Lógica Simbólica

Lógica Simbólica•La lógica simbólica es el acto de la creación de un "lenguaje" artificial que hace uso de símbolos convencionales que representan estructuras para hacer frente a los complejos argumentos lógicos. Su propósito es ahorrar tiempo en la argumentación y ayudar a prevenir la confusión, imprecisión y la ambigüedad de la palabra. Se utiliza en lingüística, filosofía, informática y sobre todo, en matemática.

El lenguaje de la lógica proposicional

•El objeto de estudio de la lógica La lógica es una ciencia y su objeto de estudio lo

constituyen las formas, estructuras o esquemas del pensamiento. Utiliza las proposiciones, también llamadas juicios, que son oraciones que pueden ser calificadas en verdaderas o falsas.

Ejemplo: El gato toma leche

Es una proposición porque se afirma que “el gato” “toma leche”. Si solo dijera gato seria un concepto y no puede ser calificado como verdadero o falso porque no se afirma ni niega nada acerca del “gato”.

No es proposición ya que no se afirma o niega nada sobre el concepto hora, por lo tanto no es posible calificarla como verdadera o falsa.

En cambio las preguntas, ordenes o exclamaciones no son proposiciones ya que no afirman nada.

¿Que hora es?

El lenguaje de la lógica proposicional

¿Que lenguaje utiliza?

• Lenguaje formalSe refiere a un lenguaje que utiliza símbolos,

mismos que sustituyen las expresiones que hacemos en el lenguaje natural.

Para poder pasar del lenguaje natural al lenguaje formal el primer paso es abstraer el contexto en el que se expresa nuestro juicio y quedarnos solo con le contenido.En un día lluvioso el gato toma

leche y el perro come croquetas tranquilamente.Se elimina la primera oración porque esta se

refiere al contexto, es decir no es una proposición o afirmación.

Proposiciones• Atómicas: se conforma de un

solo juicio“El gato toma leche”

• Moleculares: se conforma de dos o mas

“El gato toma leche y el perro come croquetas”

Variables

• Son los símbolos que sustituyen las proposiciones o enunciados. Se llaman variables porque su significado va cambiando en las

diferentes argumentaciones o expresiones.

“p”, “q”, “r”, “s”, “t”, “u”, “v”, “w”, “x”, “y”, “z”.

•Una variable como por ejemplo p puede simbolizar "La Tierra es un planeta" o "Todos los planetas giran entorno al Sol" o cualquier otra proposición. Por ello, siempre es preciso indicar la proposición que se simboliza con la variable. Así, p = La Tierra es un planeta. 

Conectivas o Constantes Lógicas•Constantes o conectores proposicionales son las partículas de significado no variable que tienen la función de alterar, relacionar o conectar enunciados. Los más frecuentes son la negación, la conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

Estas expresiones, junto a las que expresan variables, nos permiten la construcción de enunciados complejos. Estas expresiones tienen un comportamiento constante.¬ ^ v → ↔ ↓

Símbolo Nombre Significado

¬ Negación“No”, no es cierto, no es el caso

que, es falso, no es posible, nadie, ningún, nunca, tampoco.

^ Conjunción“y”, además, sin embargo, que, pero, también, e, ni, "punto”,

mas, aunque, algún.

v Disyuntor “o”, “coma”, “u”

→ Condicional“pero si”, a condición que, a no ser que, siempre que, con tal

que, entonces, cuando, “coma”, “;”, “si … ,”, a menos que,

mientras

↔ Bicondicional “Si y solo si”, Únicamente, cuando y solo cuando, equivale.

v Disyuntor exclusivo “o… o”

Negación ¬

Simboliza la negativa de cualquier argumento.•Significado: “no”, “no es cierto”, “no es el caso que”, “es falso”, “no es posible”, “nadie”, “ningún”, “nunca”, “tampoco”.

Ejemplo:  El árbol es

hermosoEl árbol es hermoso

El árbol no es hermoso

No es cierto que el árbol no es hermoso

q ¬q ¬(¬q)

Conjunción ^

Simboliza la conjunción Y• Significados: “Y”, “además”, “también”, “pero”, “que”, “mas”, “e”,

“ni”, “punto”, “mas”, “e”, “aunque”, “algún”.Ejemplo:

p^q

Will Smith actúa en Hombres de Negro y en Focus.

Carlos es alto y tiene barba

• r: Carlos es alto• y: tiene barba

r ^ y

• p: Will Smith actúa en Hombres de negro

• q: en Focus.

Disyunción v

Su función es enlazar dos preposiciones•Significado: “o”, “coma”, “u”Ejemplo:

p v q

Laura compra un carro o una casa.

• s: Carmen va a la fiesta.• o: va al cine.

s v o

Carmen va a la fiesta o al cine.

• p: Laura compra un carro.

• q: una casa.

Condicional →

Las oraciones condicionales, son aquellas que establecen una condición que ha de cumplirse para que otra sea verdadera.• Significado: “pero si”, “ a condición que”, “a no ser que”, “siempre que”,

“con tal que”, “si... entonces” ,“cuando”, “coma”, “;”, “si … ,”Ejemplo:

p q

Te llevare al cine si prometes ser puntual.

Si estudio, pasaré el examen. o

x • p: Te llevaré al cine.• q: prometes ser puntual.

• o: Si estudio.• x: pasaré el

examen..

Bicondicional ↔Es un argumento de la forma “P si y sólo si Q” y afirma que

el argumento “P” será verdadero cuando “Q” lo sea o viceversa.• Significado: “Si y solo si”, “ Únicamente”, “cuando y solo cuando”,

“equivale”.Ejemplo:

p q

Una persona es mayor de edad únicamente si tiene la INE.

• u: Una persona es mayor de edad.

• v: tiene la INE.

u v

Enseño matemáticas si solo si mepagan con dinero.

• p: Enseño matemáticas.• q: me pagan con dinero. 

Viene a decir que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. •Se utilizan las palabras “o… o”Ejemplo

p v q

O bien esta soleado o esta nublado.

• p: Esta soleado.• q: esta nublado.

Disyunción exclusiva “v”

Símbolos auxiliaresEl paréntesis, llaves y corchetes, es la representación simbólica del enunciado lógico, se utilizan como signos de puntuación, no tienen ningún significado lógico pero que se usan con el objetivo de clarificar la comprensión de los enunciados. Los símbolos auxiliares paréntesis ( ... ) y corchetes [ ... ] evitan ambigüedades y facilitan la lectura.Ejemplo:

1. No fui al cine, pero fui al teatro.

Incluye una negación y una conjunción; la conjunción afecta a la primera proposición solamente, en este caso.

2. No es cierto que fui al cine y al teatro.

Se advierte que la negación afecta a la conjunción en su conjunto.

¬(pvq)¬pvq

Agrupación de proposiciones y argumentos

* No es necesario agrupar cuando hay únicamente dos proposiciones o afirmaciones; sin embargo, sí es necesario agruparlas cuando hay tres o más proposiciones dentro del argumento o razonamiento a simbolizar.

Argumento en lenguaje natural

Simbolización Agrupación

Descartes escribió el Discurso del método y

Las meditaciones metafísicas.

p: Descartes escribió el Discurso del método.q: Descartes escribió Las meditaciones metafísicas.

No se agrupa cuando solo tienen dos preposiciones. Independientemente de la conectiva lógica que se trate.

Descartes escribió el Discurso del método y

Las meditaciones metafísicas, y es un

buen filosofo

p: Descartes escribió el Discurso del método.q: Descartes escribió Las meditaciones metafísicas.r: Descartes es un buen filosofo.

Se agrupan juntas las primeras dos afirmaciones ya que la “,” señala una separaciones entre dos ideas.

NOTA: No se agrupa mas porque a queda claro los elementos que corresponden a cada conectivo

p^q

(p^q)^r

La negación

• No es una conectiva Ya que no une dos proposiciones.

• Solo niega un juicio o afirmación.Incorrect

oCorrect

op¬ La negación se simboliza

siempre antes de lo que se quiere negar.

¬p

p¬vq Nunca se coloca antes de una conectiva. ¬pvq

p Si escribimos solo “p”, esto no equivale a un juicio negativo. Es

necesario poner siempre el símbolo de negación “¬”

¬p

• Anita salta la cuerda.No es necesario

poner “¬”porque no es una

proposición negativa.

• Anita no salta la cuerda.

Es una proposición negativa, por lo tanto es

necesario poner “¬”

Por ejemplo:

¬

¬

Como simbolizar y agrupar la negación

Es importante saber que dependiendo de donde se coloca la negación, será la traducción del lenguaje lógico al natural. Cuando una negación está fuera de los paréntesis, corchetes o llaves, significa que está negando el contenido que está dentro y para ello se emplea, regularmente, las expresiones: "no es cierto que…" o "no es verdad que".

No es cierto que Kant escribió la Crítica de la Razón Pura y es un filosofo alemán.

¬(p^q)

 No es cierto que Kant no escribió la Crítica de la Razón Pura.

¬(¬p)

 La verdad no existe y Dios no existe, y yo soy escéptico.(¬p^¬q)

^r

No es cierto que La verdad y Dios existan.

¬(p^q)

• p: Kant escribió la Critica de la Razón Pura

• q: Es un filosofo alemán.

• p: Kant escribió la Critica de la Razón Pura.

• p: La verdad• q: Dios existe• r: Yo soy escéptico.

• p: La verdad• q: Dios existe.

Reglas de formación de formulasLas variables proposicionales, constantes y auxiliares, o sea , los símbolos

del lenguaje lógico no se pueden escribir de cualquier manera. No toda expresión es admitida como fórmula bien hecha.

Una fórmula es una secuencia ordenada de símbolos.1. Una fórmula es una fórmula bien formada (fbf) si cumple alguna de las

siguientes cláusulas: .

   1) Uno variable proposicional es una fbf.    2) Si p es una fórmula bien formada, ¬p también lo es.    3) Si p y q son fórmulas bien formadas, entonces también lo son p∧ q, p∨ q, p → q y p ↔ q.

p¬→pq

pqvX X X

Agrupación

• DiccionarioSeñala lo que significa cada una de las letras de cada una de las proposiciones.El gato toma leche y el perro come

croquetas.DICCIONARIO:p: El gato toma leche.q: El perro come croquetas.

Reglas para su agrupación• A toda conectiva le corresponden dos

proposiciones que los pone en relación.

• Las conectivas se simbolizan con una preposición de cada lado. Nunca se pone la conectiva y después la preposición. O al igual dos conectivas juntas.

• Las llaves y corchetes agrupan ideas al interior de un argumento. No se puede tener dos ideas juntas sin un conector y dos grupos de ideas sin un conector entre ellas.

pvq

vpqpvq

(pvq)→(r^t)

p ^ q

p→^q

(pvq)(r^t)

Conversión a constantes 1) Lee el argumento en lenguaje natural y localizar las preposiciones contenidas

Descartes escribió el Discurso del método y Las meditaciones metafísicas, y es buen filosofo; o es un filosofo moderno o ilustrado.

2) Separar las ideas generales.[Descartes escribió el Discurso del método y Las meditaciones metafísicas, y es buen

filosofo]; o [es un filosofo moderno o ilustrado].

3) Verificar que en cada corchete quede solo una idea, si no es así, separar nuevamente usando paréntesis.

[(Descartes escribió el Discurso del método y Las meditaciones metafísicas), y es buen

filosofo]; o [es un filosofo moderno o ilustrado].

4) Identificar las palabras conectivas.[(Descartes escribió el Discurso del método y Las meditaciones metafísicas), y es

buen filosofo]; o [es un filosofo moderno o ilustrado].

[( p ^ q ) ^

r ]→ [ s v t ]Diccionario

p: Descartes escribió el Discurso del método. q: Las meditaciones metafísicas.r: es buen filosofo.s: es un filosofo moderno.t: ilustrado.

[(p^q)^r] → [s v t]

[(Descartes escribió el Discurso del método y Las meditaciones

metafísicas), y es buen filosofo]; o [es un filosofo moderno o

ilustrado.]

Conversión a constantes

¬p ^ ¬q  Carlos no vive en Mexicali y no

estudia

Combinación de variables y constantes

• p: Carlos vive en Mexicali.

• q: estudia.

p ^ ¬q 

Llueve y no hace sol

• p: Llueve.• q: hace

sol.

(r ^ q) → t

Si Pedro me habla y regala chocolates, saldré con el.• r: Pedro me habla.

• q: regala chocolates.• t: saldré con el.

(¬p →q) ^(p →¬q)

“Si escoges tus deseos y miedos, no existirá para ti ningún tirano”.

• p: Tiene imaginación.• q: la muerte es poca

cosa.

Combinación de variables y constantes

(p^q) →¬r

“Cuando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa, cuando uno la tiene, la muerte es demasiado.

• p: Escoges tus deseos.

• q: miedos.• r: existirá algún

tirano.

¬[(u ^ v) → ¬w]

No es cierto que si llueve y hace sol, las brujas no se peinan.

• u: llueve.• v: hace sol.• w: las bujas se

peinan.

¬ (¬p ^ ¬q)

No es cierto que María no estaba enferma y Camila no la remplazo en el trabajo

Combinación de variables y constantes

• p: Hoy es domingo• q: tengo que estudiar

matemáticas• r: aprobare el curso.

(p^q)v¬r

Hoy es domingo y tengo que estudiar matemáticas o no aprobare el curso

• p: María estaba enferma• q: Camila la reemplazo en el

trabajo

• p = pago la luz• q = me cortarán la corriente eléctrica• r = me quedare sin dinero• s = pediré prestado• t = pagar la deuda• w = soy desorganizado:

Combinación de variables y constantes

(p^q) ↔ ¬(r ^ ¬s)

Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase en los exámenes y no sea aplaudido.

• p: Pablo atienda en clase.• q: estudia en casa.• r: se dará que fracase en los

exámenes• s: sea aplaudido.

Si no pago la luz, entonces me cortaran la corriente eléctrica. Si pago la luz, entonces me quedare sin dinero y pediré prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y solo si soy desorganizado.

(¬p → q) ^ [ p → (r ^ s)] → ¬t↔w

Aprobaré matemáticas, si Dios quiere. Aprobaré matemáticas si y sólo si estudio y hago todos los ejercicios. Sin embargo, no he hecho los ejercicios. Por tanto, Dios no quiere que apruebe matemáticas.

¿hay algún modo de marcar la diferencia de

ese ‘por tanto’?SÍ: es la conclusión de un argumento. Vamos a

marcarla con el símbolo

p: Apruebo matemáticas.q: Dios quiere que apruebe.r: Estudios: hago los ejercicios.

Combinación de variables y constantes

(p → q) ^ [p ↔ (r ^ s)] ^ s

¬(q^p)

Combinación de variables y constantes

Puedo estudiar ciencias o humanidades. Si estudio ciencias, entonces podré hacer Medicina. Si estudio humanidades, podré hacer Magisterio. Y no quiero hacer Magisterio. Por tanto, estudiaré ciencias.

Ni te esfuerzas por aprender ni quieres trabajar. Si no te esfuerzas por aprender, entonces no podrás sacar unos estudios. Si no trabajas, entonces no podrás ganarte la vida. Por tanto, o trabajas o te esfuerzas por aprender.

[((¬p^¬q) ^(¬p→¬r))^(¬q→¬s)] (qvp)

[(((pvq) ^(p→r)) ^(q→s)) ^ ¬s] p

• p: Estudiar ciencias.• q: Estudiar

humanidades.• r: Hacer medicina.• s: Hacer magisterio.

• p: Esfuerzas por aprender.

• q: quieres trabajar.• r: sacar estudios.• s: ganarte la vida.

Si la señora Rodríguez lo hizo, lo hizo con el cuchillo o con la pistola. Pero lo hizo con la pistola si y solo si el asesinato se cometió en el jardín. El asesinato se cometió en la cocina. Por lo tanto, si la señora Rodríguez lo hizo, lo hizo con el cuchillo.

p: La señora Rodríguez lo hizo.q: lo hizo con el cuchillor: con la pistola.s: El asesinato se cometió en el jardín.t: se cometió en la cocina.

[p → (q v r)] ^ (r ↔ s) ^ t (p → q)

Combinación de variables y constantes

•Por su atención, ¡Gracias!