Sem 6 Matrices

Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 1

MATEMTICA BSICA

TEMA :

DEFINICIN: Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en m filas y n

columnas, y encerradas entre corchetes o parntesis. Las matrices se denotan con letras

maysculas, tal como A, B C, etc.

Se le llama matriz de orden m x n a todo conjunto de elementos de dispuesto en m lneas

horizontales (filas) y n lneas verticales (columnas).

A=[ ], donde i = 1, 2, 3,..., m y j = 1, 2, 3,..., n

Los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el

segundo la columna (j).

Ejemplos: 3 2 0

A1 4 5

1 2 3

0 1 2B

4 0 2

5 3 1

ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz est dado por el producto indicado m n, si y slo si, m indica el nmero de filas y n el nmero de columnas.

Columnas

11 12 1

21 22 2

1 2

de la matriz A

Filas de lamatr

iz

A

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

ij m nA a ija

MATRICES: DEFINICIN, OPERACIONES Y DETERMINANTES


Ejemplo:

[

]

(

)

Ejemplo: Dada la matriz A.

562

231A

Se observa que, es una matriz de orden 23, es decir, A es una matriz con 2 filas y 3

columnas.

El elemento 23 5a , es el que est en la interseccin de fila 2 con la columna 3.

TIPOS DE MATRICES

1. Matriz rectangular: Una matriz de orden nm , es rectangular, si nm .

Ejemplo: Dada la matriz A

1203

75142

6631

A

es una matriz de orden 3 4 .

2. Matriz columna: Una matriz de orden nm , se le llama as, a la que tiene solamente

una columna, es decir m*1.

Ejemplo: Dada la matriz A


A=

6

2

1

es una matriz de orden 3x1.

3. Matriz Fila: Una matriz de orden nm , se le llama as a la que tiene slo una fila, es

decir 1*n.

Ejemplo.

A= 81271 es una matriz de orden 1 4

4. Matriz cero nula: Es la matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir ija = 0 i. j

[

]

5. Matriz cuadrada: Una matriz de orden nm , es una matriz cuadrada, cuando tiene el

mismo nmero de filas y columnas, es decir m n .

Ejemplo: Dadas las matrices A y B.

11 12 13

11 12

21 22 23

21 22 2 231 32 33 3 3

a a aa a

A B a a aa a

a a a

Las matrices A, B son de orden 2 2 3 3, respectivamente.y

IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma

dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales, es decir, ija = ijb ,i j .

Ejemplo: Dadas las matrices 3 1

5 3A

y 1

3 3

x yB

x y

, si A=B. Hallar los valores de

x e y.

Solucin:


Si 3 1 1

5 3 3 3

x yA B

x y

, entonces sus componentes correspondientes tienen que

ser iguales, esto es:

3 3 5x y x y

Al resolver, se tiene que x=1 y=-2

OPERACIONES CON MATRICES

1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES

Si A= ij m na y B= ij m nb son matrices del mismo orden nm , entonces la suma A+B

y la diferencia A-B es la matriz de nm que se obtiene sumando y restando

respectivamente las entradas de A y B; esto es:

A+B== ij ija b y A-B= ij ija b

Ejemplo: Sean las matrices A=

412

203 y B=

521

635, hallar A+B y A-B.

Solucin:

Notar que, ambas matrices tienen el mismo orden, es decir, 2 3 .

Entonces,

A+B=3 5 0 ( 3) 2 6

2 1 1 2 4 ( 5)

=

113

438

A-B=3 5 0 ( 3) 2 6

2 1 1 2 4 ( 5)

=

2 3 8

1 3 9


Propiedades de la suma de matrices

a) A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

b) A + B = B + A (propiedad conmutativa)

c) A + 0 = A (0 es la matriz nula)

d) La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el

nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (-A) = 0

e) La diferencia de matrices A y B se representan y se define como: A - B

2. PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (nmero)

Si A= [ ija ] es una matriz de orden nm , multiplicado por k un nmero real, es otra

matriz B = [ ijb ] de la misma dimensin que A y tal que cada elemento ijb de B se

obtiene multiplicando ija por K, decir, ijb = k ija

Ejemplo: Sea la matriz 1 0 2

2 1 4A

, y 3k , hallar la matriz 3A .

Solucin:

Al multiplicar, cada entrada de A por -3 se tiene

3A = 1 0 2

32 1 4

=( 3)1 3(0) 3( 2)

( 3)2 3( 1) 3(4)

=

1236

603

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

a) k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1)

b) (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2)

c) K (h A) = (k h) A (propiedad asociativa mixta)

d) 1- A = A (elemento unidad)

Propiedades simplificativas

a) A + C = B + C A = B


b) k A = k B A= B si k es distinto de 0

c) k A = h A h = k si A es distinto de 0

3. MULTIPLICACIN DE MATRICES

Sea A = [ ija ] una matriz de orden nm y B = [ ijb ] una matriz de orden pn .

Definicin: El producto de dos matrices A y B es AB o A.B, se requiere que el nmero

de columnas de A debe coincidir con el nmero de filas de B, y se obtiene multiplicando

las filas de A por las columnas de B, es decir;

pmpnnm CBA

Dnde: cuya entrada ijc , en la fila i y la columna j, se obtiene como sigue:

Sume los productos formados al multiplicar, en orden cada entrada de la fila i de A por la

correspondiente entrada de la columna j de B.

Es decir, (i-sima fila de A). (j-sima columna de B)= ijc elemento de C=AB

Ejemplo: Sean A=

231

612 y B=

112

240

301

. Hallar C=AB

Solucin:

Se observa que, la matriz A tiene orden 2x3 ( nm ) y la matriz B tiene orden de 3x3 (

pn ), adems el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B (n=3)

Luego, el producto C est bien definido y ser una matriz de 2x3 ( pm ).

orden de la matriz


11 12 13

21 22 232 3 2 3

3 3

1 0 32 1 6 ? ? ?

0 4 21 3 2 ? ? ?

2 1 1

c c cC

c c c

La entrada 11c se obtiene sumando los productos de cada entrada en la fila 1 de A por la

entrada en l columna 1 de B, es decir, la fila 1 de A por la columna1 de B.

Elemento ijc Producto de la fila i por la columna j valor Matriz producto

11c

231

612

112

240

301

(2) (1)+ (1) (0)+ (-6) (-2)=14 12 13

21 22 23 2 3

14 c c

c c c

12c

231

612

112

240

301

(2) (0)+ (1) (4)+ (-6) (1) 2 13

21 22 23 2 3

214 c

c c c

13c

231

612

112

240

301

(2) (-3)+ (1) (2)+ (-6) (1) 10 21 22 23 2 3

1014 2

c c c

21c

231

612

112

240

301

(1) (1)+ (-3) (0)+ (2) (-2) 3 22 23 2 3

14 2 10

3 c c

22c

231

612

112

240

301

(1) (0)+ (-3) (4)+ (2) (1) 10 23 2 3

14 2 10

3 10 c

23c

231

612

112

240

301

(1) (-3)+ (-3) (2)+ (2) (1) 7 2 3

14 2 10

3 10 7


Por lo tanto, C=AB=

7103

10214y es de orden 2 3

MATRICES ESPECIALES

1. Matriz Transpuesta: Dada una matriz A de orden nm , se llama matriz

transpuesta de A, se denota tA , a la matriz mn cuyos elementos se obtiene

intercambiando las filas por la columnas.

Ejemplo:

032

142

263

A , la transpuesta es tA =

012

346

223

2. Matriz triangular. Dada una matriz cuadrada A entonces: Diremos que A es una

matriz:

- Matriz Triangular Superior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos

situados debajo de la diagonal principal son todos ceros. Esto es 0ija , si i>j

3000

2600

1220

2331

A

- Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos

situados por encima de la diagonal principal son todos ceros. Esto es 0ija , si i


Una matriz cuadrada de la forma D=[ ijd ] Se representa usualmente por:

D=diag( nndddd ,,,, 332211 )

Ejemplo:

D=

100

060

003

D=diag(3,-6,-1)

4. Matriz Escalar: Llamaremos matriz escalar a una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

4 0 0

0 4 0

0 0 4

E

5. Matriz Identidad: Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal

principal son todos uno y los otros cero, recibe el nombre de la matriz identidad o matriz

unidad. Se denota como nI

nI =

jisi

jisi

,0

,1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

6. Matriz simtrica: Dada una matriz cuadrada A, diremos que A es una matriz simtrica

si es igual a su traspuesta, es decir, si (el elemento ij jia a )

Ejemplo:

1 2 0

2 4 7

0 7 5

A

y

1 2 0

2 4 7

0 7 5

TA

Por tanto, A es simtrica


EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 1: Si

01

34

31

A B=

150

126

93

112

514C . Hallar la matriz D=

CBA

3

12

Solucin:

Al multiplicar, por 2 y por 1

3 a la matriz A y B respectivamente, se tiene que

1 3 2 6

2 2 4 3 8 6

1 0 2 0

A

3 9 1 31 1

6 12 2 43 3

0 15 0 5

B

Luego, al restar se tiene

BA

3

12

02

68

62 1 3

2 4

0 5

=

52

26

93

Por consiguiente, al multiplicar la matriz resultante por la matriz C, se tiene que

CBA

3

12 =

52

26

93

112

514

=

572

32828

6126

Ejemplo 2: Resolver la ecuacin 2

y

x-

4

3=5

4

5

Solucin:


De la ecuacin, 2

y

x-

4

3=5

4

5

Se obtiene que

42

32

y

x=

20

25

Luego, por igualdad de matrices se tiene

2x-3=25 y 2y-4= -20

Por tanto, al resolver se obtiene x=14 y y=-8

Ejemplo 3: Si A=

21

31 C=

y

x B=

25

0

y si se cumple que AC=B, entonces hallar

x+y

Solucin:

Se sabe que, AC=B

21

31

y

x=

25

0

Luego, al multiplicar matrices se obtiene que

yx

yx

2

3=

25

0

Entonces, 3 25x y

y 02 yx

Por consiguiente, al resolver se tiene que 10 y y 5x

Por tanto, x+ y 15

Ejemplo 4: Dadas las matrices

1 1 2

1 2 4

2 3 1

A

4 1 0

3 2 1

0 5 2

B

1 3

0 4

2 1

C

y


1 1 2

1 2 5D

. Calcular:

a) 2( )tCD A b) 3 33A I I B

Solucin:

a) Al multiplicar CD =

1 3

0 4

2 1

1 1 2

1 2 5

=

2 7 13

4 8 20

1 4 1

, y luego calculando su

traspuesta se tiene

2 4 1

7 8 4

13 20 1

tCD

De otro lado, 2A

1 1 2

1 2 4

2 3 1

1 1 2

1 2 4

2 3 1

=

4 9 8

5 15 10

1 11 17

Luego, al restar se tiene entonces que

2( )tCD A =

2 4 1

7 8 4

13 20 1

-

4 9 8

5 15 10

1 11 17

=

2 5 7

2 7 14

12 9 18

b) Al multiplicar por 3 y luego restarle la matriz identidad se tiene que: 33A I

1 1 2

3 1 2 4

2 3 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

3 3 6

3 6 12

6 9 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

2 3 6

3 5 12

6 9 2

De otro lado, 3I B

1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 1 0

3 2 1

0 5 2

=

3 1 0

3 1 1

0 5 3


Por tanto, 3 33A I I B =2 3 6

3 5 12

6 9 2

3 1 0

3 1 1

0 5 3

=

15 31 21

6 68 41

45 13 15

Con frecuencia, en economa e ingeniera es conveniente utilizar matrices en la formulacin

de problemas y exhibir datos.

Ejemplo 5: Un fabricante que manufactura los productos A, B y C, podra representar las

unidades de mano de obra y material involucrados en una semana de produccin de estos

artculos, como se muestra en la siguiente tabla.

Producto

A B C

Mano de

obra 10 12 16

Material 5 9 7

De manera ms sencilla, estos datos pueden representarse en una matriz, dado por:

10 12 16

5 9 7

A B C

materialA

mano de obra

Ejemplo 6: Vector de costos: Suponga que los precios, en dlares por unidad, para los

productos A, B, C estn representados por el vector de precios

Precio

2 3 4

A B C

P

Si las cantidades (en unidades) de A, B, y C que se compran estn por el vector columna

11

5

7

Q

Unidades de A

Unidades de B


Entonces, el costo total en dlares de las compras est dado por la entrada en el vector costo

PQ

432PQ

11

5

7

= ]73[)11.4()5.3()7.2(

EJERCICIOS PROPUESTOS

NIVEL I

1.- Escribir explcitamente la matriz A.

ij

ij 2 3ij

a ij , i jA A /

a i j i j

2.-Si: 2 3 5

1 4

m n p q

m n p q

, hallar (m+p)+(2n-q)

3.-Sean las matrices:

2 2

x 1A

5 2

2 2

6 zB

w 2

.Si A y B son iguales, hallar x2 + z

2 + w

2

4.- Dada la matriz:

[

]

Calcular:

y

5.-Halle el valor de . .x y u v , si las matrices A y B son iguales:

2 2

x y u vA

x y u v

[

]

6.-Dadas las matrices:


(

) (

) (

)

- Qu clase de matrices son?

- Calcular:

-A B + C

A + B C

3A + C2

7.- Dada la matriz:

[

]

Calcular: A2+A

8.- Sean las matrices:

[

], 2 2

y x yB

z y 2w z

Encuentra w, para que A y B sean iguales.

9.- Las matrices A , B ,C , D , E , F y G se definen como sigue:

1 4

3 8A

15 9

2

32 4

2

B

71 1

3

5 0 1

C

6 2D 1

2

1

E

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F

2 1 0

5 1 0

3 0 1

G

Efecta la operacin algebraica indicada, o explica por qu no se puede efectuar.

1. B + 2C 2. 4C - B 3. B C 4. 3C B 5. DA 6. BF


7. ( )DA B 8. CD 9. 2A 10. 2B 11. ( )B F FE

10.-Dadas las matrices:

4 3 2 0 1 2 7 4

2 8 2 , 4 10 , 1 0 1

1 2 1 0 4 5 1 2

A B C

.

Calcular: 3A+2C, AC, CA, AB.

NIVEL II

1. Calcular: 2 3A A I siendo: 4 2 1 0

,1 1 0 1

A I

2. Calcule la matriz 2 4( )B A C si: 0 5 4 3 9 3

, ,2 1 7 6 0 4

A B C

3. Dadas las matrices:

2 1 3

4 0 4

5 3 6

A

,

9 3 5

3 7 2

3 1 0

B

, 4 5 7

,3 2 1

C

0 2

1 8

2 1

D

. Hallar: AB, CA, 5A+3B, AB2, CB, CD, 2A , 2B , 6A+ 2A , 2B -AB.

4. Resuelve la ecuacin matricial para la matriz incgnita X o explica por qu esa ecuacin no tiene solucin. Sean

2 5

3 4A

1 7

4 10B

0 9

1 0

0 3

C

1 2

3 2

1 0

D

a) 2X A B b) 3X B C


5. Sean las matrices:

1 0 6 1

12 4 0

2

A

1 7 9 2B

1

0

1

2

C

Indica cules de los siguientes productos estn bien definidos, y calclalos.

BAC CAB BAC

BCA ABC CBA

7. Determinar los valores de x, y y z.si:

2 6 00

3 4 8 9

x y x y

y z y z

8. Encontrar los valores de x, y, z y w:

( 3) 2 1 1

4 4 (5 ) 4

x y x x w

z y x y

9. Dadas las matrices:

1 0 3 1 0 3

3 4 2 y B 3 4 2

7 8 3 7 8 4

A

a) De las matrices A y B que elemento se expresa a32?

b) Es B una matriz cuadrada?

c) Encuentre la transpuesta de la matriz A?

d) Es B=A?

e) La matriz A es igual a la matriz B?


f) Es BT=A?

9. Dada la matriz

4 2 4

2 10 5

4 5 21

A

, hallar la matriz triangular inferior B, tal que: BBT=A

10. Calcular todos los productos posibles entre las matrices:

(

) ( ) (

)

Adems, calcula

NIVEL III

1.-Ventas. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de dlares) para la Walbash Company en 2002 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas(en miles de dlares)

para la misma compaa en 2003 en las mismas ciudades

450 280 850

400 350 150

Chicago Atlanta Memphis

MayoreoA

Menudeo

375 300 710

410 300 200

Chicago Atlanta Memphis

MayoreoB

Menudeo

a) Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos aos.

b) Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad.

2.-Encuestas de opinin. Una encuesta de 3320 personas revel que de los encuestados

registrados como demcratas, 843 aprobaron el desempeo del presidente, 426 no lo

hicieron y 751 no opinaron. De los republicanos registrados, 257 aprobaron el desempeo

del presidente, 451 no lo hicieron y 92 no opinaron. De los registrados como

independientes, 135 aprobaron, 127 no lo hicieron y 38 no opinaron. De los restantes

encuestados, que no estaban registrados, 92 aprobaron, 64 no aprobaron y 44 no opinaron.

Represente estos datos en una matriz de 3x4.


3.-Pago de deudas. ALCO, Inc., est adquiriendo Ace, Baker y Champ y el comprador debe

pagar su deuda corriente. La siguiente matriz da el importe de la deuda y los trminos para

las compaas que se adquieren.

30 en 60 dias

$40 000 $60 000

ker $25 000 $15 000

$35 000 $58 000

Adeudado en dias Adeudado

Ace

A Ba

Champ

a) Si ALCO paga 35% de la cantidad adeudada en cada cuenta, escriba la matriz que da la deuda restante.

b) Suponga que ALCO, Inc., decide pagar 80% de todas las cuentas adeudadas en 30 das y aumentar el valor de la cuenta adeudada a 60 das en 20%. Escriba la matriz

que da las deudas despus de efectuar estas transacciones.

4.-Una pequea cadena tiene restaurantes de comida rpida en Cajamarca, Trujillo y

Chiclayo. Slo vende hot dogs, hamburguesas y pollo. Cierto da, las ventas se

distribuyeron de acuerdo a la siguiente matriz.

Cantidad vendida

Cajamarca Trujillo Chiclayo

Hamburguesas 4000 1000 3500

400 300 200

700 500 9000

A

Hot dogs

Pollo

El precio de cada artculo se expresa con la siguiente matriz.

Hamburguesa Hot dog Pollo

$0,90 $0,80 $1,10 B

(a) Calcula el producto BA . (b) Interpreta los elementos de la matriz producto BA .

5.-El inventario de una librera universitaria es:


Pasta dura: libros de texto, 5280; ficcin, 1680; no ficcin 2320; referencia, 1890

Rstica: ficcin, 2810; no ficcin, 1490; referencia, 2070; libros de texto, 1940.

El inventario de una librera orientada al mercado preparatoriano es:

Pasta dura: libros de texto, 6340; ficcin, 2220; no ficcin 1790; referencia, 1980

Rstica: ficcin, 3100; no ficcin, 1720; referencia, 2710; libros de texto, 2050

a) Represente el inventario de la librera universitaria como una matriz A. b) Represente el inventario de la librera preparatoriana como una matriz B. c) Si las dos deciden unirse, escriba una matriz C que presente el inventario total de la

nueva librera.

6.-Cinema Center tiene cuatro salas, de la I a la IV. El precio de cada funcin es de $2 por

nio, $3 por estudiante y $4 por adulto. La asistencia a la matine del domingo est dada

por la matriz

Nio Estudiante Adulto

225 110 50

75 180 225

280 85 110

0 250 225

Sala I

Sala IIA

Sala III

Sala IV

Escriba un vector columna B que represente el precio de la entrada. Luego, calcule

AB, el vector columna que representa el ingreso bruto de cada sala. Por ltimo, en-

cuentre el ingreso total por concepto de entradas en dicha matine.

7.-Guillermo y Miguel tienen acciones de la bolsa, dadas por la matriz

Miguel

Guillermo

0400200100

200100300200

A

TRWIBMGMBAC

Al cierre de operaciones en cierto da, los precios de las acciones estn dados por la

matriz

TRW

IBM

GM

BAC

B

82

98

48

54


Calcule AB, y explique el significado de las entradas de la matriz AB.

8.-B y B, S.A. de C.V., empresa de bienes races construye casas en tres estados. El

nmero proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada

estado est dado por la matriz

Modelo I II III IV

60 80 120 40 . .

20 30 60 10 .

10 15 30 5 .

N Y

A Conn

Mass

Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25000 $30000, respectivamente,

para cada modelo de casa I al IV.

a) Escriba una matriz columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa. b) Encuentre la utilidad total esperada por B y B, SA en cada estado, si se venden

todas las casas.

9.-Tres asesores en redes, Alan, Mara Esteban, recibieron un bono a fin de ao, de $10

000 cada uno, y decidieron invertir en un plan de retiro 401K auspiciado por su empresa.

Bajo este plan, cada empleado puede colocar sus inversiones en tres fondos, un fondo

accionario I, un fondo de desarrollo II, y un fondo global III. Las distribuciones de las

inversiones de los tres empleados al principio del ao se resumen en la matriz A y los

rditos de los tres fondos despus de un ao estn dados por la matriz B:

4000 3000 3000

2000 5000 3000

2000 3000 5000

I II III

Alan

A Mara

Esteban

0.18

0.24

0.12

I

B II

III

Cul empleado obtuvo los mejores rditos en su inversin para el ao en cuestin?

Quin obtuvo los peores rditos?

10.-Cindy realiza llamadas regulares de larga distancia a Londres, Tokio y Hong Kong.

Las matrices A y B dan las longitudes (en minutos) de sus llamadas en horas pico y no

pico, respectivamente, a cada una de estas ciudades durante el mes de junio.

Londres Tokio Hong Kong

A= 80 60 40 horas pico

Londres Tokio Hong Kong

B= 300 150 250 horas no pico


Los costos de las llamadas para los periodos pico y no pico en el mes en cuestin estn

dados, respectivamente, por las matrices

0.34

0.42

0.48

hora pico

Londres

C Tokio

Hong Kong

0.24

0.31

0.35

hora no pico

Londres

D Tokio

Hong Kong

Calcule la matriz AC + BD y explique lo que representa


DETERMINANTE

DEFINICIN: El determinante es un nmero real o escalar asociado a una matriz, y su

clculo depende del orden de la matriz cuadrada en anlisis.

A , det(A), D(A)

A toda matriz cuadrada nA le asociamos un nmero real llamado determinante, nA ,

simbolizado de la forma:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a aA

a a a a

Dicho nmero es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Segn el orden

y tipos de determinantes estudiaremos ciertos mtodos para hallar el determinante.

CALCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Matriz de orden 2: Si

2221

1211

aa

aaA es una matriz cuadrada de orden 2, el determinante

se define como:

A = 21122211 aaaa

Matriz de orden 3: Si

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

D(A)= 11a3332

2322

aa

aa- 12a

3331

2321

aa

aa+ 13a

3231

2221

aa

aa

REGLA DE SARRUS


Un mtodo prctico para calcular determinantes de tercer orden, es la regla de Sarrus,

que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlas en el mismo orden a

continuacin de la tercera columna.

El determinante se calcula sumando los productos de las componentes que estn en

las flechas que apuntan hacia la derecha y restndolos los productos de las

componentes que estn en las flechas que apuntan hacia la izquierda.

333231

232221

131211

)(

aaa

aaa

aaa

AD

31

21

11

a

a

a

32

22

12

a

a

a

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Entonces D(A) = 11 22 33 12 23 31 13 21 3 13 22 31 11 23 32 12 21 332a a a a a a a a a a a a a a a aa a

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Ejemplo: Dada la matriz

1154

932

1021

A . Hallar el determinante de A.

Solucin:

D(A) =

1154

932

1021

4

2

1

5

3

2

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

D(A) =(1)(3)(11) + (2)(9)(4) + (10)(2)(5) (10)(3)(4) - (1)(9)(5) (2)(2)(11)

= -4

Matriz de orden n:


El clculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar haciendo uso de la matriz

escalonada, para lo cual se tiene en consideracin lo siguiente:

Si A es una matriz triangular (superior o inferior) de orden n, entonces el | A | es igual al

producto de las componentes que pertenecen a la diagonal principal; es decir:

1000

5200

6750

0162

= (2)(5)(-2)(1) = -20

Propiedades de los determinantes:

- Si en un determinante se cambian entre s, dos filas o columnas, el determinante cambia de signo pero no en valor.

- Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un nmero, el valor del determinante queda multiplicado por la inversa de dicho nmero.

- Si todos los elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero. - Si dos filas o columnas son iguales el determinante es cero - Si dos filas o columnas son proporcionales el determinante es cero - Si una fila o columna se le suma un mltiplo cualquiera de otra fila o columna, el

determinante no vara.

- El determinante no vara si se cambian sus filas por sus columnas, es decir: tA A

- El determinante del producto de dos matrices de orden n es el producto de sus determinantes.

Esto es, AB A B

Por ejemplo si 1 3

2 4A

y 1 2

0 3B

Entonces AB A B = (-2)(3 )= -6

Clculo del determinante por el mtodo triangularizante.

Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales observamos

que se verifica que el resultado coincide con el producto de los elementos de la diagonal

principal.

Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que sea

triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:


Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz

1 2 1 2 1

0 0 1 1 1

1 1 0 0 0

0 0 1 1 2

1 2 2 1 1

A

Solucin:

1 2 1 2 1

0 0 1 1 1

1 1 0 0 0

0 0 1 1 2

1 2 2 1 1

A

1 3

1 5

( 1)

( 1)

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 2 1

0 0 1 1 2 0 0 1 1 2

1 2 2 1 1 0 0 1 1 0

F F

F F

Al intercambiar las dos filas (el determinante cambia de signo)

2 3

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

0 1 1 2 1 0 1 1 2 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

0 0 1 1 2 0 0 1 1 2

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

F F

3 4

3 5

( 1)

( 1)

1 2 1 2 1

0 1 1 2 1

0 0 1 1 1

0 0 0 0 1

0 0 0 2 1

F F

F F

Cambiamos cuarta y quinta fila para dejarla triangular (el determinante cambia de

signo)

4 5

1 2 1 2 1

0 1 1 2 1

( )( ) (1)( 1)(1)( 2)(1) 20 0 1 1 1

0 0 0 2 1

0 0 0 0 1

F F


EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular los siguientes determinantes:

1.

4 3 9

3 7 1

0 0 0

2.

5 2 1

4 6 7

3 1 8

3.

4 2 1

7 10 5

3 0 1

4.

0 4 6

7 0 11

5 1 0

5.

1 2 1

2 1 1

1 1 1

6.

2 1 3

2 0 1

4 0 5

7.

300 0 200

0 100 200

400 0 100

8.

1 4 2 9

0 1 10 4

0 0 1 6

0 0 0 1

9.

10 0 0 0

0 100 0 0

0 0 40 0

0 0 0 30

10.

3 1 0 2

0 1 5 1

4 4 3 2

1 0 5 1

11.

0 1 2 2

4 1 5 2

3 8 2 0

1 2 4 2

12.

2 0 0 1

0 1 0 3

0 0 1 2

1 0 3 0

13.

1 0 0 0 1

0 2 1 0 0

0 0 3 2 0

1 0 0 2 0

0 1 0 0 3

Sem 6 Matrices

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