Tema 6: Funciones

6.1 Concepto de función . Dominio y recorrido .Página 120 Ejercicios propuestos .1. Obtén el dominio de las siguientes funciones.

c h�x� � x � 2x2 � 2x � 3

Como tenemos una fracción, esto no tiene sentido cuando el denominador es cero (no tienesentido repartir pasteles entre cero niños).x2 � 2x � 3 � 0, Solution is: 1,�3Se resuelve aplicando la fórmula correspondiente para obtener los valores de x � �1,�3�Entonces Dom�f� � R � �1,�3�

Tareas 21-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 12 Dibuja una posible gráfica para la función y � f�x� con las siguientes restricciones en su dominio

y recorridob Dom�f� � R � �2,�2� Im f � R

Una posible solución sería la gráfica siguiente, teniendo agujeros en los puntos B y C.

1. La imagen, o recorrido, sería la sombra que proyectan sobre el eje OY unos soles a la izquierday a la derecha de la gráfica. Mientras que el dominio, sería la sombra que proyectan sobre eleje OX unos soles encima y debajo de la gráfica.Otra posible solución es la función cuya expresión analítica es la siguiente:

f�x� � 1�x � 2��x � 2�

1

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-20

-10

10

20

x

y

Tareas 21-01-2013: todos los ejercicios que faltan del 23 Obtén el dominios y recorrido de las siguientes funciones:

a. Dom�f� � R pues asociado a cualquier valor del eje de abscisas tenemos una altura.Im f � ��3,�� pues sería la sombra que se proyecta sobre el eje OY por unos solescolocados a la izquierda y a la derecha de la gráfica.

Tareas 21-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 3.

6.2 Operaciones con funcionesPágina 121 Ejercicios propuestos .4 Dadas las siguientes funciones:

f�x� � x � 1x � 3

g�x� �2 � x

x2 � 4h�x� � x � 1

Calcula el dominio y la expresión de las funciones:c �f � h� � g��f � h� � g��x� � �f�x� � h�x�� � g�x� �

x � 1x � 3

� x � 12 � x

x2 � 4�

� x � 1x � 3

��x � 3� x � 1

x � 32 � x

x2 � 4�

�x � 1 � �x � 3� x � 1 �2 � x �

�x � 3��x2 � 4��

��x � 1�2 � �x � 1� x � 2�x � 3� x � 1 � �x � 3� x � 1 x

�x � 3��x2 � 4�Como se trata de un cociente (fracción), tendremos problemas cuando el denominador es cero(no se pueden hacer repartos entre cero niños).�x � 3��x2 � 4� � 0 � �x � 3��x � 2��x � 2� � 0 �

El producto de varios números es cero cuando uno de ellos es cero.

�

x � 3 � 0 � x � �3

o

x � 2 � 0 � x � 2

o

x � 2 � 0 � x � �2

Por lo tanto, el Dom��f � h� � g� � R � ��3,�2, 2� por ahora.Por otro lado, en el numerador tenemos dos raíces que sólo tienen sentido cuando el radicandoes positivo o cero.

2

� x �esto sólo tiene sentido si x � 0� x � 1 �esto sólo tiene sentido si x � 1 � 0 � x � 1

Conclusión: Dom��f � h� � g� � �1,�� � �2�

d 1f

1f

�x� � 1f�x�

� 1x � 1x � 3

� x � 3x � 1

Tenemos problemas si el denominador es cero:x � 1 � 0 � x � 1

Conclusión: Dom 1f

� R � �1�

Tareas 22-01-2014: todos los ejercicios que faltan de la página 121.

6.3 Composición de funcionesPágina 1226 Dadas las siguientes funciones:

f�x� � x � 1x � 2

g�x� � x � 4 t�x� � x � 3 k�x� � x2 � 1

Determina el dominio y la expresión de las funciones:a. f � g

�f � g��x� � f�g�x�� � f�x � 4� ��x � 4� � 1�x � 4� � 2

� x � 5x � 2

Como se trata de una fracción, tendremos problemas cuando el denominador es cero:x � 2 � 0 � x � 2Conclusión: Dom�f � g� � R � �2�b g � f

�g � f��x� � g�f�x�� � g� x � 1x � 2

� � x � 1x � 2

� 4 �

�x � 1 � 4�x � 2�

x � 2� x � 1 � 4x � 8

x � 2� �3x � 9

x � 2Comparando las expresiones de f � g y g � f vemos que no son iguales, por lo tanto lacomposición de funciones no es conmutativa.Como se trata de una fracción, tendremos problemas cuando el denominador es cero:x � 2 � 0 � x � �2Conclusión: Domf � R � ��2�

Tareas 22-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 6Tareas 22-01-2014: 7

6.4 Función inversaPágina 123 ActividadesMANGA Calcula la inversa de f�x� � x2 � 9Vamos a hacer y � x2 � 9 para despejar x en función de y:y � 9 � x2 � x � � y � 9

Entonces la inversa de f debería de ser f�1�x� � � x � 9Pero esto no es una función pues a cada valor de x le corresponderían dos valores, y sabemos que unafunción asigna a cada valor de la variable independiente un único valor (tenemos un � delante de la raíz)Se debe a que la gráfica de f�x� � x2 � 9 es una parábola, y sabemos que en cada horizontal se producendos cortes con la parábola.Gráficamente:

3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

Entonces f no admite inversa.Tareas 27-01-2014: 8,910 Obtén la expresión y el dominio de la función inversa de f�x� � 2x � 3 .

¿Cuánto vale f�1�3�?¿Existe f�1��3�?Hacemos y � 2x � 3 para despejar x en función de y.

y2 � 2x � 32�

� y2 � 2x � 3 �

� y2 � 3 � 2x �

�y2 � 3

2� x

La función inversa sería f�1�x� � x2 � 32

Curiosamente el Domf�1 � R mientras que para f esto no es así:Ha de ser 2x � 3 � 0 �

� 2x � 3 �

� x � 32

Entonces Domf � 32

,�

Calculemos f�1�3� � 32 � 32

� 6

Otra forma sería:f�1�3� � b �

� f�b� � 3 �

� 2b � 3 � 3 �

� 2b � 32� 32 �

� 2b � 3 � 9 �

� 2b � 3 � 9 �

� 2b � 12 �

� b � 122

� 6

Calculemos f�1��3� ���3�2 � 3

2� 6

Otra forma sería:f�1��3� � c �

� f�c� � �3 �

� 2c � 3 � � 3 WARNING!!!!! Tenemos un positivo igualado a un negativo, por lo tanto noexiste f�1��3�Resulta que la expresión analítica de la función inversa sólo tiene sentido para valores

4

positivos, pues la función f es una raíz cuadrada positiva. Es decir, en este caso la función f�1

tiene su dominio restringido a todos los números reales mayores o iguales que cero:Domf�1 � �0,��.Gráficamente la situación sería:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

La representación gráfica de una función y su inversa es simétrica respecto a la bisectriz del primer ytercer cuadrante dado que por f pintamos el punto �x, y� y por f�1 pintamos el punto �y, x�

6.5 Propiedades globales de las funcionesPágina 125 Actividades11 Dadas las gráficas de las funciones de la derecha, indica:

IIa Si son continuas o, en caso contrario, en que puntos presentan discontinuidades.

Tenemos una discontinuidad en x � 0 pues sobre este valor de x hemos de levantarel lápiz del papel para poder seguir pintando la gráfica.

b Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y si tienen máximos o mínimosrelativos.

b.1 monotoníai. creciente en los intervalos �1, 2. 5�ii . decreciente en los intervalos ���, 0� � �0, 1� � �2. 5,��

b.2 extremos relativosi. máximos relativos en x � �2. 5, 0� pues a la derecha de este valor la función

es creciente y la izquierda la función es decreciente.ii . mínimos relativos en x � 1 pues a la derecha de este valor la función es

decreciente y a la izquierda la función es creciente.c La tendencia en �� y ��

i. la tendencia en �� es ��. Es decir, cuando los valores de x se vanhaciendo muy pequeños (se pierden por la izquierda de la gráfica), lasalturas correspondientes cada vez son mayores.Se escribe lim

x���f�x� � �

ii . la tendencia en �� es ��. Es decir, cuando los valores de x se vanhaciendo muy grandes (se pierden por la derecha de la gráfica), las alturascorrespondientes cada vez son menores.Se escribe lim

x��f�x� � ��

Tareas 28-01-14: todos los ejercicios que faltan del 11

6.6 Funciones definidas a trozosPágina 126 Ejercicios

5

13 Dada la función:f�x� �

x2 � 2x � 2

if x � 0

x � 1x � 1

if x � 0

a. Calcula, si es posible, f��2�, f��1�, f�0�, f�1� y f�2�.

� como x � �2 � 0 será f��2� ���2�2 � 2�2 � 2

� 6�4

� � 32

� como x � �1 � 0 será f��1� ���1�2 � 2�1 � 2

� � 1

� como x � 0 � 0 será f�0� � 02 � 20 � 2

� � 1

� como x � 1 � 0 será f�1� � 1 � 11 � 1

� 20

no existe

� como x � 2 � 0 será f�2� � 2 � 12 � 1

� 3

b. ¿Cuál es el dominio de f?Como tenemos dos expresiones fraccionarias, habrá problemas donde los denominadores soncero.

�x2 � 2x � 2

Tenemos x � 2 � 0 � x � 2Pero esto no es problema para nosotros, dado que sólo consideramos esta expresiónpara x � 0

�x � 1x � 1Tenemos x � 1 � 0 � x � 1Ahora si tendríamos problemas pues se considera esta expresión si x � 0

Conclusión: Domf � R � �1�c ¿Es f continua en x � 0?¿Y en x � 1?

Vamos a hacer la representación gráfica para tener una visiónmás aproximada de como se comporta la función:

� x2 � 2x � 2

if x � 0

Vamos a construir una tabla de valores para este trozo de la función.

x 0 �2 �4 �6

y 02 � 20 � 2

� � 1��2�2 � 2�2 � 2

� � 32

��4�2 � 2�4 � 2

� � 3��6�2 � 2�6 � 2

� � 194

�x � 1x � 1

if x � 0

Vamos a construir una tabla de valores para este trozo de lafunción.

x 0.1 0. 9 1. 1 2 4

y 0. 1 � 10. 1 � 1

� � 1. 2 0. 9 � 10. 9 � 1

� � 19 1. 1 � 11. 1 � 1

� 21 2 � 12 � 1

� 3 4 � 14 � 1

� 53

Los puntos quedarían de esta forma:

6

Para arreglar el agujerito lo mejor es calcular el par �0, 0.�10.�1

� �1�

Para al unirlos obtener la gráfica siguiente:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

1. Viendo la gráfica, la función es continua en x � 0 mientras que es discontinua en x � 1.Tareas 29-01-2014: 12

6.7 Construcción de funciones por dilatación y traslación .Vamos a trabajar con la parábola y � x2

Tenemos la siguiente gráfica:

7

1. Si sumamos 3 a la expresión de la función nos queda y � x2 � 3, se trataría de la primeraparábola con el vértice desplazado desde el punto �0, 0� al punto �0, 3�.Si restamos 4 a la expresión de la función nos queda y � x2 � 4, se trataría de la primeraparábola con el vértice desplazado desde el punto �0, 0� al punto �0,�4�En estos dos casos, lo único que he hecho es sumar o restar a cada altura un valor.Por otro lado, si al valor de x le restamos dos unidades, la expresión que nos queda esy � �x � 2�2, se trataría de la primera parábola con el vértice desplazado desde el punto �0, 0� alpunto �2, 0�.También podemos sumarle tres unidades a la x, obteniendo la expresión y � �x � 3�2, setrataría de la primera parábola con el vértice desplazado desde el punto �0, 0� al punto ��3, 0�En estos dos casos, lo único que se ha hecho es sumar o restar una cantidad antes de hacer elcuadrado lo que da lugar a un desplazamiento lateral.Podríamos combinar ambos, por ejemplo y � �x � 1�2 � 3, que sería llevar la primera paráboladesde su vértice �0, 0� al nuevo vértice ��1,�3�.Ahora vamos a dilatar la parábola.Tenemos la gráfica siguiente:

1. Partiendo de la parábola y � x2 tenemos los siguientes cambios:� Si consideramos y � 3x2, obtenemos una parábola con vértice en el mismo punto, �0, 0�,

pero ahora es más estrecha pues para cada valor de la x tenemos una mayor altura.Hemos multiplicado la parábola natural por un número mayor que 1.

� Si consideramos y � 14

x2, obtenemos una parábola con vértice en el mismo punto,

�0, 0�, pero ahora es más amplia pues para cada valor de la x tenemos una alturamenor. Hemos multiplicado por un número positivo menor que 1.

8

� Si consideramos y � �x2, obtenemos una parábola con vértice en el mismo punto, �0, 0�,pero ahora con sus ramas hacia abajo pues para cada valor de la x tenemos el opuestode la altura de la parábola natural. Hemos multiplicado por �1.

� Si consideramos y � �4x2, obtenemos una parábola con vértice en el mismo punto,�0, 0�, pero ahora con sus ramas hacia abajo pues para cada valor de la x tenemos elcuadrùple del opuesto de la altura de la parábola natural y es más estrecha. Hemosmultiplicado por número negativo de valor absoluto mayor que 1.

� Si consideramos y � � 15

x2, obtenemos una parábola con vértice en el mismo punto,

�0, 0�, pero ahora con sus ramas hacia abajo pues para cada valor de la x tenemos laquinta parte del opuesto de la altura de la parábola natural y es más amplia. Hemosmultiplicado por número negativo de valor absoluto menor que 1.

Por último vamos a combinar traslación con dilatación:Tenemos la gráfica siguiente:

1. Partimos de y � x2, la "parábola natural". Podemos hacer lo siguiente:� Estrecharla y llevar su vertice al punto �2, 5�, por ejemplo con la parábola de ecuación

y � 3�x � 2�2 � 5� Abrirla, llevar su vértice al punto ��3, 3� y cambiar las ramas hacia abajo, por ejemplo

con la parábola de ecuación y � � 16�x � 3�2 � 3

Tareas 30-01-2014: 14

Ejercicios finales del tema15 Obtén el dominio de las siguiente funciones.

d f�x� � x2 � 4x2 � 2x � 3

Función definida mediante una fracción algebraica. Entonces, tendremos problemas si eldenominador es cero. Pues los buscamos!!!!!!!!!x2 � 2x � 3 � 0, Solution is: 1,�3Se resuelve aplicando la fórmula para una ecuación de 2º grado.Por lo tanto, sabemos que el denominador es cero si x � �1,�3�Conclusión: Dom�f� � R � �1,�3�

Tareas 03-02-2014: todos los ejercicios que faltan del 1516 Obtén el dominio de las siguiente funciones.

c f�x� � 3 � x � 25 � x

� 5 � x5 � x

� 1 � 1

Entonces Dom�f� � R; el valor de la x no influye, siempre le estamos asignando uno.f f�x� � ln�x2 � 1�

La gráfica de g�x� � ln x tiene la siguiente forma:

9

1. Lo que nos dice que sólo podemos calcular el logaritmo neperiano de valores positivos.Por lo tanto habremos de averiguar los valores de x donde x2 � 1 � 0 �

� �x � 1��x � 1� � 0Cómo se trata del producto de dos números, será positivo si los dos números tienen el mismosigno.

�x � 1 � 0

x � 1 � 0�

x � �1

x � 1� x � 1

�x � 1 � 0

x � 1 � 0�

x � �1

x � 1� x � �1

1. Conclusión: Dom�f� � ���,�1� � �1,��Tareas 03-02-2014: todos los ejercicios que faltan del 1617 Dadas las siguientes gráficas de funciones, indica su dominio y su recorrido.

b

� Dom�f� � ���,�1� � �2,��Sería la parte que queda en sombra del eje OX, si colocamos un flourescente arriba dela función mirando hacia el eje OX y si también tenemos un flourescente debajo de lafunción mirando hacia el eje OX.

� Imf � R � �0�Sería la parte que queda en sombra del eje OY, si colocamos un flourescente a laizquierda de la función mirando hacia el eje OY y si también tenemos un flourescente ala derecha de la función mirando hacia el eje OY.

1x � 1

if x � �1

1x � 2

if x � 2

10

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

y

Tareas 03-02-2014: los ejercicios que faltan del 17

18 Dadas las funciones

f�x� � x2 � x � 2

g�x� � 2x � 4

h�x� � 1x2 � 4

t�x� � 1 � x2

Calcula las siguientes funciones y determina sus dominios.a. �f � t��x� � f�x� � t�x� � x2 � x � 2 � �1 � x2� � x2 � x � 2 � 1 � x2 � 2x2 � x � 3

Dom�f � t� � R pues se trata de un polinomio, es más, se trata de una parábola con las ramashacia arriba.

g hf

�x� �h�x�f�x�

�

1x2 � 4

x2 � x � 2� 1

x2 � 4� x2 � x � 2 � 1

�x2 � 4��x2 � x � 2�Como se trata de una fracción algebraica, tendremos problemas cuando el denominador escero.�x2 � 4��x2 � x � 2� � 0 �

Un producto es igual a cero si uno de los multiplicandos es igual a cero.

�

x2 � 4 � 0

O

x2 � x � 2 � 0

Distinguimos:

� x2 � 4 � 0 � �x � 2��x � 2� � 0 �

x � 2 � 0

O

x � 2 � 0

�

x � 2

O

x � �2

� x2 � x � 2 � 0, Solution is: 2,�1Se resuelve aplicando la fórmula de una ecuación de 2º grado completa.

Conclusión: Dom hf

� R � ��2,�1, 2�

Tareas 04-02-2014: todos los ejercicios que faltan del 18

19 Dadas las funciones logarítmicas

f�x� � log�x � 1�

g�x� � log�x2 � 1�

h�x� � log�x2 � 1�

a) Calcula sus dominios.

11

� af�Recordamos que la gráfica de y � logx es

1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

Por lo tanto su dominio es �0,��f�x� � log�x � 1�Es necesario que x � 1 � 0 � x � 1Conclusión: Domf � �1,��Tareas 01-03-2013: todos las funciones que faltan del a)b) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcula el dominio de las siguientes funciones:� bH�

H�x� � �f � g � h��x� � f�x� � g�x� � h�x� � log�x � 1� � log�x2 � 1� � log�x2 � 1� �

� log�x � 1��x2 � 1� � log�x2 � 1� � log�x � 1��x2 � 1�

x2 � 1� log

�x � 1��x2 � 1��x � 1��x � 1�

�

Ahora podemos eliminar dos x � 1; uno del numerador con uno del denominador.

� log x2 � 1x � 1

Tareas 01-03-2013: emular esto con las otras funciones.c) Utiliza las propiedades de los logaritmos para dar una expresión reducida de las funciones resultantes.

� cH� H�x� � log x2 � 1x � 1

Vamos a calcular su dominio a partir de esta expresión.

Habrá de ser x2 � 1x � 1

� 0

El cociente es positivo si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo. Pero el numerador es siemprepositivo, dado que es un cuadrado(que es siempre positivo o cero) al que se le suma la unidad. Por lotanto el denominador SÓLO puede ser positivo.x � 1 � 0 � x � �1Conclusión: Dom�H� � ��1,��

20 Considera las funciones:

f�x� � 1 � x2

g�x� � 4 � 2x

h�x� � 1x2 � 4

Calcula las funciones siguientes y halla sus dominios.c �g � f��x�

�g � f��x� � g�f�x�� � g�1 � x2� � 4 � 2�1 � x2� � 4 � 2 � 2x2 � 2 � 2x2

Como se trata de una raiz cuadrada el radicando ha de ser positivo o cero, cosa que siempreque pasa pues por la expresión, el radicando es siempre mayor o igual que 2.Conclusión Dom��g � f�� � R

12

Tareas 04-02-2014: todos los ejercicios que faltan del 20Tareas 04-02-2014: 2223 Calcula, cuando sea posible, las funciones inversas y los dominios de:

d t�x� � 13 x � 2

Primero vamos a calcular el dominio de esta función.Como se trata de una fracción, habrá problemas si el denominador es cero. Dicho denominadores una raíz cúbica, que es cero si el radicando es cero.x � 2 � 0 � x � �2Conclusión: Dom�t� � R � ��2�Vamos a calcular t�1

La función t asigna a un valor de la variable independiente,x, otro valor y, que depende de elvalor elegido para x.

Será y � 13 x � 2

Vamos a despejar la x en función de la y:3 x � 2 � 1

y � 3 x � 23� 1

y3� x � 2 � 13

y3 � x � �2 � 1y3

Pero la función se expresa como t�1�x� � �2 � 1x3 , pues las funciones siempre se definen sobre

la variable independiente.Vamos a calcular el dominio de t�1

Claramente Dom�t�1� � R � �0�Veamos la representación gráfica de las dos funciones:

1. Observa que t te da problemas en x � �2 (donde la raiz cúbica se hace cero), mientras que t�1

te da problemas donde x � 0 (donde el cubo se anula). Recordad que son operaciones inversasla raíz cúbica y el cubo.También se verifica que si doblas la gráfica por y � x, las ramas de una función y su inversacoinciden.

Tareas 04-02-2014: todos los ejercicios que faltan del 23Tareas 04-02-2014: 24,2526 Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Da sus intervalos de crecimiento y

decremiento, y las coordenadas de sus máximos y sus mínimos relativos. Estudia su tendenciadiciendo cuál es el comportamiento de la función cuando x tiende a más infinito y a menosinfinitod)� d.1) Continuidad:

La función no es continua, dado que hemos de levantar ellápiz del papel sobre el valor de x � 0 para poder terminar de pintarla. Es decir, es

13

discontinua en x � 0. O también se puede decir que es continua en R � �0�.� d.2) Monotonía (crecimiento, decrecimiento y constancia)

� d.2.1) la función es creciente en los intervalos ���,�1. 5� � �0,��� d.2.2) la función es decreciente en los intervalos ��1. 5, 0�

� d.3) Extremos relativos� d.3.1) La función presenta máximos relativos sobre los valores de x � �1. 5� d.3.2) La función presenta mínimos relativos sobre los valores de x � 0

� d.4) Tendencia� d.4.1) lim

x���f�x� � ��

� d.4.2) limx��

f�x� � 0

Tareas 05-02-2014: todos los ejercicios que faltan del 26.27 Con ayuda de la calculadora, completa las siguientes tablas de valores y representa los puntos

en unos ejes de coordenadas. Traza una curva suave que una los puntos para obtener unagráfica aproximada de las funciones.Estudia el dominio y el recorrido, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y la tendenciade las funciones obtenidas.

x -100 -10 -2 -1 0x � 1

x�100 � 1�100

� 1. 01 �10 � 1�10

� 1. 1 �2 � 1�2

� 1. 5 �1 � 1�1

� 2. 0 no existe

x 1 2 10 100x � 1

x1 � 1

1� 0 2 � 1

2� 0. 5 10 � 1

10� 0. 9 100 � 1

100� 0. 99

La representación gráfica quedaría:

1. � Dom�f� � R � �0� pues si colocamos focos por encima y por debajo de la gráfica mirandoal eje OX, nos quedan sombreados todos los números reales menos el cero.

� Im f � R � �1� pues si colocamos focos a la derecha y a la izquierda de la gráficamirando al eje OY, nos quedan sombreados todos los números reales menos el uno.

� Monotonía:� Intervalos donde la función es creciente�en todo su dominio. Observa que

siempre que nos desplazamos de izquierda a derecha, la función va ganandoaltura.

� Tendencia:� lim

x���f�x� � 1 pues según nos desplazamos cada vez más hacia la izquierda, las

alturas se van pareciendo más a uno.� lim

x��f�x� � 1 pues según nos desplazamos cada vez más hacia la dercha, las

alturas se van pareciendo más a uno.Tareas 05-02-2014: todos los ejercicios que faltan del 27.

14

Tareas 10-02-2014: 2829 Representa la gráfica de la función:

f�x� �

2x � 3 if x � 1

x2 � 2x � 2 if 1 � x � 2

�3 if x � 2

Según nos dan la función, dependiendo del valor de la variable independiente, le corresponderáuna altura (valor de la variable dependiente)

� 2x � 3 if x � 1

Se pintará sobre el intervalo del eje OX ���, 1�.Se trata de una semi-recta, por lo que nos bastacon dar una tabla de dos valores.

x 1 -1

y 2 � 1 � 3 � 5 2 � ��1� � 3 � 1

Tenemos que pintar los puntos A � �1, 5�, B � ��1, 1� y luego unirlos por una semirecta queempieze justo al lado del punto A.

� x2 � 2x � 2 if 1 � x � 2

Se pintará sobre el intervalo del eje OX �1, 2�.Se trata de una parábola, por lo que nos bastacon dar una tabla de tres valores pues es un trozo muy pequeño de la parábola.

x 1 1.5 2

y 12 � 2 � 1 � 2 � 5 1. 52 � 2 � 1. 5 � 2 � 7. 25 22 � 2 � 2 � 2 � 10

Tenemos que pintar los puntos C � �1, 5�, D � �1. 5, 7. 25�, E � �2, 10� y luego unirlos medianteuna curva suave.

� �3 if x � 2

Se pintará sobre el intervalo del eje OX �2,��.Se trata de una semirecta horizontal a la altura -3que empieza justo al lado del punto �2,�3�.Es decir, sólo los puntos nos quedarían como sigue:

para tras la unión quedarnos la gráfica siguiente:

15

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Tareas 10-02-2014: 31ATENCIÓN: APOYO AL 31Completar cuadrados:

Consideramos la expresión y � 4x2 � 20x � 57 � 4�x2 � 5x� � 57 � 4�x2 � 5x � 52

2� 5

2

2� � 57 �

� 4�x2 � 2 � x � 52

� 52

2� � 4 � 25

4� 57 � 4�x � 5

2�2 � 82

32 Esteban tiene dos teléfonos, uno fijo y uno móvil. Las curvas de la figura representan el gastomensual en euros de cada uno de los dos teléfonos.a. Explica en qué meses es más elevado el gasto en el teléfono móvil que en el fijo.

¿Por qué es así?En los meses de julio, agosto y septiembre es el gasto de móvil mayor, pues la línearoja está por encima de la verde. Se debe a que durante esos meses no está en casay utiliza más el móvil que el fijo.

b. Dibuja la gráfica del gasto total mensual en teléfono de Esteban.Gasto mensual de teléfono � Gasto mensual de fijo � Gasto mensual de móvilEntonces la gráfica se obtendrá sumando en cada mes las alturas correspondiente.

Tareas 10-02-2014: 33,34,3536 Las funciones de oferta y demanda de un tipo de ordenador portátil vienen dadas,

respectivamente, porq�p� � 0. 5p � 30

q��p� � 600 � 0. 25pp en euros.

a. ¿Cuáles son las cantidades ofertadas y demandadas si el precio es de 500, 700 o900 euros?

� p � 500 �q�500� � 0. 5 � 500 � 30 � 220

q��500� � 600 � 0. 25 � 500 � 475

Es decir, la oferta es de 220 portátiles y la demanda es de 475. La demanda es el doblede lo que se puede ofrecer.

� p � 700 �q�700� � 0. 5 � 700 � 30 � 320

q��700� � 600 � 0. 25 � 700 � 425

Es decir, la oferta es de 320 portátiles y la demanda es de 425. Nos faltan unos cienportátiles para satisfacer la demanda.

� p � 900 �q�900� � 0. 5 � 900 � 30 � 420

q��900� � 600 � 0. 25 � 900 � 375

Es decir, la oferta es de 420 portátiles y la demanda es de 375. El precio hace que nohaya tanta gente que vaya a comprar nuestro producto; nos sobran.

16

b Represéntalas y halla el precio de equilibrio.Tenemos de acuerdo con el apartado anterior la siguiente tabla devalores:

p 500 700 900

q 220 320 420

q� 475 425 375

El precio de equilibrio es donde se cortan las dos rectas (claramente las dos funciones sonafines pues tenemos la pendiente por la variable mas la ordenada en el origen).Por la representación gráfica, el punto de equilibrio es �840, 390�, pero claro está hemosutilizado un programa para hacerlo.Hay que calcularlo de otra forma!!!!!!Consideramos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente:

q � 0. 5p � 30

q � 600 � 0. 25p, Solution is: �p � 840. 0, q � 390. 0�

Se resuelve aplicando unos de los tres métodos analíticos conocidos; reducción, igualación,sustitución.

37 El precio de un artículo que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo t(en años), ha seguido la función:

P�t� �3t2 � 4 if 0 � t � 2

�2t � 20 if 2 � t � 6

a. Representa la función precio en los últimos seis años.Por la expresión de la función, la primera parte será un trozo de parábola y la segunda parteserá una recta.

� 3t2 � 4 if 0 � t � 2

Tabla de valores

x 0 1 2

y 3 � 02 � 4 � 4 3 � 12 � 4 � 7 3 � 22 � 4 � 16

Hay que representar estos puntos en unos ejes de coordenadas y unirlos mediante una curvasuave.

� �2t � 20 if 2 � t � 6

Tabla de valores

x 2 6

y �2 � 2 � 20 � 16 �2 � 6 � 20 � 8

17

Pintamos estos puntos en el mismo eje de coordenadas y los unimos mediante un segmento.Tendríamos la siguiente representación gráfica de los puntos:

Para finalmente tener la gráfica de la función:

-1 1 2 3 4 5 6 7

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

y

b Estudia cuándo ha sido creciente y cuándo decreciente el precio del artículo.Ha sido creciente los dos primeros años y luego ha decrecido durante los cuatro siguientes.c ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?¿Cuál es el precio actual?

El precio máximo es 16 euros en el segundo año. Y su precio actual es 8 euros.Tareas 11-02-2014: 38,39,4041 El coste de la energía eléctrica se obtiene mediante una cantidad fija sumada a una variable

proporcional a la cantidad de energía consumida. En dos meses distintos, Blanca ha pagado71.40 euros por 340 kW/h y 62.28 euros por 283 kW/h. ¿Cuál es la cantidad fija que pagaBlanca independientemente de su consumo mensual?

La función coste es f�x� � ax � b

dondea es el precio de cada kW/h consumido

b es la cantidad fija que te cobran siempre

Tenemos que :� 71.40 euros por 340 kW/h� 71. 40 � 340a � b� 62.28 euros por 283 kW/h� 62. 28 � 283a � b

Es decir, me queda un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a y b, que se resuelve poruno de los tres métodos (reducción, igualación, sustitutición).

18

71. 40 � 340a � b

62. 28 � 283a � b, Solution is: �a � 0. 16, b � 17. 0�

El coste fijos son 17 euros mensuales.

REPASO 04-03-2013

Página 1201. Obtén el dominio de las siguiente funciones.

d) i�x� �1 � 3x

xComo se trata de una fracción algebraica habrá problemas cuando el denominador es cero. Perotambién, hemos de tener en cuenta que tenemos una raiz cuadrada en el numerador, que sólo tienesentido si el radicando es positivo o cero.� denominador nulo� x � 0.Entonces por ahora, Dom�i� � R � �0�

� Radicando positivo o nulo� 1 � 3x � 0 � 1 � 3x � 13

� x

Conclusión de las dos limitaciones: Dom�i� � ��, 13

� �0�

Página 121

4 Dadas las funciones:

f�x� � x � 1x � 3

g�x� �2 � x

x2 � 4h�x� � x � 1

Calcula el dominio y la expresión de las funciones:

f) hg

Vamos a calcular al expresión de esta función.

hg �x� �

h�x�g�x�

�x � 1

2 � x

x2 � 4

� x � 1 �2 � x

x2 � 4�

�x2 � 4� x � 1

x � 2

Tenemos una fracción algebraica con denominador y numerador dotados de raíces cuadradas.Empezando con el denominador, sólo tendremos problemas si el radicando es negativo. Ojo eldenominador nunca se hará cero ya que al dos siempre le sumamos una cantidad positiva o cero.Mientras que en el numerador, habrá problemas si el radicando en negativo.� radicando numerador sea positivo o cero� x � 1 � 0 � x � 1� radicando denominador sea positivo o cero� x � 0

Conclusión Dom hg � �1,���

Página 122

6 Dadas las funciones:

f�x� � x � 1x � 2

g�x� � x � 4

t�x� � x � 3

k�x� � x2 � 1

Determina el dominio y la expresión de las funciones:g) f � g � k � t

19

Vamos a calcular la expresión de esta función.

�f � g � k � t��x� � f�g�k�t�x���� � f g k x � 3 � f g x � 32� 1 �

� f�g�x � 3 � 1�� � f�g�x � 2�� � f�x � 2 � 4� � f�x � 6� � x � 6 � 1x � 6 � 2

� x � 7x � 4

Como se trata de una fracción algebraica, tendremos problemas si el denominador es cero.� x � 4 � 0 � x � 4

Conclusión: Dom�f � g � k � t� � R � �4�

Página 1238 Halla la inversa de f�x� � 2x � 1

3y dibuja su gráfica y la de f.

La función f asigna a un valor arbitrario x otro valor y. Nosotros queremos hacer el camino "contrario". Esdecir, si tomamos un valor y, ¿De qué valor x viene?

Consideramos y � 2x � 13

dónde se supone que y es conocido y x es desconocido. Deberíamos ya de

estar "condicionados" para despejar x en función de y; el valor desconocido en función del conocido.

y � 2x � 13

� 3y � 2x � 1 � 3y � 1 � 2x � x �3y � 1

2Ahora bien, siempre que hablamos de funciones, la variable a la que aplicamos la función es la variableindependiente, es decir, x. Por la tanto la función inversa es f�1�x� � 3x � 1

2Se cumple para toda función y su inversa que:� �f�1 � f��x� � x

Veámoslo.

�f�1 � f��x� � f�1�f�x�� � f�1 2x � 13

�3 2x � 1

3� 1

2� 2x � 1 � 1

2� 2x

2� x

� �f � f�1��x� � xVeámoslo.

�f � f�1��x� � f�f�1�x�� � f 3x � 12

�2 3x � 1

2� 1

3� 3x � 1 � 1

3� 3x

3� x

20