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Introducción Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas, ya que algunos enunciados que involucran números, tienen un significado muy restringido si no se comparan con otros o con otras cantidades En la siguiente presentación usted podrá apreciar lo que son las Razones y Proporciones, aparte de ejercicios de explicación y aplicación. RAZONES Y PROPORCIONES 1) Razón o relación .- Es el resultado de comparar 2

números o cantidades por medio de una diferencia o de un cociente

AA B R (Razón Aritmética)

12 4 8 (Razón Aritmética)

G

AR

B (Razón Geométrica)

12

34 (Razón Geométrica)

Ejemplo aplicativo comparar las edades de Manuel y Natalia, si Manuel tiene

48 años y Natalia tiene 16 años

Comparamos dichas edades mediante una sustracción. 48-16=32. Nos da a entender que la edad de Manuel es mayor o excede a la edad de Natalia en 32 años.

Comparamos dichas edades mediante una división. 𝟒𝟖

𝟏𝟔= 𝟑

. Nos da a entender que la edad de Manuel es 3 veces o es el triple de la edad de Natalia. OJO: En estadística se usa mucho la comparación por cociente y se le llama simplemente RAZON.

2) Proporción.- Es la igualdad de 2 razones aritméticas o geométricas.

2.1) Proporción Aritmética.- Es la igualdad de 2 razones aritméticas.

a b c d . Es de 2 clases:

a) P. A. Discreta.-Cuando todos sus términos son diferentes.

ta

y 2 son

10 4 8 2 4 diferencial

a b c d d

Propiedad Básica:

; 10 2 4 8a d b c

b) P. A. Continua.- Cuando sus términos medios son iguales.

a b b c

b Es media aritmética o media diferencial.

c Es la tercia aritmética o tercia diferencial. Dónde, además; si despejamos “b” se obtiene:

𝒃 =𝒂 + 𝒄

𝟐

2.2) Proporción Geométrica.- Es la igualdad de 2 razones geométricas

se lee: es a

como es a

a ba c

c db d

y :a d Términos extremos.

y :b c Términos medios.

y :a c Antecedentes.

y :b d Consecuentes

era da 1 razón 2 razóna c

b d

2.2.1) Clases de Proporciones Geométricas.-Son de 2 clases:

a) P. G. Discreta.- Todos sus términos son diferentes.

ta y 6 son 412 8

;9 6 proporcional o geométrica

da c

b d

b) P. G. Continua.- Sus términos medios son iguales.

y 6 son media proporcional

o geométrica9 6;

y 4 son tercera proporcional6 4

o geométrica

b

a b

cb c

PROPIEDADES -En toda proporción geométrica, el producto de extremos es

igual al producto de medios, es decir: 𝐚

𝐛=

𝐜

𝐝→ 𝐚 × 𝐝 = 𝐛 × 𝐜

-En una proporción geométrica continua, la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos, así:

𝐚

𝐛=

𝐛

𝐜→ 𝐛 = √𝐚 × 𝐜

OBS: Si no se determina que tipo de razón o proporción se establece en un problema, se asume que es GEOMÉTRICA. Serie de Razones Equivalentes (S.R.E).- 1) Serie Aritmética: *S.R.E.A Continua: Forma General: a – b = b – c = c – d = d – e =. . . *S.R.E.A. Discreta: Forma General: a – b = c – d = e – f = … 2) Serie Geométrica:

* S.R.E.D. Continua: Forma General:

ke

d

d

c

c

b

b

a

* S.R.E.G. Discreta: Forma General:

kf

e

d

c

b

a

NOTA: Propiedades de las Series Geométricas:

Dado: kf

e

d

c

b

a

1) kfdb

eca

2) ;K

fdb

eca N

N = N° de razones

3) P

PPP

PPP

Kfdb

eCa

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sí 3

11

m

n . Además 700m n . Halle la diferencia

de los números.

a) 300 b) 350 c) 500 d) 400 e) 450 2. La razón aritmética y geométrica de 2 números son 30 y

5/2 respectivamente. Hallar el antecedente de dichas razones. a) 50 b) 40

c) 35 d) 60 e) 70

2

3. Dos números están en la misma relación de 3 a 5. Si la suma de los dos números es 16. Hallar el número menor. a) 4 b) 3 c) 10 d) 9 e) 6

4. Si 18x y y8

5

x

y . Hallar “ x y ”

a) 87 b) 68 c) 78 d) 98 e) 48

5. Las edades de Ana y María están en la misma relación de 2 a 7, si el producto de dichas edades es 224. Hallar la suma de sus edades.

a) 36 b) 26 c) 16 d) 10 e) 4

6. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 45 y su diferencia 27. Hallar la media proporcional. a) 16 b) 18

c) 20 d) 24 e) 36 7. Si las razones aritméticas de los términos de la primera

y segunda razón de una proporción geométrica son 10 y 50 respectivamente. Determinar en qué relación estarían la diferencia y la suma de los consecuentes de dicha proporción.

a) 3/2 b) 5/4 c) 2/5 d) 2/3 e) 5/3

8. Sabiendo que la media proporcional de 3 y 27 es a la tercera proporcional de “ a ” y 36 como 1 es a 3. Hallar “

a ”. a) 18 b) 24 c) 36 d) 48 e) 58

9. Si 8 es la cuarta diferencial de “ , ya b c ”, además

b c y 36 es la tercera diferencial de “ 4a ” y 48.

Hallar el máximo valore de “ b ” a) 11 b) 12 c) 13 d) 16 e) 17

10. En un salón de clase hay “ n ” alumnos entre varones y

mujeres. Si el número de varones es a “ n ” como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de mujeres y el número de varones es 18. ¿Cuál es la relación entre varones y mujeres, si se retiran 13 mujeres? a) 10/9 b) 5/4 c) 6/11 d) 9/10 e) 11/9

11. Las edades de dos personas suman 55 años y dentro

de 5 años estarán en la razón de 4 a 9, ¿cuál es la edad del menor? a) 25 b) 30 c) 35 d) 20 e) 15

12. A una fiesta, concurren 400 personas, entre varones y mujeres: hay 3 varones por cada dos mujeres. Luego de dos horas, se observa que hay 2 hombres por cada mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 80 b) 68 c) 72 d) 90 e) 82

13. Si:

a. b. c = 1 120 y 2

a=

7

b=

10

c . Hallar a + b + c

a) 28 b) 32 c) 38 d) 19 e) 26

14. Si: m

2=

n

5=

p

8=

q

10 . Además: nq − mp = 306.

Entonces: p + q − m − n es igual a: a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 55

15. Sean 3

𝑃=

𝑃

𝐸=

𝐸

𝑅=

𝑅

𝑈=

𝑈

96. Calcular: E

a) 12 b) 6 c) 18 d) 24 e) 36

16. Las edades de Javier, Cesar y Miguel son proporcionales

a los números 2; 3 y 4. Si dentro de 9 años sus edades serán proporcionales a 7; 9 y 11 respectivamente. Hallar la edad actual de Cesar. a) 15 años b) 16 años c) 17 años d) 18 años e) 19 años

17. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 160. Hallar el valor de la razón aritmética. Sabiendo que los extremos son entre sí como 11 es a 5. a) 15 b) 6 c) 8 d) 50 e) 24

18. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 360. Hallar el valor de la razón aritmética. Sabiendo que los extremos son entre sí como 7 es a 2. a) 4 b) 6 c) 8 d) 50 e) 24

19. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20; 50; 100 se forma una proporción geométrica continua cuya razón es:

a) 1/2 b) 4/3 c) 2 d) 1/3 e) 3/5

22. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, además. 140 es la tercera diferencial de 2a y 160. Hallar la media aritmética de b y c. a) 14 b) 67,5 c) 15 d) 12,5 e) 11,5

24. Calcular:

La media diferencial de 14 y 4.

La cuarta diferencial de 25; 12; y 16.

La tercera diferencial de 16 y 9.

La media diferencial de 3,8 y 0,6.

La cuarta proporcional de 16; 24 y 4.

La media proporcional de 1 y 25.

La tercera proporcional de 9 y 6. 25. Una ciudad está dividida en 2 es a 5 y B es a C

como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números?

a) 66 b) 55 c) 132 d) 121 e) 156

26. Se tiene la siguiente serie de razones

geométricas iguales:

10

c

7

b

5

a

Hallar la suma de los antecedentes

Si 3a + 2b – c = 76

a) 88 b) 78 c) 72 d) 66 e) 64