dependientes, o sea la ocurrencia de uno depende de la ocurrencia del otro. Y queremos saber la probabilidad de ocurra el primer evento dado que se sabe el segundo.

EJEMPLO#103 Se sabe que la probabilidad de que llueva en Santa Cruz un día de marzo es 25% cuando llueve la probabilidad de que la

empresa “Toldito” alquile un toldo es 80%, mientras si no llueve la probabilidad de alquilar es 25% ¿Cuál es la probabilidad de que ha llovido si se sabe que se alquiló un toldo?

Como podemos ver nos piden la probabilidad de que haya sucedido un evento “A” diciéndonos que uno “B” que es dependiente de “A” ya sucedió.

LL = lluvia; S = sol; T = toldo 𝑷(𝑻 ∩ 𝑳𝑳) = 𝑷(𝑳𝑳) · 𝑷(𝑻 ∖ 𝑳𝑳) = 𝟎, 𝟐𝟓 · (𝟎, 𝟖𝟎) = 𝟎, 𝟐

𝑷(𝑻 ∩ 𝑺) = 𝑷(𝑺) · 𝑷(𝑻 ∖ 𝑺) = 𝟎, 𝟕𝟓 · (𝟎, 𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟏𝟖𝟕

𝑷(𝑳𝑳 ∖ 𝑻) =𝑷(𝑻 ∩ 𝑳𝑳)

𝑷(𝑻 ∩ 𝑳𝑳)+ 𝑷(𝑻 ∩ 𝑺)=

𝟎, 𝟐

𝟎𝟎, 𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟖𝟕= 𝟎, 𝟓𝟏𝟔𝟕 ó 𝟓𝟏, 𝟔𝟕%

Hay un 51,67% de probabilidad que haya llovido si se sabe que se alquiló un toldo.

EJEMPLO#104 Se asume que Lía Vargas claros utiliza dos máquinas para producir su producto. La máquina “A” produce el 60% de los productos

del total, y la maquina “B” produce el restante 40%. El 2% de las unidades producidas por “A” son defectuosas, mientras que “B” tiene una tasa de defectos del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea de la maquina “A” dado que se sabe que es el defectuoso?

𝑷(𝑨\𝑫) =𝑷(𝑨) · 𝑷(𝑫\𝑨)

𝑷(𝑨) · 𝑷(𝑫\𝑨) + 𝑷(𝑩) · 𝑷(𝑫\𝑩)=

𝟎,𝟔(𝟎, 𝟎𝟐)

𝟎, 𝟔(𝟎, 𝟎𝟐) + 𝟎, 𝟒(𝟎, 𝟎𝟒)=

𝟎, 𝟎𝟏𝟐

𝟎, 𝟎𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟔=𝟎, 𝟎𝟏𝟐

𝟎, 𝟎𝟐𝟖=𝟑

𝟕= 𝟒𝟐,𝟖𝟔%


EJEMPLO#105 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarmas es 0,1. La probabilidad de que suene esta si

se ha producido algún accidente es de 0,97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0,02. En el supuesto de que haya la alarma, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: A = sonar la alarma I = producirse incidente

𝑷(Ī\𝑨) =𝑷(Ī) · 𝑷(𝑨\Ī)

𝑷(𝑰) · 𝑷(𝑨\𝑰) + 𝑷(Ī) · 𝑷(𝑨\Ī)=

𝑷(Ī\𝑨) =𝟎, 𝟗𝟎(𝟎, 𝟎𝟐)

𝟎, 𝟏(𝟎, 𝟗𝟕) + 𝟎, 𝟗(𝟎, 𝟎𝟐)=𝟎, 𝟎𝟏𝟖

𝟎, 𝟏𝟏𝟓= 𝟏𝟓, 𝟔𝟓%

EJEMPLO#106 El 20% de los empleos de una empresa son ingenieros y otros 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un

puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado sea ingeniero si se sabe que es directivo?

𝟐𝟎% 𝑺𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒈𝒆𝒏𝒊𝒆𝒓𝒐𝒔: ⟹ 𝟕𝟓% 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔; 𝟐𝟓% 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔.𝟐𝟎% 𝑺𝒐𝒏 𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒔𝒕𝒂𝒔:⟹ 𝟓𝟎% 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔; 𝟓𝟎% 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔.𝟔𝟎% 𝑺𝒐𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐𝒔 (𝑪𝑷𝑨):⟹ 𝟐𝟎% 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔; 𝟖𝟎% 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔.

𝑷(𝑰𝒏𝒈𝒆𝒏𝒊𝒆𝒓𝒐\𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐) =𝑷(𝒊𝒏𝒈) · 𝑷(𝑫𝒊𝒓.\𝑰𝒏𝒈. )

𝑷(𝒊𝒏𝒈) · 𝑷(𝑫𝒊𝒓.\𝑰𝒏𝒈. ) + 𝑷(𝒆𝒄𝒐. ) · 𝑷(𝑫𝒊𝒓.\𝑬𝒄𝒐. ) + 𝑷(𝒐𝒕𝒓𝒐𝒔) · 𝑷(𝑫𝒊𝒓\𝑶𝒕𝒓𝒐)

𝑷(𝑰𝒏𝒈𝒆𝒏𝒊𝒆𝒓𝒐\𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐) =𝟎, 𝟐 · (𝟎, 𝟕𝟓)

𝟎, 𝟐 · (𝟎, 𝟕𝟓) + 𝟎, 𝟐 · (𝟎, 𝟓) + 𝟎, 𝟔𝟎 · (𝟎, 𝟐)=

𝟎,𝟏𝟓

𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟐=𝟎, 𝟏𝟓

𝟎, 𝟑𝟕= 𝟎,𝟒𝟎𝟓𝟒 ó 𝟒𝟎, 𝟓𝟒%

EJEMPLO#107 Existen 3 docentes de estadística II. La probabilidad que le toque al docente Julio Vargas Herbas es el 35%, y la probabilidad

de que usted apruebe con Julio Vargas Herbas es 80%. La probabilidad de que le toque con el docente Jaime Velazco es 25% y de todos los estudiantes que pasen con este docente el 70% aprueba. La probabilidad de que le toque con el docente Marlen Molloja es 40%, pero a Marlen Molloja solo le aprueba el 60% de los inscritos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea del docente Julio Vargas Herbas si se sabe que aprobó la materia?

𝑨 = 𝑱𝒖𝒍𝒊𝒐 𝑪 = 𝑱𝒂𝒊𝒎𝒆 𝑷 = 𝑴𝒂𝒓𝒍𝒆𝒎 𝑬 = 𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆

𝑷(𝑬\𝑨) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑬)

𝑷(𝑨 ∩ 𝑬) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑪) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑷)=

𝟎, 𝟐𝟖

𝟎, 𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟏𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟒=𝟎, 𝟐𝟖

𝟎, 𝟔𝟗𝟓= 𝟒𝟎, 𝟐𝟖%

𝑷(𝑨 ∩ 𝑬) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑨\𝑬)

EJEMPLO#108 La probabilidad de que un hombre casado vea cierto programa de televisión es 0,4 y la probabilidad de que una mujer casada vea el programa

es 0,5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado de que su esposa lo hace, es 0,7. Encuentre la probabilidad de que: a)Un matrimonio vea el programa b)Una esposa vea el programa dado que su esposo lo ve c)Al menos una persona de un matrimonio vea el programa.

a) Un matrimonio vea el programa: 𝑯 = 𝒆𝒍 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒗𝒆𝒂 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏; 𝑴 = 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓 𝒗𝒆𝒂 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝑷(𝑯) = 𝟎, 𝟒𝟎 𝑷(𝑴) = 𝟎, 𝟓𝟎 𝑷(𝑯\𝑴) = 𝟎, 𝟕𝟎

La probabilidad de que un matrimonio vea el programa es la probabilidad de que el hombre y la mujer vean el programa, es decir, la probabilidad de la intersección.

𝑷(𝑯\𝑴) =𝑷(𝑯 ∩𝑴)

𝑷(𝑴)→ 𝑷(𝑯 ∩𝑴) = 𝑷(𝑯\𝑴) · 𝑷(𝑴) = 𝟎, 𝟕𝟎 · (𝟎, 𝟓𝟎) = 𝟎, 𝟑𝟓

b) Una esposa vea el programa dado que su esposo lo ve:

𝑷(𝑴\𝑯) =𝑷(𝑴 ∩𝑯)

𝑷(𝑯)=𝟎, 𝟑𝟓

𝟎, 𝟒𝟎= 𝟎,𝟖𝟕𝟓 ó 𝟖𝟕, 𝟓%

c) Al menos una persona de un matrimonio vea el programa: 𝑷(𝑴 ∪𝑯) = 𝑷(𝑴)+ 𝑷(𝑯)− 𝑷(𝑴 ∩𝑯) = 𝟎, 𝟓𝟎 + 𝟎, 𝟒𝟎 − 𝟎,𝟑𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟎 − 𝟎,𝟑𝟓 = 𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟓𝟓%


EJEMPLO#109 Suponga que se estudia si el color del pelo está asociado al color de los ojos. Se analizaron 300 personas seleccionadas

aleatoriamente con los siguientes resultados:

COLOR DE PELO

COLOR DE LOS OJOS

CAFE AZUL OTRO TOTAL

NEGRO 70 30 20 120

RUBIO 20 110 50 180

TOTAL 90 140 70 300

a)Si se selecciona una de estas personas al azar, encuentre la probabilidad de que la persona tenga el pelo negro, dado de que tiene los ojos de color café: b)¿ Son los eventos tener el pelo rubio y tener los ojos azules independientes? c)¿ Cuantas personas rubias de ojos azules esperaría encontrar en este grupo si los eventos fueran independientes?

a)⟹N = la persona tiene color de pelo negro. R = la persona tiene color de pelo rubio. C = la persona tiene color de ojos café. A = la persona tiene color de pelo azul. O = la persona tiene otro color de ojo.

𝑷(𝑵\𝑪) =𝑷(𝑵 ∩ 𝑪)

𝑷(𝑪)=

𝟕𝟎𝟑𝟎𝟎𝟗𝟎𝟑𝟎𝟎

=𝟕𝟎

𝟗𝟎= 𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟕𝟕, 𝟕𝟖%

𝒃) ⟹ 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔:

𝑷(𝑹\𝑨) = 𝑷(𝑹) ↔𝟏𝟏𝟎

𝟏𝟒𝟎=𝟏𝟖𝟎

𝟑𝟎𝟎↔ 𝟎, 𝟕𝟖𝟓𝟕 > 𝟎, 𝟔𝟎𝟎 ↔ 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐,𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑.𝑺𝒊 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 (=) 𝒆𝒔 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑷. ; 𝒔𝒊 𝒆𝒔 ≠ 𝒆𝒔 𝑫𝑬𝑷.

𝒄) ⟹ 𝑺𝒊 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑: 𝑷(𝑹 ∩ 𝑨) = 𝑷(𝑹) · 𝑷(𝑨) ⟹ 𝑷(𝑹 ∩ 𝑨) =𝟏𝟖

𝟑𝟎𝟎·𝟏𝟒𝟎

𝟑𝟎𝟎= 𝟎, 𝟔𝟎 · (𝟎, 𝟒𝟕) = 𝟎, 𝟐𝟖

Por lo tanto, observaciones 28%, es decir, 84 personas rubias de ojos azules: 𝟑𝟎𝟎 · (𝟎, 𝟐𝟖) = 𝟖𝟒

EJEMPLO#110 En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos. Alguno de ellos

utilizan ordenador para sus tareas, otros no. Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada.

SIN ORDENADOR CON ORDENADOR TOTAL

ENCARGADOS 8 32 40

ADMINISTRATIVOS 28 15 35

TOTAL 28 47 75 Nota: el cuadro me da como enunciado

a) Calcular la probabilidad de que una persona de la empresa sea un empleado encargado, sabiendo que no tiene ordenador: Lo primero que debemos hacer es indicar cuales la probabilidad perdida, y cuál es la condición.

Suceso A: la persona sea un encargado (suceso pedida) Suceso B: no tiene ordenador (suceso que condiciona)

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟖

𝟕𝟓

𝑷(𝑩) =𝟐𝟖

𝟕𝟓

𝑷(𝑨\𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟖𝟕𝟓𝟐𝟖𝟕𝟓

=𝟖

𝟐𝟖= 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕

b) Si se sabe que la persona elegida es un administrador, cual es la probabilidad de que sea alguien que tenga ordenador: Suceso A: La persona con ordenador (suceso perdido) Suceso B: La persona es un administrativo (suceso que condiciona)

𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =𝟏𝟓

𝟕𝟓

𝑷(𝑩) =𝟑𝟓

𝟕𝟓

𝑷(𝑨\𝑩) =

𝟏𝟓𝟕𝟓𝟑𝟓𝟕𝟓

= 𝟎,𝟒𝟐𝟖

ANALISIS COMBINATORIO

La teoría combinatoria es el estudio de permutaciones, variaciones y combinaciones. Se busca calcular el número de posibilidades lógicas de algún evento, son necesidad de enumerarlas detalladamente. Permutaciones Permutación de cierto número de objetos es la disposición de todos ellos en un orden determinado. La permutación de “n” elementos se representa como: 𝑷𝒏 el número total de permutaciones se obtiene por:

𝑷𝒏 = 𝒏(𝒏 − 𝟏) ∗ (𝒏 − 𝟐) ∗ (𝒏 − 𝟑) ∗ (𝒏 − 𝟒)…𝟒 ∗ 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏 = 𝒏! Permutación de “n” objetos distintos: 𝑷𝒏 = 𝒏!

𝑨𝒍𝒈𝒖𝒏𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝒏! =

𝟎! = 𝟏 𝟒! = 𝟐𝟒 𝟖 ! = 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎𝟏! = 𝟏 𝟓! = 𝟏𝟐𝟎 𝟗! = 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟐! = 𝟐 𝟔! = 𝟕𝟐𝟎 𝟏𝟎! = 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝟑! = 𝟔 𝟕! = 𝟓𝟎𝟒𝟎 𝟏𝟏! = 𝟑𝟗𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟐! = 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎 ∗ 𝟗 ∗ 𝟖 ∗ 𝟕 ∗ 𝟔 ∗ 𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏 = 𝟒𝟕𝟗𝟎𝟎𝟏𝟔𝟎𝟎


EJEMPLO#111 Las letras X, Y, Z pueden disponerse de las siguientes maneras:

𝒙𝒚𝒛, 𝒛𝒙𝒚, 𝒚𝒛𝒙, 𝒙𝒛𝒚, 𝒛𝒚𝒙 → 𝑷𝟑 = 𝟑! = 𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒖𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

EJEMPLO#112 Calcular el número total de palabras que se pueden obtenerse con todas las letras de la palabra ARCO:

𝑨𝑹𝑪𝑶 𝑹𝑶𝑪𝑨 𝑶𝑹𝑪𝑨 𝑪𝑨𝑹𝑶 𝑨𝑹𝑶𝑪 𝑹𝑶𝑨𝑪 𝑶𝑹𝑨𝑪 𝑪𝑨𝑶𝑹 𝑨𝑪𝑹𝑶 𝑹𝑪𝑶𝑨 𝑶𝑪𝑹𝑨 𝑪𝑹𝑨𝑶 𝑨𝑪𝑶𝑹 𝑹𝑪𝑨𝑶 𝑶𝑪𝑨𝑹 𝑪𝑹𝑶𝑨 𝑨𝑶𝑹𝑪 𝑹𝑨𝑶𝑪 𝑶𝑨𝑹𝑪 𝑪𝑶𝑨𝑹 𝑨𝑶𝑪𝑹 𝑹𝑨𝑪𝑶 𝑶𝑨𝑪𝑹 𝑪𝑶𝑹𝑨 ⟹ 𝑷𝟒 = 𝟒! = 𝟐𝟒 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒖𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

EJEMPLO#113 Resolver los siguientes problemas de permutaciones:

a) Calcular el número de modos en que pueden formar fila un total de 5 soldados: 𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟓(𝟒)(𝟑)(𝟐)(𝟏) = 𝟏𝟐𝟎

b) Calcular la cantidad de madera en que se pueden mostrar 8 libros en un muestrario: 𝑷𝟖 = 𝟖! = 𝟖(𝟕)(𝟔)(𝟓)(𝟒)(𝟑)(𝟐)(𝟏) = 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎

c) El número de palabras que se pueda formar con todas las letras de las palabras Julio: 𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟏𝟐𝟎

EJEMPLO#114 Un equipo de Balompié de 11 jugadores, el arquero y los defensores centrales son inamovibles de supuestos.

¿De cuantas maneras o modos se pueden colocar a los restantes jugadores?

𝟏𝟏 − 𝟑 = 𝟖 → 𝑷𝟖 = 𝟖! = 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎

EJEMPLO#115 Al ordenar una fila de 5 niños, se observa que tres de ellos insisten en permanecer juntos en el mismo orden. ¿De cuantas

maneras es posible ordenarlos?

𝑨 𝑩 𝑪⏟ 𝑫 𝑬 → 𝑨𝑩𝑪,𝑫, 𝑬 → 𝑷𝟑 = 𝟑! = 𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒖𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

Permutaciones Ordinarias:

𝑷𝒎 = 𝒎! (𝒎! ≡ 𝒎 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 = 𝒎 ∗𝒎 − 𝟏 ∗ 𝒎 − 𝟐 ∗ …∗ 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏)

𝑷𝒏 = 𝒏! (𝒏! ≡ 𝒏 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 = 𝒏 ∗ 𝒏 − 𝟏 ∗ 𝒏 − 𝟐 ∗ …∗ 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏) ≡ (𝑰𝒅é𝒏𝒕𝒊𝒄𝒐)

Permutaciones con Repetición:

𝑷𝒏,𝒏𝟏,𝒏𝟐,… =𝒏!

𝒏𝟏! 𝒏𝟐! …

𝑷𝒎𝒂,𝒃,… 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏 "a" 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒑𝒆𝒕𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒆, "b"𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔

𝒓𝒆𝒑𝒆𝒕𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒆, 𝒆𝒕𝒄. ⟹ 𝑷𝒎∝,𝜷,…

=𝒎!

∝ ! 𝜷!…

Permutaciones circulares:

𝑷𝑪𝒎 = 𝑷𝒎−𝟏 = (𝒎− 𝟏)!

𝑷𝒏′ = (𝒏 − 𝟏)!

EJEMPLO#116 De cuantas maneras ó formas distintas pueden sentarse cuatro personas alrededor de una mesa.

𝑷𝑪𝟒 = (𝟒 − 𝟏)! = 𝟑! = 𝟔

EJEMPLO#117 De cuantas formas pueden alinearse dos chicas y tres chicos.

𝑷𝟓𝟐·𝟑 =

𝟓!

𝟐! · 𝟑!=𝟓 · 𝟒 · 𝟑!

𝟐 · 𝟑!=𝟓 · 𝟒

𝟐= 𝟏𝟎 ↔ 𝑷𝟓

𝟐·𝟑 =𝟏𝟐𝟎

𝟐 · 𝟔=𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐= 𝟏𝟎

EJEMPLO#118 Resolver: 𝑷𝒎𝟐,𝟑 + 𝑷𝒎−𝟏 = 𝑷𝑪𝒎−𝟏

𝒎!

𝟐! · 𝟑!+ (𝒎− 𝟏)! = ((𝒎 − 𝟏) − 𝟏)! ⟹

𝒎(𝒎− 𝟏) · (𝒎− 𝟐)!

𝟐 · 𝟑 · 𝟐+ (𝒎 − 𝟏) · (𝒎 − 𝟐)! = (𝒎− 𝟐)!

Se simplifica (𝒎− 𝟐)! se opera y se obtiene una ecuación de segundo grado:

𝒎(𝒎− 𝟏)

𝟏𝟐+ (𝒎− 𝟏) = 𝟏 →

𝒎𝟐 −𝒎

𝟏𝟐+𝒎− 𝟐 = 𝟎 → 𝒎𝟐 + 𝟏𝟏𝒎− 𝟐𝟒 = 𝟎

EJEMPLO#119 De cuantas formas pueden actuar en TV cuatro cantantes y tres humoristas.

𝑷𝟕𝟒,𝟑 =

𝟕!

𝟒! · 𝟑!=𝟕 · 𝟔 · 𝟓 · 𝟒!

𝟒! · 𝟑 · 𝟐=𝟕 · 𝟔 · 𝟓

𝟑 · 𝟐= 𝟑𝟓

EJEMPLO#120 De cuantas formas distintas puede obtenerse la suma 8 al lanzar tres dados distintos y sumar los números aparecidos.

Posibilidades de suma 8 con tres dados:

𝟔 + 𝟏 + 𝟏 ⟹ 𝑷𝟑𝟐 =

𝟑!

𝟐!=𝟑 · 𝟐

𝟐= 𝟑 𝟔 +⏞

𝟏

𝟏 + 𝟏⏞ 𝟐

⏟ 𝟑

⟹ 𝑷𝟑𝟏,𝟐 = 𝟑

𝟓 + 𝟐 + 𝟏⟹ 𝑷𝟑 = 𝟑! = 𝟔 𝟓⏞𝟏

+ 𝟐⏞𝟏

+ 𝟏⏞𝟏

⏟ 𝟑

⟹ 𝑷𝟑𝟏,𝟏,𝟏 = 𝟔

𝟒 + 𝟑 + 𝟏⟹ 𝑷𝟑 = 𝟑! = 𝟔 𝟒⏞𝟏

+ 𝟑⏞𝟏

+ 𝟏⏞𝟏

⏟ 𝟑

⟹ 𝑷𝟑𝟏,𝟏,𝟏 = 𝟔

𝟒 + 𝟐 + 𝟐 ⟹ 𝑷𝟑𝟐 =

𝟑!

𝟐!= 𝟑 𝟒 +⏞

𝟏

𝟐 + 𝟐⏞ 𝟐

⏟ 𝟑

𝑷𝟑𝟏,𝟐 = 𝟑

𝟑 + 𝟑 + 𝟐 ⟹ 𝑷𝟑𝟐 =

𝟑!

𝟐!= 𝟑 𝟑 + 𝟑⏞

𝟐

+𝟐⏞𝟏

⏟ 𝟑

⟹ 𝑷𝟑𝟏,𝟐 = 𝟑

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑 + 𝟔 + 𝟔 + 𝟑 + 𝟑 = 𝟐𝟏


EJEMPLO#121 De cuantas formas pueden ordenarse siete personas, entre las que figuran Ariel y Lía de manera que Ariel y Lía estén

colocados uno al lado de otro. Ariel y Lía forman una sola persona, y se multiplica por 2 ya que para cada ordenación existen dos posibles posiciones de Ariel y Lía.

𝟐𝑷𝟔 = 𝟐 · 𝟔! = 𝟐 · 𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝟎 EJEMPLO#122 Se lanza una moneda 8 veces seguidas y se anotan sucesivamente los resultados obtenidos en cada uno de los lanzamientos.

Los 8 lanzamientos constituyen una experiencia. ¿En cuántas experiencias se pueden obtener cinco caras y tres cruces?

𝑷𝟖𝟓,𝟑 =

𝟖!

𝟓! · 𝟑!=𝟖 · 𝟕 · 𝟔 · 𝟓!

𝟓! · 𝟑 · 𝟐=𝟖 · 𝟕 · 𝟔

𝟑 · 𝟐= 𝟓𝟔

EJEMPLO#123 ¿Cuántas de las permutaciones formadas por los números 3, 4, 5, 6, 7, 8, ¿empezaron por 3? ¿Cuántos por 64? ¿Cuántas

terminaran por 875?

Que empiezan por 3: 𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 Que empiezan por 64: 𝑷𝟒 = 𝟒! = 𝟐𝟒

Que acaben en 875: 𝑷𝟑 = 𝟑! = 𝟔

EJEMPLO#124 Cuantos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los números 0, 1, 2, 3, 4

Hay que descontar los números que empiezan por 0 (cero). Sino descontamos queda de 4 cifras.

𝑷𝟓 −𝑷𝟒 = 𝟓! − 𝟒! = (𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏) − (𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏) = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟐𝟒 = 𝟗𝟔 EJEMPLO#125 De cuantas maneras pueden permutarse las letras de la palabra ESCAPARATE dejando fija la “P” y de modo que los lugares

ocupados por vocales no pueden ser ocupados por consonantes y viseras.

𝑪𝒐𝒏𝒔𝒐𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔: 𝑷𝟒 𝑽𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝑷𝟓𝟐,𝟑

𝑨 = 𝟑𝑬 = 𝟐

𝟓

𝑷𝟒 · 𝑷𝟓𝟐,𝟑 = 𝟒! ·

𝟓!

𝟐! · 𝟑!= (𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏) ·

𝟓 · 𝟒 · 𝟑!

𝟐 · 𝟏 · 𝟑!= (𝟒 · 𝟑 · 𝟓 · 𝟒) = 𝟐𝟒𝟎

EJEMPLO#126 Hay que colocar a 5 Hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares ¿De cuantas

maneras puede hacerse?

⟟❶

❷⟟❸

❹⟟❺

❻ ⟟❼

❽⟟❾⟹ 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔(

⟟ 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓

)

𝑷𝟒 = 𝟒! = 𝟐𝟒 𝒎𝒖𝒆𝒋𝒓𝒆𝒔 𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟏𝟐𝟎 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔

⟹ 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝟒 · 𝟏𝟐𝟎 = 𝟐𝟖𝟖𝟎 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔

EJEMPLO#127 ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto Morse?

𝑷𝟓𝟑,𝟐 =

𝟓!

𝟑! · 𝟐!=𝟓 · 𝟒 · 𝟑!

𝟑! · 𝟐=𝟐𝟎

𝟐= 𝟏𝟎 𝒍𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔

EJEMPLO#128 ¿Calcular los siguientes problemas de permutación con repetición:

𝑷𝒏,𝒏𝟏,𝒏𝟐 =𝒏!

𝒏! · 𝒏𝟐!………=

𝒏!

𝒏𝟏! · 𝒏𝟐!…………… . .

a) El # de palabras que se pueden formar con todas las letras de la palabra ORURO:

𝑷𝟓𝟐,𝟐 = 𝑷𝟓,𝟐,𝟐 =

𝟓!

𝟐! · 𝟐!=𝟏𝟐𝟎

𝟒= 𝟑𝟎 ⟹

𝟐 = 𝑹𝟐 = 𝑶𝟏 = 𝑼

b) El # de palabras que se pueden formar con todas las letras de la palabra COCODRILO:

𝑷𝟗𝟐,𝟑 =

𝟗!

𝟐! · 𝟑!= 𝑷𝟗,𝟐,𝟑 =

𝟗!

𝟐! · 𝟑!= 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎 ⟹

𝟑 = 𝑶𝟐 = 𝑪𝟏 = 𝑫𝟏 = 𝑹𝟏 = 𝑳𝟏 = 𝑰

c) PATA:

𝑷𝟒𝟐 = 𝑷𝟒,𝟐 =

𝟒!

𝟐!= 𝟏𝟐

d) MATEMATICAS:

𝑷𝟏𝟏𝟑,𝟐,𝟐 = 𝑷𝟏𝟏,𝟑,𝟐,𝟐 =

𝒏!

𝒏𝟏! · 𝒏𝟐! · 𝒏𝟑!=

𝟏𝟏!

𝟑! · 𝟐! · 𝟐!=𝟑𝟗𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎𝟎

𝟐𝟒= 𝟏𝟔𝟔𝟑𝟐𝟎𝟎 ⟹

𝟑 = 𝑨𝟐 = 𝑴𝟐 = 𝑻𝟏 = 𝑬𝟏 = 𝑰𝟏 = 𝑪𝟏 = 𝑺

Otra manera:

𝑷𝟏𝟏𝟑,𝟐,𝟐,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏 = 𝑷𝟏𝟏,𝟑,𝟐,𝟐,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏 =

𝒏!

𝒏𝟏! · 𝒏𝟐! · 𝒏𝟑! · 𝒏𝟒! · 𝒏𝟓! · 𝒏𝟔! · 𝒏𝟕!= 𝟏𝟔𝟔𝟑𝟐𝟎𝟎

A veces el número 1, no hay necesidad de colocar en la formula


EJEMPLO#129 ¿Calcular los siguientes ejemplo de permutaciones?

a) Si 10 personas se sientan alrededor de una mesa circular, de cuantas maneras se pueden situarse:

𝑷𝑪𝟏𝟎 = 𝑷𝒏′ = (𝒏 − 𝟏)! = 𝑷𝟗

′ = (𝟗 − 𝟏)! = 𝟖! = 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎 b) En una fiesta al armar una ronda tomándose de las manos, de un total de 10 personas, 3 deben estar siempre juntas entre sí, de

cuantas maneras pueden situarse:

𝑷𝒏′ = (𝒏 − 𝟏)! = 𝑷𝟕

′ = (𝟕 − 𝟏)! = 𝟔! = 𝟕𝟐𝟎 c) Un grupo de 4 caballeros y 4 damas deben situarse alrededor de una mesa, si deben sentarse en forma alternada, de cuantos

modos es esto posible:

Caballeros →𝑷𝒏′ = (𝒏 − 𝟏)! = 𝑷𝟒

′ = (𝟒 − 𝟏)! = 𝟑! = 𝟔 Damas →𝑷𝒏 = 𝒏! 𝑷𝟒 = 𝟒! = 𝟐𝟒

Damas no es circular porque estas pueden permutarse sobre la referencia ya existente de la posición de caballeros.

𝑷𝒏′ · 𝑷𝒏 = 𝟔(𝟐𝟒) = 𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒐𝒅𝒐𝒔

EJEMPLO#130 Con un grupo de 3 damas y 3 caballeros se deben ordenar una columna, donde el primero debe ser un caballero y luego

deben estar alternados ¿De cuántos maneras se puede formar la columna?

𝑪𝒂𝒃𝒂𝒍𝒍𝒆𝒓𝒐𝒔: 𝟏𝟐𝟑𝟏𝟐𝟑𝟏𝟐𝟑

→ (𝟏𝟐𝟑), (𝟏𝟑𝟐), (𝟐𝟏𝟑), (𝟐𝟑𝟏), (𝟑𝟏𝟐), (𝟑𝟐𝟏)

𝑫𝒂𝒎𝒂𝒔𝑨𝑩𝑪𝑨𝑩𝑪𝑨𝑩𝑪

→ (𝑨𝑩𝑪), (𝑨𝑪𝑩), (𝑩𝑨𝑪), (𝑩𝑪𝑨), (𝑪𝑨𝑩), (𝑪𝑩𝑨)

𝑷𝟑 · 𝑷𝟑 = 𝟑! · 𝟑! = 𝟑𝟔

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

123 1A2B3C

132

213

231 2B3A1C

312

321 3C2B1A

EJEMPLO#131 Una dama desea combinar los colores de sus 4 blusas con sus 6 faldas.

a) Calcular el # de modos como puede mezclar sus prendas de vestir:

𝑩𝒍𝒖𝒔𝒂 → 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑭𝒂𝒍𝒅𝒂 → 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔

→ 𝑨𝟏,𝑨𝟐…𝑫𝟔 = 𝟒𝑩(𝟔𝑭) = 𝟐𝟒 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔 b) A cinco niños se le ofrece 5 juguetes, si cada niño debe quedarse con solo un juguete. ¿De cuantas maneras pueden distribuirse

dichos juguetes? 𝑵𝒊ñ𝒐𝒔 → 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 𝑱𝒖𝒈𝒖𝒆𝒕𝒆𝒔 → 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓

→ 𝑨𝟏, 𝑨𝟐… ,𝑬𝟓 → 𝟓(𝟓) = 𝟐𝟓

c) En una fiesta existen 12 jóvenes y 11 señoritas. ¿Cuántas parejas pueden armarse? 𝑱𝒐𝒗𝒆𝒏𝒆𝒔 → 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 𝑭 𝑮 𝑯 𝑰 𝑱 𝑲 𝑳𝑺𝒆ñ𝒐𝒓𝒊𝒕𝒂𝒔 → 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟏𝟎 𝟏𝟏

→ 𝟏𝟐(𝟏𝟏) = 𝟏𝟑𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒋𝒂𝒔 d) Si una persona debe viajar desde el punto “A” hasta el punto intermedio “B” y luego hasta el mundo final “C”, asumiendo que

desde “A” hasta “B” existen 5 líneas de movilidades y desde “B” hasta “C” a su vez existen 3 movilidades:

𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑨 𝒂 𝑩 → 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓𝑴𝒐𝒗𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑩 𝒂 𝑪 → 𝟔 𝟕 𝟖

→ (𝟏, 𝟔)(𝟏, 𝟕)… → 𝟓(𝟑) = 𝟏𝟓 e) Para llevar adelante sus estudios, un niño debe ingresar a una escuela, luego a un colegio y finalmente a una universidad. En su

ciudad del niño se dispone de 8 escuelas, 5 colegios y 2 universidades ¿De cuantas maneras puede llevar adelantar sus estudios?

𝑬𝒔𝒄𝒖𝒆𝒍𝒂 → 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝑪𝒐𝒍𝒆𝒈𝒊𝒐 → 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 𝑼𝒏𝒊𝒗𝒆𝒓𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 → 𝒙 𝒚

→ 𝟏𝑨𝑿, 𝟏𝑨𝒀…𝟖𝑬𝒀 → 𝟖(𝟓)(𝟐) = 𝟖𝟎 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔

VARIACIONES a) Variación de “r objetos tomados de “n” objetos distintos:

𝑽𝒓𝒏 = 𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)… (𝒏− 𝒓 + 𝟏)

𝑽𝒓𝒏 =

𝒏!

(𝒏 − 𝒓)! 𝑽(𝒏, 𝒓) ; 𝒏𝑽𝒓 ; 𝑽𝒏, 𝒓

; 𝒏 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔.𝒓 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏.

b) Variación con repetición de “r” objetos tomados de “n” objetos distintos:

𝑽𝒓′ 𝒏 = 𝒏𝒓

𝑶𝑻𝑹𝑨 𝑴𝑨𝑵𝑬𝑹𝑨 𝑫𝑬 𝑽𝑨𝑹𝑰𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺 Variación.- Es el número de subconjuntos de “n” elementos que podemos obtener de un conjunto de “m” elementos, teniendo en cuenta que para que dos subconjuntos sean distintos debe de variar o el orden de los elementos o algún elemento o ambos a la vez. Por eso se dice que en las variaciones influye el orden y los elementos. Existen dos tipos de variaciones:

a) Variaciones ordinarias o sin repetición. En un mismo subconjunto no hay elementos repetidos. Variaciones de “m” elemento tomada de “n” en “n”.

𝑽𝒎,𝒏 = 𝒎 · (𝒎− 𝟏) · (𝒎 − 𝟐) · … · (𝒎− 𝒏 + 𝟏) ⟹ 𝒎 > 𝒏 b) Variaciones con repetición. En un mismo subconjunto puede haber elementos repetidos.

Variaciones con repetición de “m” elementos tomadas de “n” en “n”.

𝑽𝑹𝒎,𝒏 = 𝒎𝒏 ⟹ 𝒎 < 𝒏


EJEMPLO#132 Cuantos resultados distintos pueden producirse al lanzar una moneda cuatro veces aire.

Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir m=2, n=4

𝑽𝑹𝒎,𝒏 = 𝒎𝒏 → 𝑽𝑹𝟐,𝟒 = 𝟐

𝟒 = 𝟏𝟔 𝑽𝑹𝒎,𝒏 = 𝒎𝒏

EJEMPLO#133 ¿Cuántos números de 4 cifras distintos pueden formarse con los elementos del conjunto 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕?

Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir, m=7 n=4

𝑽𝟕,𝟒 = 𝑽𝟒𝟕 = 𝟕 · 𝟔 · 𝟓 · 𝟒 = 𝟖𝟒𝟎 ↔ 𝑽𝟒

𝟕 =𝟕!

(𝟕 − 𝟒)!=𝟓𝟎𝟒𝟎

𝟔= 𝟖𝟒𝟎

EJEMPLO#134 ¿De cuantas formas diferentes se pueden repartir tres juguetes diferentes entre cuatro niños, de manera que ningún niño

tenga más de un juguete? Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir: m=4 (niños), n=3 juguetes

𝑽𝟒,𝟑 = 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏 = 𝟐𝟒 ↔ 𝑽𝟑𝟒 =

𝟒!

(𝟒 − 𝟑)!= 𝟐𝟒

EJEMPLO#135 ¿De cuantas formas diferentes se pueden distribuir cinco bolas distintas en tres cajas diferentes?

Influyen orden y elementos, y estos no se pueden repetir:

𝒎 = 𝟓 𝒃𝒐𝒍𝒂𝒔𝒏 = 𝟑 𝒄𝒂𝒋𝒂𝒔

→ 𝑽𝟓,𝟑 = 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 ↔ 𝑽𝟑𝟓 =

𝟓!

(𝟓 − 𝟑)!=𝟏𝟐𝟎

𝟐= 𝟔𝟎

Nota: si 𝑽𝟑𝟓 = 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 = 𝟔𝟎 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒆𝒔 𝟑,𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒐 𝒆𝒍 #𝟓 𝒗𝒂 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒕𝒓𝒆𝒔: 𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝟑

EJEMPLO#136 En un examen se proponen 10 preguntas; cada pregunta tiene tres respuestas posibles (a, b, c). Si se contestan al azar.

¿Cuántos exámenes distintos pueden producirse? Influyen orden y elemento, y estos se pueden repetir. m=3(a, b, c), n=10(10 respuestas)

𝑽𝑹𝟑,𝟏𝟎 = 𝟑𝟏𝟎 = 𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗

EJEMPLO#137 Se extraen sucesivamente dos bolas de una bolsa que contiene seis de diferentes colores. ¿Cuántos resultados distintos

pueden producirse? a)Con devolución b)Sin devolución. Influye orden y elementos. m=6 (colores), n=2 (extracciones)

a) Con devolución(admite repetición):

𝑽𝑹𝟔,𝟐 = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔

b) Sin devolución(no admite repetición):

𝑽𝟔,𝟐 = 𝟔 · 𝟓 = 𝟑𝟎 ↔ 𝑽𝟐𝟔 =

𝟔!

(𝟔 − 𝟐)!=𝟕𝟐𝟎

𝟐𝟒= 𝟑𝟎

EJEMPLO#138 El viaje de la ciudad A a la ciudad B se puede realizar por 5 carreteras distintas ¿De cuantas formas puede realizarle el viaje

de ida y vuelta? Se pueden repetirse m=5 (carreteras) n=2 (viajes, ida y vuelta)

𝑽𝑹𝟓,𝟐 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓

EJEMPLO#139 De A a B puede irse en coche, avión, moto, tren o barco. ¿De cuantas formas posibles se puede hacer el viaje de ida y

vuelta? Se pueden repetir: m=5 (tipos de transporte); n=2 (viajes, ida y vuelta)

𝑽𝑹𝟓,𝟐 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓

EJEMPLO#140 Resolver: 𝑽𝒎,𝟐 + 𝑽𝒎−𝟐,𝟐 + 𝑽𝒎−𝟒,𝟐 = 𝟗𝟖

𝒎(𝒎 − 𝟏) + (𝒎 − 𝟐) · (𝒎 − 𝟑) + (𝒎− 𝟒) · (𝒎− 𝟓) = 𝟗𝟖 ⟹ 𝒎𝟐 −𝒎+𝒎𝟐 − 𝟓𝒎+ 𝟔 +𝒎𝟐 − 𝟗𝒎+ 𝟐𝟎 = 𝟗𝟖

𝟑𝒎𝟐 − 𝟏𝟓𝒎− 𝟕𝟐 = 𝟎 (𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝟐º 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐) ⟹ 𝒎𝟏 = 𝟖 𝒎𝟐 = −𝟑

, 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒎𝒆 𝒔𝒊𝒓𝒗𝒆 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐:𝒎 = 𝟖

Comprobando: 𝑽𝟖,𝟐 + 𝑽𝟖−𝟐,𝟐 +𝑽𝟖−𝟒,𝟐 = 𝟗𝟖

𝑽𝟖,𝟐 + 𝑽𝟔,𝟐 + 𝑽𝟒,𝟐 = 𝟗𝟖

𝟖 ∗ 𝟕 + 𝟔 ∗ 𝟓 + 𝟒 ∗ 𝟑 = 𝟗𝟖 𝟓𝟔 + 𝟑𝟎 + 𝟏𝟐 = 𝟗𝟖

𝟗𝟖 = 𝟗𝟖 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆!!!

EJEMPLO#141 Tiras dos dados diferentes al aire. ¿Cuántos resultados distintos pueden producirse?

Se pueden repetirse: m=6 (caras); n=2 (dados)

𝑽𝑹𝟔,𝟐 = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔 ⟹

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔

: 𝒎 = 𝟔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔

EJEMPLO#142 Una matrícula de coche de un país sudamericano está formado por 3 letras elegidas entre 27 y 4 números escogidos entre

los números comprendidos entre 0 y 9. ¿Cuántos coches se pueden matriculas en cada país con este sistema?

Formas de escoger tres letras: Se pueden repetir: 𝒎 = 𝟐𝟕 𝒏 = 𝟑 𝑽𝑹𝟐𝟕,𝟑 = 𝟐𝟕𝟑 = 𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑

Formas de escoger 4 números: Se pueden repetir: 𝒎 = 𝟏𝟎 𝒏 = 𝟒 𝑽𝑹𝟏𝟎,𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

Coches matriculadas:

𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔 = 𝑽𝑹𝟐𝟕,𝟑 ∗ 𝑽𝑹𝟏𝟎,𝟒 = 𝟐𝟕𝟑 · 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎


EJEMPLO#143 Las letras X, Y, Z tomadas de dos en dos puedan disponerse de las siguientes maneras: XY, YX, XZ, ZX, YZ, ZY.

𝑽𝟑,𝟐 = 𝟑 · 𝟐 = 𝟔

𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂: 𝒏 = 𝟑 ; 𝒓 = 𝟐 ⟹ 𝑽𝒓𝒏 =

𝒏!

(𝒏 − 𝒓)!=

𝟑!

(𝟑 − 𝟐)!=𝟑 · 𝟐 · 𝟏

(𝟏)!= 𝟔

EJEMPLO#144 El estante de muestras de una librería solo permite mostrar 4 libros a la vez, si se dispone de 7 libros nuevos. ¿De cuantas

maneras es posible afectar las muestras?

𝑽𝟕,𝟒 = 𝟕 · 𝟔 · 𝟓 · 𝟒 = 𝟖𝟒𝟎

𝑪𝒐𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂: ⟹ 𝑽𝒓𝒏 =

𝒏!

(𝒏 − 𝒓)!=

𝟕!

(𝟕 − 𝟒)!=𝟕!

𝟑!=𝟓𝟎𝟒𝟎

𝟔= 𝟖𝟒𝟎

EJEMPLO#145 Resolver los siguientes problemas de variaciones:

a) El # de palabras de 3 letras que puede formar con las letras de la palabra MUJER:

→ 𝒎 = 𝟓 𝒏 = 𝟑 𝑽𝟓,𝟑 = 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 = 𝟔𝟎

→ 𝒏 = 𝟓 𝒓 = 𝟑 𝑽𝟑𝟓 = (𝟓) · (𝟒) · (𝟑) =

𝟓!

(𝟓 − 𝟑)!=𝟏𝟐𝟎

𝟐= 𝟔𝟎

⟹ 𝑴𝑼𝑱𝑬𝑹𝑴𝑼𝑱𝑬𝑹𝑴𝑼𝑱𝑬𝑹

→ 𝑴𝑼𝑱,𝑴𝑼𝑬,𝑴𝑼𝑹,…

b) # de palabras de 5 letras que se forman con las letras de la palabra MURCIELAGO:

→ 𝒎 = 𝟏𝟎 𝒏 = 𝟓 𝑽𝟏𝟎,𝟓 = 𝟏𝟎 · 𝟗 · 𝟖 · 𝟕 · 𝟔 = 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎

→ 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒓 = 𝟓 𝑽𝟓𝟏𝟎 =

𝟏𝟎!

(𝟏𝟎 − 𝟓)!=𝟏𝟎!

𝟓!=𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟎= 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎

c) En una ciudad, las placas de movilidades deben mostrar 2 vocales y 3 números, sin repetir alguno de ellos. Si se dispone de 5 vocales y 10 números. Hallar el # de placas que se pueden elaborar:

𝑽𝑶𝑪𝑨𝑳𝑬𝑺 𝒂, 𝒆, 𝒊, 𝒐, 𝒖𝒂, 𝒆, 𝒊, 𝒐, 𝒖

→ 𝒂𝒆, 𝒂𝒊, 𝒂𝒐… ; 𝑵Ú𝑴𝑬𝑹𝑶𝑺 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟎𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟎𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟎

→ 𝟏𝟐𝟑, 𝟏𝟐𝟒, 𝟏𝟐𝟓, …

→ 𝑽𝟐𝟓 = 𝟓 · 𝟒 = 𝟐𝟎 𝒗𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔(𝟓 𝒗𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒉𝒂𝒚 𝒅𝒆 𝟐)

→ 𝑽𝟑𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 · 𝟗 · 𝟖 = 𝟕𝟐𝟎 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔(𝟏𝟎 # 𝒅𝒆 𝟑)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 # 𝒅𝒆 𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂𝒔 = 𝑽𝟐𝟓 · 𝑽𝟑

𝟏𝟎 = 𝟐𝟎 · 𝟕𝟐𝟎 = 𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎

123 124 …

ae ai . . .

ae123 ai124

d) De un curso de 10 alumnos se debe premiar a los tres mejores. ¿De cuantas maneras es posible elegir a los premiados?

𝒏(𝑺) = 𝑽𝟑𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 · 𝟗 · 𝟖 = 𝟕𝟐𝟎 ⟹ 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔

𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟎𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟎𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟎

→ 𝟏𝟐𝟑, 𝟏𝟐𝟒, 𝟏𝟐𝟓…

e) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse, si ningún digito se repite?

𝒏(𝑺) = 𝑽𝟑𝟓 = 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 = 𝟔𝟎 ⟹ 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔

𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓

→ 𝟏𝟐𝟑, 𝟏𝟐𝟒, 𝟏𝟐𝟓…

¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse, si los dígitos se repiten?

𝒏(𝑺) = 𝑽𝟑′ 𝟓 = 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 ⟹ 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔

𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓

→ 𝟏𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐, 𝟏𝟏𝟑… ó 𝑽𝑹𝟓,𝟑 = 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓

f) A partir de los dígitos: 0, 1, 2 se trata de calcular la cantidad de números de dos cifras que pueden formarse, si se es que se admite la repetición de estos dígitos.

𝑽𝒓′ 𝒏 = 𝒏𝒓 = 𝑽𝟐

′ 𝟑 = 𝟑𝟐 = 𝟗 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔

→ 𝑽𝑹𝟑,𝟐 = 𝟑𝟐 = 𝟗

00 01 02

11 10 20

22 12 21

00 01 02

10 11 12

20 21 22

EJEMPLO#146 ¿De cuántos números pueden sentarse 10 alumnos en un Banco si hay 4 sitios disponibles?

Importa el orden, 4 sitios diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez. Sin repetición:

𝑽𝟏𝟎,𝟒 =𝟏𝟎!

(𝟏𝟎 − 𝟒)!=𝟏𝟎!

𝟔!= 𝟏𝟎 · 𝟗 · 𝟖 · 𝟕 = 𝟓𝟎𝟒𝟎 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔

a) ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Permitiendo repeticiones importa orden (1224 no es lo mismo que 2214):


𝑽𝑹𝟗,𝟒 = 𝟗𝟒 = 𝟔𝟓𝟔𝟏 # 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

Sin repetición:

𝑽𝟗,𝟒 =𝟗!

(𝟗 − 𝟒)!=𝟗!

𝟓!= 𝟗 · 𝟖 · 𝟕 · 𝟔 = 𝟑𝟎𝟐𝟒 #𝒔

Si el ultimo digito ha de ser 1 y no se permite repeticiones:

𝑽𝟖,𝟑 =𝟖!

(𝟖 − 𝟑)!=𝟖!

𝟓!= 𝟖 · 𝟕 · 𝟔 = 𝟑𝟑𝟔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔

b) En un grupo de 10 amigos, ¿Cuántas distribuciones de sus fechas de sus cumpleaños pueden darse al año? Se permite repeticiones, importa el orden que son las fechas.

𝑽𝑹𝟑𝟔𝟓,𝟏𝟎 = 𝟑𝟔𝟓𝟏𝟎 = 𝟒𝟏𝟗𝟔𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐𝟒𝟑𝟏𝟗𝟖𝟖𝟎𝟓𝟏𝟔𝟔𝟎𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓

COMBINACIONES Es el número de subconjuntos de “n” elementos que podemos hacer en un conjunto de “m” elementos con la condición de que para que dos subconjuntos sean distintos deben de tener al menos un elemento distinto. En este caso se dice que influyen los elementos. Aunque existen combinaciones con o sin repetición.

Combinaciones Ordinarias: 𝑪𝒎𝒏 = 𝑪𝒎,𝒏 = (

𝒎𝒏) =

𝒎!

𝒏!(𝒎−𝒏)!

Combinaciones con Repetición: 𝑪𝑹𝒎,𝒏 = 𝑪𝒎+𝒏−𝟏,𝒏 OTRAS FORMULAS:

a) Combinación de “r” objetos de “n” objetos distintos:

𝑪𝒓𝒏 =

𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)… (𝒏 − 𝒓 + 𝟏)

𝒓(𝒓 − 𝟏)…𝟐 ∗ 𝟏=

𝒏!

𝒓! (𝒏 − 𝒓)!= (𝒏𝒓) ↔ 𝑪𝒓

𝒏 =𝑽𝒓𝒏

𝒓!=

𝒏!(𝒏 − 𝒓)!

𝒓!=

𝒏!

𝒓! (𝒏 − 𝒓)!

b) El total de las combinaciones que se puede lograr a partir de “n” objetos distintos tomados de diversas maneras se puede calcular por:

𝑵𝑪 = 𝟐𝒏 − 𝟏 → 𝑵(𝑪) = 𝟐

𝒏 − 𝟏 EJEMPLO#147 ¿Cuántas comisiones de 3 alumnos pueden formarse con los 35 alumnos de una clase?

𝑪𝟑𝟓𝟑 = (

𝟑𝟓𝟑) =

𝟑𝟓!

𝟑! (𝟑𝟓 − 𝟑)!=𝟑𝟓!

𝟑! 𝟑𝟐!=𝟑𝟓 · 𝟑𝟒 · 𝟑𝟑 · 𝟑𝟐!

𝟑 · 𝟐 · 𝟑𝟐!= 𝟔𝟓𝟒𝟓 ↔ 𝑪𝟑𝟓

𝟑 =𝑽𝟑𝟓𝟑

𝑷𝟑=𝟑𝟓 · 𝟑𝟒 · 𝟑𝟑

𝟑 · 𝟐= 𝟔𝟓𝟒𝟓

EJEMPLO#147,1 ¿Cuántos equipos de atletas se podrían formarse para participar en una competición con los 12 atletas mejor preparados?

𝑪𝟏𝟐𝟓 = (

𝟏𝟐𝟓) =

𝟏𝟐!

𝟓! (𝟏𝟐 − 𝟓)!=𝟏𝟐!

𝟓! 𝟕!=𝟏𝟐 · 𝟏𝟏 · 𝟏𝟎 · 𝟗 · 𝟖 · 𝟕!

𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟕!=𝟏𝟐 · 𝟏𝟏 · 𝟏𝟎 · 𝟗 · 𝟖

𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐= 𝟕𝟗𝟐

𝑪𝟏𝟐𝟓 =

𝑽𝟏𝟐𝟓

𝑷𝟓=𝟏𝟐 · 𝟏𝟏 · 𝟏𝟎 · 𝟗 · 𝟖

𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐= 𝟕𝟗𝟐

EJEMPLO#148 En una carrera en la que toman parte 8 caballos se juega una opuesta que consiste en acertar los 2 primeros sin tener en

cuenta el orden. ¿Cuántas apuestas diferentes puedan jugarse en esa carrera?

𝑪𝟖𝟐 = (

𝟖𝟐) =

𝑽𝟖𝟐

𝑷𝟐=𝟖 · 𝟕

𝟐!= 𝟐𝟖 ↔ 𝑪𝟖

𝟐 = (𝟖𝟐) =

𝟖!

𝟐! (𝟖 − 𝟐)!=𝟖!

𝟐! 𝟔!=𝟖 · 𝟕 · 𝟔!

𝟐 · 𝟔!= 𝟐𝟖

EJEMPLO#149 De los 48 trabajadores de una empresa se presentan 6 como candidatos a ocupar dos puestos de representante de los

trabajadores. ¿Cuántas elecciones son posibles?

𝑪𝟒𝟖𝟔 = (

𝟒𝟖𝟔) =

𝑽𝟒𝟖𝟔

𝑷𝟔=𝟒𝟖 · 𝟒𝟕 · 𝟒𝟔 · 𝟒𝟓 · 𝟒𝟒 · 𝟒𝟑

𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏=𝟖𝟖𝟑𝟓𝟒𝟖𝟖𝟔𝟒𝟎

𝟕𝟐𝟎= 𝟏𝟐𝟐𝟕𝟏𝟓𝟏𝟐

𝑪𝟒𝟖𝟔 = (

𝟒𝟖𝟔) =

𝟒𝟖!

𝟔! (𝟒𝟖 − 𝟔)!=

𝟒𝟖!

𝟔! · 𝟒𝟐!=𝟒𝟖 · 𝟒𝟕 · 𝟒𝟔 · 𝟒𝟓 · 𝟒𝟒 · 𝟒𝟑 · 𝟒𝟐!

𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏 · 𝟒𝟐!= 𝟏𝟐𝟐𝟕𝟏𝟓𝟏𝟐

EJEMPLO#150 En un salón hay 6 matrimonios. Se eligen al azar dos de esas personas:

a) ¿Cuántas elecciones distintas son posibles? 𝑪𝟏𝟐𝟐 = (

𝟏𝟐𝟐) =

𝑽𝟏𝟐𝟐

𝑷𝟐=𝟏𝟐·𝟏𝟏

𝟐!= 𝟔𝟔

b) ¿En cuántas de las elecciones posibles habrá dos hombres?

𝑪𝟔𝟐 = (

𝟔𝟐) =

𝑽𝟔𝟐

𝑷𝟐=𝟔 · 𝟓

𝟐!=𝟑𝟎

𝟐= 𝟏𝟓

c) ¿En cuántas habrá una mujer y un Hombre?

𝑪𝟔𝟏 · 𝑪𝟔

𝟏 = (𝟔𝟏) (𝟔𝟏) =

𝑽𝟔𝟏

𝑷𝟏·𝑽𝟔𝟏

𝑷𝟏= 𝟔 · 𝟔 = 𝟑𝟔

d) ¿En cuántas de las posibles elecciones habrá un matrimonio?

Existen seis matrimonios, por lo tanto 6.


EJEMPLO#151 En una línea férrea hay 18 estaciones. Si el tren para en todas las estaciones, ¿Cuántos viajes distintos pueden realizarse entre ellas?

Hay que escoger las estación de salida y la de llegada, no influyendo el orden por que se sobreentiende que es lo mismo el viaje de A a B que de B a A.

𝑪𝟏𝟖𝟐 = (

𝟏𝟖𝟐) =

𝑽𝟏𝟖𝟐

𝑷𝟐=𝟏𝟖 · 𝟏𝟕

𝟐!= 𝟏𝟓𝟑

EJEMPLO#152 Un alumno puede elegir 3 entre sus 15 compañeros de clase para realizar un viaje. ¿Cuántas elecciones distintas pueden hacerse?

𝑪𝟏𝟓𝟑 = (

𝟏𝟓𝟑) =

𝑽𝟏𝟓𝟑

𝑷𝟑=𝟏𝟓 · 𝟏𝟒 · 𝟏𝟑

𝟑 · 𝟐= 𝟒𝟓𝟓

EJEMPLO#153 Con 5 clases de vino, ¿Cuántas mezclas se pueden formar de 3 vinos?

𝑪𝟓𝟑 = (

𝟓𝟑) =

𝑽𝟓𝟑

𝑷𝟑=𝟓 · 𝟒 · 𝟑

𝟑 · 𝟐= 𝟏𝟎

EJEMPLO#154 De cuantas formas posibles pueden elegirse dos botellas entre 18 existentes.

𝑪𝟏𝟖𝟐 = (

𝟏𝟖𝟐) =

𝑽𝟏𝟖𝟐

𝑷𝟐=𝟏𝟖 · 𝟏𝟕

𝟐= 𝟏𝟓𝟑

EJEMPLO#155 Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 gr. ¿Cuántas pesadas posibles pueden realizarse?

𝑪𝟔𝟏 + 𝑪𝟔

𝟐 + 𝑪𝟔𝟑 + 𝑪𝟔

𝟒 + 𝑪𝟔𝟓 + 𝑪𝟔

𝟔 =𝑽𝟔𝟏

𝑷𝟏+𝑽𝟔𝟐

𝑷𝟐+𝑽𝟔𝟑

𝑷𝟑+𝑽𝟔𝟒

𝑷𝟒+𝑽𝟔𝟓

𝑷𝟓+𝑽𝟔𝟔

𝑷𝟔

=𝟔

𝟏 · 𝟏+𝟔 · 𝟓

𝟐 · 𝟏+𝟔 · 𝟓 · 𝟒

𝟑 · 𝟐 · 𝟏+𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑

𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏+𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐

𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏+𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏

𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏= 𝟔 + 𝟏𝟓 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟓 + 𝟔 + 𝟏 = 𝟔𝟑

EJEMPLO#156 Resolver los siguientes problemas de combinaciones:

a) Calcular el número de partidos en un campeonato de balompié que cuenta con 10 equipos. Si el campamento es de todos contra todos en una sola rueda:

𝑪𝟐𝟏𝟎 =

𝑽𝟐𝟏𝟎

𝟐!=𝟏𝟎 · 𝟗

𝟐=𝟗𝟎

𝟐= 𝟒𝟓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒅𝒐𝒔:

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟎𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟎

→ 𝟏𝟐, 𝟏𝟑…

b) Calcular el número de partidos en un campeonato de balompié que cuenta con 10 equipos, si el campamento es de 2 series de a 5 equipos en una sola rueda:

𝑪𝟐𝟓 + 𝑪𝟐

𝟓 =𝑽𝟐𝟓

𝟐!+𝑽𝟐𝟓

𝟐!=𝟓 · 𝟒

𝟐+𝟓 · 𝟒

𝟐=𝟐𝟎

𝟐+𝟐𝟎

𝟐=𝟒𝟎

𝟐= 𝟐𝟎

c) En un club de 15 socios debe elegirse un presidente un tesorero y 5 vocales. ¿De cuántos números puede elegirse esta directica?

𝑪𝟏𝟏𝟓 · 𝑪𝟏

𝟏𝟒 · 𝑪𝟏𝟏𝟑 =

𝑽𝟏𝟏𝟓

𝟏!·𝑽𝟏𝟏𝟒

𝟏!·𝑽𝟓𝟏𝟑

𝟓!= (𝟏𝟓)(𝟏𝟒) ∗

(𝟏𝟑 · 𝟏𝟐 · 𝟏𝟏 · 𝟏𝟎 · 𝟗)

𝟏𝟐𝟎= 𝟐𝟕𝟎𝟐𝟕𝟎

Cualquier de los 15 es presidente; Cualquier de los 14 es tesorero; Cualquier de los 13 que quedan elegir 5 vocales d) Un entrenador tiene un equipo de 8 jugadores de basquetbol. ¿De cuantas maneras pueden mandar a la cancha al equipo de 5 jugadores?

𝑪𝟓𝟖 =

𝑽𝟓𝟖

𝟓!=𝟖 · 𝟕 · 𝟔 · 𝟓 · 𝟒

𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏= 𝟓𝟔

e) De un lote de 12 juguetes, un niño debe escoger solo a 4. ¿De cuantas maneras puede llevar a cabo su elección?

𝑪𝟒𝟏𝟐 =

𝑽𝟒𝟏𝟐

𝟒!=𝟏𝟐 · 𝟏𝟏 · 𝟏𝟎 · 𝟗

𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏= 𝟒𝟗𝟓

f) De 27 senadores del parlamento Boliviano. ¿Cuántos modos de armar comisiones de 5 se tiene?

𝑪𝟓𝟐𝟕 =

𝑽𝟓𝟐𝟕

𝟓!=𝟐𝟕 · 𝟐𝟔 · 𝟐𝟓 · 𝟐𝟒 · 𝟐𝟑

𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏= 𝟖𝟎𝟕𝟑𝟎

g) Un campeonato de balompié se realiza con la participación de 5 equipos: A, B, C, D, E. Donde deben jugar todos contra todos en una sola rueda, se trata de calcular: El número de partidos que en total debe jugarse en este campeonato.

Considerando que el partido entre los equipos AB es el mismo que el partido BA. Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomadas de dos en dos:

𝑪𝟐𝟓 =

𝑽𝟐𝟓

𝟐!=𝟓 · 𝟒

𝟐=𝟐𝟎

𝟐= 𝟏𝟎

Otra forma:

𝑪𝒓𝒏 = (

𝒏𝒓) =

𝟓!

𝟐! (𝟓 − 𝟐)!=

𝟓!

𝟐! · 𝟑!=𝟓 · 𝟒 · 𝟑!

𝟐 · 𝟏 · 𝟑!=𝟐𝟎

𝟐= 𝟏𝟎

AB AC AD AE

BC BD BE

CD CE

DE


EJEMPLO#157 Resolver los siguientes problemas: a) Un joven desea salir un fin de semana con una muchacha, si dispone de los teléfonos de 5 muchachas y sabe que puede ir a una

Discoteca, un karaoke o un cine. ¿Calcular el número de modos como puede pasar el fin de semana?

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓𝑲 𝑫 𝑪

→ 𝟓(𝟑) = 𝟏𝟓 b) En una urna se tienen 5 bolas con los números: 1, 2, 3, 4, 5. ¿Cuántos números diferentes de 3 cifras es posible obtener?

𝑽𝟑𝟓 = 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 = 𝟔𝟎

c) Un arma de casa dispone solo de 4 manteles diferentes para colocar sobre 6 mesas. ¿De cuantas maneras puede distribuir sus manteles?

𝑽𝟒𝟔 = 𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 = 𝟑𝟔𝟎

d) Un grupo de 12 damas se reúne para un te canasta. Se dispone de tres mesas de 4 sillas cada una. ¿calcular el # de modos como pueden ubicarse las damas?

𝑪𝟒𝟏𝟐 =

𝑽𝟒𝟏𝟐

𝟒!=𝟏𝟐 · 𝟏𝟏 · 𝟏𝟎 · 𝟗

𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏= 𝟒𝟗𝟓

e) De un grupo de 6 libros, de cuantas maneras se puede elegir uno o más libros.

𝑵(𝒄) = 𝑵𝑪 = 𝟐𝒏 − 𝟏 = 𝟐𝟔 − 𝟏 = 𝟔𝟒 − 𝟏 = 𝟔𝟑

𝑪𝟏𝟔 + 𝑪𝟐

𝟔 + 𝑪𝟑𝟔 + 𝑪𝟒

𝟔 + 𝑪𝟓𝟔 + 𝑪𝟔

𝟔 =𝑽𝟏𝟔

𝟏!+𝑽𝟐𝟔

𝟐!+𝑽𝟑𝟔

𝟑!+𝑽𝟒𝟔

𝟒!+𝑽𝟓𝟔

𝟓!+𝑽𝟔𝟔

𝟔!

=𝟔

𝟏+𝟔 · 𝟓

𝟐+𝟔 · 𝟓 · 𝟒

𝟔+𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑

𝟐𝟒+𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐

𝟏𝟐𝟎+𝟔 · 𝟓 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏

𝟕𝟐𝟎= 𝟔 + 𝟏𝟓 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟓+ 𝟔 + 𝟏 = 𝟔𝟑

PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

EJEMPLO#158 Calcular las probabilidades de los siguientes eventos, usando conceptos de combinatoria.

a) Probabilidad de sacar correctamente y en orden las letras de la palabra BENI, de una urna que contiene a las letras EBIN: 𝟏

𝑷𝟒=𝟏

𝟒!=

𝟏

𝟒 · 𝟑 · 𝟐 · 𝟏=𝟏

𝟐𝟒≅ 𝟒, 𝟏𝟕%

b) Probabilidad de la palabra ORURO, de una urna que contiene a las letras OORRU: Total=5 letras O=2 R=2

𝟏

𝑷𝟓,𝟐,𝟐=

𝟏

𝟓!𝟐! 𝟐!

=𝟏 · 𝟐! · 𝟐!

𝟓!=𝟒

𝟏𝟐𝟎=𝟏

𝟑𝟎≅ 𝟑, 𝟑𝟑%

c) Probabilidad de obtener al menos un premio, al comprar un boleto de una rifa de 1000 boletos que ofrece 10 premios.

𝑺 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑵𝑵𝑵𝑵… → 𝑷(𝑬) =𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟎,𝟎𝟏 = 𝟏%

d) Se venden 1000 boletos para un sorteo, donde se ofertan 8 premios. 1. Calcular la probabilidad de obtener al menos un premio si se compra un boleto

𝑬 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒓 𝒂𝒍𝒈ú𝒏 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒐; = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒏𝒐 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒓 𝒏𝒊𝒏𝒈ú𝒏 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒐. La probabilidad de no ganar ningún premio es igual al número de combinaciones de los 999 boletos (que quedan al comprar 1) tomados de 8 en 8 entre el número de combinaciones de los 1000 boletos tomados de 8 en 8.

𝑷(Ē) =𝑪𝟖𝟗𝟗𝟗

𝑪𝟖𝟏𝟎𝟎𝟎 =

(𝟗𝟗𝟗𝟖)

(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟖)=𝑽𝟖𝟗𝟗𝟗

𝑽𝟖𝟏𝟎𝟎𝟎 =

(𝟗𝟗𝟗)(𝟗𝟗𝟖)(𝟗𝟗𝟕)(𝟗𝟗𝟔)(𝟗𝟗𝟓)(𝟗𝟗𝟒)(𝟗𝟗𝟑)(𝟗𝟗𝟐)

(𝟏𝟎𝟎𝟎)(𝟗𝟗𝟗)(𝟗𝟗𝟖)(𝟗𝟗𝟕)(𝟗𝟗𝟔)(𝟗𝟗𝟓)(𝟗𝟗𝟒)(𝟗𝟗𝟑)=𝟗𝟗𝟐

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟗𝟗𝟐 = 𝟗𝟗, 𝟐%

𝑷(𝑬) = 𝟏 − 𝑷(Ē) = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟗𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖 ≅ 𝟎, 𝟖%

2. Calcular la probabilidad de obtener al menos un premio si se compran 5 boletos.

𝑷(Ē) =𝑪𝟖𝟗𝟗𝟓

𝑪𝟖𝟏𝟎𝟎𝟎

=(𝟗𝟗𝟓𝟖)

(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟖)= 𝟎,𝟗𝟔𝟎𝟔 ⟹ 𝑷(𝑬) = 𝟏 − 𝑷(Ē) = 𝟏 − 𝟎,𝟗𝟔𝟎𝟔 = 𝟎,𝟎𝟑𝟗𝟒

e) En una reunión social están presentes solo 8 parejas de casados. 1. Calcular la probabilidad de que dos personas elegidas al azar sean esposos: E= es el evento de que las dos personas elegidos

sean esposos.


𝒏(𝑺)=

𝟖

(𝟏𝟔𝟐)=𝟖

𝟏𝟐𝟎=𝟏

𝟏𝟓

2. Calcular la probabilidad de que dos personas elegidas al azar sean hombre y mujer. E= es el evento de que una de las personas sea hombre y otra mujer.


𝒏(𝑺)=𝟖 ∗ 𝟖

(𝟏𝟔𝟐)=𝟔𝟒

(𝟏𝟔𝟐)=𝟔𝟒

𝟏𝟐𝟎=𝟖

𝟏𝟓

f) De una caja de 20 disquetes, se sabe que 6 son defectuosos, calcular la probabilidad de:

1. Extraer 5 disquetes buenos uno tras otro, con reposición E⟹ es el de extraer un disquete bueno:

𝑷(𝑬) =𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟒

𝟐𝟎= (𝟏𝟒

𝟐𝟎)𝟓

= 𝟎, 𝟏𝟕


2. Extraer 5 disquete buenos uno tras otro, sin reposición:

𝑷(𝑬) =𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟑

𝟏𝟗·𝟏𝟐

𝟏𝟖·𝟏𝟏

𝟏𝟕·𝟏𝟎

𝟏𝟔=𝑪𝟓𝟏𝟒

𝑪𝟓𝟐𝟎 =

𝟏𝟎𝟎𝟏

𝟕𝟕𝟓𝟐= 𝟎, 𝟏𝟑

3. Extraer 8 disquete buenos uno tras otro sin reposición:

𝑷(𝑬) =𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟑

𝟏𝟗·𝟏𝟐

𝟏𝟖·𝟏𝟏

𝟏𝟕·𝟏𝟎

𝟏𝟔·𝟗

𝟏𝟓·𝟖

𝟏𝟒·𝟕

𝟏𝟑=𝑪𝟖𝟏𝟒

𝑪𝟖𝟐𝟎 =

𝟕𝟕

𝟑𝟐𝟑𝟎= 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟖

4. Extraer 5 disquete de los que al menos 3 sean buenos, uno tras otro, con reposición:

𝑬𝑬𝑬ĒĒ,𝑬𝑬Ē𝑬Ē,𝑬Ē𝑬𝑬Ē,… , ĒĒ𝑬𝑬𝑬 (𝟏𝟎 𝒎𝒐𝒅𝒐𝒔)

𝑷(𝑬) = 𝑷𝟓,𝟑,𝟐 =𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟔

𝟐𝟎·𝟔

𝟐𝟎= 𝟏𝟎(

𝟏𝟒

𝟐𝟎)𝟑

(𝟔

𝟐𝟎)𝟑

=𝟑𝟎𝟖𝟕

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

5. Extraer 5 disquete de los que al menos 3 sean buenos, uno tras otro, sin reposición:

𝑷(𝑬) = 𝑷𝟓,𝟑,𝟐 =𝟏𝟒

𝟐𝟎·𝟏𝟑

𝟏𝟗·𝟏𝟐

𝟏𝟖·𝟔

𝟏𝟕·𝟓

𝟏𝟔=𝑪𝟑𝟏𝟒 · 𝑪𝟐

𝟔

𝑪𝟓𝟐𝟎 =

𝟒𝟓𝟓

𝟏𝟐𝟗𝟐= 𝟎, 𝟑𝟓𝟐𝟐

g) De un paquete de 30 CD en blanco se sabe que un 30% son defectuosos. Si se sacan los CD uno tras otro. Calcular la probabilidad de :

𝑺 = 𝑫…𝑫𝑩…𝑩 → 𝒏(𝑺) = 𝟑𝟎 = 𝟗𝑫+ 𝟐𝟏𝑩 1. Sacar 4 CD buenos con reposición:

𝑷(𝑩𝑩𝑩𝑩) =𝟐𝟏

𝟑𝟎·𝟐𝟏

𝟑𝟎·𝟐𝟏

𝟑𝟎·𝟐𝟏

𝟑𝟎= (𝟐𝟏

𝟑𝟎)𝟒

= 𝟎, 𝟐𝟒𝟎𝟏

2. Sacar 4 CD buenos sin reposición:

𝑷(𝑩𝑩𝑩𝑩) =𝟐𝟏

𝟑𝟎·𝟐𝟎

𝟐𝟗·𝟏𝟗

𝟐𝟖·𝟏𝟖

𝟐𝟕= 𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟒

3. Sacar 10 CD buenos sin reposición:

𝑷(𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩) =𝟐𝟏 · 𝟐𝟎 · 𝟏𝟗 · 𝟏𝟖 · 𝟏𝟕 · 𝟏𝟔 · 𝟏𝟓 · 𝟏𝟒 · 𝟏𝟑 · 𝟏𝟐

𝟑𝟎 · 𝟐𝟗 · 𝟐𝟖 · 𝟐𝟕 · 𝟐𝟔 · 𝟐𝟓 · 𝟐𝟒 · 𝟐𝟑 · 𝟐𝟐 · 𝟐𝟏= 𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟕

4. 4CD buenas, al sacar 7 CD con reposición:

𝑷(𝑩𝑩𝑩𝑩𝑫𝑫𝑫)+ 𝑷(𝑩𝑩𝑩𝑫𝑩𝑫𝑫) + 𝑷(𝑩𝑩𝑫𝑩𝑩𝑫𝑫) +⋯𝒆𝒕𝒄.

= 𝑷𝟕,𝟒,𝟑 (𝟐𝟏

𝟑𝟎)𝟒

(𝟗

𝟑𝟎)𝟑

=𝟕!

𝟒! 𝟑!(𝟐𝟏

𝟑𝟎)𝟒

(𝟗

𝟑𝟎)𝟑

= 𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟗

5. 4 CD buenos, al sacar 7 CD sin reposición:

𝑷(𝑩𝑩𝑩𝑩𝑫𝑫𝑫) + 𝑷(𝑩𝑩𝑩𝑫𝑩𝑫𝑫) + 𝑷(𝑩𝑩𝑫𝑩𝑩𝑫𝑫) + ⋯𝒆𝒕𝒄.

= 𝑷𝟕,𝟒,𝟑 (𝟐𝟏 · 𝟐𝟎 · 𝟏𝟗 · 𝟏𝟖 · 𝟗 · 𝟖 · 𝟕

𝟑𝟎 · 𝟐𝟗 · 𝟐𝟖 · 𝟐𝟕 · 𝟐𝟔 · 𝟐𝟓 · 𝟐𝟒)

=𝟕!

𝟒! 𝟑!(𝟐𝟏 · 𝟐𝟎 · 𝟏𝟗 · 𝟏𝟖 · 𝟗 · 𝟖 · 𝟕

𝟑𝟎 · 𝟐𝟗 · 𝟐𝟖 · 𝟐𝟕 · 𝟐𝟔 · 𝟐𝟓 · 𝟐𝟒) = 𝟎, 𝟐𝟒𝟔𝟗


PRACTICO DE COMBINATORIA Formar Agrupaciones:

EJEMPLO#159 a) en una urna hay una bola blanca, una roja y una negra. Las extraemos de una en una y anotamos ordenadamente los

resultados. Escribe todos los posibles resultados que podamos obtener. Solución:

Llamando: B ⟹ extracción de bola blanca; R ⟹ extracción de bola roja; N ⟹ extracción de bola negra

b) Haz lo mismo para cuatro bolas distintas: Añadimos, por ejemplo, una bola azul (A)

Hacemos lo mismo empezando con R, con N y con A. hacemos lo mismo que hice anteriormente con B.

Al final tenemos: 6x4=24 resultados posibles c) Lo mismo para Roja, Roja, Blanca y Negra:

Como hay dos bolas del mismo color, ahora tenemos menos resultados que en el b). En concreto:

𝟔 + 𝟑 + 𝟑 = 𝟏𝟐


d) Lo mismo para ROJA, ROJA, NEGRA, NEGRA

Para la segunda roja, se hace lo mismo; para la segunda negra, se hace lo mismo.

EJEMPLO#160 Dos amigos juegan al tenis y acuerdan que será vencedor el primero que logre ganar dos sets. Escribe todas las formas en

que pueda desarrollarse el partido. Hacemos un diagrama de árbol. En cada ramificación indicamos quien gana un set, el jugador A o el jugador B:

EJEMPLO#161 a) Forma todos los números de cuatro cifras que se puedan hacer con los dígitos 1 y 2 ¿Cuántos son? Hacemos diagrama de árbol:

En total hay 16 números de cuatro cifras con los dígitos 1 y 2.


b) ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden hacer con los dígitos 0 y 1? Ten en cuenta que 01101=1101 no es un número de cinco cifras.

Hay 16 números de cinco cifras compuestos sólo por 0 y 1.

EJEMPLO#162 Si queremos hacer lápices bicolores de doble punta y disponemos de los colores rojo, azul, negro, verde y amarillo.

¿Cuántos modelos se pueden formar? Escríbelos todos: R = rojo A= azul N = negro V = verde M = amarillo El lápiz bicolor de punta RA, por ejemplo; es el mismo que el de punta AR. Los modelos de lápices bicolores son:

EJEMPLO#163 ¿Qué número de dos cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5? Los números son:


EJEMPLO#164 Queremos construir un dominó con los números 1, 2, 3, 4, 5. Describe sus fichas.

Cada ficha tiene dos números que podemos repetir, pero el orden no influye.

EJEMPLO#165 Describe todos los partidos que han de jugarse en una liguilla con cinco equipos A, B, C, D y E.

Suponemos que juegan a una sola vuelta. Los partidos serán:

EJEMPLO#166 Si tenemos tres pantalones (AZUL, NEGRO, BLANCO) y cuatro blusas (AZUL, ROJA, VERDE, BLANCA), describe todas las

indumentarias que puedes vestir sin que coincidan el color de las prendas.

EJEMPLO#167 Calcular utilizando las fórmulas:

EJEMPLO#168 Calcular:


EJEMPLO#169 Las expresiones VR8,2; P8;V8,2; C8,2 : son las soluciones de los siguientes apartados a), b), c), d), pero no en

ese orden. Asigna a cada apartado su solución: a) Palabras de ocho letras, con o sin sentido, que se puedan hacer con las letras de PELICANO b) Posibles parejas que se puedan formar para jugar un torneo de ajedrez entre 8 personas c) Números de 2 cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. d) Posibles formas de dar el primer y segundo premio de un concurso literario en el que participan 8 personas.

a) P8 b) C8,2 c) VR4,2 d) V8,2 EJEMPLO#170 Ocho problemas muy parecidos. En cada uno de los siguientes problemas. La pregunta es: ¿De cuantas formas se puede hacer?

a) 3 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 6 clases de polos. b) 6 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 3 clases de polos. c) Repartir 3 polos distintos entre 6 chicos. d) Repartir 3 polos iguales entre 6 chicos. e) Un chico escoge 3 polos entre 6 distintos. f) Un chico escoge 3 polos entre 6 iguales. g) Repartir 6 polos distintos entre 6 chicos h) Repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre 6 chicos.

Sus soluciones son: 𝑪𝟔,𝟑 𝑷𝟔, 𝐕𝐑𝟔,

𝟑 1, 𝐕𝐑𝟑,𝟔 𝐕𝟔

𝟑 Están dadas en otro orden y se puede repetir.

a) 𝑽𝑹𝟔 𝟑 = 𝟔𝟑 = 𝟐𝟏𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

b) 𝑽𝑹𝟑 𝟔 = 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐𝟗 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

c) 𝑽𝟔 𝟑 = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

d) 𝑪𝟔𝟑 = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

e) 𝑽𝟔 𝟑 = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

f) 𝟏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂

g) 𝑷𝟔 = 𝟕𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 h) 𝑪𝟔

𝟑 = 𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

EJEMPLO#171 ¿De cuantas formas pueden repartirse 3 entradas para un concierto de rock entre 6 amigos y amigas sin que ninguno pueda

llevarse más de una?

Hay 𝑽𝟔 𝟑 = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓𝒔𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 = 𝟔. 𝟓. 𝟒 = 𝟏𝟐𝟎

EJEMPLO#172 Para formar un equipo de baloncesto hacen falta 5 jugadores y el entrenador dispone de 10.

a) ¿Cuántos equipos distintos puede formar? Con 10 jugadores se requieren formar equipos de 5, el orden no influye y no se puede repetir.

𝑪𝟏𝟎,𝟓 =𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕.𝟔

𝟓.𝟒.𝟑.𝟐.𝟏= 𝟐𝟓𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔

b) Si elige a dos jugadores y los mantiene fijos, ¿Cuántos equipos distintos podrá hacer con los ocho que le quedan?

𝑪𝟖,𝟑 =𝟖.𝟕.𝟔

𝟑.𝟐.𝟏= 𝟓𝟔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔

EJEMPLO#173 Se van a celebrar elecciones en la asociación de padres y hay que elegir al presidente, al secretario y al tesorero. ¿De

cuantas maneras se pueden elegir estos tres cargos, si se presentan ocho candidatos? No se puede repetir y además influye el orden porque no es lo mismo ser presidente, que secretario, que tesorero.

Son variaciones ordinarias: 𝑽𝟖,𝟑 = 𝟖. 𝟕. 𝟔 = 𝟑𝟑𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔

EJEMPLO#174 Se van a repartir tres regalos entre 6 personas. Calcula de cuantas formas se pueden repartir en cada uno de los siguientes casos:

a) Los regalos son distintos (una bicicleta, unos patines y un chándal) y no puede tocar más de un regalo a la misma persona. No se pude repetir los regalos y si influye el orden porque no es el mismo que toque una bicicleta, que unos patines, que un chándal.

Son variaciones ordinarias: 𝑽𝟔,𝟑 = 𝟔. 𝟓. 𝟒 = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 b) Los regalos son iguales y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona

Ahora el orden influye: 𝑪𝟔,𝟑 =𝟔.𝟓.𝟒

𝟑.𝟐.𝟏= 𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

c) Los regalos son distintos y puede tocarle más de uno a la misma persona

Puede repetirse e influye el orden: 𝑽𝑹𝟔,𝟑 = 𝟔𝟑 = 𝟐𝟏𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 EJEMPLO#175 Los participantes de un concurso tienen que ordenar a ciegas seis tarjetas en las que está escrita cada una de las letras de

la palabra PREMIO. a) ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden salir?

Disponemos de las 6 letras de la palabra PREMIO para agruparlas; ninguna letra esta repetida y el orden influyen.

𝑷𝟔 = 𝟔.𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟕𝟐𝟎 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 b) Les ofrecen fijar la “P” en el lugar que le corresponde y reducir el premio a la mitad. ¿Cuántas ordenaciones posibles se pueden

obtener de esta forma?

Como “P” esta fija, se dispone de 5 letras: 𝑷𝟓 = 𝟓.𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 EJEMPLO#176 ¿De cuantas formas pueden sentarse tres personas en un barco de 5 asientos? ¿Y si el banco es de 3 asientos?

No se puede repetir y el orden influye:

Si el banco es de 5 asientos: 𝑽𝟓,𝟑 = 𝟓. 𝟒. 𝟑 = 𝟔𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 ; Si el banco es de 3 asientos: 𝑷𝟑 = 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

EJEMPLO#177 Están haciendo la maleta para irse de vacaciones y quieres llevarte cuatro de las ocho camisetas que tienes. ¿De cuantas formas

las puedes seleccionar?

No puedes repetirlas y no influye el orden: 𝑪𝟖,𝟒 =𝟖.𝟕.𝟔.𝟓

𝟒.𝟑.𝟐.𝟏= 𝟕𝟎 Formas distintas


EJEMPLO#178 El lenguaje de un ordenador se traduce a secuencias de dígitos formados por ceros y unos. Un byte es una de estas

secuencias y está formado por 8 dígitos. Por ejemplo: 0 0 1 0 0 0 1 1 ¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar?

Disponemos de dos elementos y los agrupamos de 8 en 8.

𝑽𝑹𝟐,𝟖 = 𝟐𝟖 = 𝟐𝟓𝟔 𝒃𝒚𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒓.

EJEMPLO#179 Las 28 fichas de un dominó se reparten entre 4 jugadores. ¿Cuántos juegos distintos podrán tener cada jugador?

Se reparten 7 fichas a cada uno. No se pueden repetir y no influye el orden:

𝑪𝟐𝟖,𝟕 =𝟐𝟖.𝟐𝟕. 𝟐𝟔. 𝟐𝟓. 𝟐𝟒. 𝟐𝟑. 𝟐𝟐

𝟕. 𝟔. 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏= 𝟏𝟏𝟖𝟒𝟎𝟒𝟎

EJEMPLO#180 Las siguientes ejercicios resolverlos: a) ¿De cuantas formas se pueden ordenar las letras de la palabra PALOTE?

Las letras son distintas y el orden no influye:𝑷𝟔 = 𝟔.𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟕𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔. b) ¿Cuántos empiezan con P?

Si empiezan con P, ahora disponemos de 5 letras y 5 lugares: 𝑷𝟓 = 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 c) ¿En cuántas de ellas ocupan las consonantes los lugares impares y las vocales los pares? (por ejemplo PATELO)

Si las consonantes están en lugares impares: 𝑷𝟑 = 𝟑. 𝟐.𝟏. = 𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 Las vocales están en los lugares pares: 𝑷𝟑 = 𝟑. 𝟐 = 𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 Por cada forma de las consonantes hay 6 formas de las vocales en total hay: 𝟔.𝟔 = 𝟑𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

d) ¿En cuántas están alternadas vocales y consonantes?

Hay 72 formas, porque puede ser: 𝑽 = 𝑽𝒐𝒄𝒂𝒍 = 𝟑 𝑽𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔 ; 𝑪 = 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒐𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝟑 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒐𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

𝑷𝒄𝒗

𝑨𝒗𝒄

𝑻𝒄𝒗

𝑬𝒗𝒄

𝑳𝒄𝒗

𝑶𝒗𝒄𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒊𝒔𝒐: 𝒄)

→ 𝒐𝒕𝒓𝒂𝒔 𝟑𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 ⟹ 𝟑𝟔 ∗ 𝟐⏟

𝑽,𝑪

= 𝟕𝟐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

EJEMPLO#181 Seis amigos, 3 chicos y 3 chicas, van al cine. ¿De cuántas formas pueden sentarse si quieren estar alternados?

𝟔 → 𝒂𝒎𝒊𝒈𝒐𝒔⏟ 𝟑𝟔

𝟑𝑪𝑯 𝒚 𝟑𝑪𝑯⏟ 𝟐

= 𝟕𝟐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

EJEMPLO#182 Señala 8 puntos en una circunferencia. Traza las cuerdas que unen cada punto con todos los demás.

a) ¿Cuántas cuerdas tendrán que dibujar? b) ¿Cuantas diagonales tiene un octágono?

a) Tomamos todos los puntos de dos en dos. No se pueden repetir y no influye el orden: 𝑪𝟖,𝟐 =𝟖.𝟕

𝟐.𝟏= 𝟐𝟖 𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔

𝒃)𝑪𝟏𝟔,𝟐 =𝟏𝟔.𝟏𝟓

𝟐. 𝟏= 𝟏𝟐𝟎 𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔

EJEMPLO#183 En unos almacenes emplean el siguiente código para marcar los artículos:

La primera cifra indica la sección correspondiente y es un número entre el 1 y 9.

Después, hay tres cifras, cada una de ellas del 0 al 9, que corresponde al número del proveedor. ¿Cuántas marcas distintas se pueden hacer?

Para cifra correspondiente a la sección habrá: 𝑽𝑹𝟏𝟎,𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝑽𝑹𝟏𝟎,𝟑 = 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒂𝒓𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔

Como hay 9 cifras correspondientes a la sección, en total se podrán hacer 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟗𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒂𝒓𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔

EJEMPLO#183-1 Para matricularse en un semestre, tienes que elegir dos asignaturas entre las siguientes:

Contabilidad III

Investigación Operativa

Estadística II

Auditoria Operativa

Auditoria Gubernamental

Finanzas II a) ¿De cuantas formas puede hacer la elección? b) Si en dirección de carrera te advierten de que las seis asignaturas las escribas por orden de preferencia. ¿De cuantas formas las

puedes escribir?

No influye el orden y no podemos repetirlas: 𝒂)𝑪𝟔,𝟐 =𝟔.𝟓

𝟐.𝟏=𝟑𝟎

𝟐= 𝟏𝟓 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 ; 𝒃)𝑷𝟔 = 𝟔.𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟕𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔

EJEMPLO#184 Un documento de cálculo nos ha propuesto 10 problemas de los que tenemos que resolver 5.

a) ¿Cuántas formas hay de seleccionarlos? b) De los 10 problemas propuestos hay 2 de los que no tienes “ni idea” ¿Se reduce mucho a las posibilidades de selección? a) No podemos repetirlos y no influye el orden:

𝑪𝟏𝟎,𝟓 =𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕.𝟔

𝟓.𝟒.𝟑.𝟐.𝟏= 𝟐𝟓𝟐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

b) En lugar de elegir entre 10, ahora elegimos entre 8

𝑪𝟖,𝟓 =𝟖.𝟕.𝟔.𝟓.𝟒

𝟓.𝟒.𝟑.𝟐.𝟏= 𝟓𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

Se reduce mucho a la selección, aproximadamente en un 77,8% ⟹ 𝟓𝟔

𝟐𝟓𝟐= 𝟎, 𝟐𝟐𝟐 ; 𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟐𝟐 = 𝟎, 𝟕𝟕𝟖 = 𝟕𝟕, 𝟖%


EJEMPLO#185 ¿Cuántos grupos de 4 cartas distintas se pueden hacer con una baraja española? ¿Cuántos de ellos están formados por 4

figuras? ¿En cuántos serán OROS las 4 cartas? La baraja tiene 40 cartas. Se hacen grupos de 4 cartas donde no se pueden repetir y no influye el orden:

𝑪𝟒𝟎,𝟒 =𝟒𝟎. 𝟑𝟗. 𝟑𝟖. 𝟑𝟕

𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏= 𝟗𝟏𝟑𝟗𝟎 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔

Hay 16 figuras:

𝑪𝟏𝟔,𝟒 =𝟏𝟔. 𝟏𝟓. 𝟏𝟒. 𝟏𝟑

𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏= 𝟏𝟖𝟐𝟎 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂𝒔

Hay 10 oros:

𝑪𝟏𝟎,𝟒 =𝟏𝟎. 𝟗. 𝟖. 𝟕

𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏= 𝟐𝟏𝟎 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒓𝒂𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒓𝒐𝒔

EJEMPLO#186 Como sabes, una quiniela consta de 14 partidos, en cada uno de los cuales se puede poner 1, X o 2. ¿Cuántas quinielas

distintas se pueden rellenar?

Al hacer una quiniela es importante el orden y podemos repetir resultados. Por tanto: 𝑽𝑹𝟑,𝟏𝟒 = 𝟑𝟏𝟒 = 𝟒𝟕𝟖𝟗𝟔𝟗 𝒒𝒖𝒊𝒏𝒊𝒆𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔

EJEMPLO#187 Las matrículas de los automóviles de cierto país llevan cuatro números y tres letras.

Para ello, se utilizan los dígitos del 0 al 9 y 26 letras de nuestro alfabeto. ¿Cuántas matriculas pueden hacerse de esta forma? Con 10 dígitos, agrupados de 4 en 4 y teniendo en cuenta que se pueden repetir y el orden influye, se pueden formar:

𝑽𝑹𝟏𝟎,𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒂𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔

Con 26 letras, formadas en grupos de 3 y considerando que el orden influye y que las letras se pueden repetir, habrá:

𝑽𝑹𝟐𝟔,𝟑 = 𝟐𝟔𝟑 = 𝟏𝟕𝟓𝟕𝟔 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔

Por cada grupo de 4 dígitos habrá 15576 formas de agrupar las letras.

En total habrá: 𝑽𝑹𝟏𝟎,𝟒 ∗ 𝑽𝑹𝟐𝟔,𝟑 = 𝟏𝟕𝟓𝟕𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔 EJEMPLO#189 Me van a regalar 3 libros y dos discos por mi cumpleaños. He hecho una lista con los que me gustaría tener, y en ella anote

5 libros y 8 discos. ¿De cuantas formas distintas pueden elegir mi regalo?

El número de formas que hay de elegir los 3 libros de entre 5 es: 𝑪𝟓,𝟑 =𝟓.𝟒.𝟑

𝟑.𝟐.𝟏=𝟔𝟎

𝟔= 𝟏𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

El número de formas que hay de elegir los dos discos de entre 8 es: 𝑪𝟖,𝟐 =𝟖.𝟕

𝟐.𝟏=𝟓𝟔

𝟐= 𝟐𝟖 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

Por cada una de las formas que hay de elegir los 3 libros tenemos 28 formas de elegir los discos, luego en total hay:

𝟐𝟖 ∗ 𝟏𝟎 = 𝟐𝟖𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒈𝒊𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝟑 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒚 𝒍𝒐𝒔 𝟐 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔. EJEMPLO#190 Dos amigos se enfrentan en un torneo de tenis, en el que será vencedor el primero que logre ganar tres set. ¿De cuantas

formas posibles puede desarrollarse el encuentro?

Si el primer set lo gana el jugador B, tenemos un esquema análogo. Por tanto, hay 20 maneras distintas de acabar un partido.

EJEMPLO#191 En una urna hay dos bolas blancas, una negra y una roja. Extraemos sucesivamente una bola cada vez y paramos cuando

tengamos las dos bolas blancas. ¿Cuáles son los posibles resultados? Anotamos en un diagrama de árbol la bola que sale en cada extracción: blanca (B), negra (N) y roja(R).


EJEMPLO#192 El número 75775 está formado por dos cinco y tres siete. ¿Cuáles son los números que podemos formar con dos cinco y tres siete?

Anotamos en un diagrama de árbol, las posibilidades de cada cifra del número:

EJEMPLO#193 Con las letras de la palabra CASA ¿Cuántas ordenaciones, con o sin sentido, podemos formar? Escríbelas todas.

Anotamos en un diagrama de árbol de posibilidades de cada letra de la palabra:


EJEMPLO#194 Tenemos 5 pesas de 1g., 2g., 4g., 8g. y 16g. ¿Cuántas pesas diferentes se pueden hacer tomando dos de ellas? ¿Y con

tres?. Calcula cuantas pesadas se pueden hacer, en total, tomando 1, 2, 3, 4 o las 5 pesas. No influye el orden y no se pueden repetir:

EJEMPLO#195 ¿Cuántos triángulos se pueden hacer de modo que tengan los vértices en los puntos de estas redes?

EJEMPLO#196 Esta cuadrícula representa el plano de un barrio de la ciudad de Santa Cruz.

a)¿Cuántos caminos de longitud mínima hay para ir de A a C?

b) Cuantos caminos hay para ir de C a B.

c) ¿Cuántos caminos hay para ir de A a B, pasando por C?

d)¿Cuántos caminos hay para ir de A a B?


EJEMPLO#197 En una pizzería preparan pizzas con, al menos 4 ingredientes. Si disponen de 6 tipos de ingredientes, ¿Cuántos tipos de

pizza se pueden preparar? (Ten en cuenta que las pueden hacer de 4, 5 ó 6 ingredientes):

EJEMPLO#198 Una secretaria ha escrito cinco cartas distintas dirigidas a cinco personas. También escribe los cinco sobres

correspondientes y mete al azar cada carta en un sobre. a) ¿De cuantas formas posibles se pueden meter las cartas en los sobres? b) ¿En cuántos casos la carta del Señor Vargas estará dentro de un sobre?

a) No pueden repetirlas y si influye el orden: 𝑷𝟓 = 𝟓.𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 b) Si fijamos la carta del Señor Vargas en el sobre del Señor Vargas, nos quedan libres cuatro cartas y cuatro sobres.

𝑷𝟒 = 𝟒.𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟐𝟒 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒉𝒂𝒃𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑺𝒆ñ𝒐𝒓 𝑽𝒂𝒓𝒈𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓á 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝑺𝒆ñ𝒐𝒓 𝑽𝒂𝒓𝒈𝒂𝒔.

EJEMPLO#199 Calcula cuantos productos de tres factores distintos podemos formar con estas cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

No influye el orden (𝟑 ∗ 𝟒 = 𝟒 ∗ 𝟑) y no podemos repetirlos: 𝑪𝟕,𝟑 =𝟕.𝟔.𝟓

𝟑.𝟐.𝟏= 𝟑𝟓 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒔

CALCULO DE PROBABILIDADES

EJEMPLO#200 En una bolsa tenemos 4 bolas rojas, 5 verdes y 1 azul. Extraemos 3 bolas. Calcula la probabilidad de que:

a) Las tres sean rojas b) Las tres sean verdes c) Cada una de las tres sea roja o verde d) Una de las tres sea azul

EJEMPLO#201 Andrés y Pablo están jugando al tenis. Ambos son igual de buenos. El partido es a cinco sets y el primero lo ha ganado

Andrés. ¿Cuál es la probabilidad de que acabe ganando Pablo?


EJEMPLO#201 Repita el problema anterior suponiendo que en cada set, la probabilidad de que lo gane Pablo es 0,6

EJEMPLO#202 Cinco amigos y amigas van juntas al cine y se reparten los asientos (consecutivos) al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que

Ariel quede junto a Lía?

𝑯𝒂𝒚: 𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟏𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒔𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝟓 𝒂𝒎𝒊𝒈𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒄𝒊𝒏𝒆.𝑫𝒆 𝒆𝒍𝒍𝒂𝒔,𝒉𝒂𝒚 𝟖 𝒆𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑳𝒊𝒂 𝒔𝒆 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑨𝒓𝒊𝒆𝒍. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

𝟖

𝟏𝟐𝟎=

𝟒

𝟔𝟎=

𝟐

𝟑𝟎=

𝟏

𝟏𝟓= 𝟔, 𝟔𝟕%

EJEMPLO#203 Tiraremos tres dados. Calcula estas probabilidades:

a) El valor mediano es 6. b) La suma es 10. c) El menor es 2. d) La diferencia entre el mayor y el menor es 2.

a) Eso significa que los tres son 6.

𝑷(𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒐 𝟔) =𝟏

𝟔∗𝟏

𝟔∗𝟏

𝟔=𝟏

𝟐𝟏𝟔

b) Para que los tres dados sumen 10, debe darse alguna de estas combinaciones: (𝟏𝟑𝟔)(𝟏𝟒𝟓)(𝟐𝟐𝟔)(𝟐𝟑𝟓)(𝟐𝟒𝟒)(𝟑𝟑𝟒)

⟹ 𝟔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 ⟹ 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐:𝑷(𝒔𝒖𝒎𝒆𝒏 𝟏𝟎) =𝟔

𝟐𝟏𝟔=𝟏

𝟑𝟔

c) 𝑷(𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝟐) = 𝑷(𝒏𝒐 𝒔𝒂𝒍𝒆 𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏 𝟏 𝒚 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝟐) =𝟏

𝟔∗𝟓

𝟔∗𝟓

𝟔=𝟐𝟓

𝟐𝟏𝟔

d) 𝑺𝒊 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝟏 → (𝟏𝟏𝟑𝟏𝟐𝟑𝟏𝟑𝟑

)

𝑺𝒊 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝟐 → (𝟐𝟐𝟒𝟐𝟑𝟒𝟐𝟒𝟒

)

𝑺𝒊 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝟑 → (𝟑𝟑𝟓𝟑𝟒𝟓𝟑𝟓𝟓

)

𝑺𝒊 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝟒 → (𝟒𝟒𝟔𝟒𝟓𝟔𝟒𝟔𝟔

)

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐,𝑷(𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝟐) =𝟏𝟐

𝟐𝟏𝟔=

𝟏

𝟏𝟖


EJEMPLO#204 Si juegas un boleto de la lotería primitiva, ¿Qué probabilidad tienes de ganar el primer premio? (en un boleto se marcan 6

números entre el 1 y el 49).

En la primitiva se pueden rellenar 𝑪𝟒𝟗,𝟔 = 𝟏𝟑𝟗𝟖𝟑𝟖𝟏𝟔 𝒃𝒐𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒐𝒔, de los que solo gana el premio máximo uno. Así:

𝑷(𝒈𝒂𝒏𝒂𝒓) = 𝟏/𝟏𝟑𝟗𝟖𝟑𝟖𝟏𝟔 EJEMPLO#205 ¿Cuántas quinielas hay que hacer para asegurarse ocho resultados? Una persona que siga esa estrategia y rellena los

restantes al azar, ¿Qué probabilidad tiene de acertar los 14?

a) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒔𝒆𝒈𝒖𝒓𝒂𝒓 𝟖, 𝒉𝒂𝒚 𝒒𝒖𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒓 𝑽𝑹𝟑𝟖 = 𝟑𝟖 = 𝟔𝟓𝟔𝟏 𝒒𝒖𝒊𝒏𝒊𝒆𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒂𝒔

b) Como quedan 6 casillas por rellenar, la probabilidad de acertar las 6 restantes será: 𝑷(𝒂𝒄𝒆𝒓𝒕𝒂𝒓 𝟏𝟒) =𝟏

𝟑𝟔=

𝟏

𝟕𝟐𝟗

EJEMPLO#206 Una oposición consta de 50 temas. Salen 3 de ellos al azar y se debe elegir uno de ellos. Un opositor sabe 30. ¿Cuál es la

probabilidad de que salga uno de ellos que sabe?

→Acaso te convenga calcular la probabilidad de que no salga ninguno que sepa.

𝑷(𝒔𝒂𝒃𝒆) = 𝟏 − 𝑷(𝒏𝒐 𝒔𝒂𝒃𝒆) = 𝟏 −𝟐𝟎

𝟓𝟎∗𝟏𝟗

𝟒𝟗∗𝟏𝟖

𝟒𝟖= 𝟏−

𝟔𝟖𝟒𝟎

𝟏𝟏𝟕𝟔𝟎𝟎=𝟗𝟐𝟑

𝟗𝟖𝟎= 𝟎,𝟗𝟒

EJEMPLO#207 Dado el siguiente esquema:

SOLUCIÓN:

a) Para ir de A a C, hay: 𝑪𝟒𝟐 =

𝟒∗𝟑

𝟐= 𝟔 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

Para ir de C a B, hay: 𝑪𝟑𝟏 =

𝟑

𝟏= 𝟑 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

b) Hay 𝟔 ∗ 𝟑 = 𝟏𝟖 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

c) 𝑷(𝑨 𝒂 𝑩,𝒑𝒂𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝑪) =𝟏𝟖

𝑪𝟕𝟑 =

𝟏𝟖

𝟑𝟓= 𝟎, 𝟓𝟏

EJEMPLO#208 Ariel sabe que Lía va ir de P a R. Decide esperarla en Q. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

→Caminos totales para ir de P a R: 𝑪𝟏𝟎𝟒 =

𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕

𝟒.𝟑.𝟐.𝟏= 𝟐𝟏𝟎 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

→Para ir de P a Q: 𝑪𝟕𝟐 =

𝟕.𝟔

𝟐= 𝟐𝟏 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

→Para ir de Q a R: 𝑪𝟑𝟏 = 𝟑 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

→Para ir de P a R, pasando por Q: 𝟐𝟏 ∗ 𝟑 = 𝟔𝟑 𝒄𝒂𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

𝑷(𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒔𝒆 𝒆𝒏 𝑸) =𝟔𝟑

𝟐𝟏𝟎= 𝟎,𝟑


EJEMPLO#209 a) 10 amigos juegan 3 partidos de bolos y al final de cada una anotan el vencedor. ¿Cuántos resultados podrían producirse?

Influye el orden (1ª, 2ª y 3ª partida), influyen elementos, y se pueden repetir: 𝑽𝑹𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

b) En una reunión a la que asisten 8 personas. ¿Cuántos saludos se intercambian?

Influyen solo los elementos y no se pueden repetir: 𝑪𝟖𝟐 = (

𝟖𝟐) =

𝑽𝟖𝟐

𝑷𝟐=𝟖∗𝟕

𝟐!= 𝟐𝟖

c) En una competición en la que participan 16 atletas, se dan tres medallas, oro, plata y bronce. ¿De cuantas formas pueden llevarse las medallas?

Influye orden y elementos y no se pueden repetir:𝑽𝟏𝟔𝟑 = 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟒 = 𝟑𝟑𝟔𝟎

d) ¿De cuantas formas pueden repartirse 6 entradas numeradas para un concierto de rock 6 amigas?

Solo influye el orden: 𝑷𝟔 = 𝟔! = 𝟔. 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐 = 𝟕𝟐𝟎 e) En un torneo regional de ajedrez participan 18 jugadores y se clasifican tres de ellos para pasar a la final. ¿Cuántas posibles calificaciones hay?

Solo influyen los elementos, no influye orden porque no se clasifican como 1º, 2º y 3º.

𝑪𝟏𝟖𝟑 = (

𝟏𝟖𝟑) =

𝑽𝟏𝟖𝟑

𝑷𝟑=𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟕 ∗ 𝟏𝟔

𝟑 ∗ 𝟐= 𝟖𝟏𝟔

f) Un representante tiene que visitar cuatro pueblos A, B, C, D que comunican todos entre sí. ¿Cuántos itinerarios distintos podrían hacer?

Solo influye el orden: 𝑷𝟒 = 𝟒! = 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟐𝟒 g) Calcular cuántos productos diferentes de dos factores se pueden formar con los dígitos 2, 3 y 5: a) Sin repetición de factores b) Pudiendo repetirse los factores. Teniendo en cuenta que el producto de factores es conmutativo: Solo influye el orden:

𝒂) 𝑪𝟑𝟐 =

𝑽𝟑𝟐

𝑷𝟐=𝟑 ∗ 𝟐

𝟐= 𝟑 ; 𝒃)𝑪𝑹𝟑

𝟐 = 𝑪𝟑+𝟐−𝟏𝟐 = 𝑪𝟒

𝟐 =𝑽𝟒𝟐

𝑷𝟐=𝟒 ∗ 𝟑

𝟐= 𝟔

EJEMPLO#210 a) Te dan seis puntos sobre una circunferencia. ¿Cuántos segmentos podrían trazar al unirlos de dos en dos? ¿Cuántos

triángulos podrías formar con estos 6 puntos? Solo influye el orden:

→ 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔: 𝑪𝟔𝟐 = (

𝟔𝟐) =

𝑽𝟔𝟐

𝑷𝟐=𝟔 ∗ 𝟓

𝟐!= 𝟏𝟓 ; → 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔: 𝑪𝟔

𝟑 = (𝟔𝟑) =

𝑽𝟔𝟑

𝑷𝟑=𝟔 ∗ 𝟓 ∗ 𝟒

𝟑 ∗ 𝟐= 𝟐𝟎

b) ¿Cuántos mensajes podría mandar utilizando el punto y la raya del alfabeto Morse que tengan seis símbolos?

Influyen orden y elementos y se pueden repetir: 𝑽𝑹𝟐𝟔 = 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒

c) Las franjas de una diana están numeradas del 1 al 17. Un jugador anota los puntuajes al tirar tres dardos. ¿Cuántas anotaciones distintas podrían escribir?

Teniendo en cuenta que existe 1ª, 2ª y 3ª tirada, influye orden y elementos: 𝑽𝑹𝟏𝟕𝟑 = 𝟏𝟕𝟑 = 𝟒𝟗𝟏𝟑

d) Con las letras de la palabra CARLOS. ¿Cuántas palabras podrían escribirse? ¿Cuántas de ellas tienen las vocales separadas?

Solo influye el orden: 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒍𝒂𝒃𝒓𝒂𝒔: 𝑷𝟔 = 𝟔. 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐 = 𝟕𝟐𝟎

Palabras con vocales separadas. Se calculan como diferencia entre las totales y las palabras que llevan las vocales juntas. Vocales juntas: Se consideran ambas vocales como una sola letra, siendo entonces permutaciones de cinco, pero hay que multiplicar por

dos porque para cada ordenación habrá dos posibles posiciones de las vocales “ao” o “oa”. 𝟐𝑷𝟓

Vocales separadas: 𝑷𝟔 − 𝟐𝑷𝟓 = 𝟔. 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐⏟ 𝑷𝟔

− 𝟐.𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐⏟ 𝑷𝟓

= 𝟒𝟖𝟎

e) Resuelve: 𝑽𝒙,𝟐 = 𝟐𝟎

𝑽𝒙,𝟐 = 𝑽𝒙𝟐 = 𝟐𝟎⟹ 𝒙(𝒙− 𝟏) = 𝟐𝟎⟹ 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎⟹ (𝒙− 𝟓)(𝒙 + 𝟒) = 𝟎 ⟹

𝒙𝟏 = 𝟓 𝒙𝟐 = −𝟒

; 𝒔ó𝒍𝒐 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓

𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒎𝒆 𝒔𝒊𝒓𝒗𝒆.

𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝑽𝟓𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟒 = 𝟐𝟎

EJEMPLO#211 a) Cuántas matriculas hay de la forma:

Influye el orden y elementos, y se pueden repetir. Considerando el alfabeto español, sin tener en cuenta las letras dobles, hay 27 letras.

𝑽𝑹𝟐𝟕𝟑 ∗ 𝑽𝑹𝟏𝟎

𝟒 = 𝟐𝟕𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟒 = (𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑)(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟗𝟔, 𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔 b) El lenguaje de ordenadores de un “Byte” es una secuencia de 8 dígitos formada por 0 y 1 de la forma, 00101101. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar? ¿Cuántos tienen exactamente 4 ceros y 4 unos? Se consideran los bytes formados 4 ceros y 4 unos, por lo tanto solo influye el orden y hay elementos repetidos.

𝑷𝟖𝟒,𝟒 =

𝟖!

𝟒! ∗ 𝟒!=𝟖. 𝟕. 𝟔. 𝟓. 𝟒!

𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟒!=𝟖. 𝟕. 𝟔. 𝟓

𝟒. 𝟑. 𝟐= 𝟕𝟎

c) Cuántos números de tres cifras pares distintos son mayores que 500. Se trata de hacer números de 3 cifras diferentes con los dígitos 0, 2, 4, 6,8 que sean mayores de 500. Influye el orden, los elementos y no se pueden repetir, variaciones ordinarias. Se calculan todas las posibles y se le restan las que empiezan por 0, 2,4 que serán menores de 500.

𝑽𝟓𝟑 − 𝑽𝟒

𝟐⏟𝟎

− 𝑽𝟒𝟐⏟𝟐

− 𝑽𝟒𝟐⏟𝟒

= 𝑽𝟓𝟑 − 𝟑𝑽𝟒

𝟐 = 𝟓. 𝟒. 𝟑 − 𝟑. 𝟒. 𝟑 = 𝟐𝟒


d) Resuelve:

e) Una bolsa contiene 6 bolas blancas y 4 rojas. Se extraen dos bolas. Cuantos resultados pueden producirse que tengan: 1)Las 2 bolas

blancas 2)Las dos bolas rojas 3)Una bola de cada color:

f) La mesa presidencial:


EJEMPLO#212 Resolver los siguientes problemas: ⟹De un conjunto formado por cinco chicos y cuatro chicas hay que formar una comisión compuesta por 3 personas

1) ¿Cuántas comisiones pueden formarse? 2) ¿En cuántas comisiones figuran solamente una chica? 3) ¿Y al menos dos chicas?

1) 𝑪𝟗𝟑 = (

𝟗𝟑) =

𝑽𝟗𝟑

𝑷𝟑=𝟗.𝟖.𝟕

𝟑.𝟐= 𝟖𝟒

2) 𝟒𝑪𝟓𝟐 = 𝟒

𝑽𝟓𝟐

𝑷𝟐= 𝟒

𝟓.𝟒

𝟐= 𝟒𝟎

3) 𝟓𝑪𝟒𝟐 + 𝑪𝟒

𝟑 = 𝟓𝑽𝟒𝟐

𝑷𝟐+𝑽𝟒𝟑

𝑷𝟑= 𝟓

𝟒.𝟑

𝟐+𝟒.𝟑.𝟐

𝟑.𝟐= 𝟑𝟎 + 𝟒 = 𝟑𝟒

⟹Entre los 30 alumnos de clase se quieren formar equipos de dos alumnos para jugar al tenis 1) ¿Cuántos equipos se pueden formar? 2) ¿En cuántos interviene un mismo alumno?

𝟏) 𝑪𝟑𝟎𝟐 = (

𝟑𝟎𝟐) =

𝑽𝟑𝟎𝟐

𝑷𝟐=𝟑𝟎. 𝟐𝟗

𝟐= 𝟒𝟑𝟓 ; 𝟐)𝑪𝟐𝟗

𝟏 = (𝟐𝟗𝟏) =

𝑽𝟐𝟗𝟏

𝑷𝟏=𝟐𝟗

𝟏= 𝟐𝟗

⟹Calcular cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7 que estén comprendidos entre 400 y 600.

𝑽𝟔𝟐⏟𝟓−−

+ 𝑽𝟔𝟐⏟𝟒−−

= 𝟔𝟐 + 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐

⟹Con los 7 valores de arco iris cuantas banderas horizontales o verticales se pueden hacer teniendo en cuenta: 1) Tricolor 2) Bicolor con 3 franjas

1) Tricolor → Se multiplica por 2 posibilidades de horizontal y vertical: 𝟐. 𝑽𝟕𝟑 = 𝟐.𝟕. 𝟔. 𝟓 = 𝟒𝟐𝟎

2) 𝑹 − 𝑨: 𝑨 − 𝑹 − 𝑨𝑹 − 𝑨 − 𝑹

⟹ 𝟐𝑪𝟕𝟐 = 𝟐 (

𝟕𝟐) = 𝟐

𝑽𝟕𝟐

𝑷𝟐= 𝟐

𝟕.𝟔

𝟐= 𝟒𝟐

⟹Resuelve el siguiente problema:



EJEMPLO#212 Resolver los siguientes problemas: ⟹De un conjunto formado por cinco chicos y cuatro chicas hay que formar una comisión compuesta por 3 personas

4) ¿Cuántas comisiones pueden formarse? 5) ¿En cuántas comisiones figuran solamente una chica? 6) ¿Y al menos dos chicas?

4) 𝑪𝟗𝟑 = (

𝟗𝟑) =

𝑽𝟗𝟑

𝑷𝟑=𝟗.𝟖.𝟕

𝟑.𝟐= 𝟖𝟒

5) 𝟒𝑪𝟓𝟐 = 𝟒

𝑽𝟓𝟐

𝑷𝟐= 𝟒

𝟓.𝟒

𝟐= 𝟒𝟎

6) 𝟓𝑪𝟒𝟐 + 𝑪𝟒

𝟑 = 𝟓𝑽𝟒𝟐

𝑷𝟐+𝑽𝟒𝟑

𝑷𝟑= 𝟓

𝟒.𝟑

𝟐+𝟒.𝟑.𝟐

𝟑.𝟐= 𝟑𝟎 + 𝟒 = 𝟑𝟒

⟹Entre los 30 alumnos de clase se quieren formar equipos de dos alumnos para jugar al tenis 1) ¿Cuántos equipos se pueden formar? 2) ¿En cuántos interviene un mismo alumno?

𝟏) 𝑪𝟑𝟎𝟐 = (

𝟑𝟎𝟐) =

𝑽𝟑𝟎𝟐

𝑷𝟐=𝟑𝟎. 𝟐𝟗

𝟐= 𝟒𝟑𝟓 ; 𝟐)𝑪𝟐𝟗

𝟏 = (𝟐𝟗𝟏) =

𝑽𝟐𝟗𝟏

𝑷𝟏=𝟐𝟗

𝟏= 𝟐𝟗

⟹Calcular cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7 que estén comprendidos entre 400 y 600.

𝑽𝟔𝟐⏟𝟓−−

+ 𝑽𝟔𝟐⏟𝟒−−

= 𝟔𝟐 + 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐

⟹Con los 7 valores de arco iris cuantas banderas horizontales o verticales se pueden hacer teniendo en cuenta: 1) Tricolor 2) Bicolor con 3 franjas

3) Tricolor → Se multiplica por 2 posibilidades de horizontal y vertical: 𝟐. 𝑽𝟕𝟑 = 𝟐.𝟕. 𝟔. 𝟓 = 𝟒𝟐𝟎

4) 𝑹 − 𝑨: 𝑨 − 𝑹 − 𝑨𝑹 − 𝑨 − 𝑹

⟹ 𝟐𝑪𝟕𝟐 = 𝟐 (

𝟕𝟐) = 𝟐

𝑽𝟕𝟐

𝑷𝟐= 𝟐

𝟕.𝟔

𝟐= 𝟒𝟐




DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD

PARA VARIABLES

ALEATORIAS


DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

Una distribución de probabilidad la podemos concebir como una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una distribución que describe como se espera que varíen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Variable Aleatoria.- Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio. Estas variables pueden ser discretas o continuas. Si se permite que una variable aleatoria adopte solo un número limitado de valores, se llama variable aleatoria discreta, por el contrario, si se le permite asumir cualquier valor dentro de determinados límites, recibe el nombre de variable aleatoria continua.

⟹Cualquier regla que asocia un número con el resultado de un experimento un número correspondiente denominado variable aleatorio. VA.- Con frecuencia es útil resumir con un numero el resultado de un experimento aleatorio. La variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatorio. Otra forma de definir V.A. es decir que: es aquella que toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Matemáticamente, una V.A. es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Las V.A. se denotan con una letra mayúscula, tal como una 𝑿, y con una letra minúscula, como 𝒙, el valor posible de 𝑿.

Una V.A. 𝑿 es una función definida en el espacio muestral 𝑺 = Ω, tal que a cada elemento 𝒘 ∈ Ω ó 𝒔 ∈ 𝑺 le asocia el número real 𝒙 = 𝑿(𝒘). El

dominio de la V.A. 𝑿 es el espacio muestral Ω y el rango es el subconjunto de los números reales.

⟹Un Experimento Aleatorio.- es aquel que proporciona diferentes resultados cuando se repita siempre de la misma manera. ⟹El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibir el nombre de espacio muestral. Espacio Muestral.- El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico denotado por:

“𝑺” ó “Ω” Variable.- Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor, cualesquiera durante la duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante. Valor.- Es el número que la variable aleatoria asocia con un resultado particular. Distribución.- Es una lista que contiene el valor de la variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes.

⟹La variable aleatorio es una función que atribuye a cada evento elemental un número fijo por lo que su nombre correcto es el de función variable aleatoria. Variable Aleatoria.- Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra. Una V.A. se puede calificar en: a) Variable Aleatoria Discreta.- Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de CONTEO. Si la variable aleatoria solo puede tomar un valor de un conjunto limitado de valores, entonces es una V.A.D. Una V.A. es discreta si se puede CONTAR los valores que ella toma. Se llama VAD cuando puede asumir solo ciertos valores, con frecuencia números enteros y resulta principalmente del CONTEO (su rango es un conjunto infinito o infinito numerables de valores) Por ejemplo:

La cantidad de alumnos regulares en un grupo universitarios.

El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.

El número de clientes que ingresa a una casa comercial

Numero de circuitos en una computadora

El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos. b) Variable Aleatoria Continua.- Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; esto puede asumir infinito número de valores y estos se puede MEDIR. En el otro extremo, si se puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Una VA es continua si se puede medir los valores que ella toma. Se llama VAC cuando su rango en un intervalo dentro de los números reales, es un conjunto infinito no numerable de valores reales (principalmente resulta de la medición) Por ejemplo:

La estatura de un alumno de un grupo universitarios.

El peso en gramos de una moneda.

La edad de un hijo de familia.

Las dimensiones de un vehículo.

La estatura de los clientes de una tienda

DISTRIBUCIONES Distribución de Probabilidad.- Es una distribución teórica de frecuencias que describe como se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Se pueden clasificar en:


Distribuciones discretas.- Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de año de estudio.

𝑫𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂𝒔:

𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 𝑯𝒊𝒑𝒆𝒓𝒈𝒆𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏

Distribuciones continuas.- Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estatura de un estudiante.

𝑪𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂𝒔: 𝑼𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍

DISTRIBUCIONES DISCRETAS Variable aleatoria.- Se llama VA a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral un número real. Según sean los recorridos de las variables, estas se pueden clasificar en Discretas y Continuas.

VAD ⟹ Solo puede tomar unos ciertos valores enteros.

VAC ⟹ Puede tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Función de Probabilidad.- Se llama función de probabilidad de una VAD “𝑿” a la aplicación que asocia a cada valor (𝒙𝒊) de la

variable su probabilidad 𝒑𝒊. Muy importante: En toda función de probabilidad se verifica:

𝑷₁ + 𝑷₂ + 𝑷₃ +⋯……… . . 𝑷𝒏 = 𝟏 Ya que se trata de la probabilidad del suceso cierto.

Función de probabilidad de Variable Discreta: Si “𝑿” es una VAD, se llama función de probabilidad de “𝑿” a la función 𝒇 (𝒙𝒊) definida por:

𝒇(𝒙𝒊) = 𝑷 [𝑿 = 𝒙𝒊], 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒙𝒊, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙𝒊 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆 𝒂𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐: 𝒙𝟏, 𝒙₂,…………𝒙𝒏 𝒅𝒆 𝑿; 𝒇(𝒙𝒊) 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔:

① 𝒇(𝒙𝒊) ≥ 𝟎 ó 𝑷 [𝑿 = 𝒙] ≥ 𝟎 ; ② ∑ 𝒇(𝒙𝒊) = 𝟏 ó ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙) = 𝟏 Si 𝑿 es una VAD cuya función de probabilidad es 𝒇(𝒙). Se llama función de distribución acumulada de prob. fda, a la función 𝑭(𝒙) definida por:

𝑭 (𝒙) = 𝑷 [𝑿 ≤ 𝒙] = ∑ 𝑷 [𝑿 = 𝒙] 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒙 < ∞ Función de Distribución.- Sea 𝑿 una VAD cuyos valores suponemos ordenadas de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la

variable 𝑿, y escribiremos 𝑭(𝒙), a la función:

𝑭 (𝒙) = 𝒑 (𝑿 ≤ 𝒙) Aclaraciones:

1) 𝑿 es un símbolo que representa a la VA en este caso discreta.

2) 𝒙 es un número real cualquiera.

3) 𝒑 (𝑿 ≤ 𝒙) se lee: “probabilidad de que una VA (𝒙) tome un valor menor o igual a (𝒙)” CONCLUSION: La función de probabilidad asocia a cada valor de la variable la probabilidad acumulada hasta ese valor.

PROPIEDADES DE 𝑭(𝒙)

1) 𝑭(𝒙) 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃.⟹ 𝟎 ≤ 𝑭(𝒙) ≤ 𝟏 2) 𝑭(𝒙) = 𝒄𝒕𝒆.𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂. 3) 𝑭(𝒙) = 𝟎 ∀ 𝒙 < 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆. 4) 𝑭(𝒙) = 𝟏 ∀ 𝒙 > 𝒂𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 5) 𝑭(𝒙) 𝒆𝒔 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

Función de Probabilidad de Variable Continua.- Si 𝑿 es una VAC, se llama función de densidad de probabilidad (fdp) de 𝑿 a la función 𝒇(𝒙) definida para todo 𝒙 que pertenece a los reales y que satisface las siguientes condiciones:

1) 𝒇 (𝒙𝒊) ≥ 𝟎 → 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 +

2) ∫ 𝒇(𝒙)+∞

−∞ 𝒅𝒙 = 𝟏 → á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒆𝒔 𝟏

3) 𝑷 [𝑨] = 𝑷 [𝒙 ∈ 𝑨] = ∫ 𝒇(𝒙)𝑨

𝒅𝒙, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝑨 ⊂ ℝ Probabilidad equivalente a Área, Es decir:

𝑨 = [𝒂, 𝒃] → 𝑷 [𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃] = á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒙 = 𝒂, 𝒙 = 𝒃 ⟹ Si 𝑿 es una VAC cuya función de densidad de probabilidad de 𝑿 es 𝒇(𝒙). Se llama función de distribución acumulada 𝑭(𝒙) a la función definida por:

𝑭(𝒙) = 𝑷 [𝑿 ≤ 𝒙] = ∫ 𝒇 (𝒙)𝒙

−∞

𝒅𝒕; 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒙 ∞

𝑮𝒆𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 𝑭(𝒙) 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 − ∞.


Distribución de Probabilidad de Variable Continua

Distribución de Probabilidad.- Las distribuciones de probabilidad de variable continua son distribuciones teóricas e idealizadas de las distribuciones estadísticas de variables continuas.

Las distribuciones de probabilidad de probabilidad continua se definen mediante una función 𝒚 = 𝒇(𝒙) denominada función de probabilidad o función de densidad. La función de densidad de VA deben de cumplir una serie de propiedades:

1) Deben ser positivas 𝒇 (𝒙) > 𝟎 para cualquier valor de la variable aleatorio en su campo de definición. 2) Debe ser una función normalizada, es decir, el área encerrada por la curva en su campo de existencia y el eje de abscisas debe ser

de la unidad.

Debido a estas propiedades, la probabilidad de que la VA tome un valor comprendido en cualquier intervalo [𝒂, 𝒃] interior a su campo de existencia, es el área bajo la curva de dicho intervalo.

𝑳𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐: 𝑷 [𝒙 = 𝒂] = 𝟎

𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂: 𝑷 (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = 𝑷 (𝒂 < 𝒙 < 𝒃) Distribución de Probabilidad.- si 𝑿 es una VA se llama Distribución de probabilidades a los pares ordenados de la forma:

(𝒙𝒊, 𝑷 [𝑿 = 𝒙]) 𝑷 [𝑿 = 𝒙] = 𝑷 [𝑿] Media o Esperanza Matemática.- La esperanza matemática es un parámetro que describe la tendencia central de una VA 𝑿 y nos indica donde se ubica el centro, se denota por:

𝑬 (𝑿), 𝝁 ⟹ 𝑻𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏 𝒔𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐

𝒂) 𝑬(𝑿) =∑𝒙𝒊 ∗ 𝒇(𝒙𝒊) ; ó 𝝁 =∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊⟹ 𝝁𝒙 = 𝑬(𝒙) =∑𝒙 ∗ 𝑷(𝒙) → 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐

𝒏

𝒊=𝟏

𝑵

𝒊=𝟏

Cuando 𝑿 es una variable discreta, 𝒇(𝒙𝒊) es una función de probabilidad.

𝒃) 𝑬(𝑿) = ∫ 𝒙 ∗ (𝒇(𝒙))𝒅𝒙

+∞

−∞

→𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂, 𝒇(𝒙) 𝒆𝒔 𝒔𝒖 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏

𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅.

Propiedades de esperanza matemática:

1) 𝑬 (𝒂) = 𝒂 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆. 2) 𝑬 (𝑿 + 𝒂) = 𝑬 (𝑿) + 𝒂 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒎á𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 (𝒂) 3) 𝑬 (𝒂 𝑿) = 𝒂𝑬 (𝒙) 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 “𝒂” 𝒑𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆

Varianza.- La varianza describe al grado de dispersión (ó variación) en una distribución, se representa por el símbolo.

𝑽𝒂𝒓 (𝑿), 𝑽 (𝑿), 𝝈𝟐 → 𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐: 𝝈𝟐 = ∑ [(𝑿 – 𝝁)𝟐 ∗ 𝒇 (𝒙)] = ∑ (𝑿𝟐 ∗ 𝒇 (𝒙) – 𝝁𝟐) → 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂.

Otra forma:

𝝈𝟐 = ∑𝒙𝒊𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

∗ 𝑷𝒊 − 𝝁𝟐 =?


𝝈𝟐 = ∫ [(𝑿 – 𝝁)𝟐+∞

−∞

∗ 𝒇 (𝒙)] = ∫ (𝑿𝟐 ∗ 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙 – 𝝁𝟐)

+∞

−∞

→ 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂, 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒔𝒆𝒂𝒏 𝒖𝒏 #𝑹𝒆𝒂𝒍.

Desviación estándar típica:

𝝈 = √𝝈𝟐 ó 𝝈 = √∑ 𝒙𝒊𝟐𝒏

𝒊=𝟏 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁𝟐

Valor Esperado.- El valor esperado de una VA es el equivalente a la media o promedio aritmético, que se utiliza para identificar el valor central de la VA.

𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∑ 𝒙 ∗ 𝑷(𝒙) → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂.

𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∫ 𝒙 ∗ 𝒇(𝒙)

+∞

−∞

𝒅𝒙 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂.

Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro. Funciones:

Función de Probabilidad:

Matemáticamente, es la función 𝑷 (𝑿 = 𝒙) que va desde el conjunto posible de los valores de la variable discreta 𝑿 al

intervalo [𝟎, 𝟏] Propiedades:

1) 𝑷 (𝑿 = 𝒙) ≥ 𝟎 2) ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙) = 𝟏 3) 𝑷 (𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)𝒃

𝒂 4) 𝑷 (𝑿 ≤ 𝒂) = ∑ ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)𝒂

𝟎

Función de densidad de Probabilidad:

Matemáticamente, es aquella función de una VAC 𝑿 que cumple con las siguientes condiciones Propiedades:

1) ……………………………………

2) ∫ 𝒇(𝒙) ∗ 𝒅𝒙+∞

−∞= 𝟏

3) 𝑷 (𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∑ 𝒇(𝒙) ∗ 𝒅𝒙𝒃𝒂

4) …………………… .

OTROS MODOS DE FORMULAS EN DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES:

a) 𝟎 ≤ 𝑷 (𝒙𝒊) ≤ 𝟏 ∀ 𝒙𝒊 La probabilidad para todo valor que asume la VA Xi será mayor o igual a cero pero menor que uno.

b) La suma de todas las probabilidades asociadas a todos los valores que toma la variable 𝑿, es igual a la unidad.

∑𝑷(𝒙𝒊) = 𝟏 ↔ ∫ 𝑷(𝒙𝒊)𝒅𝒙 = 𝟏

+∞

−∞

𝒏

𝟏

EJEMPLO#213 Un dado trucado tiene la siguiente función de probabilidad:

𝑿𝒊 1 2 3 4 5 6

𝑷𝒊 0,1 0,15 0,15 0,15 0,15 0,30

Calcular: a) Parámetros de la distribución. b) Representar gráficamente la función de probabilidad y la de distribución

c) 𝑷 (𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓) a) Parámetros de distribución:

𝑿𝒊 𝑷𝒊 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊

1 0,1 0,10 0,1

2 0,15 0,30 0,60

3 0,15 0,45 1,35

4 0,15 0,60 2,40

5 0,15 0,75 3,75

6 0,30 1,80 10,80

∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑ 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟒 ∑ 𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟏𝟗

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂: 𝝁 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟒 ; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂: 𝝈𝟐 = ∑𝒙𝒊𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

∗ 𝑷𝒊 − 𝝁𝟐 = 𝟏𝟗 − 𝟒𝟐 = 𝟑

Desviación Típica:

𝝈 = √∑𝒙𝒊𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

∗ 𝑷𝒊 − 𝝁𝟐 = √𝟏𝟗 − 𝟒𝟐 = √𝟑 = 𝟏,𝟕𝟑𝟐𝟎

b)Función de probabilidad (𝑷(𝒙) ) y función de distribución (𝑭(𝒙) ).

𝑿𝒊 𝑷𝒊 𝑭(𝒙) = 𝑷 (𝒙 ≤ 𝒙𝒊)

1 0,1 0,1

2 0,15 0,25

3 0,15 0,40

4 0,15 0,55

5 0,15 0,70

6 0,30 1,00


𝒄) 𝑷 (𝟑 ≤ 𝑿 ≤ 𝟓) = 𝑭 (𝟓) – 𝑭 (𝟐)

= 𝑷 (𝒙 ≤ 𝟓) – 𝑷 (𝒙 ≤ 𝟐) = 𝟎, 𝟕𝟎 – 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟒𝟓 = 𝟒𝟓%

EJEMPLO#214 El número de motos de cuatro ruedas solicitadas en renta en una caseta de alquiler de motos en las orillas del rio pirai

durante un periodo de 50 días se identifica en la tabla siguiente:

Demanda (X) Número de días a) Construir la función de probabilidad b) Determinar el valor esperado c) Graficar la función de probabilidad

d) Determinar: 𝑷(𝒙 = 𝟓); 𝑷(𝒙 ≥ 𝟑); 𝑷(𝒙 < 𝟔); 𝑷(𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟖) 𝑷(𝟒 < 𝒙 < 𝟔)

3 6

4 10

5 15

6 9

7 6

8 4

SOLUCIÓN:

Demanda (x)

Probabilidad P(x)

Valor Esperado

[𝑿 ∗ 𝑷(𝒙)] 𝑭(𝒙) c)Graficando la función de probabilidad:

3 0,12 0,36 0,12

4 0,2 0,80 0,32

5 0,3 1,50 0,62

6 0,18 1,08 0,80

7 0,12 0,84 0,92

8 0,08 0,64 1

1 E(x) = 5,22 b)El valor esperado es 5,22 motos. d)Determinado los siguientes probabilidades:

𝑷(𝒙 = 𝟓) = 𝑭(𝟓) = 𝟎, 𝟔𝟐 = 𝟔𝟐% → 𝑺𝒖 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 (𝑽𝑬) = 𝑽𝑬 = 𝟏,𝟓

𝑷(𝒙 ≥ 𝟑) = 𝟏 − 𝑷(𝒙 < 𝟑) = 𝟏 − 𝑭(𝟐) = 𝟏 − 𝟎 = 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎% → 𝑺𝒖 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 (𝑽𝑬) = 𝑽𝑬 = 𝟓,𝟐𝟐

𝑷(𝒙 < 𝟔) = 𝑭(𝟔) = 𝟎, 𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟎, 𝟑𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟐 = 𝟔𝟐% → 𝑺𝒖 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 (𝑽𝑬) = 𝑽𝑬 = 𝟐, 𝟔𝟔

𝑷(𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟖) = 𝑷(𝒙 < 𝟖) − 𝑷(𝒙 < 𝟓) = 𝑭(𝟕) − 𝑭(𝟒) = 𝟎, 𝟗𝟐 − 𝟎, 𝟑𝟐 = 𝟔𝟎% → 𝑷(𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟖) = 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟖 + 𝟎, 𝟏𝟐 = 𝟔𝟎% → 𝑽𝑬 = 𝟑, 𝟒𝟐

𝑷(𝟒 < 𝒙 < 𝟔) = 𝟔𝟐% → 𝑽𝑬 = 𝟏, 𝟓𝟎 (𝑨𝑪𝑼𝑴𝑼𝑳𝑨𝑫𝑶)

EJEMPLO#215 Aplicaciones a la toma de decisiones: Una florista estima su venta diaria de docenas de rosas de la forma siguiente:

VENTA ESTIMADA DIARIA EN DOCENAS

PROBABILIDAD DE LA VENTA ESTIMADA

La florista debe ordenar las rosas con un día de anticipación. Las rosas que no se venden en un día se pierden. Si el costo de las rosas es de 10 Bs por docena y su precio de venta es de 30 Bs por docena. ¿Cuántas docenas debe ordenar la florista para minimizar su perdida diaria?

12 0,50

13 0,40

14 0,10

SOLUCIÓN:

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 = 𝟏𝟎𝑩𝒔 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝑽𝒆𝒏𝒕𝒂 = 𝑷𝑽 = 𝟑𝟎𝑩𝒔 𝑼𝑻 = 𝑷𝑽 − 𝑪 = 𝟑𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝟎𝑩𝒔 𝑷𝑽 = 𝑼𝑻 + 𝑪 ↔ 𝟑𝟎 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 ↔ 𝟑𝟎 = 𝟑𝟎

Posibilidad de vender

Posibles opciones de tener rosas C⟹Sobran=10; UT⟹Faltan=20

12 13 14 A11 = 0 A12 = 1(10) A13 = 2(10) A21 = 1(20) A22 = 0 A23 = 1(10) A31 = 2(20) A32 = 1(20) A33 = 0

12 0 10 20

13 20 0 10

14 40 20 0

Tabla de perdidas condicionales: PC=perdida condicional; PE=perdida esperada: Cuadro de Pérdidas Esperadas:

POSIBLES VENTAS

PROBABILIDAD DE CADA VENTA

12 13 14 Datos auxiliares:

20(0,40)=8 10(0,50)=5 20(0,50)=10 40(0,10)=4 20(0,10)=2 10(0,40)=4

PC PE PC PE PC PE

12 0,5 0 0 10 5 20 10

13 0,40 20 8 0 0 10 4

14 0,10 40 4 20 2 0 0

1 12 7 14

Debemos vender/comprar diariamente 13 docenas de rosas, debido este ocasionará la menor perdida esperada en el futuro:

𝑷𝑬 = 𝟕


EJEMPLO#216 Una empresa vende equipos y accesorios de telecomunicaciones MOTOROLA, la demanda mensual de estos accesorios se

distribuye de la siguiente manera:

X 10 12 14 18

P(x) 0,4 0,2 0,35 0,05

Si cada accesorio cuesta 50$us y se vende a un 40% más por cuestiones por impuesto, determine cuántos de estos accesorios deberán tener un stock mensualmente para minimizar las perdidas esperadas. SOLUCIÓN: Costo = 50$us/ud Precio = 50 + 50(0,40) = 704$us/ud Por sobrar = costo = 50$us Por faltar = precio – costo = 70 – 50 = 20$us

Datos auxiliares:

No Falta ni sobra A11 = 0 Sobran 2: A12 = 2(50) = 100

Faltan 2: A21 = 2(20) = 40 No Sobra ni falta: A22 = 0

Faltan 4: A31 = 4(20) = 80 Faltan 2: A32 = 2(20) = 40

Faltan 8: A41 = 8(20) = 160 Faltan 6: A42 = 6(20) = 120

Sobran 4: A13 = 4(50) = 200 Sobran 8: A14 = 8(50) = 400

Sobran 2: A23 = 2(50) = 100 Sobran 6: A24 = 6(50) = 300

No sobra ni falta A33 = 0 Sobran 4: A34 = 4(50) = 200

Faltan 4: A43 = 4(20) = 80 No Sobra ni falta: A44 = 0

⟹ Para encontrar las pérdidas esperadas, se realiza la operación: ∑𝒙 . 𝑷(𝒙) E (10) = 0,40(0) + 0,2(40) + 0,35(80) + 0,05(160) = 44 E (12) = 0,40(100) + 0,2(0) + 0,35(40) + 0,05(120) = 60 E (14) = 0,40(200) + 0,2(100) + 0,35(0) + 0,05(80) = 104 E (18) = 0,40(400) + 0,2(300) + 0,35(200) + 0,35(0) = 290 Se toma la decisión de tener 10 accesorios en stock mensualmente debido a que este valor ocasionará la menor perdida esperada en el futuro.

EJEMPLO#217 Selección de empleados 𝑷 (𝑿 = 𝒙) =?

Dos empleados se seleccionan al azar (con reemplazo) de una lista de la cual 70% de los empleados son hombres. SOLUCIÓN:

El # 𝑿 de hombres en la muestra es un VA Los resultados del experimento son: (h, h); (h, m); (m, h); (m, m)

“𝑿” es una variable aleatoria.

X = 2 ⟹ Si se presenta el resultado (h, h) X = 1 ⟹ Si ocurre cualquiera de los resultados (h, m) ó (m, h)

X = 0 ⟹ Si el resultado es (m, m)

Distribución de “𝑿”

𝑷 (𝑿 = 𝟐) = 𝑷 ((𝒉, 𝒉) 𝒔𝒆𝒂 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐)) = 𝟎, 𝟒𝟗 𝑷 (𝑿 = 𝟏) = 𝑷 ((𝒉,𝒎) ó 𝑷 (𝒎,𝒉) 𝒔𝒆𝒂 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐)) = 𝟎, 𝟐𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟏

= 𝟎, 𝟒𝟐 𝑷 (𝑿 = 𝟎) = 𝑷 ((𝒎,𝒎) 𝒔𝒆𝒂 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐)) = 𝟎, 𝟎𝟗 𝑺𝒐𝒏 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒂 𝟗, 𝟒𝟐 𝒚 𝟒𝟗; 𝟗%,𝟒𝟐% 𝒚 𝟒𝟗%

Distribución de “𝑿” Selección de Empleados 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑿

𝟎𝟏𝟐

𝑫𝒊𝒔𝒕.𝑫𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃.𝑫𝒆 𝑿.𝟎, 𝟎𝟗𝟎, 𝟒𝟐𝟎, 𝟒𝟗

− − − − −− − − −𝟏𝟎𝟎%

RESULTADO MUESTRAL

VALOR DE “𝑿” CUANTOS HOMBRES SE ESCOGEN

DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD DE 𝑿

(h, h) 2 (0,70) (0,70) = 0,49

(h, m) 1 (0,70) (0,30) = 0,21

(m, h) 1 (0,30) (0,70) = 0,21

(m, m) 0 (0,30) (0,30) = 0,09

P(x) 10 12 14 18

⟹

𝑯𝒂𝒃𝒍𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒊𝒓𝒏𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒅𝒂 𝒄𝒆𝒍𝒅𝒂,𝒏𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒔𝒊 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒂𝒏 ó 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂𝒏, 𝒚 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔.

𝒚 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒐.

10 0,40 0 100 200 400

12 0,20 40 0 100 300

14 0,35 80 40 0 200

18 0,05 160 120 80 0


EJEMPLO#218 Encontrar la distribución del número de errores: El experimento es auditar tres cuentas en un archivo de cuentas por pagar.

Sea 𝑬𝒊 el resultado de que la cuenta 𝒊 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 auditada este errada y 𝑶𝒊 denote el resultado de que no hay error, 𝒊 = 𝟏, 𝟐 𝒚 𝟑

Sea 𝑿 una variable aleatoria (una variable de conteo) que nos da el número de cuentas equivocadas encontradas en el auditaje. Puesto que

hay tres cuentas que debe auditarse 𝑿 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, ó 𝟑. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de 𝑿? Supongamos por información previa que el 10% de las cuentas en el archivo contiene errores.

𝑷 (𝑬𝒊) = 𝟎, 𝟏𝟎 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒂 𝑷 (𝑬𝒊) = 𝟎, 𝟗𝟎 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 Construcción de la Distribución de Probabilidad de 𝑿: errores Auditados.

(1) ASIGANCION DE LA

PROBABILIDAD 𝑷(𝑺)

(2) RESULTADO

MUESTRAL 𝑺

(3) VALORES DE

𝑿: 𝒙

(4) 𝑷 (𝑿 = 𝒙)

(0,1) (0,1) (0,1) = 0,001 (E1, E2, E3) 3 0,001

(0,1) (0,1) (0,9) = 0,009 (E1, E2, O3) 2

0,027 (0,1) (0,9) (0,1) = 0,009 (E1, O2, E3)

(0,9) (0,1) (0,1) = 0,009 (O1, E2, E3)

(0,1) (0,9) (0,9) = 0,081 (E1, O2, O3) 1

0,243 (0,9) (0,1) (0,9) = 0,081 (O1, E2, O3)

(0,9) (0,9) (0,1) = 0,081 (O1, O2, E3)

(0,9) (0,9) (0,9) = 0,729 (O1, O2, O3) 0 0,729

1 1 𝑷 (𝑶𝟏,𝑶𝟐, 𝒚 𝑬𝟑 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒂) = 𝑷 (𝑶𝟏) ∗ 𝑷 (𝑶𝟐) ∗ 𝑷 (𝑬𝟑) = (𝟎, 𝟗) (𝟎, 𝟗) (𝟎, 𝟏) = 𝟎, 𝟎𝟖𝟏 𝑷 (𝑿 = 𝟎) + 𝑷 (𝑿 = 𝟏) + 𝑷 (𝑿 = 𝟐) + 𝑷 (𝑿 = 𝟑) = 𝟏

EJEMPLO#219 Predicción de Ventas: Sea 𝑺 las ventas de la semana próxima de QUADOSH. Obviamente “𝑺” es una variable aleatoria.

Supongamos que el departamento de ventas ha mantenido un registro del número de cajas vendidas durante las 100 semanas anteriores. “𝑺” utilizando la historia pasada de ventas. Por ejemplo, predecimos que hay un 10% de chance de que las ventas de la semana próxima sean de

107 cajas: 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟕) = 𝟏𝟎/𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟏.

VENTAS DE QUADOSH DURANTE LAS ÚLTIMAS SEMANAS (NÚMERO DE CASOS)

Cantidad Vendida “𝑺” Número de Semanas Distribución de “𝑺”

100 2 2/100 = 0,02

101 3 3/100 = 0,03

102 7 7/100 = 0,07

103 4 4/100 = 0,04

104 13 13/100 = 0,13

105 9 9/100 = 0,09

106 9 9/100 = 0,09

107 10 10/100 = 0,10

108 10 10/100 = 0,10

109 15 15/100 = 0,15

110 18 18/100 = 0,18

1155 unidades 100 semanas 1

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la próxima semana sean a lo sumo de 102 cajas?

𝑷 (𝑺 ≤ 𝟏𝟎𝟐) = 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟎,𝟏𝟎𝟏, 𝟏𝟎𝟐) = 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟎) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟏) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟐) == 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟕 = 𝟎, 𝟏𝟐 ó 𝟏𝟐% b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la próxima semana sean menores que 100?

𝑷 (𝑺 < 𝟏𝟎𝟎) = 𝟎 ó 𝟎% c) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la semana próxima sean iguales ó mayores que 100?

𝑷 (𝑺 ≥ 𝟏𝟎𝟎) = 𝟏 ó 𝟏𝟎𝟎% d) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la semana siguiente sean iguales o menores que 110 cajas?

𝑷 (𝑺 ≤ 𝟏𝟏𝟎) = 𝟏 ó 𝟏𝟎𝟎% e) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la semana siguiente estén entre 106 y 110 cajas?

𝑷 (𝟏𝟎𝟔 < 𝑺 < 𝟏𝟏𝟎) = 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟕) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟖) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟗) 𝑷 (𝟏𝟎𝟔 < 𝑺 < 𝟏𝟏𝟎) = 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟓 ó 𝟑𝟓%


Distribución de Probabilidad

Función de Probabilidad

𝑷 (𝑿 = 𝒙) 𝑿 [𝟎, 𝟏] Variable Discreta Propiedades:

𝒂)𝑷 (𝑿 = 𝒙) ≥ 𝟎 𝒃)∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙) = 𝟏

𝒄)𝑷 (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)

𝒃

𝒂

𝒅)𝑷(𝒙 ≤ 𝒂) = ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)

𝒂

𝟎

Valor Esperado

𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∑𝒙 ∗ 𝑷 (𝒙)

Función de Densidad de Probabilidad Variable Continua Propiedades:

𝒂)……………………………… ..

𝒃) ∫ 𝒇(𝒙)

+∞

−∞

𝒅𝒙 = 𝟏

𝒄)𝑷 (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒃

𝒂

𝒅)………………………… Valor Esperado

𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∫ 𝑿𝒇(𝒙)

+∞

−∞

𝒅𝒙

Distribución de Probabilidad Discreta La función de distribución de una VA se caracteriza por medio de dos números: su media y su varianza.

Sea “𝑿” una VA sea: 𝑿𝒊 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,… . 𝒏) los valores posibles que pueden tomar “𝒙” y sea 𝑷 (𝑿𝒊) = 𝑷 (𝑿 = 𝒙𝒊) la probabilidad de

que 𝑿 adquiera el valor 𝑿𝒊. Si denotamos la media por y la varianza Var (𝑿), tenemos:

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝒙 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 → 𝑽𝒂𝒓 (𝒙) = ∑(𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐 ∗ 𝑷(𝒙𝒊)

𝒏

𝒊=𝟏

↔∑𝒙𝒊𝟐 ∗ 𝑷(𝒙𝒊)

𝒏

𝒊=𝟏

− (𝒙)𝟐

EJEMPLO#220 Estimación de la tasa esperada de retorno: La tabla siguiente expresa la distribución de probabilidad de R, la tasa de retorno

de una inversión que se debe lograr al comprar una maquina nueva.

TASA POSIBLE DE RETORNO “R” DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE (R) P (ri)

r1 = 10% 0,25

r2 = 12% 0,50

r3 = 14% 0,25

¿Cuál es el valor esperado o media de la tasa de retorno?

¿Cuál es la varianza o dispersión esperada de la tasa de retorno R alrededor de suṜ?

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → = ∑𝒓𝒊 ∗ 𝑷(𝒓𝒊)

𝒏

𝒊=𝟏

= (𝟏𝟎%)𝑷(𝑹 = 𝟏𝟎%) + 𝟏𝟐% 𝑷(𝑹 = 𝟏𝟐%) + (𝟏𝟒%)𝑷(𝑹 = 𝟏𝟒%) = (𝟏𝟎%) (𝟎, 𝟐𝟓) + (𝟏𝟐%) (𝟎, 𝟓𝟎) + (𝟏𝟒%) (𝟎, 𝟐𝟓)

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝒙 = ∑𝒓𝒊 ∗ 𝑷(𝒓𝒊)

𝒏

𝒊=𝟏

= (𝟎, 𝟏𝟎) (𝟎, 𝟐𝟓) + (𝟎, 𝟏𝟐) (𝟎, 𝟓) + (𝟎, 𝟏𝟒) (𝟎, 𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 = 𝟏𝟐%

¿ 𝑪𝒖á𝒍 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒐 𝒅𝒊𝒔𝒑𝒆𝒓𝒔𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝑹 𝒂𝒍𝒓𝒆𝒅𝒆𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒖 Ṝ?

Calculo de la varianza de la tasa de retorno: Valores de

R (𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑹)𝟐 = 𝒓𝒊

𝟐 Probabilidad

𝑷(𝒓𝒊) 𝒓𝒊𝟐 ∗ 𝑷(𝒓𝒊)

r1 = 10% 100 0,25 25

r2 = 12% 144 0,50 72

r3 = 14% 196 0,25 49

146

𝑽𝒂𝒓(𝑹) =∑𝒓𝒊𝟐 ∗ 𝑷(𝑹 = 𝒓𝒊)

𝟑

𝒊=𝟏

− ()𝟐 = 𝟏𝟒𝟔 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟐 ⟹ 𝑽𝒂𝒓(𝑹) = 𝟐

EJEMPLO#221 Hallar la media y la varianza de una variable 𝑿 que tiene la siguiente función de probabilidad:

X 2 3 4

P 0,2 0,3 0,5

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → = 𝝁 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑(𝟎, 𝟑) + 𝟕(𝟎, 𝟓) = 𝟒, 𝟖𝟎

𝝈𝟐 =∑𝒙𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

− (𝒙)𝟐 = [𝟐𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑𝟐(𝟎, 𝟑) + 𝟕𝟐(𝟎, 𝟓)] − (𝟒, 𝟖𝟎)𝟐 = 𝟐𝟖 − 𝟐𝟖, 𝟒𝟎 = 𝟒, 𝟗𝟔


EJEMPLO#222 Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad:

X 2 3 5 6 8

P 0,2 0,10 0,40 0,2 0,10 a) Hallar la función de distribución de dicha variable. b) Representar en un diagrama la función de distribución. c) Hallar la media y la desviación típica.

a) La función de distribución o probabilidad acumulada (F(x))

Xi Pi 𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝑿𝒊) 2 0,2 0,2

3 0,1 0,3

5 0,4 0,70

6 0,2 0,90

8 0,1 1

c)Hallar la media y desviación: Xi Pi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊

𝟐 ∗ 𝑷𝒊

𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟐𝟓, 𝟑

2 0,2 0,4 0,80

3 0,1 0,3 0,90

5 0,4 2,0 10

6 0,2 1,2 7,2

8 0,1 0,8 6,4

∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟒, 𝟕 ∑𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁

𝟐 = 𝟑,𝟐𝟏

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 = ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟒,𝟕𝟎 ; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 → 𝝈𝟐 = ∑𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁

𝟐 = 𝟑,𝟐𝟏 ; 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑻í𝒑𝒊𝒄𝒂 → 𝝈 = 𝟏,𝟕𝟗𝟏𝟔 ≅ 𝟏,𝟕𝟗 EJEMPLO#223 Considérese el experimento que consiste en lanzar dos dados y anotar el resultado de la suma de las caras superiores. Hallar

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 a) La media y la desviación típica de la distribución.

b) Sea 𝒙 La VA que expresa la suma del número de puntos de los dos dados, hallar las siguientes probabilidades:

𝑷(𝒙 ≤ 𝟓); 𝑷(𝒙 ≥ 𝟏𝟎); 𝑭(𝟒); 𝑭(−𝟐); 𝑭(𝟏𝟗) La media y la desviación típica de la distribución:

Xi Pi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊

2 0,028 0,056 0,111

3 0,056 0,167 0,500

4 0,083 0,333 1,333

5 0,111 0,555 2,778

6 0,139 0,833 5

7 0,167 1,167 8,167

8 0,139 1,111 8,889

9 0,111 1 9

10 0,083 0,833 8,333

11 0,056 0,611 6,722

12 0,028 0,333 4

∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟕 ∑𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓𝟒,𝟖𝟑

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟕

𝒏

𝒊=𝟏

; 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑻í𝒑𝒊𝒄𝒂 → 𝝈 = √∑𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 −𝝁

𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

= √𝟓𝟒,𝟖𝟑− 𝟕𝟐 = 𝟐,𝟒𝟐

Sea 𝒙 La VA que expresa la suma del número de puntos de los dos dados, hallar las siguientes probabilidades:

𝑷(𝒙 ≤ 𝟓); 𝑷(𝒙 ≥ 𝟏𝟎); 𝑭(𝟒); 𝑭(−𝟐); 𝑭(𝟏𝟗)

𝑷 (𝒙 ≤ 𝟓) = 𝑭 (𝟓) = 𝟏/𝟑𝟔 + 𝟐/𝟑𝟔 + 𝟑/𝟑𝟔 + 𝟒/𝟑𝟔 = 𝟏𝟎/𝟑𝟔 = 𝟓/𝟏𝟖

𝑷 (𝒙 ≥ 𝟏𝟎) = 𝑷 (𝒙 < 𝟏𝟎 ) = 𝟏 – 𝒑(𝒙 < 𝟏𝟎) = 𝟏− 𝑭(𝟗) = 𝟏 − [𝟏

𝟑𝟔+𝟐

𝟑𝟔+𝟑

𝟑𝟔+𝟒

𝟑𝟔+𝟓

𝟑𝟔+𝟔

𝟑𝟔+𝟓

𝟑𝟔+𝟒

𝟑𝟔] = 𝟏 − [

𝟑𝟎

𝟑𝟔] = 𝟏/𝟔

𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: 𝑷 (𝒙 ≥ 𝟏𝟎) = 𝑭 (𝟏𝟎) = 𝟑/𝟑𝟔 + 𝟐/𝟑𝟔 + 𝟏/𝟑𝟔 = 𝟔/𝟑𝟔 = 𝟏/𝟔

𝑭 (𝟒) =𝟏

𝟑𝟔+𝟐

𝟑𝟔+𝟑

𝟑𝟔=𝟔

𝟑𝟔=𝟏

𝟔 ; 𝑭 (−𝟐) = 𝟎 ; 𝑭 (𝟏𝟗) = 𝟏 𝑻𝒐𝒅𝒐 (𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝟏𝟐)⏟

𝟏 +

𝒊𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒗𝒆 𝒎𝒆 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝟏𝟗⏟ 𝟎=𝟏

= 𝟏


EJEMPLO#224 Sea 𝑿 una VA discreta cuya función de probabilidad es:

X 0 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,1 0,4 0,1 0,1

a) Calcular y representar gráficamente la función de distribución.

b) Calcular las siguientes probabilidades: 𝒑 (𝒙 < 𝟒, 𝟓); 𝒑 (𝒙 ≥ 𝟑); 𝒑 (𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒, 𝟓)

Xi Pi 𝑭𝒊 (𝒑(𝒙 ≤ 𝒙𝒊)) 0 0,1 0,10

1 0,2 0,30

2 0,1 0,40

3 0,4 0,80

4 0,1 0,90

5 0,1 1,00

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔: 𝒑 (𝒙 < 𝟒,𝟓); 𝒑 (𝒙 ≥ 𝟑); 𝒑 (𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒, 𝟓) 𝑷 (𝒙 < 𝟒,𝟓) = 𝒑 (𝒙 ≤ 𝟒) = 𝑭 (𝟒) = 𝟎, 𝟗𝟎 𝑷 (𝒙 ≥ 𝟑) = 𝑷 (𝒙 < 𝟑 ) = 𝟏 – 𝑷 (𝒙 < 𝟑) = 𝟏 – 𝑭 (𝟐) = 𝟏 – 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟎 𝑷 (𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒,𝟓) = 𝒑 (𝒙 < 𝟒,𝟓) – 𝒑 (𝒙 < 𝟑) = 𝑭 (𝟒) – 𝑭 (𝟐) = 𝟎, 𝟗𝟎 – 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟑

EJEMPLO#225 Sea 𝑿 una VA cuya función de probabilidad viene dada por 𝒑 (𝒙 = 𝒓) = 𝟏/𝟖; (𝒓 = 𝟐, 𝟑, … , 𝟗). Se pide hallar:

a) La función de probabilidad. b) La función de distribución y su representación. c) La media y la desviación típica

d) Las probabilidades 𝒑 (𝒙 ≥ 𝟔), 𝒑 (𝟒 < 𝒙 < 𝟕) 𝒚 𝒑 (𝒙 < −𝟑) a)

Xi Pi

2 1/8

3 1/8

4 1/8

5 1/8

6 1/8

7 1/8

8 1/8

9 1/8

b)

Xi Fi

2 1/8

3 2/8

4 3/8

5 4/8

6 5/8

7 6/8

8 7/8

9 1

c)La media y la desviación típica: Xi Pi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊

𝟐 ∗ 𝑷𝒊 2 0,125 0, 25 0,5

3 0,125 0,375 1,125

4 0,125 0,5 2

5 0,125 0,625 3,125

6 0,125 0,75 4,50

7 0,125 0,875 6,125

8 0,125 1 8

9 0,125 1,125 10,125

∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓, 𝟓 ∑𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟑𝟓,𝟓

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓,𝟓

𝒏

𝒊=𝟏

; 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑻í𝒑𝒊𝒄𝒂 → 𝝈 = √∑𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁

𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

= √𝟑𝟓,𝟓 − (𝟓,𝟓)𝟐 = 𝟐,𝟐𝟗

d) 𝑷 (𝒙 ≥ 𝟔) = 𝒑 (𝒙 < 𝟔 ) = 𝟏 – 𝒑 (𝒙 < 𝟔) = 𝟏 – 𝑭 (𝟓) = 𝟏 −𝟒

𝟖= 𝟏 – 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎%

𝑷 (𝟒 < 𝒙 < 𝟕) = 𝒑 (𝒙 < 𝟕)– 𝒑 (𝒙 ≤ 𝟒) = 𝑭 (𝟔)– 𝑭 (𝟒) =𝟓

𝟖−𝟑

𝟖= 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 – 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓%

𝑷 (𝒙 < −𝟑) = 𝟎


EJEMPLO#226 Una VA 𝑿 toma los valores 2, 4, 5, 7, 8, 9, con probabilidades 0,15; 0,12; 0,21; 0,25; 0,16; 0,11; representativamente.

Comprobar si se trata de una función de probabilidad y en caso afirmativo, hallar su esperanza matemática (media) y los valores de su función de distribución para x=6 y x=9

Xi Pi Fi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 2 0,15 0,15 0,30

4 0,12 0,27 0,48

5 0,21 0,48 1,05

7 0,25 0,73 1,75

8 0,16 0,89 1,28

9 0,11 1 0,99

∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓, 𝟖𝟓

La condición suficiente para que sea una función de probabilidad es

que ∑𝑷𝒊 = 𝟏 Media o esperanza matemática:

𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓, 𝟖𝟓

𝒏

𝒊=𝟏

𝑿 = 𝟔 → 𝑭 (𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟖 + 𝟎, 𝟕𝟑

𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟎𝟓 = 𝟔𝟎, 𝟓%

𝑿 = 𝟗 → 𝑭 (𝟗) = 𝟏

EJEMPLO#227 Determinar la esperanza matemática y varianza de la variable aleatoria directa que tiene como función de distribución:

𝑭 (𝒙) =

𝟎 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟐𝟎, 𝟐 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑𝟎,𝟑 𝒔𝒊 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟓𝟎,𝟕 𝒔𝒊 𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟔𝟎, 𝟗 𝒔𝒊 𝟔 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟎𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏𝟎

Xi Fi Pi

2 0,2 0,2

3 0,3 0,3 – 0,2 = 0,10

5 0,7 0,7 – 0,3 = 0,40

6 0,9 0,9 – 0,7 = 0,20

10 1 1 – 0,90 = 0,10

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → = 𝝁 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑(𝟎, 𝟏) + 𝟓(𝟎, 𝟒) + 𝟔(𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟎(𝟎, 𝟏) = 𝟒, 𝟗𝟎 ; 𝝈 = √𝟒, 𝟖𝟗 = 𝟐, 𝟐𝟏

𝝈𝟐 =∑𝒙𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

− ()𝟐 = [𝟐𝟐(𝟎,𝟐) + 𝟑𝟐(𝟎, 𝟏) + 𝟓𝟐(𝟎, 𝟒) + 𝟔𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟎𝟐(𝟎,𝟏)] − [𝟒, 𝟗𝟎]𝟐 = 𝟐𝟖, 𝟗 − 𝟐𝟒, 𝟎𝟏 = 𝟒, 𝟖𝟗

EJEMPLO#228 Un dado ha sido manipulado con el fin de alterar las posibilidades de obtener las diferentes caras. Así si 𝑿 representa la

puntuación alcanzada en una tirada, se tiene:

𝑷 (𝑿 = 𝟏) =𝟏

𝟔− 𝟐𝑲

𝑷 (𝑿 = 𝟐) =𝟏

𝟔− 𝑲

𝑷 (𝑿 = 𝟑) = 𝑷 (𝑿 = 𝟒) =𝟏

𝟔

𝑷 (𝑿 = 𝟓) =𝟏

𝟔+ 𝑲

𝑷 (𝑿 = 𝟔) =𝟏

𝟔+ 𝟐𝑲

𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝑲 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝑿 𝒔𝒆𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟒.

𝑻𝒆𝒏𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂: 𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

𝝁 = 𝟏 (𝟏

𝟔− 𝟐𝒌) + 𝟐(

𝟏

𝟔− 𝒌) + 𝟑(

𝟏

𝟔) + 𝟒 (

𝟏

𝟔) + 𝟓(

𝟏

𝟔+ 𝒌) + 𝟔(

𝟏

𝟔+ 𝟐𝒌) = 𝟒

𝝁 =𝟏

𝟔− 𝟐𝒌 +

𝟏

𝟑− 𝟐𝒌 +

𝟏

𝟐+𝟐

𝟑+𝟓

𝟔+ 𝟓𝒌 + 𝟏 + 𝟏𝟐𝒌 = 𝟒

𝝁 =𝟕

𝟐+ 𝟏𝟑𝒌 = 𝟒 → 𝟏𝟑𝒌 = 𝟒 −

𝟕

𝟐→ 𝟏𝟑𝒌 =

𝟏

𝟐 𝒌 =

𝟏

𝟐

𝟏𝟑=

𝟏

𝟐𝟔 𝒌 =

𝟏

𝟐𝟔

𝑷(𝑿 = 𝟏) =𝟕

𝟕𝟖

𝑷(𝑿 = 𝟐) =𝟓

𝟑𝟗

𝑷(𝑿 = 𝟑) =𝟏

𝟔

𝑷(𝑿 = 𝟒) =𝟏

𝟔

𝑷(𝑿 = 𝟓) =𝟖

𝟑𝟗

𝑷(𝑿 = 𝟔) =𝟏𝟗

𝟕𝟖

= 𝟏𝟎𝟎% (

𝝁 = 𝟏(𝟏

𝟔−𝟐

𝟐𝟔) + 𝟐 (

𝟏

𝟔−

𝟏

𝟐𝟔) +

𝟑

𝟔+𝟒

𝟔+ 𝟓(

𝟏

𝟔+

𝟏

𝟐𝟔) + 𝟔(

𝟏

𝟔+𝟐

𝟐𝟔)

𝝁 =𝟕

𝟕𝟖+𝟏𝟎

𝟑𝟗+𝟕

𝟔+𝟒𝟎

𝟑𝟗+𝟏𝟗

𝟏𝟑= 𝟒 𝝁 = 𝟒

)


EJEMPLO#229 Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente ley de probabilidad:

X 2 3 5 6 8

𝑷𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) 0,20 - 0,40 - 0,10 Teniendo en cuenta que la media de la distribución es 4,70. Calcular los valores de P (3) y P (6) Aplicamos la condición necesaria de las distribuciones de Probabilidad:

∑𝑷𝒊 = 𝟏 ⟹ 𝑺𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒅𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒈𝒏𝒊𝒕𝒂𝒔. ∑𝑷𝒊 = 𝟏 ⟹ 𝟎, 𝟐 + 𝑷(𝟑) + 𝟎, 𝟒𝟎 + 𝑷(𝟔) + 𝟎, 𝟏𝟎⏟

∑𝑷𝒊 =𝟏

= 𝟏

𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) + 𝟎, 𝟕𝟎 = 𝟏 ↔ 𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) = 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟎 ↔ 𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) = 𝟎,𝟑𝟎❶(𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏) 𝝁 = 𝟒, 𝟕𝟎 Con la definición de media se obtiene la segunda ecuación con la que plantea un sistema que permite calcular los valores pedidos. 𝝁 = ∑ 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊𝒏

𝒊=𝟏

𝟒, 𝟕𝟎 = 𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑𝑷(𝟑) + 𝟓(𝟎, 𝟒) + 𝟔𝑷(𝟔) + 𝟖(𝟎, 𝟏) 𝟒, 𝟕𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟎 + 𝟑𝑷(𝟑) + 𝟐 + 𝟔𝑷(𝟔) + 𝟎, 𝟖𝟎

𝟒, 𝟕𝟎 = 𝟑, 𝟐𝟎 + 𝟑𝑷(𝟑) + 𝟔𝑷(𝟔) 𝟑𝑷(𝟑) + 𝟔𝑷(𝟔) = 𝟏, 𝟓 ❷ Resolviendo como un sistema de ecuaciones de dos incógnitas:

𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) = 𝟎,𝟑𝟑𝑷(𝟑) + 𝟔𝑷(𝟔) = 𝟏, 𝟓

⟹ 𝐏(𝟑) = 𝟎,𝟏𝟎 = 𝟏𝟎% 𝐏(𝟔) = 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎%

EJEMPLO#230 Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad:

K 1 2 3 4 5 6

𝑷(𝑿 = 𝑲) 1/9 1/18 1/9 5/18 1/6 - Se pide: a) Completar la distribución de probabilidad b) Calcular la media y la desviación típica

𝒂)𝟏

𝟗+𝟏

𝟏𝟖+𝟏

𝟗+𝟓

𝟏𝟖+𝟏

𝟔+ 𝑷(𝟔) = 𝟏 ↔

𝟏𝟑

𝟏𝟖+ 𝑷(𝟔) = 𝟏 ↔ 𝑷(𝟔) = 𝟏 −

𝟏𝟑

𝟏𝟖=𝟓

𝟏𝟖↔ 𝑷(𝟔) =

𝟓

𝟏𝟖

𝒃) 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 ⟹ 𝝁 = ∑ 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟏 (𝟏

𝟗) + 𝟐(

𝟏

𝟏𝟖) + 𝟑(

𝟏

𝟗) + 𝟒(

𝟓

𝟏𝟖) + 𝟓(

𝟏

𝟔) + 𝟔 (

𝟓

𝟏𝟖) =

𝟐𝟓

𝟔= 𝟒,𝟏𝟔𝟔𝟕𝒏

𝒊=𝟏

𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏⟹ 𝝈 = √∑𝑿𝒊𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

= √[𝟏𝟐 (𝟏

𝟗) + 𝟐𝟐 (

𝟏

𝟏𝟖) + 𝟑𝟐 (

𝟏

𝟗) + 𝟒𝟐 (

𝟓

𝟏𝟖) + 𝟓𝟐 (

𝟏

𝟔) + 𝟔𝟐 (

𝟓

𝟏𝟖)] − [

𝟐𝟓

𝟔]

𝟐

= 𝟏,𝟔𝟎

EJEMPLO#231 Hallar el rango Rx de las siguientes variables aleatorias:

a) Obtener par al lanzar un dado:

𝒏(𝑺) = 𝟔𝟏 = 𝟔 → 𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 → 𝑹𝒙 = 𝟐,𝟒, 𝟔 𝟔 𝒂 𝒍𝒂 𝟏 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒅𝒂𝒅𝒐 𝒚 𝒆𝒔 𝟏 𝒅𝒂𝒅𝒐 → 𝟔𝟏

b) Obtener sello al lanzar 4 veces una moneda:

𝒏(𝑺) = 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 → 𝑹𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔 2 a la 4 porque 2 caras tiene la moneda y es 4 lanzamientos de la misma

c) Se lanzan 3 dados, obtener la suma:

𝒏(𝑺) = 𝟔𝟑 = 𝟐𝟏𝟔 → 𝑹𝒙𝟑, 𝟒, 𝟓,… , 𝟏𝟖 6 a la 3 porque 6 caras tiene el dado y es 3 dados (𝟏, 𝟏, 𝟏)⏟

𝟑

…… . (𝟔, 𝟔, 𝟔)⏟ 𝟏𝟖

d) Se lanza un dado y una moneda, obtener resultado:

Moneda ⟹C,S

Dado ⟹ 1, 2, 3, 4, 5, 6

𝒏(𝑺) = 𝟐𝟏 . 𝟔𝟏 = 𝟏𝟐 → 𝑹𝒙 = [𝟏𝑪,… , 𝟔𝑪, 𝟏𝑺, … . , 𝟔𝑺] e) Obtener producto bueno al elegir 3:

𝒏(𝑺) = 𝟐𝟑 = 𝟖 → 𝑹𝒙 = [𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔] 2 a la 3⟹2 tipos de productos (Buenos o Malo) y es 3 productos.

f) Hallar la distribución de probabilidad de las VA: De obtener sello al lanzar: 4 veces una moneda

𝒏(𝑺) = 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 → 𝑹𝒙 = [𝟎,𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔]


g) Hallar la distribución de probabilidad de las VA de obtener producto bueno al elegir 3:

𝒏(𝑺) = 𝟐𝟑 = 𝟖 = 𝑹𝒙 = [𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔] → 𝑩𝑫(𝟐)

h) Hallar la distribución de probabilidades acumulada de variables aleatorias de incisos f, g.

EJEMPLO#232 Calcular el valor de C, para que las siguientes sean funciones de probabilidad discreta:

𝒂)𝒇(𝒙) =𝑪

𝑿; 𝑹𝒙 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 →∑𝒇(𝒙) = 𝟏 =

𝑪

𝟏+𝑪

𝟑+𝑪

𝟓+𝑪

𝟕

𝑪

𝟏+𝑪

𝟑+𝑪

𝟓+𝑪

𝟕=𝟏𝟎𝟓𝑪+𝟑𝟓𝑪+𝟐𝟏𝑪+𝟏𝟓𝑪

𝟏𝟎𝟓=𝟏𝟕𝟔𝑪

𝟏𝟎𝟓 ↔ 𝟏 =

𝟏𝟕𝟔𝑪

𝟏𝟎𝟓 ↔ 𝟏(𝟏𝟎𝟓) = 𝟏𝟕𝟔𝑪 ↔ 𝑪 =

𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟕𝟔

𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 ⟹ 𝟏 =𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟕𝟔

𝟏+

𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟕𝟔

𝟑+

𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟕𝟔

𝟓+

𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟕𝟔

𝟕↔ 𝟏 = 𝟏 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆‼‼‼‼

𝒃)𝒇(𝒙) =𝑪

𝒈𝒙; 𝑹𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 → ∑𝒇(𝒙) = 𝟏 ↔

𝑪

𝒈𝟎+

𝑪

𝒈𝟏+

𝑪

𝒈𝟐+

𝑪

𝒈𝟑→ 𝑪 =

𝟕𝟐𝟗

𝟖𝟐𝟎

𝒄)𝒇(𝒙) =𝑿

𝑪; 𝑹𝒙 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 → ∑𝒇(𝒙) = 𝟏 ↔

𝟏

𝑪+𝟐

𝑪+𝟑

𝑪+𝟒

𝑪+𝟓

𝑪→ 𝑪 = 𝟏𝟓

𝑬(𝑿) =∑𝑿𝒇(𝒙) → 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂

𝝈𝟐 = ∑[𝑿 − 𝑬(𝒙)]²𝒇(𝒙) → 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂

𝝈 = √𝝈𝟐 → 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

EJEMPLO#233 Calcular la esperanza matemática, varianza, desviación estándar en las distribuciones de probabilidad.


DISTRIBUCIONES

DE

PROBABILIDADES


DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

La distribución de probabilidad para una VA discreta puede ser: a) Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún

fenómeno de interés. b) Una relación empírica de resultados y frecuencias relativas observadas. c) Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de

convicción del encargado de tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados. Sabemos que una VAC Continúa ó VAD Discontinúa es aquella en la que existe una distancia bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerables. Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real. Una distribución de probabilidad o modelo probabilístico es una distribución teórica que muestra que se distribuyan los resultados de un experimento. Los modelos probabilísticos se aplican a VAD (discretas) y VAC (continuas). Algunas que tienen aplicaciones estadísticas importantes y que se estudiaran son:

Discretas ⟹Bernoulli, Binominal, Geométrica, Pascal, Hipergeométrica.

Continuas ⟹ Uniforme, Normal, Gamma, Exponencial, Ji-cuadrado (chi-cuadrado), t de student, F de Fisher. Distribución de Probabilidad Uniforme.- La distribución de probabilidad uniforme es un ejemplo de una distribución de probabilidad continua. Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de VAC, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor y que resultan principalmente del proceso de medición: Ejemplo de VAC son:

a) La estatura de un grupo de personas b) El tiempo dedicado a estudiar c) La temperatura de una ciudad

Es una distribución en el intervalo [a,b] en la cual las posibilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mínimo de ”a” hasta el máximo de “b”.

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 → 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒃 − 𝒂

Dónde:

𝒂 = 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 𝒃 = 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏

𝒃 − 𝒂 = 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 =𝟏

𝒃 − 𝒂

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝑬(𝒙) = 𝝁 =𝒂 + 𝒃

𝟐 ; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 → 𝝈𝟐 =

(𝒃 − 𝒂)𝟐

𝟏𝟐 ; 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑬𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓 → 𝝈 = √𝝈𝟐

𝑷(𝑿𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝑿𝟐) =𝑿𝟐−𝑿𝟏

𝒃−𝒂→ 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒂𝒊𝒈𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔.

EJEMPLO#234 Sea 𝑿 el momento elegido al azar en que un estudiante recibe clases en un determinado día entre las siguientes horas:

7:00 – 8:00 – 9:00 – 10:00 – 11:00 – 12:00 – 13:00

a) Cuál es la función de densidad de la variable 𝑿? b) Elaborar un gráfico de distribuciones de probabilidades c) Calcular el valor medio esperado d) Calcular la desviación estándar e) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera media hora f) Si recibe clases de estadística inferencial de 10:00 a 12:15, calcular la probabilidad de recibir esta asignatura.

𝒂)𝒂 = 𝟕 ; 𝒃 = 𝟏𝟑 → 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 =𝟏

𝒃 − 𝒂=

𝟏

𝟏𝟑 − 𝟕=𝟏

𝟔= 𝟎,𝟏𝟔𝟔𝟕 ≅ 𝟏𝟔, 𝟔𝟕%

Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6=0,1667 de altura.

El área de cada rectángulo es:

𝑨 = 𝑩𝒂𝒔𝒆 ∗ 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟏 ∗ 𝟏

𝟔=𝟏

𝟔

El área total (rectángulo de base el intervalo 7-13 y altura

1/6=0,1667) representa a la suma de todas las

probabilidades, y es igual a 1.

𝑨 = 𝑩𝒂𝒔𝒆 ∗ 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = (𝟏𝟑 − 𝟕) ∗ 𝟏

𝟔= 𝟔 ∗

𝟏

𝟔= 𝟏

𝒄) 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐: 𝑬(𝑿) = 𝝁 =𝒂+𝒃

𝟐=𝟕+𝟏𝟑

𝟐=𝟐𝟎

𝟐= 𝟏𝟎

𝒅) 𝝈𝟐 =(𝒃−𝒂)𝟐

𝟏𝟐=(𝟏𝟑−𝟕)𝟐

𝟏𝟐=(𝟔)𝟐

𝟏𝟐=𝟑𝟔

𝟏𝟐= 𝟑 𝝈 = √𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐𝟎


e)Llegar en la primera media hora significa que llega a las 7:30. Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre las 7:00 y las 7:30 como: 7:30=7 horas+30 minutos, y por el porcentaje que representa 30 minutos de una hora es:

𝟑𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔

𝟔𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔= 𝟎,𝟓𝟎 → 𝟕: 𝟑𝟎 = 𝟕,𝟓𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔

Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre 7 y 7,50 (hay dos valores):

𝑷(𝑿𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝑿𝟐) =𝑿𝟐−𝑿𝟏

𝒃−𝒂=𝟕,𝟓𝟎−𝟕

𝟏𝟑−𝟕=𝟎,𝟓

𝟔= 𝟎,𝟎𝟖𝟑𝟑 ó 𝟖, 𝟑𝟑%

f)Se debe calcular la probabilidad entre las 10:00 y las 12:15 Como: 12:15 = 12 horas + 15 minutos, y el porcentaje que representa 15 minutos de una hora es:

𝟏𝟓

𝟔𝟎= 𝟎, 𝟐𝟓 → 𝟏𝟐: 𝟏𝟓 = 𝟏𝟐, 𝟐𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔

𝑷(𝑿𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝑿𝟐) =𝑿𝟐−𝑿𝟏

𝒃−𝒂=𝟏𝟐,𝟐𝟓−𝟏𝟎

𝟏𝟑−𝟕=𝟐,𝟐𝟓

𝟏𝟎= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓𝟎 ó 𝟑𝟕,𝟓𝟎%


EJEMPLO#235 Las ventas de combustible en una gasolinera tienen una media de 40000 litros por día y un mínimo de 30000 litros por día.

Supongamos que es una distribución uniforme es apropiada. a) Determine las ventas máximas diarias b) Qué porcentaje de días las ventas excederán de 34000 litros?

𝒂)𝝁 =𝒂+𝒃

𝟐 ↔ 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 =

𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎+𝒃

𝟐↔ 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟐) = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝒃 ↔ 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒃 ↔ 𝒃 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒃 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒂𝒓𝒊𝒂𝒔.

𝒃)𝑷(𝑿 > 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎) = (𝟑𝟒𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟏 −

𝟒𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟏 −

𝟒

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟖𝟎 ó 𝟖𝟎%

𝑷𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 % = 𝟎, 𝟖𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖𝟎%

EJEMPLO#236 Un obrero estima inicialmente que el tiempo en minutos de maquinado de una pieza se modela con una distribución uniforme (10,20).

Calcular la probabilidad de que una pieza sea maquinada en menos de 14,5 minutos.

𝒂 = 𝟏𝟎 ; 𝒃 = 𝟐𝟎 ⟹ 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒃 − 𝒂=

𝟏

𝟐𝟎 − 𝟏𝟎=𝟏

𝟏𝟎→ 𝒇(𝒙) =

𝟏

𝟏𝟎

𝒀 𝒔𝒖 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂: 𝑭(𝒙) =𝒙 − 𝒂

𝒃 − 𝒂⟹ 𝒇(𝒙) =

𝟐𝟎 − 𝒙

𝟐𝟎 − 𝟏𝟎=𝟐𝟎 − 𝒙

𝟏𝟎 ;

𝒙 − 𝒂 → 𝒙 − 𝟏𝟎𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒐 → 𝒚 ∗ (−𝟏) → 𝟐𝟎 − 𝒙

Que representa 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) =? 𝑷(𝒙 < 𝟏𝟒, 𝟓) =?

𝑭(𝟏𝟒, 𝟓) =𝟐𝟎 − 𝒙

𝟏𝟎=𝟐𝟎 − 𝟏𝟒, 𝟓

𝟏𝟎=𝟓,𝟓

𝟏𝟎= 𝟎, 𝟓𝟓 ó 𝟓𝟓%

EJEMPLO#237 La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una VA. 𝑿 (Expresada en diez miles de galones) con una función de

densidad de probabilidad como se indica abajo.

𝒇(𝒙) = 𝟏

𝟑; 𝒔𝒊 𝟎 > 𝑿 < 𝟑

𝟎; 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒍𝒖𝒈𝒂𝒓 𝒇(𝒙) =

𝟏

𝟑; 𝟎 > 𝒙 < 𝟑 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 (𝟎, 𝟑)

a) Calcular la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes (𝟎, 𝟖 < 𝒙 < 𝟏, 𝟐) b) Determine la desviación estándar de los galones bombeados para un mes determinado

a) 𝑷(𝟎, 𝟖) 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟎, 𝟖𝟎 𝒚 𝟏, 𝟐 𝒅𝒆 𝒇(𝒙)

La integral indefinida es: 𝒇(𝒙) = (𝟏

𝟑)𝒙 ;

𝟖𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟖𝟎 𝒚

𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟏, 𝟐

Y la probabilidad 𝑭(𝟏, 𝟐) − 𝑭(𝟎, 𝟖) = (𝟏

𝟑)𝟏,𝟐− (

𝟏

𝟑)𝟎,𝟖= (

𝟏

𝟑)𝟔/𝟓− (

𝟏

𝟑)𝟒/𝟓= 𝟎, 𝟏𝟑𝟑𝟑

b) 𝒂 = 𝟎𝒃 = 𝟑

⟹ 𝝁 = 𝑬(𝒙) =𝒂+𝒃

𝟐=𝟎+𝟑

𝟐= 𝟏,𝟓 𝒚 𝑽(𝒙) = 𝝈𝟐 =

(𝒃−𝒂)𝟐

𝟏𝟐=(𝟑−𝟎)𝟐

𝟏𝟐=

𝟗

𝟏𝟐= 𝟎, 𝟕𝟓

EJEMPLO#238 Un grupo de estudiantes de la carrera de contaduría pública de UAGRM desarrollan un programa en el laboratorio de

computación, donde ingresan desde las 7:00 am. Hasta las 12:00 pm. Calcular: a) La función de densidad. b) El valor esperado. c) La varianza. d) ¿Cuál es la probabilidad que el software se termine entre las 9:30 y las 11:15?

a) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒂 = 𝟕𝒂𝒎 𝒃 = 𝟏𝟐𝒑𝒎

𝒇(𝒙) =𝟏

𝒃 − 𝒂=

𝟏

𝟏𝟐 − 𝟕=𝟏

𝟓= 𝟎, 𝟐 → 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅

b) Valor Esperado

𝝁 =𝒂+𝒃

𝟐=𝟕+𝟏𝟐

𝟐=𝟏𝟗

𝟐= 𝟗,𝟓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂.

c) Varianza

𝝈𝟐 =(𝒃−𝒂)𝟐

𝟏𝟐=(𝟏𝟐−𝟕)𝟐

𝟏𝟐=𝟓𝟐

𝟏𝟐=𝟐𝟓

𝟏𝟐= 𝟐, 𝟎𝟖𝟑𝟑


d) 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟗: 𝟑𝟎 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝟏𝟏: 𝟏𝟓 𝟗: 𝟑𝟎 → 𝟑𝟎/𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟓 𝒉𝒓𝒔.→ 𝟗: 𝟑𝟎 = 𝟗, 𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝟏𝟏: 𝟏𝟓 → 𝟏𝟓/𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒉𝒓𝒔.→ 𝟏𝟏, 𝟏𝟓 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒂 = 𝟕 𝒃 = 𝟏𝟐 𝒄 = 𝟗, 𝟓 𝒅 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟓

𝑷(𝟗, 𝟓 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟏, 𝟐𝟓) =𝑫− 𝑪

𝑩 − 𝑨=𝟏𝟏, 𝟐𝟓 − 𝟗, 𝟓

𝟏𝟐 − 𝟕=𝟏, 𝟕𝟓

𝟓= 𝟎, 𝟑𝟓 ó 𝟑𝟓%

DISTRIBUCION DE BERNOULLI → Discreta Se denomina prueba o ensayo de Bernoulli a todo experimento aleatorio que consiste en efectuar una sola prueba, con sólo dos resultados posibles mutuamente excluyentes, generalmente llamados: éxito (E) y fracaso (F). Ejemplo: lanzar una moneda una sola vez. Elegir al azar un objeto fabricado con los resultados defectuosos o no defectuosos, etc.

La VA 𝑿 toma únicamente dos valores. Si es un éxito 𝒙 = 𝟏; si es un fracaso 𝑿 = 𝟎.

Si p es la probabilidad de éxito, 𝒑 = 𝑷(𝑿 = 𝟏),𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝟎 < 𝒑 < 𝟏

Si q es la probabilidad de fracaso, 𝒒 = 𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟏 − 𝒑, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝟎 < 𝒒 < 𝟏

La probabilidad de conseguir exactamente 𝑿 éxitos, está dada por:

X 0 1

f (x) q p También puede describirse por la siguiente ecuación: 𝒇(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑𝒙𝒒𝟏−𝒙 = 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙; 𝒙 = 𝟎, 𝟏 Donde, el parámetro “p” es la probabilidad de éxito y “q” es la probabilidad de fracaso (𝒒 = 𝟏 − 𝒑). La función de distribución acumulada (f.d.a) de Bernoulli es:

𝑭(𝒙) 𝟎 ; 𝒙 < 𝟎

𝒒; 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟏 ; 𝒙 ≥ 𝟏

𝒂) 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅

𝑷(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝑷𝒙. 𝒒𝟏−𝒙 → 𝒙 = 𝟎, 𝟏

𝑷(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝑷𝒙. (𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙 [𝒑 = 𝒑𝒓𝒐𝒃. 𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐 𝒒 = 𝒑𝒓𝒐𝒃.𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒒 = 𝟏 − 𝒑

] 𝒙 = 𝟎 𝒔𝒊 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝟏 𝒔𝒊 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐

𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅:𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐

𝒙 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 #𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔𝒑: 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 (𝒙)𝒒: 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 ()

;

𝒑 + 𝒒 = 𝟏 → 𝒒 = 𝟏 − 𝒑

𝒙 = 𝟏 𝒇(𝒙; 𝒑) = 𝒑

𝒙 = 𝟎 𝒇(𝒙; 𝒑) = 𝒒

𝒙 = 𝒂 𝒇(𝒙; 𝒑) = 𝟎 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐


𝒃)𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒚 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂

Si la VA 𝑿, se distribuye como Bernoulli con valor “𝒙” y parámetro “𝒑”

𝑿~ 𝒃𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 (𝒙;𝒑) 𝑿~𝑩(𝒑) ó 𝑿~ 𝑩(𝟏, 𝒑) → ~𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂, 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆. → 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒐 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 𝑬(𝒙) = 𝝁 = 𝒑

→ 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝑽(𝒙) = 𝒑(𝟏 − 𝒑) = 𝒑 ∗ 𝒒 ó 𝑽(𝒙) = 𝝈𝟐 = 𝒑 ∗ 𝒒 𝑫𝒐𝒔 𝒐𝒑𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔: 𝑷𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔 𝑺𝑰 ó 𝑵𝑶 ; 𝑳𝒂𝒏𝒛𝒂𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒅𝒂 𝑪𝑨𝑹𝑨 𝒐 𝑪𝑹𝑼𝒁

EJEMPLO#239 Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz.

Se trata de un solo experimento con dos resultados posibles:

El éxito (p) se considerara sacar cruz, valdrá 0,5

El fracaso (q) que no saliera cara, que vale (𝟏 − 𝒑) = 𝟏 − 𝟎,𝟓 = 𝟎, 𝟓𝟎 La VA 𝑿 medirá “número de cruces que salen en un lanzamiento” y solo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz)

𝑿~𝑩(𝒑) → 𝑿~𝑩(𝟎, 𝟓𝟎) 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒄𝒓𝒖𝒛 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝑿 = 𝟎 → 𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝒇(𝟎) = (𝟎, 𝟓𝟎)𝟎(𝟎, 𝟓)𝟏−𝟎 = (𝟎, 𝟓𝟎)𝟎(𝟎,𝟓𝟎)𝟏 = 𝟎, 𝟓𝟎

𝑿 = 𝟏 → 𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝒇(𝟏) = (𝟎, 𝟓𝟎)𝟏(𝟎, 𝟓𝟎)𝟏−𝟏 = (𝟎, 𝟓𝟎)𝟏(𝟎, 𝟓𝟎)𝟎 = 𝟎,𝟓𝟎 = 𝟏 ; 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝟎, 𝟓𝟎

EJEMPLO#240 Lanzar un dado, salir un 6.

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados.

𝑺 = Ω = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔

Se considera sacar un 6 éxito 𝑷 =𝟏

𝟔 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐

Fracaso 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟏 −𝟏

𝟔=𝟓

𝟔 𝒒 =

𝟓

𝟔 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐

La VA 𝑿 medirá “número de veces que sale un 6” y solo existe dos valores posibles: 0(que no salga 6) y 1(que salga 6)

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒑 =𝟏

𝟔

𝑿~ 𝑩(𝒑)

𝑿~𝑩(𝟏

𝟔)

a) Éxito: La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que 𝒙 sea igual a 1 (𝒙 = 𝟏)

𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝒇(𝟏) = (𝟏

𝟔)𝟏

∗ (𝟓

𝟔)

𝟏−𝟏

=𝟏

𝟔≅ 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 ó 𝟏𝟔,𝟔𝟕%

b) Fracaso: La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que 𝒙 sea igual a cero

(𝒙 = 𝟎)

𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝒇(𝟎) = (𝟏

𝟔)𝟎

∗ (𝟓

𝟔)𝟏−𝟎

=𝟓

𝟔= 𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟑 ó 𝟖𝟑,𝟑𝟑%

EJEMPLO#240 Lanzar un dado, salir un 6.

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados.

𝑺 = Ω = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔

Se considera sacar un 6 éxito 𝑷 =𝟏

𝟔 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐

Fracaso 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟏 −𝟏

𝟔=𝟓

𝟔 𝒒 =

𝟓

𝟔 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐

La VA 𝑿 medirá “número de veces que sale un 6” y solo existe dos valores posibles: 0(que no salga 6) y 1(que salga 6)

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒑 =𝟏

𝟔

𝑿~ 𝑩(𝒑)

𝑿~𝑩(𝟏

𝟔)

a) Éxito: La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que 𝒙 sea igual a 1 (𝒙 = 𝟏)

𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝒇(𝟏) = (𝟏

𝟔)𝟏

∗ (𝟓

𝟔)

𝟏−𝟏

=𝟏

𝟔≅ 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 ó 𝟏𝟔,𝟔𝟕%

b) Fracaso: La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que 𝒙 sea igual a cero

(𝒙 = 𝟎)

𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝒇(𝟎) = (𝟏

𝟔)𝟎

∗ (𝟓

𝟔)𝟏−𝟎

=𝟓

𝟔= 𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟑 ó 𝟖𝟑,𝟑𝟑%


DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Definición: Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria. La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se

utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por 𝒏 observaciones. Propiedades:

a) La muestra se compone de un número fijo de observaciones 𝒏

b) Cada observación se clasifica en una de dos categorías, 𝒎𝒖𝒕𝒖𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒙𝒄𝒍𝒖𝒚𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre sello, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso.

c)La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, 𝒑, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la

probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 𝟏 − 𝒑, es constante en todas las observaciones.

d) La variable aleatoria binomial tiene un rango de 𝟎 𝒂 𝒏. Formula:

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿) =

𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙⟹𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆:

𝒑(𝑿) = 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑿 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔,𝒅𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒏 𝒚 𝒑.𝒏 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔. 𝒑 = 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔. 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔.

𝑿 = 𝒙 → 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂

(𝑿 = 𝒙 = 𝟎,𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕,… . . , 𝒏)

Distribución binomial es cualquier experimento formado por una serie de “𝒏” ensayos repetitivos tales que: a) Los ensayos son independientes, de modo que el resultado en cualquier ensayo particular no influye en el resultado de cualquier

otro ensayo. b) Cada ensayo tiene dos resultados posibles denominados “éxito” y “fracaso”.

c) La probabilidad de éxito de cada ensayo, se denota por “𝒑”, permanece constante.

d) El experimento consta de una secuencia de 𝒏 experimentos más pequeños llamados ensayos, donde 𝒏 se fija antes del experimento.

Las probabilidades se calcula a través de la siguiente formula:

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙!(𝒏−𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙 Las variables pueden tomar los valores 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙) = 𝒑(𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) = 𝑪𝒙𝒏 ∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙 = 𝒏𝑪𝒙 ∗ 𝒑

𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙 =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙

𝒄) 𝑪𝒙𝒏 = (

𝒏𝒙) =

𝒏!

𝒙!(𝒏−𝒙)! Número de elementos, número de estos eventos elementales.

𝒅) 𝒑(𝑿 = 𝒙) = (𝒏𝒙) ∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙 La probabilidad de lograr “𝒙” éxitos en “𝒏” pruebas de Bernoulli, donde 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏

𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍(𝒏, 𝒑) = 𝑩(𝒏,𝒑) =? 𝒔𝒊 𝒏 = 𝟏 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒔𝒆𝒓á 𝑩(𝟏,𝒑) =? Distribución Binomial Acumulada

𝑭(𝑿) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) =

𝟎 𝒙 < 𝟎

∑(𝒏𝒙)𝒑𝒙𝒒𝒏−𝒙 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔,…𝒏.

𝒙

𝒙=𝟎

𝟏 𝒙 ≥ 𝒏

𝑭(𝑿) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) =

𝟎 𝒙 < 𝟎

∑(𝒏𝒙)𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔,…𝒏.

𝒙

𝒙=𝟎

𝟏 𝒙 ≥ 𝒏

Otra forma:

𝑭(𝑿) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙 ∖ 𝑩;𝒏, 𝒑) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) =∑(𝒏𝒙)𝒑𝒙𝒒𝒏−𝒙

𝒙

𝒊=𝟎


𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂: 𝑩(𝒙; 𝒏, 𝒑) = (𝒏𝒙)𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 𝒙 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, … , 𝒏.

𝟎 𝒅𝒆 𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

La media, esperanza:

𝝁𝒙 = 𝑬(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑

La varianza

𝝈𝒙𝟐 = 𝑽(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒

Desviación típica, estándar

𝝈 = √𝒏 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒 = √𝒏 ∗ 𝒑 ∗ (𝟏 − 𝒑) = √𝝈𝒙𝟐

EJEMPLO#241 Después de una auditoría externa en una empresa financiera, se determinó que el 30% de sus créditos están en mora. Si el auditor

interno toma una muestra aleatoria de cinco de estas cuentas, determine la probabilidad de que exactamente dos créditos estén en mora.

SOLUCIÓN: Datos

𝒑 = 𝟑𝟎% = 𝟎,𝟑𝟎 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟕𝟎% = 𝟎, 𝟕𝟎 𝒏 = 𝟓 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒙 = 𝟐 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 (𝒑 + 𝒒) = 𝟏𝟎𝟎% = 𝟏

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎) =

𝟓!

𝟐! (𝟓 − 𝟐)!∗ (𝟎,𝟑)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟕)𝟓−𝟐

𝒑(𝑿 = 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎) =𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐∗𝟗

𝟏𝟎𝟎∗𝟑𝟒𝟑

𝟏𝟎𝟎𝟎=𝟑𝟕𝟎𝟒𝟒𝟎

𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎=𝟑𝟎𝟖𝟕

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟑𝟎𝟖𝟕 = 𝟑𝟎, 𝟖𝟕% ≅ 𝟑𝟏%

EJEMPLO#242 Supongamos que la TV audiencia del programa “Bailando por un sueño” constituye el 30% del total de la TV audiencia. Esto

es, el programa tiene una participación del mercado del 30%. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente un televidente en una muestra aleatoria (encuesta telefónica aleatoria) de 5 televidentes

estén viendo el programa bailando por un sueño. b) Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de aquellos televidentes que se llaman estén viendo el programa de bailando por un

sueño. c) Determinar la media, la varianza y la desviación típica.

SOLUCIÓN: a) Datos

𝒑 = 𝟑𝟎% = 𝟎,𝟑𝟎 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟕𝟎% = 𝟎, 𝟕𝟎 𝒏 = 𝟓 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒙 = 𝟏 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎) =

𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (𝟎,𝟑)𝟏 ∗ (𝟎, 𝟕)𝟓−𝟏

𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎,𝟑𝟎) =𝟏𝟐𝟎

𝟐𝟒∗𝟑

𝟏𝟎∗𝟐𝟒𝟎𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎=𝟖𝟔𝟒𝟑𝟔𝟎

𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎=𝟕𝟐𝟎𝟑

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟑𝟔𝟎𝟏𝟓 = 𝟑𝟔, 𝟎𝟏𝟓% ≅ 𝟑𝟔%

b) Datos

𝒑 = 𝟑𝟎% = 𝟎,𝟑𝟎 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟕𝟎% = 𝟎, 𝟕𝟎 𝒏 = 𝟓 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒙 ≥ 𝟑, 𝟒 𝒚 𝟓 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

𝒑(𝒎á𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅) = 𝒑(𝑿 ≥ 𝟑) = 𝒑(𝑿 = 𝟑 ó 𝟒 ó 𝟓 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔) = 𝒑(𝑿 = 𝟑) + 𝒑(𝑿 = 𝟒) + 𝒑(𝑿 = 𝟓) ⟹

𝒑(𝑿 ≥ 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎,𝟕𝟎) =𝟓!

𝟑! (𝟓 − 𝟑)!∗ (𝟎, 𝟑)𝟑 ∗ (𝟎, 𝟕)𝟓−𝟑 +

𝟓!

𝟒! (𝟓 − 𝟒)!∗ (𝟎, 𝟑)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟕)𝟓−𝟒 +

𝟓!

𝟓! (𝟓 − 𝟓)!∗ (𝟎, 𝟑)𝟓 ∗ (𝟎,𝟕)𝟓−𝟓

𝒑(𝑿 ≥ 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎,𝟕𝟎) =𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐∗𝟐𝟕

𝟏𝟎𝟎𝟎∗𝟒𝟗

𝟏𝟎𝟎+𝟏𝟐𝟎

𝟐𝟒∗𝟖𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟕

𝟏𝟎+𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐𝟎∗𝟐𝟒𝟑

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗ 𝟏⟹

𝒑(𝑿 ≥ 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎,𝟕𝟎) =𝟏𝟓𝟖𝟕𝟔𝟎

𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟖𝟎𝟒𝟎

𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎+

𝟐𝟗𝟏𝟔𝟎

𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎=𝟒𝟎𝟕𝟕

𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟏𝟔𝟑𝟎𝟖 = 𝟏𝟔,𝟑𝟎𝟖% ≅ 𝟏𝟔%

c) Encontrando la media, varianza y desviación estándar.

𝝁𝒙 = 𝒙 = 𝑬(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑 = 𝟓(𝟎,𝟑𝟎) = 𝟏,𝟓 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ≅ 𝟏 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆,𝒂𝒄𝒂 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒐𝒏 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

𝝈𝒙𝟐 = 𝑽(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒 = 𝟓(𝟎, 𝟑𝟎)(𝟎, 𝟕𝟎) = 𝟏, 𝟎𝟓 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ≅ 𝟏 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆.

𝝈 = √𝒏 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒 = √𝟓(𝟎, 𝟑𝟎)(𝟎, 𝟕𝟎) = √𝟏, 𝟎𝟓 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟒𝟕 ≅ 𝟏 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆.

EJEMPLO#243 La probabilidad de que un estudiante que ingresa a la Universidad Autónoma Gabriel René Moreno se gradué es de 0,40.

Encuentre la probabilidad de que un total de 5 estudiantes. a) Ninguno b)1 c) al menos 1 d) todos se gradúen.

SOLUCIÓN: a) Datos

𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎% 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟔𝟎% 𝒏 = 𝟓 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒙 = 𝟎 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) =

𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟒𝟎)𝟎 ∗ (𝟎, 𝟔𝟎)𝟓−𝟎


𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎.𝟒) =𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐𝟎∗ (𝟏) ∗ (

𝟐𝟒𝟑

𝟑𝟏𝟐𝟓) =

𝟐𝟗𝟏𝟔𝟎

𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎=𝟐𝟒𝟑

𝟑𝟏𝟐𝟓= 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟔 = 𝟕, 𝟕𝟕𝟔% ≅ 𝟖%

b) Datos

𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎% 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟔𝟎% 𝒏 = 𝟓 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒙 = 𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) =

𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (𝟎, 𝟒𝟎)𝟏 ∗ (𝟎, 𝟔𝟎)𝟓−𝟏

𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎.𝟒) =𝟏𝟐𝟎

𝟐𝟒∗ (𝟐

𝟓) ∗ (

𝟖𝟏

𝟔𝟐𝟓) =

𝟏𝟗𝟒𝟒𝟎

𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎=𝟏𝟔𝟐

𝟔𝟐𝟓= 𝟎, 𝟐𝟓𝟗𝟐 = 𝟐𝟓, 𝟗𝟐% ≅ 𝟐𝟔%

c) Datos

𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎% 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟔𝟎% 𝒏 = 𝟓 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒙 ≥ 𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆; 𝒙 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 𝒚 𝟓.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓)

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎.𝟒) =𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (𝟎, 𝟒)𝟏 ∗ (𝟎,𝟔)𝟓−𝟏 +

𝟓!

𝟐! (𝟓 − 𝟐)!∗ (𝟎, 𝟒)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟔)𝟓−𝟐 +

𝟓!

𝟑! (𝟓 − 𝟑)!∗ (𝟎, 𝟒)𝟑 ∗ (𝟎, 𝟔)𝟓−𝟑 +

𝟓!

𝟒! (𝟓 − 𝟒)!∗ (𝟎, 𝟒)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟔)𝟓−𝟒 +

𝟓!

𝟓! (𝟓 − 𝟓)!∗ (𝟎, 𝟒)𝟓 ∗ (𝟎, 𝟔)𝟓−𝟓⟹

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) =𝟏𝟐𝟎

𝟐𝟒∗𝟐

𝟓∗𝟖𝟏

𝟔𝟐𝟓+𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐∗𝟒

𝟐𝟓∗𝟐𝟕

𝟏𝟐𝟓+𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐∗𝟖

𝟏𝟐𝟓∗𝟗

𝟐𝟓+𝟏𝟐𝟎

𝟐𝟒∗𝟏𝟔

𝟔𝟐𝟓∗𝟑

𝟓+𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐𝟎∗𝟑𝟐

𝟑𝟏𝟐𝟓∗ 𝟏 ⟹

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) =𝟏𝟗𝟒𝟒𝟎

𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎+𝟏𝟐𝟗𝟔𝟎

𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎+𝟖𝟔𝟒𝟎

𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎+𝟓𝟕𝟔𝟎

𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎+𝟑𝟖𝟒𝟎

𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎=𝟏𝟔𝟐

𝟔𝟐𝟓+𝟐𝟏𝟔

𝟔𝟐𝟓+𝟏𝟒𝟒

𝟔𝟐𝟓+𝟒𝟖

𝟔𝟐𝟓+𝟑𝟐

𝟑𝟏𝟐𝟓=𝟐𝟖𝟖𝟐

𝟑𝟏𝟐𝟓≅ 𝟗𝟐%

𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂:𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) = 𝟏 − 𝑵𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒐 = 𝟏 −𝟐𝟒𝟑

𝟑𝟏𝟐𝟓= 𝟐𝟖𝟖𝟐

𝟑𝟏𝟐𝟓= 𝟎, 𝟗𝟐𝟐𝟐𝟒 = 𝟗𝟐, 𝟐𝟐𝟒% ≅ 𝟗𝟐%

d) Datos

𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎% 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟔𝟎% 𝒏 = 𝟓 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒙 = 𝟓 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔(𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔).

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 = 𝟓 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) =

𝟓!

𝟓! (𝟓− 𝟓)!∗ (𝟎,𝟒)𝟓 ∗ (𝟎,𝟔)𝟓−𝟓 =

𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐𝟎∗𝟑𝟐

𝟑𝟏𝟐𝟓∗ 𝟏 ⟹

𝒑(𝑿 = 𝟓 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 = 𝟎. 𝟒) =𝟑𝟖𝟒𝟎

𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎=𝟑𝟐

𝟑𝟏𝟐𝟓= 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟐𝟒 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟒% ≅ 𝟏%

EJEMPLO#244 Un examen de Estadística Inferencial con el docente Julio Vargas Herbas consta de 10 preguntas a las que

hay que contestar SI o NO. Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y en consecuencia, contestan al azar, hallar. a) Probabilidad de obtener cinco aciertos. b) Probabilidad de obtener algún acierto. c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos para poder aprobar la materia de estadística inferencial. SOLUCIÓN: Es una distribución binomial, la persona solo puede acertar o fallar la pregunta dada.

𝑺𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐 𝑨(𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐) = 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒕𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂 → 𝒑(𝑨) = 𝟎, 𝟓𝟎 𝑺𝑰 𝑺𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐 (𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐) = 𝒏𝒐 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂 → 𝒑() = 𝟎, 𝟓𝟎 𝑵𝑶

a) Datos 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝑩(𝟏𝟎;𝟎, 𝟓𝟎) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟓 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐𝒔 → 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟓 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐𝒔 𝒙 = 𝟓

𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎% 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎% 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒙 = 𝟓 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐𝒔.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 = 𝟓 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 = 𝟎, 𝟓) =

𝟏𝟎!

𝟓! (𝟏𝟎− 𝟓)!∗ (𝟎,𝟓)𝟓 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟓 =

=𝟏𝟎!

𝟓! (𝟓)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟓 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟓 =

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟎(𝟏𝟐𝟎)∗𝟏

𝟑𝟐∗𝟏

𝟑𝟐=𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟕𝟒𝟓𝟔𝟎𝟎=𝟔𝟑

𝟐𝟓𝟔= 𝟎, 𝟐𝟒𝟔𝟏 = 𝟐𝟒, 𝟔𝟏% ≅ 𝟐𝟓%

b) Datos 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝑩(𝟏𝟎;𝟎, 𝟓𝟎) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒂𝒍𝒈𝒖𝒏 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 → 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒂𝒍𝒈𝒖𝒏 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒙 ≥ 𝟏

𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎% 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎% 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒙 ≥ 𝟏 ; 𝒙 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗 𝒚 𝟏𝟎 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐𝒔.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 = 𝟎, 𝟓) ⟹

𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟕) + 𝒑(𝒙 = 𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟗) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟎)

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝟏𝟎; 𝟎, 𝟓𝟎) =𝟏𝟎!

𝟏! (𝟏𝟎 − 𝟏)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟏 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟏 +

𝟏𝟎!

𝟐! (𝟏𝟎 − 𝟐)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟐 +

𝟏𝟎!

𝟑! (𝟏𝟎 − 𝟑)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟑 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟑 +

+𝟏𝟎!

𝟒! (𝟏𝟎− 𝟒)!∗ (𝟎,𝟓)𝟒 ∗ (𝟎,𝟓)𝟏𝟎−𝟒 +

𝟏𝟎!

𝟓! (𝟏𝟎 − 𝟓)!∗ (𝟎,𝟓)𝟓 ∗ (𝟎,𝟓)𝟏𝟎−𝟓 +

𝟏𝟎!

𝟔! (𝟏𝟎− 𝟔)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟔 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟔 +

𝟏𝟎!

𝟕! (𝟏𝟎− 𝟕)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟕 ∗ (𝟎,𝟓)𝟏𝟎−𝟕 +

+𝟏𝟎!

𝟖! (𝟏𝟎 − 𝟖)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟖 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟖 +

𝟏𝟎!

𝟗! (𝟏𝟎 − 𝟗)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟗 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟗 +

𝟏𝟎!

𝟏𝟎! (𝟏𝟎 − 𝟏𝟎)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟏𝟎 =

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝟏𝟎; 𝟎, 𝟓𝟎) =𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎∗𝟏

𝟐∗𝟏

𝟓𝟏𝟐+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟖𝟎𝟔𝟒𝟎∗𝟏

𝟒∗𝟏

𝟐𝟓𝟔+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎∗𝟏

𝟖∗𝟏

𝟏𝟐𝟖+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟐𝟖𝟎∗𝟏

𝟏𝟔∗𝟏

𝟔𝟒+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎∗𝟏

𝟑𝟐∗𝟏

𝟑𝟐+


+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟐𝟖𝟎∗𝟏

𝟔𝟒∗𝟏

𝟏𝟔+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎∗𝟏

𝟏𝟐𝟖∗𝟏

𝟖+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟖𝟎𝟔𝟒𝟎∗𝟏

𝟐𝟓𝟔∗𝟏

𝟒+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎∗𝟏

𝟓𝟏𝟐∗𝟏

𝟐+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎∗𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒∗𝟏

𝟏=

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝟏𝟎; 𝟎, 𝟓𝟎) =𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟕𝟏𝟓𝟖𝟗𝟏𝟐𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟖𝟐𝟓𝟕𝟓𝟑𝟔𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟗𝟔𝟓𝟕𝟔𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟔𝟗𝟒𝟕𝟐𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟕𝟒𝟓𝟔𝟎𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟔𝟗𝟒𝟕𝟐𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟗𝟔𝟓𝟕𝟔𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟖𝟐𝟓𝟕𝟓𝟑𝟔𝟎+

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟕𝟏𝟓𝟖𝟗𝟏𝟐𝟎+

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟕𝟏𝟓𝟖𝟗𝟏𝟐𝟎𝟎=𝟏𝟎𝟐𝟑

𝟏𝟎𝟐𝟒= 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟎 = 𝟗𝟗,𝟗𝟎% = 𝟗𝟗,𝟗% ≅ 𝟏𝟎𝟎%

Al resolverlo este inciso b) hacerlo ha sido muy largo, pero podemos hacerlo para que sea corto, aplicando o lo realizamos por sucesos contrarios: el suceso “obtener algún acierto” es el suceso contrario a “no obtener ningún acierto”

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝟏𝟎; 𝟎, 𝟓𝟎) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎) → 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒏𝒐 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒑(𝒙 = 𝟎).

𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝟏𝟎; 𝟎, 𝟓𝟎) =𝟏𝟎!

𝟎! (𝟏𝟎 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟎 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟎 =

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎∗𝟏

𝟏∗𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒=

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟕𝟏𝟓𝟖𝟗𝟏𝟐𝟎𝟎=

𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟏% ≅ 𝟎%

𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝟏𝟎; 𝟎, 𝟓𝟎) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟏 −𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒=𝟏𝟎𝟐𝟑

𝟏𝟎𝟐𝟒= 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟎 = 𝟗𝟗, 𝟗𝟎% = 𝟗𝟗, 𝟗% ≅ 𝟏𝟎𝟎%

c) Datos Acertar 5 o más preguntas: 𝒙 ≥ 𝟓 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔; 𝒙 = 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗 𝒚 𝟏𝟎 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔. 𝒑(𝒙 ≥ 𝟓) = 𝒑(𝒙 = 𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟕) + 𝒑(𝒙 = 𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟗) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟎)

𝒑(𝒙 ≥ 𝟓) =𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎∗𝟏

𝟑𝟐∗𝟏

𝟑𝟐+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟐𝟖𝟎∗𝟏

𝟔𝟒∗𝟏

𝟏𝟔+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎∗𝟏

𝟏𝟐𝟖∗𝟏

𝟖+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟖𝟎𝟔𝟒𝟎∗𝟏

𝟐𝟓𝟔∗𝟏

𝟒+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎∗𝟏

𝟓𝟏𝟐∗𝟏

𝟐+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎∗𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒∗𝟏

𝟏

𝒑(𝒙 ≥ 𝟓) =𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟕𝟒𝟓𝟔𝟎𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟔𝟗𝟒𝟕𝟐𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟗𝟔𝟓𝟕𝟔𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟖𝟐𝟓𝟕𝟓𝟑𝟔𝟎+𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟕𝟏𝟓𝟖𝟗𝟏𝟐𝟎+

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟕𝟏𝟓𝟖𝟗𝟏𝟐𝟎𝟎=𝟑𝟏𝟗

𝟓𝟏𝟐= 𝟎, 𝟔𝟐𝟑𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟑% ≅ 𝟔𝟐%

EJEMPLO#245 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 = 𝟔 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐𝒔 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒔𝒂𝒚𝒐𝒔; 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐 "salga cara" ; 𝒒 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 = 𝟔 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 = 𝟎, 𝟓) =

𝟏𝟎!

𝟔! (𝟏𝟎 − 𝟔)!∗ (𝟎, 𝟓)𝟔 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟔 =

=𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟐𝟖𝟎∗𝟏

𝟔𝟒∗𝟏

𝟏𝟔=𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟗𝟕𝟏𝟐𝟎𝟎=𝟏𝟎𝟓

𝟓𝟏𝟐= 𝟎,𝟐𝟎𝟓𝟏 = 𝟐𝟎,𝟓𝟏% ≅ 𝟐𝟏% 𝑷𝒓𝒐𝒃.𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒂𝒍 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒓 𝟏𝟎 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒅𝒂.

EJEMPLO#246 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número tres al lanzar un dado ocho veces?

SOLUCIÓN: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 = 𝟒 𝒏 = 𝟖 𝒑 =𝟏

𝟔 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟏−

𝟏

𝟔=𝟓

𝟔

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 = 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟖, 𝒑 =

𝟏

𝟔) =

𝟖!

𝟒! (𝟖 − 𝟒)!∗ (𝟏

𝟔)𝟒

∗ (𝟓

𝟔)𝟖−𝟒

=𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎

𝟐𝟒(𝟒)!∗ (𝟏

𝟔)𝟒

∗ (𝟓

𝟔)𝟒

=

=𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎

𝟓𝟕𝟔∗𝟏

𝟏𝟐𝟗𝟔∗𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟐𝟗𝟔=𝟐𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟗𝟔𝟕𝟒𝟓𝟖𝟖𝟏𝟔= 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟎 = 𝟐, 𝟔𝟎% = 𝟐, 𝟔% ≅ 𝟑%

EJEMPLO#247 Un jugador del tenis boliviano tiene la probabilidad de ganar una partida o un set es de 0,25. Si juega cuatro partidos o sets,

calcular la probabilidad de que gane más de la mitad de los partidos o sets.

SOLUCIÓN: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐𝒔 = 𝟑 𝒚 𝟒 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟓

𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 𝑩(𝟒;𝟎, 𝟐𝟓) 𝒑(𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 "𝒙" 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔) = 𝒑(𝒙 > 𝟐) =? 𝒙 = 𝟑, 𝟒.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 > 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟒,𝒑 = 𝟎,𝟐𝟓) =

𝟒!

𝟑! (𝟒 − 𝟑)!∗ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟑 ∗ (𝟎,𝟕𝟓)𝟒−𝟑 +

𝟒!

𝟒! (𝟒 − 𝟒)!∗ (𝟎,𝟐𝟓)𝟒 ∗ (𝟎,𝟕𝟓)𝟒−𝟒

=𝟐𝟒

𝟔∗𝟏

𝟔𝟒∗𝟑

𝟒+𝟐𝟒

𝟐𝟒∗𝟏

𝟐𝟓𝟔∗ 𝟏 =

𝟕𝟐

𝟏𝟓𝟑𝟔+𝟐𝟒

𝟔𝟏𝟒𝟒=𝟏𝟑

𝟐𝟓𝟔= 𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟖 = 𝟓, 𝟎𝟖% ≅ 𝟓%

EJEMPLO#248 Entel móvil, estima que la probabilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un canal de transmisión digital es

de 0,10. Además supóngase que las transmisiones son unas independientes de otras. Si se analizan 4 de estos bits transmitidos, determine la probabilidad de obtener: a) exactamente un solo bit esté dañado. b) al menos 2 bits estén dañados. c) menos de 3 bits estén dañados d) ningún bit este dañado e) todos los bits sean recibidos correctamente.

SOLUCIÓN: 𝒂) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 = 𝟏 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎,𝟏𝟎 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟏− 𝟎,𝟏𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎

𝒑 = 𝒑𝒓𝒐𝒃. 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒊𝒃𝒊𝒓 𝒆𝒓𝒓ó𝒏𝒆𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒃𝒊𝒕. 𝒒 = 𝒑𝒓𝒐𝒃. 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒊𝒃𝒊𝒓 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒃𝒊𝒕. 𝒏 = 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟒,𝒑 = 𝟎,𝟏𝟎) =

𝟒!

𝟏! (𝟒 − 𝟏)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟏 ∗ (𝟎, 𝟗)𝟒−𝟏 =

𝟐𝟒

𝟔∗𝟏

𝟏𝟎∗𝟕𝟐𝟗

𝟏𝟎𝟎𝟎=𝟏𝟕𝟒𝟗𝟔

𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎=

𝟏𝟕𝟒𝟗𝟔

𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎=𝟕𝟐𝟗

𝟐𝟓𝟎𝟎= 𝟎,𝟐𝟗𝟏𝟔 = 𝟐𝟗,𝟏𝟔% ≅ 𝟐𝟗%

𝒃) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 ≥ 𝟐 → 𝒙 = 𝟐,𝟑, 𝟒. 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎,𝟏𝟎 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟏− 𝟎,𝟏𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 ≥ 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟒,𝒑 = 𝟎,𝟏𝟎) = 𝒑(𝒙 = 𝟐)+ 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) =

𝟒!

𝟐! (𝟒 − 𝟐)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟐 ∗ (𝟎,𝟗)𝟒−𝟐 +

𝟒!

𝟑! (𝟒 − 𝟑)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟑 ∗ (𝟎,𝟗)𝟒−𝟑 +

𝟒!

𝟒! (𝟒 − 𝟒)!∗ (𝟎,𝟏)𝟒 ∗ (𝟎,𝟗)𝟒−𝟒 =

𝟐𝟒𝟑

𝟓𝟎𝟎𝟎+

𝟗

𝟐𝟓𝟎𝟎+

𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎=𝟓𝟐𝟑

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟑 = 𝟓,𝟐𝟑% ≅ 𝟓%

𝒄) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 < 𝟑. 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒒 = 𝟏 −𝒑 = 𝟏−𝟎,𝟏𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎 𝒑(𝒙 < 𝟑) =?

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 < 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟒,𝒑 = 𝟎,𝟏𝟎) = 𝒑(𝒙 = 𝟎)+ 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) =

𝟒!

𝟎! (𝟒 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟎 ∗ (𝟎,𝟗)𝟒−𝟎 +


𝟒!

𝟏! (𝟒 − 𝟏)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟏 ∗ (𝟎,𝟗)𝟒−𝟏 +

𝟒!

𝟐! (𝟒 − 𝟐)!∗ (𝟎,𝟏)𝟐 ∗ (𝟎,𝟗)𝟒−𝟐 =

𝟔𝟓𝟔𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟕𝟐𝟗

𝟐𝟓𝟎𝟎+𝟐𝟒𝟑

𝟓𝟎𝟎𝟎=𝟗𝟗𝟔𝟑

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟗𝟗𝟔𝟑 = 𝟗𝟗,𝟔𝟑% ≅ 𝟏𝟎𝟎%

𝒅) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 = 𝟎. 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒒 = 𝟏 − 𝒑 = 𝟏− 𝟎,𝟏𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎 𝒑(𝒙 = 𝟎) =?

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟒,𝒑 = 𝟎,𝟏𝟎) =

𝟒!

𝟎! (𝟒 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟎 ∗ (𝟎, 𝟗)𝟒−𝟎 =

𝟔𝟓𝟔𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟔𝟓,𝟔𝟏% ≅ 𝟔𝟔%

𝒆) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 = 𝟒. 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎, 𝟗𝟎 𝒒 = 𝟏− 𝒑 = 𝟏−𝟎,𝟗𝟎 = 𝟎,𝟏𝟎 𝒑(𝒙 = 𝟒) =?

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟒,𝒑 = 𝟎,𝟗𝟎) =

𝟒!

𝟒! (𝟒 − 𝟒)!∗ (𝟎, 𝟗)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟏)𝟒−𝟒 =

𝟔𝟓𝟔𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟔𝟓,𝟔𝟏% ≅ 𝟔𝟔%

EJEMPLO#249 De datos pasados se ha estimado que una línea de producción, produce artículos defectuosos a una tasa de 10%. Cada día

se selecciona e inspeccionan de una línea de cinco artículos al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el 60% o menos de la muestra estén defectuosas? b) ¿Cuál es el numero esperado de artículos semanales defectuosos? c) ¿Cuál es la variación esperada de muestras defectuosas alrededor del numero esperado de partes defectuosas? d) Cual es la desviación estándar de muestras defectuosas?

SOLUCIÓN: 𝒂) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒙 = 𝟓(𝟎,𝟔𝟎) = 𝟑 𝒏 = 𝟓 𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟎(𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔) 𝒒 = 𝟏 −𝒑 = 𝟏−𝟎,𝟏𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎 𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) =?

𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) = 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) =𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟎 ∗ (𝟎, 𝟗)𝟓−𝟎 +

𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟏 ∗ (𝟎,𝟗)𝟓−𝟏 +

𝟓!

𝟐! (𝟓 − 𝟐)!∗ (𝟎, 𝟏)𝟐 ∗ (𝟎,𝟗)𝟓−𝟐 +

𝟓!

𝟑! (𝟓 − 𝟑)!∗ (𝟎,𝟏)𝟑 ∗ (𝟎,𝟗)𝟓−𝟑 =

𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟓𝟔𝟏

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟕𝟐𝟗

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎+

𝟖𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟓 = 𝟗𝟗,𝟗𝟓% = 𝟏𝟎𝟎%

𝒃) = 𝝁𝒙 = 𝑬(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑 = 𝟓(𝟎, 𝟏𝟎) = 𝟎, 𝟓 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔 ≅ 𝟏 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒐

𝒄) 𝝈𝒙𝟐 = 𝑽(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒 = 𝒏 ∗ 𝒑 ∗ (𝟏 − 𝒑) = 𝟓(𝟎, 𝟏𝟎)(𝟎, 𝟗𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟓 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔.

𝒅) 𝝈 = √𝒏 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒 = √𝟓(𝟎, 𝟏𝟎)(𝟎, 𝟗𝟎) = √𝟎, 𝟒𝟓 = 𝟎, 𝟔𝟕𝟎𝟖 ≅ 𝟏 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒐.

EJEMPLO#250 Un pedido por correo a una residencia espera una tasa de 20% de respuestas de circulares enviadas por correo a los

hogares. ¿Qué tipo de respuesta se esperan de una prueba de correo de 20 hogares seleccionados al azar? a) ¿Cuántas respuestas se esperan de la prueba de correos? b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una respuesta de 20 envíos por correo? SOLUCION:

𝒂)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎 𝒒 = 𝟎,𝟖𝟎 𝒏 = 𝟐𝟎 𝒉𝒐𝒈𝒂𝒓𝒆𝒔

𝝁𝒙 = = 𝑬(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑 = 𝟐𝟎(𝟎, 𝟐𝟎) = 𝟒 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔. 𝒂𝒔í, 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 𝟒 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝟐𝟎 𝒆𝒏𝒗𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒐. 𝒃)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟖𝟎 𝒏 = 𝟐𝟎 𝒉𝒐𝒈𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒙 ≥ 𝟏 → 𝒙 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓,𝟏𝟔, 𝟏𝟕, 𝟏𝟖, 𝟏𝟗,𝒚 𝟐𝟎. Tendríamos que realizar del 1 al 20, de esta forma:

𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟕) + 𝒑(𝒙 = 𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟗) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟎) +

𝒑(𝒙 = 𝟏𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟕) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟗) + 𝒑(𝒙 = 𝟐𝟎) = Vamos resolver de forma directa:

𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟏 −𝟐𝟎!

𝟎! (𝟐𝟎 − 𝟎)!∗ (𝟎,𝟐)𝟎 ∗ (𝟎,𝟖)𝟐𝟎−𝟎 = 𝟏 −

𝟏𝟎𝟗𝟗𝟓𝟏𝟏𝟔𝟐𝟕𝟕𝟕𝟔

𝟗𝟓𝟑𝟔𝟕𝟒𝟑𝟏𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓=𝟗𝟒𝟐𝟔𝟕𝟗𝟐𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖𝟒𝟗

𝟗𝟓𝟑𝟔𝟕𝟒𝟑𝟏𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓= 𝟗𝟖, 𝟖𝟓% ≅ 𝟗𝟗%

EJEMPLO#251 Una encuesta revela que el 20% de la población es favorable a un político y el resto es desfavorable. Elegidas 6 personas al

azar, se desea saber: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 6 personas sean desfavorables? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las 6 personas sean favorables? SOLUCION:

𝒂)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎 𝒒 = 𝟎,𝟖𝟎 𝒏 = 𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒙 = 𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒙 = 𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 → 𝒙 = #𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐. 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 𝑩(𝒏,𝒑) = 𝑩(𝟔; 𝟎, 𝟐𝟎)

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟔 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 = 𝟎,𝟐𝟎) =

𝟔!

𝟔! (𝟔 − 𝟔)!∗ (𝟎, 𝟐)𝟔 ∗ (𝟎, 𝟖)𝟔−𝟔 =

𝟏

𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓= 𝟎,𝟎𝟎𝟔𝟒% ≅ 𝟎%

𝒃)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟖𝟎 𝒏 = 𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒙 = 𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 = 𝟎,𝟐𝟎) =

𝟔!

𝟎! (𝟔 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟐)𝟎 ∗ (𝟎, 𝟖)𝟔−𝟎 =

𝟒𝟎𝟗𝟔

𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓= 𝟐𝟔,𝟐𝟏% ≅ 𝟐𝟔%

EJEMPLO#252 Un examen de opción múltiple está compuesto por 9 preguntas, con 4 posibles respuestas cada una, de las cuales sólo una

es la correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 6 preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta? c) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos una pregunta? SOLUCION:

𝒂)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒑 =𝟏

𝟒= 𝟎, 𝟐𝟓 𝒒 = 𝟎,𝟕𝟓 𝒏 = 𝟗 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒙 = 𝟔 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔

𝒙 = #𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗 𝑩(𝒏;𝒑) = 𝑩 (𝟗;𝟏

𝟒) = 𝑩(𝟗;𝟎, 𝟐𝟓)

𝟏

𝟒 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟔 ∖ 𝒏 = 𝟗,𝒑 = 𝟎,𝟐𝟓) =

𝟗!

𝟔! (𝟗 − 𝟔)!∗ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟔 ∗ (𝟎,𝟕𝟓)𝟗−𝟔 =

𝟓𝟔𝟕

𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔= 𝟎,𝟖𝟕% ≅ 𝟏%

𝒃)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒒 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒏 = 𝟗 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒙 = 𝟎 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔

𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟗,𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟓) =𝟗!

𝟎! (𝟗 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟎 ∗ (𝟎,𝟕𝟓)𝟗−𝟎 =

𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑

𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒= 𝟎,𝟎𝟕𝟓𝟏 = 𝟕, 𝟓𝟏% ≅ 𝟖%

𝒄)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒒 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒏 = 𝟗 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒙 ≥ 𝟏 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒔 → 𝒙 = 𝟏,𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗.


𝒑(𝑿 ≥ 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟗,𝒑 = 𝟎,𝟐𝟓) = 𝒑(𝟗;𝒙 < 𝟏 ) = 𝟏 − 𝒑(𝟗;𝒙 < 𝟏) = 𝟏 − 𝒑(𝟗; 𝟎) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟏 −𝟗!

𝟎! (𝟗 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟎 ∗ (𝟎, 𝟕𝟓)𝟗−𝟎 =

𝟏 −𝟗!

𝟎! (𝟗 − 𝟎)!∗ (𝟎, 𝟐𝟓)𝟎 ∗ (𝟎,𝟕𝟓)𝟗−𝟎 = 𝟏 −

𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑

𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒= 𝟎,𝟗𝟐𝟒𝟗 = 𝟗𝟐,𝟒𝟗% ≅ 𝟗𝟐% 𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟗𝟐%

𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐)+ 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓)+ 𝒑(𝒙 = 𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟕)+ 𝒑(𝒙 = 𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟗) = 𝟗𝟐,𝟒𝟗% ≅ 𝟗𝟐%

EJEMPLO#253 Se lanzan un dado 5 veces y se anotan los números obtenidos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 números primos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los números sean compuestos? SOLUCION:

Nota: el #1 se considera como un número primo. 𝑷 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐 = (𝟏,𝟐, 𝟑, 𝟓) 𝑪 = 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 = (𝟒,𝟔) 𝑺 = 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔

𝒂)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑷) = 𝒑 =𝟒

𝟔=𝟐

𝟑 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑪) = 𝒒 =

𝟐

𝟔=𝟏

𝟑 𝒏 = 𝟓𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒙 = 𝟒𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔

𝒙 = # 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒉𝒂𝒚 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒓 𝒖𝒏 𝒅𝒂𝒅𝒐 𝟓 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔, 𝒔𝒂𝒍𝒆 #𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐; 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 𝑩(𝒏; 𝒑) = 𝑩 (𝟓;𝟐

𝟑)

𝒑(𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 "𝒙" 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔) = 𝒑(𝒏; 𝒙) = (𝒏𝒙) 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙 𝒏 = 𝟓 𝒑 =

𝟐

𝟑 𝒒 =

𝟏

𝟑 𝒙 = 𝟒

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟐

𝟑) =

𝟓!

𝟒! (𝟓 − 𝟒)!∗ (𝟐

𝟑)𝟒

∗ (𝟏

𝟑)𝟓−𝟒

=𝟖𝟎

𝟐𝟒𝟑= 𝟑𝟐,𝟗𝟐% ≅ 𝟑𝟑%

𝒃)𝑻𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 ≡ 𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟐

𝟑) =

𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (𝟐

𝟑)𝟎

∗ (𝟏

𝟑)𝟓−𝟎

=𝟏

𝟐𝟒𝟑= 𝟎,𝟒𝟏% ≅ 𝟎%

EJEMPLO#254 Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya.

a) ¿Cómo mucho tres niñas? b) ¿Al menos una niña? c) Al menos 8 niños d) al menos una niña y un niño. SOLUCION:

𝒂) 𝒙 ≡ # 𝒅𝒆 𝒏𝒊ñ𝒂𝒔: 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎 𝑩(𝒏;𝒑) = 𝑩(𝟏𝟎;𝟎, 𝟓𝟎) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) = 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) =? 𝒑(𝟏𝟎;𝒙 ≤ 𝟑) = 𝒑(𝟏𝟎; 𝟎) + 𝒑(𝟏𝟎; 𝟏) + 𝒑(𝟏𝟎;𝟐) + 𝒑(𝟏𝟎; 𝟑) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) =?

𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) =𝟏𝟎!

𝟎! (𝟏𝟎− 𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)𝟎

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟎

+𝟏𝟎!

𝟏! (𝟏𝟎− 𝟏)!∗ (𝟏

𝟐)𝟏

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟏

+𝟏𝟎!

𝟐! (𝟏𝟎− 𝟐)!∗ (𝟏

𝟐)𝟐

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟐

+𝟏𝟎!

𝟑! (𝟏𝟎− 𝟑)!∗ (𝟏

𝟐)𝟑

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟑

=

𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) =𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒+𝟓

𝟓𝟏𝟐+𝟒𝟓

𝟏𝟎𝟐𝟒+𝟏𝟓

𝟏𝟐𝟖=𝟏𝟏

𝟔𝟒= 𝟎,𝟏𝟕𝟏𝟗 = 𝟏𝟕,𝟏𝟗% ≅ 𝟏𝟕%

𝒃) 𝒙 ≥ 𝟏 → 𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟕) + 𝒑(𝒙 = 𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟗) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟎) =?

𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟏 −𝟏𝟎!

𝟎! (𝟏𝟎− 𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)𝟎

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟎

= 𝟏 −𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒=𝟏𝟎𝟐𝟑

𝟏𝟎𝟐𝟒= 𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟎 = 𝟗𝟗,𝟗𝟎% ≅ 𝟏𝟎𝟎%

𝒄) 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝟖 𝒏𝒊ñ𝒐𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 #𝒅𝒆 𝒏𝒊ñ𝒂𝒔 𝒔𝒆𝒂 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝟐.

𝒑(𝒙 ≤ 𝟐) =𝟏𝟎!

𝟎! (𝟏𝟎 − 𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)𝟎

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟎

+𝟏𝟎!

𝟏! (𝟏𝟎 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟐)𝟏

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟏

+𝟏𝟎!

𝟐! (𝟏𝟎 − 𝟐)!∗ (𝟏

𝟐)𝟐

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟎−𝟐

=𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒+𝟓

𝟓𝟏𝟐+𝟒𝟓

𝟏𝟎𝟐𝟒=𝟕

𝟏𝟐𝟖= 𝟓, 𝟒𝟕% ≅ 𝟓%

𝒅) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒉𝒂𝒚𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒏𝒊ñ𝒂 𝒚 𝒖𝒏 𝒏𝒊ñ𝒐, 𝒆𝒍 # 𝒅𝒆 𝒏𝒊ñ𝒂𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟏 𝒚 𝟗 𝒊𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒗𝒆.

𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟗) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟕) + 𝒑(𝒙 = 𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟗) =?

𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟗) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟎)] = 𝟏 − [𝟏𝟎!

𝟎! (𝟏𝟎− 𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)

𝟎

∗ (𝟏

𝟐)

𝟏𝟎−𝟎

+𝟏𝟎!

𝟏𝟎!(𝟏𝟎−𝟏𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)

𝟏𝟎

∗ (𝟏

𝟐)

𝟏𝟎−𝟏𝟎

] = 𝟏 − [𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒+

𝟏

𝟏𝟎𝟐𝟒] =

= 𝟏− [𝟐

𝟏𝟎𝟐𝟒] = 𝟏 − [

𝟏

𝟓𝟏𝟐] =𝟓𝟏𝟏

𝟓𝟏𝟐= 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟎 = 𝟗𝟗,𝟖𝟎% ≅ 𝟏𝟎𝟎%

EJEMPLO#255 Al lanzar 6 veces una moneda, por la distribución binomial, calcular la probabilidad de lograr.

a) ¿4 caras? b) ¿una cara? c) 2 sellos. d) al menos 4 caras. e) menos de 2 caras. SOLUCION: 𝒏(𝑺) = 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒 𝑺 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪,𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑺,… , 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝟔𝟒 𝑹𝒙 = 𝟎,𝟏,𝟐, 𝟑,𝟒,𝟓, 𝟔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒑 = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃.𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒅𝒂.

𝒂) 𝑺 = (𝑪, 𝑺) 𝑬 = (𝑪) → 𝑷(𝑬) =𝟏

𝟐= 𝒑 → 𝒑 =

𝟏

𝟐 𝒒 =

𝟏

𝟐 𝒏 = 𝟔 𝒙 = 𝟒

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟔!

𝟒! (𝟔 − 𝟒)!∗ (𝟏

𝟐)𝟒

∗ (𝟏

𝟐)𝟔−𝟒

=𝟏𝟓

𝟔𝟒= 𝟐𝟑,𝟒𝟒% ≅ 𝟐𝟑%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟔!

𝟏! (𝟔 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟐)𝟏

∗ (𝟏

𝟐)𝟔−𝟏

=𝟑

𝟑𝟐= 𝟗,𝟑𝟕𝟓% ≅ 𝟗%

𝒄) 𝟐 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔 𝒏(𝑺) = 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒 𝑺 = 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺,𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑪,… , 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝟔𝟒 𝑹𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐,𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔 𝒑 = 𝒑𝒓𝒐𝒃. 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐.

𝑺 = (𝑪, 𝑺) 𝑬 = (𝑺) → 𝑷(𝑬) =𝟏

𝟐= 𝒑 → 𝒑 =

𝟏

𝟐 𝒒 =

𝟏

𝟐 𝒏 = 𝟔 𝒙 = 𝟐

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟔!

𝟐! (𝟔 − 𝟐)!∗ (𝟏

𝟐)𝟐

∗ (𝟏

𝟐)𝟔−𝟐

=𝟏𝟓

𝟔𝟒= 𝟐𝟑,𝟒𝟒% ≅ 𝟐𝟑%

𝒅) 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝟒 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝑹𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,𝟒, 𝟓, 𝟔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒙 ≥ 𝟒; 𝒙 = 𝟒, 𝟓, 𝟔.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 ≥ 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟒)+ 𝒑(𝒙 = 𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟔) =

𝟏𝟏

𝟑𝟐= 𝟑𝟒,𝟑𝟕𝟓% ≅ 𝟑𝟒%

𝒆) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 < 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) =

𝟕

𝟔𝟒= 𝟏𝟎,𝟗𝟑𝟕𝟓% ≅ 𝟏𝟏%


EJEMPLO#256 Al lanzar 5 veces una moneda, se trata de calcular la probabilidad de obtener.

a) ¿3 caras? b) ¿una cara? c) un sello. d) ninguna cara. e) 7 caras. f) elaborar diagrama de distribución. SOLUCION:

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟑! (𝟓 − 𝟑)!∗ (𝟏

𝟐)𝟑

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟑

=𝟓

𝟏𝟔= 𝟑𝟏,𝟐𝟓% ≅ 𝟑𝟏%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟐)𝟏

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟏

=𝟓

𝟑𝟐= 𝟏𝟓,𝟔𝟐𝟓% ≅ 𝟏𝟔%

𝒄) 𝒔𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐, 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟒 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟒! (𝟓 − 𝟒)!∗ (𝟏

𝟐)𝟒

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟒

=𝟓

𝟑𝟐= 𝟏𝟓,𝟔𝟐𝟓% ≅ 𝟏𝟔%

𝒅) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)𝟎

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟎

=𝟏

𝟑𝟐= 𝟑,𝟏𝟐𝟓% ≅ 𝟑%

𝒆) 𝒂𝒍 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒅𝒂 𝟓 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟕 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔, 𝒆𝒍𝒍𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 #𝒃𝒊𝒏ó𝒎𝒊𝒄𝒐.

𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 = 𝟕 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟕! (𝟓 − 𝟕)!∗ (𝟏

𝟐)𝟕

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟕

=

𝟓!

𝟕! (𝟓 − 𝟕)!∗ (𝟏

𝟐)𝟕

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟕

=𝟏𝟐𝟎

𝟓𝟎𝟒𝟎(−𝟐)!∗ (𝟏

𝟐)𝟕

∗ (𝟏

𝟐)−𝟐

=𝟏𝟐𝟎

−𝟏𝟎𝟎𝟖𝟎∗𝟏

𝟏𝟐𝟖∗ (𝟐)𝟐 = −

𝟏

𝟖𝟒∗𝟏

𝟏𝟐𝟖∗ 𝟒 = −

𝟒

𝟏𝟎𝟕𝟓𝟐= −

𝟏

𝟐𝟔𝟖𝟖=

= −𝟏

𝟐𝟔𝟖𝟖= −

𝟐𝟓

𝟔𝟕𝟐% = ∄ 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 #𝒃𝒊𝒏ó𝒎𝒊𝒄𝒐.

𝒇) 𝒆𝒍𝒂𝒃𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏: 𝒙 𝒑(𝒙) CCCCC 1

0 0,03125 CCCCS CCCSC CCSCC CSCCC SCCCC 5

1 0,15625 CCCSS CCSCS CSCCS SCCCS CCSSC CSSCC SSCCC SCSCC SCCSC CSCSC 10

2 0,31250 CCSSS CSSSC SSSCC SCSCS SCCSS SCSSC SSCCS SSCSC CSCSS CSSCS 10

3 0,31250 CSSSS SCSSS SSCSS SSSCS SSSSC 5

4 0,15625 SSSSS 1

5 0,03125 Lanzar una moneda 5 veces para obtener 4 caras se tiene 5 posibilidades

∑ 𝟑𝟐 6 ∄

7 ∄

EJEMPLO#257 En una familia de 5 hijos, se trata de calcular la probabilidad de que haya.

a) ¿3 niños? b) ¿5 niñas? c) un niño. d) al menos 3 niños. e) al menos un niño y una niña.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟓 𝒉𝒊𝒋𝒐𝒔 𝒑 = 𝟎, 𝟓 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒓 𝒏𝒊ñ𝒐 𝒐 𝒏𝒊ñ𝒂 𝒒 = 𝟎,𝟓𝟎 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒔𝒆𝒓 𝒏𝒊ñ𝒐 𝒐 𝒏𝒊ñ𝒂 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒏𝒊ñ𝒐 𝒐 𝒏𝒊ñ𝒂.

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟑! (𝟓 − 𝟑)!∗ (𝟏

𝟐)𝟑

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟑

=𝟓

𝟏𝟔= 𝟑𝟏,𝟐𝟓% ≅ 𝟑𝟏%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)𝟎

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟎

=𝟏

𝟑𝟐= 𝟑,𝟏𝟐𝟓% ≅ 𝟑%

𝟓𝒏𝒊ñ𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝟎 𝒏𝒊ñ𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎

𝒄) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟐)𝟏

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟏

=𝟓

𝟑𝟐= 𝟏𝟓,𝟔𝟐𝟓% ≅ 𝟏𝟔%

𝒅) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 ≥ 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒)+ 𝒑(𝒙 = 𝟓) =

=𝟓!

𝟑! (𝟓 − 𝟑)!∗ (𝟏

𝟐)𝟑

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟑

+𝟓!

𝟒! (𝟓 − 𝟒)!∗ (𝟏

𝟐)𝟒

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟒

+𝟓!

𝟓! (𝟓 − 𝟓)!∗ (𝟏

𝟐)𝟓

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟓

=𝟓

𝟏𝟔+𝟓

𝟑𝟐+𝟏

𝟑𝟐=𝟏

𝟐= 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎%

𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: 𝒑 (𝑿 ≥ 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =𝟏

𝟐) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐)] = 𝟏 − [

𝟏

𝟑𝟐+𝟓

𝟑𝟐+𝟓

𝟏𝟔] =𝟏

𝟐= 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎%

𝒆) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) = 𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐)+ 𝒑(𝒙 = 𝟑)+ 𝒑(𝒙 = 𝟒) =

𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒) =𝟓

𝟑𝟐+𝟓

𝟏𝟔+𝟓

𝟏𝟔+𝟓

𝟑𝟐=𝟏𝟓

𝟏𝟔= 𝟎,𝟗𝟑𝟕𝟓 = 𝟗𝟑,𝟕𝟓% ≅ 𝟗𝟒%

𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: 𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟓)] = 𝟏 − [𝟏

𝟑𝟐+𝟏

𝟑𝟐] = 𝟏 − [

𝟐

𝟑𝟐] =𝟏𝟓

𝟏𝟔= 𝟎,𝟗𝟑𝟕𝟓 = 𝟗𝟑,𝟕𝟓% = 𝟗𝟒%

EJEMPLO#258 En una comunidad de 400 familias de 5 hijos, se calculan las probabilidades de las familias que poseen.

a) ¿2 niñas? b) ¿ninguna niña?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟓 𝒉𝒊𝒋𝒐𝒔 𝒑 = 𝟎, 𝟓 𝒒 = 𝟎,𝟓 𝒙 = 𝟐 𝒏𝒊ñ𝒂𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟒𝟎𝟎 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟐! (𝟓 − 𝟐)!∗ (𝟏

𝟐)𝟐

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟐

=𝟓

𝟏𝟔= 𝟑𝟏,𝟐𝟓% ≅ 𝟑𝟏%

𝟓

𝟏𝟔(𝟒𝟎𝟎𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔) = 𝟏𝟐𝟓 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝟐 𝒏𝒊ñ𝒂𝒔.

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟓 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟐) =

𝟓!

𝟓! (𝟓 − 𝟓)!∗ (𝟏

𝟐)𝟓

∗ (𝟏

𝟐)𝟓−𝟓

=𝟏

𝟑𝟐= 𝟑,𝟏𝟐𝟓% ≅ 𝟑%


𝟏

𝟑𝟐(𝟒𝟎𝟎 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔) = 𝟏𝟐,𝟓 ≅ 𝟏𝟐 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔 𝒏𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆𝒏 𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒂 𝒏𝒊ñ𝒂.

EJEMPLO#259 Los artefactos eléctricos se clasifican como buenos (B) y malos (M), se tiene una probabilidad de 0,90 para B, en un lote de

30 artefactos, calcular la probabilidad de B para: a) 25 artefactos b) 1 artefacto c) 30 artefactos

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟑𝟎 𝒂𝒓𝒕𝒆𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒑 = 𝟎, 𝟗𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒙 = 𝟐𝟓

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟐𝟓 ∖ 𝒏 = 𝟑𝟎,𝒑 =

𝟗

𝟏𝟎) =

𝟑𝟎!

𝟐𝟓! (𝟑𝟎− 𝟐𝟓)!∗ (𝟗

𝟏𝟎)𝟐𝟓

∗ (𝟏

𝟏𝟎)𝟑𝟎−𝟐𝟓

= 𝟏𝟎,𝟐𝟑% ≅ 𝟏𝟎%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟑𝟎,𝒑 =

𝟗

𝟏𝟎) =

𝟑𝟎!

𝟏! (𝟑𝟎 − 𝟏)!∗ (𝟗

𝟏𝟎)𝟏

∗ (𝟏

𝟏𝟎)𝟑𝟎−𝟏

= 𝟐, 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟖 = (𝟐,𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟔)%

𝒄) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟑𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟑𝟎,𝒑 =

𝟗

𝟏𝟎) =

𝟑𝟎!

𝟑𝟎! (𝟑𝟎− 𝟑𝟎)!∗ (𝟗

𝟏𝟎)𝟑𝟎

∗ (𝟏

𝟏𝟎)𝟑𝟎−𝟑𝟎

= 𝟒, 𝟐𝟒% ≅ 𝟒%

EJEMPLO#260 En los exámenes de estadística inferencial la probabilidad de que un estudiante apruebe es de 30%. Hallar la probabilidad de

entre 10 estudiantes elegidos al azar que aprueben: a) 5 estudiantes b) ninguno c) al menos 8 estudiantes.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟕𝟎 𝒙 = 𝟓

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟓 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎,𝒑 =

𝟑

𝟏𝟎) =

𝟏𝟎!

𝟓! (𝟏𝟎 − 𝟓)!∗ (𝟑

𝟏𝟎)𝟓

∗ (𝟕

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟓

= 𝟏𝟎,𝟐𝟗% ≅ 𝟏𝟎%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎,𝒑 =

𝟑

𝟏𝟎) =

𝟏𝟎!

𝟎! (𝟏𝟎 − 𝟎)!∗ (𝟑

𝟏𝟎)𝟎

∗ (𝟕

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟎

= 𝟐, 𝟖𝟐% ≅ 𝟑%

𝒄) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 ≥ 𝟖 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎,𝒑 =

𝟑

𝟏𝟎) = 𝒑(𝒙 = 𝟖) + 𝒑(𝒙 = 𝟗)+ 𝒑(𝒙 = 𝟏𝟎) =

=𝟏𝟎!

𝟖! (𝟏𝟎− 𝟖)!∗ (𝟑

𝟏𝟎)𝟖

∗ (𝟕

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟖

+𝟏𝟎!

𝟗! (𝟏𝟎 − 𝟗)!∗ (𝟑

𝟏𝟎)𝟗

∗ (𝟕

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟗

+𝟏𝟎!

𝟏𝟎! (𝟏𝟎− 𝟏𝟎)!∗ (𝟑

𝟏𝟎)𝟏𝟎

∗ (𝟕

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟏𝟎

= 𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟔 = 𝟎,𝟏𝟔% ≅ 𝟎%

EJEMPLO#261 En una familia de 4 hijos, calcular la probabilidad de tener:

a) Un niño b) 3 niños c) al menos 2 niños. d) más de un niño.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒙 = 𝟏 𝒏𝒊ñ𝒐 𝒏(𝑺) = 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 → 𝑺 = 𝑽𝑽𝑽𝑽, 𝑽𝑽𝑽𝑴, . . ,𝑴𝑴𝑴𝑴 𝑽 = 𝒗𝒂𝒓𝒐𝒏 𝑴 = 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓

𝑽ó𝑴|

𝑽 |

𝑽 |𝑽𝑴

𝑴|𝑽𝑴

𝑴|

𝑽|𝑽𝑴

𝑴|𝑽𝑴

|

|

|

|𝑽𝑽𝑽𝑽 𝟒𝑽𝑽𝑽𝑴 𝟑

𝑽𝑽𝑴𝑽 𝟑𝑽𝑽𝑴𝑴 𝟐

𝑽𝑴𝑽𝑽 𝟑𝑽𝑴𝑽𝑴 𝟐

𝑽𝑴𝑴𝑽 𝟐𝑽𝑴𝑴𝑴 𝟏

|

|

|

𝑴𝑽𝑽𝑽 𝟑𝑴𝑽𝑽𝑴 𝟐

𝑴𝑽𝑴𝑽 𝟐𝑴𝑽𝑴𝑴 𝟏

𝑴𝑴𝑽𝑽 𝟐𝑴𝑴𝑽𝑴 𝟏

𝑴𝑴𝑴𝑽 𝟏𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟎

|

|

|

𝒂)𝒑(𝒙 = 𝟏) =𝟒!

𝟏! (𝟒 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟐)𝟏

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟏

=𝟏

𝟒= 𝟐𝟓% 𝟏𝟔(𝟎,𝟐𝟓) = 𝟒 𝒉𝒊𝒋𝒐𝒔

𝒅𝒆 𝟏𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒈𝒊𝒓 𝟒 𝒉𝒊𝒋𝒐𝒔, 𝒆𝒏 𝟒 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒍𝒂𝒔 𝒉𝒂𝒚 𝒖𝒏 𝒏𝒊ñ𝒐 (𝟒 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝟏; 𝒗𝒆𝒓 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒐)

𝒃)𝒑(𝒙 = 𝟑) =𝟒!

𝟑! (𝟒 − 𝟑)!∗ (𝟏

𝟐)𝟑

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟑

=𝟏

𝟒= 𝟐𝟓% 𝟏𝟔(𝟎,𝟐𝟓) = 𝟒 𝒉𝒊𝒋𝒐𝒔

𝒅𝒆 𝟏𝟔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒈𝒊𝒓 𝟒 𝒉𝒊𝒋𝒐𝒔, 𝒆𝒏 𝟒 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒍𝒂𝒔 𝒉𝒂𝒚 𝟑 𝒏𝒊ñ𝒐𝒔 (𝟒 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝟑;𝒗𝒆𝒓 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒐)

𝒄)𝒑(𝒙 ≥ 𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟐)+ 𝒑(𝒙 = 𝟑)+ 𝒑(𝒙 = 𝟒) = 𝟏− [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏)] =?

𝒑(𝒙 ≥ 𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑)+ 𝒑(𝒙 = 𝟒) =𝟒!

𝟐! (𝟒 − 𝟐)!∗ (𝟏

𝟐)𝟐

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟐

+𝟒!

𝟑! (𝟒 − 𝟑)!∗ (𝟏

𝟐)𝟑

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟑

+𝟒!

𝟒! (𝟒 − 𝟒)!∗ (𝟏

𝟐)𝟒

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟒

=

𝒑(𝒙 ≥ 𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑)+ 𝒑(𝒙 = 𝟒) =𝟑

𝟖+𝟏

𝟒+𝟏

𝟏𝟔=𝟏𝟏

𝟏𝟔= 𝟎, 𝟔𝟖𝟕𝟓 = 𝟔𝟖,𝟕𝟓% ≅ 𝟔𝟗%

𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 → 𝒑(𝒙 ≥ 𝟐) = 𝟏− [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏)] = 𝟏 − [𝟏

𝟏𝟔+𝟏

𝟒] = 𝟏 − [

𝟓

𝟏𝟔] =𝟏𝟏

𝟏𝟔= 𝟎, 𝟔𝟖𝟕𝟓 = 𝟔𝟖,𝟕𝟓% ≅ 𝟔𝟗%

𝒅)𝒑(𝒙 > 𝟏) = 𝒑(𝒙 ≥ 𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟐)+ 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) =𝟑

𝟖+𝟏

𝟒+𝟏

𝟏𝟔=𝟏𝟏

𝟏𝟔= 𝟎,𝟔𝟖𝟕𝟓 = 𝟔𝟖,𝟕𝟓% ≅ 𝟔𝟗%

EJEMPLO#262 Tomando 800 familias de 4 hijos, calcular la esperanza de que una familia tenga:

a) Un niño b) 2 niñas c) más de un niño. d) ningún niño.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟒 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒙 = 𝟏 𝒏𝒊ñ𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔 𝟖𝟎𝟎. 𝑺 = 𝑽,𝑴 𝑬 = 𝑽 𝑷(𝑬) = 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝒑 𝑹𝒙 = (𝟎,𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 𝒏𝒊ñ𝒐𝒔)

𝒑 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒏𝒊ñ𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒈𝒊𝒓 𝒖𝒏 𝒉𝒊𝒋𝒐. 𝒙~𝑩(𝒏 = 𝟒; 𝒑 = 𝟎,𝟓𝟎) 𝑬(𝒙) = 𝑬 = 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 𝑹𝒙 = 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐

𝒂)𝑬(𝒙) = 𝒏𝒑 = 𝒏 ∗ 𝒑(𝒙 = 𝟏 𝒏𝒊ñ𝒐) = 𝟖𝟎𝟎 [𝟒!

𝟏! (𝟒 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟐)𝟏

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟏

] = 𝟖𝟎𝟎[𝟏

𝟒] = 𝟐𝟎𝟎 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒏𝒊ñ𝒐

𝒃)𝑬(𝒙) = 𝒏𝒑 = 𝒏 ∗ 𝒑(𝒙 = 𝟐 𝒏𝒊ñ𝒂𝒔) = 𝟖𝟎𝟎[𝟒!

𝟐! (𝟒 − 𝟐)!∗ (𝟏

𝟐)𝟐

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟐

] = 𝟖𝟎𝟎[𝟑

𝟖] = 𝟑𝟎𝟎 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝟐 𝒏𝒊ñ𝒂𝒔

𝒄)𝑬(𝒙) = 𝒏𝒑 = 𝒏 ∗ 𝒑(𝒙 > 𝟏) = 𝟖𝟎𝟎𝟏− [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏)] = 𝟖𝟎𝟎𝟏− [𝟏

𝟏𝟔+𝟏

𝟒] = 𝟖𝟎𝟎 [

𝟏𝟏

𝟏𝟔] = 𝟓𝟓𝟎 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒎á𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒏𝒊ñ𝒐

𝒅)𝑬(𝒙) = 𝒏𝒑 = 𝒏 ∗ 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟖𝟎𝟎𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟖𝟎𝟎𝟒!

𝟎! (𝟒 − 𝟎)!∗ (𝟏

𝟐)𝟎

∗ (𝟏

𝟐)𝟒−𝟎

= 𝟖𝟎𝟎𝟏

𝟏𝟔 = 𝟓𝟎 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒔 𝒏𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏 𝒏𝒊ñ𝒐.


EJEMPLO#263 Una fábrica produce artículos de consumo, pero 10% de ellos son defectuosos, calcular la probabilidad de que al elegir 10

de ellos se obtenga. a) Un defectuoso b) 3 defectuosos c) ninguno defectuoso. d) a lo sumo 2 defectuosos.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟏𝟎 𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟗𝟎

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎,𝒑 =

𝟏

𝟏𝟎) =

𝟏𝟎!

𝟏! (𝟏𝟎 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟏𝟎)𝟏

∗ (𝟗

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟏

=𝟑𝟖𝟕𝟒𝟐𝟎𝟒𝟖𝟗

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟑𝟖,𝟕𝟒% ≅ 𝟑𝟗%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎,𝒑 =

𝟏

𝟏𝟎) =

𝟏𝟎!

𝟑! (𝟏𝟎 − 𝟑)!∗ (𝟏

𝟏𝟎)𝟑

∗ (𝟗

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟑

= 𝟎, 𝟎𝟓𝟕𝟒 = 𝟓,𝟕𝟒% ≅ 𝟔%

𝒄) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 =

𝟏

𝟏𝟎) =

𝟏𝟎!

𝟎! (𝟏𝟎 − 𝟎)!∗ (𝟏

𝟏𝟎)𝟎

∗ (𝟗

𝟏𝟎)𝟏𝟎−𝟎

=𝟑𝟒𝟖𝟔𝟕𝟖𝟒𝟒𝟎𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟑𝟒,𝟖𝟕% ≅ 𝟑𝟓%

𝒅) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 ≤ 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟏𝟎,𝒑 =

𝟏

𝟏𝟎) = 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏)+ 𝒑(𝒙 = 𝟐) = 𝟎,𝟗𝟐𝟗𝟖 = 𝟗𝟐,𝟗𝟖% ≅ 𝟗𝟑%

EJEMPLO#264 La probabilidad de que un estudiante de la UAGRM egrese es de 20%, si se eligen 6 de ellos, calcular la probabilidad de que

egresen: a) Un estudiante b) 3 estudiantes c) todos. d) ninguno.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟔 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟖𝟎

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟓) =

𝟔!

𝟏! (𝟔 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟓)𝟏

∗ (𝟒

𝟓)𝟔−𝟏

=𝟔𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓= 𝟑𝟗,𝟑𝟐% ≅ 𝟑𝟗%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟑 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟓) =

𝟔!

𝟑! (𝟔 − 𝟑)!∗ (𝟏

𝟓)𝟑

∗ (𝟒

𝟓)𝟔−𝟑

=𝟐𝟓𝟔

𝟑𝟏𝟐𝟓= 𝟖, 𝟏𝟗𝟐% ≅ 𝟖%

𝒄) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟔 ∖ 𝒏 = 𝟔,𝒑 =

𝟏

𝟓) =

𝟔!

𝟔! (𝟔 − 𝟔)!∗ (𝟏

𝟓)𝟔

∗ (𝟒

𝟓)𝟔−𝟔

=𝟏

𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓= 𝟎,𝟎𝟎𝟔𝟒% ≅ 𝟎%

𝒅) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟔, 𝒑 =

𝟏

𝟓) =

𝟔!

𝟎! (𝟔 − 𝟎)!∗ (𝟏

𝟓)𝟎

∗ (𝟒

𝟓)𝟔−𝟎

=𝟒𝟎𝟗𝟔

𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓= 𝟐𝟔,𝟐𝟏% ≅ 𝟐𝟔%

EJEMPLO#265 En 5 lanzamientos de un par de dados, calcular la probabilidad de obtener la suma de 10:

a) Una vez b) 2 veces c) las 5 veces. d) ninguna vez. e) al menos 4 veces SOLUCION:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟓 𝒑 =𝟑

𝟑𝟔=

𝟏

𝟏𝟐 𝒒 =

𝟑𝟑

𝟑𝟔=𝟏𝟏

𝟏𝟐 𝑹𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝟏𝟎 𝒑 = 𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃. 𝒔𝒆 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝟏𝟎 𝒂𝒍 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒆𝒛 𝒖𝒏 𝒑𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒅𝒐𝒔.

𝒏(𝑺) = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔 → 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔

→ (𝟏, 𝟏), (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑),… , (𝟔, 𝟔) 𝑬 = (𝟒, 𝟔), (𝟓, 𝟓), (𝟔, 𝟒) → 𝒏(𝑬) = 𝟑 𝑷(𝑬) =𝒏(𝑬)

𝒏(𝑺)=𝟑

𝟑𝟔= 𝒑

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟏𝟐) =

𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (𝟏

𝟏𝟐)𝟏

∗ (𝟏𝟏

𝟏𝟐)𝟓−𝟏

=𝟕𝟑𝟐𝟎𝟓

𝟐𝟒𝟖𝟖𝟑𝟐= 𝟐𝟗,𝟒𝟐% ≅ 𝟐𝟗%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟏𝟐) =

𝟓!

𝟐! (𝟓 − 𝟐)!∗ (𝟏

𝟏𝟐)𝟐

∗ (𝟏𝟏

𝟏𝟐)𝟓−𝟐

=𝟔𝟔𝟓𝟓

𝟏𝟐𝟒𝟒𝟏𝟔= 𝟓,𝟑𝟓% ≅ 𝟓%

𝒄) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟓 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟏𝟐) =

𝟓!

𝟓! (𝟓 − 𝟓)!∗ (𝟏

𝟏𝟐)𝟓

∗ (𝟏𝟏

𝟏𝟐)𝟓−𝟓

=𝟏

𝟐𝟒𝟖𝟖𝟑𝟐= 𝟎𝟎,𝟎𝟎% ≅ 𝟎%

𝒅) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 =

𝟏

𝟏𝟐) =

𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (𝟏

𝟏𝟐)𝟎

∗ (𝟏𝟏

𝟏𝟐)𝟓−𝟎

=𝟏𝟔𝟏𝟎𝟓𝟏

𝟐𝟒𝟖𝟖𝟑𝟐= 𝟔𝟒,𝟕𝟐% ≅ 𝟔𝟓%

𝒆) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 ≥ 𝟒 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟏

𝟏𝟐) =

𝟓𝟓

𝟐𝟒𝟖𝟖𝟑𝟐+

𝟏

𝟐𝟒𝟖𝟖𝟑𝟐=

𝟓𝟔

𝟐𝟒𝟖𝟖𝟑𝟐=

𝟕

𝟑𝟏𝟏𝟎𝟒= 𝟎,𝟎𝟐% ≅ 𝟎%

EJEMPLO#266 Un laboratorio afirma que una enfermedad llamada la chikungunya causa efectos secundarios en una proporción de 3 de

cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica una droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

a) Ningún paciente tenga efectos secundarios. b) Al menos dos tengan efectos secundarios. c) ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟓 𝒑𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑 =𝟑

𝟏𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟑 = 𝟑% = 𝟎, 𝟎𝟑 𝒒 =

𝟗𝟕

𝟏𝟎𝟎= 𝟎, 𝟗𝟕 = 𝟗𝟕% 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝟏𝟎𝟎 𝒑𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

𝒂) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏,𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏− 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹𝒑(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟓,𝒑 =

𝟑

𝟏𝟎𝟎) =

𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (

𝟏

𝟏𝟎𝟎)𝟎

∗ (𝟗𝟕

𝟏𝟎𝟎)𝟓−𝟎

= 𝟎,𝟖𝟓𝟖𝟕 = 𝟖𝟓,𝟖𝟕% ≅ 𝟖𝟔%

𝒃) 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏, 𝒑) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∗ 𝒑𝒙 ∗ 𝒒𝒏−𝒙⟹ 𝒑(𝑿 ≥ 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟓, 𝒑 =

𝟑

𝟏𝟎𝟎) = 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖𝟓 = 𝟎,𝟖𝟓% ≅ 𝟏%

𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 → 𝒑(𝒙 ≥ 𝟐) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 < 𝟐) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏)] = 𝟏 − [𝟓!

𝟎! (𝟓 − 𝟎)!∗ (

𝟏

𝟏𝟎𝟎)𝟎

∗ (𝟗𝟕

𝟏𝟎𝟎)𝟓−𝟎

+𝟓!

𝟏! (𝟓 − 𝟏)!∗ (

𝟏

𝟏𝟎𝟎)𝟏

∗ (𝟗𝟕

𝟏𝟎𝟎)𝟓−𝟏

] =

𝒑(𝒙 ≥ 𝟐) = 𝟏 − [𝟎, 𝟖𝟓𝟖𝟕+ 𝟎,𝟏𝟑𝟐𝟖] = 𝟏 − [𝟎,𝟗𝟗𝟏𝟓] = 𝟎,𝟎𝟎𝟖𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟓% ≅ 𝟏%

𝒄) 𝝁𝒙 = 𝑬(𝒙) = 𝒏 ∗ 𝒑 = 𝟏𝟎𝟎(𝟎,𝟎𝟑) = 𝟑 𝒑𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.


Distribución Geométrica La distribución Geométrica también está relacionada con una secuencia de ensayos de Bernoulli, excepto que el número de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribución geométrica hereda las características de la distribución binomial, a excepción del concepto del cual se

quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de interés, denotada mediante 𝑿, se define como el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito. Es obvio que para obtener el primer éxito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por

lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria 𝑿 son 1, 2, 3,..., 𝒏, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que

(𝑿 = 𝒙) si y sólo si los primeros (𝒙 – 𝟏) ensayos son fracasos (𝒒) y el 𝒙 − é𝒔𝒊𝒎𝒐 ensayo es éxito (𝒑), por lo que:

𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒⏟ 𝒙−𝟏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

= 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que: Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo probabilístico geométrico, si su función de probabilidad es:

𝒇(𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, …… , 𝒏.

𝟎 𝒅𝒆 𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂. 𝟎 < 𝒑 < 𝟏

Esta distribución toma en cuenta el número de veces que debe repetirse el experimento hasta que ocurra éxito por primera vez, en cuyo caso, termina de realizarse el experimento. Aquí sólo ocurre éxito una sola vez. No interesa cuántos veces se deba repetir el ensayo. Definición:

Diremos que una variable aleatoria 𝑿 tiene distribución Geométrica si 𝑿 representa “El número de veces que debe repetirse un experimento

hasta que ocurra éxito por primera vez”. En este caso denotaremos por 𝑿 á 𝑮(𝒑), donde 𝒑, la probabilidad de éxito, constituye el parámetro de la distribución cuya función viene dada por:

𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏⟹ 𝒙 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, … . , 𝒏. Observaciones

1. El experimento termina cuando ocurre éxito por primera vez. 2. El valor esperado de 𝑿, 𝑬(𝑿) = 𝟏/𝒑

3. La varianza de 𝑿, 𝑽(𝑿) = 𝒒/𝒑²

𝑴𝒊 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 EJEMPLO#267 Supongamos que una línea de producción debe muestrearse hasta encontrar un artículo defectuoso. Utilizando una tasa de

error de 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎%, considere las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos artículos espera usted que debe probarse hasta encontrar uno defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer artículo que se encuentre defectuoso sea el cuarto que se ha probado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer artículo que se encuentre defectuoso sea el sexto que sea probado? d) ¿ Cuál es la probabilidad de que el primer artículo defectuoso encontrado no sea el primero probado?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟐𝟎% 𝒒 = 𝟖𝟎%

𝒂) 𝑬(𝑿) = 𝝁 = =𝟏

𝒑=

𝟏

𝟎, 𝟐𝟎= 𝟓 𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔,𝒉𝒂𝒚 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒓 𝟓 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒖𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐.

𝒃) 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝑿 = 𝟒) = (𝟏

𝟓) ∗ (

𝟒

𝟓)𝟒−𝟏

=𝟔𝟒

𝟔𝟐𝟓= 𝟎, 𝟏𝟎𝟐𝟒 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟒% ≅ 𝟏𝟎%

𝒄) 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝑿 = 𝟔) = (𝟏

𝟓) ∗ (

𝟒

𝟓)𝟔−𝟏

=𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓= 𝟎, 𝟎𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 = 𝟔, 𝟓𝟓𝟑𝟔% ≅ 𝟕%

𝒅) 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒅𝒐) = 𝒑(≠ 𝟏) = 𝒑(𝒙 = 𝟐 ó 𝟑 ó 𝟒 ó,… . )

𝒑(≠ 𝟏) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟏) = 𝟏 − [(𝟏

𝟓) ∗ (

𝟒

𝟓)𝟏−𝟏

] = 𝟏 − [𝟏

𝟓] =

𝟒

𝟓= 𝟎, 𝟖𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟎%

EJEMPLO#268 En las horas de mayor congestión telefónica, se debe intentar varias veces hasta lograr la comunicación, ya que la

probabilidad de lograrla es de 0,10 a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 4 intentos hasta lograr la comunicación? b) ¿Calcular el esperado número de intentos hasta lograr la comunicación? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 6 intentos más si ya se han efectuado 4 intentos sin éxito?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟏𝟎% = 𝟎, 𝟏𝟎(𝒍𝒐𝒈𝒓𝒂𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏) 𝒒 = 𝟗𝟎% = 𝟎, 𝟗𝟎

𝒂) 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝑿 = 𝟒) = (𝟏

𝟏𝟎) ∗ (

𝟗

𝟏𝟎)𝟒−𝟏

=𝟕𝟐𝟗

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎,𝟎𝟕𝟐𝟗 = 𝟕, 𝟐𝟗% ≅ 𝟕%

𝒃) 𝑬(𝑿) = 𝝁 = =𝟏

𝒑=

𝟏

𝟎,𝟏𝟎= 𝟏𝟎 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒍𝒐𝒈𝒓𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏.

𝒄) 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒉𝒊𝒄𝒊𝒆𝒓𝒐𝒏 𝟒 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒓: "𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒔𝒂𝒏 𝒅𝒆 𝒎á𝒔 𝒅𝒆 𝟒 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐𝒈𝒓𝒂𝒓 𝒖𝒏 𝒆𝒙𝒊𝒕𝒐" 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍.

𝑷(𝑿 > 𝟔 ∖ 𝑿 > 𝟒) = 𝒑(𝑿 > 𝟐) = 𝟏 − 𝒑(𝑿 ≤ 𝟐) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐)] = 𝟏 − [(𝟏

𝟏𝟎) ∗ (

𝟗

𝟏𝟎)𝟏−𝟏

+ (𝟏

𝟏𝟎) ∗ (

𝟗

𝟏𝟎)𝟐−𝟏

] =

𝟏 − [(𝟏

𝟏𝟎) ∗ (

𝟗

𝟏𝟎)𝟏−𝟏

+ (𝟏

𝟏𝟎) ∗ (

𝟗

𝟏𝟎)𝟐−𝟏

] = 𝟏 − [𝟏

𝟏𝟎+𝟗

𝟏𝟎𝟎] = 𝟏 − [

𝟏𝟗

𝟏𝟎𝟎] =

𝟖𝟏

𝟏𝟎𝟎= 𝟎,𝟖𝟏 = 𝟖𝟏%

𝑷(𝑿 > 𝒙 + 𝑺 ∖ 𝑿 > 𝒙) = 𝑷(𝑿 > 𝑺) = 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍.


EJEMPLO#269 Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sean 3?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 =𝟏

𝟔 𝒒 =

𝟓

𝟔 En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el número 6 al lanzar

un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:

𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝑿 = 𝟑) = (𝟏

𝟔) ∗ (

𝟓

𝟔)

𝟑−𝟏

=𝟐𝟓

𝟐𝟏𝟔= 𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟕 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟕% ≅ 𝟏𝟐%

EJEMPLO#270 La probabilidad de que cierto análisis clínico dé una reacción positiva es 0,4. Los resultados de los análisis son

independientes unos de otros ¿Cuál es la probabilidad de que la primera reacción positiva ocurra antes del tercer análisis?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟎 𝒒 = 𝟎, 𝟔𝟎 Aquí el éxito es que salga una reacción positiva, por lo que p = 0,4 y q = 0,6. Si la primera reacción positiva debe aparecer antes del tercer análisis, entonces:

𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝑿 < 𝟑) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) = (𝟐

𝟓) ∗ (

𝟑

𝟓)𝟏−𝟏

+ (𝟐

𝟓) ∗ (

𝟑

𝟓)𝟐−𝟏

=𝟐

𝟓+𝟔

𝟐𝟓=𝟏𝟔

𝟐𝟓= 𝟎,𝟔𝟒 = 𝟔𝟒%

EJEMPLO#271 Se tienen 4 llaves de las cuales sólo una abre un candado. Se prueban las llaves una tras otra, con reemplazo, hasta

encontrar la que abre el candado. Calcular la probabilidad de que el candado se abra después del segundo intento.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒒 = 𝟎, 𝟕𝟓 Si seleccionamos una llave al azar, la probabilidad de que éste abra el candado es ¼ y como el éxito es que se abra el candado, entonces p = ¼ = 0,25 y q = 0,75. Deseamos encontrar P(X>2).

𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝑿 > 𝟐) = 𝟏− [𝒑(𝒙 ≤ 𝟐)] = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐)] = 𝟏 − [(𝟏

𝟒) ∗ (

𝟑

𝟒)𝟏−𝟏

+ (𝟏

𝟒) ∗ (

𝟑

𝟒)𝟐−𝟏

] =

𝟏 − [(𝟏

𝟒) ∗ (

𝟑

𝟒)𝟏−𝟏

+ (𝟏

𝟒) ∗ (

𝟑

𝟒)𝟐−𝟏

] = 𝟏 − [𝟏

𝟒+𝟑

𝟏𝟔] = 𝟏 − [

𝟕

𝟏𝟔] =

𝟗

𝟏𝟔= 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 = 𝟓𝟔, 𝟐𝟓% ≅ 𝟓𝟔%

EJEMPLO#272 Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga el café. Si los tres resultados son iguales, las monedas se lanzan

nuevamente. Encontrar la probabilidad de que se necesiten menos de 4 intentos para saber quién paga el café.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒒 = 𝟎, 𝟐𝟓 En este problema el éxito consiste en sacar el disparejo. Lo primero que debemos hacer para resolver el problema, es encontrar el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de 3 monedas:

𝑺 = (𝒄, 𝒄, 𝒄), (𝒄, 𝒄, 𝒔), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒄), (𝒄, 𝒔, 𝒔), (𝒔, 𝒄, 𝒔), (𝒔, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔, 𝒔) 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒄 = 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒔 = 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐 𝑺 = 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍. Podemos apreciar que la magnitud del espacio muestral es 8 y que es un espacio equiprobable. El número de resultados en que aparece el disparejo es 6, por lo que p = 6/8 = 0,75 y q = 0,25. Si queremos obtener la probabilidad de que se necesiten menos de 4 intentos para saber quién paga el café, entonces:

𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)𝒙−𝟏 = 𝑷(𝑿 < 𝟒) = [𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑)] = [(𝟑

𝟒) ∗ (

𝟏

𝟒)𝟏−𝟏

+ (𝟑

𝟒) ∗ (

𝟏

𝟒)𝟐−𝟏

+ (𝟑

𝟒) ∗ (

𝟏

𝟒)𝟑−𝟏

] =

[(𝟑

𝟒) ∗ (

𝟏

𝟒)𝟏−𝟏

+ (𝟑

𝟒) ∗ (

𝟏

𝟒)𝟐−𝟏

+ (𝟑

𝟒) ∗ (

𝟏

𝟒)𝟑−𝟏

] = [𝟑

𝟒+𝟑

𝟏𝟔+𝟑

𝟔𝟒] =

𝟔𝟑

𝟔𝟒= 𝟎, 𝟗𝟖𝟒𝟒 = 𝟗𝟖, 𝟒𝟒% ≅ 𝟗𝟖%

EJEMPLO#273 Se lanzan 2 dados hasta que la suma de los números que aparecen sea 7. Calcular:

a) La esperanza del número de lanzamientos que se necesiten. b) La varianza del número de lanzamientos que se necesiten.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒑 =𝟔

𝟑𝟔=𝟏

𝟔 𝒒 =

𝟑𝟎

𝟑𝟔=𝟓

𝟔

El éxito en este experimento es que la suma de los números que aparecen sea 7, por lo que el primer paso es el cálculo de su probabilidad. En problemas anteriores hemos visto que la magnitud del espacio muestral de este experimento es 36. Ahora calculemos el número de formas posibles en que aparece el 7. Los posibles resultados son: (1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) y aplicando la función de conjunto aditivo vemos que son 6 resultados, por lo que p = 6/36 = 1/6 y q = 5/6.

𝒂) 𝝁 = = 𝑬(𝑿) =∑𝒙(𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏) =𝟏

𝒑 =𝟏

𝟏𝟔

=𝟔

𝟏 = 𝟔 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝟕.

∞

𝒙−𝟏

𝒃) 𝝈𝒙𝟐 = 𝝈𝟐 = 𝑽(𝑿) = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐 =∑𝒙𝟐(𝒑 ∗ 𝒒𝒙−𝟏) − [

𝟏

𝒑]𝟐

=𝒒

𝒑𝟐

∞

𝒙−𝟏

=

𝟓𝟔

(𝟏𝟔)𝟐 =

𝟓𝟔𝟏𝟑𝟔

=𝟓(𝟑𝟔)

𝟔(𝟏)=𝟏𝟖𝟎

𝟔= 𝟑𝟎 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔.

Distribución Pascal Supongamos que se realiza un experimento ζ de manera repetida observando sus resultados. Si definimos a 𝑿 como el “Número de veces

que debe repetirse el experimento hasta obtener r resultados exitosos” y definimos a 𝒑 como la probabilidad de éxito cada vez que se realiza

el experimento, diremos entonces, que 𝑿 tiene Distribución de Pascal con parámetros 𝒓 y 𝒑, cuya distribución de probabilidad viene dada por:

𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝒙) = (𝑪𝒓−𝟏𝒙−𝟏) ∗ 𝒑𝒓 ∗ 𝒒𝒙−𝒓 = (

𝒙 − 𝟏𝒓 − 𝟏

) ∗ 𝒑𝒓 ∗ (𝟏 − 𝒑)𝒙−𝒓⟹ 𝒙 = 𝒓, 𝒓 + 𝟏, 𝒓 + 𝟐, 𝒓 + 𝟑,… .,

𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 = 𝑬(𝑿) = 𝒓 (𝟏

𝒑) 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 → 𝑽(𝑿) = 𝝈𝟐 = 𝒓 (

𝒒

𝒑𝟐) 𝑹𝒙 = 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = (𝒓,𝒓+ 𝟏,𝒓+ 𝟐,𝒓 +𝟑,… . , ) 𝟎 < 𝒑 < 𝟏

EJEMPLO#274 La probabilidad de encendido de un motor es de 0,80 si se hacen intentos de encendidos hasta que se logren 4 éxitos.

a) Calcular la probabilidad de que sean necesarios 9 intentos b) Calcular la probabilidad de que sean necesarios menos de 7 intentos.


SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒙 = 𝟒, 𝟓, 𝟔, … . , ; 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟖𝟎% 𝒒 = 𝟎,𝟐𝟎 = 𝟐𝟎% 𝒓 = 𝟒

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟗) = (𝑪𝒓−𝟏𝒙−𝟏) ∗ 𝒑𝒓 ∗ 𝒒𝒙−𝒓 = (

𝟗 − 𝟏𝟒 − 𝟏

) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟗−𝟒 = (𝟖𝟑) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟓 = 𝟓𝟔 (

𝟐𝟓𝟔

𝟔𝟐𝟓)(

𝟏

𝟑𝟏𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟕𝟑𝟒𝟎% ≅ 𝟏%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 < 𝟕) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝟔) = 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓) + 𝒑(𝒙 = 𝟔) = (𝟒 − 𝟏𝟒 − 𝟏

) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟒−𝟒 + (𝟓 − 𝟏𝟒 − 𝟏

) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟓−𝟒 +

(𝟔 − 𝟏𝟒 − 𝟏

) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟔−𝟒 = (𝟑𝟑) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟎 + (

𝟒𝟑) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟏 + (

𝟓𝟑) ∗ (𝟎, 𝟖)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟐)𝟐 =

𝟏 ∗𝟐𝟓𝟔

𝟔𝟐𝟓∗ 𝟏 + 𝟒 ∗

𝟐𝟓𝟔

𝟔𝟐𝟓∗𝟏

𝟓+ 𝟏𝟎 ∗

𝟐𝟓𝟔

𝟔𝟐𝟓∗𝟏

𝟐𝟓=𝟐𝟓𝟔

𝟔𝟐𝟓+𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟑𝟏𝟐𝟓+𝟓𝟏𝟐

𝟑𝟏𝟐𝟓=𝟐𝟖𝟏𝟔

𝟑𝟏𝟐𝟓= 𝟎, 𝟗𝟎𝟏𝟏𝟐 = 𝟗𝟎,𝟏𝟏𝟐% = 𝟗𝟎%

EJEMPLO#275 Si se lanza una moneda hasta que obtener 5 caras, encuentre la probabilidad de que tenga que lanzarse 12 veces. Encuentre

también el número esperado de veces que debe lanzarse la moneda para obtener 5 caras, así como su desviación estándar.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒙 = 𝟏𝟐; 𝒑 = 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎% 𝒒 = 𝟎,𝟓𝟎 = 𝟓𝟎% 𝒓 = 𝟓 Definamos a 𝑿 como la variable aleatoria que representa “El número de lanzamientos realizados hasta obtener 5 caras”. X → 𝑷𝒙(𝒓 = 𝟓,𝒑 = ½ ). El espacio rango de 𝑿 es 5, 6, .. Como sólo se deben realizar 12 lanzamientos, la quinta cara debe obtenerse en el décimo lanzamiento. Las otras 4 caras deben caer en los 11 lanzamientos anteriores. Ahora bien, ¿de cuántas maneras podemos repartir 4 caras en 11 posiciones? Esto se hace en 𝑪(𝟏𝟏,𝟒) maneras. Como por otro lado deben obtenerse 5 caras y la probabilidad de obtener una cara es ½ , entonces ( ½ )5 es la probabilidad de obtener 5 caras. Además, Como en 12 lanzamientos deben ocurrir 7 sellos entonces ( 1/2 )7 es la probabilidad de obtener 7 sellos. Luego, la probabilidad de obtener 5 caras y 7 sellos es ( ½ ) 5 ( ½)7. Y esto puede ocurrir en 𝑪(𝟏𝟏,𝟒) maneras.

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟏𝟐) = (𝑪𝒓−𝟏𝒙−𝟏) ∗ 𝒑𝒓 ∗ 𝒒𝒙−𝒓 = (

𝟏𝟐 − 𝟏𝟓 − 𝟏

) ∗ (𝟏

𝟐)𝟓

∗ (𝟏

𝟐)𝟏𝟐−𝟓

= 𝟑𝟑𝟎(𝟏

𝟑𝟐) (

𝟏

𝟏𝟐𝟖) =

𝟏𝟔𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖= 𝟎, 𝟎𝟖𝟎𝟔 = 𝟖, 𝟎𝟔% ≅ 𝟖%

𝒃) 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 = 𝑬(𝑿) = 𝒓 (𝟏

𝒑) = 𝟓(

𝟏

𝟎, 𝟓𝟎) = 𝟏𝟎 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒉𝒂𝒚 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒅𝒂 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟓 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔.

𝒄) 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 → 𝑽(𝑿) = 𝝈𝟐 = 𝒓(𝒒

𝒑𝟐) = 𝟓(

𝟎, 𝟓𝟎

𝟎, 𝟓𝟎𝟐) = 𝟓(

𝟎, 𝟓𝟎

𝟎, 𝟐𝟓) = 𝟓(𝟐) = 𝟏𝟎 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔.

𝒅)𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 → 𝝈 = √𝒓 (𝒒

𝒑𝟐) = √𝟓 (

𝟎, 𝟓𝟎

𝟎, 𝟓𝟎𝟐) = √𝟏𝟎 = 𝟑, 𝟏𝟔𝟐𝟑 ≅ 𝟑 𝒍𝒂𝒏𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔.

Distribución Hipergeométrica Este es otro de los modelos contrario al modelo Binomial. Si en este los resultados del experimento son independientes uno de otro, en el caso de una Distribución Hipergeométrica los resultados siguientes dependen de los anteriores. Esto ocurre ya que el experimento o fenómeno se realiza sin reposición. Por esta razón, la variable aleatoria definida como el número de éxitos obtenidos tiene una distribución

Hipergeométrica. Para que una variable aleatoria como 𝑿 tenga distribución Hipergeométrica el experimento debe realizarse sin reposición o sin reemplazamiento. Definición

Suponga que una cierta población de tamaño 𝑵, contiene 𝑴 elementos que poseen determinado atributo o característica. Suponga también

que de esta población se desea extraer sin reposición una muestra de 𝒏 elementos y estamos interesados en saber el número de elementos

en la muestra que poseen dicho atributo o característica. Si definimos a 𝑿 como el número de elementos con dicho atributo, la probabilidad

de obtener éxito (que posea dicho atributo) en la primera será 𝑴/𝑵, la probabilidad de que el segundo también sea éxito será (𝑴 − 𝟏)/(𝑵 − 𝟏)

y de que lo sea sabiendo que el primero no lo fue, será 𝑴/(𝑵 − 𝟏). Si ahora se elige una muestra de tamaño 𝒏 la variable 𝑿 así definida tendrá Distribución Hipergeométrica con parámetros 𝑵,𝑴,𝒏; es decir

𝑯(𝑵,𝑴, 𝒏) cuya función de probabilidad viene dada por:

𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)

; 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, … , 𝒏. 𝑴 < 𝑵

𝑬𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑿 ⟹ 𝑬(𝑿) = 𝒏 (𝑴

𝑵) = 𝒏𝒑 𝑳𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝑿 ⟹ 𝝈𝟐 = 𝑽(𝑿) = 𝒏 (

𝑴

𝑵)(𝑵 − 𝒏

𝑵− 𝟏) (𝑵 −𝑴

𝑵) = 𝒏(

𝑴

𝑵)(𝑵 − 𝒏

𝑵− 𝟏)(𝟏 −

𝑴

𝑵)

𝑳𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝑿 ⟹ 𝝈𝟐 = 𝑽(𝑿) = 𝒏𝒑𝒒 (𝑵 − 𝒏

𝑵− 𝟏) = (

𝑵 − 𝒏

𝑵− 𝟏)𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝒑 =

𝑴

𝑵 𝒒 = 𝟏 − 𝒑

Donde:

𝑵⟹ 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑴⟹ 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝑰 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏. 𝑵−𝑴⟹ 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝑰𝑰 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍. 𝒏 ⟹ 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒔𝒂𝒚𝒐𝒔 𝑿 ⟹ 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝑰 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 𝒙 ⟹ 𝑳𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒔𝒆 𝒆𝒍𝒊𝒈𝒆 𝒔𝒊𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏) 𝒏 − 𝒙 ⟹ 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

La distribución binomial es apropiada sólo si la probabilidad de un éxito permanece constante. Esto ocurre si el muestreo se realiza con reemplazo en una población grande. Sin embrago, si la población es pequeña y ocurre sin reemplazo, la probabilidad de éxito variará, y la distribución hipergeométrica es que se utiliza.


𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝑯(𝒙; 𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)

=𝑪𝒙𝑴 ∗ 𝑪𝒏−𝒙

𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

Notas: Si se selecciona una muestra si reemplazo de una población grande conocida y contiene una proporción relativamente grande de la población, de manera de la probabilidad de éxito varia de una selección a la siguiente, debe utilizarse la distribución hipergeometrica. Cuando tamaño de la población (N) es muy grande, la distribución hipergeométrica tiende aproximarse a la binomial. Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos, pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otra observación anterior. Es decir que la distribución hipergeometrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo. Aproximación de la distribución hipergeometrica a una distribución binomial: Cuando la población es grande (N) y la muestra relativamente pequeña (n), el hecho que el muestreo se realiza sin reemplazo tiene escaso efecto en la probabilidad de éxito de cada ensayo. Por regla general cuando n<10% N(es decir, M/N<0,10) se aproxima la distribución hipergeometrica a la distribución binomial con p=M/N.

𝒑(𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒏 𝒅𝒆 𝑺 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒆𝒏𝒈𝒂 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒙 𝒂 𝒆𝒔) =(𝒂𝒙) (

𝒃𝒏 − 𝒙

)

(𝒂 + 𝒃𝒏)= 𝒑(𝑿 = 𝒙 ∖ 𝒏); 𝝁 =

𝒏𝒂

𝒂+ 𝒃; 𝝈𝟐 =

𝒏𝒂𝒃(𝒂 + 𝒃 − 𝒏)

(𝒂 + 𝒃)𝟐(𝒂 + 𝒃 − 𝟏)

EJEMPLO#276 De una urna que contiene 5 bolas negras y 2 bolas blancas, se extraen 3 bolas sin reposición.

a) función de distribución de probabilidad b) probabilidad de extraer 2 negras.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟓𝒃𝒐𝒍𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂𝒔 + 𝟐 𝒃𝒐𝒍𝒂𝒔 𝒃𝒍𝒂𝒏𝒄𝒂𝒔 = 𝟕 𝒃𝒐𝒍𝒂𝒔; 𝑴 = 𝟓𝒃𝒍𝒂𝒏𝒄𝒂𝒔; 𝒏 = 𝟐𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂𝒔; 𝒙 = 𝟐 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂𝒔 𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒂𝒆𝒓 =?

𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵=𝑪𝟐𝟓 ∗ 𝑪𝟐−𝟐

𝟕−𝟓

𝑪𝟐𝟕 =

𝑪𝟐𝟓 ∗ 𝑪𝟎

𝟐

𝑪𝟐𝟕 =

(𝟏𝟎)(𝟏)

𝟐𝟏= 𝟎, 𝟒𝟕𝟔𝟐 ≅ 𝟒𝟖%

EJEMPLO#277 En una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar.

a)¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟐𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔; 𝑴 = 𝟔; 𝒏 = 𝟑; 𝒙 = 𝟑 =?

𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵=𝑪𝟑𝟔 ∗ 𝑪𝟑−𝟑

𝟐𝟎−𝟔

𝑪𝟑𝟐𝟎 =

𝑪𝟑𝟔 ∗ 𝑪𝟎

𝟏𝟒

𝑪𝟑𝟐𝟎 =

(𝟐𝟎)(𝟏)

(𝟏𝟏𝟒𝟎)= 𝟎,𝟎𝟏𝟕𝟓 = 𝟏,𝟕𝟓% ≅ 𝟐%

EJEMPLO#278 Suponga que se conoce que 4 de cada secuencia de 20 automóviles sacados de la línea de ensamble de motores JVH

requieren que se les vuelva a trabajar extensamente. Supóngase que se seleccionan dos automóviles de una secuencia de 20 automóviles. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un automóvil requiere que se le vuelva a trabajar extensamente? b) En una muestra de tamaño n=10, de una secuencia de 20 automóviles, ¿Cuántos automóviles espera usted que necesiten volvérseles a trabajar extensamente?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟐𝟎 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔; 𝑴 = 𝒂 = 𝟒; 𝒏 = 𝟐𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔; 𝒙 = 𝟏𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍 =? 𝒃 = 𝑵 −𝑴 = 𝟐𝟎 − 𝟒 = 𝟏𝟔 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒐𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟏 ∖𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒏 = 𝟐) = 𝑯(𝒙; 𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

=𝑪𝟏𝟒 ∗ 𝑪𝟐−𝟏

𝟐𝟎−𝟒

𝑪𝟐𝟐𝟎

=𝑪𝟏𝟒 ∗ 𝑪𝟏

𝟏𝟔

𝑪𝟐𝟐𝟎

=(𝟒)(𝟏𝟔)

(𝟏𝟗𝟎)= 𝟎,𝟑𝟑𝟔𝟖 = 𝟑𝟑, 𝟔𝟖% ≅ 𝟑𝟒%

𝒃) 𝝁 = =𝒏𝒂

𝒂 + 𝒃=𝟏𝟎(𝟒)

𝟒 + 𝟏𝟔=𝟒𝟎

𝟐𝟎= 𝟐 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎ó𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔. 𝝁 = = 𝒏𝒑 = 𝒏(

𝑴

𝑵) = 𝟏𝟎 (

𝟒

𝟐𝟎) =

𝟒𝟎

𝟐𝟎= 𝟐 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎ó𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔 𝑴 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟔 = 𝟒

EJEMPLO#279 Suponga que un gerente selecciona aleatoriamente n=4 nombres de un archivo que contiene (a+b=15 solicitantes de un

trabajo), y a=10 de ellos tienen experiencia administrativa previa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los solicitantes tenga experiencia? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un solicitante tenga experiencia previa?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟓; 𝑴 = 𝒂 = 𝟏𝟎; 𝒏 = 𝟒 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔; 𝒃 = 𝑵 −𝑴 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = 𝟓 𝒂)𝒙 = 𝟎 =? 𝒃)𝒙 = 𝟏 =?

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟒) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵=𝑪𝟎𝟏𝟎 ∗ 𝑪𝟒−𝟎

𝟏𝟓−𝟏𝟎

𝑪𝟒𝟏𝟓 =

𝑪𝟎𝟏𝟎 ∗ 𝑪𝟒

𝟓

𝑪𝟒𝟏𝟓 =

(𝟏)(𝟓)

(𝟏𝟑𝟔𝟓)=

𝟓

𝟏𝟑𝟔𝟓= 𝟎, 𝟑𝟔𝟔𝟑% ≅ 𝟎%

𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍𝟏%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟒) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵=𝑪𝟏𝟏𝟎 ∗ 𝑪𝟒−𝟏

𝟏𝟓−𝟏𝟎

𝑪𝟒𝟏𝟓

=𝑪𝟏𝟏𝟎 ∗ 𝑪𝟑

𝟓

𝑪𝟒𝟏𝟓

=(𝟏𝟎)(𝟏𝟎)

(𝟏𝟑𝟔𝟓)=𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟑𝟔𝟓= 𝟎, 𝟎𝟕𝟑𝟐𝟔 = 𝟕,𝟑𝟐𝟔% ≅ 𝟕%

EJEMPLO#280 Si en una empresa se presentan para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y 8 mujeres, calcular el

número de hombres contratados o probabilidad de hombres contratados. SOLUCION: Datos del ejercicio lo vamos a plantear de esta manera:


𝑬 𝑬𝑰 𝑬 𝑬𝑰 N=13

𝑵 = 𝟏𝟑 𝒏 = 𝟐

𝑴 𝑵−𝑴 𝑴 = 𝟓 (𝑵 −𝑴) = 𝟖

𝒙 𝒏− 𝒙 𝒙 = 𝟎 (𝒏 − 𝒙) = 𝟐

𝑵 = 𝟏𝟑 𝒂𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒃𝒓𝒊𝒓 𝟐 𝒗𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔. 𝑨 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔. 𝑬𝟎 = 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒏; 𝒙𝟎 = 𝟎 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒓 (𝒏− 𝒙𝟎) = 𝟐 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔.

𝑬𝟏 = 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒏; 𝒙𝟏 = 𝟏 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒓 (𝒏− 𝒙𝟏) = 𝟏 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔.

𝑬𝟐 = 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒏; 𝒙𝟐 = 𝟐 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒓 (𝒏− 𝒙𝟐) = 𝟎 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔.

𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:

𝑵 = 𝟏𝟑 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒂𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔. 𝑴 = 𝟓 𝒂𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔.

𝑵 −𝑴 = 𝟖 𝒂𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔. 𝒏 = 𝟐 𝒗𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒙 = 𝟎,𝟏, 𝟐 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒓. 𝒏 − 𝒙 = 𝟐, 𝟏, 𝟎 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒓.

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟎 ∖ 𝒏 = 𝟐) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵=𝑪𝟎𝟓 ∗ 𝑪𝟐−𝟎

𝟏𝟑−𝟓

𝑪𝟐𝟏𝟑 =

𝑪𝟎𝟓 ∗ 𝑪𝟐

𝟖

𝑪𝟐𝟏𝟑 =

𝟏 ∗ 𝟐𝟖

𝟕𝟖=𝟐𝟖

𝟕𝟖= 𝟎, 𝟑𝟓𝟗𝟎 = 𝟑𝟓,𝟗% ≅ 𝟑𝟔%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟐) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵=𝑪𝟏𝟓 ∗ 𝑪𝟐−𝟏

𝟏𝟑−𝟓

𝑪𝟐𝟏𝟑 =

𝑪𝟏𝟓 ∗ 𝑪𝟏

𝟖

𝑪𝟐𝟏𝟑 =

𝟓 ∗ 𝟖

𝟕𝟖=𝟒𝟎

𝟕𝟖= 𝟎,𝟓𝟏𝟐𝟖 = 𝟓𝟏, 𝟐𝟖% ≅ 𝟓𝟏%

𝒄) 𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟐 ∖ 𝒏 = 𝟐) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵=𝑪𝟐𝟓 ∗ 𝑪𝟐−𝟐

𝟏𝟑−𝟓

𝑪𝟐𝟏𝟑

=𝑪𝟐𝟓 ∗ 𝑪𝟎

𝟖

𝑪𝟐𝟏𝟑

=𝟏𝟎 ∗ 𝟏

𝟕𝟖=𝟏𝟎

𝟕𝟖= 𝟎, 𝟏𝟐𝟖𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟖𝟐% ≅ 𝟏𝟑%

𝒅) 𝝁 = 𝑬(𝑿) = 𝒏(𝑴

𝑵) = 𝒏𝒑 = 𝟐 (

𝟓

𝟏𝟑) =

𝟏𝟎

𝟏𝟑= 𝟎, 𝟕𝟔𝟗𝟐 ≅ 𝟏 𝝈 = √𝝈𝟐 = √𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟗 = 𝟎,𝟔𝟓𝟖𝟕 ≅ 𝟏 (𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓)

𝒆) 𝝈𝟐 = 𝑽(𝑿) = 𝒏(𝑴

𝑵)(𝑵 − 𝒏

𝑵− 𝟏)(𝑵 −𝑴

𝑵) = 𝒏 (

𝑴

𝑵)(𝑵 − 𝒏

𝑵− 𝟏)(𝟏 −

𝑴

𝑵) = 𝟐(

𝟓

𝟏𝟑) (𝟏𝟑 − 𝟐

𝟏𝟑 − 𝟏) (𝟏 −

𝟓

𝟏𝟑) = 𝟐(

𝟓

𝟏𝟑) (𝟏𝟏

𝟏𝟐) (𝟖

𝟏𝟑) =

𝟐𝟐𝟎

𝟓𝟎𝟕= 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟗 ≅ 𝟎(𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂)

EJEMPLO#281 Si en un refrigerador hay 12 envases de refrescos de los cuales son 3 de manzanas, 5 de naranja y 4 de uva. Cuál es la

probabilidad de que al surtir un pedido de 7 envases tomados al azar 2 sean de manzana, 4 de naranja y 1 de uva. SOLUCION:

𝑵𝟏 = 𝟑 𝑵𝟐 = 𝟓 𝑵𝟑 = 𝟒 𝑵 = 𝟏𝟐 ∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎ = 𝟏𝟐 𝒆𝒏𝒗𝒂𝒔𝒆𝒔

𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = 𝟒 𝒙𝟑 = 𝟏 𝒏 = 𝟕 ∎∎∎ = 𝟑 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂𝒔 ∎∎∎∎∎ = 𝟓 𝒏𝒂𝒓𝒂𝒏𝒋𝒂𝒔 ∎∎∎∎ = 𝟒𝒖𝒗𝒂𝒔

𝑷(𝑿 = 𝟐,𝟒, 𝟏 ∖ 𝒏 = 𝟕) = 𝑯(𝟕;𝟐; 𝟒; 𝟏) =(𝑵𝟏𝒙𝟏) (𝑵𝟐𝒙𝟐) (𝑵𝟑𝒙𝟑)

(𝑵𝒏)

=(𝟑𝟐) (𝟓𝟒) (𝟒𝟏)

(𝟏𝟐𝟕)

=(𝟑)(𝟓)(𝟒)

(𝟕𝟗𝟐)=𝟔𝟎

𝟕𝟗𝟐=𝟓

𝟔𝟔= 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝟖 = 𝟕, 𝟓𝟖% ≅ 𝟖%

EJEMPLO#282 Si de un lote de 25 artículos se sabe que 5 están defectuosos, hallar las siguientes probabilidades en una muestra de 8

artículos seleccionados del lote aleatoriamente. a) Probabilidad de que de los 8, salgan 3 defectuosos. b) Probabilidad de que de los 8, salgan 6 buenos. c) Probabilidad de que de los 8, salgan mínimo 4 defectuosos. d) Probabilidad de que de los 8, salgan entre 3 y 4 buenos. e) Se considera aceptable el lote, si en la muestra todos están buenos. ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟐𝟓(𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏); 𝑴 = 𝟓(𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔); 𝒏 = 𝟖(𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂); 𝑵 −𝑴 = 𝟐𝟎(𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔); 𝒂)𝒙 = 𝟑

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

=𝑪𝟑𝟓 ∗ 𝑪𝟖−𝟑

𝟐𝟓−𝟓

𝑪𝟖𝟐𝟓

=𝑪𝟑𝟓 ∗ 𝑪𝟓

𝟐𝟎

𝑪𝟖𝟐𝟓

=𝟏𝟓𝟓𝟎𝟒𝟎

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓= 𝟏𝟒,𝟑𝟑%

𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒈𝒂𝒏 𝟑 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝟏𝟒,𝟑𝟑%

𝒃)𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟔) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵−𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

=𝑪𝟔𝟐𝟎 ∗ 𝑪𝟖−𝟔

𝟐𝟓−𝟐𝟎

𝑪𝟖𝟐𝟓 =

𝑪𝟔𝟐𝟎 ∗ 𝑪𝟐

𝟓

𝑪𝟖𝟐𝟓 =

𝟑𝟖𝟕𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓= 𝟑𝟓,𝟖𝟒%

𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝟖, 𝒔𝒂𝒍𝒈𝒂𝒏 𝟔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟑𝟓,𝟖𝟒%

Nota: ya que en la población lo máximo hay 5 defectuosos M=5, acá tenemos M=6, por lo tanto utilizamos M=20. De N-M=20 buenos.

𝒄)𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≥ 𝟒) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

= 𝑷(𝑿 ≥ 𝟒) = 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓)+ 𝒑(𝒙 = 𝟔) + 𝒑(𝒙 = 𝟕)+ 𝒑(𝒙 = 𝟖) =

Tener en cuenta que aunque el tamaño de la muestra es 8 no se pueden encontrar ni 6, 7 u 8 defectuosos, ya que en la población hay máximo

5 defectuosos. Esto quiere decir que solamente debemos sacar lo siguiente. No olvidar (𝑵−𝑴 = 𝟐𝟎).

𝒑(𝒙 = 𝟒)+ 𝒑(𝒙 = 𝟓) =𝑪𝟒𝟓 ∗ 𝑪𝟖−𝟒

𝟐𝟓−𝟓

𝑪𝟖𝟐𝟓 +

𝑪𝟓𝟓 ∗ 𝑪𝟖−𝟓

𝟐𝟓−𝟓

𝑪𝟖𝟐𝟓 =

𝟐𝟒𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓+

𝟏𝟏𝟒𝟎

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓=𝟖𝟗

𝟑𝟕𝟗𝟓= 𝟐,𝟑𝟒𝟓% ≅ 𝟐%

𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝟖 𝒔𝒂𝒍𝒈𝒂𝒏𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝟒 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝟐, 𝟑𝟒𝟓%

𝒅)𝑵 = 𝟐𝟓(𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏); 𝑴 = 𝟐𝟎; 𝒏 = 𝟖(𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂); 𝑵 −𝑴 = 𝟓 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒

𝒑(𝒙) = 𝑷(𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)

=𝑪𝟑𝟐𝟎 ∗ 𝑪𝟖−𝟑

𝟐𝟓−𝟐𝟎

𝑪𝟖𝟐𝟓 +

𝑪𝟒𝟐𝟎 ∗ 𝑪𝟖−𝟒

𝟐𝟓−𝟐𝟎

𝑪𝟖𝟐𝟓 =

𝟏𝟏𝟒𝟎

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓+𝟐𝟒𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓=𝟖𝟗

𝟑𝟕𝟗𝟓= 𝟐,𝟑𝟒𝟓% ≅ 𝟐%

La probabilidad de que de los 8 salgan entre 3 y 4 buenos es de 2,345%.

𝒆)𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒍𝒐𝒕𝒆,𝒅𝒆𝒃𝒆𝒏 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒊𝒓 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒐 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒎𝒂𝒍𝒐𝒔.𝑶 𝒔𝒆𝒂, 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔, 𝒔𝒊𝒏 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐. 𝑻𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟐𝟓(𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏); 𝑴 = 𝟐𝟎; 𝒏 = 𝟖(𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂); 𝑵 −𝑴 = 𝟓 𝒙 = 𝟖 𝑪𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟐𝟓(𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏); 𝑴 = 𝟓; 𝒏 = 𝟖(𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂); 𝑵 − 𝑴 = 𝟐𝟎 𝒙 = 𝟎

𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟖) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

=𝑪𝟖𝟐𝟎 ∗ 𝑪𝟖−𝟖

𝟐𝟓−𝟐𝟎

𝑪𝟖𝟐𝟓 =

𝟏𝟐𝟓𝟗𝟕𝟎

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓=𝟒𝟒𝟐

𝟑𝟕𝟗𝟓= 𝟎,𝟏𝟏𝟔𝟓 = 𝟏𝟏,𝟔𝟓% ≅ 𝟏𝟐%


𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

=𝑪𝟎𝟓 ∗ 𝑪𝟖−𝟎

𝟐𝟓−𝟓

𝑪𝟖𝟐𝟓 =

𝟏𝟐𝟓𝟗𝟕𝟎

𝟏𝟎𝟖𝟏𝟓𝟕𝟓=𝟒𝟒𝟐

𝟑𝟕𝟗𝟓= 𝟎,𝟏𝟏𝟔𝟓 = 𝟏𝟏,𝟔𝟓% ≅ 𝟏𝟐%

La probabilidad de que se acepte el lote es de 11,65%.

EJEMPLO#283 Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9

píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟗 + 𝟔 = 𝟏𝟓 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔(𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏); 𝑴 = 𝟔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒏𝒂𝒓𝒄ó𝒕𝒊𝒄𝒐; 𝑵 −𝑴 = 𝟗; 𝒏 = 𝟑 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔(𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂);𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, ó, 𝟑 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒏𝒂𝒓𝒄ó𝒕𝒊𝒄𝒐 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒏𝒂𝒓𝒄ó𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆𝒏 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝟑 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔: 𝑷(𝒗𝒊𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒏𝒂𝒓𝒄ó𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔) = 𝒑(𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝟑 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒉𝒂𝒚𝒂 𝟏 𝒐 𝒎á𝒔 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒏𝒂𝒓𝒄ó𝒕𝒊𝒄𝒐) =?

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑) = 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵

𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑) =𝑪𝟏𝟔 ∗ 𝑪𝟑−𝟏

𝟏𝟓−𝟔

𝑪𝟑𝟏𝟓

+𝑪𝟐𝟔 ∗ 𝑪𝟑−𝟐

𝟏𝟓−𝟔

𝑪𝟑𝟏𝟓

+𝑪𝟑𝟔 ∗ 𝑪𝟑−𝟑

𝟏𝟓−𝟔

𝑪𝟑𝟏𝟓

=𝟐𝟏𝟔

𝟒𝟓𝟓+𝟏𝟑𝟓

𝟒𝟓𝟓+𝟐𝟎

𝟒𝟓𝟓=𝟑𝟕𝟏

𝟒𝟓𝟓=𝟓𝟑

𝟔𝟓= 𝟎, 𝟖𝟏𝟓𝟒 = 𝟖𝟏,𝟓𝟒% ≅ 𝟖𝟐%

Otra forma de resolverlo de forma más directa

𝒑(𝒆𝒍 𝒗𝒊𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒏𝒂𝒓𝒄ó𝒕𝒊𝒄𝒐) = 𝟏 − 𝒑(𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒏𝒂𝒓𝒄ó𝒕𝒊𝒄𝒐)

𝒑(𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎;𝒏 = 𝟑) = 𝟏 − (𝑪𝟎𝟔 ∗ 𝑪𝟑−𝟎

𝟏𝟓−𝟔

𝑪𝟑𝟏𝟓

) = 𝟏 − (𝟖𝟒

𝟒𝟓𝟓) = 𝟏 − (

𝟏𝟐

𝟔𝟓) =

𝟓𝟑

𝟔𝟓= 𝟎, 𝟖𝟏𝟓𝟒 = 𝟖𝟏,𝟓𝟒% ≅ 𝟖𝟐%

Existe un 81,54% de posibilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos por oficiales de la aduana.

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝒙 = 𝟎;𝒏 = 𝟑) =𝑪𝒙𝑴 ∗ 𝑪𝒏−𝒙

𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵 = (

𝑪𝟎𝟔 ∗ 𝑪𝟑−𝟎

𝟏𝟓−𝟔

𝑪𝟑𝟏𝟓

) =𝟖𝟒

𝟒𝟓𝟓=𝟏𝟐

𝟔𝟓= 𝟎,𝟏𝟖𝟒𝟔 = 𝟏𝟖,𝟒𝟔% ≅ 𝟏𝟖%

EJEMPLO#284 ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si

verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟗 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔(𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏); 𝑴 = 𝟒 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒅𝒂𝒅; 𝑵 −𝑴 = 𝟓; 𝒏 = 𝟓 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔; 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, ó, 𝟒. 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒅𝒂𝒅. 𝒙 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆𝒏 𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒅𝒂𝒅.

𝒂)𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙) (𝑵 −𝑴𝒏− 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵 =

𝑪𝟐𝟒 ∗ 𝑪𝟓−𝟐

𝟗−𝟒

𝑪𝟓𝟗

=𝟔𝟎

𝟏𝟐𝟔=𝟏𝟎

𝟐𝟏= 𝟎,𝟒𝟕𝟔𝟐 = 𝟒𝟕,𝟔𝟐% ≅ 𝟒𝟖%

𝒃)𝒑(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝟎, 𝟏, 𝟐) = 𝑯(𝒙;𝒏;𝑴;𝑵) =(𝑴𝒙)(𝑵 −𝑴𝒏 − 𝒙

)

(𝑵𝒏)


𝑵−𝑴

𝑪𝒏𝑵 =

𝑪𝟎𝟒 ∗ 𝑪𝟓−𝟎

𝟗−𝟒

𝑪𝟓𝟗

+𝑪𝟏𝟒 ∗ 𝑪𝟓−𝟏

𝟗−𝟒

𝑪𝟓𝟗

+𝑪𝟐𝟒 ∗ 𝑪𝟓−𝟐

𝟗−𝟒

𝑪𝟓𝟗

=𝟖𝟏

𝟏𝟐𝟔= 𝟔𝟒, 𝟐𝟗% ≅ 𝟔𝟒%

Distribución multinomial La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados: Propiedades del experimento multinomial:

𝒂) 𝒆𝒍 𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒏 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂𝒔 𝒊𝒅é𝒏𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔. 𝒃)𝒉𝒂𝒚 𝒌 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂. 𝒄) 𝑳𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒌 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔,𝒅𝒆𝒏𝒐𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝒑𝟑, … , 𝒑𝒌. 𝒔𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝒍𝒐 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒂𝒔𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂𝒔,𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 +⋯+𝒑𝒌 = 𝟏

𝒅) 𝑳𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.

Formula de la multinomial

𝒑(𝒏, 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, 𝒌𝟑, 𝒌𝟒, … , 𝒌𝒏) =𝒏!

𝒌𝟏! 𝒌𝟐! 𝒌𝟑! 𝒌𝟒! 𝒌𝟓! ……𝒌𝒏!∗ 𝒑𝟏

𝒌𝟏 ∗ 𝒑𝟐𝒌𝟐 ∗ 𝒑𝟑

𝒌𝟑 ∗ 𝒑𝟒𝒌𝟒 ∗ 𝒑𝟓

𝒌𝟓 ∗ ……𝒑𝒏𝒌𝒏

EJEMPLO#285 Suponga que una línea de producción produce un producto que es J1, J2, J3; J1=aceptable, J2=se debe trabajar para volverse

aceptable, J3=es defectuoso y debe rechazarse. Supongamos por la experiencia pasada que el 90% de las unidades producidas son aceptables, 7% se les debe trabajar de nuevo y el 3% debe destruirse. Supongamos que el control de calidad de prueba 10 unidades cada día, en donde cada unidad se prueba para determinar si es J1, J2 ó J3. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de mañana contenga 8 de J1 y 2 de J2?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟏𝟎; 𝒌𝟏 = 𝟖;𝒌𝟐 = 𝟐;𝒌𝟑 = 𝟎; 𝒑𝟏 = 𝟎,𝟗𝟎; 𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟕; 𝒑𝟑 = 𝟎,𝟎𝟑;

𝒑(𝒏, 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, 𝒌𝟑) =𝒏!

𝒌𝟏! 𝒌𝟐! 𝒌𝟑!∗ 𝒑𝟏

𝒌𝟏 ∗ 𝒑𝟐𝒌𝟐 ∗ 𝒑𝟑

𝒌𝟑 = 𝒑(𝟏𝟎, 𝟖, 𝟐, 𝟎) =𝟏𝟎!

𝟖! 𝟐! 𝟎!∗ (𝟎, 𝟗)𝟖 ∗ (𝟎, 𝟎𝟕)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟎𝟑)𝟎 = 𝟗,𝟒𝟗% ≅ 𝟗%


EJEMPLO#286 Calcular la probabilidad de obtener dos veces el número 4, dos veces el número 5 y una vez el número 2, en el lanzamiento

de un dado 5 veces. SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟓; 𝒌𝟏 = 𝟐;𝒌𝟐 = 𝟐;𝒌𝟑 = 𝟏; 𝒑𝟏 = 𝟏/𝟔; 𝒑𝟐 = 𝟏/𝟔; 𝒑𝟑 = 𝟏/𝟔.

𝒑(𝒏, 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, 𝒌𝟑) =𝒏!

𝒌𝟏! 𝒌𝟐! 𝒌𝟑!∗ 𝒑𝟏

𝒌𝟏 ∗ 𝒑𝟐𝒌𝟐 ∗ 𝒑𝟑

𝒌𝟑 = 𝒑(𝟓, 𝟐, 𝟐, 𝟏) =𝟓!

𝟐! 𝟐! 𝟏!∗ (𝟏

𝟔)𝟐

∗ (𝟏

𝟔)𝟐

∗ (𝟏

𝟔)𝟏

=𝟓

𝟏𝟐𝟗𝟔= 𝟎, 𝟑𝟖𝟓𝟖% ≅ 𝟎%

EJEMPLO#287 En una fiesta, el 20% de los asistentes son Bolivianos, el 30%franceses, el 40% son italianos y el 10% son portugueses. En

un pequeño grupo se han reunido 4 invitados. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 sean bolivianos y 2 italianos? SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟒; 𝒌𝟏 = 𝟐;𝒌𝟐 = 𝟎;𝒌𝟑 = 𝟐;𝒌𝟒 = 𝟎 𝒑𝟏 = 𝟎, 𝟐; 𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟑; 𝒑𝟑 = 𝟎, 𝟒; 𝒑𝟒 = 𝟎, 𝟏.

𝒑(𝒏,𝒌𝟏, 𝒌𝟐, 𝒌𝟑, 𝒌𝟒) =𝒏!

𝒌𝟏! 𝒌𝟐! 𝒌𝟑! 𝒌𝟒!∗ 𝒑𝟏

𝒌𝟏 ∗ 𝒑𝟐𝒌𝟐 ∗ 𝒑𝟑

𝒌𝟑 ∗ 𝒑𝟒𝒌𝟒 = 𝒑(𝟒, 𝟐, 𝟎, 𝟐, 𝟎) =

𝟒!

𝟐! 𝟎! 𝟐! 𝟎!∗ (𝟎, 𝟐)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟑)𝟎 ∗ (𝟎, 𝟒)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟏)𝟎 = 𝟑, 𝟖𝟒%

Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo este formado por personas de estos países están solo de 3,84%.

EJEMPLO#288 Una empresa desea conocer la opinión que se tiene sobre tres productos, A,B,C. sabiendo que el producto A es preferido

por el 10% de los consumidores, el B por el 30% y el C por el 40%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 personas, dos prefieren A, tres prefieren B y dos prefieran el producto C?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟏𝟎; 𝒌𝟏 = 𝟐;𝒌𝟐 = 𝟑;𝒌𝟑 = 𝟐;𝒌𝟒 = 𝟑(𝒏𝒐 𝒑𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒊𝒓 𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒐) 𝒑𝟏 = 𝟎, 𝟏; 𝒑𝟐 = 𝟎,𝟑; 𝒑𝟑 = 𝟎, 𝟒; 𝒑𝟒 = 𝟎, 𝟐(𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒐). Para el producto cuarto nos inventamos 3 personas para completar a 10 y para completar al 100% falta 20%.

𝒑(𝒏,𝒌𝟏, 𝒌𝟐, 𝒌𝟑, 𝒌𝟒) =𝒏!

𝒌𝟏!𝒌𝟐! 𝒌𝟑! 𝒌𝟒!∗ 𝒑𝟏

𝒌𝟏 ∗ 𝒑𝟐𝒌𝟐 ∗ 𝒑𝟑

𝒌𝟑 ∗ 𝒑𝟒𝒌𝟒 = 𝒑(𝟏𝟎,𝟐, 𝟑, 𝟐, 𝟑) =

𝟏𝟎!

𝟐!𝟑! 𝟐! 𝟑!∗ (𝟎,𝟏)𝟐 ∗ (𝟎,𝟑)𝟑 ∗ (𝟎,𝟒)𝟐 ∗ (𝟎,𝟐)𝟑 = 𝟎,𝟖𝟕% ≅ 𝟏%

EJEMPLO#289 Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos del departamento de Santa Cruz de la Sierra Bolivia,

darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votara por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a)2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos b)2 voten por partido verde y 4 por el azul. SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟔; 𝒌𝟏 = 𝟐;𝒌𝟐 = 𝟏;𝒌𝟑 = 𝟑 𝒑𝟏 = 𝟎,𝟓𝟐; 𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟎; 𝒑𝟑 = 𝟎,𝟎𝟖.

𝒂)𝒑(𝒏, 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, 𝒌𝟑) =𝒏!

𝒌𝟏! 𝒌𝟐! 𝒌𝟑!∗ 𝒑𝟏

𝒌𝟏 ∗ 𝒑𝟐𝒌𝟐 ∗ 𝒑𝟑

𝒌𝟑 = 𝒑(𝟔, 𝟐, 𝟏, 𝟑) =𝟔!

𝟐! 𝟏! 𝟑!∗ (𝟎, 𝟓𝟐)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟒)𝟏 ∗ (𝟎, 𝟎𝟖)𝟑 = 𝟎,𝟑𝟑𝟐𝟐𝟔𝟕𝟓𝟐% ≅ 𝟎%

𝒃) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟔; 𝒌𝟏 = 𝟐;𝒌𝟐 = 𝟒;𝒌𝟑 = 𝟎 𝒑𝟏 = 𝟎, 𝟓𝟐; 𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟎; 𝒑𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟖.

𝒑(𝒏,𝒌𝟏, 𝒌𝟐, 𝒌𝟑) =𝒏!

𝒌𝟏! 𝒌𝟐! 𝒌𝟑!∗ 𝒑𝟏

𝒌𝟏 ∗ 𝒑𝟐𝒌𝟐 ∗ 𝒑𝟑

𝒌𝟑 = 𝒑(𝟔, 𝟐, 𝟒, 𝟎) =𝟔!

𝟐! 𝟒! 𝟎!∗ (𝟎, 𝟓𝟐)𝟐 ∗ (𝟎, 𝟒)𝟒 ∗ (𝟎, 𝟎𝟖)𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟑𝟖𝟑𝟑𝟔 ≅ 𝟏𝟎%

DISTRIBUCIÓN POISSON Muchos estudios se basan en el conteo de las veces que se presenta un evento dentro de un área de oportunidad dada. El área de oportunidad es una unidad continua o intervalo de tiempo o espacio (volumen o área) en donde se puede presentar más de un evento. Algunos ejemplos serían los defectos en la superficie de un refrigerador, el número fallas de la red en un día, o el número de pulgas que tiene un perro. Cuando se tiene un área de oportunidad como éstas, se utiliza la distribución de Poisson para calcular las probabilidades si: a) Le interesa contar las veces que se presenta un evento en particular dentro de un área de oportunidad determinada. El área de oportunidad se define por tiempo, extensión, área, volumen, etc. b) La probabilidad de que un evento se presente en un área de oportunidad dada es igual para todas las áreas de oportunidad. c) El número de eventos que ocurren en un área de oportunidad es independiente del número de eventos que se presentan en cualquier otra área de oportunidad. d) La probabilidad de que dos o más eventos se presenten en un área de oportunidad tiende a cero conforme esa área se vuelve menor.

La distribución de Poisson tiene un parámetro, llamado 𝝀(letra griega lambda minúscula), que es la media o el número esperado de eventos

por unidad. La varianza de la distribución de Poisson también es igual a 𝝀, y su desviación estándar es igual a √𝝀. El número de eventos 𝑿 de la variable aleatoria de Poisson fluctúa desde 0 hasta infinito.

𝒑(𝑿 = 𝒙) = 𝒑(𝒙) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!; 𝑬(𝒙) = 𝝁 = 𝒏𝒑 = 𝝀; 𝝈𝟐 = 𝝀; 𝝈 = √𝝀 ; 𝑳𝒂 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 ⟹ 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) =∑

𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!

Dónde:

𝑷(𝒙) ⟹ Probabilidad de 𝑿 eventos en un área de oportunidad.

𝝀 ⟹ Número de eventos esperados, #promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.

𝒙 ⟹Número de eventos, #de veces que ocurre el evento.

𝒆 ⟹Constante matemática base de los logaritmos naturales aproximadamente igual a 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖… . Este número es de gran importancia, tan sólo comparable a la del número 𝝅(𝒑𝒊), por su gran variedad de aplicaciones. El número (𝒆) suele

definirse como el límite de la expresión:(𝟏 +𝟏

𝒏)𝒏

Cuando 𝒏 tiende hacia el infinito. Algunos valores de esta expresión para determinados valores de la 𝒏 se muestran en la tabla siguiente:


EJEMPLO#290 Un promedio de 5 personas por hora realizan transacciones en una ventanilla de servicios especiales de un Banco

Comercial. Suponiendo que el arribo de esas personas tiene una distribución independiente y es igualmente probable a lo largo del periodo de interés. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 personas deseen realizar transacciones en la ventanilla de servicios especiales durante una hora en particular?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 =𝟓𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

𝒉𝒐𝒓𝒂; 𝒙 =

𝟏𝟎𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

𝒉𝒐𝒓𝒂; 𝝀 = 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐; 𝒙 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐.

𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝒙) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝒑(𝑿 = 𝟏𝟎) =

𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟏𝟎

𝟏𝟎!=

𝟏𝒆𝟓∗ 𝟗𝟕𝟔𝟓𝟔𝟐𝟓

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟏 = 𝟏, 𝟖𝟏% ≅ 𝟐%

EJEMPLO#291 La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes.

¿Cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝒏𝒑 = 𝟑𝟎𝟎(𝟎,𝟎𝟐) = 𝟔; 𝒙 = 𝟑 𝒂𝒄𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔; 𝝀 = 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐; 𝒙 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐

𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝒙) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝒑(𝑿 = 𝟑) =

𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟑

𝟑!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟐𝟏𝟔

𝟔= 𝟎, 𝟎𝟖𝟗𝟐 = 𝟖, 𝟗𝟐% ≅ 𝟗%

EJEMPLO#292 La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012.

¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 nacidos haya 5 pelirrojos?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝒏𝒑 = 𝟖𝟎𝟎(𝟎,𝟎𝟏𝟐) = 𝟒𝟖/𝟓; 𝒙 = 𝟓 𝒑𝒆𝒍𝒊𝒓𝒓𝒐𝒋𝒐; 𝝀 = 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐; 𝒙 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐

𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝒙) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝒑(𝑿 = 𝟓) =

𝒆−(𝟒𝟖𝟓 ) ∗ (

𝟒𝟖𝟓)𝟓

𝟓!=

𝟏

𝒆(𝟒𝟖𝟓 )∗ (𝟒𝟖𝟓)𝟓

𝟏𝟐𝟎=

𝟏𝟏𝟒𝟕𝟔𝟒, 𝟕𝟖𝟏𝟔

∗ (𝟖𝟏𝟓𝟑𝟕, 𝟐𝟔𝟗𝟖)

𝟏𝟐𝟎= 𝟎, 𝟎𝟒𝟔𝟎 = 𝟒, 𝟔% ≅ 𝟓%

La probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%.

EJEMPLO#293 Un cajero automático es utilizado cada 19 minutos por 6 personas. Se desea saber cuál es la probabilidad.

a)Que el cajero sea utilizado por 5 personas en 19 minutos. a)Que el cajero sea utilizado por 10 personas en 19 minutos. a)Que el cajero sea utilizado por 5 personas ó menos en 19 minutos.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝟔𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔; 𝒂)𝒙 = 𝟓; 𝒃)𝒙 = 𝟏𝟎; 𝒄)𝒙 ≤ 𝟓; 𝝀 = 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐; 𝒙 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐

𝒂)𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝒙) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝒑(𝑿 = 𝟓) =

𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟓

𝟓!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟕𝟕𝟕𝟔

𝟏𝟐𝟎=𝟏𝟗,𝟐𝟕𝟒𝟖

𝟏𝟐𝟎= 𝟎,𝟏𝟔𝟎𝟔 = 𝟏𝟔,𝟎𝟔% ≅ 𝟏𝟔%

𝒃)𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝒙) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝒑(𝑿 = 𝟏𝟎) =

𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟏𝟎

𝟏𝟎!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟔𝟎𝟒𝟔𝟔𝟏𝟕𝟔

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎=𝟏𝟒𝟗𝟖𝟖𝟎, 𝟔𝟔𝟓𝟒

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎= 𝟎,𝟎𝟒𝟏𝟑 = 𝟒,𝟏𝟑% ≅ 𝟒%

𝒄)𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝟓) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) + 𝒑(𝒙 = 𝟓) =

𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=

𝒑(𝑿 ≤ 𝟓) =𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟎

𝟎!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟏

𝟏!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟐

𝟐!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟑

𝟑!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟒

𝟒!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟓

𝟓!= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓+ 𝟎,𝟎𝟏𝟒𝟗+ 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟔+ 𝟎,𝟎𝟖𝟗𝟐+ 𝟎,𝟏𝟑𝟑𝟗+ 𝟎,𝟏𝟔𝟎𝟔 =

𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟓+ 𝟎,𝟎𝟏𝟒𝟗+ 𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟔+ 𝟎,𝟎𝟖𝟗𝟐+ 𝟎,𝟏𝟑𝟑𝟗+ 𝟎,𝟏𝟔𝟎𝟔 = 𝟎,𝟒𝟒𝟓𝟕(𝟏𝟎𝟎%) = 𝟒𝟒,𝟓𝟕% ≅ 𝟒𝟒%

EJEMPLO#294 Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una

hora tomada al azar? a)ninguna llamada b)exactamente 3 llamadas c)no más de tres llamadas.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝟓 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂𝒔 = 𝒏𝒑; 𝒂)𝒙 = 𝟎; 𝒃)𝒙 = 𝟑; 𝒄)𝒙 < 𝟒; 𝝀 = 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐; 𝒙 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒅𝒐

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟎) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟎

𝟎!=

𝟏𝒆𝟓∗ 𝟏

𝟏=

𝟏𝒆𝟓

𝟏=𝟏

𝒆𝟓=

𝟏

𝟏𝟒𝟖,𝟒𝟏𝟑𝟐= 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟑𝟕𝟗𝟒𝟓𝟏𝟒𝟐 = 𝟎,𝟔𝟕𝟑𝟕𝟗𝟒𝟓𝟏𝟒𝟐% ≅ 𝟏%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟑) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟑

𝟑!=

𝟏𝒆𝟓∗ 𝟏𝟐𝟓

𝟔=

𝟏𝟐𝟓𝒆𝟓

𝟔=𝟏𝟐𝟓

𝟔 ∗ 𝒆𝟓=

𝟏𝟐𝟓

𝟖𝟗𝟎, 𝟒𝟕𝟗𝟎= 𝟎, 𝟏𝟒𝟎𝟒 = 𝟏𝟒,𝟎𝟒% ≅ 𝟏𝟒%

𝒄) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 < 𝟒) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) =

𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟎

𝟎!+𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟏

𝟏!+𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟐

𝟐!+𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟑

𝟑!=

𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟎

𝟎!+𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟏

𝟏!+𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟐

𝟐!+𝒆−𝟓 ∗ 𝟓𝟑

𝟑!= 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟕 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟕 + 𝟎,𝟎𝟖𝟒𝟐 + 𝟎,𝟏𝟒𝟎𝟒 = 𝟎,𝟐𝟔𝟓𝟎 = 𝟐𝟔,𝟓𝟎% ≅ 𝟐𝟕%

EJEMPLO#295 Suponga que hay 300 errores de impresión distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 500 páginas. Encuentre la

probabilidad de que en una página dada contenga exactamente 2 errores de impresión.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟑𝟎𝟎 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓𝒆𝒔; 𝝀 = 𝒏𝒑 = 𝟑𝟎𝟎 (𝟏

𝟓𝟎𝟎) =

𝟑𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟎= 𝟎, 𝟔𝟎; 𝒑 =

𝟏

𝟓𝟎𝟎(𝒆𝒔 𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕, 𝒑𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏) 𝒙 = 𝟐 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓𝒆𝒔.

𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟐) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟎,𝟔 ∗ (𝟎, 𝟔)𝟐

𝟐!=

𝟏𝒆𝟎,𝟔

∗ 𝟎, 𝟑𝟔

𝟐=

𝟎,𝟑𝟔𝒆𝟎,𝟔

𝟐=𝟎,𝟑𝟔

𝟐 ∗ 𝒆𝟎,𝟔=𝟎, 𝟑𝟔

𝟑, 𝟔𝟒𝟒𝟐= 𝟎, 𝟎𝟗𝟖𝟖 = 𝟗, 𝟖𝟖𝟎𝟎% ≅ 𝟏𝟎%

EJEMPLO#296 De acuerdo a registros policiales, en el departamento de La Paz en el puente los trillizos, como promedio suelen producirse

6 intentos de suicidio. Asumiendo que el número de estos intentos sigue una distribución de poisson, calcular la probabilidad de que se produzcan: a)dos intentos de suicidio por mes b)un intento, tres intentos c)ningún intento d)0,1,2, ó, 3 intentos e)más de tres intentos.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝒏𝒑 = 𝟔𝒊𝒏𝒕𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒊𝒄𝒊𝒅𝒊𝒐..


𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟐) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟔 ∗ (𝟔)𝟐

𝟐!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟑𝟔

𝟐=

𝟑𝟔𝒆𝟔

𝟐=

𝟑𝟔

𝟐 ∗ 𝒆𝟔=

𝟑𝟔

𝟖𝟎𝟔, 𝟖𝟓𝟕𝟔= 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟔 = 𝟒, 𝟒𝟔% ≅ 𝟒%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟏) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟔 ∗ (𝟔)𝟏

𝟏!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟔

𝟏=

𝟔𝒆𝟔

𝟏=𝟔

𝒆𝟔=

𝟔

𝟒𝟎𝟑, 𝟒𝟐𝟖𝟖= 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝟗 = 𝟏, 𝟒𝟗% ≅ 𝟏%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟑) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟔 ∗ (𝟔)𝟑

𝟑!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟐𝟏𝟔

𝟔=

𝟐𝟏𝟔𝒆𝟔

𝟔=𝟐𝟏𝟔

𝟔 ∗ 𝒆𝟔=

𝟐𝟏𝟔

𝟐𝟒𝟐𝟎, 𝟓𝟕𝟐𝟖= 𝟎, 𝟎𝟖𝟗𝟐 = 𝟖, 𝟗𝟐% ≅ 𝟗%

𝒄) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟎) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟔 ∗ (𝟔)𝟎

𝟎!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟏

𝟏=

𝟏𝒆𝟔

𝟏=𝟏

𝒆𝟔=

𝟏

𝟒𝟎𝟑,𝟒𝟐𝟖𝟖= 𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓% ≅ 𝟎%

𝒅) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝟗 + 𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟔 + 𝟎,𝟎𝟖𝟗𝟐 = 𝟎,𝟏𝟓𝟏𝟐 = 𝟏𝟓,𝟏𝟐% ≅ 𝟏𝟓%

𝒆) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝒙 > 𝟑) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 ≤ 𝟑)] = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑)] = 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟓𝟏𝟐 = 𝟖𝟒, 𝟖𝟖% ≅ 𝟖𝟓%

EJEMPLO#297 En una central telefónica que recibe 2 llamadas cada 3 minutos, calcular la probabilidad de que en el periodo de 6 minutos

se presenten: a)5 llamadas b)no más de 2 llamadas c)al menos 4 llamadas.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 =𝟐𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂𝒔

𝟑𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔∗ 𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 =

𝟏𝟐

𝟑𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂𝒔 = 𝟒 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂𝒔.

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟓) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟒 ∗ (𝟒)𝟓

𝟓!=

𝟏𝒆𝟒∗ 𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟏𝟐𝟎=

𝟏𝟎𝟐𝟒𝒆𝟒

𝟏𝟐𝟎=

𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝒆𝟒=

𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟔𝟓𝟓𝟏, 𝟕𝟕𝟖𝟎= 𝟎,𝟏𝟓𝟔𝟑 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟑% ≅ 𝟏𝟔%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝟐) = 𝒑(𝒙 = 𝟎)+ 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) =𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟎

𝟎!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟏

𝟏!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟐

𝟐!= 𝟎,𝟎𝟏𝟖𝟑+ 𝟎,𝟎𝟕𝟑𝟑+ 𝟎,𝟏𝟒𝟔𝟓 = 𝟐𝟑,𝟖𝟏% ≅ 𝟐𝟒%

𝒄) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 ≥ 𝟒) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟑) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐)+ 𝒑(𝒙 = 𝟑)] = 𝟏− [𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟎

𝟎!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟏

𝟏!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟐

𝟐!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟑

𝟑!] =

𝟏 − [𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟎

𝟎!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟏

𝟏!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟐

𝟐!+𝒆−𝟒 ∗ 𝟒𝟑

𝟑!] = 𝟏 − [𝟎,𝟎𝟏𝟖𝟑+ 𝟎,𝟎𝟕𝟑𝟑+ 𝟎,𝟏𝟒𝟔𝟓+ 𝟎,𝟏𝟗𝟓𝟒] = 𝟏 − [𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓] = 𝟓𝟔,𝟔𝟓% ≅ 𝟓𝟕%

EJEMPLO#298 Si un Banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba?:

a) 4 cheques sin fondo en un día dado b)10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝟔 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅í𝒂. 𝒙 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂 𝒂𝒍 𝒃𝒂𝒏𝒄𝒐 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒅í𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒂 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒆𝒕𝒄, 𝒆𝒕𝒄.

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟒) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟔 ∗ (𝟔)𝟒

𝟒!=

𝟏𝒆𝟔∗ 𝟏𝟐𝟗𝟔

𝟐𝟒=

𝟏𝟐𝟗𝟔𝒆𝟔

𝟐𝟒=𝟏𝟐𝟗𝟔

𝟐𝟒 ∗ 𝒆𝟔=

𝟏𝟐𝟗𝟔

𝟗𝟔𝟖𝟐,𝟐𝟗𝟏𝟎= 𝟎,𝟏𝟑𝟑𝟗 = 𝟏𝟑,𝟑𝟗% ≅ 𝟏𝟑%

b) Datos 𝝀 = 𝟔 ∗ 𝟐 = 𝟏𝟐 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒏 𝒂𝒍 𝑩𝒂𝒏𝒄𝒐 𝒆𝒏 𝒅𝒐𝒔 𝒅í𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔. 𝒙 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂 𝒂𝒍 𝒃𝒂𝒏𝒄𝒐 𝒆𝒏 𝒅𝒐𝒔 𝒅í𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔 = 𝟎,𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒆𝒕𝒄, 𝒆𝒕𝒄 𝝀 = 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒙 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒐 𝒅𝒊𝒄𝒉𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂,𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒉𝒂𝒃𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒅𝒆 𝒙.

𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟏𝟎) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟏𝟐 ∗ (𝟏𝟐)𝟏𝟎

𝟏𝟎!=

𝟏𝒆𝟏𝟐∗ 𝟏𝟐𝟏𝟎

𝟏𝟎!=𝟑𝟖𝟎𝟒𝟑𝟑, 𝟒𝟑𝟒𝟐

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎= 𝟎,𝟏𝟎𝟒𝟖 = 𝟏𝟎, 𝟒𝟖% ≅ 𝟏𝟎%

EJEMPLO#299 El gerente de control de calidad de una empresa que elabora galletas inspecciona un lote de galletas con chispas de

chocolate que se acaban de preparar. Si el proceso de producción está bajo control, la media de chispas de chocolate por galleta es 6. Cuál es la probabilidad de que en cualquier galleta inspeccionada. a)Se encuentre menos de 5 chispas? b)Se encuentre exactamente 5 chispas c)Se encuentren 5 o más chispas d)Se encuentren 4 o 5 chispas

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝟔 𝒄𝒉𝒊𝒔𝒑𝒂𝒔 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒉𝒊𝒔𝒑𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒉𝒐𝒄𝒐𝒍𝒂𝒕𝒆.

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 < 𝟓) = 𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!+𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙




𝒙!=

𝒑(𝑿 < 𝟓) =𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟎

𝟎!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟏

𝟏!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟐

𝟐!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟑

𝟑!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟒

𝟒!= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝟗 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟖𝟗𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟑𝟗 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟏 = 𝟐𝟖,𝟓𝟏% ≅ 𝟐𝟗%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟓) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟓

𝟓!=𝒆−𝟔 ∗ 𝟕𝟕𝟕𝟔

𝟏𝟐𝟎=𝟏𝟗, 𝟐𝟕𝟒𝟖

𝟏𝟐𝟎= 𝟎, 𝟏𝟔𝟎𝟔 = 𝟏𝟔,𝟎𝟔% ≅ 𝟏𝟔%

𝒄) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 > 𝟓) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 ≤ 𝟒] = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏) + 𝒑(𝒙 = 𝟐) + 𝒑(𝒙 = 𝟑) + 𝒑(𝒙 = 𝟒)] = 𝟏 − [𝟎,𝟐𝟖𝟓𝟏] = 𝟎, 𝟕𝟏𝟒𝟗 = 𝟕𝟏, 𝟒𝟗% ≅ 𝟕𝟏%

𝒅) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟒 ó 𝟓) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟒

𝟒!+𝒆−𝟔 ∗ 𝟔𝟓

𝟓!= 𝟎,𝟏𝟑𝟑𝟗 + 𝟎, 𝟏𝟔𝟎𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟒𝟓 = 𝟐𝟗, 𝟒𝟓% ≅ 𝟐𝟗%

EJEMPLO#300 El departamento de transporte registra las estadísticas de las maletas maltratadas por cada 1000 pasajeros. En 1979, una

empresa de transporte tuvo 3,21 maletas maltratadas por cada 1000 pasajeros. ¿Cuál es la probabilidad de que, en los próximos 1000 pasajeros, aquella empresa tenga? a)Ninguna maleta maltratada? b)Al menos una maleta maltratada c)Al menos dos maletas maltratadas.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝟑, 𝟐𝟏 𝒎𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒎𝒂𝒍𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒅𝒂𝒔.

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟎) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟑,𝟐𝟏 ∗ (𝟑, 𝟐𝟏)𝟎

𝟎!=𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟒

𝟏= 𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟒 = 𝟒,𝟎𝟒% ≅ 𝟒%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 > 𝟏) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝟏 − [𝒑(𝒙 < 𝟏)] = 𝟏 − 𝒑(𝒙 = 𝟎) = 𝟏 − [

𝒆−𝟑,𝟐𝟏 ∗ (𝟑, 𝟐𝟏)𝟎

𝟎!] = 𝟏 − 𝟎,𝟎𝟒𝟎𝟒 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟗𝟔 = 𝟗𝟓, 𝟗𝟔% ≅ 𝟗𝟔%

𝒄) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 > 𝟐) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!= 𝟏 − [𝒑(𝒙 < 𝟐)] = 𝟏 − [𝒑(𝒙 = 𝟎) + 𝒑(𝒙 = 𝟏)] = 𝟏 − [𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟒 + 𝟎, 𝟏𝟐𝟗𝟓] = 𝟎, 𝟖𝟑𝟎𝟏 = 𝟖𝟑,𝟎𝟏% ≅ 𝟖𝟑%


EJEMPLO#301 Si un editor de libros no técnicos hace todo lo posible porque sus libros estén libres de errores tipográficos, de modo que la

probabilidad de que cualquier página dad contenga por lo menos uno de esos errores es de 0,005 y los errores son independientes de una página a otra, ¿Cuál es la probabilidad de que una de sus libros de investigación de operaciones de 400 páginas contenga exactamente una página con errores? ¿Cuándo mucho tres páginas con errores?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝀 = 𝒏𝒑 = 𝟒𝟎𝟎(𝟎,𝟎𝟎𝟓) = 𝟐 𝒏 = 𝟒𝟎𝟎 𝒑𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒔 ; 𝒑 = 𝟎,𝟎𝟎𝟓;

𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 = 𝟏) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟐 ∗ (𝟐)𝟏

𝟏!=𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 ∗ 𝟐

𝟏=𝟎, 𝟐𝟕𝟎𝟔

𝟏= 𝟎, 𝟐𝟕𝟎𝟔 = 𝟐𝟕, 𝟎𝟔% ≅ 𝟐𝟕%

𝒃) 𝒑(𝒙) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝟑) =𝒆−𝝀 ∗ 𝝀𝒙

𝒙!=𝒆−𝟐 ∗ (𝟐)𝟎

𝟎!+𝒆−𝟐 ∗ (𝟐)𝟏

𝟏!+𝒆−𝟐 ∗ (𝟐)𝟐

𝟐!+𝒆−𝟐 ∗ (𝟐)𝟑

𝟑!= 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟐𝟕𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟐𝟕𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟏𝟖𝟎𝟒 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟕𝟏 = 𝟖𝟓,𝟕𝟏% ≅ 𝟖𝟔%

DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución continua de probabilidad más importante de toda la Estadística, debido a que su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas. La distribución normal es la más importante en toda la probabilidad y estadística. Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que pueden ser representadas muy fielmente por una curva normal apropiada. Los ejemplos incluyen estaturas, pesos y otras características físicas.

Se dice que una variable aleatoria continua 𝑿 tiene una distribución normal con parámetros 𝝁 𝒚 𝝈 (ó 𝝁 𝒚 𝝈𝟐), 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 − ∞ < 𝝁 < ∞ 𝒚 𝟎 < 𝝈, Si la función de densidad de probabilidad de 𝑿 es:

𝒇(𝑿) = 𝒇(𝒙; 𝝁, 𝝈) =𝟏

𝝈√𝟐𝝅∗ 𝒆

−𝟏𝟐(𝒙−𝝁𝝈)𝟐

=𝟏


−(𝒙−𝝁)𝟐

𝟐𝝈𝟐 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝝁 = 𝒙 = 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂; 𝝈 = 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝝈𝟐 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂; 𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖; 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗 −∞ < 𝒙 < ∞;−∞ < 𝝁 < ∞; 𝝈 > 𝟎

La curva tiene un máximo en 𝝁 = 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂,𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝝁− 𝝈; 𝝁 + 𝝈. La distribución normal se escribe como:𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈𝟐); 𝒄𝒐𝒏 𝑬(𝑿) = 𝝁 = 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 = 𝑽(𝑿) = 𝝈𝟐. Representación gráfica de esta función de densidad de la distribución normal se tiene de la siguiente manera:

Distribución normal estándar

El cálculo de 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) cuando X es una variable aleatoria normal con parámetros 𝝁 𝒚 𝝈, requiere determinar:

∫𝟏


−𝟏𝟐(𝒙−𝝁𝝈)𝟐

𝒅𝒙𝒃

𝒂

→ 𝝁 = 𝟎 𝒚 𝝈 = 𝟏

La distribución normal con valores de parámetros 𝝁 = 𝟎 𝒚 𝝈 = 𝟏 se llama distribución normal estándar. Una variable aleatoria que tiene una

distribución normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se denotara por 𝒁. la función de densidad de probabilidad de 𝒁 es:


𝒇(𝒁; 𝟎, 𝟏) =𝟏

√𝟐𝝅∗ 𝒆−

𝒁𝟐

𝟐 ; −∞ < 𝒁 < ∞; 𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈; 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) = 𝑵(

𝒙 − 𝝁

𝝈)

La probabilidad de que la variable aleatoria (que sigue una distribución normal) se encuentre entre dos valores determinados será en general difícil de calcular (hay que usar la integral de la función de probabilidad). Para ello, existen tablas que dan estos valores directamente.

Dado que la variable de interés 𝑿, puede tomar valores −∞ < 𝒙 < ∞ , se tipifica la variable de interés para así poder trabajar con la tabla,

quedando la distribución normal, como una distribución normal tipificada con 𝝁 = 𝟎 𝒚 𝝈 = 𝟏. Para tipificar la variable de interés 𝑿, se lleva a la fórmula:

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈;𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝑫𝑵𝑬;𝒔𝒊 𝝁 = 𝟎 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒔 𝟓𝟎%.

Pasos para buscar valores en la tabla: 1.- Plantear la pregunta matemáticamente. 2.- Dado que las tablas son acumulativas, se lleva la pregunta a menor. Utilizando las siguientes reglas:

𝒊) 𝒑(𝒙 < 𝒂) = 𝒚𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓; 𝒊𝒊) 𝒑(𝒙 > 𝒂) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 < 𝒂); 𝒊𝒊𝒊) 𝒑(𝒂 < 𝒙 < 𝒃) = 𝒑(𝒙 < 𝒃) − 𝒑(𝒙 < 𝒂)

𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔: 𝒊𝒊𝒊) 𝒑(𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝒃) − 𝒑(𝒙 ≤ 𝒂) = 𝒑 (𝒃 − 𝝁

𝝈) − 𝒑 (

𝒂 − 𝝁

𝝈) = 𝑵(

𝒃 − 𝝁

𝝈) − 𝑵(

𝒂− 𝝁

𝝈) ;𝑵(𝒁)𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑫𝑵𝑬.

1.- Se tipifica cada valor de X utilizando la fórmula:

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈;𝑬𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒁 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂𝒓 𝒄𝒐𝒏 𝟐 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒎𝒂𝒍𝒆𝒔.

2.- Para buscar en la tabla, tanto el signo como entero y el primer decimal, se encuentra en la primera columna. El segundo decimal se encuentra en la primera fila. La intersección entre la fila y la columna es la respectiva probabilidad:

Supongamos que 𝒁 = 𝟎, 𝟒𝟑 luego 𝒑(𝒁 < 𝟎,𝟒𝟑) = 𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟒.

𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝒑 = 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅; 𝒁 = 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂;𝒎𝒂𝒓𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒎𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒑 =?

EJEMPLO#302 Sea X una variable aleatoria normal con media 𝝁 = 𝟏𝟔 y desviación estándar 𝝈 = 𝟓. Determine las siguientes probabilidades:

𝒂) 𝒑(𝟏𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟏; 𝒃)𝒑(𝒙 > 𝟐𝟔); 𝒄) 𝒑(𝒙 < 𝟔) ; 𝒅) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟐𝟏) SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟏𝟔 ; 𝝈 = 𝟓.

𝒂) 𝒑(𝟏𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟏) = 𝑵(𝒙− 𝝁

𝝈) − 𝑵(

𝒙− 𝝁

𝝈) = 𝑵(

𝟐𝟏 − 𝟏𝟔

𝟓) − 𝑵(

𝟏𝟏 − 𝟏𝟔

𝟓)

𝒑(𝟏𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟏) = 𝑵(𝟏) −𝑵(−𝟏) = 𝒁(𝟏) − 𝒁(−𝟏) = 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑 − 𝟎,𝟏𝟓𝟖𝟕 =

𝒑(𝟏𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟏) = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟔 = 𝟔𝟖, 𝟐𝟔%

𝒃) 𝒑(𝒙 > 𝟐𝟔) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟐𝟔) = 𝟏 −𝑵(𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝟏 −𝑵 (

𝟐𝟔− 𝟏𝟔

𝟓)

𝟏 − 𝑵(𝟐𝟔− 𝟏𝟔

𝟓) = 𝟏− 𝑵(𝟐) = 𝟏 − 𝒁(𝟐) = 𝟏 − 𝟎,𝟗𝟕𝟕𝟐 = 𝟐, 𝟐𝟖%

𝒄) 𝒑(𝒙 < 𝟔) = 𝑵(𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝑵 (

𝟔 − 𝟏𝟔

𝟓) = 𝑵(−𝟐) = 𝒁(−𝟐) = 𝟐, 𝟐𝟖%

𝒅) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟐𝟏) = 𝑵(𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝑵(

𝟐𝟏 − 𝟏𝟔

𝟓) = 𝒁(𝟏) = 𝟖𝟒,𝟏𝟑%


EJEMPLO#303 En una clínica de niños en la sección de emergencias, se tienen registradas la edad de cada uno de los niños que ha sido

atendido durante el año pasado. Tomando estos datos se encuentra que la edad media corresponde a 10 años, con una desviación típica de 3 años. Si se escoge un niño al azar, para analizar su expediente médico. ¿Cuál es la probabilidad de que? a)El niño sea mayor a 13 años b)El niño sea menor a 5 años c)El niño este entre 6 y 15 años d)El niño este entre 11 y 14 años e)El niño tenga como máximo 12 años f)El niño sea por lo menos de 8 años.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟏𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔 ; 𝝈 = 𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔.

𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 ≥ 𝒉𝒂𝒚 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒕𝒐(𝟏 − 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙)); 𝒑𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑫𝑵𝑬 𝒔ó𝒍𝒐 𝒔𝒆 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 ≤.

𝒂) 𝒑(𝒙 ≥ 𝟏𝟑) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟑) = 𝟏 − 𝑵(𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝟏 − 𝑵(

𝟏𝟑 − 𝟏𝟎

𝟑)

𝒑(𝒙 ≥ 𝟏𝟑) = 𝟏 − 𝑵[𝟏] = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟕 = 𝟏𝟓, 𝟖𝟕%

𝒃) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟓) = 𝑵(𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝑵(

𝟓 − 𝟏𝟎

𝟑) = 𝒁(−𝟏,𝟔𝟕) = 𝟒, 𝟕𝟓%

𝒄) 𝒑(𝟔 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟓) = 𝑵(𝟏𝟓 − 𝟏𝟎

𝟑) − 𝑵(

𝟔 − 𝟏𝟎

𝟑) = 𝑵(𝟏,𝟔𝟕) − 𝑵(−𝟏,𝟑𝟑)

𝑵(𝟏, 𝟔𝟕) − 𝑵(−𝟏, 𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟗𝟓𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟗𝟏𝟖 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟎𝟕 = 𝟖𝟔, 𝟎𝟕%

𝒅)𝒑(𝟏𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟒) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟒) − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟏) =

𝒑(𝟏𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟒) = 𝑵(𝟏𝟒 − 𝟏𝟎

𝟑) − 𝑵(

𝟏𝟏 − 𝟏𝟎

𝟑) = 𝑵(𝟏, 𝟑𝟑) − 𝑵(𝟎, 𝟑𝟑)

𝒑(𝟏𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟒) = 𝟎, 𝟗𝟎𝟖𝟐 − 𝟎, 𝟔𝟐𝟗𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟖𝟗 = 𝟐𝟕,𝟖𝟗%

𝒆) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟐) = 𝑵(𝒙− 𝝁

𝝈) = 𝑵(

𝟏𝟐 − 𝟏𝟎

𝟑) = 𝒁(𝟎,𝟔𝟕) = 𝟎, 𝟕𝟒𝟖𝟔 = 𝟕𝟒, 𝟖𝟔%

𝒇) 𝒑(𝒙 ≥ 𝟖) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟖) = 𝟏 − 𝑵(𝒙− 𝝁

𝝈) = 𝟏 − 𝑵(

𝟖− 𝟏𝟎

𝟑)

𝒑(𝒙 ≥ 𝟖) = 𝟏 − 𝑵[−𝟎, 𝟔𝟕] = 𝟏 − 𝟎,𝟐𝟓𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟕𝟒𝟖𝟔 = 𝟕𝟒,𝟖𝟔%


EJEMPLO#304 El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5000

Bolivianos y desviación típica de 1000 Bolivianos. Calcular el porcentaje de los empleados con un salario inferior a 7000 Bolivianos.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑩𝒔 ; 𝝈 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑩𝒔; 𝒙 ≤ 𝟕𝟎𝟎𝟎 𝑩𝒔. 𝒙 =? 𝒑(𝒙 ≤ 𝟕𝟎𝟎𝟎) =?

𝒁 = (𝒙 − 𝝁

𝝈) =

𝟕𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎=𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟐 𝑺𝒊 𝒁 = 𝟐 𝒗𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆

𝑫𝑵𝑬 𝒑 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟕𝟐 = 𝟗𝟕, 𝟕𝟐% Por lo tanto, que el porcentaje de empleados con salarios Inferiores a 7000 Bolivianos es del 97,72%.

EJEMPLO#305 Aun examen de ingreso a la UAGRM se presentan 2000 aspirantes. La nota media ha sido 5,5 puntos con una varianza de 1,5 puntos.

a)Tan solo hay 100 plazas. Usted ha obtenido un 7,7. ¿Sería oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su éxito de ingreso a la UAGRM? b)Va a haber una segunda oportunidad para el 20% de notas más altas que no se hayan clasificado (que no han aprobado el ingreso a la UAGRM) ¿A partir de que nota se podrá participar en esta repesca (repechaje)?.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟓, 𝟓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ; 𝝈𝟐 = 𝟏, 𝟓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔; 𝒉𝒂𝒚 𝒅𝒊𝒔𝒑𝒐𝒏𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒖𝒑𝒐𝒔. 𝝈 = √𝝈𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟐𝟒𝟕 ≅ 𝟏, 𝟐𝟐

𝒂) 𝒙 = 𝟕, 𝟕 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ⟹ 𝒁 = (𝒙− 𝝁

𝝈) =

𝟕, 𝟕 − 𝟓, 𝟓

𝟏, 𝟐𝟐=𝟐,𝟐

𝟏,𝟐𝟐= 𝟏, 𝟖𝟎 𝑽𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒑 = 𝟎,𝟗𝟔𝟒𝟏 = 𝟗𝟔, 𝟒𝟏%

El 96,41% quiere decir que por encima de usted tan solo se encuentran un 3,59%, encima de mi sólo hay un 3,59%. Si se han presentado 2000 aspirantes, ese 3,59% equivale a unos 72 aspirantes que están encima de mí con más notas altas, pero como hay 100 plazas disponibles para el ingreso a la UAGRM, tengo suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas porque ya entre a la Universidad.

𝒃) 𝑹𝒆𝒑𝒆𝒔𝒄𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔, 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐 𝒑𝒖𝒅𝒊𝒆𝒓𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒂𝒓 𝒂 𝒍𝒂 𝑼𝑨𝑮𝑹𝑴:𝒑 = 𝟖𝟎% = 𝟎,𝟖𝟎 ≅ 𝟎, 𝟕𝟗𝟗𝟓 𝒗𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒁 = 𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟎,𝟖𝟒

𝟎, 𝟖𝟒 = (𝒙− 𝟓, 𝟓

𝟏, 𝟐𝟐) ⟹ 𝟎, 𝟖𝟒(𝟏,𝟐𝟐) = 𝒙 − 𝟓, 𝟓 ⟹ 𝟏,𝟎𝟐𝟒𝟖 = 𝒙 − 𝟓, 𝟓 ⟹ 𝟏, 𝟎𝟐𝟒𝟖 + 𝟓, 𝟓 = 𝒙 ⟹ 𝟔, 𝟓𝟐𝟒𝟖 = 𝒙 ⟹ 𝒙 = 𝟔,𝟓

A partir de 6,5 puntos de las notas, se podrá acudir a dar la repesca (repechaje).

EJEMPLO#306 La renta media de los habitantes de un país es de 4 Bs al día, con una varianza de 1,5 Bs. Se supone que se distribuye según una

distribución normal calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 de Bs. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos c) Ingresos mínimos y máximos que engloba al 60% de la población con renta media.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟒 𝑩𝒔 ; 𝝈𝟐 = 𝟏, 𝟓 𝑩𝒔 ; 𝝈 = √𝝈𝟐 = √𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟐𝟐 ≅ 𝟏

𝒂) 𝒑(𝒙 < 𝟑) =? 𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈=𝟑 − 𝟒

𝟏, 𝟐𝟐=−𝟏

𝟏, 𝟐𝟐= −𝟎,𝟖𝟐 ⟹ 𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟔𝟏 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟏%

La distribución norma es simétrica (igualdad): 𝒑(𝒁 < −𝟎, 𝟖𝟐) = 𝒑(𝒁 > 𝟎, 𝟖𝟐) ⟹ 𝒑(𝒁 > 𝟎,𝟖𝟐 = 𝟏 − 𝒑(𝒙 < 𝟎,𝟖𝟐) = 𝟏 − 𝟎,𝟕𝟗𝟑𝟗 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟔𝟏 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟏%

El 20,61% de la población tiene una renta inferior a 3 Bs diarios para poder subsistir o costearse su alimentación diaria.

b)Como dato me da 10%, buscar en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 90%(0,90), lo que quiere decir

que por encima se sitúa el 10% superior: si p=0,90=0,8997(esto se aproxima a 90% en la tabla), ver tabla y hallar la Z=1,28.

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝟏, 𝟐𝟖 =

𝒙 − 𝟒

𝟏,𝟐𝟐⟹ 𝟏, 𝟐𝟖(𝟏,𝟐𝟐) = 𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟓,𝟓𝟔𝟏𝟔 ⟹ 𝒙 ≅ 𝟔

Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores a 5,5616 Bs por día constituyen el 10% de la población con rentas más elevadas, quiere decir solamente el 10% de la población tiene ingresos mayores a 6 Bs aproximadamente. c) como tenemos 60%, para llegar al 100% me falta 40%, 40%(multiplico por las dos colas de mínimo y máximo). 40%(2)=80%. Entonces su probabilidad acumulada será 0,80(80%), p=80% la (media será 50% y p=30%): pero lo que vamos a trabajar con lo acumulado de p=80%=0,7995 ver la tabla Z=0,84 (-Z,Z) engloba al 60% de la población con renta media.

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝟎, 𝟖𝟒 =

𝒙 − 𝟒

𝟏, 𝟐𝟐⟹ 𝟎, 𝟖𝟒(𝟏,𝟐𝟐) = 𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟓, 𝟎𝟐𝟒𝟖⟹ 𝒙 ≅ 𝟓

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ −𝟎, 𝟖𝟒 =

𝒙 − 𝟒

𝟏, 𝟐𝟐⟹ −𝟎, 𝟖𝟒(𝟏, 𝟐𝟐) = 𝒙 − 𝟒 ⟹ 𝒙 = 𝟐,𝟗𝟕𝟓𝟐 ⟹ 𝒙 ≅ 𝟑

𝑳𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒂 𝟐, 𝟗𝟕𝟓𝟐 𝑩𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒅í𝒂,𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒂 𝟓, 𝟎𝟐𝟒𝟖 𝑩𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝟔𝟎% 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏.


EJEMPLO#307 La vida media de los habitantes de los Bolivianos es de 68 años, con una varianza de 25 años. Se hace un estudio en una pequeña

ciudad de 10000 habitantes. a)¿Cuántas personas superaran previsiblemente los 75 años? b)¿Cuántos vivirán menos de 60 años?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟔𝟖 𝒂ñ𝒐𝒔 ; 𝝈𝟐 = 𝟐𝟓 𝑩𝒔 ; 𝝈 = √𝝈𝟐 = √𝟐𝟓 = 𝟓

𝒂) 𝒑(𝒙 > 𝟕𝟓) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 < 𝟕𝟓) = 𝟏 − 𝒁 [𝒙 − 𝝁

𝝈] = 𝟏 − 𝒁[

𝟕𝟓 − 𝟔𝟖

𝟓] = 𝟏 − 𝒁[𝟏, 𝟒𝟎] = 𝟏 − 𝟎,𝟗𝟏𝟗𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟎𝟖 = 𝟖, 𝟎𝟖% ≅ 𝟖%

El 8,08% de la población vivirán más de 75 años, en este caso unos 880 habitantes de los 10000 habitantes existentes.

𝒃) 𝒑(𝒙 < 𝟔𝟎) =? ⟹ 𝒁 =𝒙−𝝁

𝝈=𝟔𝟎−𝟔𝟖

𝟓= −𝟏, 𝟔𝟎 𝑽𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟒𝟖 = 𝟓, 𝟒𝟖% ≅ 𝟓% También podemos determinar por la simetría de esta forma:

𝒑(𝒙 > 𝟔𝟎) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 < 𝟔𝟎) = 𝟏 − 𝒁 [𝒙 − 𝝁

𝝈] = 𝟏 − 𝒁 [

𝟔𝟎 − 𝟔𝟖

𝟓] = 𝟏 − 𝒁[𝟏, 𝟔𝟎] = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟒𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟒𝟖 = 𝟓, 𝟒𝟖% ≅ 𝟓% 𝒔𝒂𝒍𝒆 𝒍𝒐 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐.

El 5,48% de la población (unos 548 habitantes) no llegaran probablemente a esta edad.

EJEMPLO#308 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de Bolivia es de 59 litros, con una varianza de 36 litros. Se supone que se

distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿Cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe? b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho, ¿Qué podría argumentar en su defensa?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟓𝟗 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 ; 𝝈𝟐 = 𝟑𝟔 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 ; 𝝈 = √𝝈𝟐 = √𝟑𝟔 = 𝟔 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔. 𝒂)𝟓% 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒎á𝒔 𝒃𝒆𝒃𝒆,𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝟗𝟓% 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂,𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒓𝒓𝒊𝒃𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒍 𝟓% 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆:𝒑 = 𝟗𝟓% = 𝟎, 𝟗𝟓 = 𝟎,𝟗𝟒𝟗𝟓 → 𝒁 = 𝟏, 𝟔𝟒

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝟏, 𝟔𝟒 =

𝒙 − 𝟓𝟗

𝟔⟹ 𝟏,𝟔𝟒(𝟔) = 𝒙 − 𝟓𝟗 ⟹ 𝟗,𝟖𝟒 = 𝒙 − 𝟓𝟗 ⟹ 𝟗, 𝟖𝟒 + 𝟓𝟗 = 𝒙 ⟹ 𝒙 = 𝟔𝟖, 𝟖𝟒 ⟹ 𝒙 ≅ 𝟔𝟗 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔

Por lo tanto, tendría usted que beber más de 68,84 litros al año para pertenecer a ese “selecto” club de grandes bebedores de cerveza. b) usted bebe 45 litros de cerveza al año ¿es usted un borracho?

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈=𝟒𝟓− 𝟓𝟗

𝟔=−𝟏𝟒

𝟔= −𝟐, 𝟑𝟑 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑 = 𝟎,𝟎𝟎𝟗𝟗 = 𝟎, 𝟗𝟗% ≅ 𝟏% 𝒄𝒂𝒔𝒊 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝟏%.

𝒑(𝒙 < 𝟒𝟓) = (𝒁 < −𝟐, 𝟑𝟑) = 𝒑(𝒁 > 𝟐, 𝟑𝟑) = 𝟏 − 𝒑(𝒁 < 𝟐, 𝟑𝟑) = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟗 = 𝟎, 𝟗𝟗% ≅ 𝟏% 𝒄𝒂𝒔𝒊 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝟏%. Luego, tan solo un 0,99% de la población bebe menos que usted. Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarte de “enamorado de bebida”.

EJEMPLO#309 En un examen sobre 10 puntos, la media es de 7,5 puntos, con una varianza de 1,44 puntos, asumiendo como una distribución

normal, calcular la nota a partir de la cual se tiene el 10% superior.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟕, 𝟓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ; 𝝈𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟒 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ; 𝝈 = √𝝈𝟐 = √𝟏, 𝟒𝟒 = 𝟏, 𝟐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔.

Antes de j, hay 90% de las notas y después de la j hay 10%. Si p=90%=0,90 la p buscamos en la tabla de DNE como no tenemos exacto 0,90 entonces buscamos que se aproxime a 0,90 pero que no pase el 0,90 en este caso el que se aproxima en p=0,8977 ver tabla y hallar la Z=1,28.

0,90=0,50+0,40⟹Z=1,28

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝟏, 𝟐𝟖 =

𝒙 − 𝟕, 𝟓

𝟏, 𝟐⟹ 𝟏,𝟐𝟖(𝟏, 𝟐) = 𝒙 − 𝟕, 𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟗, 𝟎𝟑𝟔 ⟹ 𝒙 ≅ 𝟗 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔,

EJEMPLO#310 El ingreso mensual de cada de una de las familias de cierta comunidad es de 200$us con una desviación estándar de 40$us.

a)Calcular la probabilidad de que una familia tenga ingresos menor a 120$us. b)Si el 10% de las familias con mayores ingresos deben pagar impuestos, entonces a partir de que ingresos se debe pagar dichos impuestos. SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟐𝟎𝟎$𝒖𝒔 ; 𝝈 = 𝟒𝟎$𝒖𝒔.

𝒂)𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟐𝟎) = 𝒑(𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝒑 (𝒁 ≤

𝟏𝟐𝟎 − 𝟐𝟎𝟎

𝟒𝟎) =

= 𝒑(𝒁 ≤ −𝟐) ⟹ 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟖 = 𝟐, 𝟐𝟖%

Si el 10% p=0,90=0,8997 ver tabla Z=1,28

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝟏, 𝟐𝟖 =

𝒙 − 𝟐𝟎𝟎

𝟒𝟎⟹ 𝟏, 𝟐𝟖(𝟒𝟎) = 𝒙 − 𝟐𝟎𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟐𝟓𝟏,𝟐$𝒖𝒔

Familias con ingresos ≥a 251,2$us pagaran sus impuestos.

EJEMPLO#311 Un lote de tubos posee un diámetro de 10 cm con desviación estándar de 0,1 cm. Se considera como tubo bueno al de

diámetro comprendido entre 9,9 cm y 10,1 cm. Calcular el porcentaje de tubos defectuosos

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 ; 𝝈 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒄𝒎.

𝒑(𝟗,𝟗 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎,𝟏) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟎,𝟏) − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟗, 𝟗) = 𝒑(𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈) − 𝒑(𝒁 ≤

𝒙 − 𝝁

𝝈) =

𝒑(𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈) − 𝒑(𝒁 ≤

𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝒑 (𝒁 ≤

𝟏𝟎, 𝟏 − 𝟏𝟎

𝟎, 𝟏) − 𝒑(𝒁 ≤

𝟗, 𝟗 − 𝟏𝟎

𝟎, 𝟏) =

𝒑(𝒁 ≤ 𝟏) − 𝒑(𝒁 ≤ −𝟏) = 𝟎,𝟖𝟒𝟏𝟑 − 𝟎,𝟏𝟓𝟖𝟕 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟔 = 𝟔𝟖, 𝟐𝟔% Tubos buenos es el 68,26% y tubos defectuosos será el 31,74%. El porcentaje de tubos defectuosos es 31,74%. Sumamos sus dos colas de 15,87% + 15,87% =31,74%


EJEMPLO#312 La estatura media de un grupo de 100 universitarios es de 170 cm con una desviación estándar de 15 cm. Asumiendo que

estas estaturas están normalmente distribuidas. Hallar el probable número de universitarios con estaturas de: a)entre 160 y 180 cm b)menor a 150 cm c)mayor a 176 cm.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟏𝟕𝟎 𝒄𝒎 ; 𝝈 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎; 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗𝒆𝒓𝒔𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔.

𝒂)𝒑(𝟏𝟔𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟖𝟎) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟖𝟎) − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟔𝟎) = 𝒑 (𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈) − 𝒑(𝒁 ≤

𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝒑(𝒁 ≤

𝟏𝟖𝟎− 𝟏𝟕𝟎

𝟏𝟓)− 𝒑(𝒁 ≤

𝟏𝟔𝟎− 𝟏𝟕𝟎

𝟏𝟓) = 𝒑(𝒁 ≤ 𝟎,𝟔𝟕) − 𝒑(𝒁 ≤ −𝟎,𝟔𝟕)

𝒑(𝒁 ≤ 𝟎, 𝟔𝟕) − 𝒑(𝒁 ≤ −𝟎,𝟔𝟕) = 𝟎, 𝟕𝟒𝟖𝟔 − 𝟎, 𝟐𝟓𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟕𝟐 = 𝟒𝟗, 𝟕𝟐%, 𝒙 = 𝒏𝒑 = 𝟏𝟎𝟎(𝟎,𝟒𝟗𝟕𝟐) = 𝟒𝟗,𝟕𝟐 ≅ 𝟓𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒗. 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒔𝒆 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐.

𝒃)𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟓𝟎) = 𝒑 (𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝒑 (𝒁 ≤

𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟕𝟎

𝟏𝟓) = 𝒑(𝒁 ≤ −𝟏, 𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟎𝟗𝟏𝟖 = 𝟗, 𝟏𝟖% 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟎,𝟎𝟗𝟏𝟖) = 𝟗, 𝟏𝟖 ≅ 𝟗𝒖𝒏𝒊𝒗.

𝒄)𝒑(𝒙 ≥ 𝟏𝟕𝟔) = 𝟏 − [𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟕𝟔)] = 𝟏 − [𝒑(𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈)] = 𝟏 − [𝒑(𝒁 ≤

𝟏𝟕𝟔 − 𝟏𝟕𝟎

𝟏𝟓)] = 𝟏− [𝒑(𝒁 ≤ 𝟎, 𝟒𝟎)] = 𝟏 − [𝒑(𝟎,𝟔𝟓𝟓𝟒)] = 𝟎, 𝟑𝟒𝟒𝟔 = 𝟑𝟒, 𝟒𝟔%

Número de estudiantes que tienen mayor a 176 cm, en este caso son 100(0,3446)=34 universitarios.

EJEMPLO#313 La media de los depósitos en un Banco es de 2000$us y con una deviación estándar de 400$us, correspondientes a los

depósitos en un Banco. Eligiendo un depósito al azar, calcular la probabilidad de que su monto sea de: a)2000$us o más b)por lo menos de 2000$us c)1800$us d)entre 2500 y 3000$us e)mayor que 2500$us f)menor que 2500$us.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟐𝟎𝟎𝟎$𝒖𝒔 ; 𝝈 = 𝟒𝟎𝟎$𝒖𝒔.

𝒂) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟐𝟎𝟎𝟎) = 𝒑 (𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝒑(𝒁 ≤

𝟐𝟎𝟎𝟎− 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎) = 𝒑(𝒁 ≤ 𝟎)

𝒑(𝒁 ≤ 𝟎) → 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑 = 𝟎,𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎%

𝒃) 𝒑(𝒙 ≥ 𝟐𝟎𝟎𝟎) = 𝟏 − [𝒑(𝒁 ≤𝒙− 𝝁

𝝈)] = 𝟏 − [𝒑(𝒁 ≤

𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎)]

= 𝟏 − 𝒑(𝒁 ≤ 𝟎) = 𝟏 − 𝟎,𝟓 → 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑 = 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎%

𝒄) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟎) = 𝒑(𝒁 ≤𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎) = 𝒑(𝒁 ≤ −𝟎, 𝟓) → 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟖𝟓

𝒑 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟖𝟓 = 𝟑𝟎,𝟖𝟓%

𝒅)𝒑(𝟐𝟓𝟎𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟎𝟎𝟎) = 𝒑(𝒙 ≤ 𝟑𝟎𝟎𝟎) − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟐𝟓𝟎𝟎) =

𝒑(𝟐𝟓𝟎𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟎𝟎𝟎) = 𝑵(𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎) −𝑵(

𝟐𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎) =

𝒑(𝟐𝟓𝟎𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟎𝟎𝟎) = 𝑵(𝟐,𝟓) −𝑵(𝟏,𝟐𝟓) = 𝟎,𝟗𝟗𝟑𝟖− 𝟎,𝟖𝟗𝟒𝟒 = 𝟗,𝟗𝟒%

𝒆) 𝒑(𝒙 ≥ 𝟐𝟓𝟎𝟎) = 𝟏 − [𝒑(𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈)] = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟒 = 𝟏𝟎, 𝟓𝟔%

𝒇) 𝒑(𝒙 ≤ 𝟐𝟓𝟎𝟎) = 𝒑 (𝒁 ≤𝟐𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎) = 𝒑(𝒁 ≤ 𝟏,𝟐𝟓) = 𝟖𝟗, 𝟒𝟒%


EJEMPLO#314 Si 𝒑(−𝟏,𝟑𝟓 ≤ 𝒁 ≤ 𝒋) = 𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟎 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒋 =?

SOLUCIÓN

𝒑(𝒁−≥ 𝟏,𝟑𝟓)𝑽𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟓𝟓 = 𝟖, 𝟓𝟓% 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒋 = 𝟏,𝟑𝟓 𝒑(𝒁 ≤ 𝟏, 𝟑𝟓) = 𝟎, 𝟗𝟏𝟏𝟓 = 𝟗𝟏, 𝟏𝟓% 𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟎 = 𝟖𝟐, 𝟑𝟎% = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 á𝒓𝒆𝒂 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐,𝟎 𝒂 𝟏,𝟑𝟓 + á𝒓𝒆𝒂 𝟎 𝒂 𝒋

𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟎 = Á𝒓𝒆𝒂 𝟎 𝒂 𝟏, 𝟑𝟓 + á𝒓𝒆𝒂 𝟎 𝒂 𝒋.

Á𝒓𝒆𝒂 𝟎 𝒂 𝒋 = 𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟎 − 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝟎 𝒂 𝟏,𝟑𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟎 − 𝟎,𝟒𝟏𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟒𝟏𝟏𝟓 → 𝒑 = 𝟎,𝟒𝟏𝟏𝟓(𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒂) 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐: 𝒑(−𝟏,𝟑𝟓 ≤ 𝐙 ≤ 𝟏, 𝟑𝟓) = 𝟎,𝟗𝟏𝟏𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟖𝟓𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟐𝟑𝟎 = = 𝟖𝟐, 𝟑𝟎% 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆

EJEMPLO#315 Si 𝒑(𝒋 ≤ 𝒁 ≤ 𝟏, 𝟏𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟔 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒋 =?

SOLUCIÓN

𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟔 = 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝟎 𝒂 𝟏, 𝟏𝟓 − 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝟎 𝒂 𝒋 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝟎 𝒂 𝒋 = 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝟎 𝒂 𝟏, 𝟏𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟔 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟒𝟗 − 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟔 = 𝟎,𝟑𝟎𝟐𝟑 𝒔𝒊 𝒑 = 𝟎,𝟑𝟎𝟐𝟑 → 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒋 = 𝟎, 𝟖𝟓 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟐𝟑 + 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟎𝟐𝟑 = 𝟖𝟎, 𝟐𝟑% → 𝒁 = 𝟎, 𝟖𝟓; 𝒋 = 𝟎, 𝟖𝟓

𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐: 𝒑(𝐣 ≤ 𝐙 ≤ 𝟏, 𝟏𝟓) = 𝟎, 𝟖𝟕𝟒𝟗 − 𝟎, 𝟖𝟎𝟐𝟑 = 𝟎,𝟎𝟕𝟐𝟔 = = 𝟕, 𝟐𝟔% 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆

EJEMPLO#316 El producto principal de la compañía manufacturera el AL-QUADOSH+ se vende a 20 Bs la pieza y le cuesta producirlo 16

Bs. El análisis de los datos de las ventas pasadas indica que el promedio de las ventas es de 40 unidades diarias, con una desviación estándar de 10 unidades. ¿Qué nivel de inventario deberá tener la empresa?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟒𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 ; 𝝈 = 𝟏𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔; 𝒙 = 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 =?

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 = 𝟏𝟔 𝑩𝒔 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂 = 𝟐𝟎𝑩𝒔 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 = 𝑷𝑽 − 𝑪 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟔 = 𝟒 𝑩𝒔 𝒑 =𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐

𝑷𝑽=𝟏𝟔

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟖𝟎%

𝑺𝒊 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟖𝟎% 𝑽𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 → 𝒁 = 𝟎, 𝟖𝟒

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝟎, 𝟖𝟒 =

𝒙− 𝟒𝟎

𝟏𝟎⟹ 𝒙 = 𝟒𝟖,𝟒𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

𝑺𝒊 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎% 𝑽𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 → 𝒁 = −𝟎,𝟖𝟒

𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ −𝟎, 𝟖𝟒 =

𝒙− 𝟒𝟎

𝟏𝟎⟹ 𝒙 = 𝟑𝟏,𝟔 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

EJEMPLO#317 Las calificaciones en un examen de estadística inferencial son 0,1,2,3,4,5,6,…,10 puntos, dependiendo del número de respuestas

correctas, de un total de 10 preguntas. La calificación media fue de 6,7 y la desviación estándar fue de 1,2 considerando que las calificaciones están normalmente distribuidas, determine a)el porcentaje de estudiantes con 6 puntos b)la calificación máxima de 10% más bajo de la clase c)la calificación más baja de 10% más alto de la clase.

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟔, 𝟕 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ; 𝝈 = 𝟏, 𝟐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔.

𝒂)𝒆𝒍 𝟔 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟓, 𝟓 𝒚 𝟔, 𝟓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔:

𝟓, 𝟓 ⟹ 𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝒁 =

𝟓,𝟓 − 𝟔, 𝟕

𝟏, 𝟐= −𝟏 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟕

𝟔, 𝟓 ⟹ 𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝒁 =

𝟔, 𝟓 − 𝟔,𝟕

𝟏, 𝟐= −𝟎, 𝟏𝟕 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟐𝟓

𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟕 = 𝟐𝟕,𝟑𝟖%

𝒃)𝒑 = 𝟏𝟎% = 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟑 → 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒁 = −𝟏, 𝟐𝟖 𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ −𝟏, 𝟐𝟖 =

𝒙 − 𝟔, 𝟕

𝟏, 𝟐⟹ 𝒙 = 𝟓, 𝟏𝟔𝟒 ≅ 𝟓 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔

𝒄) 𝒑𝒐𝒓 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂: 𝒑 = 𝟏𝟎% 𝒑 = 𝟗𝟎% = 𝟎, 𝟖𝟗𝟗𝟕 → 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒁 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒁 =𝒙 − 𝝁

𝝈⟹ 𝟏, 𝟐𝟖 =

𝒙 − 𝟔, 𝟕

𝟏, 𝟐⟹ 𝒙 = 𝟖,𝟐𝟑𝟔 ≅ 𝟖 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔


EJEMPLO#318 Se supone que los resultados de un examen de estadística Inferencial con Julio Vargas Herbas siguen una distribución normal con

media 78 y desviación típica 36. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72? b) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas) c) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

SOLUCION: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝁 = 𝟕𝟖 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ; 𝝈 = 𝟑𝟔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔.

𝒂)𝒑(𝒙 ≥ 𝟕𝟐) = 𝟏− 𝒑(𝒙 ≤ 𝟕𝟐) = 𝟏 − 𝑵(𝟕𝟐 − 𝟕𝟖

𝟑𝟔) = 𝟏 − 𝑵(−𝟎,𝟏𝟕) = 𝟏 − 𝟎,𝟒𝟑𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟕𝟓 = 𝟓𝟔,𝟕𝟓%

𝒃)𝒑 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔 = (b) > 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) = 𝟎,𝟐𝟓 ⟹ 𝒑(𝒁 ≤𝒙 − 𝝁

𝝈) = 𝟎, 𝟐𝟓 ;

𝒙 − 𝝁

𝝈< 𝟎 ; 𝟏 − 𝒑 (𝒁 ≤ −

𝒙 − 𝟕𝟖

𝟑𝟔) = 𝟎,𝟐𝟓𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝟐𝟓% 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝟏𝟎𝟎%𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝟕𝟓%

𝒑 (𝒁 ≤−𝒙 + 𝟕𝟖

𝟑𝟔) = 𝟎, 𝟕𝟓⟹

−𝒙+ 𝟕𝟖

𝟑𝟔= 𝟎,𝟔𝟖 𝒗𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟎,𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟓𝟏𝟕 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒁 = 𝟎, 𝟔𝟖;𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 (𝒙 = 𝟓𝟑,𝟓𝟐 ≅ 𝟓𝟒⟹ 𝒙 = 𝟓𝟒)

𝒑(𝒙 > 𝟓𝟒+ 𝟓) = 𝒑(𝒙 > 𝟓𝟗) = 𝒑 (𝒁 >𝟓𝟗 − 𝟕𝟖

𝟑𝟔) = 𝒑(𝒁 > −𝟎, 𝟓𝟑) = 𝒑(𝒁 < 𝟎, 𝟓𝟑) = 𝟎, 𝟕𝟎𝟏𝟗 = 𝟕𝟎, 𝟏𝟗%

𝒄)𝒑(𝒙 ≥ 𝟖𝟒) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟖𝟒) = 𝟏 −𝑵(𝟖𝟒 − 𝟕𝟖

𝟑𝟔) = 𝟏 − 𝑵(𝟎, 𝟏𝟕) = 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟔𝟕𝟓 = 𝟎,𝟒𝟑𝟐𝟓 = 𝟒𝟑, 𝟐𝟓%

𝒑(𝒙 ≥ 𝟖𝟒 ∕ 𝒙 ≥ 𝟕𝟐) =𝒑[𝒙 ≥ 𝟖𝟒 ∩ 𝒙 ≥ 𝟕𝟐]

𝒑(𝒙 ≥ 𝟕𝟐)=𝒑(𝒙 ≥ 𝟖𝟒)

𝒑(𝒙 ≥ 𝟕𝟐)=𝟎, 𝟒𝟑𝟐𝟓

𝟎, 𝟓𝟔𝟕𝟓=𝟏𝟕𝟑

𝟐𝟐𝟕= 𝟎,𝟕𝟔𝟐𝟏 = 𝟕𝟔, 𝟐𝟏% ≅ 𝟕𝟔%

DISTRIBUCION GAMMA Para definir la familia de distribuciones gamma, primero se tiene que introducir una función que desempeña un importante papel en muchas ramas de las matemáticas. Una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio tiene una distribución GAMMA si se caracteriza por las siguientes propiedades:

𝟏.− 𝒈𝒙(𝒙) =

𝟏

𝚪(∝)∗ 𝝀∝ ∗ 𝒙∝−𝟏 ∗ 𝒆−𝝀𝒙; 𝒙 ≥ 𝟎; 𝝀 > 𝟎

𝟎 ; 𝒙 < 𝟎; 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐

𝒆𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍, 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔:∝≤ 𝟏(𝒋𝒐𝒕𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂); ó ∝> 𝟏(𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒑𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒏

𝒙 =(∝ −𝟏)

∝= 𝑴𝒅; 𝚪 = 𝒔𝒊𝒎𝒃𝒐𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒂𝒎𝒎𝒂

𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂:𝝁 =

∝

𝝀

𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂:𝝈𝟐 =∝

𝝀𝟐

𝟐.−𝑴𝒙(𝒕) = ∫ 𝒆𝒕𝒙 ∗𝟏

𝚪(∝)∗ 𝝀∝ ∗ 𝒙∝−𝟏 ∗ 𝒆−𝝀𝒙 ∗ 𝒅𝒙 =

𝝀∝

𝚪(∝)∫ 𝒙∝−𝟏 ∗ 𝒆−𝒙(𝝀−𝒕) ∗ 𝒅𝒙 = (

𝝀

𝝀 − 𝒕)∝∝

𝟎

∝

𝟎

; 𝑵𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏:𝑿~𝑮(∝, 𝝀)

El modelo Gamma se ha utilizado frecuentemente en variables tales como:

– El tiempo (ó espacio) requerido para observar? ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó región del espacio ), sucesos del tipo Poisson.

– Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900.

– Flujos máximos, MARKOVIC, 1965.

– Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965.

– Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB, 1940.

– Tiempo de falla de un sistema de ∝ componentes, cada uno falla con frecuencia 𝝀.

– Ingresos familiares. – Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez.

– Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a cabo en ∝ subestaciones a una frecuencia 𝝀.

EJEMPLO#319 Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera

independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo. a) Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio. b) A más de dos desviaciones por encima de la media.

SOLUCION: ∝= 𝟐; 𝝀 =𝟐

𝟏𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟐 ; 𝒂) 𝝁 =

∝

𝝀=

𝟐

𝟎,𝟎𝟐= 𝟏𝟎𝟎; 𝝈𝟐 =

∝

𝝀𝟐=

𝟐

(𝟎,𝟎𝟐)𝟐=

𝟐

𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟒= 𝟓𝟎𝟎𝟎; 𝝈 = √𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟎, 𝟕𝟏𝟎𝟕

𝒑(𝝁 − 𝝈 < 𝒙 < 𝝁 + 𝝈) = 𝒑(𝟏𝟎𝟎 − 𝟕𝟎, 𝟕𝟏 < 𝒙 < 𝟏𝟎𝟎 + 𝟕𝟎, 𝟕𝟏) = 𝒑(𝟐𝟗,𝟐𝟗 < 𝒙 < 𝟏𝟕𝟎, 𝟕𝟏) = ∫(𝟎, 𝟎𝟐)𝟐

𝚪(𝟐)∗ 𝒙 ∗ 𝒆−𝟎,𝟎𝟐𝒙 ∗ 𝒅𝒙 ⟹

𝟏𝟕𝟎,𝟕𝟏

𝟐𝟗,𝟐𝟗

𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂.

= ∫(𝟎,𝟎𝟐)𝟐

𝚪(𝟐)∗ 𝒙 ∗ 𝒆−𝟎,𝟎𝟐𝒙 ∗ 𝒅𝒙 = 𝟎,𝟕𝟑𝟕𝟓𝟐 ⟹ 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:𝚪(𝐧)= (𝐧)!

𝟏𝟕𝟎,𝟕𝟏

𝟐𝟗,𝟐𝟗

𝒃)𝒑(𝑿 > 𝝁 + 𝟐𝝈) = 𝒑[𝑿 > 𝟏𝟎𝟎+ 𝟐(𝟕𝟎, 𝟕𝟏)] = 𝒑(𝑿 > 𝟐𝟒𝟏, 𝟒𝟐) = 𝟎,𝟎𝟒𝟔𝟔

EJEMPLO#320 En cierta ciudad de Santa Cruz el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse

como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros (∝= 𝟑 𝒚 𝝀 = 𝟎, 𝟓). La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea: a). Insuficiente en un día cualquiera? b). Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora? c). Encuentre E(x) y V(x). SOLUCIÓN

𝒂)𝒑(𝒙 > 𝟏𝟎) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟎) = 𝟏 −𝟏

𝚪(𝟑)∫ (𝟎, 𝟓)𝟑 ∗ 𝒙𝟑−𝟏 ∗ 𝒆−𝟎,𝟓𝒙 ∗ 𝒅𝒙 = 𝟎,𝟏𝟐𝟒𝟔𝟓𝟐𝟏𝟎

𝟎

𝒃)𝒑(𝟑 < 𝒙 < 𝟖) =(𝟎, 𝟓)𝟑

𝚪(𝟑)∫ 𝒙𝟑−𝟏 ∗ 𝒆−𝟎,𝟓𝒙 ∗ 𝒅𝒙 = 𝟎, 𝟓𝟕𝟏; 𝒄)𝝁 =

∝

𝝀=𝟑

𝟎,𝟓= 𝟔; 𝝈𝟐 =

∝

𝝀𝟐=

𝟑

𝟎, 𝟓𝟐= 𝟏𝟐; 𝝈 = √𝝈𝟐 = √𝟏𝟐 = 𝟑,𝟒𝟔

𝟖

𝟑


DISTRIBUCION EXPONENCIAL La distribución de Poisson calcula el número de eventos sobre alguna área de oportunidad (intervalo de tiempo o espacio), la distribución exponencial mide el paso del tiempo entre tales eventos. Si el número de eventos tiene una distribución de Poisson, el lapso entre los eventos estará distribuido exponencialmente.

Fórmula: La probabilidad de que el lapso de tiempo sea menor que o igual a cierta cantidad 𝒙 es:

𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) = 𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕⟹

𝒕 = 𝒍𝒂𝒑𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐. 𝒆 = 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖

𝝀 = 𝒕𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂.

𝒇(𝒙, 𝝀) = 𝝀𝒆−𝝀𝒙; 𝒙 ≥ 𝟎

𝟎; 𝒙 < 𝟎 ; 𝑬(𝒙) = 𝝁 =

𝟏

𝝀; 𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝝈𝟐 =

𝟏

𝝀𝟐; 𝒙~𝑬𝒙(𝝀) ⟹ 𝑬𝒙 = 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍.

EJEMPLO#321 Los buses interprovinciales de Montero llegan al terminal a una tasa promedio de 10 buses por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en no más de 5 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en no más de 10 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus entre 5 minutos y 10 minutos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en más de 5 minutos?

SOLUCION: 𝝀 = 𝟏𝟎 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒂. 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙 = 𝒕 Los dos valores tienen que estar en la misma proporción horas=horas a) Como la tasa promedio está dada por hora, y el problema se plantea en minutos, se calcula el porcentaje que representa 5 minutos de una

hora (60 minutos), el cual es: 𝟓𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 ∗𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂

𝟔𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔=𝟓(𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔)(𝒉𝒐𝒓𝒂)

𝟔𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔=

𝟏

𝟏𝟐𝒉𝒐𝒓𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂. 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) = 𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕

𝒂) 𝒑(𝑿 ≤ 𝟓) = 𝒑 (𝑿 ≤𝟏

𝟏𝟐) = 𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝟏𝟎∗

𝟏𝟏𝟐 = 𝟏 − 𝒆−

𝟏𝟎𝟏𝟐 = 𝟏− 𝒆−

𝟓𝟔 = 𝟏 − 𝟎, 𝟒𝟑𝟒𝟔 = 𝟎,𝟓𝟔𝟓𝟒 = 𝟎,𝟓𝟔𝟓𝟒(𝟏𝟎𝟎%) = 𝟓𝟔,𝟓𝟒%

Existe un 56,54% de probabilidad de que el segundo bus llegue al terminal en 5 minutos o menos del primero si la tasa promedio de llegada es de 10 buses por hora.

𝒃) 𝒑(𝑿 ≤ 𝟏𝟎) = 𝒑 (𝑿 ≤𝟏

𝟔) = 𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝟏𝟎∗

𝟏𝟔 = 𝟏 − 𝒆−

𝟏𝟎𝟔 = 𝟏 − 𝒆−

𝟓𝟑 = 𝟏 − 𝟎,𝟏𝟖𝟖𝟗 = 𝟎, 𝟖𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟏, 𝟏𝟏%

𝒄) 𝒑(𝟓 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟎) = 𝒑(𝟏

𝟏𝟐≤ 𝑿 ≤

𝟏

𝟔) = 𝒑 (𝑿 ≤

𝟏

𝟔) − 𝒑(𝑿 ≤

𝟏

𝟏𝟐) = (𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕) − (𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕) = 𝟎,𝟖𝟏𝟏𝟏 − 𝟎,𝟓𝟔𝟓𝟒 = 𝟐𝟒,𝟓𝟕%

𝒅) 𝒑(𝑿 > 𝟓) = 𝟏 − 𝒑(𝑿 ≤ 𝟓) = 𝟏 − 𝒑(𝑿 ≤𝟏

𝟏𝟐) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝟏𝟎∗

𝟏𝟏𝟐) = 𝟏 − 𝟎,𝟓𝟔𝟓𝟒 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟒𝟔 = 𝟒𝟑, 𝟒𝟔%

EJEMPLO#322 Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 minuto. Halle la probabilidad de que transcurran.

a)por lo menos 3 minutos después de la llegada del ultimo cliente y el próximo b)entre 2 minutos y 4 minutos c)a lo más 2 minutos. d) máximo 3 minutos, sabiendo que el penúltimo y el último legaron con una diferencia de 2 minutos como mínimo. e) más de 3 minutos, sabiendo que han transcurrido al menos 2 minutos.

SOLUCION: 𝝀 = 𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. 𝒂) 𝒑(𝑿 ≥ 𝟑) = 𝟏 − 𝒑(𝑿 ≤ 𝟑) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝟏∗𝟑) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝟑) = 𝟏 − (𝟎, 𝟗𝟓𝟎𝟐) = 𝟎, 𝟎𝟒𝟗𝟖 = 𝟒, 𝟗𝟖%

𝒃) 𝒑(𝟐 ≤ 𝑿 ≤ 𝟒) = 𝒑(𝑿 ≤ 𝟒) − 𝒑(𝑿 ≤ 𝟐) = (𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕) − (𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕) = (𝟏 − 𝒆−𝟏∗𝟒) − (𝟏 − 𝒆−𝟏∗𝟐) = 𝟎, 𝟗𝟖𝟏𝟕 − 𝟎, 𝟗𝟓𝟎𝟐 = 𝟑, 𝟏𝟓%

𝒄) 𝒑(𝑿 ≤ 𝟐) = 𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝟏∗𝟐 = 𝟏 − 𝒆−𝟐 = 𝟎,𝟖𝟔𝟒𝟕 = 𝟖𝟔,𝟒𝟕%

𝒅)[𝒑(𝑿 ≤ 𝟑) 𝒙 > 𝟐⁄ ] =𝒑(𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑)

𝒑(𝒙 > 𝟐)=𝒑(𝑿 ≤ 𝟑) − 𝒑(𝑿 ≤ 𝟐)

𝟏 − 𝒑(𝑿 ≤ 𝟐)=(𝟏 − 𝒆−𝟏∗𝟑) − (𝟏 − 𝒆−𝟏∗𝟐)

𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝟏∗𝟐)=𝟎, 𝟗𝟓𝟎𝟐 − 𝟎, 𝟖𝟔𝟒𝟕

𝟏 − (𝟎, 𝟖𝟔𝟒𝟕)=𝟎, 𝟎𝟖𝟓𝟓

𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑= 𝟔𝟑, 𝟏𝟗%

𝒆)[𝒑(𝑿 > 𝟑) (𝒙 > 𝟐)⁄ ] = 𝒑(𝒙 ≥ 𝟏) = 𝟏− 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕) = 𝟏 − (𝟏− 𝒆−𝟏∗𝟏) = 𝟏 − (𝟏− 𝒆−𝟏) = 𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟑𝟐𝟏 = 𝟎,𝟑𝟔𝟕𝟗 = 𝟑𝟔,𝟕𝟗%

EJEMPLO#323 Una bombilla posee una vida útil media de 150 días. a) calcular la probabilidad de que el tiempo de falla sea mayor a 200 días.

b) si una bombilla ya ha trabajado 200 días, cuál es su probabilidad de que trabaje otros 200 días.

SOLUCION: 𝝁 = 𝟏𝟓𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔; 𝝀 =𝟏

𝟏𝟓𝟎

𝒂) 𝒑(𝑿 > 𝟐𝟎𝟎) = 𝟏− 𝒑(𝑿 ≤ 𝟐𝟎𝟎) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝝀∗𝒕) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝟏𝟏𝟓𝟎∗𝟐𝟎𝟎) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−

𝟒𝟑) = 𝟏 − (𝟎,𝟕𝟑𝟔𝟒) = 𝟎,𝟐𝟔𝟑𝟔 = 𝟐𝟔,𝟑𝟔%

𝒃)[𝒑(𝑿 > 𝟐𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎) (𝒙 > 𝟐𝟎𝟎)⁄ ] = 𝒑(𝒙 ≥ 𝟏𝟎𝟎) = 𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟎) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝟏𝟏𝟓𝟎

∗𝟏𝟎𝟎) = 𝟏 − (𝟎, 𝟒𝟖𝟔𝟔) = 𝟓𝟏, 𝟑𝟒%

Nota: 200+200=400-150=250-150=100

EJEMPLO#324 Un motor tiene una vida útil de X, que puede considerarse como una variable aleatoria continua con distribución exponencial.

Si la vida útil esperada es de 50 horas y posee un costo de 320 Bolivianos, si el motor dura menos de 70 horas se asigna una pérdida de 110 bolivianos adicionales al fabricante calcular el costo esperado.

SOLUCION: 𝝁 = 𝟓𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔; 𝝀 =𝟏

𝟓𝟎

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝑪 = 𝟑𝟐𝟎 𝑩𝒔; 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟕𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝑪𝑻 = 𝟑𝟐𝟎 + 𝟏𝟏𝟎 = 𝟒𝟑𝟎 𝑩𝒔; 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟕𝟎 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝟑𝟐𝟎 ∗ 𝒑(𝒙 > 𝟕𝟎) + 𝟒𝟑𝟎 ∗ 𝒑(𝒙 ≤ 𝟕𝟎) = 𝟑𝟐𝟎 ∗ [𝟏 − 𝒑(𝒙 ≤ 𝟕𝟎)] + 𝟒𝟑𝟎 ∗ 𝒑(𝒙 ≤ 𝟕𝟎) = 𝟑𝟐𝟎 ∗ [𝟏 − (𝟏− 𝒆−𝝀∗𝒕)] + 𝟒𝟑𝟎 ∗ (𝟏− 𝒆−𝝀∗𝒕) =

𝟑𝟐𝟎 ∗ [𝟏 − (𝟏 − 𝒆−(𝟏𝟓𝟎)∗𝟕𝟎)] + 𝟒𝟑𝟎 ∗ (𝟏 − 𝒆−(

𝟏𝟓𝟎)∗𝟕𝟎) = 𝟑𝟐𝟎 ∗ [𝟏 − (𝟏 − 𝒆−

𝟕𝟓)] + 𝟒𝟑𝟎 ∗ (𝟏 − 𝒆−

𝟕𝟓) = 𝟑𝟐𝟎 ∗ [𝟏 − (𝟎,𝟕𝟓𝟑𝟒)] + 𝟒𝟑𝟎 ∗ (𝟎,𝟕𝟓𝟑𝟒) =

𝟑𝟐𝟎 ∗ [𝟏 − (𝟎,𝟕𝟓𝟑𝟒)] + 𝟒𝟑𝟎 ∗ (𝟎,𝟕𝟓𝟑𝟒) = 𝟑𝟐𝟎 ∗ [𝟎,𝟐𝟒𝟔𝟔] + 𝟒𝟑𝟎 ∗ (𝟎,𝟕𝟓𝟑𝟒) = 𝟕𝟖,𝟗𝟏𝟐+ 𝟑𝟐𝟑,𝟗𝟔𝟏 = 𝟒𝟎𝟐,𝟖𝟕𝟒 𝑩𝒔 ≅ 𝟒𝟎𝟑 𝑩𝒔.


DISTRIBUCION Ji-CUADRADA Chi-CUADRDA 𝝌𝟐 Para muestras pequeñas N<30

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada o chi cuadrado 𝝌𝟐 es una distribución de probabilidad continua con

un parámetro 𝒌 que representa los grados de libertad de la variable aleatoria. Para muestras pequeñas 𝒏 < 𝟑𝟎.

Definición: 𝒁𝟏𝟐 + 𝒁𝟐

𝟐 + 𝒁𝟑𝟐 + 𝒁𝟒

𝟐 + 𝒁𝟓𝟐 +⋯… . . +𝒁𝒌

𝟐 cada una con media cero “0” y desviación típica “1” entonces la variable aleatoria es:

𝝌𝟐 = 𝒁𝟏𝟐 + 𝒁𝟐

𝟐 + 𝒁𝟑𝟐 + 𝒁𝟒

𝟐 + 𝒁𝟓𝟐 +⋯… . .+𝒁𝒌

𝟐 Se llama variable aleatoria chi-cuadrada con 𝒌 grados de libertad.

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆 ; 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆:

𝒇𝒐 = 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒂 = 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒂𝒇𝒆 = 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐

; ∝ 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆𝒏𝒔𝒆𝒓 𝟎, 𝟎𝟓; 𝟎, 𝟎𝟏 ; 𝟎, 𝟏𝟎 (𝟓%,𝟏%,𝟏𝟎%)

𝟏−∝

Si el nivel de confianza es del 95% el valor de alfa debe ser del 5% ∝= 𝟓%.

a)Hipótesis: si un contraste de hipótesis proporciona un valor de 𝒑 inferior a ∝, la hipótesis nula se rechaza, siendo tal resultado denominado “estadísticamente significativo” cuanto menor sea el nivel de significancia mas fuerte será la evidencia de que un hecho no se debe a una mera coincidencia (al azar).

b) Grados de libertad 𝑮𝑳 = 𝒌 − 𝟏 es un estimador del numero de categorías independientes 𝒏 − 𝟏 ; 𝒏 = 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂

y también pueden ser representados por 𝒌 − 𝒓. 𝒌 = # 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔, 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔 𝒚 𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔. 𝒓 = # 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒕𝒐𝒔 𝒐 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒎𝒏𝒆𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.

(𝟏𝟎 𝒂 𝟗𝟓% 𝑵𝒐 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂) (𝟎 𝒂 𝟓% 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐) La regla de decisión:

Prueba de bondad de ajuste:

𝑯𝟎 = 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍, 𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒚𝒆 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍. 𝑯𝟏 = 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒏𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍,𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒚𝒆 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆.

Prueba de independencia: Se usa para analizar la frecuencia de dos variables con categorías múltiples para determinar si las dos variables son independientes o No.

𝑯𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 (𝑯𝟎) = 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝑿 𝒆 𝒀 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔, (𝑿 𝒆 𝒀 𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐𝒔).

𝑯𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 (𝑯𝟏) = 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝑿 𝒆 𝒀 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔, (𝑿 𝒆 𝒀 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐𝒔).

𝝌𝟐(𝑭− 𝟏)(𝑪 − 𝟏) = ∑ ∑(𝑶𝒊𝒋−𝑬𝒊𝒋)

𝟐

𝑬𝒊𝒋

𝑪𝒋=𝟏

𝑭𝒊=𝟏

Prueba de homogeneidad Se extraen muestras independientes de varias poblaciones y se prueban para ver si son homogéneos con respecto a algún criterio de clasificación.

𝑯𝟎 = 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈𝒆𝒏𝒆𝒂𝒔. 𝑯𝟏 = 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈𝒆𝒏𝒆𝒂𝒔.

⟹ 𝝌𝟐(𝑭 − 𝟏)(𝑪 − 𝟏) = ∑ ∑(𝑶𝒊𝒋−𝑬𝒊𝒋)

𝟐

𝑬𝒊𝒋

𝑪𝒋=𝟏

𝑭𝒊=𝟏

Tablas de contingencias:

𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 → 𝑮𝑳 = 𝒌 = (𝒎− 𝟏)(𝒏 − 𝟏)

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂: 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)

𝑼𝒏𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏 (𝒓 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔) 𝒚 (𝒄 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔) 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂. Variable B TOTAL Los datos de variables cualitativas o categóricas

representan atributos o categorías y se organizan en tablas llamadas tablas de contingencias o tablas de clasificación cruzada. Dónde:

𝑭 = 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔 𝑪 = 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 𝒓 = 𝒓𝒆𝒏𝒈𝒍𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒐 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔

𝝌𝟐(𝑭 − 𝟏)(𝑪 − 𝟏) =∑∑(𝑶𝒊𝒋 −𝑬𝒊𝒋)

𝟐

𝑬𝒊𝒋

𝑪

𝒋=𝟏

𝑭

𝒊=𝟏

B1 B2 B3 B4 … … Bc

VA

RIA

BL

E A

A1 O11 O12 O13 O14 … … O1c R1

A2 O21 O22 O23 O24 … … O2c R2

A3 O31 O32 O33 O34 … … O3c R3

A4 O41 O42 O43 O44 … … O4c R4

…. … … … … … … … …

… … … … … … … … …

… … … … … … … … …

… … … … … … … …. …

Ar Or1 Or2 Or3 Or4 … … Orc Rr TOTAL C1 C2 C3 C4 .. … Cc n


𝑶𝒊𝒋: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 # 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔 𝑨𝒊 𝒚 𝑩𝒋 𝒂 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒛. 𝑹𝒊: (𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, . . , 𝒓)𝒆𝒔 𝒍𝒂𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒊 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 𝒇𝒊𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝑨𝒊. 𝑪𝒋: (𝒋 = 𝟏,𝟐, . . , 𝒄) 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒋 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓, 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒋𝒆𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝑩𝒋.

𝒏: 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒅𝒂𝒔.𝑭 = 𝒇𝒊𝒍𝒂; 𝑪 = 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂

EJEMPLO#325 Un gerente de ventas que tiene su mercado dividido en 4 zonas le indica a sus trabajadores que las zonas tienen el mismo

potencial de ventas. Ante la duda de los vendedores sobre el potencial de sus zonas el gerentes hace el siguiente procedimiento: se extrae una muestra de los archivos de la empresa de 40 ventas realizadas del año pasado y encuentra que el número de ventas por las zonas son los siguientes: en la Zona 1 son 6, zona 2 son 12, zona 3 son 14 y zona 4 son 8 ventas. En vista de estos resultados se realiza una prueba de bondad de ajuste. Utilice una alfa del 5%. SOLUCION: Planteamiento de hipótesis

Ho: las ventas están igualmente distribuidas H1: las ventas no están igualmente distribuidas. Nivel de significancia ∝= 𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒌 = 𝒏 = 𝟒𝒛𝒐𝒏𝒂𝒔 → 𝑮𝑳 = 𝒌 − 𝟏 = 𝟒 𝒛𝒐𝒏𝒂𝒔 − 𝟏 = 𝟒 − 𝟏 = 𝟑 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 ∝ 𝒚 𝒈𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒐𝒏 𝟎, 𝟎𝟓 𝒚 𝟑; 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒋𝒊 − 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐.

𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) → 𝒆𝒍 𝒋𝒊 − 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂. 𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) = 𝟕, 𝟖𝟏𝟒𝟕

𝒇𝒆 =𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

𝒏=𝟒𝟎

𝟒= 𝟏𝟎 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔,𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒛𝒐𝒏𝒂.

La ji-cuadrada Observada se saca con la formulas. La ji-cuadrado Critico se saca de la tabla.

Elaborar la tabla de fo y fe y calcular el ji-cuadrado (𝝌𝟐).

ZONAS TOTAL

A B C D

Frecuencia observada fo 6 12 14 8 40

Frecuencia esperada fe 10 10 10 10 40

𝝌𝟐 1,6 0,4 1,6 0,4 4(valor esperado)

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆=(𝟔 − 𝟏𝟎)𝟐

𝟏𝟎+(𝟏𝟎 − 𝟏𝟐)𝟐

𝟏𝟎+(𝟏𝟎 − 𝟏𝟒)𝟐

𝟏𝟎+(𝟏𝟎 − 𝟖)𝟐

𝟏𝟎=(−𝟒)𝟐

𝟏𝟎+(−𝟐)𝟐

𝟏𝟎+(−𝟒)𝟐

𝟏𝟎+(𝟐)𝟐

𝟏𝟎=

=(−𝟒)𝟐

𝟏𝟎+(−𝟐)𝟐

𝟏𝟎+(−𝟒)𝟐

𝟏𝟎+(𝟐)𝟐

𝟏𝟎=𝟏𝟔

𝟏𝟎+𝟒

𝟏𝟎+𝟏𝟔

𝟏𝟎+𝟒

𝟏𝟎= 𝟏, 𝟔 + 𝟎, 𝟒𝟎 + 𝟏, 𝟔 + 𝟎, 𝟒 = 𝟒 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐.

Hemos calculado los 𝝌𝟐 individuales se calculan con la formula, y luego se suman este valor es el 𝝌𝟐 observado. Ahora debemos tomar la decisión:

𝝌𝟐(𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐) < 𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) ⟹ 𝝌𝟐(𝟒) < 𝝌𝟐(𝟕, 𝟖𝟏𝟒𝟕) ⟹ 𝒔𝒊 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑨𝑪𝑬𝑷𝑻𝑨𝑹. Entonces, no rechazamos Ho entonces quiere decir que aceptamos, es decir que la Ho de que las ventas se encuentran igualmente distribuidas en las 4 zonas no se puede rechazar para un nivel de significancia del 5%.

EJEMPLO#326 El uso de bebida ordenado con alimentos en un restaurante ¿es independiente de la edad del consumidor? Se toma una

muestra aleatoria de 309 clientes del restaurante de donde resulta el siguiente cuadro de valores observados. Utilice ∝= 𝟏% para determinar si las dos variedades (edad-bebida) son independientes:

EDAD Café (Té) Refresco Leche

21-34 años 26 95 18

35-55 años 41 40 20

>35 años 24 13 12

SOLUCIÓN: Planteamiento de la hipótesis Ho : el tipo de bebida preferida es independiente de la edad. H1 : el tipo de bebida preferida no es independiente, está relacionada con la edad.

Nivel de significancia es ∝= 𝟏% = 𝟎, 𝟎𝟏

Cálculos de grados de libertad: 𝑮𝑳 = (𝒎− 𝟏)(𝒏 − 𝟏) = (𝟑 − 𝟏)(𝟑 − 𝟏) = (𝟐)(𝟐) = 𝟒 ; 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝟑 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔(𝒎 = 𝟑) 𝒚 𝟑 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔(𝒏 = 𝟑).

Como tenemos GL=4 y alfa=0,01 Buscar en la tabla de ji-cuadrado.

𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) = 𝟏𝟑, 𝟐𝟕𝟕


Calculo de la frecuencia esperada: 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂)∗𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

EDAD Café (Té) Refresco Leche TOTAL

21-34 años 26 95 18 139

Frecuencia esperada 𝟒𝟑, 𝟕𝟔𝟖𝟐 𝟕𝟏, 𝟏𝟖𝟑𝟒 𝟐𝟒, 𝟎𝟒𝟖𝟒 𝟏𝟑𝟗

35-55 años 41 40 20 101

Frecuencia esperada 𝟑𝟏, 𝟖𝟎𝟐𝟖 𝟓𝟏, 𝟕𝟐𝟑𝟐 𝟏𝟕, 𝟒𝟕𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟏

>35 años 24 13 12 49

Frecuencia esperada 𝟏𝟓, 𝟒𝟐𝟗𝟏 𝟐𝟓, 𝟎𝟗𝟑𝟒 𝟖,𝟒𝟕𝟕𝟓 𝟒𝟗

Total fo 91 148 50 289

Total fe 𝟗𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟏𝟒𝟖 𝟒𝟗, 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟐𝟖𝟖, 𝟗𝟗𝟗𝟏

𝟐𝟔 ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟏𝟑𝟗)(𝟗𝟏)

𝟐𝟖𝟗=𝟏𝟐𝟔𝟒𝟗

𝟐𝟖𝟗= 𝟒𝟑, 𝟕𝟔𝟖𝟐; 𝟗𝟓⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟏𝟑𝟗)(𝟏𝟒𝟖)

𝟐𝟖𝟗=𝟐𝟎𝟓𝟕𝟐

𝟐𝟖𝟗= 𝟕𝟏, 𝟏𝟖𝟑𝟒

𝟏𝟖 ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟏𝟑𝟗)(𝟓𝟎)

𝟐𝟖𝟗=𝟔𝟗𝟓𝟎

𝟐𝟖𝟗= 𝟐𝟒, 𝟎𝟒𝟖𝟒; 𝟒𝟏⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟏𝟎𝟏)(𝟗𝟏)

𝟐𝟖𝟗=𝟗𝟏𝟗𝟏

𝟐𝟖𝟗= 𝟑𝟏,𝟖𝟎𝟐𝟖

𝟒𝟎 ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟏𝟎𝟏)(𝟏𝟒𝟖)

𝟐𝟖𝟗=𝟏𝟒𝟗𝟒𝟖

𝟐𝟖𝟗= 𝟓𝟏, 𝟕𝟐𝟑𝟐; 𝟐𝟎⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟏𝟎𝟏)(𝟓𝟎)

𝟐𝟖𝟗=𝟓𝟎𝟓𝟎

𝟐𝟖𝟗= 𝟏𝟕,𝟒𝟕𝟒𝟎

𝟐𝟒 ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟒𝟗)(𝟗𝟏)

𝟐𝟖𝟗=𝟒𝟒𝟓𝟗

𝟐𝟖𝟗= 𝟏𝟓, 𝟒𝟐𝟗𝟏; 𝟏𝟑 ⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟒𝟗)(𝟏𝟒𝟖)

𝟐𝟖𝟗=𝟕𝟐𝟓𝟐

𝟐𝟖𝟗= 𝟐𝟓, 𝟎𝟗𝟑𝟒

𝟏𝟐 ⟹ 𝒇𝒆 =(𝟒𝟗)(𝟓𝟎)

𝟐𝟖𝟗=𝟐𝟒𝟓𝟎

𝟐𝟖𝟗= 𝟖, 𝟒𝟕𝟕𝟓

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆=(𝟐𝟔− 𝟒𝟑,𝟕𝟔𝟖𝟐)𝟐

𝟒𝟑,𝟕𝟔𝟖𝟐+(𝟒𝟏− 𝟑𝟏,𝟖𝟎𝟐𝟖)𝟐

𝟑𝟏,𝟖𝟎𝟐𝟖+(𝟐𝟒− 𝟏𝟓,𝟒𝟐𝟗𝟏)𝟐

𝟏𝟓,𝟒𝟐𝟗𝟏+(𝟗𝟓− 𝟕𝟏,𝟏𝟖𝟑𝟒)𝟐

𝟕𝟏,𝟏𝟖𝟑𝟒+(𝟒𝟎− 𝟓𝟏,𝟕𝟐𝟑𝟐)𝟐

𝟓𝟏,𝟕𝟐𝟑𝟐+(𝟏𝟑− 𝟐𝟓,𝟎𝟗𝟑𝟒)𝟐

𝟐𝟓,𝟎𝟗𝟑𝟒+

+(𝟏𝟖− 𝟐𝟒,𝟎𝟒𝟖𝟒)𝟐

𝟐𝟒,𝟎𝟒𝟖𝟒+(𝟐𝟎− 𝟏𝟕,𝟒𝟕𝟒𝟎)𝟐

𝟏𝟕,𝟒𝟕𝟒𝟎+(𝟏𝟐− 𝟖,𝟒𝟕𝟕𝟓)𝟐

𝟖,𝟒𝟕𝟕𝟓=

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆= 𝟕,𝟐𝟏𝟑𝟐 + 𝟐,𝟔𝟓𝟗𝟖 + 𝟒, 𝟕𝟔𝟏𝟐 + 𝟕, 𝟗𝟔𝟖𝟔 + 𝟐, 𝟔𝟓𝟕𝟏 + 𝟓, 𝟖𝟐𝟖𝟐 + 𝟏, 𝟓𝟐𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟔𝟓𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟔𝟑𝟔 = 𝟑𝟒,𝟒𝟑𝟖𝟏

Ahora debemos tomar la decisión:

𝝌𝟐(𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐) < 𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) ⟹ 𝝌𝟐(𝟑𝟒, 𝟒𝟑𝟖𝟏) < 𝝌𝟐(𝟏𝟑, 𝟐𝟕𝟕) ⟹ 𝑵𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 . Entonces rechazamos Ho, es decir se acepta la hipótesis alternativa H1. Las dos variables la bebida favorita y edad no son independientes. El tipo de bebida que un cliente ordena con alimentos está relacionada con la edad y depende de este.

EJEMPLO#327 la siguiente tabla indica las familias de 4 distritos y el número de personas que vieron un programa especial de política económica nacional

con alfa del 1%.

A B C D TOTAL

Número de personas que si vio 10 15 5 18 48

Número de personas que no vio 40 35 45 32 152

TOTAL 50 50 50 50 200

SOLUCIÓN: Planteamiento de la hipótesis Ho : todos vieron el programa. H1 : no todos vieron el programa.

Nivel de significancia es ∝= 𝟏% = 𝟎, 𝟎𝟏

Cálculos de grados de libertad: 𝑮𝑳 = (𝒎− 𝟏)(𝒏 − 𝟏) = (𝟐 − 𝟏)(𝟒 − 𝟏) = (𝟏)(𝟑) = 𝟑 ; 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝟐 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔(𝒎 = 𝟐) 𝒚 𝟒 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔(𝒏 = 𝟒). Como tenemos GL=3 y nivel de significancia del 1%, ver la tabla: y encontramos ji-cuadrado crítico.

𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) = 𝟏𝟏, 𝟑𝟒𝟓 Ahora vamos a determinar o calcular las frecuencias esperadas y ji-cuadrado observada de la siguiente manera:

𝟏𝟎 ⟹ 𝒇𝒆 =(𝟒𝟖)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟏𝟐; 𝟏𝟓⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟒𝟖)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟏𝟐; 𝟓 ⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟒𝟖)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟏𝟐; 𝟏𝟖 ⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟒𝟖)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟏𝟐;

𝟒𝟎 ⟹ 𝒇𝒆 =(𝟏𝟓𝟐)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟑𝟖; 𝟑𝟓⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟏𝟓𝟐)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟑𝟖; 𝟒𝟓 ⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟏𝟓𝟐)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟑𝟖; 𝟑𝟐 ⟹ 𝒇𝒆 =

(𝟏𝟓𝟐)(𝟓𝟎)

𝟐𝟎𝟎= 𝟑𝟖;

A B C D TOTAL Número de personas que si vio 12 12 12 12 48 Número de personas que no vio 38 38 38 38 152 TOTAL 50 50 50 50 200

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆=(𝟏𝟎− 𝟏𝟐)𝟐

𝟏𝟐+(𝟏𝟓− 𝟏𝟐)𝟐

𝟏𝟐+(𝟓 − 𝟏𝟐)𝟐

𝟏𝟐+(𝟏𝟖− 𝟏𝟐)𝟐

𝟏𝟐+(𝟒𝟎− 𝟑𝟖)𝟐

𝟑𝟖+(𝟑𝟓− 𝟑𝟖)𝟐

𝟑𝟖+(𝟒𝟓− 𝟑𝟖)𝟐

𝟑𝟖+(𝟑𝟐− 𝟑𝟖)𝟐

𝟑𝟖=

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆=𝟏

𝟑+𝟑

𝟒+𝟒𝟗

𝟏𝟐+ 𝟑 +

𝟐

𝟏𝟗+𝟗

𝟑𝟖+𝟒𝟗

𝟑𝟖+𝟏𝟖

𝟏𝟗=𝟏𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟏𝟒=𝟏𝟎,𝟕𝟒𝟓𝟔

A B C D TOTAL

Número de personas que si vio 0,3333 0,7500 4,0833 3,0000 8,1666

Número de personas que no vio 0,1053 0,2368 1,2895 0,9474 2,5790

TOTAL 0,4386 0,9868 5,3728 3,9474 10,7456



𝝌𝟐(𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐) < 𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) ⟹ 𝝌𝟐(𝟏𝟎, 𝟕𝟒𝟓𝟔) < 𝝌𝟐(𝟏𝟏, 𝟑𝟒𝟓) ⟹ 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏

Como el valor observado (10,7456) es menor que el valor critico (11,345), no podemos rechazar Ho para un nivel de 1% de significancia. La diferencia de las proporciones no es suficientemente grande para rechazar el Ho.

EJEMPLO#328 Supongamos que un investigador está interesado en evaluar la asociación entre uso de cinturón de seguridad en vehículos particulares y el

nivel socioeconómico del conductor del vehículo. Con este objeto se toma una muestra de conductores a quienes se clasifica en una tabla de asociación, encontrando los siguientes resultados:

Uso de cinturón

Nivel socioeconómico bajo

Nivel socioeconómico medio

Nivel socioeconómico alto

TOTAL

SI 8 15 28 51 NO 13 16 14 43

TOTAL 21 31 42 94

Tabla de asociación, valores observados. ¿Permiten estos datos afirmar que el uso del cinturón de seguridad depende del nivel socioeconómico? Usaremos un nivel de significación alfa=0,05. SOLUCION: a). En primer lugar se debe plantear las hipótesis que someteremos a prueba H0: “El uso de cinturón de seguridad es independiente del nivel socioeconómico”. H1: “El uso de cinturón de seguridad depende del nivel socioeconómico”. En esta prueba estadística siempre la hipótesis nula plantea que las variables analizadas son independientes. b). En segundo lugar, obtener (calcular) las frecuencias esperadas Estas son las frecuencias que debieran darse si las variables fueran independientes, es decir, si fuera cierta la hipótesis nula. Las frecuencias esperadas se obtendrán de la distribución de frecuencias del total de los casos, 51 personas de un total de 94 usan el cinturón y 43 de 94 no lo usan. Esa misma proporción se debería dar al interior de los tres grupos de nivel socioeconómico, de manera que el cálculo responde al siguiente razonamiento: si de 94 personas 51 usan cinturón; de 21 personas, ¿cuántas debieran usarlo? La respuesta a esta pregunta se obtiene aplicando la “regla de tres” y es 11,4. Este procedimiento debe repetirse con todas las frecuencias del interior de la tabla.

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂: 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)

𝟖 →(𝟓𝟏)(𝟐𝟏)

(𝟗𝟒)= 𝟏𝟏, 𝟑𝟗𝟑𝟔; 𝟏𝟓 →

(𝟓𝟏)(𝟑𝟏)

(𝟗𝟒)= 𝟏𝟔, 𝟖𝟏𝟗𝟏; 𝟐𝟖 →

(𝟓𝟏)(𝟒𝟐)

(𝟗𝟒)= 𝟐𝟐, 𝟕𝟖𝟕𝟐

𝟏𝟑 →(𝟒𝟑)(𝟐𝟏)

(𝟗𝟒)𝟗, 𝟔𝟎𝟔𝟒; = 𝟏𝟔 →

(𝟒𝟑)(𝟑𝟏)

(𝟗𝟒)= 𝟏𝟒, 𝟏𝟖𝟎𝟗; 𝟏𝟒 →

(𝟒𝟑)(𝟒𝟐)

(𝟗𝟒)= 𝟏𝟗, 𝟐𝟏𝟐𝟖

Estas son las frecuencias que debieran presentarse si la hipótesis nula fuera verdadera y, por consiguiente, las variables fueran independientes.

Estos valores los anotamos en una tabla con las mismas celdas que la anterior; así tendremos una tabla con los valores observados y una tabla con los valores esperados, que anotaremos en cursiva, para identificarlos bien.

Uso de cinturón Nivel bajo Nivel medio Nivel alto TOTAL

SI 11,3936 16,8191 22,7872 51 NO 9,6064 14,1809 19,2128 43

TOTAL 21 31 42 94

c. En tercer lugar se debe calcular el estadístico de prueba En este caso, el estadístico de prueba es Ji-cuadrado que, como dijimos al comienzo, compara las frecuencias que entregan los datos de la muestra (frecuencias observadas) con las frecuencias esperadas, y tiene la siguiente fórmula cálculo:

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆

Donde fo representa a cada frecuencia observada y fe representa la frecuencia esperada, de este modo el valor del estadístico de prueba para este problema será:

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆=(𝟖− 𝟏𝟏,𝟑𝟗𝟑𝟔)𝟐

𝟏𝟏,𝟑𝟗𝟑𝟔+(𝟏𝟑− 𝟗,𝟔𝟎𝟔𝟒)𝟐

𝟗,𝟔𝟎𝟔𝟒+(𝟏𝟓− 𝟏𝟔,𝟖𝟏𝟗𝟏)𝟐

𝟏𝟔,𝟖𝟏𝟗𝟏+(𝟏𝟔− 𝟏𝟒,𝟏𝟖𝟎𝟗)𝟐

𝟏𝟒,𝟏𝟖𝟎𝟗+(𝟐𝟖− 𝟐𝟐,𝟕𝟖𝟕𝟐)𝟐

𝟐𝟐,𝟕𝟖𝟕𝟐+(𝟏𝟒− 𝟏𝟗,𝟐𝟏𝟐𝟖)𝟐

𝟏𝟗,𝟐𝟏𝟐𝟖=

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆= 𝟏,𝟎𝟏𝟎𝟖+ 𝟏,𝟏𝟗𝟖𝟖+ 𝟎,𝟏𝟗𝟔𝟕+ 𝟎,𝟐𝟑𝟑𝟒+ 𝟏,𝟏𝟗𝟐𝟓+ 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟑 = 𝟓,𝟐𝟒𝟔𝟓⟹ 𝝌𝟐 = 𝟓,𝟐𝟒𝟔𝟓 (𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐)

Entonces el 𝝌𝟐 = 𝟓, 𝟐𝟒𝟔𝟓 (𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐), este es el valor de nuestro estadístico de prueba que ahora, siguiendo el procedimiento de

problemas anteriores (paso 4), debemos comparar con un valor de la tabla de probabilidades para ji-cuadrado (x2).

Hay que ver en el gráfico de ji-cuadrado con valores de cero al infinito solo toma valores positivos. Dado que el estadístico ji cuadrado sólo toma valores positivos, la zona de rechazo de la hipótesis nula siempre estará del lado derecho de la curva. Uso de tabla ji-cuadrado La tabla de ji-cuadrado tiene en la primera columna los grados de libertad y en la primera fila la probabilidad asociada a valores mayores a un determinado valor del estadístico (véase tabla de ji-cuadrado). Los grados de libertad dependen del número de celdas que tiene la tabla de asociación donde están los datos del problema y su fórmula de cálculo es muy sencilla:

𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 → 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝟐 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔 𝒚 𝟑 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔: 𝑮𝑳 = 𝒌 = (𝟐 − 𝟏)(𝟑 − 𝟏) = (𝟏)(𝟐) = 𝟐 𝒚 ∝= 𝟎, 𝟎𝟓

En la tabla siempre buscamos la ji-cuadrado crítica: 𝝌𝟐 = 𝟓,𝟗𝟗𝟏𝟓 (𝑪𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐).



𝝌𝟐(𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐) < 𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) ⟹ 𝝌𝟐(𝟓, 𝟐𝟒𝟔𝟓) < 𝝌𝟐(𝟓,𝟗𝟗𝟏𝟓) ⟹ 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝑨𝑪𝑬𝑷𝑻𝑨𝑹. Según esto, debemos aceptar la hipótesis nula que plantea que las variables “uso de cinturón de seguridad” y “nivel socioeconómico” son independientes. Limitación: como norma general, se exige que el 80% de las celdas en una tabla de asociación tengan valores esperados mayores de 5.

EJEMPLO#329 En un grupo de enfermos que se quejaban de que no dormían se les dio somníferos y placebos. Con los siguientes

resultados. Nivel de significación del 5%.

Duermen Bien Duermen Mal

Somníferos 44 10

Placebos 81 35

¿Es lo mismo tomar somníferos o placebos para dormir bien o mal en este grupo de enfermos? SOLUCIÓN: Las hipótesis de este ejercicio, serían las siguientes: Ho: No es lo mismo tomar somníferos o placebos para dormir mal o bien H1: Es lo mismo tomar somníferos o placebos para dormir bien o mal. Para la realización del problema se muestran los pasos a seguir, a continuación. Paso 1: Completar la tabla de las frecuencias observadas.

Duermen Bien Duermen Mal TOTALES

Somníferos 44 10 54

Placebos 81 35 116

TOTALES 125 45 170

Paso 2: Calcular las frecuencias teóricas. (Es importante caer en la cuenta de que la suma de las frecuencias observadas debe de ser igual a la suma de las frecuencias teóricas). Para este cálculo, tenemos que basarnos en la fórmula: (total filas x total columnas) / (total).

𝒇𝒆 𝟏(𝑫𝒖𝒆𝒓𝒎𝒆𝒏 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝑺𝒐𝒎𝒏í𝒇𝒆𝒓𝒐𝒔) ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟓𝟒)(𝟏𝟐𝟓)

(𝟏𝟕𝟎)=𝟔𝟕𝟓𝟎

𝟏𝟕𝟎=𝟔𝟕𝟓

𝟏𝟕= 𝟑𝟗, 𝟕𝟎𝟓𝟗

𝒇𝒆 𝟐(𝑫𝒖𝒆𝒓𝒎𝒆𝒏 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝑷𝒍𝒂𝒄𝒆𝒃𝒐𝒔) ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟏𝟏𝟔)(𝟏𝟐𝟓)

(𝟏𝟕𝟎)=𝟏𝟒𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟕𝟎=𝟏𝟒𝟓𝟎

𝟏𝟕= 𝟖𝟓,𝟐𝟗𝟒𝟏

𝒇𝒆 𝟑(𝑫𝒖𝒆𝒓𝒎𝒆𝒏 𝒎𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒎𝒏í𝒇𝒆𝒓𝒐𝒔) ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟓𝟒)(𝟒𝟓)

(𝟏𝟕𝟎)=𝟐𝟒𝟑𝟎

𝟏𝟕𝟎=𝟐𝟒𝟑

𝟏𝟕= 𝟏𝟒, 𝟐𝟗𝟒𝟏

𝒇𝒆 𝟒(𝑫𝒖𝒆𝒓𝒎𝒆𝒏 𝒎𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏 𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆𝒃𝒐𝒔) ⟹ 𝒇𝒆 =𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒇𝒊𝒍𝒂) ∗ 𝑺𝒖𝒎𝒂(𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂)

𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=(𝟏𝟏𝟔)(𝟒𝟓)

(𝟏𝟕𝟎)=𝟓𝟐𝟐𝟎

𝟏𝟕𝟎=𝟓𝟐𝟐

𝟏𝟕= 𝟑𝟎, 𝟕𝟎𝟓𝟗

Como dijimos antes, la suma de las frecuencias observables debía de ser igual a la suma de las frecuencias esperadas. En este caso podemos decir, que dicho pronóstico se cumple:

Suma frecuencias observadas = 170

Suma de frecuencias esperadas: 39, 7059 + 85, 2941 + 14, 2941 + 30, 7059 = 170 Paso 3: Calcular los grados de libertad. En este caso, como son dos los criterios de clasificación, el grado de libertad se calcularía así:

𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 = (𝒏º 𝒅𝒆 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔 – 𝟏) 𝒑𝒐𝒓 (𝒏º 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 – 𝟏) 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 = (𝟐 – 𝟏)(𝟐 – 𝟏) = ( 𝟏) ∗ (𝟏 ) = 𝟏 Paso 4: Calcular el valor de chi cuadrado (usando para ello la fórmula escrita al principio de esta entrada)

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆=(𝟒𝟒 − 𝟑𝟗, 𝟕𝟎𝟓𝟗)𝟐

𝟑𝟗, 𝟕𝟎𝟓𝟗+(𝟖𝟏 − 𝟖𝟓, 𝟐𝟗𝟒𝟏)𝟐

𝟖𝟓, 𝟐𝟗𝟒𝟏+(𝟏𝟎 − 𝟏𝟒, 𝟐𝟗𝟒𝟏)𝟐

𝟏𝟒, 𝟐𝟗𝟒𝟏+(𝟑𝟓 − 𝟑𝟎, 𝟕𝟎𝟓𝟗)𝟐

𝟑𝟎, 𝟕𝟎𝟓𝟗=

𝝌𝟐 =∑(𝒇𝒐 − 𝒇𝒆)

𝟐

𝒇𝒆= 𝟎,𝟒𝟔𝟒𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟔𝟐 + 𝟏, 𝟐𝟗𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟔𝟎𝟎𝟓 = 𝟐, 𝟓𝟕𝟏𝟏 𝝌𝟐(𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐) = 𝟐, 𝟓𝟕𝟏𝟏

Paso 5: Ver la tabla.

En este caso, buscamos en la tabla de la distribución 𝝌𝟐 el valor que se compara con el del resultado del chi cuadrado. Para ello, tenemos

que tener en cuenta el nivel de significación 5%(0, 05) y el grado de libertad GL(1). La tabla que se utiliza, se muestra en seguida:

Observando la tabla, obtenemos pues que el valor que buscamos 𝝌𝟐 es 3, 8415.

En la tabla siempre buscamos la ji-cuadrado crítica: 𝝌𝟐 = 𝟑,𝟖𝟒𝟏𝟓 (𝑪𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐). Paso 6: Comparar los valores. Ahora debemos tomar la decisión:

– Valor calculado –> 2, 5711 – Valor de la tabla –> 3, 8415 Conclusión: como 2, 5711 < 3, 8415 ——–> ACEPTAMOS H0 y rechazamos H1. Podemos decir que la diferencia no es estadísticamente significativa y que se debe al azar. Es decir, no es lo mismo usar somníferos o placebos para dormir bien o mal en este grupo de enfermos.

𝝌𝟐(𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐) < 𝝌𝟐(𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐) ⟹ 𝝌𝟐(𝟐, 𝟓𝟕𝟏𝟏) < 𝝌𝟐(𝟑, 𝟖𝟒𝟏𝟓) ⟹ 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝑨𝑪𝑬𝑷𝑻𝑨𝑹.


DISTRIBUCION t de STUDENT Para muestras pequeñas N<30

Definición: Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popular prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar. Condiciones: a) Se utiliza en muestras de 30 o menos elementos. b). La desviación estándar de la población no se conoce Diferencias:

a) La distribución t student es menor en la media y más alta en los extremos que una distribución normal. b) Tiene proporcionalmente mayor parte de su área en los extremos que la distribución normal.

Existen 2 tipos de prueba t de Student

Test t para diferencia par ( grupos dependientes, test t correlacionado) : GL=df= n (número de pares) -1=n-1 Esto se refiere a la diferencia entre las cuentas medias de una sola muestra de individuos que se determina antes del tratamiento y después del tratamiento. Puede también comparar las cuentas medias de muestras de individuos que se aparean de cierta manera (por ejemplo los hermanos, madres, hijas, las personas que se emparejan en términos de las características particulares).

Test t para muestras independientes Esto se refiere a la diferencia entre los promedios de dos poblaciones. Básicamente, el procedimiento compara los promedios de dos muestras que fueron seleccionadas independientemente una de la otra. Un ejemplo sería comparar cuentas matemáticas de un grupo experimental con un grupo de control. ¿Cómo decido qué tipo de t-prueba a utilizar? Error tipo I:

Rechaza una hipótesis nula que sea realmente verdad. La probabilidad de hacer un error tipo I depende del nivel alfa que se seleccionó.

Si se fijó la probabilidad alfa en p < 0,05, entonces existe un 5% de posibilidades de hacer un error de tipo I.

Se puede reducir la posibilidad de hacer un error tipo I fijando un nivel alfa más pequeño (p < 0,01). El problema haciendo esto es que se aumenta la posibilidad de un error tipo II.

Error tipo II:

Falla en rechazar una hipótesis nula que sea falsa.

La idea básica para calcular una prueba de Student es encontrar la diferencia entre las medias de los dos grupos y dividirla por el error estándar (de la diferencia), es decir la desviación de estándar de la distribución de las diferencias.

Un intervalo de confianza para una prueba t con dos colas es calculado multiplicando los valores críticos por el error de estándar y agregando y restando eso de la diferencia de las dos medias.

El efecto tamaño se utiliza para calcular la diferencia práctica. Si existen varios miles de pacientes, es muy fácil encontrar una diferencia estadísticamente significativa

Saber si esa diferencia es práctica o significativa es otra pregunta.

Con los estudios implicando diferencias de grupo, el tamaño del efecto es la diferencia de las dos medias dividido por la desviación estándar del grupo control (o la desviación estándar media de ambos grupos si no hay grupo de control).

Generalmente, el tamaño del efecto es solamente importante si existe una significación estadística.

Un efecto tamaño de 2 se considera pequeño, 5 se considera medio, y 8 se considera grande. Formulas:

𝒂)𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 𝒔𝒆 𝒉𝒂𝒓á 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍: 𝒔𝟐 =∑ (𝒙𝒊 − 𝒙)

𝟐𝒏𝒊=𝟏

𝒏 − 𝟏

𝒔𝟐 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒏 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒙𝟏 − , 𝒙𝟐 − , 𝒙𝟑 − ,…… . , 𝒙𝒏 − , 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒔𝒖𝒎𝒂𝒏 𝒄𝒆𝒓𝒐. 𝑮𝑳 = 𝒏 − 𝟏 = 𝟒 − 𝟏 = 𝟑 Ejemplo si n=4 y 𝒙𝟏 − = 𝟖, 𝒙𝟐 − = −𝟔, 𝒚 𝒙𝟒 − = −𝟒; 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒙𝟑 − = 𝟐

𝒃) 𝒕 =𝒙− 𝝁𝒔

√𝒏

𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:

𝒏 = 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂; 𝒔 = 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓; 𝝁 = 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒙 = 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒏 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂

𝒔𝟐 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏

𝒕 𝒅𝒆 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕

𝒕 =𝒙− 𝝁𝒔

√𝒏

; 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒆 𝒒𝒖𝒆 (𝒔) 𝒔𝒆 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒆 𝒂 (𝝈);

𝒙 = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒏 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝝁,𝝁(𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂 𝒂𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓).

𝝁 = 𝟎; 𝝈𝟐 =𝒗

(𝒗− 𝟐) (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗 > 𝟐);𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒗 = 𝒈𝒍; 𝑻𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏 < 𝟑𝟎

Vamos a utilizar para una muestra pequeñas menor a 30 n<30, la t se aproxima a una distribución normal N(0,1), cuando v(grados de libertad) tiende al infinito en la práctica considera buena aproximación para v>30 debemos estudiar la confiabilidad. Pasos para resolver la t de student:

P1. Plantear la hipótesis nula (Ho) e hipótesis alternativa (H1). La hipótesis alternativa plantea matemáticamente lo que queremos demostrar, mientras la hipótesis nula plantea exactamente lo contrario. P2. Determinar nivel de significancia (rango de aceptación de H1).

𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟓% → 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒈𝒂𝒄𝒊ó𝒏. 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏% → 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒔𝒆𝒈𝒖𝒓𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅. 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎% → 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐𝒕𝒆𝒄𝒏𝒊𝒂 𝒚 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔.

𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒐𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔.

http://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica


P3. Evidencia muestral: se calcula la media y la desviación estándar a partir de la muestra. P4. Se aplica la distribución de t de student para calcular la probabilidad de error (p), por medio de la siguiente formula:

𝒕 =𝒙 − 𝝁𝒔

√𝒏

P5. En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hipótesis alternativa: a)si la probabilidad de error (p) es mayor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis alternativa. b)si la probabilidad de error (p) es menor que el nivel de significancia, se acepta la hipótesis alternativa.

EJEMPLO#330 Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificación promedio de 62,10 con una desviación

estándar de 5,83 se sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60. ¿Existe suficiente evidencia para comprobar que no hay problemas de autoestima en el grupo seleccionado? Considere un nivel de significancia del 0,05. SOLUCIÓN: P1. (H1): Lo que se quiere comprobar, el grupo no tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima mayor a 60. (H0): Lo contrario a la H1, el grupo tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima menor a 60.

P2. Determinar nivel de significancia (rango de aceptación de H1). ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟓%

P3. Evidencia muestral: = 𝟔𝟐, 𝟏𝟎 𝒚 𝒔 = 𝟓, 𝟖𝟑 P4. Se aplica la distribución de t de student para calcular la probabilidad de error (p), por medio de la siguiente formula:

𝝁 = 𝟔𝟎𝒔 = 𝟓,𝟖𝟑𝒏 = 𝟐𝟓𝒙 = 𝟔𝟐,𝟏𝟎

⟹ 𝒕 =𝒙− 𝝁𝒔

√𝒏

=𝟔𝟐,𝟏𝟎− 𝟔𝟎

𝟓,𝟖𝟑

√𝟐𝟓

=𝟐,𝟏𝟎

𝟓, 𝟖𝟑𝟓

=𝟏𝟎𝟓𝟎

𝟓𝟖𝟑= 𝟏,𝟖𝟎𝟏𝟎

𝑮𝑳 = 𝒅𝒇 = (𝒅𝒆𝒈𝒓𝒆𝒆𝒔 𝒐𝒇 𝒇𝒓𝒆𝒆𝒅𝒐𝒎) = 𝒏− 𝟏 = 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟐𝟒; 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕, 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂.

Graficamos y comparamos con distribución normal:

P5. En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hipótesis alternativa: a)si la probabilidad de error (p) es mayor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis alternativa. b)si la probabilidad de error (p) es menor que el nivel de significancia, se acepta la hipótesis alternativa.

𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐:𝒑 <∝ 𝟎,𝟎𝟒𝟑𝟔 < 𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟎 ; 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝑯𝟏; 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒂𝒍𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂. Existe suficientes evidencia para demostrar que el grupo no tiene problemas de autoestima.

EJEMPLO#331 Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio requerido para realizar un trabajo. Una muestra

aleatoria de 16 mediciones produce una media y una desviación estándar de 13 y 5,6 minutos respectivamente.

SOLUCIÓN: 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟏𝟔; = 𝟏𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔; 𝒔 = 𝟓, 𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕 𝒅𝒆 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕 𝒔𝒂𝒃𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒕 = 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝟗𝟗% ; 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝟏% 𝒄𝒐𝒏 (𝒏− 𝟏) 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 𝑮𝑳 = 𝒏 − 𝟏 = 𝟏𝟔 − 𝟏 = 𝟏𝟓

∝= 𝟏% = 𝟎, 𝟎𝟏; 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐: ∝

𝟐=𝟎, 𝟎𝟏

𝟐= 𝟎,𝟎𝟎𝟓 → 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒍𝒂𝒔 ∝𝟏, ∝𝟐 𝒚 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 = 𝟏% ó ∝= 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏%

Como tenemos GL=15 y alfa=0,005 solo una cola, buscar en la tabla de distribución de t de student.

𝒕 = − 𝝁𝒔

√𝒏

⟹ 𝟐,𝟗𝟒𝟕 =𝟏𝟑− 𝝁

𝟓, 𝟔

√𝟏𝟔

⟹ 𝟐, 𝟗𝟒𝟕 =𝟏𝟑− 𝝁

𝟓, 𝟔𝟒

⟹ 𝟐, 𝟗𝟒𝟕 =𝟏𝟑 − 𝝁

𝟏, 𝟒⟹ 𝟐, 𝟗𝟒𝟕(𝟏, 𝟒) = 𝟏𝟑 − 𝝁 ⟹ 𝟒, 𝟏𝟐𝟓𝟖 = 𝟏𝟑 − 𝝁 ⟹ 𝝁 = 𝟖,𝟖𝟕𝟒𝟐

Otra forma de determinar los intervalos:


𝒕 =𝒙− 𝝁𝒔

√𝒏

⟹ 𝒕 ∗𝒔

√𝒏= 𝒙 − 𝝁⟹ 𝒕 ∗

𝒔

√𝒏− 𝒙 = −𝝁(−𝟏)⟹ −𝒕 ∗

𝒔

√𝒏+ 𝒙 = 𝝁⟹ 𝝁 = −𝒕 ∗

𝒔

√𝒏+ 𝒙 ⟹ 𝝁 = 𝒙 ± 𝒕 ∗

𝒔

√𝒏

𝝁 = 𝒙 ± 𝒕 ∗𝒔

√𝒏= 𝟏𝟑± (𝟐, 𝟗𝟒𝟕) ∗

𝟓, 𝟔

√𝟏𝟔= 𝟏𝟑± (𝟐, 𝟗𝟒𝟕) ∗

𝟓, 𝟔

𝟒= 𝟏𝟑 ± (𝟐, 𝟗𝟒𝟕) ∗ 𝟏, 𝟒 = 𝟏𝟑± 𝟒, 𝟏𝟐𝟓𝟖⟹

𝝁𝟏 = 𝟏𝟕,𝟏𝟐𝟓𝟖𝝁𝟐 = 𝟖,𝟖𝟕𝟒𝟐

⟹ 𝝁𝟏 = 𝟏𝟕,𝟏𝟐𝟓𝟖 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∝𝟏𝝁𝟐 = 𝟖,𝟖𝟕𝟒𝟐 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∝𝟐

Tiempo medio requerido para realizar el trabajo sera entre 8,8742 y 17,1258 minutos con una certeza del 99% de nivel de confianza. Ahora vamos a graficar, aproximandome a una curva de distribucion normal:

Tiempo medio requerido para realizar el trabajo sera entre 8,8742 y 17,1258 minutos con una certeza del 99% de nivel de confianza. Ahora vamos a graficar, aproximandome a una curva de distribucion normal: Tiempo medio requerido para realizar el trabajo sera entre 8,8742 y 17,1258 minutos con una certeza del 99% de nivel de confianza. Ahora vamos a graficar, aproximandome a una curva de distribucion normal:

EJEMPLO#332 Una empresa textil empacadora de bolsas estaba interesada en comprar una maquina cuya fabricante asegura que la

empacaría 500 bolsas (un fardo), con mayor rapidez que cualquier otra máquina, la maquina antigua empaca 500 bolsas en 7 minutos. Como parte de la demostración el fabricante empaco 5 fardos, discretamente el empacador cronometro el tiempo para cada fardo y obtuvo un valor medio de 390 segundos, y una desviación estándar de 30 segundos. ¿se recomienda comprar la maquina SI o No? SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝟓𝟎𝟎 𝒃𝒐𝒍𝒔𝒂𝒔 → 𝟏 𝒇𝒂𝒓𝒅𝒐; 𝒏 = 𝟓 𝒇𝒂𝒓𝒅𝒐𝒔 → 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟓 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 𝒃𝒐𝒍𝒔𝒂𝒔; = 𝟑𝟗𝟎 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔; 𝒔 = 𝟑𝟎 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔; 𝑴á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒂 → 𝝁 = 𝟕 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 = 𝟕𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔(𝟔𝟎 ) = 𝟒𝟐𝟎 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔 ; 𝟓𝟎𝟎 𝒃𝒐𝒍𝒔𝒂𝒔 → 𝟕 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔

𝒕 = − 𝝁𝒔

√𝒏

= − 𝝁

𝒔=𝟑𝟗𝟎− 𝟒𝟐𝟎

𝟑𝟎

√𝟓

=−𝟑𝟎

𝟑𝟎

√𝟓

= −𝟐,𝟐𝟑𝟔𝟏; 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝟏%,𝒚 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒕 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕.

𝑺𝒊 𝑮𝑳 = 𝒏 − 𝟏 = 𝟓− 𝟏 = 𝟒 𝒚 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝟏% = 𝟎, 𝟎𝟏 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂: 𝒕 = 𝟑, 𝟕𝟒𝟕;𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒎𝒊𝒆𝒏𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂.

𝒕𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒂 < 𝒕𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 → −𝟐,𝟐𝟑𝟔𝟏 < 𝟑, 𝟕𝟒𝟕 → 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔

EJEMPLO#333 En un curso de estadística se tabulo la siguiente tabla:

𝒙𝒊 𝒇𝒊 Si se sabe que: 𝒙 =∑𝒙𝒊∗𝒇𝒊

𝒏

Calcular la “t” de student si se tiene una 𝝁 = 𝟑𝟏

22,5 5

27,5 10

32,5 15

37,5 11

42,5 7 SOLUCIÓN: 𝑺𝒊 𝒏 < 𝟑𝟎(𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒏− 𝟏); 𝒏 > 𝟑𝟎(𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒔ó𝒍𝒐 𝒏)

𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊 ∗ 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − )𝟐𝒇𝒊 =

∑𝒙𝒊 ∗ 𝒇𝒊𝒏

=𝟏𝟓𝟖𝟓

𝟒𝟖= 𝟑𝟑,𝟎𝟐𝟎𝟖 𝒏 = 𝟒𝟖

𝒔𝟐 =∑ (𝒙𝒊 − )

𝟐𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏

𝒏=𝟏𝟕𝟏𝟏,𝟗𝟕𝟗𝟐

𝟒𝟖= 𝟑𝟓,𝟔𝟔𝟔𝟐; 𝒔 = √𝒔𝟐 = √𝟑𝟓,𝟔𝟔𝟔𝟐 = 𝟓, 𝟗𝟕𝟐𝟏

𝒔𝟐 =∑ (𝒙𝒊 − )

𝟐𝒇𝒊

𝒏𝒊=𝟏

𝒏; (𝒔𝒊 𝒏 > 𝟑𝟎) 𝒔𝟐 =

∑ (𝒙𝒊 − )𝟐𝒇𝒊

𝒏𝒊=𝟏

𝒏 − 𝟏; (𝒔𝒊 𝒏 < 𝟑𝟎)

𝒕 = − 𝝁

𝒔; (𝒏 > 𝟑𝟎) 𝒕 =

− 𝝁𝒔

√𝒏

; (𝒏 < 𝟑𝟎)

22,5 5 112,5 553,4397

27,5 10 275 304,7960

32,5 15 487,5 4,0690

37,5 11 412,5 220,6923

42,5 7 297,5 628,9822

∑𝟏𝟔𝟐, 𝟓 ∑𝟒𝟖 ∑𝟏𝟓𝟖𝟓 ∑𝟏𝟕𝟏𝟏,𝟗𝟕𝟗𝟐

𝒕 = − 𝝁

𝒔=𝟑𝟑, 𝟎𝟐𝟎𝟖 − 𝟑𝟏

𝟓, 𝟗𝟕𝟐𝟏= 𝟎,𝟑𝟑𝟖𝟒 ⟹ (𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏 > 𝟑𝟎).

EJEMPLO#334 Cinco medidas de reacción de un individuo fueron registradas como: 0,28 0,30 0,27 0,33 0,31. Hallar los límites de confianza

del: a) 95% b) 99%.

SOLUCIÓN: 𝒏 = 𝟓; =𝟎,𝟐𝟖+𝟎,𝟑𝟎+𝟎,𝟐𝟕+𝟎,𝟑𝟑+𝟎,𝟑𝟏

𝟓=𝟏,𝟒𝟗

𝟓=𝟏𝟒𝟗

𝟓𝟎𝟎= 𝟎,𝟐𝟗𝟖𝟎

∑(𝟎, 𝟐𝟖𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟐 + 𝟎,𝟐𝟕𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟏𝟐) = 𝟎, 𝟒𝟒𝟔𝟑 ; ∑(𝟎, 𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟕 + 𝟎, 𝟑𝟑 + 𝟎, 𝟑𝟏) =(𝟏, 𝟒𝟗)𝟐

𝟓=𝟐,𝟐𝟐𝟎𝟏

𝟓= 𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟎𝟐


𝑺 =√∑(𝒙𝒊)

𝟐 −(∑𝒙𝒊)𝟐

𝒏𝒏− 𝟏

= √𝟎,𝟒𝟒𝟔𝟑 − 𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟎𝟐

𝟓 − 𝟏= √

𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖

𝟒= √

𝟓𝟕

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎= √𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟗; 𝑺 =

𝑺

√𝒏=𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟗

√𝟓= 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕

𝒂) 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝟗𝟓%,𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒓á 𝒅𝒆𝒍 𝟓% ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 𝒚 𝑮𝑳 = 𝒏 − 𝟏 = 𝟓 − 𝟏 = 𝟒 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒕 ⟹ 𝒕 = 𝟐, 𝟏𝟑𝟐 Ahora sacamos los intervalos o límites:

𝒕 = − 𝝁

𝒔⟹ 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝝁 =? ⟹ 𝝁 = ± 𝒕 ∗ 𝒔

𝝁 = ± 𝒕 ∗ 𝒔 𝝁𝟏= 𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟎 + 𝟐, 𝟏𝟑𝟐(𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕) = 𝟎, 𝟑𝟐𝟎𝟖

𝝁𝟐= 𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟎 − 𝟐, 𝟏𝟑𝟐(𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕) = 𝟎, 𝟐𝟕𝟓𝟐

⟹𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝟗𝟓% 𝒔𝒐𝒏:

𝝁𝟏= 𝟎, 𝟑𝟐𝟎𝟖 𝒚 𝝁

𝟐= 𝟎, 𝟐𝟕𝟓𝟐

𝒃) 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝟗𝟗%,𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒓á 𝒅𝒆𝒍 𝟏% ∝= 𝟎, 𝟎𝟏 𝒚 𝑮𝑳 = 𝒏 − 𝟏 = 𝟓 − 𝟏 = 𝟒 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒕 ⟹ 𝒕 = 𝟑, 𝟕𝟒𝟕 Ahora sacamos los intervalos o límites:

𝒕 = − 𝝁

𝒔⟹ 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝝁 =? ⟹ 𝝁 = ± 𝒕 ∗ 𝒔

𝝁 = ± 𝒕 ∗ 𝒔 𝝁𝟏= 𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟎 + 𝟑, 𝟕𝟒𝟕(𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕) = 𝟎, 𝟑𝟑𝟖𝟏

𝝁𝟐= 𝟎, 𝟐𝟗𝟖𝟎 − 𝟑, 𝟕𝟒𝟕(𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕) = 𝟎, 𝟐𝟓𝟕𝟗

⟹𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝟗𝟗% 𝒔𝒐𝒏:

𝝁𝟏= 𝟎, 𝟑𝟑𝟖𝟏 𝒚 𝝁

𝟐= 𝟎, 𝟐𝟓𝟕𝟗

EJEMPLO#335 Reclutas de una armada en cierto campo de adiestramiento son sometidos a una prueba de actividad física que incluye

levantamiento de pesas. En un grupo de 100 reclutas, tuvieron una media de 15 levantamientos y una desviación estándar de 3, establézcase el 95% de confianza para la media verdadera. SOLUCIÓN: 𝝁 = 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒂 =?𝒏 = 𝟏𝟎𝟎; = 𝟏𝟓; 𝑺 = 𝟑; 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 = 𝒑 = 𝟗𝟓%; 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 =∝= 𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟓; 𝑮𝑳 = 𝒏− 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏 = 𝟗𝟗 Cómo no tenemos el 99 en la tabla de t de student, entonces hay que interpolar el 99 y está entre 60 y 190.

∝= 𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟓 ⟹ 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒆𝒏 𝒔𝒖𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒍𝒂𝒔; 𝟎, 𝟎𝟓

𝟐= 𝟎, 𝟎𝟐𝟓; 𝒚 𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑮𝑳 𝒅𝒆 𝟗𝟎 𝒚 𝟏𝟐𝟎:

∝𝟏= 𝟎,𝟎𝟐𝟓𝑮𝑳 = 𝟔𝟎⏟

𝒕=𝟐

𝒚 ∝𝟐= 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝑮𝑳 = 𝟏𝟐𝟎⏟ 𝒕=𝟏,𝟗𝟖

𝟔𝟎 → 𝟐𝟗𝟎 → 𝒙

𝟏𝟐𝟎 → 𝟏,𝟗𝟖 𝒂𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔:

𝑳𝑰𝑴𝑰𝑻𝑬𝑺𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓(𝑳𝑰)𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐(𝑳𝑴)𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓(𝑳𝑺)

𝑮𝑳𝟔𝟎𝟗𝟎𝟏𝟐𝟎

𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂𝒔𝟐𝒙𝟏, 𝟗𝟖

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒐𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏: 𝑳𝑺 − 𝑳𝑰

𝑳𝑴− 𝑳𝑰=𝑳𝑺 − 𝑳𝑰

𝑳𝑴− 𝑳𝑰

𝑳𝑺 − 𝑳𝑰


𝑳𝑴− 𝑳𝑰⟹𝟏𝟐𝟎 − 𝟔𝟎

𝟗𝟎 − 𝟔𝟎=𝟏,𝟗𝟖 − 𝟐

𝒙 − 𝟐⟹𝟔𝟎

𝟑𝟎=−𝟎, 𝟎𝟐

𝒙 − 𝟐⟹ 𝟐 =

−𝟎, 𝟎𝟐

𝒙 − 𝟐⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐) = −𝟎, 𝟎𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 − 𝟒 = −𝟎,𝟎𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 = 𝟒− 𝟎, 𝟎𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟏, 𝟗𝟗

𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒎á𝒔 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒕 → 𝟔𝟎 + 𝟏𝟐𝟎

𝟐=𝟏𝟖𝟎

𝟐= 𝟗𝟎;𝑮𝑳 = 𝟗𝟎 𝒚 ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒕 = 𝟏, 𝟗𝟖𝟔𝟕 ≅ 𝟏, 𝟗𝟗 𝒔𝒂𝒍𝒆 𝒍𝒐 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐.

𝑺 =𝑺

√𝒏=

𝟑

√𝟏𝟎𝟎=𝟑

𝟏𝟎= 𝟎,𝟑𝟎𝟎𝟎

𝝁 = 𝒙 ± 𝒕 ∗ 𝒔 𝝁𝟏 = 𝟏𝟓+ 𝟏,𝟗𝟗(𝟎, 𝟑𝟎𝟎𝟎) = 𝟏𝟓,𝟓𝟗𝟕

𝝁𝟐 = 𝟏𝟓− 𝟏,𝟗𝟗(𝟎, 𝟑𝟎𝟎𝟎) = 𝟏𝟒,𝟒𝟎𝟑 ⟹

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝟗𝟓% 𝒔𝒐𝒏:𝝁𝟏 = 𝟏𝟓,𝟓𝟗𝟕 𝒚 𝝁𝟐 = 𝟏𝟒,𝟒𝟎𝟑

EJEMPLO#336 Se hizo una encuesta y se les pregunto a 4 personas, cuantos vasos de agua tomaban al día y se consiguieron los siguientes

datos: 7, 10, 5, 1. Con un nivel de error del 5%. SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN: 𝒏 = 𝟒; 𝝁 = 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒅í𝒂; =𝟕+𝟏𝟎+𝟓+𝟏

𝟒=𝟐𝟑

𝟒= 𝟓,𝟕𝟓𝟎𝟎

∑(𝒙𝒊)𝟐 =∑(𝟕𝟐 + 𝟏𝟎𝟐 + 𝟓𝟐 + 𝟏𝟐) = 𝟏𝟕𝟓 ; (∑𝒙𝒊)

𝟐

= (𝟕 + 𝟏𝟎 + 𝟓 + 𝟏)𝟐 = 𝟐𝟑𝟐 = 𝟓𝟐𝟗

𝑺 =√∑(𝒙𝒊)

𝟐 −(∑𝒙𝒊)𝟐

𝒏𝒏− 𝟏

= √𝟏𝟕𝟓−

𝟓𝟐𝟗𝟒

𝟒 − 𝟏= √

𝟒𝟐,𝟕𝟓

𝟑= √

𝟓𝟕

𝟒= √𝟏𝟒,𝟐𝟓 = 𝟑, 𝟕𝟕𝟒𝟗; 𝑺 =

𝑺

√𝒏=𝟑,𝟕𝟕𝟒𝟗

√𝟒= 𝟏, 𝟖𝟖𝟕𝟒

𝒕 = − 𝝁

𝒔⟹ 𝒕𝒄 =

𝟓,𝟕𝟓 − 𝟖

𝟏,𝟖𝟖𝟕𝟒= −𝟏,𝟏𝟗𝟐𝟏 𝒕 𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒂, 𝒔𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂.

𝑨𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒗𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒔𝒊 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑮𝑳 = 𝒏− 𝟏 = 𝟒 − 𝟏 = 𝟑 𝒚 ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 𝒕𝒕 = 𝟐,𝟑𝟓𝟑 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂. 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐: 𝒕𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒂 < 𝒕𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 → −𝟏,𝟏𝟗𝟐𝟏 < 𝟐, 𝟑𝟓𝟑 → 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒅𝒆 𝝁 = 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒂𝒍 𝒅𝒊𝒂.

EJEMPLO#337 Según la distribución de student t, calcular las siguientes probabilidades:

𝒂)𝒑(𝒙 < 𝟐); 𝑮𝑳 = 𝟔𝟎; 𝒃)𝒑(𝒙 > 𝟐,𝟓); 𝑮𝑳 = 𝟐𝟑; 𝒄)𝒑(𝒙 < 𝒌) = 𝟎, 𝟕𝟓;𝑮𝑳 = 𝟏𝟔 𝒂) 𝑽𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑮𝑳 = 𝟔𝟎 𝒚 𝒙 < 𝟐 ; 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒓í𝒂 𝟎, 𝟎𝟐𝟓

𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒂 𝟏 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 → 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟎,𝟎𝟐𝟓 𝒑(𝒙 < 𝟐) = 𝟎,𝟗𝟕𝟓 = 𝟗𝟕, 𝟓%


𝒃) 𝑽𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑮𝑳 = 𝟐𝟑 𝒚 𝒙 < 𝟐,𝟓 ; 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒓í𝒂 𝟎, 𝟎𝟏

𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝟎, 𝟎𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒂 𝟏 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝟎, 𝟗𝟗 → 𝟏− 𝟎, 𝟗𝟗 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝒑(𝒙 > 𝟐, 𝟓) = 𝟏− 𝒑(𝒙 < 𝟐, 𝟓) = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟗 = 𝟎,𝟎𝟏

𝒄) 𝑽𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑮𝑳 = 𝟏𝟔 𝒚 𝒙 < 𝒌 ; 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒌 =?

𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑮𝑳 = 𝟏𝟔 𝒚 𝒑 = 𝟎,𝟕𝟓 = 𝟕𝟓% 𝒚 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 =∝= 𝟐𝟓% = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒌 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟎; 𝒑(𝒙 < 𝟎, 𝟔𝟗𝟎) = 𝟎, 𝟕𝟓

𝒕 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟎

→ 𝟐 𝒄𝒐𝒍𝒂𝒔(𝟏 − 𝟎,𝟕𝟓) = 𝟐(𝟎,𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟓 → 𝟐(𝟏−∝) = 𝟎, 𝟓)

Grafico general de t con comparación con la distribución norma:


DISTRIBUCION F de FISHER Para muestras pequeñas N<30 DISTRIBUCION F de FISHER Para muestras pequeñas N<30

La distribución de probabilidad F tiene dos parámetros, denotados por v1 y v2. El parámetro v1 se conoce como numero de grados de libertad del numerador y v2 es el número de grados de libertad del denominador; en este caso v1 y v2 son enteros positivos. Una variable aleatoria que tiene una distribución F no puede asumir un valor negativo. Como la función de densidad es complicada y no será utilizada en forma explícita, se omite la formula. Existe una importante conexión entre una variable F y variables ji-cuadrado. Como se construye una variable aleatoria de distribución F. Si X1 y X2 son variables aleatorias ji al cuadrado independientes con v1 y v2 grados de libertad, respectivamente, entonces la variable aleatoria (la razón de las dos variables aleatorias de ji al cuadrado independientes, divididas entre sus respectivos grados de libertad).

𝑭 =

𝑿𝟏𝒗𝟏⁄

𝑿𝟐𝒗𝟐⁄=

𝑿𝟏𝒗𝟏𝑿𝟐𝒗𝟐

=𝑿𝟏 ∗ 𝒗𝟐𝑿𝟐 ∗ 𝒗𝟏

⟹

𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝒔𝒐𝒏 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒋𝒊 − 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐.𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒔𝒖 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅. 𝒗𝟏, 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒚 𝒗𝟐, 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓.

Función de densidad: La distribución F con v1 y v2 grados de libertad es una función que está representada por la siguiente ecuación matemática:

𝒇(𝑭) =𝚪 [(𝒗𝟏 + 𝒗𝟐)

𝟐 ] (𝒗𝟏𝒗𝟐)

𝒗𝟏𝟐∗ 𝑭(

𝒗𝟏𝟐)−𝟏

𝚪(𝒗𝟏𝟐 ) 𝚪(

𝒗𝟐𝟐 ) ∗

[𝟏 + (𝒗𝟏 ∗ 𝑭𝒗𝟐

)

(𝒗𝟏+𝒗𝟐)𝟐]

⟹

𝒂) 𝟎 < 𝒇 < ∞𝒃) 𝒂𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂

𝒄) 𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒍𝒐𝒔 𝑮𝑳 𝒉𝒂𝒚 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒓 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒏𝒂𝒍.

Graficando la distribución F de Fisher:

En la gráfica de una función de densidad F típica, análoga a la

notación de 𝒕∝,𝒗 𝒚 𝑿∝,𝒗𝟐 , 𝒔𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂 𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 para el valor sobre el

eje horizontal que captura ∝ del área bajo la curva de densidad F,

con 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 grados de libertad en la cola superior. La curva de

densidad no es simétrica, así que parecía que tanto los valores críticos de cola superior como los de cola inferior deben ser tabulados. Esto no es necesario, debido al hecho de que:

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 ⟹𝑭𝟏−∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 =𝟏

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐

𝑭𝒄 → 𝑪𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐,𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂, 𝒔𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂. 𝑭𝑻 → 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂, 𝒔𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑭.

Prueba F para igualdad de varianzas:

Un procedimiento de prueba de hipótesis que se refiere a la razón 𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐⁄ está basado en el siguiente resultado:

Si 𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐 son las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas

𝝈𝟏𝟐 𝒚 𝝈𝟐

𝟐, respectivamente:

𝑭 =

𝑺𝟏𝟐

𝝈𝟏𝟐⁄

𝑺𝟐𝟐

𝝈𝟐𝟐⁄

=𝑺𝟏𝟐 ∗ 𝝈𝟐

𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝝈𝟏

𝟐⟹

𝑻𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑭 𝒄𝒐𝒏 𝑭(𝒗𝟏,𝒗𝟐) = 𝑭(𝒏𝟏−𝟏)(𝒏𝟐−𝟏) = 𝑭(𝒎−𝟏)(𝒏−𝟏)𝒗𝟏 = 𝒎− 𝟏 = 𝒏𝟏 − 𝟏; 𝒗𝟐 = 𝒏− 𝟏 = 𝒏𝟐 − 𝟏

𝑬𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 (𝝈𝟏𝟐 = 𝝈𝟐

𝟐), 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂𝒔 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒌𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝑭 𝒅𝒆 𝑭𝒊𝒔𝒉𝒆𝒓.

𝝈𝟏𝟐 𝒚 𝝈𝟐

𝟐 → 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔.

𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐 → 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂𝒔 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔, 𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒔𝒊 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟏, 𝒔𝒆 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂 𝒑𝒐𝒄𝒂 𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝝈𝟏𝟐 𝒚 𝝈𝟐

𝟐 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔, 𝒖𝒏

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒖𝒚 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆 𝒐 𝒎𝒖𝒚 𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓á 𝒆𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂𝒔

𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔.

Si F con v1 (numerador) y v2 (denominador):

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂:𝝁 =𝒗𝟐

𝒗𝟐 − 𝟏; (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗𝟐 > 𝟐); 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂:𝝈

𝟐 =𝟐𝒗𝟐

𝟐(𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 − 𝟐)

𝒗𝟏(𝒗𝟐 − 𝟐)𝟐(𝒗𝟐 − 𝟒); (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗𝟐 > 𝟒)

Si 𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐 son las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas

𝝈𝟏𝟐 𝒚 𝝈𝟐

𝟐, respectivamente entonces la F:

𝑭 =

𝑺𝟏𝟐

𝝈𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐

𝝈𝟐𝟐

=𝑺𝟏𝟐∗ 𝝈𝟐

𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝝈𝟏

𝟐= (𝑺𝟏𝑺𝟐)𝟐

∗ (𝝈𝟐𝝈𝟏)𝟐

⟹𝑭 = (𝑺𝟏𝑺𝟐)𝟐

∗ (𝝈𝟐𝝈𝟏)𝟐

𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒓:⟹ 𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐=𝑺𝟏𝟐

𝑭 ∗ 𝑺𝟐𝟐


Como utilizar la tabla de F: Buscar los GL (v1, v2) para localizar el área.

Tenemos los siguientes datos:

𝒗𝟏 = 𝟑 ; 𝒗𝟐 = 𝟔 ; ∝= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓 𝑮𝑳 → … … 𝟑↓ .……𝟔 .

.

.. . . . 𝟑𝟎, 𝟒𝟓𝟕

á𝒓𝒆𝒂 = 𝟎∝= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏−∝= 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟓

EJEMPLO#338 Encontrar el valor de F de los siguientes casos:

a) el área de la derecha de F es de 0,25 con v1=4 y v2=9.

Como el área que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los GL v2 que son 9, luego una área de 0,75 con 4 GL v1. Se busca en la tabla el 0,25.

a) el área de la izquierda de F es de 0,95 con v1=15 y v2=10.

En este caso se puede buscar el área 0,95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad.

c) el área de la derecha de F es de 0,95 con v1=6 y v2=8.

Se tiene que buscar en la tabla un área de 0,05 puesto que nos piden un área a la derecha de F es 0,95.

d) el área de la izquierda de F es de 0,10 con v1=24 y v2=24.

Se busca en la tabla el área de 0,10 con sus respectivos GL.

EJEMPLO#339 Si 𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐 son las varianzas muéstrales de muestras aleatorias independientes de tamaños n1=10 y n2=20, tomadas de

poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuéntrese: 𝒑(𝑺𝟏𝟐 ∕ 𝑺𝟐

𝟐 ≤ 𝟐,𝟒𝟐) =? SOLUCIÓN: Primero se establecen los GL como en el numerador esta la población 1 y en el denominador esta la población 2, entonces los GL de uno equivalen a 10-1=9 y los GL de dos a 20-1=19. Se procede a ir a la tabla a buscar los GL dos que es el 19 y se observa que no están, por lo tanto tienes que interpolar entre el 15 y el 20 GL se encuentra el GL=19, buscando el valor de Fisher que quedaría así:


𝑭 = (𝑺𝟏𝑺𝟐)𝟐

∗ (𝝈𝟐𝝈𝟏)𝟐

= (𝟐,𝟒𝟐) ∗ (𝟏) = 𝟐, 𝟒𝟐

𝑽𝟏⟹𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝟐, 𝟒𝟐 𝒔𝒆 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝟗 𝒅𝒆 𝑮𝑳; 𝑽𝟏 = 𝟗, 𝒄𝒐𝒏 𝑮𝑳 = 𝑽𝟐 = 𝟏𝟓; 𝒚 𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒍𝒐 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑭.

𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂:

Á𝒓𝒆𝒂 𝑽𝟏 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔𝟎, 𝟗𝟎 𝟐, 𝟎𝟗 𝑳𝑰𝒙 𝟐, 𝟒𝟐 𝑳𝑴𝟎, 𝟗𝟓 𝟐, 𝟓𝟗 𝑳𝑺

𝑫𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔, 𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟏; 𝟗;𝟏𝟓) = 𝟐,𝟎𝟗

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙;𝟗;𝟏𝟓) = 𝟐,𝟒𝟐

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟎𝟓;𝟗; 𝟏𝟓) = 𝟐,𝟓𝟗

Nota los valore de 0,90 y 0,95 están siempre como niveles de confianza de límite inferior y superior para el valor de 2,42. 𝑳𝑺 − 𝑳𝑰


𝑳𝑴− 𝑳𝑰⟹𝟐, 𝟓𝟗 − 𝟐,𝟎𝟗

𝟐, 𝟒𝟐 − 𝟐,𝟎𝟗=𝟎, 𝟗𝟓 − 𝟎,𝟗𝟎

𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟎⟹𝟎,𝟓𝟎

𝟎,𝟑𝟑=

𝟎, 𝟎𝟓

𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟎⟹ 𝟎, 𝟓𝟎(𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟎) = 𝟎,𝟎𝟓(𝟎, 𝟑𝟑) ⟹ 𝒙 =

𝟗𝟑𝟑

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟗𝟑𝟑 ≅ 𝟎, 𝟗𝟑𝟑

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙; 𝟗; 𝟏𝟓) = 𝑭(𝟎, 𝟎𝟔𝟕; 𝟗; 𝟏𝟓) = 𝟐, 𝟒𝟐

𝑽𝟐⟹𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝟐, 𝟒𝟐 𝒔𝒆 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝟗 𝒅𝒆 𝑮𝑳; 𝑽𝟏 = 𝟗, 𝒄𝒐𝒏 𝑮𝑳 = 𝑽𝟐 = 𝟐𝟎; 𝒚 𝒔𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒍𝒐 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑭.


Á𝒓𝒆𝒂 𝑽𝟏 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔𝟎, 𝟗𝟓 𝟐, 𝟑𝟗 𝑳𝑰𝒙 𝟐, 𝟒𝟐 𝑳𝑴𝟎, 𝟗𝟕𝟓 𝟐, 𝟖𝟒 𝑳𝑺

𝑫𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔, 𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟎𝟓;𝟗; 𝟐𝟎) = 𝟐,𝟑𝟗

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙;𝟗;𝟐𝟎) = 𝟐,𝟒𝟐

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟎𝟐𝟓; 𝟗;𝟐𝟎) = 𝟐,𝟖𝟒

Nota los valore de 0,95 y 0,975 están siempre como niveles de confianza de límite inferior y superior para el valor de 2,42. 𝑳𝑺 − 𝑳𝑰


𝑳𝑴− 𝑳𝑰⟹𝟐, 𝟖𝟒 − 𝟐,𝟑𝟗

𝟐, 𝟒𝟐 − 𝟐,𝟑𝟗=𝟎, 𝟗𝟕𝟓 − 𝟎,𝟗𝟓

𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟓⟹𝟎,𝟒𝟓

𝟎,𝟎𝟑=𝟎, 𝟎𝟐𝟓

𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟓⟹ 𝟎, 𝟒𝟓(𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓(𝟎,𝟎𝟑) ⟹ 𝒙 =

𝟓𝟕𝟏

𝟔𝟎𝟎= 𝟎, 𝟗𝟓𝟏𝟕

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙; 𝟗; 𝟐𝟎) = 𝑭(𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝟑; 𝟗; 𝟐𝟎) = 𝟐,𝟒𝟐

Ahora ya se tienen las dos áreas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolara para ver cuánto le corresponde a los GL dos con un valor de 19, v2=19.

𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝑽𝟐 = 𝟏𝟗 𝒄𝒖𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒔𝒖 á𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒏 𝒑 =?:

𝑽𝟐 Á𝒓𝒆𝒂𝟏𝟓 𝟎, 𝟗𝟑𝟑𝟏𝟗 𝒙𝟐𝟎 𝟎, 𝟗𝟓𝟏𝟕

𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓:



𝑳𝑴− 𝑳𝑰⟹𝟐𝟎 − 𝟏𝟓

𝟏𝟗 − 𝟏𝟓=𝟎, 𝟗𝟓𝟏𝟕 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟑

𝒙− 𝟎, 𝟗𝟑𝟑⟹𝟓

𝟒=𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟕

𝒙 − 𝟎,𝟗𝟑𝟑⟹ 𝟏,𝟐𝟓 =

𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟕

𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟑⟹ 𝟏, 𝟐𝟓(𝒙 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟕 ⟹ 𝒙 = 𝟎, 𝟗𝟒𝟕𝟗𝟔 ≅ 𝟎, 𝟗𝟒𝟖𝟎

Ahora vamos a graficar:

EJEMPLO#340 Si 𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaños n1=25 y n2=31, tomadas de

poblaciones normales con 𝝈𝟏𝟐 = 𝟏𝟎 𝒚 𝝈𝟐

𝟐 = 𝟏𝟓 varianzas, respectivamente, encuéntrese: 𝒑(𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟐

𝟐⁄ < 𝟏,𝟐𝟔) =? SOLUCIÓN: Calcular el valor de F. 𝑳𝒐𝒔 𝑮𝑳 𝒔𝒐𝒏: 𝑽𝟏 = 𝒏− 𝟏 = 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟐𝟒 ; 𝑽𝟐 = 𝒏 − 𝟏 = 𝟑𝟏 − 𝟏 = 𝟑𝟎

𝑭 = (𝑺𝟏𝑺𝟐)𝟐

∗ (𝝈𝟐𝝈𝟏)𝟐

= (𝟏,𝟐𝟔) ∗ (𝟏𝟓

𝟏𝟎) =

𝟏𝟖𝟗

𝟏𝟎𝟎= 𝟏, 𝟖𝟗 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭.

𝑭 = 𝟏,𝟖𝟗 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝑮𝑳( 𝑽𝟏 = 𝟐𝟒 ; 𝑽𝟐 = 𝟑𝟎) 𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭 = 𝟎,𝟖𝟖𝟕 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑 = 𝟎, 𝟗𝟓(𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏−∝= 𝟎, 𝟗𝟓) 𝒚 ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 Luego se va a la tabla F a buscar 𝑮𝑳( 𝑽𝟏 = 𝟐𝟒 ; 𝑽𝟐 = 𝟑𝟎) cuando se esté en esta posición se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1,89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene una área de 0,95 ó 95% pero esto área correspondería a la probabilidad de que las relaciones de las varianzas muestrales fueran menor a 1,26 por lo se calcula su complemento que seria 0,05 ó 5% siendo esta

probabilidad de que: 𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟐

𝟐⁄ < 𝟏, 𝟐𝟔. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES

Supóngase que tiene dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas 𝝈𝟏𝟐 𝒚 𝝈𝟐

𝟐 respectivamente. De este par de

poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2 respectivamente, sean 𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐 las dos varianzas muestrales.

Se desea conocer un intervalo de confianza de 𝟏𝟎𝟎(𝟏−∝) por ciento para el cociente de las dos varianzas: 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ . Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el numerador del estadístico F.

𝒑(𝑭𝟏−∝𝟐,𝒗𝟏,𝒗𝟐

< 𝑭 < 𝑭∝𝟐,𝒗𝟏,𝒗𝟐

) = 𝟏−∝

EJEMPLO#341 Un fabricante de automóviles pone a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos,

los resultados se muestran en la tabla siguiente:


MÉTODO A MÉTODO B Construya un intervalo de confianza del 90% para:

𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ 𝒏𝟏 = 𝟑𝟏 𝒏𝟐 = 𝟐𝟓

𝑺𝟏𝟐 = 𝟓𝟎 𝑺𝟐

𝟐 = 𝟐𝟒

SOLUCIÓN: Por la recomendación de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente formula:

𝑭 = (𝑺𝟏𝑺𝟐)𝟐

∗ (𝝈𝟐𝝈𝟏)𝟐


𝝈𝟐𝟐=𝑺𝟏𝟐

𝑭 ∗ 𝑺𝟐𝟐

F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los GL en este caso los GL son: 𝒗𝟏 = 𝒏− 𝟏 = 𝟑𝟏 − 𝟏 = 𝟑𝟎 , 𝒗𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟐𝟒.

𝑭𝟏−∝𝟐,𝒗𝟏,𝒗𝟐

= 𝑭𝟎,𝟗𝟓; 𝟑𝟎; 𝟐𝟒 = 𝟏, 𝟗𝟑𝟗 ; 𝑭∝𝟐,𝒗𝟏,𝒗𝟐

= 𝑭𝟎,𝟎𝟓; 𝟑𝟎; 𝟐𝟒 = 𝟎, 𝟓𝟑𝟎

𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐=𝑺𝟏𝟐

𝑭 ∗ 𝑺𝟐𝟐=

𝟓𝟎

(𝟎,𝟓𝟑)(𝟐𝟒)=𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟓𝟗= 𝟑, 𝟗𝟑𝟎𝟖

𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐=𝑺𝟏𝟐

𝑭 ∗ 𝑺𝟐𝟐=

𝟓𝟎

(𝟏,𝟗𝟑𝟗)(𝟐𝟒)=𝟔𝟐𝟓𝟎

𝟓𝟖𝟏𝟕= 𝟏,𝟎𝟕𝟒𝟒

Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relación

de varianzas 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ está entre 1,0744 y 3,9308. Esto supondrá que la varianza de la población 1 es mayor a la varianza de la población 2 entre 1,0744 y 3,9308. De donde sacamos 1,939 sacamos de la tabla F. De donde sacamos 0,530 Sale de 1/1,939=0,530

𝑭𝟏−𝟎,𝟗𝟎𝟐

,𝒗𝟏,𝒗𝟐= 𝑭𝟎,𝟎𝟓; 𝟑𝟎; 𝟐𝟒 = 𝟏, 𝟗𝟑𝟗 ; 𝑭𝟎,𝟗𝟎

𝟐,𝒗𝟏,𝒗𝟐

= 𝑭𝟎,𝟒𝟓; 𝟑𝟎; 𝟐𝟒 = 𝟎, 𝟓𝟑𝟎

EJEMPLO#342 Una compañía fábrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de la manufactura le gustaría seleccionar el

proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar de S1=4,7 de micro pulgadas, y una muestra aleatoria de n2=12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar de S2=5,1 de micro pulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos

varianzas 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ . Supóngase que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie está distribuida de manera normal. SOLUCIÓN:

𝑭 = (𝑺𝟐𝑺𝟏)𝟐

∗ (𝝈𝟏𝝈𝟐)𝟐


𝝈𝟐𝟐=𝑭 ∗ 𝑺𝟏

𝟐

𝑺𝟐𝟐𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒎𝒆𝒏𝒅𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒗𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒚 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒚 𝒚𝒂 𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔.

𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟏 ; 𝑽𝟐 = 𝒏𝟏 − 𝟏 = 𝟏𝟔 − 𝟏 = 𝟏𝟓 ; 𝑺𝟏 = 𝟒, 𝟕 ; 𝑺𝟐 = 𝟓, 𝟏

𝑭𝟏−𝟎,𝟗𝟎𝟐

,𝒗𝟏,𝒗𝟐= 𝑭𝟎,𝟎𝟓; 𝟏𝟏; 𝟏𝟓 = 𝟐,𝟓𝟎𝟔𝟖 ; 𝑭𝟎,𝟗𝟎

𝟐,𝒗𝟏,𝒗𝟐

= 𝑭𝟎,𝟒𝟓; 𝟏𝟏;𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟔𝟕𝟖

𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐=𝑭 ∗ 𝑺𝟏

𝟐

𝑺𝟐𝟐

=𝟎, 𝟑𝟔𝟕𝟖(𝟒,𝟕)𝟐

(𝟓, 𝟏)𝟐= 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟒

𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐=𝑭 ∗ 𝑺𝟏

𝟐

𝑺𝟐𝟐

=𝟐, 𝟓𝟎𝟔𝟖(𝟒,𝟕)𝟐

(𝟓, 𝟏)𝟐= 𝟐, 𝟏𝟐𝟗𝟎

Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones estándares de la rugosidad de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%.

ENSAYO DE HIPÓTESIS

Supóngase que se tiene interés en dos poblaciones normales independientes donde las medias y las varianzas de la población son desconocidas. Se desea probar la igualdad de las dos varianzas, ya que para poder comparar las medias de estas poblaciones se utiliza t de student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en la población. Para conocer este último se requiere de la distribución de Fisher, y después de utilizarlo, se tomara la decisión de tener o no varianzas iguales de la población, dando pie a realizar la comparación de las dos medias según estemos hablando. Primer caso en que las varianzas de la población son desconocidas pero iguales, o en el caso dos se tienen varianzas desconocidas pero disímiles. Para el ensayo de la hipótesis se utiliza la relación de varianzas, la cual puede dar tres resultados:

𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ ⟹

> 𝟏 𝝈𝟏𝟐 > 𝝈𝟐

𝟐

= 𝟏 𝝈𝟏𝟐 = 𝝈𝟐

𝟐

< 𝟏 𝝈𝟏𝟐 < 𝝈𝟐

𝟐

𝑬𝒏 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒂 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒓, 𝒆𝒍 𝒆𝒏𝒔𝒂𝒚𝒐 𝒑𝒐𝒅𝒓á 𝒔𝒆𝒓 𝒖𝒏𝒊𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒐, 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒐 ó 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍.

EJEMPLO#343 La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos químicos, utilizada para un proceso en

particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos líneas de producción 1 y 2, hizo un pequeño ajuste al


proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, así como la cantidad media de impurezas en los productos químicos, tenemos muestras de n1=25 y n2=20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias y varianzas:

𝟏 = 𝟑, 𝟐 𝑺𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟒 𝟐 = 𝟑,𝟎 𝑺𝟐

𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟏 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒄𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒖𝒏 ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 ¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑷𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝟏 = 𝟑, 𝟐 𝑺𝟏

𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟒 𝒏𝟏 = 𝟐𝟓

𝑷𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝟐 = 𝟑, 𝟎 𝑺𝟐𝟐 = 𝟎,𝟓𝟏 𝒏𝟐 = 𝟐𝟎

∝= 𝟎, 𝟎𝟓

𝒂)𝑬𝒏𝒔𝒂𝒚𝒐 𝒅𝒆 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔⟹ 𝑯𝟎: 𝝈𝟏𝟐𝝈𝟐𝟐 = 𝟏 𝑯𝟏: 𝝈𝟏

𝟐 𝝈𝟐𝟐⁄ > 𝟏 ⁄

𝒃)𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂: 𝑭 = 𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟐

𝟐⁄ 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒈𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓. 𝒄) 𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝒏𝟏 − 𝟏 = 𝟐𝟓− 𝟏 = 𝟐𝟒 ; 𝑽𝟐 = 𝒏𝟐 −𝟏 = 𝟐𝟎 − 𝟏 = 𝟏𝟗 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒈𝒂𝒓𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅.

⟹Regla de decisión:

𝑺𝒊: 𝑭𝒄 ≤ 𝟐,𝟏𝟏𝟒𝟏 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎𝑺𝒊: 𝑭𝒄 > 𝟐, 𝟏𝟏𝟒𝟏 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎

𝟐, 𝟏𝟏𝟒𝟏 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭.

⟹Calculo:

𝑭 = 𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟐

𝟐⁄ = 𝟏,𝟎𝟒 𝟎, 𝟓𝟏 = 𝟐,⁄ 𝟎𝟑𝟗𝟐

⟹Decisión y justificación:

Como 2,0392 es menor que 2,1141 no se rechaza H0; y se

concluye con un ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 que no existe suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1.

EJEMPLO#344 En un incansable búsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba dos máquinas. Maquina 1 se usa para

llenar 16 tarros y da una desviación estándar de 1,9 onzas en el llenado, con maquina 2 se llenan 21 frascos que dan una desviación estándar de 2,1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en función de la uniformidad de llenado. ¿Cuál deberá seleccionar? Use

un ∝= 𝟎, 𝟏𝟎. SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑴𝑨𝑸𝑼𝑰𝑵𝑨 𝟏: 𝑺𝟏 = 𝟏, 𝟗 𝒏𝟏 = 𝟏𝟔𝑴𝑨𝑸𝑼𝑰𝑵𝑨 𝟐: 𝑺𝟐 = 𝟐, 𝟏 𝒏𝟐 = 𝟐𝟏

∝= 𝟎, 𝟏𝟎 ⟹∝

𝟐= 𝟎,𝟎𝟓

𝒂)𝑬𝒏𝒔𝒂𝒚𝒐 𝒅𝒆 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔⟹ 𝑯𝟎: 𝝈𝟐𝟐𝝈𝟏𝟐 = 𝟏 𝑯𝟏: 𝝈𝟐

𝟐 𝝈𝟏𝟐⁄ > 𝟏 ⁄

𝒃)𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂: 𝑭 = 𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟏

𝟐⁄ 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒈𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓. 𝒄) 𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟐𝟏− 𝟏 = 𝟐𝟎 ; 𝑽𝟐 = 𝒏𝟏 −𝟏 = 𝟏𝟔 − 𝟏 = 𝟏𝟓 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒈𝒂𝒓𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅. 𝑬𝒍 𝒎á𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆 𝒅𝒆 (𝒏) 𝒆𝒔 𝑽𝟏

⟹Regla de decisión:

𝑺𝒊: 𝑭𝒄 ≤ 𝟐,𝟑𝟐𝟕𝟓 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎𝑺𝒊: 𝑭𝒄 > 𝟐, 𝟑𝟐𝟕𝟓 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎

𝟐, 𝟑𝟐𝟕𝟓 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭.

⟹Calculo:

𝑭 = 𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟏

𝟐⁄ = (𝟐, 𝟏)𝟐 (𝟏, 𝟗𝟎)𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟐𝟏𝟔⁄

⟹Decisión y justificación:

Como 1,2216 es menor que 2,3275 no se rechaza H0; y se

concluye con un ∝= 𝟎, 𝟏𝟎 que la variación de llenado de la maquina 1 no es menor a la maquina 2, por lo que se selecciona cualquier máquina.

EJEMPLO#345 Las capas de óxido en las obleas de semiconductores son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor

apropiado. La variabilidad del espesor es una característica crítica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricación es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cual se obtienen mejores resultados en cuanto a la reducción en la variabilidad del espesor del óxido, 21 obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estándares de cada muestra del espesor del óxido son: S1=1,96 angstroms y S2=2,13 angstroms.

¿Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Use un ∝= 𝟎,𝟎𝟓. SOLUCIÓN:

𝟏)𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑴𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝟏: 𝑺𝟏 = 𝟏, 𝟗𝟔 𝒏𝟏 = 𝟐𝟏𝑴𝒆𝒛𝒄𝒍𝒂 𝟐: 𝑺𝟐 = 𝟐, 𝟏𝟑 𝒏𝟐 = 𝟐𝟏

∝= 𝟎, 𝟎𝟓

𝟐)𝑬𝒏𝒔𝒂𝒚𝒐 𝒅𝒆 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔⟹ 𝑯𝟎: 𝝈𝟐𝟐𝝈𝟏𝟐 = 𝟏 𝑯𝟏: 𝝈𝟐

𝟐 𝝈𝟏𝟐⁄ > 𝟏 ⁄

𝟑)𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂: 𝑭 = 𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟏

𝟐⁄ 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒈𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓. 𝟒) 𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝒏𝟏 − 𝟏 = 𝟐𝟏 − 𝟏 = 𝟐𝟎 ; 𝑽𝟐 = 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟐𝟏 − 𝟏 = 𝟐𝟎 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒈𝒂𝒓𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅. 𝑬𝒍 𝒎á𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆 𝒅𝒆 (𝒏) 𝒆𝒔 𝑽𝟏


𝟓)𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓:

𝟏

𝟐, 𝟒𝟔𝟒𝟓= 𝟎,𝟒𝟎𝟓𝟖 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂.

6) ⟹Regla de decisión:

𝑺𝒊: 𝟎, 𝟒𝟎𝟓𝟖 ≤ 𝑭𝒄 ≤ 𝟐, 𝟒𝟔𝟒𝟓 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎𝑺𝒊: 𝑭𝒄 < 𝟎,𝟒𝟎𝟓𝟖 ó 𝑺𝒊 𝑭𝒄 > 𝟐,𝟒𝟔𝟒𝟓 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎

𝟐, 𝟒𝟔𝟒𝟓 𝒅𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭.

7)⟹Calculo:

𝑭 = 𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟏

𝟐⁄ = (𝟐, 𝟏𝟑)𝟐 (𝟏, 𝟗𝟔)𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟖𝟏𝟎⁄

8)⟹Decisión y justificación:

Como 1,1810 está entre los dos valores de H0, no se rechaza H0; y

se concluye con un ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 que existe suficiente evidencia para decir que las varianzas de las poblaciones son iguales.

ERROR DE TIPO II.

Para el ejemplo anterior, encontrar la probabilidad de cometer error tipo II, si la verdadera relación es: 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ = 𝟐

𝑭 = (𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟏

𝟐⁄ )(𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ )

𝑭 = (𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟏

𝟐⁄ )(𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ ) = (𝟎, 𝟒𝟎𝟓𝟖)(𝟐) = 𝟎, 𝟖𝟏𝟏𝟔

𝑭 = (𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟏

𝟐⁄ )(𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ ) = (𝟐, 𝟒𝟔𝟒𝟓)(𝟐) = 𝟒, 𝟗𝟐𝟗𝟎

Estudiar de donde salen: A=32,19% y B=67,81%

EJEMPLO#346 Del ejemplo #343 del ensayo de hipótesis. Calcular la probabilidad de cometer error tipo II, si la relación es: 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ = 𝟏, 𝟓

SOLUCIÓN: ∝= 𝟎,𝟎𝟓

𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄ = 𝟏, 𝟓 ⟹ 𝝈𝟏𝟐 = (𝟏, 𝟓)𝝈𝟐

𝟐⟹𝝈𝟏𝟐

(𝟏, 𝟓)= 𝝈𝟐

𝟐⟹ (𝟏,𝟓)𝝈𝟐𝟐 = 𝝈𝟏

𝟐⟹ 𝝈𝟐𝟐 =

𝝈𝟏𝟐

(𝟏, 𝟓)⟹ 𝝈𝟐

𝟐 = 𝝈𝟏𝟐(𝟏, 𝟓)−𝟏⟹ 𝝈𝟐

𝟐 𝝈𝟏𝟐⁄ =

𝟏

𝟏,𝟓

𝑭 = (𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟐

𝟐⁄ )(𝝈𝟐𝟐 𝝈𝟏

𝟐⁄ ) = (𝟐,𝟏𝟏𝟒𝟏) (𝟏

𝟏, 𝟓) = 𝟏, 𝟒𝟎𝟗𝟒

Como tenemos los GL son: V1=24 y V2=19 por lo que se tiene que hacer una doble interpolación ya que 19 GL vamos a suponer que no viene en la tabla F. en realidad existe la F es 2,1141. Primero: vamos a interpolar para los GL son: V1=24 y V2=15.


Á𝒓𝒆𝒂 𝑽𝟏 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔𝟎, 𝟓𝟎 𝟏,𝟎𝟏𝟕𝟐 𝑳𝑰𝒙 𝟏,𝟒𝟎𝟗𝟒 𝑳𝑴𝟎, 𝟕𝟓 𝟏, 𝟒𝟎𝟓𝟐 𝑳𝑺

𝑫𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔,

𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟓;𝟐𝟒; 𝟏𝟓) = 𝟏,𝟎𝟏𝟕𝟐

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙;𝟐𝟒; 𝟏𝟓) = 𝟏,𝟒𝟎𝟗𝟒

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟕𝟓; 𝟐𝟒;𝟏𝟓) = 𝟏,𝟒𝟎𝟓𝟐

Como tenemos 0,75 busco en la tabla 0,25. Si el área es 0,25 en la tabla busco el 0,75⟹F=0,7422 𝑳𝑺 − 𝑳𝑰


𝑳𝑴− 𝑳𝑰⟹𝟏, 𝟒𝟎𝟓𝟐 − 𝟏, 𝟎𝟏𝟕𝟐

𝟏, 𝟒𝟎𝟗𝟒 − 𝟏, 𝟎𝟏𝟕𝟐=𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟎

𝒙 − 𝟎, 𝟓⟹

𝟎, 𝟑𝟖𝟖

𝟎, 𝟑𝟗𝟐𝟐=𝟎, 𝟐𝟓

𝒙 − 𝟎,𝟓⟹ 𝟎, 𝟗𝟖𝟗𝟑(𝒙 − 𝟎,𝟓) = 𝟎, 𝟐𝟓 ⟹ 𝒙 =

𝟎, 𝟕𝟒𝟒𝟕

𝟎, 𝟗𝟖𝟗𝟑= 𝟎, 𝟕𝟓𝟐𝟖 ≅ 𝟎, 𝟕𝟓

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙; 𝟐𝟒; 𝟏𝟓) = 𝑭(𝟎, 𝟕𝟓𝟐𝟖; 𝟐𝟒; 𝟏𝟓) = 𝟏, 𝟒𝟎𝟗𝟒


Al interpolar para un valor de Fisher de 1,4094 se ve este valor muy cercano a 1,4052 el cual corresponde un área de 0,75 por lo que queda un

resultado de 0,7528.

Segundo: vamos a interpolar para los GL son: V1=24 y V2=20.


Á𝒓𝒆𝒂 𝑽𝟏 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔𝟎, 𝟕𝟓 𝟏,𝟑𝟒𝟗𝟒 𝑳𝑰𝒙 𝟏,𝟒𝟎𝟗𝟒 𝑳𝑴𝟎, 𝟗𝟎 𝟏, 𝟕𝟔𝟔𝟕 𝑳𝑺

𝑫𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔,

𝒗𝒆𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟕𝟓; 𝟐𝟒;𝟐𝟎) = 𝟏,𝟑𝟒𝟗𝟒

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙;𝟐𝟒; 𝟐𝟎) = 𝟏,𝟒𝟎𝟗𝟒

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝟎,𝟗𝟎; 𝟐𝟒;𝟐𝟎) = 𝟏,𝟕𝟔𝟔𝟕

Como tenemos un área de 0,75 busco en la tabla ∝= 𝟎, 𝟐𝟓 ⟹F=1,3494. Como tenemos un área de 0,90 busco en la tabla ∝= 𝟎, 𝟏 ⟹F=1,7667. 𝑳𝑺 − 𝑳𝑰


𝑳𝑴− 𝑳𝑰⟹𝟏, 𝟕𝟔𝟔𝟕 − 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟒

𝟏, 𝟒𝟎𝟗𝟒 − 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟒=𝟎, 𝟗 − 𝟎, 𝟕𝟓

𝒙 − 𝟎,𝟕𝟓⟹𝟎, 𝟒𝟏𝟕𝟑

𝟎, 𝟎𝟔𝟎𝟎=

𝟎, 𝟏𝟓

𝒙 − 𝟎, 𝟕𝟓⟹ 𝟔, 𝟗𝟓𝟓𝟎(𝒙 − 𝟎,𝟕𝟓) = 𝟎, 𝟏𝟓 ⟹ 𝒙 = 𝟎, 𝟕𝟕𝟏𝟔 ≅ 𝟕𝟕

𝑭∝,𝒗𝟏,𝒗𝟐 = 𝑭(𝒙; 𝟐𝟒; 𝟐𝟎) = 𝑭(𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟏𝟔; 𝟐𝟒; 𝟐𝟎) = 𝟏, 𝟒𝟎𝟗𝟒

Al interpolar para del valor de Fisher de 1,4094 es 0,77 ó 77%.

Tercero: ahora teniendo los dos valores, se puede calcular el área correspondiente a 24 GL uno (V1=24) y 19 GL dos (V2=19).

𝑽𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔𝟏𝟓 𝟎, 𝟕𝟓𝟐𝟖 𝑳𝑰𝟏𝟗 𝒙 𝑳𝑴𝟐𝟎 𝟎, 𝟕𝟕𝟏𝟔 𝑳𝑺



𝑳𝑴− 𝑳𝑰⟹𝟐𝟎 − 𝟏𝟓

𝟏𝟗 − 𝟏𝟓=𝟎, 𝟕𝟕𝟏𝟔 − 𝟎, 𝟕𝟓𝟐𝟖

𝒙 − 𝟎, 𝟕𝟓𝟐𝟖⟹ 𝟏, 𝟐𝟓 =

𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟖

𝒙 − 𝟎, 𝟕𝟓𝟐𝟖⟹ 𝒙 = 𝟎, 𝟕𝟔𝟕𝟖𝟒 ≅ 𝟕𝟕 ≅ 𝟕𝟕%

OTRAS FORMULAS DE LA DISTRIBUCION DE F FISHER:

𝑭 =

𝑵𝟏 ∗ 𝟏𝟐

(𝑵𝟏 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟏𝟐

𝑵𝟐 ∗ 𝟐𝟐

(𝑵𝟐 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟐𝟐

=[𝑵𝟏 ∗ 𝑺𝟏

𝟐][(𝑵𝟐 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟐𝟐]

[(𝑵𝟏 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟏𝟐][𝑵𝟐 ∗ 𝑺𝟐

𝟐];

𝟏𝟐 =

𝑵𝟏 ∗ 𝑺𝟏𝟐

𝑵𝟏 − 𝟏

𝟐𝟐 =

𝑵𝟐 ∗ 𝑺𝟐𝟐

𝑵𝟐 − 𝟏

; 𝑮𝑳 ⟹𝑪𝑭(

𝑽𝟏𝟐 )−𝟏

(𝑽𝟏𝑭+ 𝑽𝟐)(𝑽𝟏+𝑽𝟐)𝟐

;

𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝑵𝟏 − 𝟏𝑮𝑳 → 𝑽𝟐 = 𝑵𝟐 − 𝟏

𝝈𝟏𝟐 𝒚 𝝈𝟐

𝟐 → 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂𝒔.

(𝟏 − 𝟐) → 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒔; (𝑺𝟏𝟐 − 𝑺𝟐

𝟐) → 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂𝒔. 𝒄𝒐𝒏 𝟓% 𝒚 𝟏% 𝒆𝒔 𝒍𝒐 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝟎, 𝟎𝟓 𝒚 𝟎, 𝟎𝟏 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝑭: 𝑭𝟎,𝟗𝟓 𝒚 𝑭𝟎,𝟗𝟗.

❶𝑭 =

𝑵𝟏 ∗ 𝑺𝟏𝟐

(𝑵𝟏 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟏𝟐

𝑵𝟐 ∗ 𝑺𝟐𝟐

(𝑵𝟐 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟐𝟐

; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑵𝟏: 𝑵 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝟏.𝑵𝟐: 𝑵 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝟐.

; 𝑺𝟏𝟐: 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝟏.

𝑺𝟐𝟐: 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝟐.

; 𝝈𝟏𝟐: 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝟏

𝝈𝟐𝟐: 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝟏

❷𝑵𝒊𝒗𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 (∝). 𝑵𝒊𝒗𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 (∝). Descripciones

1% o 0,01 1-0,01=0,99

5% o 0,05 1-0,05=0,95

10% o 0,10 1-0,10=0,90

2,5% 0 0,025 1-0,025=0,975

❸𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 → 𝑮𝑳 ; (𝑽𝟏 𝒚 𝑽𝟐) a) Para calcular los valores de GL 𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝑵𝟏 − 𝟏 𝒚 𝑮𝑳 → 𝑽𝟐 = 𝑵𝟐 − 𝟏

b) Nivel de significancia (∝): 𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐)

c) Conclusiones: 𝑭𝒄 > 𝑭𝒕 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎𝑭𝒄 < 𝑭𝒕 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝑯𝟎

; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑭𝒄 = 𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐(𝒑𝒐𝒓 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂)

𝑭𝒕 = 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂(𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑭;𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐) )

❹𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑭 𝑭𝒊𝒔𝒉𝒆𝒓:


EJEMPLO#347 Dados dos muestras de 25 y 16. Hallar el valor de F, si el nivel de significancia es de 0,95 y 0,99.

SOLUCIÓN: 𝑵𝟏 = 𝟐𝟓 𝒚 𝑵𝟐 = 𝟏𝟔 𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝑵𝟏 − 𝟏 = 𝟐𝟓− 𝟏 = 𝟐𝟒 𝒚 𝑮𝑳 → 𝑽𝟐 = 𝑵𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟔 − 𝟏 = 𝟏𝟓 𝑽𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑭. 𝒂)𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐) = 𝑭(𝟎,𝟗𝟓;𝟐𝟒;𝟏𝟓) = 𝟐, 𝟐𝟖𝟕𝟖 𝒚 𝒃)𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐) = 𝑭(𝟎,𝟗𝟗;𝟐𝟒;𝟏𝟓) = 𝟑, 𝟐𝟗𝟒𝟎

EJEMPLO#348 De poblaciones distribuidas en forma normal se obtienen dos muestras de tamaño 16 y 14 cuyas varianzas muestrales son 10

y 8. Si las varianzas son 9 y 16 respectivamente, determinar si la primera muestra tiene una varianza bastante mayor que la segunda muestra a un nivel de significancia de 0,95 y 0,99.

SOLUCIÓN: 𝑵𝟏 = 𝟏𝟔 ; 𝑵𝟐 = 𝟏𝟒 ; 𝑺𝟏𝟐 = 𝟏𝟎; 𝑺𝟐

𝟐 = 𝟖; 𝝈𝟏𝟐 = 𝟗; 𝝈𝟐

𝟐 = 𝟏𝟔; ∝= 𝟎, 𝟗𝟓 𝒚 𝟎, 𝟗𝟗.

𝑭 =

𝑵𝟏 ∗ 𝑺𝟏𝟐

(𝑵𝟏 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟏𝟐

𝑵𝟐 ∗ 𝑺𝟐𝟐

(𝑵𝟐 − 𝟏) ∗ 𝝈𝟐𝟐

=

𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎(𝟏𝟔 − 𝟏) ∗ 𝟗𝟏𝟒 ∗ 𝟖

(𝟏𝟒 − 𝟏) ∗ 𝟏𝟔

=

𝟏𝟔𝟎(𝟏𝟓) ∗ 𝟗𝟏𝟏𝟐

(𝟏𝟑) ∗ 𝟏𝟔

=

𝟏𝟔𝟎𝟏𝟑𝟓𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟖

=𝟑𝟑𝟐𝟖𝟎

𝟏𝟓𝟏𝟐𝟎=𝟒𝟏𝟔

𝟏𝟖𝟗= 𝟐, 𝟐𝟎𝟏𝟏⟹ 𝑭𝒄 = 𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐(𝒑𝒐𝒓 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂) = 𝟐, 𝟐𝟎𝟏𝟏

𝑵𝒊𝒗𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 (∝= 𝟎, 𝟗𝟓 𝒚 𝟎, 𝟗𝟗).𝑮𝑳 → 𝑽𝟏 = 𝑵𝟏 − 𝟏 = 𝟏𝟔− 𝟏 = 𝟏𝟓 𝒚 𝑮𝑳 → 𝑽𝟐 = 𝑵𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟒 − 𝟏 = 𝟏𝟑

𝑭𝒕 = 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂(𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑭;𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐) )

𝒂)𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐) = 𝑭(𝟎,𝟗𝟓;𝟏𝟓;𝟏𝟑) = 𝟐, 𝟓𝟑𝟑𝟏 ⟹ 𝑭𝒄 < 𝑭𝒕⟹ 𝟐, 𝟐𝟎𝟏𝟏 < 𝟐, 𝟓𝟑𝟑𝟏 ; 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝑯𝟎𝒃)𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐) = 𝑭(𝟎,𝟗𝟗;𝟏𝟓;𝟏𝟑) = 𝟑,𝟖𝟏𝟓𝟒 ⟹ 𝑭𝒄 < 𝑭𝒕⟹ 𝟐, 𝟐𝟎𝟏𝟏 < 𝟑, 𝟖𝟏𝟓𝟒 ; 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝑯𝟎

OTRAS FORMULAS DE LA DISTRIBUCION DE F FISHER:

𝑹𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑭 =𝑺𝒙𝟐

𝑺𝒘𝟐=

𝒏 ∗ 𝑺𝟐

(𝑺𝟏𝟐 + 𝑺𝟐

𝟐 + 𝑺𝟑𝟐 + 𝑺𝟒

𝟐 +⋯+ 𝑺𝒌𝟐)/𝒌

⟹ 𝑭𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 = (𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂

𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂)

La distribución es continua respecto al intervalo de (𝟎 𝒂 + ∞); 𝒅𝒆 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒂 𝒎á𝒔 𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐. Los valores críticos para los niveles que mayormente se utilizan son 0,05 y 0,01. Para calcular la F se debe seguir el siguiente procedimiento:

a) Calcular la estimación interna (denominador).

𝟏) 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂,𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂: 𝑺𝟐 =∑(𝒙𝒊 − )

𝟐

𝒏− 𝟏; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂.

𝟐) 𝑶𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂: 𝑺𝒘𝟐 = (𝑺𝟏

𝟐 + 𝑺𝟐𝟐 + 𝑺𝟑

𝟐 + 𝑺𝟒𝟐 +⋯+ 𝑺𝒌

𝟐)/𝒌.

b) Calcular la estimación intermediante (numerador).

𝟏) 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒔 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝑺𝟐 =

∑( − )𝟐

𝒌 − 𝟏

𝟐) 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒔 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 (n) : 𝒏 ∗ 𝑺𝟐 ; 𝟑) 𝑹𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑭 =

𝑺𝒙𝟐

𝑺𝒘𝟐

c) Las hipótesis nula y alternativa son:

𝑯𝟎: 𝑻𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔; 𝑯𝟏: 𝑵𝒐 𝒕𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔. d) Grados de libertad: 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 (𝒌 − 𝟏); 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 (𝒏 − 𝟏) ó 𝒌(𝒏 − 𝟏).


EJEMPLO#349 Los pesos en kilogramos por 1,7metros de estatura se ilustran en la siguiente tabla. La finalidad es determinar si existen

diferencias reales entre las cuatro muestras. Emplear un nivel de significación de 0,05.

OBSERVACIONES MUESTRAS

1 2 3 4

1 70 74 68 75

2 75 77 70 70

3 74 70 65 73

4 72 80 60 72

5 68 72 72 71

6 59 76 73 72

SOLUCIÓN: la hipótesis nula y alternativa es:

𝑯𝟎: 𝑻𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔; 𝑯𝟏: 𝑵𝒐 𝒕𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔. ⟹calculando los grados de libertad GL:

𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔: (𝒌 − 𝟏 = 𝟒 − 𝟏 = 𝟑) → 𝑽𝟏 = 𝟑; 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓: 𝒌(𝒏 − 𝟏) = 𝟒(𝟔 − 𝟏) = 𝟒(𝟓) = 𝟐𝟎 → 𝑽𝟐 = 𝟐𝟎

⟹Buscamos F en la tabla de Fisher: 𝑭(∝;𝑽𝟏;𝑽𝟐) = 𝑭(𝟎,𝟗𝟓;𝟑;𝟐𝟎) = 𝟑, 𝟎𝟗𝟖𝟒

⟹Para calcular 𝑭𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 se procede de la siguiente manera:

a) Calculando las medias aritméticas se obtiene así: = ∑𝒙𝒊/𝒏

𝟏 =𝟕𝟎 + 𝟕𝟓+ 𝟕𝟒 + 𝟕𝟐+ 𝟔𝟖 + 𝟓𝟗

𝟔=𝟒𝟏𝟖

𝟔=𝟐𝟎𝟗

𝟑= 𝟔𝟗, 𝟔𝟔𝟕 𝟑 =

𝟔𝟖+ 𝟕𝟎 + 𝟔𝟓+ 𝟔𝟎 + 𝟕𝟐+ 𝟕𝟑

𝟔=𝟒𝟎𝟖

𝟔=𝟒𝟎𝟖

𝟔= 𝟔𝟖, 𝟎𝟎𝟎

𝟐 =𝟕𝟒 + 𝟕𝟕+ 𝟕𝟎 + 𝟖𝟎+ 𝟕𝟐 + 𝟕𝟔

𝟔=𝟒𝟒𝟗

𝟔=𝟒𝟒𝟗

𝟔= 𝟕𝟒, 𝟖𝟑𝟑 𝟒 =

𝟕𝟓+ 𝟕𝟎 + 𝟕𝟑+ 𝟕𝟐 + 𝟕𝟏+ 𝟕𝟐

𝟔=𝟒𝟑𝟑

𝟔=𝟒𝟑𝟑

𝟔= 𝟕𝟐, 𝟏𝟔𝟕

b) Se llenan la siguiente tabla para calcular las varianzas muestrales:

OBSERVACION MUESTRAS (𝒙𝟏 − 𝟏)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟐)

𝟐 (𝒙𝟑 − 𝟑)𝟐 (𝒙𝟒 − 𝟒)

𝟐 1 2 3 4

1 70 74 68 75 0,111 0,694 0 8,026

2 75 77 70 70 28,441 4,696 4 4,696

3 74 70 65 73 18,775 23,358 9 0,694

4 72 80 60 72 5,445 26,698 64 0,028

5 68 72 72 71 2,779 8,026 16 1,361

6 59 76 73 72 113,785 1,362 25 0,028

TOTALES 418 449 408 433 169,334 64,834 118 14,833

c) Reemplazamos los datos en la fórmula de la varianza se obtienen las varianzas de las 4 muestras: 𝑺𝟐 =∑(𝒙𝒊−)

𝟐

𝒏−𝟏

𝑺𝟏𝟐 =

𝟏𝟔𝟗,𝟑𝟑𝟒

𝟔 − 𝟏= 𝟑𝟑, 𝟖𝟔𝟕 ; 𝑺𝟐

𝟐 =𝟔𝟒, 𝟖𝟑𝟒

𝟔 − 𝟏= 𝟏𝟐, 𝟗𝟔𝟕 ; 𝑺𝟑

𝟐 =𝟏𝟏𝟖

𝟔 − 𝟏= 𝟐𝟑, 𝟔 ; 𝑺𝟒

𝟐 =𝟏𝟒, 𝟖𝟑𝟑

𝟔 − 𝟏= 𝟐, 𝟗𝟔𝟕

d) Calculando la estimación interna de varianza se obtiene:

𝑺𝒘𝟐 =

(𝑺𝟏𝟐 + 𝑺𝟐

𝟐 + 𝑺𝟑𝟐 + 𝑺𝟒

𝟐 +⋯+ 𝑺𝒌𝟐)

𝒌=𝟑𝟑, 𝟖𝟔𝟕 + 𝟏𝟐, 𝟗𝟔𝟕 + 𝟐𝟑, 𝟔 + 𝟐,𝟗𝟔𝟕

𝟒=𝟕𝟑, 𝟒𝟎𝟏

𝟒= 𝟏𝟖, 𝟑𝟓𝟎𝟐𝟓 ≅ 𝟏𝟖, 𝟑𝟓𝟎

e) Para calcular la estimación intermediante de varianza, primero se calcula la varianza de las medias aritméticas: 𝑺𝟐 =

∑(−)𝟐

𝒌−𝟏

Para calcular la varianza de las medias aritméticas se calcula la media aritmética de las medias aritméticas, la cual es:

=∑ 𝒊𝒌=𝟔𝟗, 𝟔𝟔𝟕 + 𝟕𝟒, 𝟖𝟑𝟑 + 𝟔𝟖 + 𝟕𝟐,𝟏𝟔𝟕

𝟒=𝟐𝟖𝟒, 𝟔𝟔𝟕

𝟒= 𝟕𝟏, 𝟏𝟔𝟕

f) Se llena la siguiente tabla:

69,667 74,833 68 72,167 TOTAL

( − )𝟐 2,25 13,44 10,03 1 26,72

h) Se reemplaza los datos de la tabla para calcular varianza de las medias aritméticas:

𝑺𝟐 =

∑( − )𝟐

𝒌 − 𝟏=𝟐𝟔, 𝟕𝟐

𝟒 − 𝟏=𝟐𝟔, 𝟕𝟐

𝟑=𝟔𝟔𝟖

𝟕𝟓= 𝟖,𝟗𝟎𝟕

i) Calculando la estimación intermediante de varianza se obtiene de esta manera:

𝑺𝒙𝟐 = 𝒏 ∗ 𝑺

𝟐 = 𝟔(𝟖, 𝟗𝟎𝟕) = 𝟓𝟑, 𝟒𝟒𝟐 j) Finalmente calculando la Fprueba se tiene así:

𝑹𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂: 𝑭𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 =𝑺𝒙𝟐

𝑺𝒘𝟐=𝟓𝟑, 𝟒𝟒𝟐

𝟏𝟖, 𝟑𝟓𝟎= 𝟐, 𝟗𝟏𝟐𝟒⟹ 𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐.

k) Graficando:

Conclusión:

Como 𝑭𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂;𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 < 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 ⟹ 𝑭𝒄 < 𝑭𝒕 H0 se aprueba, por lo tanto no existen diferencias reales en los pesos de las 4 muestras, es decir, todas las proporciones de la población son iguales.

𝑭𝒄 < 𝑭𝒕 𝟐, 𝟗𝟏𝟐𝟒 < 𝟑, 𝟎𝟗𝟖𝟒


OTROS TIPOS DE FORMULAS DE FISHER

Intervalos de confianza y contraste de hipótesis para la razón de varianzas: 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟐

𝟐⁄

Cuando se desea hacer inferencias acerca de las varianzas de dos poblaciones, es necesario colocarlas en forma de razón. Si las varianzas son iguales, entonces el cociente es igual a 1, en caso de que sean diferentes, su cociente también se alejará de 1. Como por lo general no se

conocen las varianzas de las poblaciones de interés, cualquier comparación que se desee, tendrá que estar basada en las varianzas 𝑺𝟏𝟐 𝒚 𝑺𝟐

𝟐, las cuales deberán ser de muestras independientes y extraídas de poblaciones normales.

⟹𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔,𝑺𝟏𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝝈𝟏

𝟐 𝒚 (𝒏𝟏 − 𝟏)𝑺𝟏

𝟐

𝝈𝟏𝟐

, 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓á 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝝌𝟐 𝒄𝒐𝒏 (𝒏𝟏 − 𝟏) 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅.

⟹𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔,𝑺𝟐𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝝈𝟐

𝟐 𝒚 (𝒏𝟐 − 𝟏)𝑺𝟐

𝟐

𝝈𝟐𝟐

, 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓á 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝝌𝟐 𝒄𝒐𝒏 (𝒏𝟐 − 𝟏) 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅.

𝑳𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒔: 𝑭 =𝑺𝟏𝟐/𝝈𝟏

𝟐

𝑺𝟐𝟐/𝝈𝟐

𝟐 ; 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔:

PASO1: La distribución F depende de dos valores de GL, uno corresponde al numerador y otro al denominador, a los cuales nos referimos como GL del numerador GLnumerador=n1=n1-1 y GLdenominador= n2=n2-1. PASO2: La densidad de la variable F:

𝑭 = [𝚪 (𝑽𝟏 +𝑽𝟐𝟐

)

𝚪 (𝑽𝟏𝟐 )𝚪 (

𝑽𝟐𝟐 )](𝑽𝟏𝑽𝟐)

𝑽𝟏𝟐∗ 𝑭(

𝑽𝟏𝟐 −𝟏) ∗ [𝟏 +

𝟏𝑭

𝑽𝟐]

−𝑽𝟏+𝑽𝟐𝟐

PASO3: La distribución F para cada par de valores de GL de 𝒏𝟏 𝒚 𝒏𝟐 PASO4: Hay una distribución F para cada par de valores de GL.

PASO5: Como distribución de 𝝌𝟐, una distribución F es positivamente asimétrica, pero su asimetría se reduce con los aumentos de los GL.

PASO6: Si 𝑿 tiene densidad de 𝑭𝑽𝟏;𝑽𝟐 entonces 𝒀 =𝟏

𝒙 tendrá una distribución 𝑭𝑽𝟐;𝑽𝟏 esto es:

𝑭∝𝟐 ; 𝑽𝟏 ; 𝑽𝟐

=𝟏

𝑭𝟏−∝𝟐 ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏

PASO7: La distribución muestral usada para hacer inferencias entre dos varianzas es la F de Fisher:

𝑭 =𝑺𝟏𝟐/𝝈𝟏

𝟐

𝑺𝟐𝟐/𝝈𝟐

𝟐 =𝑺𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐

=𝑺𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝟎

;

𝒄𝒐𝒏 𝒏𝟏 − 𝟏 𝒚 𝒏𝟐 − 𝟏 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝑮𝑳 𝒆𝒏 𝒆𝒍𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒚 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓,

𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆.

EL INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS ESTA DADO POR: 𝑭∝𝟐

< 𝑭 < 𝑭𝟏−∝𝟐

𝑭∝𝟐< 𝑭 < 𝑭

𝟏−∝𝟐 ⟹ 𝑭∝

𝟐<𝑺𝟏𝟐/𝝈𝟏

𝟐

𝑺𝟐𝟐/𝝈𝟐

𝟐 < 𝑭𝟏−∝𝟐 → 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒓:𝝈𝟏

𝟐/𝝈𝟐𝟐

𝑺𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝑭

𝟏−∝𝟐

<𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐 <

𝑺𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝑭∝

𝟐

→ 𝒂𝒄𝒂 𝒚𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒍:𝝈𝟏𝟐/𝝈𝟐

𝟐

Nota: el valor de la cola izquierda de la distribución F de Fisher está dado por:

𝑭∝𝟐 ; 𝑽𝟏 ; 𝑽𝟐

=𝟏

𝑭𝟏−∝𝟐 ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏

; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝒏𝟏 = 𝒏𝟏 − 𝟏𝒏𝟐 = 𝒏𝟐 − 𝟏

EJEMPLO#350 Las siguientes son las calificaciones obtenidas en un examen de personalidad por dos muestras de 9 mujeres casadas y 9

mujeres solteras:

SOLTERAS 88 68 77 82 63 80 78 71 72

CASADAS 73 77 67 74 74 64 71 71 72

Suponiendo que estos datos se pueden considerar como muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones normales, pruebe la hipótesis de que la varianza de las calificaciones de las mujeres solteras es diferente de la varianza de las calificaciones de las mujeres

casadas. Con ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 SOLUCION: Primero: se supone que las muestras son aleatorias independientes y extraídas de poblaciones normalmente extraídas.

Segundo: 𝑯𝟎: 𝝈𝟏𝟐 = 𝝈𝟐

𝟐 ↔ 𝝈𝟏𝟐/𝝈𝟐

𝟐 = 𝟏 𝑯𝟏: 𝝈𝟏𝟐 ≠ 𝝈𝟐

𝟐 ↔ 𝝈𝟏𝟐/𝝈𝟐

𝟐 ≠ 𝟏

Tercero: 𝒆𝒍 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒆 ∶ ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 → ∝ 𝟐⁄ = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓

Cuarto: Estadístico de contraste de F: 𝑭 =𝑺𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐∗𝑹𝟎

Quinto: encontramos valores críticos (ver tabla de F). 𝑮𝑳 ⟹ 𝑺𝒐𝒍𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔: 𝑽𝟏 = 𝒏𝟏 = 𝒏𝟏 − 𝟏 = 𝟗 − 𝟏 = 𝟖 𝑪𝒂𝒔𝒂𝒅𝒂𝒔: 𝑽𝟐 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟗 − 𝟏 = 𝟖

𝒂)𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒐: 𝑭∝𝟐 ; 𝑽𝟏 ; 𝑽𝟐

= 𝑭𝟎,𝟎𝟐𝟓; 𝟖 ;𝟖 = 𝟒, 𝟒𝟑𝟑𝟐 𝑻𝒂𝒎𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒗𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂:𝑭𝟎,𝟗𝟕𝟓; 𝟖 ;𝟖 = 𝟒, 𝟒𝟑𝟑𝟐

𝒃)𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒐: 𝟏

𝑭𝟏−∝𝟐 ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏

=𝟏

𝑭𝟎,𝟗𝟕𝟓 ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏=

𝟏

𝟒, 𝟒𝟑𝟑𝟐= 𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟔 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒔𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒊𝒕𝒂.

𝑭∝𝟐< 𝑭 < 𝑭

𝟏−∝𝟐 ⟹ 𝑭𝟎,𝟎𝟓

𝟐

< 𝑭 < 𝑭𝟏−𝟎,𝟎𝟓𝟐

⟹ 𝑭𝟎,𝟎𝟐𝟓 < 𝑭 < 𝑭𝟎,𝟗𝟕𝟓


SEXTO: ahora calculamos el valor de FC=?

SOLTERAS 𝒙𝟏 CASADAS 𝒚𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒚𝟏

𝟐

𝑺𝒙𝟐 =

∑𝒙𝟏𝟐 −(∑𝒙𝟏)

𝟐

𝑵𝑵 − 𝟏

=𝟓𝟏𝟔𝟗𝟗 −

(𝟔𝟕𝟗)𝟐

𝟗𝟗 − 𝟏

=𝟓𝟏𝟔𝟗𝟗−

𝟒𝟔𝟏𝟎𝟒𝟏𝟗

𝟖= 𝟓𝟗, 𝟎𝟐𝟕𝟖

𝑺𝟏𝟐 = 𝟓𝟗, 𝟎𝟐𝟕𝟖 soletras

𝑺𝒚𝟐 =

∑𝒚𝟏𝟐 −(∑𝒚𝟏)

𝟐

𝑵𝑵 − 𝟏

=𝟒𝟔𝟎𝟔𝟏 −

(𝟔𝟒𝟑)𝟐

𝟗𝟗 − 𝟏

=𝟒𝟔𝟎𝟔𝟏−

𝟒𝟏𝟑𝟒𝟒𝟗𝟗

𝟖= 𝟏𝟓, 𝟐𝟕𝟕𝟖

𝑺𝟐𝟐 = 𝟏𝟓, 𝟐𝟕𝟕𝟖 casadas

88 73 7744 5329

68 77 4624 5929

77 67 5929 4489

82 74 6724 5476

63 74 3969 5476

80 64 6400 4096

78 71 6084 5041

71 71 5041 5041

72 72 5184 5184

∑𝟔𝟕𝟗 ∑𝟔𝟒𝟑 ∑𝟓𝟏𝟔𝟗𝟗 ∑𝟒𝟔𝟎𝟔𝟏

𝑭𝒄 = 𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 =𝑺𝒙𝟐

𝑺𝒚𝟐=𝟓𝟗, 𝟎𝟐𝟖𝟕

𝟏𝟓, 𝟐𝟕𝟕𝟖= 𝟑,𝟖𝟔𝟑𝟔

SEPTIMO:

𝑭∝𝟐< 𝑭 < 𝑭

𝟏−∝𝟐 ⟹ 𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟔 < 𝟑, 𝟖𝟔𝟑𝟔 < 𝟒, 𝟒𝟑𝟑𝟐 ⟹ 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎

OCTAVO: Las varianzas de las calificaciones de las soleras y de las casadas no son significativamente diferentes.

EJEMPLO#351 La variabilidad de la cantidad de impurezas presentes en un compuesto químico, usado para un proceso particular depende

del tiempo en que el proceso está en operación. Un fabricante que usa las líneas de producción 1 y 2 ha introducido un ligero ajuste al proceso 2 con la esperanza de reducir tanto la variabilidad como la media de la cantidad de impurezas en el compuesto químico. Las medias

y las varianzas de las muestras de 25 observaciones de los procesos son: 𝟏 = 𝟑, 𝟐 𝑺𝟏𝟐 = 𝟏,𝟎𝟒 𝟐 = 𝟑, 𝟎 𝑺𝟐

𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟏 Determine el intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas. SOLUCION:

𝟏 = 𝟑, 𝟐 𝑺𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟒 𝟐 = 𝟑,𝟎 𝑺𝟐

𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟏 𝑮𝑳𝟏 → 𝑽𝟏 = 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟐𝟒 𝑮𝑳𝟐 → 𝑽𝟐 = 𝟐𝟓− 𝟏 = 𝟐𝟒 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝟗𝟎% 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 ∝= 𝟏𝟎%

𝑭𝟏−∝𝟐 ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏

= 𝑭𝟎,𝟗𝟓 ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏 ⟹ 𝑭𝟎,𝟗𝟓; 𝟐𝟒; 𝟐𝟒 = 𝟏, 𝟗𝟖𝟑𝟖(𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂) 𝒚 𝑭∝𝟐 ; 𝑽𝟏 ; 𝑽𝟐

= 𝑭𝟎,𝟎𝟓 ; 𝑽𝟏 ; 𝑽𝟐 ⟹ 𝑭𝟎,𝟎𝟓; 𝟐𝟒; 𝟐𝟒 =𝟏

𝟏, 𝟗𝟖𝟑𝟖= 𝟎, 𝟓𝟎𝟒𝟏

𝑺𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝑭

𝟏−∝𝟐

<𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐 <

𝑺𝟏𝟐

𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝑭∝

𝟐

⟹𝟏, 𝟎𝟒

𝟎, 𝟓𝟏 ∗ 𝑭𝟏−∝𝟐

<𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐 <

𝟏, 𝟎𝟒

𝟎, 𝟓𝟏 ∗ 𝑭∝𝟐

⟹𝟏, 𝟎𝟒

𝟎, 𝟓𝟏(𝟏, 𝟗𝟖𝟑𝟖)<𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐 <

𝟏, 𝟎𝟒

𝟎, 𝟓𝟏(𝟎, 𝟓𝟎𝟒𝟏)⟹ 𝟏, 𝟎𝟐𝟕𝟗 <

𝝈𝟏𝟐

𝝈𝟐𝟐 < 𝟒, 𝟎𝟒𝟓𝟑

Como ambos límites son mayores que 1 se puede concluir que la varianza 1 es significativamente mayor que la varianza 2.

EJEMPLO#352 Existe un proceso industrial A para obtener el aceite esencial de cierto fruto. Un grupo de ingenieros bolivianos ha desarrollado un

método B para el mismo fin, pero con los costos de producción y mantenimiento menores. Se hizo un estudio para comparar el porcentaje de pureza del aceite esencial obtenido por ambos métodos, en lotes similares de fruto asignados completamente al azar y se recopilo la siguiente información:

% de pureza del aceite esencial

Método A 82 80 83 85 79 82 81 84

Método B 80 79 82 82 81 80 79 78 83

En un inicio, por consideraciones teóricas, se pensaba que ambos procesos tendrían la misma variabilidad, pero de acuerdo con algunos resultados

preliminares se cree ahora que el método B produce resultados menos variables. Con los datos de la tabla. ¿Cuál es su conclusión con ∝= 𝟎, 𝟎𝟓? SOLUCION:

Primero: Se ve claramente que los dos procesos son independientes y no hay razón para dudar de que él % de pureza se distribuya normalmente para ambos procesos como se puede observar en los diagramas de tallo y hoja respectiva. Ordenamos de menor a mayor los datos:

METODO A METODO B

1 79 0 1 78 0

2 80 0 3 79 00

3 81 0 (2) 80 00

(2) 82 00 4 81 0

3 83 0 3 82 0

2 84 0 1 83 0

1 85 0


Segundo: 𝑯𝟎: 𝝈𝑩𝟐 ≥ 𝝈𝑨

𝟐 ↔ 𝝈𝑩𝟐/𝝈𝑨

𝟐 ≥ 𝟏 𝑯𝟏: 𝝈𝑩𝟐 < 𝝈𝑨


𝟐 < 𝟏


Cuarto: Estadístico de contraste de F: 𝑭 =𝑺𝑩𝟐

𝑺𝑨𝟐∗𝑹𝟎

Quinto: encontramos valores críticos (ver tabla de F). 𝑮𝑳 ⟹ 𝑨: 𝑽𝟏 = 𝒏𝟏 = 𝒏𝟏 − 𝟏 = 𝟖 − 𝟏 = 𝟕 𝑩: 𝑽𝟐 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟗 − 𝟏 = 𝟖

𝑭𝟏−∝ ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏 = 𝑭𝟎,𝟗𝟓;𝟖;𝟕 = 𝟑, 𝟕𝟐𝟔 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂; 𝑭∝ ; 𝑽𝟏 ; 𝑽𝟐 = 𝑭𝟎,𝟎𝟓;𝟕;𝟖 =𝟏

𝑭𝟏−∝ ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏=

𝟏

𝑭𝟎,𝟗𝟓; 𝟖 ;𝟕=

𝟏

𝟑,𝟕𝟐𝟔= 𝟎,𝟐𝟔𝟖𝟒

Nota: si solamente sacamos 1T(una sola cola).

𝑨⟹∑𝒙 = 𝟔𝟓𝟔 ; ∑𝒙𝟐 = 𝟓𝟑𝟖𝟐𝟎 𝑩 ⟹∑𝒙 = 𝟕𝟐𝟒 ; ∑𝒙𝟐 = 𝟓𝟖𝟐𝟔𝟒

Sexto:

Valor calculado de F: 𝑭𝒄 =𝑺𝑩𝟐


=𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟖

𝟒(𝟏𝒄𝒐𝒍𝒂)= 𝟎,𝟔𝟗𝟒𝟒𝟓

𝑺𝑨𝟐 =

∑𝒙𝟐 −(∑𝒙)𝟐

𝑵𝑵 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟖𝟐𝟎 −

(𝟔𝟓𝟔)𝟐

𝟖𝟖 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟖𝟐𝟎 −

𝟒𝟑𝟎𝟑𝟑𝟔𝟖

𝟕= 𝟒

𝑺𝑨𝟐 = 𝟒

𝑺𝑩𝟐 =

∑𝒙𝟐 −(∑𝒙)𝟐

𝑵𝑵 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟐𝟔𝟒 −

(𝟕𝟐𝟒)𝟐

𝟗𝟗 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟐𝟔𝟒 −

𝟓𝟐𝟒𝟏𝟕𝟔𝟗

𝟖= 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟖

𝑺𝑩𝟐 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟖

SEPTIMO:

𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 < 𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 𝟎, 𝟐𝟔𝟖𝟒 < 𝟎, 𝟔𝟗𝟒𝟒, 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎 OCTAVO: conclusión la varianza del proceso B no es significativamente menor que la del proceso A.

𝑹𝟎 = 𝒔𝒊 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝟏 𝒄𝒐𝒍𝒂 𝑹𝟎 = 𝟏 𝒚 𝒔𝒊 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝟐 𝒄𝒐𝒍𝒂𝒔 𝑹𝟎 = 𝟐

EJEMPLO#353 Se les hace una pregunta a dos poblaciones distintas, donde el tiempo de reacción a la pregunta son los siguientes:

X(segundos) 0,30 0,50 1,20 1,10 1,95 1,53 3,50 5,00 2,40 6,21 10,11 33,80

Y(segundos) 1,02 0,95 2,10 1,30 1,45 0,45 2,95 7,20 5,10 4,00 8,30 34,82

SOLUCION:

∑𝑿= 𝟑𝟑, 𝟖𝟎 ∑𝒀 = 𝟑𝟒,𝟖𝟐 ∑𝑿𝟐 = 𝟏𝟗𝟐,𝟗𝟏𝟗𝟔 ∑𝒀𝟐 = 𝟏𝟖𝟏, 𝟕𝟗𝟎𝟒 𝑵 = 𝟏𝟏

𝑻𝑿𝟐 =

∑𝒙𝟏𝟐 −(∑𝒙𝟏)

𝟐

𝑵𝑵

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

(𝟑𝟑, 𝟖𝟎)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

𝟏𝟏𝟒𝟐, 𝟒𝟒𝟏𝟏

𝟏𝟏= 𝟖, 𝟎𝟗𝟔𝟓 ; 𝑻𝒀

𝟐 =∑𝒀𝟏

𝟐 −(∑𝒀𝟏)

𝟐

𝑵𝑵

=𝟏𝟖𝟏, 𝟕𝟗𝟎𝟒 −

(𝟑𝟒,𝟖𝟐)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏

= 𝟔, 𝟓𝟎𝟔𝟑

𝑺𝑿𝟐 =

∑𝒙𝟏𝟐 −(∑𝒙𝟏)

𝟐

𝑵𝑵− 𝟏

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

(𝟑𝟑,𝟖𝟎)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

𝟏𝟏𝟒𝟐, 𝟒𝟒𝟏𝟏

𝟏𝟎= 𝟖, 𝟗𝟎𝟔𝟏 ; 𝑺𝒀

𝟐 =∑𝒀𝟏

𝟐 −(∑𝒀𝟏)

𝟐

𝑵𝑵 −𝟏

=𝟏𝟖𝟏, 𝟕𝟗𝟎𝟒 −

(𝟑𝟒, 𝟖𝟐)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏

= 𝟕, 𝟏𝟓𝟔𝟗

𝑺𝒆 𝒂𝒔𝒖𝒎𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝑻𝑿𝟐 = 𝑻𝒀

𝟐

𝑭𝑪 =𝑺𝑿𝟐

𝑺𝒀𝟐 =

𝟖,𝟗𝟎𝟔𝟏

𝟕, 𝟏𝟓𝟔𝟗= 𝟏, 𝟐𝟒𝟒𝟒 ⟹ 𝑭𝑪 =

𝑺𝑿𝟐/𝑻𝑿

𝟐

𝑺𝒀𝟐/𝑻𝒀

𝟐

Por la tabla de F: 𝑮𝑳𝑿 = 𝟏𝟏 − 𝟏 = 𝟏𝟎 → 𝑽𝟏𝑮𝑳𝒀 = 𝟏𝟏 − 𝟏 = 𝟏𝟎 → 𝑽𝟐

: ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 → 𝟗𝟓% 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 = 𝟐, 𝟗𝟕𝟖𝟐 𝑺𝒊: 𝑭𝑪 < 𝑭𝑻⟹𝟏, 𝟐𝟒𝟒𝟒 < 𝟐, 𝟗𝟕𝟖𝟐 ⟹ 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔

Vamos a suponer, me invente como interpolar los siguientes valores: este hacemos para aprender cómo se interpolan:

𝟏𝟎 → 𝟐, 𝟗𝟖 (𝑽𝟏 = 𝟏𝟎 𝒚 𝑽𝟐 = 𝟏𝟎)𝟏𝟏 → 𝑭 𝟏𝟐 → 𝟐, 𝟗𝟏 (𝑽𝟏 = 𝟏𝟐 𝒚 𝑽𝟐 = 𝟏𝟎)

𝑭 =𝟏𝟐 − 𝟏𝟎

𝟏𝟏 − 𝟏𝟎=𝟐, 𝟗𝟏 − 𝟐, 𝟗𝟖

𝒙 − 𝟐, 𝟗𝟖⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐, 𝟗𝟖) = −𝟎, 𝟎𝟕⟹ 𝟐𝒙 − 𝟓, 𝟗𝟔 = −𝟎, 𝟎𝟕 ⟹ 𝒙 = 𝟐, 𝟗𝟒𝟓 ⟹ 𝑭 = 𝟐, 𝟗𝟒𝟓


Segundo: 𝑯𝟎: 𝝈𝑩𝟐 ≥ 𝝈𝑨


𝟐 ≥ 𝟏 𝑯𝟏: 𝝈𝑩𝟐 < 𝝈𝑨


𝟐 < 𝟏


Cuarto: Estadístico de contraste de F: 𝑭 =𝑺𝑩𝟐


Quinto: encontramos valores críticos (ver tabla de F). 𝑮𝑳 ⟹ 𝑨: 𝑽𝟏 = 𝒏𝟏 = 𝒏𝟏 − 𝟏 = 𝟖 − 𝟏 = 𝟕 𝑩: 𝑽𝟐 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟗 − 𝟏 = 𝟖

𝑭𝟏−∝ ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏 = 𝑭𝟎,𝟗𝟓;𝟖;𝟕 = 𝟑, 𝟕𝟐𝟔 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒔𝒂𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂; 𝑭∝ ; 𝑽𝟏 ; 𝑽𝟐 = 𝑭𝟎,𝟎𝟓;𝟕;𝟖 =𝟏

𝑭𝟏−∝ ; 𝑽𝟐 ; 𝑽𝟏=

𝟏

𝑭𝟎,𝟗𝟓; 𝟖 ;𝟕=

𝟏

𝟑,𝟕𝟐𝟔= 𝟎,𝟐𝟔𝟖𝟒

Nota: si solamente sacamos 1T(una sola cola).

𝑨⟹∑𝒙 = 𝟔𝟓𝟔 ; ∑𝒙𝟐 = 𝟓𝟑𝟖𝟐𝟎 𝑩 ⟹∑𝒙 = 𝟕𝟐𝟒 ; ∑𝒙𝟐 = 𝟓𝟖𝟐𝟔𝟒

Sexto:

Valor calculado de F: 𝑭𝒄 =𝑺𝑩𝟐


=𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟖

𝟒(𝟏𝒄𝒐𝒍𝒂)= 𝟎,𝟔𝟗𝟒𝟒𝟓

𝑺𝑨𝟐 =

∑𝒙𝟐 −(∑𝒙)𝟐

𝑵𝑵 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟖𝟐𝟎 −

(𝟔𝟓𝟔)𝟐

𝟖𝟖 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟖𝟐𝟎 −

𝟒𝟑𝟎𝟑𝟑𝟔𝟖

𝟕= 𝟒

𝑺𝑨𝟐 = 𝟒

𝑺𝑩𝟐 =

∑𝒙𝟐 −(∑𝒙)𝟐

𝑵𝑵 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟐𝟔𝟒−

(𝟕𝟐𝟒)𝟐

𝟗𝟗 − 𝟏

=𝟓𝟑𝟐𝟔𝟒 −

𝟓𝟐𝟒𝟏𝟕𝟔𝟗

𝟖= 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟖

𝑺𝑩𝟐 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟖

SEPTIMO:

𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 < 𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 𝟎, 𝟐𝟔𝟖𝟒 < 𝟎, 𝟔𝟗𝟒𝟒, 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝑯𝟎 OCTAVO: conclusión la varianza del proceso B no es significativamente menor que la del proceso A.

𝑹𝟎 = 𝒔𝒊 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝟏 𝒄𝒐𝒍𝒂 𝑹𝟎 = 𝟏 𝒚 𝒔𝒊 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝟐 𝒄𝒐𝒍𝒂𝒔 𝑹𝟎 = 𝟐

EJEMPLO#353 Se les hace una pregunta a dos poblaciones distintas, donde el tiempo de reacción a la pregunta son los siguientes:

X(segundos) 0,30 0,50 1,20 1,10 1,95 1,53 3,50 5,00 2,40 6,21 10,11 33,80 Y(segundos) 1,02 0,95 2,10 1,30 1,45 0,45 2,95 7,20 5,10 4,00 8,30 34,82

SOLUCION:

∑𝑿= 𝟑𝟑, 𝟖𝟎 ∑𝒀 = 𝟑𝟒,𝟖𝟐 ∑𝑿𝟐 = 𝟏𝟗𝟐,𝟗𝟏𝟗𝟔 ∑𝒀𝟐 = 𝟏𝟖𝟏, 𝟕𝟗𝟎𝟒 𝑵 = 𝟏𝟏

𝑻𝑿𝟐 =

∑𝒙𝟏𝟐 −(∑𝒙𝟏)

𝟐

𝑵𝑵

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

(𝟑𝟑, 𝟖𝟎)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

𝟏𝟏𝟒𝟐, 𝟒𝟒𝟏𝟏

𝟏𝟏= 𝟖, 𝟎𝟗𝟔𝟓 ; 𝑻𝒀

𝟐 =∑𝒀𝟏

𝟐 −(∑𝒀𝟏)

𝟐

𝑵𝑵

=𝟏𝟖𝟏, 𝟕𝟗𝟎𝟒 −

(𝟑𝟒,𝟖𝟐)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏

= 𝟔, 𝟓𝟎𝟔𝟑

𝑺𝑿𝟐 =

∑𝒙𝟏𝟐 −(∑𝒙𝟏)

𝟐

𝑵𝑵− 𝟏

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

(𝟑𝟑,𝟖𝟎)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏

=𝟏𝟗𝟐, 𝟗𝟏𝟗𝟔 −

𝟏𝟏𝟒𝟐, 𝟒𝟒𝟏𝟏

𝟏𝟎= 𝟖, 𝟗𝟎𝟔𝟏 ; 𝑺𝒀

𝟐 =∑𝒀𝟏

𝟐 −(∑𝒀𝟏)

𝟐

𝑵𝑵 −𝟏

=𝟏𝟖𝟏, 𝟕𝟗𝟎𝟒 −

(𝟑𝟒, 𝟖𝟐)𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏

= 𝟕, 𝟏𝟓𝟔𝟗

𝑺𝒆 𝒂𝒔𝒖𝒎𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝑻𝑿𝟐 = 𝑻𝒀

𝟐

𝑭𝑪 =𝑺𝑿𝟐

𝑺𝒀𝟐 =

𝟖,𝟗𝟎𝟔𝟏

𝟕, 𝟏𝟓𝟔𝟗= 𝟏, 𝟐𝟒𝟒𝟒 ⟹ 𝑭𝑪 =

𝑺𝑿𝟐/𝑻𝑿

𝟐

𝑺𝒀𝟐/𝑻𝒀

𝟐

Por la tabla de F: 𝑮𝑳𝑿 = 𝟏𝟏 − 𝟏 = 𝟏𝟎 → 𝑽𝟏𝑮𝑳𝒀 = 𝟏𝟏 − 𝟏 = 𝟏𝟎 → 𝑽𝟐

: ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 → 𝟗𝟓% 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 = 𝟐, 𝟗𝟕𝟖𝟐 𝑺𝒊: 𝑭𝑪 < 𝑭𝑻⟹𝟏, 𝟐𝟒𝟒𝟒 < 𝟐, 𝟗𝟕𝟖𝟐 ⟹ 𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔

Vamos a suponer, me invente como interpolar los siguientes valores: este hacemos para aprender cómo se interpolan:

𝟏𝟎 → 𝟐, 𝟗𝟖 (𝑽𝟏 = 𝟏𝟎 𝒚 𝑽𝟐 = 𝟏𝟎)𝟏𝟏 → 𝑭 𝟏𝟐 → 𝟐, 𝟗𝟏 (𝑽𝟏 = 𝟏𝟐 𝒚 𝑽𝟐 = 𝟏𝟎)

𝑭 =𝟏𝟐 − 𝟏𝟎

𝟏𝟏 − 𝟏𝟎=𝟐, 𝟗𝟏 − 𝟐, 𝟗𝟖

𝒙 − 𝟐, 𝟗𝟖⟹ 𝟐(𝒙 − 𝟐, 𝟗𝟖) = −𝟎, 𝟎𝟕⟹ 𝟐𝒙 − 𝟓, 𝟗𝟔 = −𝟎, 𝟎𝟕 ⟹ 𝒙 = 𝟐, 𝟗𝟒𝟓 ⟹ 𝑭 = 𝟐, 𝟗𝟒𝟓


TEORÍA DE

MUESTREO


Teoría del muestreo.

OBJETIVOS

Reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas.

Reconocer los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas.

Calcular el tamaño de la muestra para población finita e infinita.

Resolver problemas de aplicación a la economía. Muestreo.-Uno de los temas más importantes de la Estadística Inferencial es sin duda alguna el Muestreo. Es la parte de la ciencia que divide a la investigación científica de la búsqueda empírica de resultados, la correcta selección del tamaño de la muestra es sumamente importante en el mundo empresarial, ya que frecuentemente requerimos realizar encuestas e investigaciones de mercado para tomar decisiones que es la base de un profesional exitoso. Si bien hay muchísima bibliografía acerca del tema en esta guía hemos intentado sintetizar solo los argumentos más importantes y que les resultarán más útiles a los profesionales de las Ciencias Económicas, Administrativas y Financieras. Existen como tal dos tipos de muestreo, el probabilístico y el No probabilístico, el muestreo probabilístico es cuando todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la Muestra y obviamente el no probabilístico es el que muestra lo contrario. En este GUIA-MEA solo trabajaremos con el muestreo probabilístico y necesariamente con poblaciones finitas (que se conocen todos los elementos de la población) ya que estos son los más utilizados en las investigaciones de mercado de nuestro rubro de trabajo. Aparte de las fórmulas de muestreo existen criterios que necesariamente deben cumplirse a la hora de realizar una investigación. Criterios de Muestreo:

1. Se debe tomar información en todas las áreas y horarios. (Si queremos realizar una encuesta en la Universidad UAGRM, es importante que tomemos la opinión de estudiantes de todos los horarios, ya que la opinión de los estudiantes de la mañana puede diferir mucho a los de la noche)

2. Si usted no va a realizar la encuesta debe adiestrar muy bien a los encuestadores y si es posible realizar una auditoría de trabajo de campo.

3. Tomar la información en diversos días no el mismo. ¿Por qué?, En muchas ocasiones hay lugares que las personas visitan solo rara vez y otros todos los días.

Para seleccionar los datos tenemos que tomar en cuenta que existen varios métodos de selección. 1. La Entrevista Personal. 2. Entrevistas por teléfono. 3. Cuestionarios Auto aplicados (Encuestas) 4. Observación Directa.

Nota: Intente que la mayor cantidad de sus preguntas sean cerradas. Las preguntas más importantes no pueden tener la opción No se no respondo. Planeación de una encuesta por muestreo.

1. Establecimiento de objetivos: Usted debe saber de ante mano lo que quiere investigar, los objetivos deben ser muy claros y concisos.

2. Población Objetivo: Usted debe delimitar su población. No siempre nos interesa trabajar con la población en su conjunto sino una parte de ella. Ejemplo; Si usted es vendedor de acciones de bolsa con un valor superior a los 1,5 millones de bolivianos no creo que le interese mucho encuestar a estudiantes ó personas de recursos medios.

3. El Marco Muestral: El Marco muestral es una lista donde están todos los elementos de la población, ejemplo: si usted va a estudiar el nivel de satisfacción de los obreros del ingenio Guabirá, el marco muestral sería la nómina de todos los trabajadores.

4. Diseño de Muestreo: Seleccione que tipo de muestreo va a utilizar, aleatorio simple, sistemático, por conglomerados ó polietápico (Varios muestreos a la vez)

5. Método de Medición: Entrevistas, encuestas, observaciones, entrevistas por teléfono, etc. 6. Instrumento de Medición: Como tal este paso se refiere a elaborar el cuestionario en sí. 7. Selección y adiestramiento de investigadores de Campo: Este es una de las partes más importantes, tome el tiempo que sea

necesario para esto y dele la importancia que se merece, de instrucciones claras. 8. Prueba Piloto: Se realiza con dos objetivos, uno es calcular la varianza poblacional y otro es saber más ó menos como está

elaborado el cuestionario. 9. Organización y Trabajo de Campo: Como tal es el trabajo de campo en sí. Ir y tomar la información a la calle, a la empresa ó por

correo. 10. Organización del Manejo de Datos. Ya está toda la información seleccionada y requerimos organizar el trabajo, ¿Quién va a

tabular?, ¿Quién va a dictar?, etc. 11. Análisis de los datos: Es el tratamiento ó procesamiento de la información y las propuestas de solución a problemas, hipótesis ó

toma de decisiones. Muestreo Aleatorio Simple: Este es sin duda alguna el más utilizado de todos los muestreos, sus usos son infinitos, y es tan sencillo de entender como tener una bolsa con 40 bolillas y seleccionar 10 a azar, evidentemente todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la muestra. Para seleccionar el tamaño de la muestra utilizando el muestreo aleatorio simple debemos tener en cuenta ¿Que nos interesa de la población?

La media poblacional. Ejemplo (Cuál es el gasto promedio en CD´s de los estudiantes Universitarios de Santa Cruz de la Sierra, Bolivia)

Una proporción poblacional. Ejemplo (Cuál es la proporción de estudiantes de Santa Cruz que compran CD´s.

Un total poblacional. Ejemplo (Cuál es el total de dinero que gastan estudiantes de Santa Cruz comprando CD´s. En esta guía no vamos a trabajar con los totales, pero si es importante que conozcas que existe este tipo de estadígrafo llamado (tao) ó total. Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar la Media Poblacional.

Recordemos que la media poblacional es (miu) ó (mu) y se denota con la letra (𝝁).


Fórmula:

𝒏 =𝑵 ∗ 𝝈𝟐

[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐; 𝑫 =

𝑩𝟐

𝟒 ;𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆:

𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏.

𝝈𝟐: 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍. 𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.𝑫: 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐.

Nota: Una vez seleccionado el tamaño de la Muestra se seleccionan de la población utilizando la tabla de Números Aleatorios.

EJEMPLO#354 5000 son las cuentas en moras de la Cooperativa “COOPLAN3000”, se sabe por estudios anteriores que la desviación

estándar de las mismas es de 35 Bolivianos, Hay que llamar a los clientes para saber ¿Cuál ha sido el motivo del retraso en sus obligaciones? Evidentemente no se puede llamar a los 5000 porque incurriría un elevado costo para la cooperativa, por lo que hay que seleccionar una muestra. Es evidente que se puede utilizar el muestreo aleatorio simple debido a que cumple con los requisitos del mismo.

a) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el error de estimación de 5 bolivianos. b) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el error de estimación de 10 bolivianos.

SOLUCIÓN: Respuesta al inciso “a” No nos dan la Varianza poblacional pero si la desviación Estándar, y la varianza es la desviación estándar al cuadrado.

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝈 = 𝟑𝟓 𝒃𝒐𝒍𝒊𝒗𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔 → 𝝈𝟐 = 𝟑𝟓𝟐 = 𝟏𝟐𝟐𝟓 𝑩𝒔 ; 𝑵 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝒕𝒂𝒔 ; 𝑩 = 𝟓 𝑩𝒔

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=𝟓𝟐

𝟒=𝟐𝟓

𝟒= 𝟔, 𝟐𝟓

𝒏 =𝑵 ∗ 𝝈𝟐

[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐=

(𝟓𝟎𝟎𝟎) ∗ (𝟏𝟐𝟐𝟓)

[(𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟔, 𝟐𝟓)] + (𝟏𝟐𝟐𝟓)=

(𝟓𝟎𝟎𝟎)(𝟏𝟐𝟐𝟓)

[𝟏𝟐𝟒𝟗𝟕𝟓𝟒

] + 𝟏𝟐𝟐𝟓=

𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

[𝟑𝟏𝟐𝟒𝟑, 𝟕𝟓] + 𝟏𝟐𝟐𝟓=𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟑𝟐𝟒𝟔𝟖, 𝟕𝟓= 𝟏𝟖𝟖, 𝟔𝟒𝟐𝟗 ≅ 𝟏𝟖𝟗

Respuesta: De las 5000 cuentas de la cooperativa “COOPLAN3000” tenemos que seleccionar 189 cuentas de 5000 cuentas, si es que queremos un límite para el error de estimación de 5 bolivianos. Respuesta al inciso “b”

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝈 = 𝟑𝟓 𝒃𝒐𝒍𝒊𝒗𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔 → 𝝈𝟐 = 𝟑𝟓𝟐 = 𝟏𝟐𝟐𝟓 𝑩𝒔 ; 𝑵 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝒕𝒂𝒔 ; 𝑩 = 𝟏𝟎 𝑩𝒔

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=𝟏𝟎𝟐

𝟒=𝟏𝟎𝟎

𝟒= 𝟐𝟓

𝒏 =𝑵 ∗ 𝝈𝟐

[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐=

(𝟓𝟎𝟎𝟎) ∗ (𝟏𝟐𝟐𝟓)

[(𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟐𝟓)] + (𝟏𝟐𝟐𝟓)=

(𝟓𝟎𝟎𝟎)(𝟏𝟐𝟐𝟓)

[𝟏𝟐𝟒𝟗𝟕𝟓] + 𝟏𝟐𝟐𝟓=

𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟒𝟗𝟕𝟓 + 𝟏𝟐𝟐𝟓=𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟔𝟐𝟎𝟎= 𝟒𝟖, 𝟓𝟑𝟒𝟏 ≈ 𝟒𝟗

Respuesta: De las 5000 cuentas de la cooperativa “COOPLAN3000” tenemos que seleccionar 49 cuentas de las 5000 cuentas, si es que queremos un límite para el error de estimación de 10 bolivianos. Nota: Notemos que mientras más grande es el error que aceptamos más pequeña es la muestra.

EJEMPLO#355 Usted es el gerente de Marketing de la empresa comercializadora de calzados “Zapatitos de Cristal”, en los últimos meses se

ha detectado un descenso de las ventas netas, su asesor sugiere que se realice una investigación de mercado para detectar si ha sido debida a un ciclo comercial ó a la llegada de nuevos competidores. Se tomó una prueba piloto donde se pudo detectar en los encuestados un valor máximo de compras de 80 bolivianos y un mínimo de 20 bolivianos. Con un error de estimación de 4 bolivianos cuantas encuestas se deben tomar para saber por qué ha sido el descenso en las ventas teniendo en cuenta que los clientes con dirección y número de celular están en la base de datos de la empresa y suman 3000 clientes. SOLUCIÓN:

𝝈𝟐 = 𝑻𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒏 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓,𝒏𝒊 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏,𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒏 𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 , 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒔𝒆𝒓í𝒂 (𝟖𝟎 − 𝟐𝟎 = 𝟔𝟎). 𝑷𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟒 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓.

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐:𝟔𝟎

𝟒= 𝟏𝟓 ↔ 𝝈 = 𝟏𝟓 ; 𝒚 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐: 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 ↔ 𝝈𝟐 = 𝟐𝟐𝟓

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝈 = 𝟏𝟓𝑩𝒔 → 𝝈𝟐 = 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 𝑩𝒔 ; 𝑵 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝑪𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ; 𝑩 = 𝟒 𝑩𝒔

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=𝟒𝟐

𝟒=𝟏𝟔

𝟒= 𝟒

𝒏 =𝑵 ∗ 𝝈𝟐

[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐=

(𝟑𝟎𝟎𝟎) ∗ (𝟐𝟐𝟓)

[(𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟒)] + (𝟐𝟐𝟓)=(𝟑𝟎𝟎𝟎)(𝟐𝟐𝟓)

[𝟏𝟏𝟗𝟗𝟔] + 𝟐𝟐𝟓=𝟔𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟐𝟐𝟏= 𝟓𝟓, 𝟐𝟑𝟐𝟖 ≈ 𝟓𝟓

Respuesta: Se debe tomar una encuesta a 56 de los clientes de los 3000 clientes.


Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción poblacional (𝝅). Recordemos que la proporción poblacional es (𝝅). Fórmula:

𝒏 =

𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒

[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒);𝑫 =

𝑩𝟐

𝟒 ; 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆:

𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏. 𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.𝑫: 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐.

𝒑: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐. 𝒒: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐.

EJEMPLO#356 El señor Julio propietario de la Finca Ganadera “AL-QUADOSH+” ha detectado que están muriendo animales. Julio es

propietario de 10000 cabezas de ganado y el costo del estudio (análisis de sangre) por animal es de 5 Bs. Julio solo puede tener un error de estimación del 5% y no tiene el dinero suficiente para realizarle el estudio a todos los animales. Cuál es la Muestra probabilística que debe seleccionar Julio para realizar el estudio que verifique la proporción de animales que están enfermos y cuál es el presupuesto que necesita para llevar adelante análisis de sangre. Nota: En el anterior estudio se calculó que el 20% de los animales estaban contaminados con un virus. SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒂𝒃𝒆𝒛𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐; 𝑩 = 𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟓 ; 𝒑 = 𝟐𝟎% = 𝟎,𝟐𝟎 ; 𝒒 = 𝟖𝟎% = 𝟎,𝟖𝟎 ; 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 = 𝟓𝑩𝒔.

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=(𝟎, 𝟎𝟓)𝟐

𝟒=

𝟏𝟒𝟎𝟎𝟒=

𝟏

𝟏𝟔𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓

𝒏 =𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒

[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)=

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟐𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟎

[(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗𝟏

𝟏𝟔𝟎𝟎] + (𝟎, 𝟐𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟎)

=𝟏𝟔𝟎𝟎

[𝟗𝟗𝟗𝟗𝟏𝟔𝟎𝟎

] + (𝟎, 𝟏𝟔)=𝟏𝟔𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟓𝟏𝟑𝟐𝟎

= 𝟐𝟒𝟗, 𝟔𝟑𝟒𝟑 ≈ 𝟐𝟓𝟎

Respuesta: Con un límite para el error de estimación de 5% el tamaño de la muestra debe ser de 250 animales para el estudio y el

presupuesto sería de (𝟐𝟓𝟎 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 𝒃𝒐𝒍𝒊𝒗𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔).

EJEMPLO#357 El gerente de Recursos Humanos de la fábrica de Juguetes “Juguetón” leyó la semana pasada el buzón de quejas y

sugerencias internas y detectó que un 30% de las quejas eran acerca del mal trato del Supervisor “Vargas”, preocupado por esta situación decide realizar una encuesta para determinar si realmente existe tal molestia entre los trabajadores ó es solo problema de una camarilla, El problema es que hay 50000 obreros y encuestarlos a todos sería en un período muy largo de tiempo. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra que necesita tomar el gerente para realizar dicha encuesta teniendo en cuenta un límite para el error de estimación de 0,04? SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑶𝒃𝒓𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑 = 𝟎, 𝟑 = 𝟑𝟎% 𝒒 = 𝟎, 𝟕 = 𝟕𝟎% 𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟒%

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=(𝟎, 𝟎𝟒)𝟐

𝟒=

𝟏𝟔𝟐𝟓𝟒=

𝟏

𝟐𝟓𝟎𝟎= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒

𝒏 =𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒

[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)=

𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕𝟎

[(𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗𝟏

𝟐𝟓𝟎𝟎] + (𝟎, 𝟑𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕𝟎)

=𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎

[𝟏𝟗, 𝟗𝟗𝟗𝟔] + (𝟎, 𝟐𝟏)=𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎

𝟐𝟎, 𝟐𝟎𝟗𝟔= 𝟓𝟏𝟗,𝟓𝟓𝟓𝟏 ≈ 𝟓𝟐𝟎

El gerente requiere tomar una muestra de 520 empleados para determinar la situación del señor Vargas. Muestreo Sistemático: El muestreo sistemático es muy parecido aleatorio simple, de hecho mantiene hasta las mismas fórmulas, la única diferencia es que en este

se divide la población entre la muestra y hallamos un valor que vamos a llamar “𝒌”, tomamos un primer valor y sistemáticamente sumamos

“𝒌” y seleccionamos la observación. Ventajas del Muestreo Sistemático: 1.- Es el más fácil de llevar a cabo en el campo. 2.- Está menos expuestos a errores de selección que cometen los investigadores de campo. 3.- El muestreo Sistemático puede proporcionar mayor información que la que puede proporcionar el muestreo aleatorio por unidad de costo. Selección del tamaño de la muestra para hallar el promedio poblacional. Fórmula.

𝒏 =𝑵 ∗ 𝝈𝟐

[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐 ; 𝑫 =

𝑩𝟐


𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏.

𝝈𝟐: 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍. 𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.𝑫:𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐.

Como podemos ver es la misma muestra que el muestreo aleatorio simple.


EJEMPLO#358 Suponemos que queremos saber la opinión sobre un profesor de una clase de 60 personas. Dichas personas están

ordenadas por orden alfabético en la lista de alumnos de clase. Para realizar la encuesta, seleccionamos a 12 personas:

Por lo tanto, 𝑵 = 𝟔𝟎 𝒚 𝒏 = 𝟏𝟐. El intervalo fijo entre sujetos es:

𝒌 =𝑵

𝒏=𝟔𝟎

𝟏𝟐= 𝟓 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐.

Ahora elegimos al azar un número entre 1 y 𝒌 = 𝟓. Suponemos que nos sale 𝒊 = 𝟐. La muestra resultado mediante el muestreo sistemático será:

EJEMPLO#359 La siguiente tabla muestra los valores de las edades de los integrantes del Club Social. (Guajurú). Con un error de estimación

de 4 años. ¿Cuál debe ser la muestra que se debe seleccionar? y realice mediante el muestreo sistemático, seleccione los valores y halle el promedio de la muestra e infiera a la población.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75

45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28 Evidentemente que una población de este tamaño (80) se puede estudiar en su totalidad pero con fines pedagógicos hemos tomado la decisión de seleccionar una muestra y luego sistematizar. SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟖𝟎 ; 𝑩 = 𝟒 ; 𝑺𝒖𝒑𝒐𝒏𝒈𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒍 𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒔𝒆𝒂:𝑬𝒅𝒂𝒅 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒂: 𝟗𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔,𝑬𝒅𝒂𝒅 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒂: 𝟐𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔,𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝑹 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒂− 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒂 = 𝟕𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔.

𝑵𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒐𝒍𝒗𝒊𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟒 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓 → 𝝈 =𝟕𝟎

𝟒=𝟑𝟓

𝟐= 𝟏𝟕, 𝟓

𝑳𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 → 𝝈𝟐 = (𝟏𝟕, 𝟓)𝟐 = 𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓 ↔ 𝝈𝟐 = 𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓

𝝈 =𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐

𝟒=𝑹

𝟒= 𝒌 =

𝑵

𝒏= 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ó 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐.

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=𝟒𝟐

𝟒=𝟏𝟔

𝟒= 𝟒; 𝑽𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒐𝒏𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝑩 = 𝟏𝟏 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆. 𝑫 =

𝑩𝟐

𝟒=𝟏𝟏𝟐

𝟒=𝟏𝟐𝟏

𝟒= 𝟑𝟎, 𝟐𝟓 ≈ (𝒄𝒂𝒔𝒊)

𝒏 =𝑵 ∗ 𝝈𝟐

[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐=

(𝟖𝟎) ∗ (𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓)

[(𝟖𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟑𝟎, 𝟐𝟓)] + (𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓)=

(𝟖𝟎)(𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓)

[𝟐𝟑𝟖𝟗, 𝟕𝟓] + 𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓=𝟐𝟒𝟓𝟎𝟎

𝟐𝟔𝟗𝟔=𝟔𝟏𝟐𝟓

𝟔𝟕𝟒= 𝟗, 𝟎𝟖𝟕𝟓 ≈ 𝟏𝟎

𝒌 =𝑵

𝒏= 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ó 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 =

𝟖𝟎

𝟏𝟎= 𝟖 𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟖 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔 𝒇𝒊𝒋𝒐𝒔.

Evidentemente tenemos que seleccionar 10 de los 80 socios. El primer valor lo tomamos aleatoriamente entre los primeros 10 valores, en nuestro caso fue el tercero, entonces seleccionamos el tercer valor y sistematizamos sumando “k” que en este caso es 8.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75

45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28


Ahora realizamos el estudio entre los 10 valores seleccionados en la muestra.

=∑𝒙𝒊𝒏=𝟖𝟎+ 𝟔𝟒 + 𝟑𝟕+ 𝟑𝟐 + 𝟔𝟖 + 𝟒𝟓 + 𝟒𝟓 + 𝟓𝟗 + 𝟕𝟎 + 𝟑𝟔

𝟏𝟎=𝟓𝟑𝟔

𝟏𝟎=𝟐𝟔𝟖

𝟏𝟎= 𝟓𝟑,𝟔 ≈ 𝟓𝟒 𝒂ñ𝒐𝒔

El promedio de las edades de la muestra es 54 años. Ahora realizamos el intervalo de confianza para inferir a la población. Como es una muestra pequeña (10) tenemos que utilizar la “t” de student. IC: Intervalo de Confianza para estimar la media poblacional de muestras pequeñas:

𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓: 𝝁 = ± (𝒕)(𝒔) = ± (𝒕) ∗𝒔

√𝒏 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:

: 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒕: 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕 𝒏: 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒔: 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝒔 = 𝟏𝟕, 𝟓 √𝒏 = √𝟏𝟎 = 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟑 ≅ 𝟑,𝟏𝟔 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 (𝒏 − 𝟏) = 𝟏𝟎 − 𝟏 = 𝟗 . y el nivel de significación al no dárnoslo es el 95%. Siguiendo los pasos que están en la tabla es 2,2622 el valor de “t”

𝝁 = ± (𝒕)(𝒔) = ± (𝒕) ∗𝒔

√𝒏= ± (𝟐, 𝟐𝟔𝟐𝟐) ∗

𝟏𝟕, 𝟓

√𝟏𝟎= ± (𝟐, 𝟐𝟔𝟐𝟐) ∗ (𝟓, 𝟓𝟑𝟒𝟎) = ± (𝟏𝟐, 𝟓𝟏𝟗𝟎) = 𝟓𝟒 ± (𝟏𝟐, 𝟓𝟐)

𝟒𝟏, 𝟒𝟖 ≤ 𝝁 ≤ 𝟔𝟔, 𝟓𝟐 ↔ 𝟒𝟏, 𝟒𝟖 ≤ 𝟓𝟒 ≤ 𝟔𝟔,𝟓𝟐 Respuesta: Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se pudieran haber seleccionado la media estará entre 41,48 y 66,52 años.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción poblacional (𝝅). Formula:

𝒏 =𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒

[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒); 𝑫 =

𝑩𝟐


𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏. 𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.𝑫:𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐.

𝒑: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐. 𝒒: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐.

EJEMPLO#360 Los siguientes datos muestran la opinión que tuvieron las 130 personas que asistieron al cine el “Peliculón” el día de su

reapertura. Encuestas anteriores muestran que el 65% de los visitantes ven las mejoras como positivas. Debido a que tabular 130 encuestas es mucho según el gerente, se decide tomar una muestra con un error de 0,15 y un 95% de confiabilidad, aparte realice un estudio estadístico completo.

Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo

Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo

Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo



Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝑵 = 𝟏𝟑𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔; 𝒑 = 𝟎, 𝟔𝟓 = 𝟔𝟓% 𝒒 = 𝟎, 𝟑𝟓 = 𝟑𝟓% 𝑩 = 𝟎,𝟏𝟓 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 = 𝟗𝟓%

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=(𝟎, 𝟏𝟓)𝟐

𝟒=𝟎,𝟎𝟐𝟐𝟓

𝟒=

𝟗

𝟏𝟔𝟎𝟎= 𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟔𝟐𝟓

𝒏 =𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒

[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)=

𝟏𝟑𝟎 ∗ (𝟎, 𝟔𝟓) ∗ (𝟎, 𝟑𝟓)

[(𝟏𝟑𝟎 − 𝟏) ∗𝟗

𝟏𝟔𝟎𝟎] + [(𝟎, 𝟔𝟓) ∗ (𝟎, 𝟑𝟓)]

=𝟐𝟗, 𝟓𝟕𝟓

[𝟎, 𝟕𝟐𝟓𝟔𝟐𝟓] + [𝟎, 𝟐𝟐𝟕𝟓]=𝟐𝟗, 𝟓𝟕𝟓

𝟎, 𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓=𝟗𝟒𝟔𝟒

𝟑𝟎𝟓= 𝟑𝟏, 𝟎𝟐𝟗𝟓 ≈ 𝟑𝟐


𝒌 =𝑵

𝒏=𝟏𝟑𝟎

𝟑𝟐=𝟔𝟓

𝟏𝟔= 𝟒, 𝟎𝟔𝟐𝟓 ≈ 𝟒

Si bien en estadística siempre redondeamos al mayor valor, en el caso del cálculo de la “k” se utiliza el enfoque matemático. Ahora tomamos un número aleatorio entre los primeros 4 número en nuestro caso fue el 2. O sea, la segundo observación que nos va a servir como punto de partida y primer valor.

Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo



Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo



Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo 𝑺𝒊 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝟗𝟓% = 𝟎, 𝟗𝟒𝟗𝟓 ≅ 𝟎, 𝟗𝟓 → 𝑽𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓: 𝒁 = 𝟏, 𝟔𝟒

𝟎, 𝟗𝟒𝟗𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟎(𝒍𝒂 𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝟓𝟎%) = 𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓 → 𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓(𝟑𝟐) = 𝟏𝟒 𝒑 = 𝟎,𝟒𝟒𝟗𝟓(𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓) Hacemos el estudio de las variables cualitativas de los treinta dos datos y tenemos que la proporción de clientes que estuvo satisfecha (positivo) fue el 0,4495, o sea 14 de 32 encuestados. Ahora vamos a hallar el intervalo de confianza.

a) Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional:

𝑰.𝑪: 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 → 𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝒔𝒑

b) Estimación del error estándar de las proporciones muestrales:

𝒔𝒑 = √𝒑(𝟏 − 𝒑)

𝒏 ; 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆. 𝒏 < 𝟎, 𝟎𝟓𝑵

𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒔 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 (𝒁) 𝒚 𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏( 𝒕).

𝒔𝒑 = √𝒑(𝟏 − 𝒑)

𝒏= √

𝟎, 𝟔𝟓(𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟓)

𝟑𝟐= √

𝟎, 𝟐𝟐𝟕𝟓

𝟑𝟐= 𝟎, 𝟎𝟖𝟒𝟑

𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝒔𝒑 = (𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓) ± (𝟏, 𝟔𝟒)(𝟎, 𝟎𝟖𝟒𝟑) = (𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓) ± (𝟎, 𝟏𝟑𝟖𝟑) → 𝟎, 𝟑𝟏𝟏𝟐 ≤ 𝝅 ≤ 𝟎, 𝟓𝟖𝟕𝟖

𝟎, 𝟑𝟏𝟏𝟐 ≤ 𝝅 ≤ 𝟎, 𝟓𝟖𝟕𝟖 Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se pudieron haber seleccionado la proporción de clientes que creen que el cambio fue positivo está entre 0,3112 y 0,5878.


Muestreo Estratificado. Es sin duda alguna uno de los tipos de muestreo más importante, se utiliza mucho en las investigaciones de mercado en la parte de segmentación. Este tipo de muestreo se utiliza cuando nos interesa el peso de una determinada parte del mercado. En palabras más sencillas cuando tenemos que segmentar la muestra en varias submuestras. Muestreo Estratificado cuando nos interesa calcular la media poblacional. Fórmulas:

𝒏 =(∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊)

𝟐

𝑵𝟐 ∗ 𝑫 + ∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊𝟐 ; 𝒏𝒊 = 𝒏(

𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊

)

Evidentemente lo vas a comprender mejor con un ejemplo. Disfrútalo. Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar la media poblacional.

EJEMPLO#361 La cadena de tiendas de ropas deportivas YO SOY, necesita saber el promedio de gasto que tienen los hombres y las

mujeres de la UAGRM para decidir qué tipo de publicidad se va a lanzar. Es sabido que la Universidad tiene 8000 estudiantes y de estos 6000 son mujeres. Se hizo una prueba piloto que demostró que el gasto en ropa deportiva máximo en el caso de los hombres es de 50 $us en promedio por mes y el mínimo de cero, que son las personas que no gastan nada en ropa deportiva. En el caso de las mujeres la que más gasta en ropa deportiva es 150 dólares y evidentemente hay chicas que no usan ropa deportiva. ¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para estimar el promedio de gasto en ropa deportiva por mes conociendo que el límite para el error de estimación es de 10 dólares? SOLUCIÓN: Es evidente que en este caso debe de utilizarse el muestreo estratificado debido a que los hombres y las mujeres forman dos grupos de consumidores completamente diferentes. En este caso no nos dan la desviación estándar ni la varianza de la población pero nos dan el Rango, por propiedad estadística podemos decir que la desviación estándar es el rango Dividido entre 4. Rango de Gasto de hombres (50 dólares) Rango de Gasto de Mujeres (150 dólares)

𝝈 → 𝝈 (𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔) =𝟓𝟎

𝟒 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝝈 → 𝝈 (𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔) =

𝟏𝟓𝟎

𝟒= 𝟑𝟕, 𝟓 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔.

∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊 = (𝟐𝟎𝟎𝟎𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔)(𝟏𝟐,𝟓) + (𝟔𝟎𝟎𝟎𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔)(𝟑𝟕,𝟓) = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎+ 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔: 𝒏𝒊 = 𝒏(𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊

) ⟹ 𝒏(𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔) = (𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊

) = (𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎) =

𝟏

𝟏𝟎= 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎%

𝑴𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔: 𝒏𝒊 = 𝒏(𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊

) ⟹ 𝒏(𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔) = (𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊

) = (𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎) =

𝟗

𝟏𝟎= 𝟎,𝟗𝟎 = 𝟗𝟎%

Por lo tanto n1 = 0,1 y n2= 0,9 Ahora para encontrar n debemos calcular las siguientes cantidades.

∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊𝟐 = (𝟐𝟎𝟎𝟎)[(𝟏𝟐,𝟓)𝟐] + (𝟔𝟎𝟎𝟎)[(𝟑𝟕, 𝟓)𝟐] = 𝟑𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎 + 𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎 = 𝟖𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑫 =

𝑩𝟐

𝟒=𝟏𝟎𝟐

𝟒=𝟏𝟎𝟎

𝟒= 𝟐𝟓

𝒏 =(∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊)

𝟐

𝑵𝟐 ∗ 𝑫 +∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊𝟐=

(𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐

(𝟖𝟎𝟎𝟎)𝟐 ∗ 𝟐𝟓 + 𝟖𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟑𝟖, 𝟖𝟓𝟎𝟎 ≈ 𝟑𝟗

𝒏 = 𝟑𝟗 𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏.

𝒏(𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔) = 𝒏 ∗ 𝒏𝟏 = 𝟑𝟗 ∗ 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟑,𝟗 ≈ 𝟒

𝒏(𝒉𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔) = 𝒏 ∗ 𝒏𝟐 = 𝟑𝟗 ∗ 𝟎, 𝟗𝟎 = 𝟑𝟓,𝟏 ≈ 𝟑𝟓 = 𝟑𝟗 (𝒍𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒂 𝟒 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝒂 𝟑𝟓 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔)

Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar una proporción poblacional.

EJEMPLO#362 En una encuesta de televisión una empresa publicitaria planea utilizar entrevistas por teléfono. Los tamaños de los estratos

son N1= 155, N2= 62 y N3 = 93. Que representan la cantidad de viviendas que hay en cada una de los tres barrios de la Ciudad. Los resultados de encuestas anteriores muestran que en el barrio uno ven el programa el 35% de los habitantes, en el 2 un 40% y en el tres un 60%, con un límite para el error de estimación de 0,10 .Calcular el tamaño de la muestra. SOLUCIÓN:

𝒑𝟏 = 𝟎,𝟑𝟓 ; 𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟎 ; 𝒑𝟑 = 𝟎, 𝟔𝟎; 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝒒𝟏 = 𝟎, 𝟔𝟓; 𝒒𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟎; 𝒒𝟑 = 𝟎,𝟒𝟎 ∑𝑵𝒊 = 𝟏𝟓𝟓 + 𝟔𝟐+ 𝟗𝟑 = 𝟑𝟏𝟎

𝒏𝟏 = 𝒏(𝑵𝟏∑𝑵𝒊

) ⟹ 𝒏 =𝑵𝟏𝑵=𝟏𝟓𝟓

𝟑𝟏𝟎= 𝟎, 𝟓𝟎; 𝒏𝟐 = 𝒏(

𝑵𝟐∑𝑵𝒊

) ⟹ 𝒏 =𝑵𝟐𝑵=𝟔𝟐

𝟑𝟏𝟎= 𝟎, 𝟐𝟎;𝒏𝟑 = 𝒏(

𝑵𝟑∑𝑵𝒊

) ⟹ 𝒏 =𝑵𝟑𝑵=𝟗𝟑

𝟑𝟏𝟎= 𝟎, 𝟑𝟎

∑𝑵𝒊 ∗ 𝒑𝒊 ∗ 𝒒𝒊 = (𝟏𝟓𝟓)(𝟎, 𝟑𝟓)(𝟎, 𝟔𝟓) + (𝟔𝟐)(𝟎,𝟒)(𝟎, 𝟔) + (𝟗𝟑)(𝟎, 𝟔)(𝟎, 𝟒) = 𝟑𝟓, 𝟐𝟔𝟐𝟓 + 𝟏𝟒, 𝟖𝟖 + 𝟐𝟐,𝟑𝟐 = 𝟕𝟐,𝟒𝟔𝟐𝟓 ≅ 𝟕𝟐,𝟒𝟔

𝑫 =𝑩𝟐

𝟒=(𝟎, 𝟏)𝟐

𝟒= 𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟓 → 𝑵𝑫 = 𝟑𝟏𝟎(𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟕𝟕𝟓

𝒏 =∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊 ∗ 𝒑𝒊

(𝑵 ∗ 𝑫) +𝟏𝑵(∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊 ∗ 𝒑𝒊)

=𝟕𝟐, 𝟒𝟔

(𝟎, 𝟕𝟕𝟓) +𝟏𝟑𝟏𝟎

(𝟕𝟐, 𝟒𝟔)=

𝟕𝟐, 𝟒𝟔

𝟎, 𝟕𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟕=𝟕𝟐, 𝟒𝟔

𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟕= 𝟕𝟏, 𝟖𝟑𝟓𝟎 ≈ 𝟕𝟐

𝒏𝟏 = 𝟕𝟐(𝟎, 𝟓𝟎) = 𝟑𝟔; 𝒏𝟐 = 𝟕𝟐(𝟎, 𝟐𝟎) = 𝟏𝟒; 𝒏𝟑 = 𝟕𝟐(𝟎, 𝟑𝟎) = 𝟐𝟐 Respuesta: en total hay que seleccionar 72 familias, 36 familias del barrio1; 14 familias del barrio2; y 22 familias del barrio 3.


ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS

E INTERVALOS DE

CONFIANZA


Estimación por Intervalos de Confianza.

Usted se habrá preguntado. ¿Por qué se llama Estadística Inferencial?, ¿Qué es inferir?, ¿De qué se tratará la Unidad?, bueno, esta es una de las partes más lindas y apasionantes de la Estadística Inferencial, los intervalos de confianza como su nombre lo dice son aproximaciones reales que otorgamos a la población según los valores seleccionados en la muestra. Es importante dividir este estudio en dos, primero en el caso de las muestras grandes. (Mayores de 30) y por segundo las muestras pequeñas (menores que 30) todo esto vamos a explicarlo muy fácilmente en este capítulo de nuestra guía. Como tal Inferencial viene de inferir, generalizar, ejemplo, si se realizó una encuesta a 300 estudiantes de la Universidad con la intención de conocer la aceptación del nuevo método de inscripciones por internet, en el estudio se mostró que el 40% estaba satisfecho con el método y un 60% no, por lo tanto inferimos que toda la universidad piensa lo mismo. Este proceso que hemos hecho tan fácilmente tiene su grado de complejidad que vamos a desmenuzar en esta parte de la guía. Pautas para que un intervalo de confianza funcione. 1.- Para que tenga validez el intervalo de confianza la encuesta debe estar hecha por muestreo. 2.- Los intervalos como su nombre lo dice son infinitos valores entre un rango no un valor específico.

Intervalo de confianza para hallar una media poblacional (𝝁), cuando conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a 30 datos.

La única forma de hallar “𝝁” media poblacional, es trabajando un censo, como no podemos trabajar con censos en la mayoría de las ocasiones por su elevado costo tomamos una muestra, los resultados de la muestra debemos inferirlos a la población mediante un intervalo de confianza. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA O DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES, AL NIVEL DE (𝟏−∝) CONFIABILIDAD. POBLACIONES INFINITAS O MUY GRANDES:

𝝁 = ± 𝒁∝𝟐∗ (𝝈

√𝒏) ; 𝒁 =

− 𝝁𝝈

√𝒏

; (𝑺𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆); 𝝁 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐, 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 ; 𝝈 = 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝒏 = 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂; = 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒁 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒂𝒅𝒂𝒓.


INTERVALOS DE CONFIANZA PARA ESTIMAR 𝝁 CUANDO 𝝈 ES CONOCIDO:

𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓: 𝝁 = ± 𝒁 ∗ 𝝈 → 𝝁 = ± 𝒁 ∗ (𝝈

√𝒏) ; 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗. 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂.

EJEMPLO#363 Se tomó una encuesta de 100 personas en Santa Cruz para estimar la demanda de pantalones jeans, los datos mostraron un

promedio de gasto anual en estas prendas de 150 dólares. Estudios anteriores mostraron una varianza poblacional de 81 dólares. Estime con los datos de esta muestra los valores de la población con un 95% de confiabilidad. SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔; = 𝟏𝟓𝟎 $𝒖𝒔 ; 𝝈𝟐 = 𝟖𝟏 $𝒖𝒔; 𝝈 = √𝟖𝟏 = 𝟗; 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝟗𝟓%(𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒁 = 𝟏, 𝟗𝟔) 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔:𝒑 = 𝟗𝟓% (𝟏−∝), 𝒆𝒍 ∝ 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟐: 𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒚 𝒂𝒔𝒊 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒁 = 𝟏,𝟗𝟔 Como podemos ver en los datos del problema nos dan la Varianza, que hallándole la raíz podemos tener la desviación estándar, también

tenemos el tamaño de la muestra, solo nos faltaría el valor del estadígrafo “𝒁”, que ya aprendimos a buscarlos en el capítulo de

Distribuciones de probabilidad. Como podemos ver nos piden un 95% de confiabilidad, por lo tanto buscamos en la tabla el valor de “𝒁” con un 95% de confiabilidad y tenemos que es 1,96 luego sustituimos y lo demás es una simple operación matemática.

−𝒁 ∗ (𝝈

√𝒏) ≤ 𝝁 ≤ + 𝒁 ∗ (

𝝈

√𝒏)↔ 𝟏𝟓𝟎− (𝟏,𝟗𝟔) ∗ (

𝟗

√𝟏𝟎𝟎) ≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟓𝟎+ (𝟏,𝟗𝟔) ∗ (

𝟗

√𝟏𝟎𝟎) ; ∝

𝟐= 𝟎,𝟎𝟐𝟓 → (𝟏− 𝟎,𝟎𝟐𝟓) = 𝟎,𝟗𝟕𝟓

𝟏𝟓𝟎− (𝟏,𝟗𝟔) ∗ (𝟗

𝟏𝟎) ≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟓𝟎+ (𝟏,𝟗𝟔) ∗ (

𝟗

𝟏𝟎)↔ 𝟏𝟒𝟖, 𝟐𝟑𝟔𝟎 ≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟓𝟏, 𝟕𝟔𝟒

Interpretación: Estamos seguros que en el 95% de todas las posibles muestras que se pudieron haber obtenido en la población, los valores

de la media oscilan entre 𝟏𝟒𝟖, 𝟓𝟐𝟒𝟎 ≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟓𝟏, 𝟒𝟕𝟔𝟎 dólares.

EJEMPLO#364 La lectura de una muestra aleatoria mostraron una media de 174,5 cm y una desviación estándar de 6,9 cm. Determine un

intervalo de confianza del 98% para la altura promedio de todos los estudiante, se tomaron a 50 estudiantes. SOLUCIÓN:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏 = 𝟓𝟎 ; = 𝟏𝟕𝟒, 𝟓 ; 𝝈 = 𝟔, 𝟗; 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝟗𝟖%

𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔:𝒑 = 𝟗𝟖% (𝟏−∝) = 𝟎, 𝟗𝟗 𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒚 𝒂𝒔𝒊 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒁 = 𝟐,𝟑𝟑

−𝒁 ∗ (𝝈

√𝒏) ≤ 𝝁 ≤ + 𝒁 ∗ (

𝝈

√𝒏)↔ 𝟏𝟕𝟒, 𝟓− (𝟐,𝟑𝟑) ∗ (

𝟔,𝟗

√𝟓𝟎)≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟕𝟒, 𝟓+ (𝟐,𝟑𝟑) ∗ (

𝟔,𝟗

√𝟓𝟎)↔ 𝟏𝟕𝟐,𝟐𝟐𝟔𝟒 ≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟕𝟔,𝟕𝟕𝟑𝟔

𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓: 𝒆 = ±𝒁 ∗ (𝝈

√𝒏)↔±𝟐,𝟐𝟕𝟑𝟔


Intervalo de confianza para hallar una media poblacional (𝝁), cuando “NO” conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a 30 datos. En caso de que no conociéramos el valor de la varianza poblacional, tomamos la de la muestra.

Intervalo de confianza para estimar 𝝁 cuando 𝝈 es desconocida:

𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝝁 = ± 𝒁 ∗ 𝑺 ; 𝑺 =𝑺

√𝒏

EJEMPLO#365 Usted es el jefe de personal de la fábrica de caramelos “Dulcete” que tiene sus instalaciones a las afueras de la Ciudad de

Santa Cruz, en este momento la empresa tiene un buen posicionamiento en el mercado cruceño, datos de nuestros socios de negocio indican que dos empresas del mismo rubro de la Argentina van a incursionar en el mercado local, hace falta investigar el mercado de los caramelos en Santa Cruz completa, teniendo en cuenta que los niños de 3 a 11 años son el 90% de nuestros clientes se los va a tomar como población objetivo. Se visitan 100 colegios y se hace una encuesta a 15000 estudiantes mostrando un promedio de gasto de 40 bolivianos por mes. Con un valor máximo de compra de 85 bolivianos y un mínimo de 5 bolivianos. Calcular el intervalo de confianza que muestra los datos de toda la población de niños de Santa Cruz con un 95% de confianza. SOLUCIÓN: Como podemos ver tenemos el valor del Rango, que sería (85 – 5), en este caso 80 bolivianos, la teoría estadística muestra que el Rango dividido entre 4 es la Desviación Estándar. En este caso 80/4= 20. El valor de “Z” para un 90% de confianza es 1,65.

𝝁 = ± 𝒁 ∗ 𝑺 = ± 𝒁 ∗ 𝑺 =𝑺

√𝒏= 𝟒𝟎 ± (𝟏, 𝟔𝟒) ∗

𝟐𝟎

√𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎= 𝟒𝟎 ± (𝟏, 𝟔𝟓) ∗

𝟐𝟎

√𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎= 𝟒𝟎 ± 𝟎, 𝟐𝟔𝟗𝟒 →

𝝁𝟏 = 𝟒𝟎, 𝟐𝟔𝟗𝟒𝝁𝟐 = 𝟑𝟗, 𝟕𝟑𝟎𝟔

𝟑𝟗, 𝟕𝟑𝟎𝟔 ≤ 𝝁 ≤ 𝟒𝟎, 𝟐𝟔𝟗𝟒

Interpretación: Estamos seguros que en el 95% de todas las posibles muestras que se pudieron haber obtenido en la población, los valores de la media oscilan entre 39,7322 y 40,2678 Bs.

Intervalo de confianza en muestras pequeñas. (Distribución “t”) Anteriormente trabajamos con muestras grande (≥30); pero hay casos en que no se puede trabajar con este tipo de muestras, ejemplo. Si usted es el encargado de probar la seguridad de los autos Toyota y para realizar su prueba tiene que chocar un auto contra un muro, le garantizo que no va a chocar 30 autos o más. En estos casos que tenemos muestras pequeñas trabajamos con la distribución “t” de student. Fórmula: Intervalo de confianza para estimar la media poblacional para muestras pequeñas:

𝑰. 𝑪 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝝁 = ± (𝒕)(𝑺) = ± 𝒕 ∗𝑺

√𝒏

EJEMPLO#366 El promedio de ventas que debe tener la sucursal de “Ford” en Bolivia es de 100000 al mes para dólares por mes para cubrir

sus costos de producción y mantenimiento de la empresa. Usted ha sido contratado como asesor e investigador de mercado y tiene que sugerirle al gerente general ¿Qué hacer con la situación de la empresa?, ya que con menos de 100000 dólares al mes no puede seguir operando. Los datos de los últimos 7 meses muestran un ingreso promedio de 90675 dólares y una desviación estándar de 5000 dólares. Con un 99% de confiabilidad ¿Qué consejo profesional le diría al gerente general? SOLUCION: El valor de “t” para un 99% de confianza es 3,1427 y los grados de libertad son 7-1=6

𝝁 = ± (𝒕)(𝑺) = ± 𝒕 ∗𝑺

√𝒏= (𝟗𝟎𝟔𝟕𝟓) ± (𝟑, 𝟐𝟒𝟐𝟕) ∗

𝟓𝟎𝟎𝟎

√𝟕= (𝟗𝟎𝟔𝟕𝟓) ± 𝟓𝟗𝟑𝟗, 𝟏𝟒𝟒𝟕 →

𝝁𝟏 = 𝟗𝟔𝟔𝟏𝟒, 𝟏𝟒𝟒𝟕𝝁𝟐 = 𝟖𝟒𝟕𝟑𝟓, 𝟖𝟓𝟓𝟑

𝟖𝟒𝟕𝟑𝟓, 𝟖𝟓𝟓𝟑 ≤ 𝝁 ≤ 𝟗𝟔𝟔𝟏𝟒, 𝟏𝟒𝟒𝟕 En este caso, podemos aconsejarle al gerente que cierre la empresa por que los resultados muestran que con un 99% de confiabilidad las ventas están entre 84735,8553 y 96614,1447 dólares que no cubren el costo de producción.

Intervalo de Confianza para hallar una proporción poblacional En el caso de las proporciones a diferencia de las medias siempre vamos a utilizar “Z”, no importa que sean muestras grandes ó pequeñas. Fórmula: Estimación del error estándar de distribución de las proporciones muestrales:

𝑺𝒑 = √𝒑(𝟏 − 𝒑)

𝒏= √

𝒑 ∗ 𝒒

𝒏

Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional:

𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝑺𝒑

EJEMPLO#367 Usted es el jefe de campaña del candidato “Julio Vargas” para las elecciones municipales, en la encuesta que usted tomó a

1000 ciudadanos con su grupo de trabajo, el candidato tenía el 40% de los votos, teniendo en cuenta un 95% de confiabilidad y teniendo en cuenta que para ganar la elección se requiere el 36,85% de los votos, ¿Qué le diría al candidato? SOLUCION: Como vemos p= 0,4 q= 0,6 n= 1000 y “Z” para un 95% de confianza es 1,96.

𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝑺𝒑 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ √𝒑 ∗ 𝒒

𝒏= 𝟎,𝟒𝟎 ± 𝟏, 𝟗𝟔 ∗ √

𝟎, 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟔

𝟏𝟎𝟎𝟎= 𝟎, 𝟒𝟎 ± 𝟎, 𝟎𝟑 →

𝝅𝟏 = 𝟒𝟑%𝝅𝟐 = 𝟑𝟕%

𝟑𝟕% ≤ 𝝅 ≤ 𝟒𝟑% Respuesta) Puede decirle al candidato que está tranquilo que estamos seguros que en un 95% de todas las posibles muestras que se

pudieron haber tomado, el candidato aparece como ganador. ¡¡Felicidades!!.


RESUMIENDO LAS FORMULAS:

𝒂) 𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓: 𝝁 = ± 𝒁 ∗ 𝝈 → 𝝁 = ± 𝒁 ∗ (𝝈

√𝒏) ; 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝝁

𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝈 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐.

𝒃) 𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓: 𝝁 = ± 𝒁 ∗ 𝑺 → 𝝁 = ± 𝒁 ∗ (𝑺

√𝒏) ; 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝝁

𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝈 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐.

𝒄)𝑰. 𝑪 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝝁 = ± (𝒕)(𝑺) = ± 𝒕 ∗𝑺

√𝒏 ; 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒂𝒔.

𝒅) 𝝈𝟐 =𝒏 − 𝟏

𝒏 − 𝟑; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕,

𝒆) 𝑺𝒑 = √𝒑(𝟏 − 𝒑)

𝒏= √

𝒑 ∗ 𝒒

𝒏 ; 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔

𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔.

𝒇) 𝝈𝒑 = √𝝅(𝟏 − 𝝅)

𝒏 ; 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔

𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔. ; 𝝅 = 𝒑𝒊 = 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍.

𝒈) 𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝑺𝒑 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍.

Cuando se va a estimar proporciones poblacionales siempre se trabaja con (Z).

EJEMPLO#368 Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia a la tensión. Se prueban 50 piezas de cada tipo de cuerda

bajo condiciones similares, la marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 78,3 Kg, mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de 87,2 Kg. Se sabe de antemano que las desviaciones poblacionales son de 6,5 Kg para la marca A y 6,3 Kg para la B. determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias. SOLUCION: Estimación de la diferencia de medias poblacionales con desviaciones poblacionales conocidas:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟓𝟎 ; 𝟏 = 𝟕𝟖,𝟑 ; 𝟐 = 𝟖𝟕,𝟐 ; 𝝈𝟏 = 𝟔, 𝟓 ; 𝝈𝟐 = 𝟔, 𝟑 ; 𝑵𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒆𝒔 𝟗𝟓% 𝒁 = 𝟏, 𝟗𝟔

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂: 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 = (𝟏 − 𝟐) ± 𝒁∝𝟐∗ √𝝈𝟏𝟐

𝒏𝟏+𝝈𝟐𝟐

𝒏𝟐= (𝟏 − 𝟐) ± 𝒆 ; ± 𝒆 = 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓

𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 = (𝟏 − 𝟐) ± 𝒁∝𝟐∗ √𝝈𝟏𝟐

𝒏𝟏+𝝈𝟐𝟐

𝒏𝟐= (𝟕𝟖, 𝟑 − 𝟖𝟕, 𝟐) ± (𝟏, 𝟗𝟔) ∗ √

(𝟔, 𝟓)𝟐

𝟓𝟎+(𝟔, 𝟑)𝟐

𝟓𝟎= (−𝟖, 𝟗) ± (𝟏, 𝟗𝟔) ∗ √𝟏, 𝟔𝟑𝟖𝟖 =

𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 = (−𝟖, 𝟗) ± (𝟏, 𝟗𝟔) ∗ √𝟏, 𝟔𝟑𝟖𝟖 = (−𝟖, 𝟗) ± 𝟐, 𝟓𝟎𝟗𝟏 ⟹ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 = −𝟔, 𝟑𝟗𝟎𝟗 −𝟏𝟏, 𝟒𝟎𝟗𝟏

𝒚 𝒆𝒍 ± 𝒆 = 𝟐, 𝟓𝟎𝟗𝟏

EJEMPLO#369 Una compañía que fabrica pastelillo desea estimar la proporción de consumidores es que prefieren su marca. Los agentes de

la compañía observan a 450 compradores, del número total observado 300 compraron los pastelillos. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la venta de la proporción de compradores que prefieren en la marca de esta compañía.

𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝑺𝒑 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ √𝒑 ∗ 𝒒

𝒏=𝟑𝟎𝟎

𝟒𝟓𝟎± 𝟏,𝟗𝟔 ∗

√𝟑𝟎𝟎𝟒𝟓𝟎

∗𝟏𝟓𝟎𝟒𝟓𝟎

𝟒𝟓𝟎=𝟐

𝟑± 𝟎, 𝟎𝟒 →

𝝅𝟏 = 𝟕𝟏%𝝅𝟐 = 𝟔𝟑%

La de manda del producto fluctúa entre 63% que sería lo mínimo y 71% que sería lo máximo.


EJEMPLO#370 Un fabricante de pintura necesita por efecto de calidad del producto, el tiempo promedio de secado de una pintura nueva

para exteriores. Si en 42 áreas de prueba de tamaño igual, se obtuvo un tiempo promedio de secado de 30,2 minutos y una desviación estándar de 1, 1 minutos, ¿Cuál será el tiempo promedio real de secado, con un 95% de confiabilidad? SOLUCION:

Necestamos un intervalo de confianza para 𝝁. Desviacion estandar poblacional 𝝈 desconocida.

Tamaño de la muestra mayor de 30. Su formula es: − 𝒁𝟏−∝𝟐

∗ (𝑺

√𝒏) < 𝝁 < + 𝒁𝟏−∝

𝟐

∗ (𝑺

√𝒏)

Parámetros muestrales:

Tamaño de la muestra(𝒏 = 𝟒𝟐); Media muestral( = 𝟑𝟎, 𝟐); Desviacion estandar muestral (𝑺 = 𝟏, 𝟏);

Para hallar el valor de Z⟹𝒁𝟏−∝𝟐

aunque la desviacion estandar poblacional es desconocida, el tamaño de la muestra es mayor a 30.

Con un nivel de confianza del 95%, tamaño de la muestra n=42.

Tenemos nivel de confianza (𝟏−∝) = 𝟎,𝟗𝟓

Despejamos el nivel de error ∝= 𝟎, 𝟎𝟓

Hallamos a ∝

𝟐=𝟎,𝟎𝟓

𝟐= 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔: (𝟏 −

∝

𝟐) = 𝟏 − 𝟎,𝟎𝟎𝟓 = 𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂:𝒁𝟎,𝟗𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟗𝟔

Con todos los datos, procedemos a reemplazar en la formula:

− 𝒁𝟏−∝𝟐∗ (𝑺

√𝒏) < 𝝁 < + 𝒁

𝟏−∝𝟐∗ (𝑺

√𝒏) ↔ 𝟑𝟎, 𝟐 − 𝟏, 𝟗𝟔 ∗ (

𝟏, 𝟏

√𝟒𝟐) < 𝝁 < 𝟑𝟎, 𝟐 + 𝟏, 𝟗𝟔 ∗ (

𝟏, 𝟏

√𝟒𝟐) ↔ 𝟐𝟗, 𝟖𝟔𝟕𝟑 < 𝝁 < 𝟑𝟎, 𝟓𝟑𝟐𝟕

EJEMPLO#371 El director de la JVH de Educación elige al azar a 16 alumnos de pregrado que están matriculados en el curso Estadística II a

la Educación y que asisten regularmente, con el objetivo de conocer si han comprendido el uso y la importancia de la estimación de parámetros mediante intervalo de confianza. Las calificaciones obtenidas mediante una prueba pertinente (escala vigesimal) tiene

distribución normal con 𝝈𝟐 = 𝟕, 𝟒𝟑. El director desea saber cuánto es la calificación promedio para todos los alumnos que están matriculados en el curso mencionado. Las calificaciones obtenidas de los 16 alumnos son: 17 13 14 15 13 17 13 8 12 16 15 10 11 13 15 9. SOLUCION:


PRUEBA DE

HIPÓTESIS


Ensayo de hipótesis

Una hipótesis estadística o simplemente hipótesis es una afirmación o aseveración sobre el valor de un solo parámetro (característica de una población o característica de una distribución de probabilidad), sobre los valores de varios parámetros o sobre la forma de una distribución de probabilidad completa. OBJETIVOS

Interpretar las definiciones básicas de las hipótesis estadísticas.

Resolver problemas de aplicación a la economía. HIPOTESIS ESTADISTICAS En muchos problemas de ciencia, ingeniería, contabilidad y administración, se requiere que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de HIPÓTESIS, y el procedimiento de toma de decisión sobre la hipótesis se conoce como PRUEBA DE HIPÓTESIS. Este es uno de los aspectos más útiles de inferencia estadística, puesto que muchos tipos de toma de decisiones, pruebas o experimentos pueden formularse como problemas de pruebas de hipótesis. Es conveniente considerar la prueba de hipótesis como un experimento de comparación, es decir una vez planteada la hipótesis, hay que volver a plantearla de tal forma que se pueda comparar a través de métodos estadísticos.

HIPOTESIS NULA Ho Se denomina así a toda hipótesis que tiene el único propósito de ser rechazada o aceptada. Siempre viene dada en forma de igualdad y se denota por Ho. Es la pretensión que inicialmente se supone cierta (la pretensión de “creencia verdadera”). Por ejemplo:

a). El 45.5 % de los estudiantes de comunicación y medios, fuma. b). Un dentista reclama que el 5% de sus pacientes sufren enfermedades en las encías.

HIPOTESIS ALTERNATIVA H1 Toda hipótesis que difiera de una dada recibe este nombre. Se denota por H1. Afirmación que se aceptará si los datos muéstrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa. Es la aseveración contradictoria de H0.

NIVEL DE SIFNIFICACION Es una región crítica o de rechazo es una parte de la curva de z o de la curva t donde se rechaza H0

ERROR DE TIPO I Es el error que se comete cuando se rechaza una hipótesis nula Ho cuando esta sea verdadera.

ERROR DE TIPO II Es el error que se comete cuando se acepta una hipótesis nula Ho cuando esta es falsa. La hipótesis nula será rechazada a favor de la hipótesis alternativa solo si la evidencia muestral sugiere que H0 es falsa. Si la muestra no contradice fuertemente a H0, se continuara creyendo en la factibilidad de la hipótesis nula. Las dos posibles conclusiones derivadas de un análisis de prueba de hipótesis son entonces rechazar H0 o no rechazar H0. La situación se puede esquematizar:

H0 cierta H0 falsa

H0 rechazada Error tipo I () Decisión correcta

H0 se acepta Decisión correcta Error tipo II () Si la probabilidad de cometer un error de tipo I está unívocamente determinada, su valor se suele denotar por la letra griega 𝜶, y en las

mismas condiciones, se denota por 𝜷 la probabilidad de cometer el error de tipo II, esto es:

𝑷(𝒆𝒔𝒄𝒐𝒈𝒆𝒓 𝑯𝟏\𝑯𝟎 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂) =∝

𝑷(𝒆𝒔𝒄𝒐𝒈𝒆𝒓 𝑯𝟎\𝑯𝟏 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂) = 𝜷

Cuando es necesario diseñar un contraste de hipótesis, sería deseable hacerlo de tal manera que las probabilidades de ambos tipos de error

fueran tan pequeñas como fuera posible. Sin embargo, con una muestra de tamaño prefijado, disminuir la probabilidad del error de tipo I, 𝜶,

conduce a incrementar la probabilidad del error de tipo II, 𝜷.

Usualmente, se diseñan los contrastes de tal manera que la probabilidad 𝜶 sea el 5% (0,05), aunque a veces se usan el 10% (0,1) o 1% (0,01)

para adoptar condiciones más relajadas o más estrictas. El recurso para aumentar la potencia del contraste, esto es, disminuir 𝜷, probabilidad de error de tipo II, es aumentar el tamaño muestral, lo que en la práctica conlleva un incremento de los costes del estudio que se quiere realizar. CONTRASTE DE HIPOTESIS DE MEDIAS Al realizar el contraste de hipótesis se presentan varias situaciones, nosotros estudiaremos la prueba de hipótesis usando la distribución normal, t-student y de proporciones.


¿Cómo escoger el estadístico de prueba a usar? Cuando se hace una prueba para la media poblacional de una muestra grande y se conoce la desviación estándar, el estadístico de prueba está dado por:

𝒁 = − 𝝁𝝈

√𝒏

Aquí 𝝈 es desconocida, así que se estimará con la desviación estándar de la muestra 𝑺. Siempre que el tamaño de muestra n sea mayor a 30, Z puede aproximarse con:

𝒁 = − 𝝁

𝑺

√𝒏

En la prueba para una media poblacional con muestra pequeña (menor o igual a 30) y desviación estándar poblacional desconocida se utiliza el valor estadístico t.

𝒕 = − 𝝁

𝑺

√𝒏

Al realizar la prueba podremos realizar un gráfico que nos ayude a realizar la comparación. Este gráfico estará dividido en 2 zonas:

Se presentan 3 gráficos posibles:

Al realizar la prueba se deberá seguir los siguientes pasos:


EJEMPLO#372 El consumo de un automóvil en km/lts tiene distribución normal con un desvío 0,8 km/lts Con el objeto de estimar el

consumo medio de gasolina se realizaron 40 pruebas, obteniéndose un rendimiento medio de 12,8 km/litro Si el fabricante afirmo que su rendimiento medio es de 12,4 km/litro, ¿puede rechazarse esta hipótesis a un nivel de significancia del 5%? Exprese la regla de decisión en términos de la media muestral. SOLUCION: PASO 1: Definir juego de Hipótesis

Ho: = 12,4

H1 : ≠ 12,4 PASO 2: Nivel de Significancia

𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟓 ∝= 𝟎,𝟎𝟓 (debido a que es una prueba de dos colas se divide entre dos) 0,05/2 = 0,025

0,95+0,025 = 0,975 Este es el número que buscamos en la tabla de Z⟹0,975 = 1,96 PASO 3: Calcular estadístico de prueba: Debido a que si conocemos la desviación estándar utilizaremos la siguiente formula:

𝒁 = − 𝝁𝝈

√𝒏

=𝟏𝟐,𝟖 − 𝟏𝟐, 𝟒

𝟎, 𝟖𝟎

√𝟒𝟎

=𝟎,𝟒𝟎

𝟎, 𝟖𝟎

√𝟒𝟎

=𝟎,𝟒𝟎

𝟎, 𝟖𝟎𝟔, 𝟑𝟐

=𝟐, 𝟓𝟐𝟖

𝟎, 𝟖𝟎= 𝟑, 𝟏𝟔 𝒁𝒄 → (𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒐 𝟑,𝟏𝟔)

PASO 4: Formular Regla de decisión: Si H0<H1 se acepta H0, 1,96<3,16 cumple la condición se acepta H0. aceptaremos Ho si Zc es ≠ al valor crítico y aceptamos H0 ; Valor critico se saca de la tabla si P=0,975 entonces Z=1,96 PASO 5: TOMAR LA DECISIÓN ¡ SE ACEPTA ¡ H0, Debido a que 3,16 es diferente a 1,96 y se acepta H0

EJEMPLO#373 Un semillero publicita que el peso promedio de una espiga de una cierta variedad es de 180 gramos con una desviación

estándar de 30 gramos. Un productor de avanzada sospecha que el peso es distinto de 180 gramos, decide por lo tanto conducir un experimento. Tamaño de la muestra 50, y media muestral fue 187 gramos.

El propósito del mismo es ver si el peso de 180 gramos es incorrecto. Por lo tanto la hipótesis nula de interés es: H0 : = 180 gramos. La hipótesis alternativa (H1) da una suposición opuesta a aquella presentada en la hipótesis nula. El experimento se lleva a cabo para conocer si la hipótesis alternativa puede ser sustentada. En el ejemplo previo el productor sospecha que el peso medio es distinto de 180 gramos. Esta es la hipótesis a ser sustentada y así la hipótesis alternativa es:

𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟏𝟖𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 ó 𝝁 < 𝟏𝟖𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 ó 𝝁 ≠ 𝟏𝟖𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 Se puede ver que las hipótesis son excluyentes. La hipótesis alternativa frecuentemente se llama hipótesis de investigación, porque este tipo de hipótesis expresa la teoría que el investigador o experimentador cree va a ser verdadera.

Para el ejemplo si la media fuera menor que 180 gr o mayor que 180 gr esta sustentaría la hipótesis alternativa ( ≠ 𝟏𝟖𝟎).

Resumiendo, en el ejemplo considerado el productor aceptando un error de ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 (𝟓%), conocido también como nivel de significación y utilizando la estadística Z, plantearía la hipótesis como sigue:

PASO 1: Definir juego de Hipótesis

𝑯𝟎 ∶ = 𝟏𝟖𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑯𝟏: 𝝁 ≠ 𝟏𝟖𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 PASO 2: Nivel de Significancia 5% = 0,05 (debido a que es una prueba de dos colas se divide entre dos) 0,05/2 = 0,025 0,95+0,025 = 0,975 Este es el número que buscamos en la tabla de Z. 0,975 = 1,96 PASO 3: Calcular estadístico de prueba:

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 = 𝟏𝟖𝟕; 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕é𝒕𝒊𝒄𝒂(𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝝁 = 𝟏𝟖𝟎; 𝝈 = 𝟑𝟎 (𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐);𝒏 = 𝟓𝟎 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 Suponiendo que los resultados del experimento produjeron una media muestral de 187 gramos, el test estadístico se construirá como sigue:


𝒁 = − 𝝁𝝈

√𝒏

= − 𝝁

𝝈=𝟏𝟖𝟕− 𝟏𝟖𝟎

𝟑𝟎

√𝟓𝟎

=𝟕

𝟑𝟎

𝟓√𝟐

=𝟕

𝟑√𝟐=

𝟕

𝟒, 𝟐𝟒𝟐𝟔= 𝟏, 𝟔𝟓 ↔ 𝒁𝒄: 𝒛 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐

PASO 4: Formular Regla de decisión: Si H0<H1 se acepta H0, 1,96<1,65 No cumple la condición se rechaza la H0. Rechazaremos Ho si Zc es ≠ al valor crítico y aceptamos H1

PASO 5: TOMAR LA DECISIÓN Como el valor de z calculado= 1,65 es menor que 1,96 o sea cae en la región de aceptación , no hay evidencias suficientes como para rechazar la hipótesis de que la media de la población es igual a 180. Conclusión: la publicidad que hace el semillero de que el peso promedio de las espigas de una cierta variedad es de 180 gramos, es correcta, aunque podría existir una probabilidad de error tipo II, si de hecho la media de tal variedad no fuera 180 gramos.

HIPÓTESIS UNILATERALES Si en el mismo ejemplo, el productor, basándose en algún conocimiento de la variedad en cuestión sospechara que el peso promedio de las espigas es menor que 180, las hipótesis se plantearían como:

H0: 𝝁 = 𝟏𝟖𝟎 gramos ó H0 : 𝝁 > 𝟏𝟖𝟎 gramos H1: 𝝁 < 𝟏𝟖𝟎 gramos ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 En este caso la desigualdad de la hipótesis alternativa indica cuál sería la zona de rechazo, el valor de ∝ ya no se particiona sino que se acumula todo hacia un solo lado, el izquierdo en este ejemplo y el valor tabulado de Z se busca en la tabla con un valor de probabilidad del 95% siendo Z= -1,64 (el signo negativo no figura en la tabla ya que siendo la distribución normal simétrica, lo que se hace es anteponer el signo negativo al valor de Z que corresponde al nivel de probabilidad especificado).

Si por otra parte, el productor sospechara que el peso promedio es mayor que 180 gramos, la hipótesis y la zona de rechazo se plantearían como:

H0: 𝒎 = 𝟏𝟖𝟎 gramos ó H0 : 𝒎 < 𝟏𝟖𝟎 gramos H1: 𝒎 > 𝟏𝟖𝟎 gramos ∝= 𝟎, 𝟎𝟓


En ambas situaciones el test estadístico se construye como:

𝒁 = − 𝝁𝝈

√𝒏

= − 𝝁

𝝈=𝟏𝟖𝟕− 𝟏𝟖𝟎

𝟑𝟎

√𝟓𝟎

⟹ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝈𝟐 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆,𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒚𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐:

⟹ 𝒕 = − 𝝁

𝑺

√𝒏

Este valor difiere del anterior en que, en lugar de aparecer la desviación estándar de la población, nos encontramos con su estimador muestral insesgado S, que se distribuye, t de Student (t ~ t(n-1)). CONTRASTE DE HIPÓTESIS RESPECTO A UNA MEDIA POBLACIONAL (S desconocido) Las hipótesis se plantean de forma similar al caso en que S es conocido, pero la estadística de prueba es la "t" de Student.

EJEMPLO#374 Para estimar el rendimiento de parcelas plantadas con papa de una cierta variedad, se cosecharon ocho de ellas,

obteniéndose la siguiente información expresada en kg/parcela: 4,5 5,3 5,4 4,9 5,3 5,7 6,2 4,8

¿Se puede asegurar, con a =0,05, de que esta variedad de papas tiene un rendimiento promedio de 5,25 kg y varianza 0,2884?

𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟓, 𝟐𝟓 𝒚 𝑯𝟏: 𝝁 ≠ 𝟓, 𝟐𝟓 A partir de los datos se calcula y 𝑺, para este ejemplo = 𝟓, 𝟓𝟔𝟐𝟓 y 𝑺𝟐 = 𝟎,𝟐𝟖𝟖𝟒.

𝒕 = − 𝝁

𝑺

√𝒏

=𝟓,𝟓𝟔𝟐𝟓 − 𝟓,𝟐𝟓

𝟎, 𝟓𝟑𝟕𝟎

√𝟖

= 𝟏, 𝟔𝟒𝟔𝟎 𝒕(𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 ó 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂)

Como tenemos GL=n-1=8-1=7 ver tabla de t, a=0,025 entonces 2,365. Como el valor de t calculado cae entre -2,365 y 2,365(valor tabulado de t para 7 GL y a=0,025 NO SE RECHAZA LA HIPOTESIS NULA). Conclusión: No hay suficiente evidencia, a partir de los datos de la muestra, para decir que el rendimiento de papa por parcela no es igual a 5,25. CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTES A UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL (P) Las hipótesis formuladas son:

H0: 𝑷 ≥ 𝑷𝟎 H1: 𝑷 < 𝑷𝟎 ∝= 𝟎, 𝟎𝟓 En el caso del parámetro poblacional "P", cuando el tamaño de la muestra es grande, la variable aleatoria proporción muestral "p" se distribuye aproximadamente normal con esperanza igual a P y desviación estándar igual:

𝝈 = √𝑷𝟎 ∗ 𝑸𝟎𝒏

Por eso se puede utilizar "p" como criterio de test para probar la hipótesis con respecto al parámetro proporción poblacional. El test estadístico Z se calcula:

𝒁 =(𝒑 − 𝑷𝟎)

√𝑷𝟎 ∗ 𝑸𝟎𝒏

Gráficamente podemos establecer la correspondiente región de rechazo de H0 en la cola de la distribución normal:


EJEMPLO#375 Se supone que en un cierto partido de la provincia de Santa Cruz, el 90% de los productores cultivan maíz.

De 110 productores de la zona que se encuestaron, 95 hacen maíz. ¿Está este resultado en conformidad con el valor supuesto?. (a = 0,05). SOLUCION: Las hipótesis formuladas son:

H0: 𝑷𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎 H1: 𝑷𝟎 ≠ 𝟎, 𝟗𝟎 𝒑 = 𝟖𝟑

𝟗𝟓=𝟖𝟑

𝟗𝟓= 𝟎, 𝟖𝟕𝟑𝟕 ≅ 𝟎, 𝟖𝟕

𝒁 =(𝒑 − 𝑷𝟎)

√𝑷𝟎 ∗ 𝑸𝟎𝒏

=(𝟎, 𝟖𝟕 − 𝟎,𝟗𝟎)

√𝟎,𝟗𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟓

= −𝟎,𝟗𝟕

Como el valor calculado de Z = –0,97 reside entre los valores tabulados –1,96 y 1,96 (valores críticos de la distribución normal ) no se rechaza H0. Conclusión, la información proporcionada por la muestra no es suficiente como para decir que la proporción de productores de tal partido que cultivan maíz es distinto de 90%.



H0: 𝑷𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎 H1: 𝑷𝟎 ≠ 𝟎, 𝟗𝟎 𝒑 = 𝟖𝟑

𝟗𝟓=𝟖𝟑

𝟗𝟓= 𝟎, 𝟖𝟕𝟑𝟕 ≅ 𝟎, 𝟖𝟕

𝒁 =(𝒑 − 𝑷𝟎)

√𝑷𝟎 ∗ 𝑸𝟎𝒏

=(𝟎, 𝟖𝟕 − 𝟎,𝟗𝟎)

√𝟎,𝟗𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟓

= −𝟎,𝟗𝟕

Como el valor calculado de Z = –0,97 reside entre los valores tabulados –1,96 y 1,96 (valores críticos de la distribución normal ) no se rechaza H0. Conclusión, la información proporcionada por la muestra no es suficiente como para decir que la proporción de productores de tal partido que cultivan maíz es distinto de 90%.



H0: 𝑷𝟎 = 𝟎,𝟗𝟎 H1: 𝑷𝟎 ≠ 𝟎, 𝟗𝟎 𝒑 = 𝟖𝟑

𝟗𝟓=𝟖𝟑

𝟗𝟓= 𝟎, 𝟖𝟕𝟑𝟕 ≅ 𝟎, 𝟖𝟕

𝒁 =(𝒑 − 𝑷𝟎)

√𝑷𝟎 ∗ 𝑸𝟎𝒏

=(𝟎, 𝟖𝟕 − 𝟎,𝟗𝟎)

√𝟎,𝟗𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟓

= −𝟎,𝟗𝟕

Como el valor calculado de Z = –0,97 reside entre los valores tabulados –1,96 y 1,96 (valores críticos de la distribución normal ) no se rechaza H0. Conclusión, la información proporcionada por la muestra no es suficiente como para decir que la proporción de productores de tal partido que cultivan maíz es distinto de 90%. EXCELENCIA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!16 DE JUNIO DE 1979!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


GUIA DEL TRABAJO FINAL

INTRODUCCIÓN. Los contenidos y conocimientos de esta materia de Estadística Inferencial son herramientas muy importantes en la aplicación y solución de problemas de muchas áreas y especialidades en el campo de la economía, contabilidad, tecnología e información. Nota. Este trabajo debe ir preparándose desde el comienzo del semestre, a medida que se van adquiriendo los conocimientos en esta materia y que solo se debe terminar días previos a la exposición. OBJETIVO. Mediante los conocimientos adquiridos en el proceso de aprendizaje de esta materia, resolver problemas del área de estudio del mercado, específicos de cualquier especialidad del área de la estadística inferencial aplicando a las tecnologías, información, contabilidad, economía y finanzas. GRUPOS. Los grupos para la presentación y defensa pueden ser de 10 alumnos como máximo y como mínimo 1 alumno. Con su respectivo jefe del grupo, que se exigirá al jefe del grupo en el aprovechamiento del GUIA-MEA. TEMAS: Los grupos pueden elegir cualquier tema respecto de los temas avanzados durante el semestre. PRESENTACIÓN DEL TRABAJO.

Carátula: Nombre del trabajo, Materia, Integrantes, Docente y semestre

Introducción

Objetivo general

Objetivos específicos

Marco Teórico

Desarrollo de la actividad

Cálculos y Resultados

Conclusiones

Recomendaciones

Bibliografía EXPOSICIÓN DEL TRABAJO. El trabajo final debe ser presentado en forma impresa en la fecha fijada y puede ser expuesto y defendido en multimedia, retroproyector, papelógrafos y otros. DOCENTE: JULIO VARGAS HERBAS


TABLAS ESTADÍSTICAS


TABLA DE DISTRIBICION NORMAL, PARA VALORES DE “Z” POSITIVOS

Z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


TABLA DE DISTRIBUCION NORMAL, PARA VALORES DE “Z” NEGATIVOS

Z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483

-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776

-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611

-1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170

-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985

-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823

-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681

-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559

-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455

-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367

-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294

-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233

-2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183

-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143

-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110

-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084

-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064

-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036

-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026

-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019

-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

-3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

-3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007

-3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005

-3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003

-3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002

-3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

-3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.7 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

-3.8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

-3.9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

- 4 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA INTERVALOS: 𝒑(−|𝒁| ≤ 𝒁𝒐 ≤ |𝒁|)

Intervalos 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.000000 0.007978 0.015956 0.023932 0.031906 0.039877 0.047844 0.055806 0.063762 0.071712

0.1 0.079655 0.087590 0.095516 0.103433 0.111340 0.119235 0.127118 0.134989 0.142847 0.150690

0.2 0.158519 0.166332 0.174128 0.181908 0.189669 0.197412 0.205136 0.212839 0.220522 0.228183

0.3 0.235822 0.243439 0.251031 0.258600 0.266143 0.273661 0.281152 0.288617 0.296054 0.303463

0.4 0.310843 0.318194 0.325514 0.332804 0.340062 0.347289 0.354483 0.361644 0.368772 0.375866

0.5 0.382924 0.389948 0.396936 0.403888 0.410802 0.417680 0.424520 0.431322 0.438085 0.444809

0.6 0.451493 0.458138 0.464742 0.471305 0.477827 0.484307 0.490746 0.497142 0.503495 0.509805

0.7 0.516072 0.522295 0.528475 0.534609 0.540700 0.546745 0.552745 0.558700 0.564609 0.570472

0.8 0.576289 0.582059 0.587783 0.593461 0.599091 0.604674 0.610210 0.615699 0.621140 0.626534

0.9 0.631879 0.637177 0.642427 0.647628 0.652782 0.657887 0.662944 0.667953 0.672913 0.677825

1.0 0.682689 0.687504 0.692271 0.696989 0.701660 0.706281 0.710855 0.715380 0.719857 0.724286

1.1 0.728667 0.733000 0.737286 0.741523 0.745713 0.749856 0.753951 0.757999 0.761999 0.765953

1.2 0.769860 0.773721 0.777535 0.781302 0.785024 0.788700 0.792330 0.795915 0.799454 0.802949

1.3 0.806399 0.809804 0.813164 0.816481 0.819754 0.822984 0.826170 0.829313 0.832413 0.835471

1.4 0.838486 0.841460 0.844392 0.847282 0.850132 0.852941 0.855709 0.858438 0.861126 0.863775

1.5 0.866385 0.868956 0.871489 0.873983 0.876439 0.878858 0.881240 0.883584 0.885893 0.888165

1.6 0.890401 0.892602 0.894767 0.896898 0.898994 0.901057 0.903085 0.905080 0.907042 0.908972

1.7 0.910869 0.912734 0.914567 0.916369 0.918140 0.919881 0.921592 0.923272 0.924924 0.926546

1.8 0.928139 0.929704 0.931241 0.932750 0.934231 0.935686 0.937114 0.938516 0.939891 0.941242

1.9 0.942566 0.943866 0.945142 0.946393 0.947620 0.948823 0.950004 0.951161 0.952296 0.953409

2.0 0.954499 0.955568 0.956616 0.957643 0.958649 0.959635 0.960601 0.961547 0.962474 0.963382

2.1 0.964271 0.965141 0.965993 0.966828 0.967645 0.968444 0.969227 0.969993 0.970742 0.971475

2.2 0.972193 0.972894 0.973581 0.974252 0.974909 0.975551 0.976178 0.976792 0.977392 0.977978

2.3 0.978551 0.979111 0.979659 0.980193 0.980716 0.981226 0.981725 0.982211 0.982687 0.983151

2.4 0.983604 0.984047 0.984479 0.984901 0.985312 0.985714 0.986106 0.986488 0.986861 0.987225

2.5 0.987580 0.987926 0.988264 0.988593 0.988914 0.989227 0.989532 0.989830 0.990119 0.990402

2.6 0.990677 0.990945 0.991207 0.991461 0.991709 0.991950 0.992185 0.992414 0.992637 0.992854

2.7 0.993066 0.993271 0.993471 0.993666 0.993856 0.994040 0.994219 0.994394 0.994564 0.994729

2.8 0.994889 0.995045 0.995197 0.995345 0.995488 0.995628 0.995763 0.995895 0.996023 0.996147

2.9 0.996268 0.996385 0.996499 0.996610 0.996717 0.996822 0.996923 0.997022 0.997117 0.997210

3.0 0.997300 0.997387 0.997472 0.997554 0.997634 0.997711 0.997786 0.997859 0.997929 0.997998

3.1 0.998064 0.998129 0.998191 0.998251 0.998310 0.998367 0.998422 0.998475 0.998527 0.998577

3.2 0.998625 0.998672 0.998718 0.998762 0.998804 0.998845 0.998885 0.998924 0.998961 0.998998

3.3 0.999033 0.999067 0.999099 0.999131 0.999162 0.999191 0.999220 0.999248 0.999275 0.999301

3.4 0.999326 0.999350 0.999373 0.999396 0.999418 0.999439 0.999459 0.999479 0.999498 0.999516

3.5 0.999534 0.999551 0.999568 0.999584 0.999599 0.999614 0.999629 0.999643 0.999656 0.999669

3.6 0.999681 0.999693 0.999705 0.999716 0.999727 0.999737 0.999747 0.999757 0.999766 0.999775

3.7 0.999784 0.999792 0.999800 0.999808 0.999815 0.999823 0.999830 0.999836 0.999843 0.999849

3.8 0.999855 0.999861 0.999866 0.999871 0.999876 0.999881 0.999886 0.999891 0.999895 0.999899

3.9 0.999903 0.999907 0.999911 0.999915 0.999918 0.999921 0.999925 0.999928 0.999931 0.999933

4.0 0.999936 0.999939 0.999941 0.999944 0.999946 0.999948 0.999950 0.999952 0.999954 0.999956


TABLA DEPROBABILIDADES DE DISTRIBUCION BINOMIAL (NO ACUMULADA)

n x 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95

1 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 0,2025 0,1600 0,1225 0,0900 0,0625 0,0400 0,0225 0,0100 0,0025

1 0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000 0,4950 0,4800 0,4550 0,4200 0,3750 0,3200 0,2550 0,1800 0,0950

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 0,0270 0,0156 0,0080 0,0034 0,0010 0,0001

1 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750 0,3341 0,2880 0,2389 0,1890 0,1406 0,0960 0,0574 0,0270 0,0071

2 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750 0,4084 0,4320 0,4436 0,4410 0,4219 0,3840 0,3251 0,2430 0,1354

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 0,0410 0,0256 0,0150 0,0081 0,0039 0,0016 0,0005 0,0000 0,0000

1 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500 0,2005 0,1536 0,1115 0,0756 0,0469 0,0256 0,0115 0,0036 0,0005

2 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750 0,3675 0,3456 0,3105 0,2646 0,2109 0,1536 0,0975 0,0486 0,0135

3 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,2500 0,2995 0,3456 0,3845 0,4116 0,4219 0,4096 0,3685 0,2916 0,1715

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 0,0185 0,0102 0,0053 0,0024 0,0010 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,1563 0,1128 0,0768 0,0488 0,0284 0,0146 0,0064 0,0022 0,0004 0,0000

2 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125 0,2757 0,2304 0,1811 0,1323 0,0879 0,0512 0,0244 0,0081 0,0011

3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125 0,3369 0,3456 0,3364 0,3087 0,2637 0,2048 0,1382 0,0729 0,0214

4 0,0000 0,0005 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,1563 0,2059 0,2592 0,3124 0,3602 0,3955 0,4096 0,3915 0,3281 0,2036

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 0,0083 0,0041 0,0018 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,0938 0,0609 0,0369 0,0205 0,0102 0,0044 0,0015 0,0004 0,0001 0,0000

2 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,2344 0,1861 0,1382 0,0951 0,0595 0,0330 0,0154 0,0055 0,0012 0,0001

3 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,3125 0,3032 0,2765 0,2355 0,1852 0,1318 0,0819 0,0415 0,0146 0,0021

4 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,2344 0,2780 0,3110 0,3280 0,3241 0,2966 0,2458 0,1762 0,0984 0,0305

5 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,0938 0,1359 0,1866 0,2437 0,3025 0,3560 0,3932 0,3993 0,3543 0,2321

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 0,0037 0,0016 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,0547 0,0320 0,0172 0,0084 0,0036 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000

2 0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,1641 0,1172 0,0774 0,0466 0,0250 0,0115 0,0043 0,0012 0,0002 0,0000

3 0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,2734 0,2388 0,1935 0,1442 0,0972 0,0577 0,0287 0,0109 0,0026 0,0002

4 0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,2734 0,2918 0,2903 0,2679 0,2269 0,1730 0,1147 0,0617 0,0230 0,0036

5 0,0000 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,1641 0,2140 0,2613 0,2985 0,3177 0,3115 0,2753 0,2097 0,1240 0,0406

6 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0084 0,0172 0,0320 0,0547 0,0872 0,1306 0,1848 0,2471 0,3115 0,3670 0,3960 0,3720 0,2573


n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 0,0017 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,0313 0,0164 0,0079 0,0033 0,0012 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,1094 0,0703 0,0413 0,0217 0,0100 0,0038 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000

3 0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2787 0,2568 0,2188 0,1719 0,1239 0,0808 0,0467 0,0231 0,0092 0,0026 0,0004 0,0000

4 0,0004 0,0046 0,0185 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,2734 0,2627 0,2322 0,1875 0,1361 0,0865 0,0459 0,0185 0,0046 0,0004

5 0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,2188 0,2568 0,2787 0,2786 0,2541 0,2076 0,1468 0,0839 0,0331 0,0054

6 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,1094 0,1569 0,2090 0,2587 0,2965 0,3115 0,2936 0,2376 0,1488 0,0515

7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0313 0,0548 0,0896 0,1373 0,1977 0,2670 0,3355 0,3847 0,3826 0,2793

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020 0,0008 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1004 0,0605 0,0339 0,0176 0,0083 0,0035 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2162 0,1612 0,1110 0,0703 0,0407 0,0212 0,0098 0,0039 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2716 0,2508 0,2119 0,1641 0,1160 0,0743 0,0424 0,0210 0,0087 0,0028 0,0006 0,0001 0,0000

4 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2194 0,2508 0,2600 0,2461 0,2128 0,1672 0,1181 0,0735 0,0389 0,0165 0,0050 0,0008 0,0000

5 0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1181 0,1672 0,2128 0,2461 0,2600 0,2508 0,2194 0,1715 0,1168 0,0661 0,0283 0,0074 0,0006

6 0,0000 0,0001 0,0006 0,0028 0,0087 0,0210 0,0424 0,0743 0,1160 0,1641 0,2119 0,2508 0,2716 0,2668 0,2336 0,1762 0,1069 0,0446 0,0077

7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0012 0,0039 0,0098 0,0212 0,0407 0,0703 0,1110 0,1612 0,2162 0,2668 0,3003 0,3020 0,2597 0,1722 0,0629

8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0035 0,0083 0,0176 0,0339 0,0605 0,1004 0,1556 0,2253 0,3020 0,3679 0,3874 0,2985

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0725 0,0403 0,0207 0,0098 0,0042 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1757 0,1209 0,0763 0,0439 0,0229 0,0106 0,0043 0,0014 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2522 0,2150 0,1665 0,1172 0,0746 0,0425 0,0212 0,0090 0,0031 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2377 0,2508 0,2384 0,2051 0,1596 0,1115 0,0689 0,0368 0,0162 0,0055 0,0012 0,0001 0,0000

5 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1536 0,2007 0,2340 0,2461 0,2340 0,2007 0,1536 0,1029 0,0584 0,0264 0,0085 0,0015 0,0001

6 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0689 0,1115 0,1596 0,2051 0,2384 0,2508 0,2377 0,2001 0,1460 0,0881 0,0401 0,0112 0,0010

7 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0212 0,0425 0,0746 0,1172 0,1665 0,2150 0,2522 0,2668 0,2503 0,2013 0,1298 0,0574 0,0105

8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0043 0,0106 0,0229 0,0439 0,0763 0,1209 0,1757 0,2335 0,2816 0,3020 0,2759 0,1937 0,0746

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0042 0,0098 0,0207 0,0403 0,0725 0,1211 0,1877 0,2684 0,3474 0,3874 0,3151

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

11 0 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,0005 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3293 0,3835 0,3248 0,2362 0,1549 0,0932 0,0518 0,0266 0,0125 0,0054 0,0021 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,0867 0,2131 0,2866 0,2953 0,2581 0,1998 0,1395 0,0887 0,0513 0,0269 0,0126 0,0052 0,0018 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0137 0,0710 0,1517 0,2215 0,2581 0,2568 0,2254 0,1774 0,1259 0,0806 0,0462 0,0234 0,0102 0,0037 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0014 0,0158 0,0536 0,1107 0,1721 0,2201 0,2428 0,2365 0,2060 0,1611 0,1128 0,0701 0,0379 0,0173 0,0064 0,0017 0,0003 0,0000 0,0000

5 0,0001 0,0025 0,0132 0,0388 0,0803 0,1321 0,1830 0,2207 0,2360 0,2256 0,1931 0,1471 0,0985 0,0566 0,0268 0,0097 0,0023 0,0003 0,0000

6 0,0000 0,0003 0,0023 0,0097 0,0268 0,0566 0,0985 0,1471 0,1931 0,2256 0,2360 0,2207 0,1830 0,1321 0,0803 0,0388 0,0132 0,0025 0,0001

7 0,0000 0,0000 0,0003 0,0017 0,0064 0,0173 0,0379 0,0701 0,1128 0,1611 0,2060 0,2365 0,2428 0,2201 0,1721 0,1107 0,0536 0,0158 0,0014


8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0037 0,0102 0,0234 0,0462 0,0806 0,1259 0,1774 0,2254 0,2568 0,2581 0,2215 0,1517 0,0710 0,0137

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018 0,0052 0,0126 0,0269 0,0513 0,0887 0,1395 0,1998 0,2581 0,2953 0,2866 0,2131 0,0867

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0007 0,0021 0,0054 0,0125 0,0266 0,0518 0,0932 0,1549 0,2362 0,3248 0,3835 0,3293

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

12 0 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3413 0,3766 0,3012 0,2062 0,1267 0,0712 0,0368 0,0174 0,0075 0,0029 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,0988 0,2301 0,2924 0,2835 0,2323 0,1678 0,1088 0,0639 0,0339 0,0161 0,0068 0,0025 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0173 0,0852 0,1720 0,2362 0,2581 0,2397 0,1954 0,1419 0,0923 0,0537 0,0277 0,0125 0,0048 0,0015 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0021 0,0213 0,0683 0,1329 0,1936 0,2311 0,2367 0,2128 0,1700 0,1208 0,0762 0,0420 0,0199 0,0078 0,0024 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000

5 0,0002 0,0038 0,0193 0,0532 0,1032 0,1585 0,2039 0,2270 0,2225 0,1934 0,1489 0,1009 0,0591 0,0291 0,0115 0,0033 0,0006 0,0000 0,0000

6 0,0000 0,0005 0,0040 0,0155 0,0401 0,0792 0,1281 0,1766 0,2124 0,2256 0,2124 0,1766 0,1281 0,0792 0,0401 0,0155 0,0040 0,0005 0,0000

7 0,0000 0,0000 0,0006 0,0033 0,0115 0,0291 0,0591 0,1009 0,1489 0,1934 0,2225 0,2270 0,2039 0,1585 0,1032 0,0532 0,0193 0,0038 0,0002

8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0024 0,0078 0,0199 0,0420 0,0762 0,1208 0,1700 0,2128 0,2367 0,2311 0,1936 0,1329 0,0683 0,0213 0,0021

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0048 0,0125 0,0277 0,0537 0,0923 0,1419 0,1954 0,2397 0,2581 0,2362 0,1720 0,0852 0,0173

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0025 0,0068 0,0161 0,0339 0,0639 0,1088 0,1678 0,2323 0,2835 0,2924 0,2301 0,0988

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0029 0,0075 0,0174 0,0368 0,0712 0,1267 0,2062 0,3012 0,3766 0,3413

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

13 0 0,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3512 0,3672 0,2774 0,1787 0,1029 0,0540 0,0259 0,0113 0,0045 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1109 0,2448 0,2937 0,2680 0,2059 0,1388 0,0836 0,0453 0,0220 0,0095 0,0036 0,0012 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0214 0,0997 0,1900 0,2457 0,2517 0,2181 0,1651 0,1107 0,0660 0,0349 0,0162 0,0065 0,0022 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0028 0,0277 0,0838 0,1535 0,2097 0,2337 0,2222 0,1845 0,1350 0,0873 0,0495 0,0243 0,0101 0,0034 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0003 0,0055 0,0266 0,0691 0,1258 0,1803 0,2154 0,2214 0,1989 0,1571 0,1089 0,0656 0,0336 0,0142 0,0047 0,0011 0,0001 0,0000 0,0000

6 0,0000 0,0008 0,0063 0,0230 0,0559 0,1030 0,1546 0,1968 0,2169 0,2095 0,1775 0,1312 0,0833 0,0442 0,0186 0,0058 0,0011 0,0001 0,0000

7 0,0000 0,0001 0,0011 0,0058 0,0186 0,0442 0,0833 0,1312 0,1775 0,2095 0,2169 0,1968 0,1546 0,1030 0,0559 0,0230 0,0063 0,0008 0,0000

8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0047 0,0142 0,0336 0,0656 0,1089 0,1571 0,1989 0,2214 0,2154 0,1803 0,1258 0,0691 0,0266 0,0055 0,0003

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0009 0,0034 0,0101 0,0243 0,0495 0,0873 0,1350 0,1845 0,2222 0,2337 0,2097 0,1535 0,0838 0,0277 0,0028

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0022 0,0065 0,0162 0,0349 0,0660 0,1107 0,1651 0,2181 0,2517 0,2457 0,1900 0,0997 0,0214

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0012 0,0036 0,0095 0,0220 0,0453 0,0836 0,1388 0,2059 0,2680 0,2937 0,2448 0,1109

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0045 0,0113 0,0259 0,0540 0,1029 0,1787 0,2774 0,3672 0,3512

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

14 0 0,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3593 0,3559 0,2539 0,1539 0,0832 0,0407 0,0181 0,0073 0,0027 0,0009 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1229 0,2570 0,2912 0,2501 0,1802 0,1134 0,0634 0,0317 0,0141 0,0056 0,0019 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0259 0,1142 0,2056 0,2501 0,2402 0,1943 0,1366 0,0845 0,0462 0,0222 0,0093 0,0033 0,0010 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0037 0,0349 0,0998 0,1720 0,2202 0,2290 0,2022 0,1549 0,1040 0,0611 0,0312 0,0136 0,0049 0,0014 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0004 0,0078 0,0352 0,0860 0,1468 0,1963 0,2178 0,2066 0,1701 0,1222 0,0762 0,0408 0,0183 0,0066 0,0018 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0000 0,0013 0,0093 0,0322 0,0734 0,1262 0,1759 0,2066 0,2088 0,1833 0,1398 0,0918 0,0510 0,0232 0,0082 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0002 0,0019 0,0092 0,0280 0,0618 0,1082 0,1574 0,1952 0,2095 0,1952 0,1574 0,1082 0,0618 0,0280 0,0092 0,0019 0,0002 0,0000


8 0,0000 0,0000 0,0003 0,0020 0,0082 0,0232 0,0510 0,0918 0,1398 0,1833 0,2088 0,2066 0,1759 0,1262 0,0734 0,0322 0,0093 0,0013 0,0000

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0066 0,0183 0,0408 0,0762 0,1222 0,1701 0,2066 0,2178 0,1963 0,1468 0,0860 0,0352 0,0078 0,0004

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0049 0,0136 0,0312 0,0611 0,1040 0,1549 0,2022 0,2290 0,2202 0,1720 0,0998 0,0349 0,0037

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0033 0,0093 0,0222 0,0462 0,0845 0,1366 0,1943 0,2402 0,2501 0,2056 0,1142 0,0259

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0019 0,0056 0,0141 0,0317 0,0634 0,1134 0,1802 0,2501 0,2912 0,2570 0,1229

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0009 0,0027 0,0073 0,0181 0,0407 0,0832 0,1539 0,2539 0,3559 0,3593

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

15 0 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3658 0,3432 0,2312 0,1319 0,0668 0,0305 0,0126 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1348 0,2669 0,2856 0,2309 0,1559 0,0916 0,0476 0,0219 0,0090 0,0032 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0307 0,1285 0,2184 0,2501 0,2252 0,1700 0,1110 0,0634 0,0318 0,0139 0,0052 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0049 0,0428 0,1156 0,1876 0,2252 0,2186 0,1792 0,1268 0,0780 0,0417 0,0191 0,0074 0,0024 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0006 0,0105 0,0449 0,1032 0,1651 0,2061 0,2123 0,1859 0,1404 0,0916 0,0515 0,0245 0,0096 0,0030 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0000 0,0019 0,0132 0,0430 0,0917 0,1472 0,1906 0,2066 0,1914 0,1527 0,1048 0,0612 0,0298 0,0116 0,0034 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0003 0,0030 0,0138 0,0393 0,0811 0,1319 0,1771 0,2013 0,1964 0,1647 0,1181 0,0710 0,0348 0,0131 0,0035 0,0005 0,0000 0,0000

8 0,0000 0,0000 0,0005 0,0035 0,0131 0,0348 0,0710 0,1181 0,1647 0,1964 0,2013 0,1771 0,1319 0,0811 0,0393 0,0138 0,0030 0,0003 0,0000

9 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0034 0,0116 0,0298 0,0612 0,1048 0,1527 0,1914 0,2066 0,1906 0,1472 0,0917 0,0430 0,0132 0,0019 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0030 0,0096 0,0245 0,0515 0,0916 0,1404 0,1859 0,2123 0,2061 0,1651 0,1032 0,0449 0,0105 0,0006

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0074 0,0191 0,0417 0,0780 0,1268 0,1792 0,2186 0,2252 0,1876 0,1156 0,0428 0,0049

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0016 0,0052 0,0139 0,0318 0,0634 0,1110 0,1700 0,2252 0,2501 0,2184 0,1285 0,0307

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0032 0,0090 0,0219 0,0476 0,0916 0,1559 0,2309 0,2856 0,2669 0,1348

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0047 0,0126 0,0305 0,0668 0,1319 0,2312 0,3432 0,3658

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

16 0 0,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3706 0,3294 0,2097 0,1126 0,0535 0,0228 0,0087 0,0030 0,0009 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1463 0,2745 0,2775 0,2111 0,1336 0,0732 0,0353 0,0150 0,0056 0,0018 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0359 0,1423 0,2285 0,2463 0,2079 0,1465 0,0888 0,0468 0,0215 0,0085 0,0029 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0061 0,0514 0,1311 0,2001 0,2252 0,2040 0,1553 0,1014 0,0572 0,0278 0,0115 0,0040 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0008 0,0137 0,0555 0,1201 0,1802 0,2099 0,2008 0,1623 0,1123 0,0667 0,0337 0,0142 0,0049 0,0013 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0001 0,0028 0,0180 0,0550 0,1101 0,1649 0,1982 0,1983 0,1684 0,1222 0,0755 0,0392 0,0167 0,0056 0,0014 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0004 0,0045 0,0197 0,0524 0,1010 0,1524 0,1889 0,1969 0,1746 0,1318 0,0840 0,0442 0,0185 0,0058 0,0012 0,0001 0,0000 0,0000

8 0,0000 0,0001 0,0009 0,0055 0,0197 0,0487 0,0923 0,1417 0,1812 0,1964 0,1812 0,1417 0,0923 0,0487 0,0197 0,0055 0,0009 0,0001 0,0000

9 0,0000 0,0000 0,0001 0,0012 0,0058 0,0185 0,0442 0,0840 0,1318 0,1746 0,1969 0,1889 0,1524 0,1010 0,0524 0,0197 0,0045 0,0004 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0014 0,0056 0,0167 0,0392 0,0755 0,1222 0,1684 0,1983 0,1982 0,1649 0,1101 0,0550 0,0180 0,0028 0,0001

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0013 0,0049 0,0142 0,0337 0,0667 0,1123 0,1623 0,2008 0,2099 0,1802 0,1201 0,0555 0,0137 0,0008

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0040 0,0115 0,0278 0,0572 0,1014 0,1553 0,2040 0,2252 0,2001 0,1311 0,0514 0,0061

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0029 0,0085 0,0215 0,0468 0,0888 0,1465 0,2079 0,2463 0,2285 0,1423 0,0359

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018 0,0056 0,0150 0,0353 0,0732 0,1336 0,2111 0,2775 0,2745 0,1463

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0009 0,0030 0,0087 0,0228 0,0535 0,1126 0,2097 0,3294 0,3706


n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

17 0 0,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3741 0,3150 0,1893 0,0957 0,0426 0,0169 0,0060 0,0019 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1575 0,2800 0,2673 0,1914 0,1136 0,0581 0,0260 0,0102 0,0035 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0415 0,1556 0,2359 0,2393 0,1893 0,1245 0,0701 0,0341 0,0144 0,0052 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0076 0,0605 0,1457 0,2093 0,2209 0,1868 0,1320 0,0796 0,0411 0,0182 0,0068 0,0021 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0010 0,0175 0,0668 0,1361 0,1914 0,2081 0,1849 0,1379 0,0875 0,0472 0,0215 0,0081 0,0024 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0001 0,0039 0,0236 0,0680 0,1276 0,1784 0,1991 0,1839 0,1432 0,0944 0,0525 0,0242 0,0090 0,0026 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0007 0,0065 0,0267 0,0668 0,1201 0,1685 0,1927 0,1841 0,1484 0,1008 0,0571 0,0263 0,0095 0,0025 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000

8 0,0000 0,0001 0,0014 0,0084 0,0279 0,0644 0,1134 0,1606 0,1883 0,1855 0,1540 0,1070 0,0611 0,0276 0,0093 0,0021 0,0003 0,0000 0,0000

9 0,0000 0,0000 0,0003 0,0021 0,0093 0,0276 0,0611 0,1070 0,1540 0,1855 0,1883 0,1606 0,1134 0,0644 0,0279 0,0084 0,0014 0,0001 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0025 0,0095 0,0263 0,0571 0,1008 0,1484 0,1841 0,1927 0,1685 0,1201 0,0668 0,0267 0,0065 0,0007 0,0000

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0026 0,0090 0,0242 0,0525 0,0944 0,1432 0,1839 0,1991 0,1784 0,1276 0,0680 0,0236 0,0039 0,0001

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0081 0,0215 0,0472 0,0875 0,1379 0,1849 0,2081 0,1914 0,1361 0,0668 0,0175 0,0010

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0021 0,0068 0,0182 0,0411 0,0796 0,1320 0,1868 0,2209 0,2093 0,1457 0,0605 0,0076

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0016 0,0052 0,0144 0,0341 0,0701 0,1245 0,1893 0,2393 0,2359 0,1556 0,0415

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0035 0,0102 0,0260 0,0581 0,1136 0,1914 0,2673 0,2800 0,1575

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0019 0,0060 0,0169 0,0426 0,0957 0,1893 0,3150 0,3741

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

18 0 0,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3763 0,3002 0,1704 0,0811 0,0338 0,0126 0,0042 0,0012 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1683 0,2835 0,2556 0,1723 0,0958 0,0458 0,0190 0,0069 0,0022 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0473 0,1680 0,2406 0,2297 0,1704 0,1046 0,0547 0,0246 0,0095 0,0031 0,0009 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0093 0,0700 0,1592 0,2153 0,2130 0,1681 0,1104 0,0614 0,0291 0,0117 0,0039 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0014 0,0218 0,0787 0,1507 0,1988 0,2017 0,1664 0,1146 0,0666 0,0327 0,0134 0,0045 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0002 0,0052 0,0301 0,0816 0,1436 0,1873 0,1941 0,1655 0,1181 0,0708 0,0354 0,0145 0,0047 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0010 0,0091 0,0350 0,0820 0,1376 0,1792 0,1892 0,1657 0,1214 0,0742 0,0374 0,0151 0,0046 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

8 0,0000 0,0002 0,0022 0,0120 0,0376 0,0811 0,1327 0,1734 0,1864 0,1669 0,1248 0,0771 0,0385 0,0149 0,0042 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000

9 0,0000 0,0000 0,0004 0,0033 0,0139 0,0386 0,0794 0,1284 0,1694 0,1855 0,1694 0,1284 0,0794 0,0386 0,0139 0,0033 0,0004 0,0000 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0042 0,0149 0,0385 0,0771 0,1248 0,1669 0,1864 0,1734 0,1327 0,0811 0,0376 0,0120 0,0022 0,0002 0,0000

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0010 0,0046 0,0151 0,0374 0,0742 0,1214 0,1657 0,1892 0,1792 0,1376 0,0820 0,0350 0,0091 0,0010 0,0000

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0047 0,0145 0,0354 0,0708 0,1181 0,1655 0,1941 0,1873 0,1436 0,0816 0,0301 0,0052 0,0002

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0045 0,0134 0,0327 0,0666 0,1146 0,1664 0,2017 0,1988 0,1507 0,0787 0,0218 0,0014

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0039 0,0117 0,0291 0,0614 0,1104 0,1681 0,2130 0,2153 0,1592 0,0700 0,0093

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0031 0,0095 0,0246 0,0547 0,1046 0,1704 0,2297 0,2406 0,1680 0,0473

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0022 0,0069 0,0190 0,0458 0,0958 0,1723 0,2556 0,2835 0,1683

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0012 0,0042 0,0126 0,0338 0,0811 0,1704 0,3002 0,3763

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

19 0 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


1 0,3774 0,2852 0,1529 0,0685 0,0268 0,0093 0,0029 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1787 0,2852 0,2428 0,1540 0,0803 0,0358 0,0138 0,0046 0,0013 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0533 0,1796 0,2428 0,2182 0,1517 0,0869 0,0422 0,0175 0,0062 0,0018 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0112 0,0798 0,1714 0,2182 0,2023 0,1491 0,0909 0,0467 0,0203 0,0074 0,0022 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0018 0,0266 0,0907 0,1636 0,2023 0,1916 0,1468 0,0933 0,0497 0,0222 0,0082 0,0024 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0002 0,0069 0,0374 0,0955 0,1574 0,1916 0,1844 0,1451 0,0949 0,0518 0,0233 0,0085 0,0024 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0014 0,0122 0,0443 0,0974 0,1525 0,1844 0,1797 0,1443 0,0961 0,0529 0,0237 0,0083 0,0022 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

8 0,0000 0,0002 0,0032 0,0166 0,0487 0,0981 0,1489 0,1797 0,1771 0,1442 0,0970 0,0532 0,0233 0,0077 0,0018 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

9 0,0000 0,0000 0,0007 0,0051 0,0198 0,0514 0,0980 0,1464 0,1771 0,1762 0,1449 0,0976 0,0528 0,0220 0,0066 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0001 0,0013 0,0066 0,0220 0,0528 0,0976 0,1449 0,1762 0,1771 0,1464 0,0980 0,0514 0,0198 0,0051 0,0007 0,0000 0,0000

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0077 0,0233 0,0532 0,0970 0,1442 0,1771 0,1797 0,1489 0,0981 0,0487 0,0166 0,0032 0,0002 0,0000

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0022 0,0083 0,0237 0,0529 0,0961 0,1443 0,1797 0,1844 0,1525 0,0974 0,0443 0,0122 0,0014 0,0000

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0024 0,0085 0,0233 0,0518 0,0949 0,1451 0,1844 0,1916 0,1574 0,0955 0,0374 0,0069 0,0002

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0082 0,0222 0,0497 0,0933 0,1468 0,1916 0,2023 0,1636 0,0907 0,0266 0,0018

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,0074 0,0203 0,0467 0,0909 0,1491 0,2023 0,2182 0,1714 0,0798 0,0112

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018 0,0062 0,0175 0,0422 0,0869 0,1517 0,2182 0,2428 0,1796 0,0533

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0013 0,0046 0,0138 0,0358 0,0803 0,1540 0,2428 0,2852 0,1787

18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0029 0,0093 0,0268 0,0685 0,1529 0,2852 0,3774

n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

20 0 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3774 0,2702 0,1368 0,0576 0,0211 0,0068 0,0020 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,1887 0,2852 0,2293 0,1369 0,0669 0,0278 0,0100 0,0031 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0596 0,1901 0,2428 0,2054 0,1339 0,0716 0,0323 0,0123 0,0040 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0133 0,0898 0,1821 0,2182 0,1897 0,1304 0,0738 0,0350 0,0139 0,0046 0,0013 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0022 0,0319 0,1028 0,1746 0,2023 0,1789 0,1272 0,0746 0,0365 0,0148 0,0049 0,0013 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0003 0,0089 0,0454 0,1091 0,1686 0,1916 0,1712 0,1244 0,0746 0,0370 0,0150 0,0049 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0020 0,0160 0,0545 0,1124 0,1643 0,1844 0,1659 0,1221 0,0739 0,0366 0,0146 0,0045 0,0010 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

8 0,0000 0,0004 0,0046 0,0222 0,0609 0,1144 0,1614 0,1797 0,1623 0,1201 0,0727 0,0355 0,0136 0,0039 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

9 0,0000 0,0001 0,0011 0,0074 0,0271 0,0654 0,1158 0,1597 0,1771 0,1602 0,1185 0,0710 0,0336 0,0120 0,0030 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0002 0,0020 0,0099 0,0308 0,0686 0,1171 0,1593 0,1762 0,1593 0,1171 0,0686 0,0308 0,0099 0,0020 0,0002 0,0000 0,0000

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0030 0,0120 0,0336 0,0710 0,1185 0,1602 0,1771 0,1597 0,1158 0,0654 0,0271 0,0074 0,0011 0,0001 0,0000

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0039 0,0136 0,0355 0,0727 0,1201 0,1623 0,1797 0,1614 0,1144 0,0609 0,0222 0,0046 0,0004 0,0000

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0045 0,0146 0,0366 0,0739 0,1221 0,1659 0,1844 0,1643 0,1124 0,0545 0,0160 0,0020 0,0000

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0049 0,0150 0,0370 0,0746 0,1244 0,1712 0,1916 0,1686 0,1091 0,0454 0,0089 0,0003

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0013 0,0049 0,0148 0,0365 0,0746 0,1272 0,1789 0,2023 0,1746 0,1028 0,0319 0,0022

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0013 0,0046 0,0139 0,0350 0,0738 0,1304 0,1897 0,2182 0,1821 0,0898 0,0133

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0040 0,0123 0,0323 0,0716 0,1339 0,2054 0,2428 0,1901 0,0596

18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0031 0,0100 0,0278 0,0669 0,1369 0,2293 0,2852 0,1887

19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0020 0,0068 0,0211 0,0576 0,1368 0,2702 0,3774


TABLA DEPROBABILIDADES DE DISTRIBUCION BINOMIAL (ACUMULADA)

n x 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95

1 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 0,2025 0,1600 0,1225 0,0900 0,0625 0,0400 0,0225 0,0100 0,0025

1 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,7500 0,6975 0,6400 0,5775 0,5100 0,4375 0,3600 0,2775 0,1900 0,0975

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 0,0270 0,0156 0,0080 0,0034 0,0010 0,0001

1 0,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0,5000 0,4253 0,3520 0,2818 0,2160 0,1563 0,1040 0,0607 0,0280 0,0072

2 0,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0,8750 0,8336 0,7840 0,7254 0,6570 0,5781 0,4880 0,3859 0,2710 0,1426

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 0,0410 0,0256 0,0150 0,0081 0,0039 0,0016 0,0005 0,0000 0,0000

1 0,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0,3125 0,2415 0,1792 0,1265 0,0837 0,0508 0,0272 0,0120 0,0037 0,0005

2 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,6875 0,6090 0,5248 0,4370 0,3483 0,2617 0,1808 0,1095 0,0523 0,0140

3 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0,9375 0,9085 0,8704 0,8215 0,7599 0,6836 0,5904 0,4780 0,3439 0,1855

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 0,0185 0,0102 0,0053 0,0024 0,0010 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0,1875 0,1312 0,0870 0,0540 0,0308 0,0156 0,0067 0,0022 0,0005 0,0000

2 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0,5000 0,4069 0,3174 0,2352 0,1631 0,1035 0,0579 0,0266 0,0086 0,0012

3 1,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0,8125 0,7438 0,6630 0,5716 0,4718 0,3672 0,2627 0,1648 0,0815 0,0226

4 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0,9688 0,9497 0,9222 0,8840 0,8319 0,7627 0,6723 0,5563 0,4095 0,2262

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 0,0083 0,0041 0,0018 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0,1094 0,0692 0,0410 0,0223 0,0109 0,0046 0,0016 0,0004 0,0000 0,0000

2 0,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0,3438 0,2553 0,1792 0,1174 0,0705 0,0376 0,0170 0,0059 0,0013 0,0000

3 0,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0,6563 0,5585 0,4557 0,3529 0,2557 0,1694 0,0989 0,0473 0,0158 0,0022

4 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0,8906 0,8364 0,7667 0,6809 0,5798 0,4661 0,3446 0,2235 0,1143 0,0328

5 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0,9844 0,9723 0,9533 0,9246 0,8824 0,8220 0,7379 0,6229 0,4686 0,2649

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 0,0037 0,0016 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0,0625 0,0357 0,0188 0,0090 0,0038 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000

2 0,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0,2266 0,1529 0,0963 0,0556 0,0288 0,0129 0,0047 0,0012 0,0002 0,0000

3 0,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0,5000 0,3917 0,2898 0,1998 0,1260 0,0706 0,0333 0,0121 0,0027 0,0002

4 1,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0,7734 0,6836 0,5801 0,4677 0,3529 0,2436 0,1480 0,0738 0,0257 0,0038

5 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0,9375 0,8976 0,8414 0,7662 0,6706 0,5551 0,4233 0,2834 0,1497 0,0444

6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0,9922 0,9848 0,9720 0,9510 0,9176 0,8665 0,7903 0,6794 0,5217 0,3017


n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 0,0017 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0,0352 0,0181 0,0085 0,0036 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0,1445 0,0885 0,0498 0,0253 0,0113 0,0042 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000

3 0,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0,3633 0,2604 0,1737 0,1061 0,0580 0,0273 0,0104 0,0029 0,0004 0,0000

4 1,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0,6367 0,5230 0,4059 0,2936 0,1941 0,1138 0,0563 0,0214 0,0050 0,0004

5 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0,8555 0,7799 0,6846 0,5722 0,4482 0,3215 0,2031 0,1052 0,0381 0,0058

6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0,9648 0,9368 0,8936 0,8309 0,7447 0,6329 0,4967 0,3428 0,1869 0,0572

7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,9961 0,9916 0,9832 0,9681 0,9424 0,8999 0,8322 0,7275 0,5695 0,3366

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020 0,0008 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0,0195 0,0091 0,0038 0,0014 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0,0898 0,0498 0,0250 0,0112 0,0043 0,0013 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0,2539 0,1658 0,0994 0,0536 0,0253 0,0100 0,0031 0,0006 0,0001 0,0000

4 1,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0,5000 0,3786 0,2666 0,1717 0,0988 0,0489 0,0196 0,0056 0,0009 0,0000

5 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0,7461 0,6386 0,5174 0,3911 0,2703 0,1657 0,0856 0,0339 0,0083 0,0006

6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0,9102 0,8505 0,7682 0,6627 0,5372 0,3993 0,2618 0,1409 0,0530 0,0084

7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0,9805 0,9615 0,9295 0,8789 0,8040 0,6997 0,5638 0,4005 0,2252 0,0712

8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980 0,9954 0,9899 0,9793 0,9596 0,9249 0,8658 0,7684 0,6126 0,3698

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0,0107 0,0045 0,0017 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0,0547 0,0274 0,0123 0,0048 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0,1719 0,1020 0,0548 0,0260 0,0106 0,0035 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000

4 0,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0,3770 0,2616 0,1662 0,0949 0,0473 0,0197 0,0064 0,0014 0,0001 0,0000

5 1,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0,6230 0,4956 0,3669 0,2485 0,1503 0,0781 0,0328 0,0099 0,0016 0,0001

6 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0,8281 0,7340 0,6177 0,4862 0,3504 0,2241 0,1209 0,0500 0,0128 0,0010

7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0,9453 0,9004 0,8327 0,7384 0,6172 0,4744 0,3222 0,1798 0,0702 0,0115

8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0,9893 0,9767 0,9536 0,9140 0,8507 0,7560 0,6242 0,4557 0,2639 0,0861

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9975 0,9940 0,9865 0,9718 0,9437 0,8926 0,8031 0,6513 0,4013

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

11 0 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,0005 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0,0059 0,0022 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0,0327 0,0148 0,0059 0,0020 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0,1133 0,0610 0,0293 0,0122 0,0043 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0,2744 0,1738 0,0994 0,0501 0,0216 0,0076 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000

5 1,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0,5000 0,3669 0,2465 0,1487 0,0782 0,0343 0,0117 0,0027 0,0003 0,0000

6 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0,7256 0,6029 0,4672 0,3317 0,2103 0,1146 0,0504 0,0159 0,0028 0,0001

7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0,8867 0,8089 0,7037 0,5744 0,4304 0,2867 0,1611 0,0694 0,0185 0,0016


8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0,9673 0,9348 0,8811 0,7999 0,6873 0,5448 0,3826 0,2212 0,0896 0,0152

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0,9941 0,9861 0,9698 0,9394 0,8870 0,8029 0,6779 0,5078 0,3026 0,1019

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9995 0,9986 0,9964 0,9912 0,9802 0,9578 0,9141 0,8327 0,6862 0,4312

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

12 0 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0,0032 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0,0193 0,0079 0,0028 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0,0730 0,0356 0,0153 0,0056 0,0017 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0,1938 0,1117 0,0573 0,0255 0,0095 0,0028 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000

5 1,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0,3872 0,2607 0,1582 0,0846 0,0386 0,0143 0,0039 0,0007 0,0001 0,0000

6 1,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0,6128 0,4731 0,3348 0,2127 0,1178 0,0544 0,0194 0,0046 0,0005 0,0000

7 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0,8062 0,6956 0,5618 0,4167 0,2763 0,1576 0,0726 0,0239 0,0043 0,0002

8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0,9270 0,8655 0,7747 0,6533 0,5075 0,3512 0,2054 0,0922 0,0256 0,0022

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0,9807 0,9579 0,9166 0,8487 0,7472 0,6093 0,4417 0,2642 0,1109 0,0196

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9968 0,9917 0,9804 0,9576 0,9150 0,8416 0,7251 0,5565 0,3410 0,1184

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9992 0,9978 0,9943 0,9862 0,9683 0,9313 0,8578 0,7176 0,4596

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

13 0 0,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0,0017 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0,0112 0,0041 0,0013 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0,0461 0,0203 0,0078 0,0025 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0,1334 0,0698 0,0321 0,0126 0,0040 0,0010 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

5 1,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0,2905 0,1788 0,0977 0,0462 0,0182 0,0056 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0,5000 0,3563 0,2288 0,1295 0,0624 0,0243 0,0070 0,0013 0,0001 0,0000

7 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0,7095 0,5732 0,4256 0,2841 0,1654 0,0802 0,0300 0,0075 0,0009 0,0000

8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0,8666 0,7721 0,6470 0,4995 0,3457 0,2060 0,0991 0,0342 0,0065 0,0003

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0,9539 0,9071 0,8314 0,7217 0,5794 0,4157 0,2527 0,1180 0,0342 0,0031

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0,9888 0,9731 0,9421 0,8868 0,7975 0,6674 0,4983 0,3080 0,1339 0,0245

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9951 0,9874 0,9704 0,9363 0,8733 0,7664 0,6017 0,3787 0,1354

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9963 0,9903 0,9762 0,9450 0,8791 0,7458 0,4867

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

14 0 0,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0,0009 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0,0065 0,0022 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0,0287 0,0114 0,0039 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0,0898 0,0426 0,0175 0,0060 0,0017 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 1,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0,2120 0,1189 0,0583 0,0243 0,0083 0,0022 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0,3953 0,2586 0,1501 0,0753 0,0315 0,0103 0,0024 0,0003 0,0000 0,0000

7 1,0000 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0,6047 0,4539 0,3075 0,1836 0,0933 0,0383 0,0116 0,0022 0,0002 0,0000


8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0,7880 0,6627 0,5141 0,3595 0,2195 0,1117 0,0439 0,0115 0,0015 0,0000

9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0,9102 0,8328 0,7207 0,5773 0,4158 0,2585 0,1298 0,0467 0,0092 0,0004

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0,9713 0,9368 0,8757 0,7795 0,6448 0,4787 0,3018 0,1465 0,0441 0,0042

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0,9935 0,9830 0,9602 0,9161 0,8392 0,7189 0,5519 0,3521 0,1584 0,0301

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9971 0,9919 0,9795 0,9525 0,8990 0,8021 0,6433 0,4154 0,1530

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9992 0,9976 0,9932 0,9822 0,9560 0,8972 0,7712 0,5123

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

15 0 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,8290 0,5490 0,3186 0,1671 0,0802 0,0353 0,0142 0,0052 0,0017 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9638 0,8159 0,6042 0,3980 0,2361 0,1268 0,0617 0,0271 0,0107 0,0037 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9945 0,9444 0,8227 0,6482 0,4613 0,2969 0,1727 0,0905 0,0424 0,0176 0,0063 0,0019 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,6865 0,5155 0,3519 0,2173 0,1204 0,0592 0,0255 0,0093 0,0028 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9999 0,9978 0,9832 0,9389 0,8516 0,7216 0,5643 0,4032 0,2608 0,1509 0,0769 0,0338 0,0124 0,0037 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9997 0,9964 0,9819 0,9434 0,8689 0,7548 0,6098 0,4522 0,3036 0,1818 0,0950 0,0422 0,0152 0,0042 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000

7 1,0000 1,0000 0,9994 0,9958 0,9827 0,9500 0,8868 0,7869 0,6535 0,5000 0,3465 0,2131 0,1132 0,0500 0,0173 0,0042 0,0006 0,0000 0,0000

8 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9958 0,9848 0,9578 0,9050 0,8182 0,6964 0,5478 0,3902 0,2452 0,1311 0,0566 0,0181 0,0036 0,0003 0,0000

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9876 0,9662 0,9231 0,8491 0,7392 0,5968 0,4357 0,2784 0,1484 0,0611 0,0168 0,0022 0,0001

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9972 0,9907 0,9745 0,9408 0,8796 0,7827 0,6481 0,4845 0,3135 0,1642 0,0617 0,0127 0,0006

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9937 0,9824 0,9576 0,9095 0,8273 0,7031 0,5387 0,3518 0,1773 0,0556 0,0055

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9963 0,9893 0,9729 0,9383 0,8732 0,7639 0,6020 0,3958 0,1841 0,0362

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9948 0,9858 0,9647 0,9198 0,8329 0,6814 0,4510 0,1710

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9953 0,9866 0,9648 0,9126 0,7941 0,5367

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

16 0 0,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,8108 0,5147 0,2839 0,1407 0,0635 0,0261 0,0098 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9571 0,7892 0,5614 0,3518 0,1971 0,0994 0,0451 0,0183 0,0066 0,0021 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9930 0,9316 0,7899 0,5981 0,4050 0,2459 0,1339 0,0651 0,0281 0,0106 0,0035 0,0009 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9991 0,9830 0,9209 0,7982 0,6302 0,4499 0,2892 0,1666 0,0853 0,0384 0,0149 0,0049 0,0013 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9999 0,9967 0,9765 0,9183 0,8103 0,6598 0,4900 0,3288 0,1976 0,1051 0,0486 0,0191 0,0062 0,0016 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9995 0,9944 0,9733 0,9204 0,8247 0,6881 0,5272 0,3660 0,2272 0,1241 0,0583 0,0229 0,0071 0,0016 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

7 1,0000 0,9999 0,9989 0,9930 0,9729 0,9256 0,8406 0,7161 0,5629 0,4018 0,2559 0,1423 0,0671 0,0257 0,0075 0,0015 0,0002 0,0000 0,0000

8 1,0000 1,0000 0,9998 0,9985 0,9925 0,9743 0,9329 0,8577 0,7441 0,5982 0,4371 0,2839 0,1594 0,0744 0,0271 0,0070 0,0011 0,0001 0,0000

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9771 0,9417 0,8759 0,7728 0,6340 0,4728 0,3119 0,1753 0,0796 0,0267 0,0056 0,0005 0,0000

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9938 0,9809 0,9514 0,8949 0,8024 0,6712 0,5100 0,3402 0,1897 0,0817 0,0235 0,0033 0,0001

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9851 0,9616 0,9147 0,8334 0,7108 0,5501 0,3698 0,2018 0,0791 0,0170 0,0009

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9991 0,9965 0,9894 0,9719 0,9349 0,8661 0,7541 0,5950 0,4019 0,2101 0,0684 0,0070

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9979 0,9934 0,9817 0,9549 0,9006 0,8029 0,6482 0,4386 0,2108 0,0429

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9967 0,9902 0,9739 0,9365 0,8593 0,7161 0,4853 0,1892

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9967 0,9900 0,9719 0,9257 0,8147 0,5599


n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

17 0 0,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7922 0,4818 0,2525 0,1182 0,0501 0,0193 0,0067 0,0021 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9497 0,7618 0,5198 0,3096 0,1637 0,0774 0,0327 0,0123 0,0041 0,0012 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9912 0,9174 0,7556 0,5489 0,3530 0,2019 0,1028 0,0464 0,0184 0,0064 0,0019 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9988 0,9779 0,9013 0,7582 0,5739 0,3887 0,2348 0,1260 0,0596 0,0245 0,0086 0,0025 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9999 0,9953 0,9681 0,8943 0,7653 0,5968 0,4197 0,2639 0,1471 0,0717 0,0301 0,0106 0,0030 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9992 0,9917 0,9623 0,8929 0,7752 0,6188 0,4478 0,2902 0,1662 0,0826 0,0348 0,0120 0,0032 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

7 1,0000 0,9999 0,9983 0,9891 0,9598 0,8954 0,7872 0,6405 0,4743 0,3145 0,1834 0,0919 0,0383 0,0127 0,0031 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000

8 1,0000 1,0000 0,9997 0,9974 0,9876 0,9597 0,9006 0,8011 0,6626 0,5000 0,3374 0,1989 0,0994 0,0403 0,0124 0,0026 0,0003 0,0000 0,0000

9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9617 0,9081 0,8166 0,6855 0,5257 0,3595 0,2128 0,1046 0,0402 0,0109 0,0017 0,0001 0,0000

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9880 0,9652 0,9174 0,8338 0,7098 0,5522 0,3812 0,2248 0,1071 0,0377 0,0083 0,0008 0,0000

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9970 0,9894 0,9699 0,9283 0,8529 0,7361 0,5803 0,4032 0,2347 0,1057 0,0319 0,0047 0,0001

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9975 0,9914 0,9755 0,9404 0,8740 0,7652 0,6113 0,4261 0,2418 0,0987 0,0221 0,0012

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9936 0,9816 0,9536 0,8972 0,7981 0,6470 0,4511 0,2444 0,0826 0,0088

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9988 0,9959 0,9877 0,9673 0,9226 0,8363 0,6904 0,4802 0,2382 0,0503

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9979 0,9933 0,9807 0,9499 0,8818 0,7475 0,5182 0,2078

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9977 0,9925 0,9775 0,9369 0,8332 0,5819

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

18 0 0,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7735 0,4503 0,2241 0,0991 0,0395 0,0142 0,0046 0,0013 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9419 0,7338 0,4797 0,2713 0,1353 0,0600 0,0236 0,0082 0,0025 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9891 0,9018 0,7202 0,5010 0,3057 0,1646 0,0783 0,0328 0,0120 0,0038 0,0010 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9985 0,9718 0,8794 0,7164 0,5187 0,3327 0,1886 0,0942 0,0411 0,0154 0,0049 0,0013 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

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6 1,0000 0,9988 0,9882 0,9487 0,8610 0,7217 0,5491 0,3743 0,2258 0,1189 0,0537 0,0203 0,0062 0,0014 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

7 1,0000 0,9998 0,9973 0,9837 0,9431 0,8593 0,7283 0,5634 0,3915 0,2403 0,1280 0,0576 0,0212 0,0061 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

8 1,0000 1,0000 0,9995 0,9957 0,9807 0,9404 0,8609 0,7368 0,5778 0,4073 0,2527 0,1347 0,0597 0,0210 0,0054 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000

9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9946 0,9790 0,9403 0,8653 0,7473 0,5927 0,4222 0,2632 0,1391 0,0596 0,0193 0,0043 0,0005 0,0000 0,0000

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9788 0,9424 0,8720 0,7597 0,6085 0,4366 0,2717 0,1407 0,0569 0,0163 0,0027 0,0002 0,0000

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9938 0,9797 0,9463 0,8811 0,7742 0,6257 0,4509 0,2783 0,1390 0,0513 0,0118 0,0012 0,0000

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9986 0,9942 0,9817 0,9519 0,8923 0,7912 0,6450 0,4656 0,2825 0,1329 0,0419 0,0064 0,0002

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9846 0,9589 0,9058 0,8114 0,6673 0,4813 0,2836 0,1206 0,0282 0,0015

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9962 0,9880 0,9672 0,9217 0,8354 0,6943 0,4990 0,2798 0,0982 0,0109

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9918 0,9764 0,9400 0,8647 0,7287 0,5203 0,2662 0,0581

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9954 0,9858 0,9605 0,9009 0,7759 0,5497 0,2265

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9944 0,9820 0,9464 0,8499 0,6028

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

19 0 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


1 0,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0,0022 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0696 0,0280 0,0096 0,0028 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0,0318 0,0109 0,0031 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0,0835 0,0342 0,0116 0,0031 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

7 1,0000 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0,1796 0,0871 0,0352 0,0114 0,0028 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

8 1,0000 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0,3238 0,1841 0,0885 0,0347 0,0105 0,0023 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0,5000 0,3290 0,1861 0,0875 0,0326 0,0089 0,0016 0,0001 0,0000 0,0000

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0,6762 0,5060 0,3325 0,1855 0,0839 0,0287 0,0067 0,0008 0,0000 0,0000

11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0,8204 0,6831 0,5122 0,3344 0,1820 0,0775 0,0233 0,0041 0,0003 0,0000

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0,9165 0,8273 0,6919 0,5188 0,3345 0,1749 0,0676 0,0163 0,0017 0,0000

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0,9682 0,9223 0,8371 0,7032 0,5261 0,3322 0,1631 0,0537 0,0086 0,0002

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9904 0,9720 0,9304 0,8500 0,7178 0,5346 0,3267 0,1444 0,0352 0,0020

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9978 0,9923 0,9770 0,9409 0,8668 0,7369 0,5449 0,3159 0,1150 0,0132

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9985 0,9945 0,9830 0,9538 0,8887 0,7631 0,5587 0,2946 0,0665

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9969 0,9896 0,9690 0,9171 0,8015 0,5797 0,2453

18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9958 0,9856 0,9544 0,8649 0,6226

n x 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

20 0 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

2 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0,0013 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0,0059 0,0015 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0,0207 0,0064 0,0016 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6 1,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0,0577 0,0214 0,0065 0,0015 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

7 1,0000 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0,1316 0,0580 0,0210 0,0060 0,0013 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

8 1,0000 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0,2517 0,1308 0,0565 0,0196 0,0051 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

9 1,0000 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0,4119 0,2493 0,1275 0,0532 0,0171 0,0039 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0,5881 0,4086 0,2447 0,1218 0,0480 0,0139 0,0026 0,0002 0,0000 0,0000

11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0,7483 0,5857 0,4044 0,2376 0,1133 0,0409 0,0100 0,0013 0,0001 0,0000

12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0,8684 0,7480 0,5841 0,3990 0,2277 0,1018 0,0321 0,0059 0,0004 0,0000

13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0,9423 0,8701 0,7500 0,5834 0,3920 0,2142 0,0867 0,0219 0,0024 0,0000

14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0,9793 0,9447 0,8744 0,7546 0,5836 0,3828 0,1958 0,0673 0,0113 0,0003

15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9941 0,9811 0,9490 0,8818 0,7625 0,5852 0,3704 0,1702 0,0432 0,0026

16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9840 0,9556 0,8929 0,7748 0,5886 0,3523 0,1330 0,0159

17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9991 0,9964 0,9879 0,9645 0,9087 0,7939 0,5951 0,3231 0,0755

18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9979 0,9924 0,9757 0,9308 0,8244 0,6083 0,2642

19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9968 0,9885 0,9612 0,8784 0,6415

Nota: 𝑺𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟐𝟎, 𝒔𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 (𝒏𝒐 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 𝒐 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂)𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒂 𝒍𝒂 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍.

𝒑 =? 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500


TABLA DE LA FUNCION GAMMA

𝚪(∝) = ∫ 𝒙∝−𝟏 ∗ 𝒆−𝒙 ∗ 𝒅𝒙 ; 𝟏 <∝≤ 𝟓∝

𝟎


TABLA DE VALORES DE: (𝒆𝒙 𝒚 𝒆−𝒙)


TABLA DE DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA

𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑱𝒊 𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑(𝑿 > 𝒙𝟐(𝒅𝒇. 𝜶)) = 𝜶 = á𝒓𝒆𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂

grados de

libertad

𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝜶

0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

1 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794

2 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 10.5965

3 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 12.8381

4 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602

5 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496

6 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5475

7 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777

8 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549

9 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893

10 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.1881

11 17.2750 19.6752 21.9200 24.7250 26.7569

12 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.2997

13 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 29.8193

14 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.3194

15 22.3071 24.9958 27.4884 30.5780 32.8015

16 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 34.2671

17 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 35.7184

18 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 37.1564

19 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 38.5821

20 28.4120 31.4104 34.1696 37.5663 39.9969

21 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.4009

22 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 42.7957

23 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 44.1814

24 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 45.5584

25 34.3816 37.6525 40.6465 44.3140 46.9280

26 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 48.2898

27 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 49.6450

28 37.9159 41.3372 44.4608 48.2782 50.9936

29 39.0875 42.5569 45.7223 49.5878 52.3355

30 40.2560 43.7730 46.9792 50.8922 53.6719

31 41.4217 44.9853 48.2319 52.1914 55.0025

32 42.5847 46.1942 49.4804 53.4857 56.3280

33 43.7452 47.3999 50.7251 54.7754 57.6483

34 44.9032 48.6024 51.9660 56.0609 58.9637

35 46.0588 49.8018 53.2033 57.3420 60.2746

36 47.2122 50.9985 54.4373 58.6192 61.5811

37 48.3634 52.1923 55.6680 59.8926 62.8832

38 49.5126 53.3835 56.8955 61.1620 64.1812

39 50.6598 54.5722 58.1201 62.4281 65.4753

40 51.8050 55.7585 59.3417 63.6908 66.7660

50 63.1671 67.5048 71.4202 76.1538 79.4898

60 74.3970 79.0820 83.2977 88.3794 91.9518

70 85.5270 90.5313 95.0231 100.4251 104.2148

80 96.5782 101.8795 106.6285 112.3288 116.3209

90 107.5650 113.1452 118.1359 124.1162 128.2987

100 118.4980 124.3421 129.5613 135.8069 140.1697

150 172.5812 179.5806 185.8004 193.2075 198.3599

200 226.0210 233.9942 241.0578 249.4452 255.2638

300 331.7885 341.3951 349.8745 359.9064 366.8439

400 436.6490 447.6324 457.3056 468.7244 476.6068

500 540.9303 553.1269 563.8514 576.4931 585.2060


grados de

libertad


0.995 0.990 0.975 0.950 0.900

1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158

2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107

3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844

4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636

5 0.4118 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103

6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041

7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331

8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895

9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682

10 2.1558 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652

11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778

12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038

13 3.5650 4.1069 5.0087 5.8919 7.0415

14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895

15 4.6009 5.2294 6.2621 7.2609 8.5468

16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122

17 5.6973 6.4077 7.5642 8.6718 10.0852

18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3904 10.8649

19 6.8439 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509

20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426

21 8.0336 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396

22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415

23 9.2604 10.1957 11.6885 13.0905 14.8480

24 9.8862 10.8563 12.4011 13.8484 15.6587

25 10.5196 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734

26 11.1602 12.1982 13.8439 15.3792 17.2919

27 11.8077 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139

28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392

29 13.1211 14.2564 16.0471 17.7084 19.7677

30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992

31 14.4577 15.6555 17.5387 19.2806 21.4336

32 15.1340 16.3622 18.2908 20.0719 22.2706

33 15.8152 17.0735 19.0467 20.8665 23.1102

34 16.5013 17.7891 19.8062 21.6643 23.9522

35 17.1917 18.5089 20.5694 22.4650 24.7966

36 17.8868 19.2326 21.3359 23.2686 25.6433

37 18.5859 19.9603 22.1056 24.0749 26.4921

38 19.2888 20.6914 22.8785 24.8839 27.3430

39 19.9958 21.4261 23.6543 25.6954 28.1958

40 20.7066 22.1642 24.4331 26.5093 29.0505

50 27.9908 29.7067 32.3574 34.7642 37.6886

60 35.5344 37.4848 40.4817 43.1880 46.4589

70 43.2753 45.4417 48.7575 51.7393 55.3289

80 51.1719 53.5400 57.1532 60.3915 64.2778

90 59.1963 61.7540 65.6466 69.1260 73.2911

100 67.3275 70.0650 74.2219 77.9294 82.3581

150 109.1423 112.6676 117.9846 122.6918 128.2750

200 152.2408 156.4321 162.7280 168.2785 174.8353

300 240.6631 245.9727 253.9122 260.8781 269.0679

400 330.9029 337.1552 346.4817 354.6410 364.2074

500 422.3034 429.3874 439.9360 449.1467 459.9261


Ji-cuadrado

Grados de libertad=gl

1/alfa alfa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 0.1 2.7055 4.6052 6.2514 7.7794 9.2363 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987

20 0.05 3.8415 5.9915 7.8147 9.4877 11.07 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307

40 0.025 5.0239 7.3778 9.3484 11.143 12.832 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483

50 0.02 5.4119 7.8241 9.8374 11.668 13.388 15.033 16.622 18.168 19.679 21.161

100 0.01 6.6349 9.2104 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.09 21.666 23.209

200 0.005 7.8794 10.597 12.838 14.86 16.75 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188

1000 0.001 10.827 13.815 16.266 18.466 20.515 22.457 24.321 26.124 27.877 29.588

2000 0.0005 12.115 15.201 17.731 19.998 22.106 24.102 26.018 27.867 29.667 31.419

10000 0.0001 15.134 18.425 21.104 23.506 25.751 27.853 29.881 31.827 33.725 35.557

20000 0.00005 16.458 19.802 22.544 25.002 27.282 29.444 31.52 33.493 35.44 37.32

100000 0.00001 19.504 23.079 25.884 28.415 30.799 33.089 35.204 37.286 39.278 41.265

200000 5E-06 20.847 24.366 27.312 29.939 32.462 34.661 36.725 38.916 41.088 43.023

1000000 1E-06 24.366 28.229 30.482 33.379 35.612 37.965 40.138 42.31 45.162 46.766

2000000 5E-07 24.366 28.229 33.379 34.344 37.241 40.138 42.31 43.94 46.078 48.828

Ji-cuadrado Grados de libertad=gl

1/alfa alfa 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10 0.1 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412

20 0.05 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.41

40 0.025 21.92 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.17

50 0.02 22.618 24.054 25.471 26.873 28.259 29.633 30.995 32.346 33.687 35.02

100 0.01 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32 33.409 34.805 36.191 37.566

200 0.005 26.757 28.3 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997

1000 0.001 31.264 32.909 34.527 36.124 37.698 39.252 40.791 42.312 43.819 45.314

2000 0.0005 33.138 34.821 36.477 38.109 39.717 41.308 42.881 44.434 45.974 47.498

10000 0.0001 37.365 39.131 40.873 42.575 44.26 45.926 47.559 49.185 50.787 52.383

20000 0.00005 39.149 40.959 42.718 44.444 46.154 47.866 49.528 51.164 52.803 54.442

100000 0.00001 43.252 45.04 46.895 48.673 50.438 52.29 53.949 55.639 57.296 58.976

200000 5E-06 44.872 46.766 48.828 50.393 52.29 54.121 55.811 57.468 59.157 60.987

1000000 1E-06 48.828 51.117 52.834 54.121 56.354 57.983 59.7 61.953 63.22 64.85

2000000 5E-07 51.117 52.834 54.121 57.983 57.983 59.7 60.987 64.85 64.85 66.137



1/alfa alfa 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

10 0.1 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256

20 0.05 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773

40 0.025 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.195 44.461 45.722 46.979

50 0.02 36.343 37.659 38.968 40.27 41.566 42.856 44.14 45.419 46.693 47.962

100 0.01 38.932 40.289 41.638 42.98 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892

200 0.005 41.401 42.796 44.181 45.558 46.928 48.29 49.645 50.994 52.335 53.672

1000 0.001 46.796 48.268 49.728 51.179 52.619 54.051 55.475 56.892 58.301 59.702

2000 0.0005 49.01 50.51 51.999 53.478 54.948 56.407 57.856 59.299 60.734 62.16

10000 0.0001 53.96 55.524 57.067 58.607 60.136 61.667 63.166 64.656 66.152 67.623

20000 0.00005 56.016 57.621 59.191 60.758 62.295 63.837 65.356 66.874 68.396 69.908

100000 0.00001 60.682 62.27 63.933 65.594 67.103 68.778 70.422 71.927 73.475 74.958

200000 5E-06 62.677 64.334 66.137 67.522 69.083 70.965 72.334 73.862 75.537 77.302

1000000 1E-06 67.103 68.37 70 71.689 73.862 75.129 76.759 78.931 80.561 81.783

2000000 5E-07 70 70 73.862 73.862 76.759 76.759 78.931 80.561 81.783 85.449


1/alfa alfa 40 50 60 70 80 90 100 125 150 175

10 0.1 51.805 63.167 74.397 85.527 96.578 107.57 118.5 145.64 172.58 199.36

20 0.05 55.758 67.505 79.082 90.531 101.88 113.15 124.34 152.09 179.58 206.87

40 0.025 59.342 71.42 83.298 95.023 106.63 118.14 129.56 157.84 185.8 213.52

50 0.02 60.436 72.613 84.58 96.387 108.07 119.65 131.14 159.58 187.68 215.53

100 0.01 63.691 76.154 88.379 100.43 112.33 124.12 135.81 164.69 193.21 221.44

200 0.005 66.766 79.49 91.952 104.21 116.32 128.3 140.17 169.47 198.36 226.94

1000 0.001 73.403 86.66 99.608 112.32 124.84 137.21 149.45 179.6 209.27 238.55

2000 0.0005 76.096 89.56 102.7 115.58 128.26 140.78 153.16 183.65 213.61 243.17

10000 0.0001 82.055 95.971 109.5 122.74 135.77 148.62 161.33 192.5 223.12 253.25

20000 0.00005 84.528 98.612 112.3 125.7 138.88 151.86 164.66 196.13 226.98 257.37

100000 0.00001 90.143 104.46 118.49 132.35 145.7 159 172.09 204.08 235.5 266.37

200000 5E-06 92.316 107.11 121.01 135.2 148.47 161.81 175.11 207.47 239.12 270.09

1000000 1E-06 97.466 112.92 127 140.27 155.66 169.24 181.56 216.48 247.81 280

2000000 5E-07 101.33 114.2 128.63 142.45 160.55 170.87 184.31 216.48 250.71 280



1/alfa alfa 200 225 250 275 300 325 350 375 400 450

10 0.1 226.02 252.58 279.05 305.45 331.79 358.07 384.31 410.5 436.65 488.85

20 0.05 233.99 260.99 287.88 314.68 341.4 368.04 394.63 421.15 447.63 500.46

40 0.025 241.06 268.44 295.69 322.83 349.87 376.84 403.72 430.54 457.31 510.67

50 0.02 243.19 270.68 298.04 325.28 352.42 379.48 406.46 433.37 460.21 513.74

100 0.01 249.45 277.27 304.94 332.48 359.91 387.23 414.47 441.63 468.72 522.72

200 0.005 255.26 283.39 311.35 339.16 366.84 394.42 421.9 449.29 476.61 531.03

1000 0.001 267.54 296.29 324.83 353.2 381.42 409.51 437.49 465.36 493.13 548.43

2000 0.0005 272.42 301.41 330.19 358.77 387.2 415.49 443.65 471.71 499.67 555.31

10000 0.0001 283.04 312.55 341.82 370.87 399.74 428.45 457.05 485.48 513.85 570.19

20000 0.00005 287.4 317.14 346.52 375.8 404.82 433.73 462.48 491.05 519.62 576.3

100000 0.00001 297.12 327.13 356.99 386.6 416.03 445.47 474.49 503.4 532.1 589.67

200000 5E-06 300.93 331.49 361.12 390.83 420.7 450.19 479.02 508.39 537.92 594.75

1000000 1E-06 309.21 341.8 370.55 400.42 432.11 460.67 490.61 519.39 549.51 607.44

2000000 5E-07 315.73 348.66 374.41 405.31 437 463.57 499.3 523.06 552.4 616.13


1/alfa alfa 500 550 600 650 700 750 800 1000 2000 3000

10 0.1 540.93 592.91 644.8 696.61 748.36 800.04 851.67 1057.7

20 0.05 553.13 605.67 658.09 710.42 762.66 814.82 866.91 1074.7 3128.5

40 0.025 563.85 616.88 669.77 722.54 775.21 827.79 880.28 1089.5 3153.7

50 0.02 567.07 620.24 673.27 726.18 778.97 831.67 884.28 1094 3161.2

100 0.01 576.49 630.08 683.52 736.81 789.97 843.03 895.98 1107 2150.1 3183.1

200 0.005 585.21 639.18 692.98 746.63 800.13 853.51 906.79 1118.9 2166.7 3203.3

1000 0.001 603.45 658.22 712.77 767.14 821.35 875.4 929.33 1143.9 2201.2 3245.1

2000 0.0005 610.64 665.72 720.57 775.23 829.7 884.02 938.2 1153.7 2214.7 3261.4

10000 0.0001 626.22 681.96 737.46 792.73 847.77 902.65 957.36 1175 2243.8 3296.7

20000 0.00005 632.58 688.6 744.28 799.84 855.07 910.16 965.07 1183.5 2255.5 3310.9

100000 0.00001 646.31 703.04 759.21 815.12 871.07 926.63 982.04 1202.1 2281.1 3341.7

200000 5E-06 652.52 708.84 765.37 821.84 877.72 933.38 989.19 1209.8 2291.5 3355.3

1000000 1E-06 665.97 722.59 781.25 833.75 892.97 946.51 1002.8 1228.1 2313.8 3381.3

2000000 5E-07 676.97 726.26 781.25 845.34 901.66 955.2 1011.5 1236.8 2324.8 3401.9


Tabla de Distribución t de Student

Valores críticos para la distribución 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕′𝒔 𝒕 𝑺𝒊 𝑻 ~ 𝒕(𝒅𝒇),𝑷(𝑻 > 𝒕) = 𝜶 = á𝒓𝒆𝒂 𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏,𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 𝒅𝒆 𝒕.

𝑻~𝒕(𝒅𝒇) 𝑷(𝑻 > 𝒕(𝒅𝒇, 𝒂𝒍𝒇𝒂))

grados de

libertad


0.1000 0.0500 0.0250 0.0100 0.0050 0.0010 0.0005

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 318.289 636.578

2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.328 31.600

3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.214 12.924

4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610

5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.894 6.869

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.959

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.408

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.041

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.437

12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.318

13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.221

14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.140

15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.015

17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.965

18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.922

19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.883

20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.819

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.792

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.768

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.745

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.725

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.707

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.689

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.674

29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.660

30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

31 1.309 1.696 2.040 2.453 2.744 3.375 3.633

32 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738 3.365 3.622

33 1.308 1.692 2.035 2.445 2.733 3.356 3.611

34 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728 3.348 3.601

35 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.340 3.591

36 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719 3.333 3.582

37 1.305 1.687 2.026 2.431 2.715 3.326 3.574

38 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712 3.319 3.566

39 1.304 1.685 2.023 2.426 2.708 3.313 3.558

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.551

60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373

infinito 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576 3.091 3.291


𝒕 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕′𝒔


1/alfa alfa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 0.1 6.3137 2.92 2.3534 2.1318 2.015 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125

20 0.05 12.706 4.3027 3.1824 2.7765 2.5706 2.4469 2.3646 2.306 2.2622 2.2281

40 0.025 25.452 6.2054 4.1765 3.4954 3.1634 2.9687 2.8412 2.7515 2.685 2.6338

50 0.02 31.821 6.9645 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9979 2.8965 2.8214 2.7638

100 0.01 63.656 9.925 5.8408 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693

200 0.005 127.32 14.089 7.4532 5.5975 4.7733 4.3168 4.0294 3.8325 3.6896 3.5814

1000 0.001 636.58 31.6 12.924 8.6101 6.8685 5.9587 5.4081 5.0414 4.7809 4.5868

2000 0.0005 1273.2 44.703 16.326 10.305 7.9756 6.7882 6.0815 5.617 5.2911 5.0489

10000 0.0001 6370.5 100.14 28.014 15.534 11.176 9.0804 7.8883 7.12 6.5938 6.2119

20000 0.00005 12665 141.26 35.316 18.515 12.89 10.263 8.7824 7.851 7.2177 6.7614

100000 0.00001 63477 314.71 60.797 27.716 17.881 13.56 11.176 9.7603 8.8289 8.1584

200000 5E-06 126953 457.76 76.294 33.379 20.564 15.199 12.517 10.729 9.6112 8.7917

1000000 1E-06 625000 915.53 133.51 47.684 28.61 20.266 15.497 13.113 11.921 10.729

2000000 5E-07 3E+06 1220.7 152.59 57.22 38.147 23.842 19.073 14.305 13.113 11.921



1/alfa alfa 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10 0.1 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247

20 0.05 2.201 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.1199 2.1098 2.1009 2.093 2.086

40 0.025 2.5931 2.56 2.5326 2.5096 2.4899 2.4729 2.4581 2.445 2.4334 2.4231

50 0.02 2.7181 2.681 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.528

100 0.01 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453

200 0.005 3.4966 3.4284 3.3725 3.3257 3.286 3.252 3.2224 3.1966 3.1737 3.1534

1000 0.001 4.4369 4.3178 4.2209 4.1403 4.0728 4.0149 3.9651 3.9217 3.8833 3.8496

2000 0.0005 4.8633 4.7166 4.5972 4.4995 4.4168 4.3464 4.2858 4.2332 4.1869 4.1461

10000 0.0001 5.9232 5.695 5.5134 5.3644 5.2387 5.1339 5.0431 4.9663 4.8988 4.8382

20000 0.00005 6.4075 6.1467 5.9279 5.7556 5.6066 5.4855 5.3784 5.2899 5.2061 5.1409

100000 0.00001 7.6368 7.2643 6.9663 6.7055 6.5193 6.333 6.184 6.0722 5.9605 5.8487

200000 5E-06 8.1956 7.7486 7.4506 7.1526 6.929 6.7055 6.5565 6.4075 6.2585 6.184

1000000 1E-06 9.5367 8.9407 8.6427 8.3447 7.7486 7.7486 7.4506 7.1526 7.1526 6.8545

2000000 5E-07 10.729 9.5367 9.5367 8.9407 8.3447 8.3447 8.3447 7.7486 7.7486 7.1526


𝒕 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕′𝒔 Grados de libertad=gl

1/alfa alfa 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

10 0.1 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973

20 0.05 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423

40 0.025 2.4138 2.4055 2.3979 2.391 2.3846 2.3788 2.3734 2.3685 2.3638 2.3596

50 0.02 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.462 2.4573

100 0.01 2.8314 2.8188 2.8073 2.797 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.75

200 0.005 3.1352 3.1188 3.104 3.0905 3.0782 3.0669 3.0565 3.047 3.038 3.0298

1000 0.001 3.8193 3.7922 3.7676 3.7454 3.7251 3.7067 3.6895 3.6739 3.6595 3.646

2000 0.0005 4.1095 4.0769 4.0475 4.0207 3.9965 3.9744 3.954 3.9348 3.9177 3.9017

10000 0.0001 4.7847 4.7358 4.6939 4.6543 4.6194 4.5868 4.5565 4.5309 4.5053 4.482

20000 0.00005 5.0757 5.0198 4.9733 4.9267 4.8848 4.8475 4.8149 4.7823 4.7544 4.7311

100000 0.00001 5.7742 5.6997 5.6252 5.5693 5.5134 5.4576 5.4203 5.3644 5.3272 5.2899

200000 5E-06 6.0722 5.9977 5.9232 5.8487 5.7742 5.7369 5.6624 5.6252 5.5879 5.5507

1000000 1E-06 6.8545 6.7055 6.5565 6.5565 6.5565 6.2585 6.2585 6.2585 6.2585 6.1095

2000000 5E-07 7.1526 7.1526 7.1526 7.1526 6.5565 6.5565 6.5565 6.5565 6.5565 6.5565



1/alfa alfa 40 50 60 70 80 90 100 125 150 175

10 0.1 1.6839 1.6759 1.6706 1.6669 1.6641 1.662 1.6602 1.6571 1.6551 1.6536

20 0.05 2.0211 2.0086 2.0003 1.9944 1.9901 1.9867 1.984 1.9791 1.9759 1.9736

40 0.025 2.3289 2.3109 2.299 2.2906 2.2844 2.2795 2.2757 2.2687 2.2641 2.2608

50 0.02 2.4233 2.4033 2.3901 2.3808 2.3739 2.3685 2.3642 2.3566 2.3515 2.3478

100 0.01 2.7045 2.6778 2.6603 2.6479 2.6387 2.6316 2.6259 2.6157 2.609 2.6042

200 0.005 2.9712 2.937 2.9146 2.8987 2.887 2.8779 2.8707 2.8577 2.8492 2.8431

1000 0.001 3.551 3.496 3.4602 3.435 3.4164 3.4019 3.3905 3.3701 3.3565 3.3469

2000 0.0005 3.7884 3.723 3.6808 3.6508 3.6287 3.6118 3.5984 3.5742 3.5582 3.5472

10000 0.0001 4.3213 4.2282 4.1688 4.1269 4.0955 4.0722 4.0536 4.0198 3.9977 3.9814

20000 0.00005 4.5449 4.4378 4.3702 4.3213 4.2887 4.2608 4.2398 4.2003 4.177 4.1584

100000 0.00001 5.0478 4.9174 4.8243 4.7684 4.7125 4.6752 4.6566 4.6007 4.5728 4.5449

200000 5E-06 5.2527 5.1036 5.0291 4.9546 4.8988 4.8429 4.8243 4.7684 4.7311 4.7125

1000000 1E-06 5.8115 5.6624 5.5134 5.3644 5.3644 5.2154 5.2154 5.2154 5.0664 5.0664

2000000 5E-07 5.9605 5.9605 5.6624 5.6624 5.3644 5.3644 5.3644 5.3644 5.3644 5.3644




1/alfa alfa 200 225 250 275 300 325 350 375 400 450

10 0.1 1.6525 1.6517 1.651 1.6504 1.6499 1.6496 1.6492 1.6489 1.6487 1.6482

20 0.05 1.9719 1.9706 1.9695 1.9686 1.9679 1.9673 1.9668 1.9663 1.9659 1.9652

40 0.025 2.2584 2.2565 2.255 2.2537 2.2527 2.2518 2.2511 2.2504 2.2499 2.2489

50 0.02 2.3451 2.343 2.3414 2.34 2.3388 2.3379 2.337 2.3363 2.3357 2.3347

100 0.01 2.6006 2.5979 2.5956 2.5938 2.5923 2.591 2.5899 2.589 2.5882 2.5868

200 0.005 2.8385 2.835 2.8322 2.8299 2.8279 2.8263 2.8249 2.8237 2.8227 2.821

1000 0.001 3.3398 3.3343 3.3299 3.3263 3.3232 3.3207 3.3186 3.3167 3.3151 3.3123

2000 0.0005 3.5387 3.532 3.5268 3.5227 3.5192 3.5163 3.5137 3.5114 3.5093 3.5064

10000 0.0001 3.9698 3.9616 3.9546 3.9488 3.9442 3.9395 3.936 3.9325 3.9302 3.9255

20000 0.00005 4.1444 4.1351 4.1281 4.1211 4.1164 4.1118 4.1071 4.1025 4.1001 4.0955

100000 0.00001 4.5262 4.5262 4.5076 4.5076 4.489 4.489 4.489 4.4797 4.4703 4.4703

200000 5E-06 4.6939 4.6752 4.6566 4.6566 4.6566 4.638 4.638 4.6194 4.6194 4.6194

1000000 1E-06 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 4.9919 4.9919 4.9919 4.9174 4.9174

2000000 5E-07 5.3644 5.3644 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664



1/alfa alfa 500 550 600 650 700 750 800 1000 2000 3000

10 0.1 1.6479 1.6476 1.6474 1.6472 1.647 1.6469 1.6468 1.6464 1.6456 1.6454

20 0.05 1.9647 1.9643 1.9639 1.9636 1.9634 1.9631 1.9629 1.9623 1.9612 1.9608

40 0.025 2.2482 2.2476 2.247 2.2466 2.2462 2.2459 2.2456 2.2448 2.2431 2.2425

50 0.02 2.3338 2.3331 2.3326 2.3321 2.3317 2.3313 2.331 2.3301 2.3282 2.3276

100 0.01 2.5857 2.5848 2.5841 2.5834 2.5829 2.5824 2.582 2.5807 2.5783 2.5775

200 0.005 2.8195 2.8184 2.8175 2.8167 2.816 2.8154 2.8148 2.8133 2.8102 2.8091

1000 0.001 3.3101 3.3082 3.3068 3.3056 3.3044 3.3036 3.3027 3.3002 3.2954 3.2938

2000 0.0005 3.5038 3.5018 3.5 3.4983 3.4971 3.496 3.4951 3.4922 3.4863 3.4846

10000 0.0001 3.922 3.9197 3.9162 3.915 3.9127 3.9116 3.9104 3.9069 3.8987 3.8953

20000 0.00005 4.0908 4.0885 4.0862 4.0838 4.0815 4.0792 4.0792 4.0745 4.0652 4.0606

100000 0.00001 4.461 4.461 4.4517 4.4517 4.4517 4.4517 4.4517 4.4424 4.4331 4.4238

200000 5E-06 4.6194 4.6194 4.6194 4.6007 4.6007 4.6007 4.6007 4.5821 4.5821 4.5821

1000000 1E-06 4.9174 4.9174 4.9174 4.9174 4.9174 4.9174 4.9174 4.9174 4.9174 4.9174

2000000 5E-07 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664 5.0664


TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE F de Fisher

𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎,𝟎𝟏

Valores críticos de la distribución F de Fisher 0,01 = área a la derecha de f bajo la función de densidad f(dfn,dfd,.01)

F~ F(dfn,dfd)

grados de libertad del numerador (dfn)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gra

do

s d

e lib

ert

ad

del d

en

om

inad

or

(dfd

)

1 4052.18 4999.34 5403.53 5624.26 5763.96 5858.95 5928.33 5980.95 6022.40 6055.93

2 98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.40

3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23

4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55

5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05

6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87

7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62

8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81

9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26

10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85

11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54

12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30

13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10

14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94

15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80

16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69

17 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59

18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51

19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43

20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37

21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31

22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26

23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21

24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17

25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13

26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09

27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06

28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03

29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00

30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98

31 7.53 5.36 4.48 3.99 3.67 3.45 3.28 3.15 3.04 2.96

32 7.50 5.34 4.46 3.97 3.65 3.43 3.26 3.13 3.02 2.93

33 7.47 5.31 4.44 3.95 3.63 3.41 3.24 3.11 3.00 2.91

34 7.44 5.29 4.42 3.93 3.61 3.39 3.22 3.09 2.98 2.89

35 7.42 5.27 4.40 3.91 3.59 3.37 3.20 3.07 2.96 2.88

36 7.40 5.25 4.38 3.89 3.57 3.35 3.18 3.05 2.95 2.86

37 7.37 5.23 4.36 3.87 3.56 3.33 3.17 3.04 2.93 2.84

38 7.35 5.21 4.34 3.86 3.54 3.32 3.15 3.02 2.92 2.83

39 7.33 5.19 4.33 3.84 3.53 3.30 3.14 3.01 2.90 2.81

40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80

60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63

100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50

120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47

infinito 6.64 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32


Valores críticos de la distribución F de Fisher 0,01 = área a la derecha de f bajo la función de densidad f(dfn,dfd,.01) F~ F(dfn,dfd)

𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎,𝟎𝟏

P(F > f) = .01


12 15 20 24 30 40 60 120 infinito G

rad

os d

e lib

ert

ad

del d

en

om

inad

or

(dfd

)

1 6106.68 6156.97 6208.66 6234.27 6260.35 6286.43 6312.97 6339.51 6365.59

2 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.48 99.48 99.49 99.50

3 27.05 26.87 26.69 26.60 26.50 26.41 26.32 26.22 26.13

4 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46

5 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02

6 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88

7 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65

8 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95 4.86

9 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40 4.31

10 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91

11 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.60

12 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.36

13 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17

14 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.01

15 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87

16 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75

17 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75 2.65

18 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57

19 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49

20 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42

21 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36

22 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31

23 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26

24 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21

25 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17

26 2.96 2.81 2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23 2.13

27 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20 2.10

28 2.90 2.75 2.60 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.07

29 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.04

30 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01

31 2.82 2.68 2.52 2.45 2.36 2.27 2.18 2.09 1.98

32 2.80 2.65 2.50 2.42 2.34 2.25 2.16 2.06 1.96

33 2.78 2.63 2.48 2.40 2.32 2.23 2.14 2.04 1.93

34 2.76 2.61 2.46 2.38 2.30 2.21 2.12 2.02 1.91

35 2.74 2.60 2.44 2.36 2.28 2.19 2.10 2.00 1.89

36 2.72 2.58 2.43 2.35 2.26 2.18 2.08 1.98 1.87

37 2.71 2.56 2.41 2.33 2.25 2.16 2.06 1.96 1.86

38 2.69 2.55 2.40 2.32 2.23 2.14 2.05 1.95 1.84

39 2.68 2.54 2.38 2.30 2.22 2.13 2.03 1.93 1.82

40 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.81

60 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.60

100 2.37 2.22 2.07 1.98 1.89 1.80 1.69 1.57 1.43

120 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38

infinito 2.19 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.48 1.33 1.05


𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎,𝟎𝟐𝟓

Valores críticos para la distribución F de Fisher .025 = P(F > f) = área a la derecha de f bajo la función de densidad F

F ~ F(dfn,dfd)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

1 647.79 799.48 864.15 899.60 921.83 937.11 948.20 956.64 963.28 968.63

2 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40

3 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42

4 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84

5 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62

6 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46

7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76

8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30

9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96

10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72

11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53

12 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37

13 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25

14 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15

15 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06

16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99

17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92

18 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87

19 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82

20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77

21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73

22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67

24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64

25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61

26 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59

27 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57

28 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55

29 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53

30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51

31 5.55 4.16 3.57 3.23 3.01 2.85 2.73 2.64 2.56 2.50

32 5.53 4.15 3.56 3.22 3.00 2.84 2.71 2.62 2.54 2.48

33 5.51 4.13 3.54 3.20 2.98 2.82 2.70 2.61 2.53 2.47

34 5.50 4.12 3.53 3.19 2.97 2.81 2.69 2.59 2.52 2.45

35 5.48 4.11 3.52 3.18 2.96 2.80 2.68 2.58 2.50 2.44

36 5.47 4.09 3.50 3.17 2.94 2.78 2.66 2.57 2.49 2.43

37 5.46 4.08 3.49 3.16 2.93 2.77 2.65 2.56 2.48 2.42

38 5.45 4.07 3.48 3.15 2.92 2.76 2.64 2.55 2.47 2.41

39 5.43 4.06 3.47 3.14 2.91 2.75 2.63 2.54 2.46 2.40

40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39

60 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27

100 5.18 3.83 3.25 2.92 2.70 2.54 2.42 2.32 2.24 2.18

120 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16

inf 5.03 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05


𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎,𝟎𝟐𝟓


P(F > f) = .025 F ~ F(dfn,dfd)


12 15 20 24 30 40 60 120 inf

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

1 976.72 984.87 993.08 997.27 1001.40 1005.60 1009.79 1014.04 1018.23

2 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49 39.50

3 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 14.04 13.99 13.95 13.90

4 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31 8.26

5 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07 6.02

6 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.90 4.85

7 4.67 4.57 4.47 4.41 4.36 4.31 4.25 4.20 4.14

8 4.20 4.10 4.00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.67

9 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 3.33

10 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.20 3.14 3.08

11 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.00 2.94 2.88

12 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79 2.73

13 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66 2.60

14 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55 2.49

15 2.96 2.86 2.76 2.70 2.64 2.59 2.52 2.46 2.40

16 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38 2.32

17 2.82 2.72 2.62 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.25

18 2.77 2.67 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.26 2.19

19 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.20 2.13

20 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.16 2.09

21 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.11 2.04

22 2.60 2.50 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08 2.00

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

23 2.57 2.47 2.36 2.30 2.24 2.18 2.11 2.04 1.97

24 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01 1.94

25 2.51 2.41 2.30 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98 1.91

26 2.49 2.39 2.28 2.22 2.16 2.09 2.03 1.95 1.88

27 2.47 2.36 2.25 2.19 2.13 2.07 2.00 1.93 1.85

28 2.45 2.34 2.23 2.17 2.11 2.05 1.98 1.91 1.83

29 2.43 2.32 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89 1.81

30 2.41 2.31 2.20 2.14 2.07 2.01 1.94 1.87 1.79

31 2.40 2.29 2.18 2.12 2.06 1.99 1.92 1.85 1.77

32 2.38 2.28 2.16 2.10 2.04 1.98 1.91 1.83 1.75

33 2.37 2.26 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89 1.81 1.73

34 2.35 2.25 2.13 2.07 2.01 1.95 1.88 1.80 1.72

35 2.34 2.23 2.12 2.06 2.00 1.93 1.86 1.79 1.70

36 2.33 2.22 2.11 2.05 1.99 1.92 1.85 1.77 1.69

37 2.32 2.21 2.10 2.04 1.97 1.91 1.84 1.76 1.67

38 2.31 2.20 2.09 2.03 1.96 1.90 1.82 1.75 1.66

39 2.30 2.19 2.08 2.02 1.95 1.89 1.81 1.74 1.65

40 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.80 1.72 1.64

60 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 1.58 1.48

100 2.08 1.97 1.85 1.78 1.71 1.64 1.56 1.46 1.35

120 2.05 1.94 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 1.43 1.31

inf 1.95 1.83 1.71 1.64 1.57 1.49 1.39 1.27 1.04


𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎,𝟎𝟓


F ~ F(dfn,dfd)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88

2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40

3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79

4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96

5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74

6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06

7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64

8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35

9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14

10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98

11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85

12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75

13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67

14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60

15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54

16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49

17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45

18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41

19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38

20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35

21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32

22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27

24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25

25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24

26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22

27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20

28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19

29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18

30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16

31 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.41 2.32 2.25 2.20 2.15

32 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.14

33 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.39 2.30 2.23 2.18 2.13

34 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.12

35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11

36 4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.11

37 4.11 3.25 2.86 2.63 2.47 2.36 2.27 2.20 2.14 2.10

38 4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.09

39 4.09 3.24 2.85 2.61 2.46 2.34 2.26 2.19 2.13 2.08

40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08

60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99

100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93

120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91

inf 3.84 3.00 2.61 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83



𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟓

P(F > f) = .05


12 15 20 24 30 40 60 120 inf

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

1 243.90 245.95 248.02 249.05 250.10 251.14 252.20 253.25 254.30

2 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50

3 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53

4 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63

5 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.37

6 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67

7 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23

8 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93

9 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71

10 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54

11 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.41

12 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30

13 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21

14 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13

15 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07

16 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01

17 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96

18 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92

19 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88

20 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84

21 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81

22 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78

grados

de

libertad

del

denominador

(dfd)

23 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76

24 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73

25 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71

26 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.69

27 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67

28 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65

29 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64

30 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62

31 2.08 2.00 1.92 1.88 1.83 1.78 1.73 1.67 1.61

32 2.07 1.99 1.91 1.86 1.82 1.77 1.71 1.66 1.60

33 2.06 1.98 1.90 1.85 1.81 1.76 1.70 1.64 1.58

34 2.05 1.97 1.89 1.84 1.80 1.75 1.69 1.63 1.57

35 2.04 1.96 1.88 1.83 1.79 1.74 1.68 1.62 1.56

36 2.03 1.95 1.87 1.82 1.78 1.73 1.67 1.61 1.55

37 2.02 1.95 1.86 1.82 1.77 1.72 1.66 1.60 1.54

38 2.02 1.94 1.85 1.81 1.76 1.71 1.65 1.59 1.53

39 2.01 1.93 1.85 1.80 1.75 1.70 1.65 1.58 1.52

40 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51

60 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39

100 1.85 1.77 1.68 1.63 1.57 1.52 1.45 1.38 1.28

120 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.26

inf 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.40 1.32 1.22 1.03


𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎,𝟏𝟎


F ~ F(dfn,dfd)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

grados

de

libertad

del

denomin.

(dfd)

1 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19

2 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39

3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23

4 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92

5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30

6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94

7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70

8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54

9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42

10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32

11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25

12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19

13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14

14 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10

15 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06

16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03

17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00

18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98

19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96

20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94

21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92

22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90

grados

de

libertad

del

denomin.

23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89

24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88

25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87

26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86

27 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85

28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84

29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83

30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82

31 2.87 2.48 2.27 2.14 2.04 1.97 1.92 1.88 1.84 1.81

32 2.87 2.48 2.26 2.13 2.04 1.97 1.91 1.87 1.83 1.81

33 2.86 2.47 2.26 2.12 2.03 1.96 1.91 1.86 1.83 1.80

34 2.86 2.47 2.25 2.12 2.02 1.96 1.90 1.86 1.82 1.79

35 2.85 2.46 2.25 2.11 2.02 1.95 1.90 1.85 1.82 1.79

36 2.85 2.46 2.24 2.11 2.01 1.94 1.89 1.85 1.81 1.78

37 2.85 2.45 2.24 2.10 2.01 1.94 1.89 1.84 1.81 1.78

38 2.84 2.45 2.23 2.10 2.01 1.94 1.88 1.84 1.80 1.77

39 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.88 1.83 1.80 1.77

40 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76

60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71

100 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66

120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65

inf 2.71 2.30 2.08 1.95 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60



𝒂𝒍𝒇𝒂 = 𝟎,𝟏𝟎

P(F > f) = .10


12 15 20 24 30 40 60 120 inf

grados

de

libertad

del

denomin.

(dfd)

1 60.71 61.22 61.74 62.00 62.26 62.53 62.79 63.06 63.32

2 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.49

3 5.22 5.20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14 5.13

4 3.90 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.79 3.78 3.76

5 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12 3.11

6 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.72

7 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49 2.47

8 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32 2.29

9 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.16

10 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2.06

11 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.00 1.97

12 2.15 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.90

13 2.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.90 1.88 1.85

14 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.80

15 2.02 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.82 1.79 1.76

16 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72

17 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69

18 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66

19 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.70 1.67 1.63

20 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64 1.61

21 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59

22 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57

grados

de

libertad

del

denomin.

23 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.55

24 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.57 1.53

25 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52

26 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54 1.50

27 1.80 1.75 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 1.53 1.49

28 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 1.48

29 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51 1.47

30 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.50 1.46

31 1.77 1.71 1.66 1.63 1.60 1.56 1.53 1.49 1.45

32 1.76 1.71 1.65 1.62 1.59 1.56 1.52 1.48 1.44

33 1.75 1.70 1.64 1.61 1.58 1.55 1.51 1.47 1.43

34 1.75 1.69 1.64 1.61 1.58 1.54 1.50 1.46 1.42

35 1.74 1.69 1.63 1.60 1.57 1.53 1.50 1.46 1.41

36 1.73 1.68 1.63 1.60 1.56 1.53 1.49 1.45 1.40

37 1.73 1.68 1.62 1.59 1.56 1.52 1.48 1.44 1.40

38 1.72 1.67 1.61 1.58 1.55 1.52 1.48 1.44 1.39

39 1.72 1.67 1.61 1.58 1.55 1.51 1.47 1.43 1.38

40 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.38

60 1.66 1.60 1.54 1.51 1.48 1.44 1.40 1.35 1.29

100 1.61 1.56 1.49 1.46 1.42 1.38 1.34 1.28 1.22

120 1.60 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19

inf 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.30 1.24 1.17 1.03


0,05 Grados de libertad del numerador alfa=0,05

GL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 248.02 252.2 253.04 254.3

2 18.513 19 19.164 19.247 19.296 19.329 19.353 19.371 19.385 19.396 19.446 19.479 19.486 19.496

3 10.128 9.5521 9.2766 9.1172 9.0134 8.9407 8.8867 8.8452 8.8123 8.7855 8.6602 8.572 8.5539 8.5267

4 7.7086 6.9443 6.5914 6.3882 6.2561 6.1631 6.0942 6.041 5.9988 5.9644 5.8025 5.6878 5.664 5.6284

5 6.6079 5.7861 5.4094 5.1922 5.0503 4.9503 4.8759 4.8183 4.7725 4.7351 4.5581 4.4314 4.4051 4.3654

6 5.9874 5.1432 4.7571 4.5337 4.3874 4.2839 4.2067 4.1468 4.099 4.06 3.8742 3.7398 3.7117 3.6693

7 5.5915 4.7374 4.3468 4.1203 3.9715 3.866 3.7871 3.7257 3.6767 3.6365 3.4445 3.3043 3.2749 3.2302

8 5.3176 4.459 4.0662 3.8379 3.6875 3.5806 3.5005 3.4381 3.3881 3.3472 3.1503 3.0053 2.9747 2.9281

9 5.1174 4.2565 3.8625 3.6331 3.4817 3.3738 3.2927 3.2296 3.1789 3.1373 2.9365 2.7872 2.7556 2.7072

10 4.9646 4.1028 3.7083 3.478 3.3258 3.2172 3.1355 3.0717 3.0204 2.9782 2.774 2.6211 2.5884 2.5384

11 4.8443 3.9823 3.5874 3.3567 3.2039 3.0946 3.0123 2.948 2.8962 2.8536 2.6464 2.4901 2.4566 2.405

12 4.7472 3.8853 3.4903 3.2592 3.1059 2.9961 2.9134 2.8486 2.7964 2.7534 2.5436 2.3842 2.3498 2.2967

13 4.6672 3.8056 3.4105 3.1791 3.0254 2.9153 2.8321 2.7669 2.7144 2.671 2.4589 2.2966 2.2614 2.207

14 4.6001 3.7389 3.3439 3.1122 2.9582 2.8477 2.7642 2.6987 2.6458 2.6022 2.3879 2.2229 2.187 2.1313

15 4.5431 3.6823 3.2874 3.0556 2.9013 2.7905 2.7066 2.6408 2.5876 2.5437 2.3275 2.1601 2.1234 2.0664

16 4.494 3.6337 3.2389 3.0069 2.8524 2.7413 2.6572 2.5911 2.5377 2.4935 2.2756 2.1058 2.0685 2.0102

17 4.4513 3.5915 3.1968 2.9647 2.81 2.6987 2.6143 2.548 2.4943 2.4499 2.2304 2.0584 2.0204 1.961

18 4.4139 3.5546 3.1599 2.9277 2.7729 2.6613 2.5767 2.5102 2.4563 2.4117 2.1906 2.0166 1.978 1.9175

19 4.3808 3.5219 3.1274 2.8951 2.7401 2.6283 2.5435 2.4768 2.4227 2.3779 2.1555 1.9795 1.9403 1.8787

20 4.3513 3.4928 3.0984 2.8661 2.7109 2.599 2.514 2.4471 2.3928 2.3479 2.1242 1.9464 1.9066 1.8438

21 4.3248 3.4668 3.0725 2.8401 2.6848 2.5727 2.4876 2.4205 2.3661 2.321 2.096 1.9165 1.8761 1.8124

22 4.3009 3.4434 3.0491 2.8167 2.6613 2.5491 2.4638 2.3965 2.3419 2.2967 2.0707 1.8894 1.8486 1.7838

23 4.2793 3.4221 3.028 2.7955 2.64 2.5277 2.4422 2.3748 2.3201 2.2747 2.0476 1.8648 1.8234 1.7577

24 4.2597 3.4028 3.0088 2.7763 2.6207 2.5082 2.4226 2.3551 2.3002 2.2547 2.0267 1.8424 1.8005 1.7338

25 4.2417 3.3852 2.9912 2.7587 2.603 2.4904 2.4047 2.3371 2.2821 2.2365 2.0075 1.8217 1.7794 1.7117

26 4.2252 3.369 2.9752 2.7426 2.5868 2.4741 2.3883 2.3205 2.2655 2.2197 1.9898 1.8027 1.7599 1.6913

27 4.21 3.3541 2.9603 2.7278 2.5719 2.4591 2.3732 2.3053 2.2501 2.2043 1.9736 1.7851 1.7419 1.6724

28 4.196 3.3404 2.9467 2.7141 2.5581 2.4453 2.3593 2.2913 2.236 2.19 1.9586 1.7689 1.7251 1.6548

29 4.183 3.3277 2.934 2.7014 2.5454 2.4324 2.3463 2.2782 2.2229 2.1768 1.9446 1.7537 1.7096 1.6384

30 4.1709 3.3158 2.9223 2.6896 2.5336 2.4205 2.3343 2.2662 2.2107 2.1646 1.9317 1.7396 1.695 1.623

40 4.0847 3.2317 2.8387 2.606 2.4495 2.3359 2.249 2.1802 2.124 2.0773 1.8389 1.6373 1.5892 1.5098

50 4.0343 3.1826 2.79 2.5572 2.4004 2.2864 2.1992 2.1299 2.0733 2.0261 1.7841 1.5757 1.5249 1.4392

60 4.0012 3.1504 2.7581 2.5252 2.3683 2.2541 2.1665 2.097 2.0401 1.9926 1.748 1.5343 1.4814 1.3903

70 3.9778 3.1277 2.7355 2.5027 2.3456 2.2312 2.1435 2.0737 2.0166 1.9689 1.7223 1.5046 1.4498 1.354

80 3.9604 3.1108 2.7188 2.4859 2.3287 2.2142 2.1263 2.0564 1.9991 1.9512 1.7032 1.4821 1.4259 1.3259

90 3.9469 3.0977 2.7058 2.4729 2.3157 2.2011 2.1131 2.043 1.9856 1.9376 1.6883 1.4645 1.407 1.3032

100 3.9362 3.0873 2.6955 2.4626 2.3053 2.1906 2.1025 2.0323 1.9748 1.9267 1.6764 1.4504 1.3917 1.2845

200 3.8884 3.0411 2.6498 2.4168 2.2592 2.1441 2.0556 1.9849 1.9269 1.8783 1.6233 1.3856 1.3206 1.1903

300 3.8726 3.0258 2.6347 2.4017 2.2441 2.1288 2.0402 1.9693 1.9112 1.8623 1.6057 1.3634 1.2958 1.1521

400 3.8648 3.0183 2.6272 2.3943 2.2366 2.1212 2.0325 1.9616 1.9033 1.8544 1.5969 1.3522 1.2831 1.1303

500 3.8601 3.0138 2.6227 2.3898 2.232 2.1167 2.0279 1.9569 1.8986 1.8496 1.5916 1.3455 1.2753 1.1159

600 3.857 3.0107 2.6198 2.3868 2.229 2.1137 2.0248 1.9538 1.8955 1.8465 1.5881 1.341 1.2701 1.1055

700 3.8548 3.0086 2.6176 2.3847 2.2269 2.1115 2.0226 1.9516 1.8932 1.8442 1.5856 1.3377 1.2664 1.0976

800 3.8531 3.007 2.616 2.3831 2.2253 2.1099 2.021 1.95 1.8916 1.8425 1.5837 1.3353 1.2635 1.0912

900 3.8518 3.0057 2.6148 2.3818 2.224 2.1086 2.0197 1.9487 1.8903 1.8412 1.5822 1.3334 1.2613 1.0861

1000 3.8508 3.0047 2.6138 2.3808 2.2231 2.1076 2.0187 1.9476 1.8892 1.8402 1.5811 1.3318 1.2596 1.0818

1500 3.8477 3.0017 2.6108 2.3779 2.2201 2.1046 2.0157 1.9446 1.8861 1.837 1.5775 1.3273 1.2542 1.0675

2000 3.8461 3.0002 2.6094 2.3764 2.2186 2.1031 2.0142 1.943 1.8846 1.8354 1.5758 1.325 1.2516 1.0593

10000 3.8424 2.9966 2.6058 2.3728 2.215 2.0995 2.0105 1.9393 1.8808 1.8316 1.5716 1.3194 1.2451 1.0334


0,025 Grados de libertad del numerador alfa=0,025

GL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 647.79 799.48 864.15 899.6 921.83 937.11 948.2 956.64 963.28 968.63 993.08 1009.8 1013.2 1018.2

2 38.506 39 39.166 39.248 39.298 39.331 39.356 39.373 39.387 39.398 39.448 39.481 39.488 39.498

3 17.443 16.044 15.439 15.101 14.885 14.735 14.624 14.54 14.473 14.419 14.167 13.992 13.956 13.903

4 12.218 10.649 9.9792 9.6045 9.3645 9.1973 9.0741 8.9796 8.9046 8.8439 8.5599 8.3604 8.3195 8.258

5 10.007 8.4336 7.7636 7.3879 7.1464 6.9777 6.853 6.7572 6.681 6.6192 6.3285 6.1225 6.08 6.016

6 8.8131 7.2599 6.5988 6.2271 5.9875 5.8197 5.6955 5.5996 5.5234 5.4613 5.1684 4.9589 4.9154 4.8498

7 8.0727 6.5415 5.8898 5.5226 5.2852 5.1186 4.9949 4.8993 4.8232 4.7611 4.4668 4.2544 4.2101 4.143

8 7.5709 6.0595 5.416 5.0526 4.8173 4.6517 4.5285 4.4333 4.3572 4.2951 3.9994 3.7844 3.7393 3.6709

9 7.2093 5.7147 5.0781 4.7181 4.4844 4.3197 4.197 4.102 4.026 3.9639 3.6669 3.4493 3.4034 3.3336

10 6.9367 5.4564 4.8256 4.4683 4.2361 4.0721 3.9498 3.8549 3.779 3.7168 3.4185 3.1984 3.1517 3.0805

11 6.7241 5.2559 4.63 4.2751 4.044 3.8806 3.7586 3.6638 3.5879 3.5257 3.2261 3.0035 2.9561 2.8835

12 6.5538 5.0959 4.4742 4.1212 3.8911 3.7283 3.6065 3.5118 3.4358 3.3735 3.0728 2.8478 2.7996 2.7257

13 6.4143 4.9653 4.3472 3.9959 3.7667 3.6043 3.4827 3.388 3.312 3.2497 2.9477 2.7204 2.6715 2.5962

14 6.2979 4.8567 4.2417 3.8919 3.6634 3.5014 3.3799 3.2853 3.2093 3.1469 2.8437 2.6142 2.5646 2.488

15 6.1995 4.765 4.1528 3.8043 3.5764 3.4147 3.2934 3.1987 3.1227 3.0602 2.7559 2.5242 2.4739 2.3961

16 6.1151 4.6867 4.0768 3.7294 3.5021 3.3406 3.2194 3.1248 3.0488 2.9862 2.6808 2.4471 2.3961 2.3171

17 6.042 4.6189 4.0112 3.6648 3.4379 3.2767 3.1556 3.061 2.9849 2.9222 2.6158 2.3801 2.3285 2.2483

18 5.9781 4.5597 3.9539 3.6083 3.382 3.2209 3.0999 3.0053 2.9291 2.8664 2.559 2.3214 2.2692 2.1878

19 5.9216 4.5075 3.9034 3.5587 3.3327 3.1718 3.0509 2.9563 2.8801 2.8172 2.5089 2.2696 2.2167 2.1341

20 5.8715 4.4612 3.8587 3.5147 3.2891 3.1283 3.0074 2.9128 2.8365 2.7737 2.4645 2.2234 2.1699 2.0862

21 5.8266 4.4199 3.8188 3.4754 3.2501 3.0895 2.9686 2.874 2.7977 2.7348 2.4247 2.1819 2.128 2.0431

22 5.7863 4.3828 3.7829 3.4401 3.2151 3.0546 2.9338 2.8392 2.7628 2.6998 2.389 2.1446 2.0901 2.0041

23 5.7498 4.3492 3.7505 3.4083 3.1835 3.0232 2.9023 2.8077 2.7313 2.6682 2.3566 2.1107 2.0556 1.9687

24 5.7166 4.3187 3.7211 3.3794 3.1548 2.9946 2.8738 2.7791 2.7027 2.6396 2.3273 2.0799 2.0243 1.9362

25 5.6864 4.2909 3.6943 3.353 3.1287 2.9685 2.8478 2.7531 2.6766 2.6135 2.3005 2.0516 1.9955 1.9065

26 5.6586 4.2655 3.6697 3.3289 3.1048 2.9447 2.824 2.7293 2.6528 2.5896 2.2759 2.0257 1.9691 1.879

27 5.6331 4.2421 3.6472 3.3067 3.0828 2.9228 2.8021 2.7074 2.6309 2.5676 2.2533 2.0018 1.9447 1.8537

28 5.6096 4.2205 3.6264 3.2863 3.0626 2.9027 2.782 2.6872 2.6106 2.5473 2.2324 1.9797 1.9221 1.8301

29 5.5878 4.2006 3.6072 3.2674 3.0438 2.884 2.7633 2.6686 2.5919 2.5286 2.2131 1.9591 1.9011 1.8082

30 5.5675 4.1821 3.5893 3.2499 3.0265 2.8667 2.746 2.6513 2.5746 2.5112 2.1952 1.94 1.8816 1.7877

40 5.4239 4.051 3.4633 3.1261 2.9037 2.7444 2.6238 2.5289 2.4519 2.3882 2.0677 1.8028 1.7405 1.6382

50 5.3403 3.9749 3.3902 3.0544 2.8326 2.6736 2.553 2.4579 2.3808 2.3168 1.9933 1.7211 1.6558 1.5465

60 5.2856 3.9253 3.3425 3.0077 2.7863 2.6274 2.5068 2.4117 2.3344 2.2702 1.9445 1.6668 1.599 1.4834

70 5.247 3.8903 3.309 2.9748 2.7537 2.5949 2.4743 2.3791 2.3017 2.2374 1.91 1.6279 1.5581 1.4371

80 5.2183 3.8643 3.2841 2.9504 2.7295 2.5708 2.4502 2.3549 2.2775 2.213 1.8843 1.5987 1.5271 1.4012

90 5.1962 3.8443 3.2649 2.9315 2.7109 2.5522 2.4316 2.3363 2.2588 2.1942 1.8644 1.5758 1.5028 1.3725

100 5.1786 3.8284 3.2496 2.9166 2.6961 2.5374 2.4168 2.3215 2.2439 2.1793 1.8486 1.5575 1.4833 1.3489

200 5.1004 3.7578 3.182 2.8503 2.6304 2.472 2.3513 2.2558 2.178 2.113 1.778 1.4742 1.3927 1.2312

300 5.0747 3.7346 3.1599 2.8286 2.6089 2.4505 2.3299 2.2343 2.1563 2.0913 1.7547 1.4459 1.3613 1.1841

400 5.0619 3.7231 3.1489 2.8179 2.5983 2.4399 2.3192 2.2236 2.1456 2.0805 1.7431 1.4317 1.3453 1.1574

500 5.0543 3.7162 3.1423 2.8114 2.5919 2.4335 2.3129 2.2172 2.1392 2.074 1.7362 1.4231 1.3356 1.1398

600 5.0492 3.7116 3.1379 2.8071 2.5876 2.4293 2.3086 2.213 2.1349 2.0697 1.7316 1.4173 1.329 1.1271

700 5.0456 3.7084 3.1348 2.8041 2.5846 2.4263 2.3056 2.2099 2.1319 2.0666 1.7282 1.4132 1.3243 1.1174

800 5.0429 3.7059 3.1324 2.8018 2.5823 2.424 2.3033 2.2077 2.1296 2.0643 1.7258 1.4101 1.3208 1.1098

900 5.0408 3.704 3.1306 2.8 2.5806 2.4223 2.3016 2.2059 2.1278 2.0626 1.7238 1.4077 1.318 1.1035

1000 5.0391 3.7025 3.1292 2.7986 2.5792 2.4208 2.3002 2.2045 2.1264 2.0611 1.7223 1.4058 1.3158 1.0983

1500 5.034 3.698 3.1248 2.7943 2.5749 2.4166 2.2959 2.2003 2.1221 2.0569 1.7177 1.4 1.3091 1.081

2000 5.0315 3.6957 3.1227 2.7922 2.5728 2.4145 2.2938 2.1981 2.12 2.0547 1.7154 1.3971 1.3058 1.0711

10000 5.0254 3.6902 3.1174 2.7871 2.5678 2.4095 2.2888 2.1931 2.1149 2.0496 1.7099 1.39 1.2977 1.04


alfa =0,01 grados de libertad del numerador

GL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 4052.2 4999.3 5403.5 5624.3 5764 5859 5928.3 5981 6022.4 6055.9 6208.7 6313 6333.9 6365.6

2 98.502 99 99.164 99.251 99.302 99.331 99.357 99.375 99.39 99.397 99.448 99.484 99.491 99.499

3 34.116 30.816 29.457 28.71 28.237 27.911 27.671 27.489 27.345 27.228 26.69 26.316 26.241 26.126

4 21.198 18 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 14.659 14.546 14.019 13.652 13.577 13.464

5 16.258 13.274 12.06 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 10.158 10.051 9.5527 9.202 9.13 9.0215

6 13.745 10.925 9.7796 9.1484 8.7459 8.466 8.26 8.1017 7.976 7.8742 7.3958 7.0568 6.9867 6.8811

7 12.246 9.5465 8.4513 7.8467 7.4604 7.1914 6.9929 6.8401 6.7188 6.6201 6.1555 5.8236 5.7546 5.6506

8 11.259 8.6491 7.591 7.0061 6.6318 6.3707 6.1776 6.0288 5.9106 5.8143 5.3591 5.0316 4.9633 4.8599

9 10.562 8.0215 6.992 6.4221 6.0569 5.8018 5.6128 5.4671 5.3511 5.2565 4.808 4.4831 4.415 4.3116

10 10.044 7.5595 6.5523 5.9944 5.6364 5.3858 5.2001 5.0567 4.9424 4.8491 4.4054 4.0819 4.0137 3.91

11 9.6461 7.2057 6.2167 5.6683 5.316 5.0692 4.886 4.7445 4.6315 4.5393 4.099 3.7761 3.7077 3.6035

12 9.3303 6.9266 5.9525 5.4119 5.0644 4.8205 4.6395 4.4994 4.3875 4.2961 3.8584 3.5355 3.4668 3.3619

13 9.0738 6.7009 5.7394 5.2053 4.8616 4.6203 4.441 4.3021 4.1911 4.1003 3.6646 3.3413 3.2723 3.1665

14 8.8617 6.5149 5.5639 5.0354 4.695 4.4558 4.2779 4.14 4.0297 3.9394 3.5052 3.1813 3.1118 3.0051

15 8.6832 6.3588 5.417 4.8932 4.5556 4.3183 4.1416 4.0044 3.8948 3.8049 3.3719 3.0471 2.9772 2.8695

16 8.5309 6.2263 5.2922 4.7726 4.4374 4.2016 4.0259 3.8896 3.7804 3.6909 3.2587 2.933 2.8627 2.7539

17 8.3998 6.1121 5.185 4.6689 4.336 4.1015 3.9267 3.7909 3.6823 3.5931 3.1615 2.8348 2.7639 2.6542

18 8.2855 6.0129 5.0919 4.579 4.2479 4.0146 3.8406 3.7054 3.5971 3.5081 3.0771 2.7493 2.6779 2.5671

19 8.185 5.9259 5.0103 4.5002 4.1708 3.9386 3.7653 3.6305 3.5225 3.4338 3.0031 2.6742 2.6023 2.4905

20 8.096 5.849 4.9382 4.4307 4.1027 3.8714 3.6987 3.5644 3.4567 3.3682 2.9377 2.6077 2.5353 2.4224

21 8.0166 5.7804 4.874 4.3688 4.0421 3.8117 3.6396 3.5056 3.3982 3.3098 2.8795 2.5484 2.4755 2.3615

22 7.9453 5.719 4.8166 4.3134 3.988 3.7583 3.5866 3.453 3.3458 3.2576 2.8274 2.4951 2.4218 2.3067

23 7.8811 5.6637 4.7648 4.2635 3.9392 3.7102 3.539 3.4057 3.2986 3.2106 2.7805 2.4471 2.3732 2.2571

24 7.8229 5.6136 4.7181 4.2185 3.8951 3.6667 3.4959 3.3629 3.256 3.1681 2.738 2.4035 2.3291 2.2119

25 7.7698 5.568 4.6755 4.1774 3.855 3.6272 3.4568 3.3239 3.2172 3.1294 2.6993 2.3637 2.2888 2.1706

26 7.7213 5.5263 4.6365 4.14 3.8183 3.5911 3.421 3.2884 3.1818 3.0941 2.664 2.3273 2.2519 2.1327

27 7.6767 5.4881 4.6009 4.1056 3.7847 3.558 3.3882 3.2558 3.1494 3.0618 2.6316 2.2938 2.218 2.0978

28 7.6357 5.4529 4.5681 4.074 3.7539 3.5276 3.3581 3.2259 3.1195 3.032 2.6018 2.2629 2.1867 2.0655

29 7.5977 5.4205 4.5378 4.0449 3.7254 3.4995 3.3303 3.1982 3.092 3.0045 2.5742 2.2344 2.1577 2.0355

30 7.5624 5.3903 4.5097 4.0179 3.699 3.4735 3.3045 3.1726 3.0665 2.9791 2.5487 2.2079 2.1307 2.0075

40 7.3142 5.1785 4.3126 3.8283 3.5138 3.291 3.1238 2.993 2.8876 2.8005 2.3689 2.0194 1.9383 1.8061

50 7.1706 5.0566 4.1994 3.7195 3.4077 3.1864 3.0202 2.89 2.785 2.6981 2.2652 1.909 1.8248 1.6847

60 7.0771 4.9774 4.1259 3.6491 3.3389 3.1187 2.953 2.8233 2.7185 2.6318 2.1978 1.8363 1.7493 1.6023

70 7.0114 4.9218 4.0744 3.5997 3.2907 3.0712 2.906 2.7765 2.6719 2.5852 2.1504 1.7846 1.6954 1.5422

80 6.9626 4.8807 4.0363 3.5631 3.2551 3.0361 2.8713 2.742 2.6374 2.5508 2.1153 1.7459 1.6548 1.496

90 6.9251 4.8491 4.0069 3.535 3.2276 3.0091 2.8445 2.7154 2.6109 2.5243 2.0882 1.7158 1.6231 1.4593

100 6.8953 4.8239 3.9837 3.5127 3.2059 2.9877 2.8233 2.6943 2.5898 2.5033 2.0666 1.6918 1.5977 1.4292

200 6.7633 4.7128 3.881 3.4143 3.11 2.8933 2.7298 2.6012 2.4971 2.4106 1.9713 1.5833 1.4811 1.2812

300 6.7201 4.6766 3.8475 3.3822 3.0787 2.8625 2.6993 2.5709 2.4668 2.3804 1.9401 1.5468 1.441 1.2228

400 6.6987 4.6586 3.8309 3.3664 3.0632 2.8472 2.6842 2.5559 2.4518 2.3654 1.9245 1.5285 1.4207 1.19

500 6.6858 4.6479 3.821 3.3569 3.054 2.8381 2.6751 2.5469 2.4429 2.3565 1.9152 1.5174 1.4084 1.1684

600 6.6773 4.6407 3.8144 3.3506 3.0478 2.8321 2.6691 2.5409 2.4369 2.3505 1.9091 1.5101 1.4001 1.1529

700 6.6713 4.6356 3.8097 3.346 3.0434 2.8278 2.6648 2.5367 2.4327 2.3463 1.9047 1.5048 1.3942 1.1411

800 6.6667 4.6318 3.8062 3.3427 3.0402 2.8245 2.6617 2.5335 2.4295 2.3431 1.9013 1.5008 1.3897 1.1318

900 6.6631 4.6288 3.8034 3.3401 3.0376 2.822 2.6592 2.531 2.427 2.3406 1.8988 1.4978 1.3863 1.1242

1000 6.6603 4.6264 3.8012 3.338 3.0356 2.82 2.6572 2.529 2.425 2.3386 1.8967 1.4953 1.3835 1.1178

1500 6.6518 4.6193 3.7947 3.3317 3.0294 2.814 2.6512 2.5231 2.4191 2.3327 1.8906 1.4879 1.3751 1.0969

2000 6.6476 4.6158 3.7914 3.3286 3.0264 2.811 2.6482 2.5201 2.4162 2.3298 1.8875 1.4842 1.3708 1.085

10000 6.6374 4.6073 3.7836 3.321 3.0191 2.8038 2.6411 2.513 2.4091 2.3227 1.8802 1.4752 1.3606 1.0476



GL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 16212 19997 21614 22501 23056 23440 23715 23924 24091 24222 24837 25254 25339 25466

2 198.5 199.01 199.16 199.24 199.3 199.33 199.36 199.38 199.39 199.39 199.45 199.48 199.48 199.51

3 55.552 49.8 47.468 46.195 45.391 44.838 44.434 44.125 43.881 43.685 42.779 42.15 42.022 41.829

4 31.332 26.284 24.26 23.154 22.456 21.975 21.622 21.352 21.138 20.967 20.167 19.611 19.497 19.327

5 22.785 18.314 16.53 15.556 14.939 14.513 14.2 13.961 13.772 13.618 12.903 12.402 12.3 12.145

6 18.635 14.544 12.917 12.028 11.464 11.073 10.786 10.566 10.391 10.25 9.5888 9.1218 9.0258 8.8808

7 16.235 12.404 10.883 10.05 9.522 9.1554 8.8853 8.6779 8.5138 8.3803 7.7539 7.3087 7.2166 7.0775

8 14.688 11.043 9.5965 8.8053 8.3019 7.9519 7.6941 7.4958 7.3387 7.2107 6.6082 6.1773 6.0875 5.952

9 13.614 10.107 8.7171 7.9558 7.471 7.1338 6.8849 6.6932 6.5411 6.4172 5.8319 5.4104 5.3224 5.1889

10 12.827 9.4269 8.0809 7.3428 6.8724 6.5447 6.3026 6.1159 5.9676 5.8467 5.274 4.8592 4.7721 4.6399

11 12.226 8.9121 7.6004 6.8808 6.4217 6.1016 5.8648 5.6821 5.5368 5.4183 4.8552 4.445 4.3585 4.2269

12 11.754 8.5097 7.2257 6.5211 6.0711 5.7571 5.5245 5.3451 5.2021 5.0854 4.53 4.123 4.0368 3.9053

13 11.374 8.1864 6.9258 6.2334 5.791 5.4819 5.2529 5.0761 4.9351 4.82 4.2703 3.8656 3.7795 3.6479

14 11.06 7.9217 6.6804 5.9983 5.5622 5.2573 5.0313 4.8566 4.7173 4.6034 4.0585 3.6553 3.5692 3.4372

15 10.798 7.7007 6.4761 5.8029 5.3722 5.0708 4.8473 4.6743 4.5363 4.4236 3.8826 3.4803 3.3941 3.2616

16 10.576 7.5138 6.3034 5.6378 5.2116 4.9134 4.692 4.5206 4.3839 4.2719 3.7342 3.3324 3.246 3.1129

17 10.384 7.3537 6.1557 5.4968 5.0745 4.7789 4.5594 4.3893 4.2535 4.1424 3.6073 3.2059 3.1192 2.9853

18 10.218 7.2148 6.0278 5.3747 4.9561 4.6628 4.4448 4.276 4.141 4.0304 3.4977 3.0962 3.0092 2.8746

19 10.073 7.0934 5.916 5.268 4.8526 4.5613 4.3449 4.177 4.0428 3.9329 3.402 3.0004 2.9131 2.7776

20 9.944 6.9865 5.8177 5.1743 4.7615 4.4721 4.2569 4.09 3.9564 3.847 3.3178 2.9159 2.8282 2.6918

21 9.8294 6.8915 5.7304 5.0911 4.6808 4.3931 4.1789 4.0128 3.8799 3.7709 3.2431 2.8408 2.7528 2.6154

22 9.727 6.8064 5.6524 5.0168 4.6088 4.3225 4.1093 3.944 3.8116 3.703 3.1764 2.7736 2.6852 2.5469

23 9.6347 6.73 5.5823 4.95 4.5441 4.2591 4.0469 3.8822 3.7502 3.642 3.1165 2.7132 2.6243 2.4851

24 9.5513 6.6609 5.519 4.8898 4.4856 4.2019 3.9905 3.8264 3.6949 3.587 3.0624 2.6585 2.5692 2.4291

25 9.4753 6.5982 5.4615 4.8351 4.4326 4.15 3.9394 3.7758 3.6447 3.537 3.0133 2.6088 2.5191 2.378

26 9.406 6.541 5.4091 4.7852 4.3843 4.1027 3.8928 3.7297 3.5989 3.4916 2.9685 2.5634 2.4733 2.3312

27 9.3423 6.4886 5.3611 4.7396 4.3402 4.0594 3.8501 3.6875 3.557 3.4499 2.9275 2.5217 2.4312 2.2882

28 9.2837 6.4404 5.317 4.6977 4.2996 4.0197 3.811 3.6488 3.5186 3.4117 2.8899 2.4833 2.3925 2.2485

29 9.2298 6.3958 5.2764 4.6591 4.2621 3.9831 3.7749 3.6131 3.4832 3.3765 2.8551 2.448 2.3566 2.2117

30 9.1798 6.3546 5.2388 4.6234 4.2276 3.9493 3.7415 3.5801 3.4505 3.344 2.823 2.4152 2.3234 2.1776

40 8.8278 6.0664 4.9758 4.3738 3.986 3.7129 3.5088 3.3498 3.222 3.1167 2.5984 2.1838 2.0884 1.9334

50 8.6256 5.9016 4.8259 4.2317 3.8486 3.5785 3.3764 3.2189 3.0921 2.9875 2.4702 2.0499 1.9512 1.7881

60 8.4947 5.795 4.729 4.1399 3.76 3.4918 3.2911 3.1345 3.0083 2.9042 2.3872 1.9622 1.8609 1.6904

70 8.4026 5.7204 4.6613 4.0758 3.698 3.4313 3.2315 3.0755 2.9498 2.846 2.3291 1.9002 1.7966 1.6196

80 8.3346 5.6652 4.6113 4.0285 3.6524 3.3867 3.1876 3.032 2.9066 2.8031 2.2862 1.854 1.7484 1.5655

90 8.2823 5.6228 4.5728 3.9922 3.6173 3.3524 3.1538 2.9987 2.8735 2.7701 2.2532 1.8182 1.7109 1.5226

100 8.2407 5.5892 4.5424 3.9634 3.5895 3.3252 3.1271 2.9722 2.8472 2.7439 2.227 1.7896 1.6809 1.4875

200 8.0572 5.4412 4.4084 3.8368 3.4673 3.2059 3.0097 2.856 2.7319 2.6292 2.1116 1.6614 1.5442 1.3167

300 7.9972 5.393 4.3649 3.7957 3.4277 3.1672 2.9715 2.8183 2.6945 2.5919 2.0739 1.6187 1.4976 1.2501

400 7.9676 5.3691 4.3433 3.7754 3.408 3.148 2.9527 2.7997 2.6759 2.5735 2.0553 1.5972 1.4741 1.2128

500 7.9499 5.3549 4.3304 3.7632 3.3963 3.1366 2.9414 2.7885 2.6649 2.5624 2.0441 1.5843 1.4598 1.1884

600 7.9381 5.3453 4.3219 3.7551 3.3885 3.129 2.9339 2.7811 2.6575 2.5551 2.0367 1.5757 1.4502 1.1709

700 7.9297 5.3386 4.3158 3.7494 3.383 3.1235 2.9286 2.7758 2.6523 2.5499 2.0314 1.5696 1.4434 1.1576

800 7.9233 5.3335 4.3112 3.7451 3.3788 3.1195 2.9246 2.7719 2.6483 2.546 2.0274 1.565 1.4382 1.1471

900 7.9185 5.3296 4.3077 3.7417 3.3756 3.1164 2.9215 2.7688 2.6453 2.543 2.0244 1.5614 1.4342 1.1386

1000 7.9144 5.3265 4.3048 3.739 3.373 3.1138 2.919 2.7663 2.6429 2.5406 2.0219 1.5585 1.431 1.1314

1500 7.9028 5.3171 4.2963 3.731 3.3653 3.1063 2.9116 2.759 2.6356 2.5333 2.0145 1.5498 1.4213 1.108

2000 7.8969 5.3124 4.2921 3.7271 3.3614 3.1025 2.9079 2.7553 2.6319 2.5296 2.0109 1.5455 1.4164 1.0946

10000 7.883 5.3011 4.2819 3.7174 3.3522 3.0935 2.899 2.7466 2.6232 2.521 2.002 1.5351 1.4047 1.0529



GL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 405312 499725 540257 562668 576496 586033 593185 597954 602245 605583 620842 631332 633240 636578

2 998.38 998.84 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31 999.31

3 167.06 148.49 141.1 137.08 134.58 132.83 131.61 130.62 129.86 129.22 126.43 124.45 124.07 123.46

4 74.127 61.249 56.17 53.435 51.718 50.524 49.651 48.996 48.472 48.05 46.1 44.747 44.471 44.049

5 47.177 37.122 33.2 31.083 29.751 28.835 28.165 27.649 27.241 26.914 25.393 24.331 24.113 23.789

6 35.507 27.001 23.705 21.922 20.802 20.031 19.463 19.03 18.688 18.412 17.12 16.214 16.029 15.749

7 29.246 21.69 18.772 17.197 16.207 15.52 15.018 14.634 14.33 14.083 12.931 12.118 11.951 11.698

8 25.415 18.494 15.829 14.392 13.484 12.858 12.398 12.045 11.767 11.54 10.479 9.728 9.5715 9.3369

9 22.857 16.387 13.901 12.56 11.714 11.129 10.697 10.368 10.106 9.8944 8.8976 8.1864 8.0381 7.8153

10 21.038 14.905 12.553 11.283 10.481 9.9262 9.517 9.2041 8.9558 8.7539 7.8035 7.1223 6.9804 6.7648

11 19.687 13.812 11.561 10.346 9.5788 9.0467 8.6548 8.3546 8.1163 7.9226 7.0077 6.3483 6.21 6.0004

12 18.645 12.973 10.805 9.6334 8.8921 8.3783 8.0008 7.7107 7.4797 7.2923 6.4047 5.7626 5.627 5.4215

13 17.815 12.313 10.209 9.0731 8.3546 7.8562 7.4888 7.2059 6.9822 6.7994 5.934 5.3046 5.1718 4.969

14 17.142 11.779 9.7298 8.622 7.9217 7.436 7.0777 6.8021 6.5829 6.4038 5.557 4.9376 4.8067 4.6061

15 16.587 11.34 9.3351 8.2528 7.567 7.0913 6.7412 6.4706 6.256 6.0809 5.2487 4.6375 4.5079 4.3092

16 16.12 10.97 9.0058 7.9444 7.2719 6.8048 6.4601 6.195 5.9836 5.8117 4.9918 4.3879 4.2592 4.0613

17 15.722 10.658 8.7266 7.6834 7.0222 6.5625 6.2237 5.9617 5.7539 5.5843 4.7753 4.1769 4.0486 3.8517

18 15.38 10.39 8.4874 7.4597 6.8076 6.3546 6.0209 5.7626 5.5575 5.3901 4.5898 3.9959 3.8685 3.6719

19 15.081 10.157 8.28 7.2655 6.6225 6.1755 5.8453 5.5907 5.3874 5.2219 4.4297 3.8397 3.7126 3.5161

20 14.819 9.9526 8.0981 7.0959 6.4606 6.0186 5.6921 5.4401 5.2391 5.0754 4.2901 3.703 3.5761 3.3799

21 14.586 9.7725 7.9381 6.9467 6.3183 5.8808 5.557 5.3078 5.1086 4.9463 4.1668 3.5827 3.4561 3.2596

22 14.381 9.6115 7.7962 6.8139 6.1914 5.758 5.4374 5.19 4.9931 4.8317 4.0579 3.4759 3.3492 3.1525

23 14.195 9.4687 7.6689 6.6957 6.0782 5.6489 5.3305 5.0854 4.8894 4.7296 3.9606 3.3804 3.2539 3.0568

24 14.028 9.3396 7.5543 6.5893 5.9767 5.5506 5.2351 4.9913 4.7967 4.638 3.8731 3.2946 3.1682 2.9706

25 13.877 9.2223 7.451 6.4929 5.8853 5.4615 5.1482 4.9063 4.713 4.5552 3.7944 3.2171 3.0905 2.8924

26 13.739 9.1168 7.3569 6.4056 5.8017 5.381 5.07 4.8292 4.6371 4.4802 3.7228 3.1466 3.02 2.8215

27 13.613 9.0195 7.2714 6.326 5.7262 5.3078 4.9981 4.7589 4.5679 4.4115 3.6575 3.0825 2.9556 2.7565

28 13.497 8.9303 7.1932 6.2532 5.6566 5.2405 4.9326 4.6948 4.5047 4.3492 3.598 3.0236 2.8967 2.6968

29 13.391 8.8485 7.1209 6.1864 5.5925 5.1791 4.8726 4.6357 4.4465 4.2917 3.5432 2.9695 2.8424 2.6419

30 13.293 8.773 7.0545 6.1245 5.5338 5.1223 4.8171 4.5816 4.3929 4.2387 3.4927 2.9197 2.7924 2.591

40 12.609 8.2509 6.5947 5.698 5.1282 4.7307 4.4356 4.2071 4.0243 3.8744 3.145 2.5736 2.4439 2.2349

50 12.222 7.9563 6.3364 5.4592 4.9013 4.5115 4.2223 3.9981 3.8185 3.6712 2.9506 2.3782 2.2459 2.0288

60 11.973 7.768 6.1714 5.3069 4.7567 4.3719 4.0864 3.8649 3.6873 3.5416 2.8265 2.2522 2.1175 1.8929

70 11.8 7.6366 6.0563 5.2009 4.6562 4.2753 3.9922 3.7726 3.5964 3.4518 2.7405 2.1643 2.0274 1.7958

80 11.672 7.5402 5.9722 5.1232 4.5825 4.2044 3.9231 3.7048 3.5297 3.3858 2.6773 2.0992 1.9604 1.7224

90 11.573 7.466 5.9076 5.0636 4.5261 4.15 3.8704 3.6532 3.4788 3.3356 2.6291 2.0491 1.9086 1.6647

100 11.496 7.4078 5.8567 5.0168 4.4815 4.1071 3.8285 3.6123 3.4386 3.2958 2.5909 2.0094 1.8674 1.6179

200 11.154 7.1518 5.6343 4.8117 4.2874 3.9204 3.6468 3.4343 3.2635 3.1229 2.4243 1.8333 1.6825 1.3942

300 11.044 7.0695 5.5625 4.7455 4.2248 3.8601 3.5884 3.377 3.2071 3.0673 2.3706 1.7754 1.6205 1.309

400 10.989 7.0286 5.527 4.713 4.1941 3.8303 3.5595 3.3488 3.1794 3.0398 2.344 1.7465 1.5893 1.2618

500 10.957 7.004 5.5056 4.6934 4.1755 3.8128 3.5425 3.3319 3.1628 3.0234 2.3282 1.7292 1.5705 1.2311

600 10.935 6.9876 5.4915 4.6807 4.1634 3.801 3.531 3.3208 3.1519 3.0125 2.3177 1.7177 1.5579 1.2092

700 10.919 6.9763 5.4815 4.6714 4.1546 3.7926 3.5229 3.3128 3.144 3.0047 2.3102 1.7095 1.549 1.1926

800 10.908 6.9676 5.4742 4.6646 4.1482 3.7865 3.5168 3.3069 3.1382 2.9991 2.3047 1.7033 1.5422 1.1796

900 10.899 6.9613 5.4683 4.6593 4.1432 3.7817 3.512 3.3024 3.1337 2.9945 2.3003 1.6985 1.5369 1.169

1000 10.892 6.9558 5.4638 4.6548 4.1391 3.7776 3.5084 3.2985 3.13 2.9909 2.2968 1.6947 1.5327 1.1601

1500 10.87 6.9394 5.4497 4.6421 4.1271 3.766 3.497 3.2876 3.1191 2.9802 2.2865 1.6831 1.52 1.1312

2000 10.859 6.9317 5.4429 4.6357 4.1209 3.7603 3.4913 3.282 3.1137 2.9748 2.2812 1.6774 1.5137 1.1147

10000 10.834 6.9126 5.426 4.6205 4.1066 3.7464 3.4779 3.2688 3.1007 2.962 2.2688 1.6636 1.4983 1.0638



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 2E+06 3E+06 3E+06 3E+06

2 1998.6 1998.6 1998.6 1998.6 2000.5 2000.5 2000.5 2000.5 2000.5 2000.5 2000.5 2000.5 2000.5 2000.5

3 266.59 236.56 224.68 218.28 214.2 211.41 209.31 207.8 206.64 205.59 201.05 197.91 197.32 196.39

4 106.23 87.428 80.094 76.136 73.633 71.916 70.664 69.704 68.947 68.336 65.542 63.563 63.184 62.573

5 63.621 49.782 44.412 41.531 39.727 38.475 37.558 36.86 36.307 35.856 33.804 32.363 32.058 31.621

6 46.071 34.794 30.457 28.114 26.645 25.633 24.891 24.324 23.88 23.516 21.828 20.649 20.409 20.045

7 36.991 27.205 23.458 21.442 20.169 19.296 18.656 18.168 17.782 17.47 16.003 14.974 14.759 14.439

8 31.556 22.752 19.387 17.579 16.44 15.658 15.079 14.639 14.29 14.006 12.686 11.751 11.558 11.263

9 27.991 19.863 16.771 15.105 14.057 13.337 12.806 12.398 12.074 11.816 10.59 9.7189 9.5388 9.2659

10 25.495 17.866 14.967 13.406 12.424 11.747 11.249 10.867 10.565 10.319 9.1641 8.3401 8.1673 7.909

11 23.654 16.407 13.653 12.176 11.245 10.601 10.128 9.7643 9.4769 9.2423 8.1418 7.3505 7.185 6.934

12 22.243 15.298 12.664 11.249 10.354 9.7389 9.2841 8.9349 8.6584 8.4347 7.3742 6.6102 6.4501 6.2064

13 21.137 14.428 11.889 10.525 9.6625 9.0677 8.6293 8.2928 8.0254 7.8089 6.7812 6.0372 5.8808 5.6425

14 20.242 13.733 11.27 9.9462 9.1113 8.5347 8.1091 7.7816 7.5215 7.3105 6.3101 5.5825 5.4288 5.1941

15 19.507 13.162 10.765 9.4751 8.662 8.0981 7.6834 7.3651 7.1122 6.9049 5.9272 5.2123 5.0613 4.8294

16 18.888 12.689 10.345 9.084 8.2891 7.738 7.3323 7.0204 6.7721 6.5702 5.6107 4.9067 4.7567 4.5275

17 18.368 12.285 9.9899 8.7548 7.9744 7.4342 7.0368 6.7303 6.4865 6.2882 5.3442 4.6493 4.5011 4.2737

18 17.921 11.943 9.6861 8.4729 7.7071 7.1759 6.7848 6.4829 6.2437 6.0481 5.1177 4.4306 4.2837 4.0573

19 17.531 11.645 9.4242 8.2309 7.476 6.9531 6.5675 6.2701 6.0345 5.8417 4.9231 4.2419 4.0955 3.8699

20 17.189 11.385 9.195 8.0181 7.2741 6.7594 6.3783 6.0854 5.8517 5.6616 4.753 4.0777 3.9322 3.7071

21 16.887 11.156 8.9949 7.8326 7.0977 6.5884 6.2128 5.9226 5.6925 5.5043 4.6048 3.9336 3.789 3.5643

22 16.622 10.952 8.8166 7.667 6.9413 6.4374 6.0663 5.7789 5.5506 5.3642 4.4729 3.8062 3.6616 3.4374

23 16.382 10.772 8.6566 7.5206 6.8021 6.3028 5.9354 5.6516 5.4251 5.2405 4.3565 3.6925 3.5484 3.3242

24 16.167 10.608 8.5147 7.3887 6.6775 6.1827 5.818 5.537 5.3124 5.1296 4.2514 3.5907 3.447 3.2228

25 15.971 10.461 8.3855 7.2705 6.5647 6.0745 5.7125 5.4333 5.2105 5.0295 4.1573 3.4993 3.3556 3.1309

26 15.796 10.328 8.2691 7.1623 6.4629 5.9763 5.617 5.3396 5.1186 4.9386 4.0718 3.4161 3.2724 3.0477

27 15.632 10.206 8.1636 7.065 6.3692 5.8862 5.5297 5.2551 5.035 4.8558 3.994 3.3401 3.1969 2.9718

28 15.483 10.095 8.0654 6.9749 6.2846 5.8053 5.4506 5.1768 4.959 4.7808 3.9231 3.271 3.1278 2.9022

29 15.349 9.9917 7.9763 6.8922 6.2064 5.7298 5.3778 5.1059 4.889 4.7121 3.8581 3.2078 3.0641 2.8381

30 15.221 9.8971 7.8944 6.8167 6.1355 5.6607 5.3105 5.0404 4.8249 4.6484 3.798 3.1491 3.0054 2.779

40 14.352 9.2477 7.3287 6.2964 5.6434 5.1882 4.8517 4.5911 4.3838 4.2137 3.3883 2.7467 2.6016 2.3686

50 13.861 8.883 7.0131 6.0072 5.3697 4.9258 4.5975 4.3428 4.1396 3.9727 3.1614 2.5216 2.3745 2.1339

60 13.548 8.6511 6.8121 5.8235 5.1959 4.7594 4.4356 4.185 3.9845 3.8203 3.0172 2.3776 2.2283 1.9803

70 13.33 8.4892 6.6739 5.6962 5.0759 4.6443 4.3242 4.0764 3.8776 3.7148 2.9179 2.2774 2.1262 1.8712

80 13.169 8.371 6.5711 5.6025 4.9886 4.5602 4.2428 3.9963 3.7994 3.638 2.8451 2.2036 2.0505 1.789

90 13.046 8.28 6.4938 5.5315 4.9213 4.4956 4.18 3.9358 3.7398 3.5789 2.7894 2.1469 1.9922 1.7247

100 12.948 8.2091 6.4319 5.4752 4.8685 4.4452 4.1309 3.8876 3.6928 3.5325 2.7455 2.1021 1.9459 1.6728

200 12.522 7.8971 6.1636 5.2305 4.6384 4.2251 3.9181 3.6798 3.4886 3.3315 2.555 1.9043 1.7394 1.4259

300 12.384 7.7962 6.0782 5.1523 4.5648 4.1546 3.8494 3.613 3.4233 3.2669 2.4938 1.8397 1.6706 1.3329

400 12.316 7.7471 6.0354 5.1132 4.5284 4.1196 3.8158 3.5802 3.3911 3.2353 2.4638 1.8075 1.6362 1.2816

500 12.276 7.718 6.0099 5.0904 4.5065 4.0986 3.7958 3.5607 3.372 3.2164 2.4459 1.7883 1.6154 1.2483

600 12.249 7.698 5.9931 5.075 4.492 4.085 3.7826 3.5475 3.3592 3.2039 2.4338 1.7754 1.6015 1.2246

700 12.231 7.6843 5.9808 5.0641 4.482 4.0754 3.773 3.5384 3.3501 3.1951 2.4254 1.7663 1.5916 1.2066

800 12.216 7.6734 5.9722 5.0559 4.4743 4.0682 3.7662 3.5316 3.3433 3.1882 2.419 1.7594 1.5842 1.1925

900 12.205 7.6652 5.9654 5.0495 4.4683 4.0623 3.7603 3.5261 3.3378 3.1832 2.414 1.7541 1.5784 1.1811

1000 12.195 7.6589 5.9599 5.0445 4.4638 4.0577 3.7562 3.5218 3.3338 3.1791 2.4102 1.7499 1.5737 1.1715

1500 12.169 7.6398 5.9431 5.0295 4.4492 4.0441 3.743 3.5088 3.3212 3.1666 2.3983 1.7371 1.5597 1.1404

2000 12.154 7.6298 5.9345 5.0218 4.442 4.0372 3.7362 3.5025 3.3149 3.1605 2.3924 1.7307 1.5527 1.1227

10000 12.124 7.607 5.9154 5.004 4.4251 4.0213 3.7207 3.4875 3.3001 3.1457 2.3784 1.7154 1.5359 1.068


alfa =0,0001

grados de libertad del numerador

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000

1 4E+07 5E+07 5E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07 6E+07

2 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014 10014

3 784.17 694.77 659.38 640.75 627.71 620.26 614.67 609.08 605.36 603.5 588.6 581.15 577.42 575.56

4 241.68 197.91 181.14 171.83 166.24 162.05 159.26 156.93 155.53 154.13 147.61 142.96 142.03 140.63

5 124.8 97.09 86.38 80.559 76.834 74.506 72.643 71.246 70.082 69.267 65.193 62.282 61.7 60.885

6 82.422 61.584 53.667 49.418 46.741 44.936 43.539 42.55 41.735 41.095 38.068 35.914 35.507 34.808

7 62.166 45.169 38.65 35.216 33.062 31.549 30.501 29.628 28.987 28.464 25.961 24.243 23.865 23.341

8 50.699 35.972 30.443 27.474 25.64 24.36 23.429 22.701 22.148 21.682 19.558 18.044 17.724 17.259

9 43.481 30.326 25.408 22.759 21.1 19.965 19.15 18.51 17.986 17.579 15.687 14.319 14.043 13.621

10 38.592 26.543 22.032 19.631 18.132 17.084 16.327 15.745 15.28 14.901 13.155 11.903 11.642 11.249

11 35.041 23.865 19.66 17.419 16.022 15.047 14.348 13.795 13.373 13.024 11.394 10.215 9.9826 9.6043

12 32.422 21.857 17.899 15.789 14.465 13.562 12.893 12.384 11.976 11.642 10.099 8.9931 8.7603 8.411

13 30.384 20.314 16.56 14.552 13.286 12.427 11.787 11.307 10.914 10.601 9.1241 8.0618 7.8435 7.5015

14 28.755 19.092 15.483 13.577 12.369 11.54 10.928 10.456 10.084 9.7862 8.3674 7.3414 7.1232 6.7957

15 27.445 18.103 14.639 12.777 11.627 10.819 10.23 9.7789 9.4224 9.1313 7.7562 6.763 6.5556 6.2319

16 26.368 17.302 13.926 12.136 11.016 10.23 9.6625 9.2259 8.8767 8.6002 7.2614 6.2937 6.0863 5.7698

17 25.437 16.618 13.344 11.598 10.506 9.7498 9.1895 8.7675 8.4256 8.1491 6.8503 5.9008 5.6971 5.3878

18 24.651 16.036 12.849 11.147 10.07 9.3351 8.7894 8.3746 8.0472 7.778 6.5047 5.5697 5.3697 5.0677

19 23.982 15.541 12.42 10.754 9.7061 8.9858 8.4547 8.0472 7.7198 7.4579 6.2064 5.2896 5.0932 4.7912

20 23.399 15.119 12.049 10.419 9.386 8.6802 8.1563 7.7562 7.4397 7.1814 5.9517 5.0459 4.8531 4.5547

21 22.876 14.741 11.729 10.121 9.1095 8.411 7.9017 7.5088 7.1959 6.9413 5.7298 4.8349 4.6421 4.3474

22 22.439 14.406 11.438 9.8589 8.8694 8.1782 7.6761 7.2905 6.9776 6.7303 5.5334 4.6493 4.4602 4.1655

23 22.032 14.115 11.19 9.6334 8.6511 7.9744 7.476 7.0941 6.7885 6.5411 5.3624 4.4856 4.2965 4.0036

24 21.653 13.853 10.965 9.4224 8.4547 7.7926 7.2978 6.9194 6.6211 6.3737 5.2096 4.3401 4.1509 3.8599

25 21.333 13.621 10.761 9.2405 8.2873 7.6252 7.1377 6.7666 6.4683 6.2246 5.0713 4.2091 4.0218 3.7307

26 21.042 13.402 10.579 9.0731 8.1272 7.4724 6.9922 6.6248 6.3301 6.09 4.9477 4.0909 3.9036 3.6143

27 20.78 13.213 10.412 8.9203 7.989 7.3414 6.8649 6.4974 6.2064 5.9699 4.8349 3.9836 3.798 3.5088

28 20.518 13.031 10.259 8.7821 7.858 7.2177 6.7448 6.381 6.0936 5.8571 4.733 3.8872 3.7016 3.4124

29 20.3 12.864 10.121 8.6584 7.7416 7.105 6.6357 6.2792 5.9918 5.7553 4.6384 3.798 3.6125 3.3251

30 20.096 12.718 9.9972 8.542 7.6325 6.9995 6.5374 6.1809 5.8972 5.6643 4.5547 3.7162 3.5325 3.2433

40 18.67 11.7 9.1277 7.7598 6.8976 6.301 5.8644 5.5261 5.2569 5.035 3.9763 3.1641 2.9813 2.6903

50 17.884 11.132 8.6511 7.3305 6.4974 5.9226 5.497 5.1696 4.9076 4.6948 3.6634 2.8631 2.6794 2.3829

60 17.375 10.783 8.3528 7.0577 6.2464 5.6825 5.2678 4.9477 4.6912 4.482 3.4688 2.6721 2.4884 2.1855

70 17.026 10.536 8.1491 6.8758 6.0754 5.5188 5.1095 4.793 4.5402 4.3347 3.3342 2.5411 2.3565 2.0464

80 16.778 10.354 7.9963 6.7375 5.9481 5.3988 4.9949 4.6821 4.4329 4.2292 3.236 2.4456 2.2592 1.9431

90 16.589 10.223 7.8799 6.6357 5.8535 5.3078 4.9076 4.5984 4.351 4.1473 3.1614 2.3729 2.1846 1.8626

100 16.429 10.114 7.7926 6.5556 5.7771 5.2387 4.8385 4.5311 4.2855 4.0836 3.1032 2.3151 2.1264 1.7985

200 15.76 9.6479 7.3996 6.2064 5.4533 4.9295 4.5438 4.2455 4.0054 3.8108 2.8531 2.0646 1.8672 1.497

300 15.556 9.4988 7.276 6.0936 5.3478 4.8312 4.4492 4.1546 3.9181 3.7235 2.773 1.9836 1.7826 1.3858

400 15.447 9.426 7.2177 6.039 5.2969 4.7839 4.4038 4.1091 3.8744 3.6816 2.7339 1.9436 1.7403 1.3252

500 15.381 9.3823 7.1777 6.0063 5.2678 4.7548 4.3765 4.0818 3.849 3.6562 2.7103 1.9195 1.7149 1.286

600 15.338 9.3532 7.1559 5.9845 5.2478 4.7366 4.3583 4.0654 3.8308 3.6398 2.6948 1.904 1.698 1.2583

700 15.309 9.3351 7.1377 5.9699 5.2332 4.7221 4.3456 4.0527 3.8181 3.6271 2.6839 1.8927 1.6857 1.2374

800 15.294 9.3169 7.1232 5.959 5.2241 4.713 4.3347 4.0436 3.809 3.618 2.6757 1.884 1.6769 1.2209

900 15.272 9.3059 7.1159 5.9481 5.2132 4.7039 4.3274 4.0363 3.8035 3.6107 2.6694 1.8777 1.6698 1.2076

1000 15.265 9.2987 7.1086 5.9408 5.2078 4.6984 4.3219 4.0309 3.7962 3.6052 2.6648 1.8722 1.6641 1.1964

1500 15.221 9.2696 7.0831 5.919 5.1878 4.6803 4.3037 4.0127 3.7799 3.5889 2.6494 1.8563 1.6471 1.1603

2000 15.199 9.255 7.0722 5.9099 5.1787 4.6712 4.2946 4.0036 3.7726 3.5816 2.6421 1.8485 1.6387 1.14

10000 15.149 9.2186 7.0431 5.8844 5.155 4.6493 4.2728 3.9836 3.7517 3.5616 2.6239 1.8299 1.6182 1.0772


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by Julio Vargas Herbas

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