TP N 2: Segundo trimestre 4° año

Ecuaciones Cuadráticas:

1) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. Aclaración: solo usa la fórmula resolvente

si la ecuación cuadrática es completa.

a) 4 x2=−3 x

b) (4 x+1 )2=7 x2+8 x+5

c)

xx+4

=x

d)

e) ( x−3 )( x+1 )+3=0

f)

g) ( x−3 )( x+2 )=0

h) ( x−1)( x−3 )=2 x2−9

i)

j)

k) 5 x (x−1)=x+8

l)(3 x−1)(3 x+1)=8

m)( x−4 )2+( x+2)2=20

2) Dada la ecuación x2 - (m + 2) x + 10 = 0 hallá los valores de m para que la ecuación tenga una única solución.

3) Dada la ecuación x2 - 12 x + c = 0, hallá los valores de c para que las dos soluciones de la ecuación sean reales y distintas.

4) Hallá los valores de p para los cuales la ecuación ( p−3 ) . x2+2 x+ 1

2=0

no tenga

solución.5) Hallá el valor de k para que.....

a) ...... el discriminante de f(x) = 5x2 - 4x + k sea igual a -4.b) ...... las funciones f(x) = 2x2 + kx - 6 y g(x) = x2 - 7x - 2 posean discriminantes igualesc) ...... la ecuación 5x2 + 2x + k = 0 tenga raíz doble. Encontrar el valor de dicha raíz

6) Plantea la ecuación correspondiente a cada uno de los siguientes problemas y resolvé:

a) Hallá dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195.

b) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 113. Hallá los números.

c) Dos números naturales están en la razón 2 : 3 y la suma de sus cuadrados es 52.

Encuentra los números.

d) La suma del cuadrado de un número entero y el cuadrado del duplo de su consecutivo

es 232. ¿Cuál es ese número?

7) Resolvé las siguientes situaciones problemáticas. Indicá la respuesta a cada situación planteada.

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a) Un cateto de un triángulo rectángulo tiene 3 cm más que el otro y 3 cm menos que la

hipotenusa. Calculá el perímetro del triángulo.

b) Una piscina que tiene 20 m de largo por 8 m de ancho y está bordeada por un camino

de baldosas de ancho uniforme; Si el área del camino es de 288 m2, ¿cuál es el ancho

del camino?

c) En un rectángulo de 15 metros de largo y 8 metros de ancho. ¿En cuántos metros

habría que disminuir, simultáneamente, el largo y el ancho para que la diagonal sea 4

metros menor?

d) Se quiere hacer una caja de 50 cm3 de volumen con una cartulina cuadrada. Para

hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de 2 cm de lado. ¿Cuánto mide el lado de la

cartulina cuadrada?

e) Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50m y su área es

150m2.

f) Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 80 cm

y la suma de los catetos es 46 cm.

g) Una persona compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber comprado 10

objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró?

h) Calculá la altura y la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm y

la altura es 2 cm más larga que la base.

i) El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo tiene 120 m2 más que

el cuadrado de la hipotenusa. Calcular los catetos y la hipotenusa, sabiendo que la

diferencia entre los catetos es de 7 m.

Función Cuadrática:

1) Si f(x)= 2x2+6x+8 y g(x)= x2+3x-4

a) ¿Cuál es el punto que representa el mínimo de f(x)?b) Calculá las raíces de g(x)c) ¿Las raíces de f(x) pertenecen al conjunto de los números irracionales?d) Encontrá la ordenada al origen de f(x)e) Resolvé: f(√2 ) - g(1-2√2 )f) ¿Tiene g(x) el mismo C+ que h(x)= -3x2-9x+12?

g) ¿Tiene f(x) el mismo intervalo de decrecimiento que q(x)= x2+ 32

x− 716 ?

2) Si r(x)= 2x2+x y t(x)= 2x2-4x+1

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a) Encontrá el intervalo que verifique que r(x)≤ t(x )b) ContestáV(verdadero) o F (falso). Justificá.b.1) t(x) tiene raíz doble ………….b.2) r(x) pasa por el origen del sistema ………….b.3) –t(√3¿ es -5+4√3 ………….

3) ¿Cuál de los valores no pertenece a la imagen de la función f(x)=1-(x-2)2? Justificá

a)1 b) 2 c) 0 d) -1/2

4) Encontrá la fórmula de una función cuadrática que tenga el mismo vértice que la la función f(x)=1-(x-2)2, pero que sus ramas se dirijan en sentido contrario. ¿es una única opción? Justificá.

5) Las raíces de y=3x2-x-2 pertenecen al intervalo que resulta de la solución de 1-4x ≥ 3√ 729

6) Si una parábola tiene vértice en (4;7) y corta al eje de las abscisas en (5;0) entonces también corta al eje x en:

a) (-5;0) b) (3;0) c) (0;0) d) (6;0)

7) La ordenada de f(x) = -(x-1)2+5 pertenece al intervalo solución de – x−1−2

−1<0

8) Se sabe que 6 es una raíz de la función cuadrática f(x)=x2-(3p-5).x+11p-3. Determiná las coordenadas del vértice.

9) ¿Es cierto que el vértice de la función cuadrática opuesta a h(x)= -3x2-x+10 se encuentra ubicado en el segundo cuadrante del plano coordenado?

10) Encontrá la ecuación de la recta que pasa por los vértices de las parábolas f(x)=x2-6x y g(x)=x2+6x-8.

11) Marcar la opción correcta, JUSTIFICANDO la respuesta:a) la función f(x)= 2x2+4x-6 es positiva en el intervalo:

I) (-;-3) II) (-8;0) III) (-;-3) (1;+) IV) Ninguna de las anteriores

b) la función g(x) = -x2 - 3 es decreciente en:I) (-;-3) II) (0;+) III) (-;0) IV) Ninguna de las anteriores.

c) la fórmula correspondiente a una parábola que tiene como eje de simetría x = - 4 y como imagen al intervalo (-;-3] es:

I) f(x)= (x+4)2 -3 II) f(x)= -(x-4)2+3 III) f(x)= 3x2+24x+51 IV) f(x)=-3x2-24x-4

d) los valores de negatividad en la función f(x)= -2x2+8x-6 corresponden al intervalo:I) (1;+) II) (1;3) III) (-;1) (3;+) IV) Ninguna de las anteriores

e) la función g(x) = -x2+4 es creciente en:I) (0;+) II) (4;+) III) (-;0) IV) Ninguna de las anteriores

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f) la fórmula correspondiente a una parábola que tiene como eje de simetría x = -6 y como imagen al intervalo (-;8] es:I) f(x)= (x+6)2-8 II) f(x)= - (x-6)2+8 III) f(x)= 2x2+24x+80 IV) f(x)=-2x2-24x-64

Formas canónica, polinómica y factorizada:

1) Hallá en cada caso la fórmula de la función cuadrática que cumpla con los siguientes datos:

a) X1 = 1; x2 = -6 son las raíces de f(x) y (2; 1) pertenece a la gráfica.b) X1 = 3; x2 = 3 son las raíces de f(x) y f(0) = 2.c) X1 = 4 ; x2 = -2 son las raíces de f(x) y f(1) =1.d) F(0) = 1; f(1) = 2; f(2) = 6.

2) Hallá las tres expresiones de una función cuadrática sabiendo que su coeficiente lineal es -2 y que su grafico pasa por los puntos P=(1;-7) y Q=(3;13).

3) La función cuadrática m(x) tiene sus tres coeficientes iguales y su grafico pasa por el punto P=(-2;18). Hallá las tres expresiones de la función cuadrática.

4) El grafico de la función cuadrática j(x) contiene el punto P=(3;2) e interseca los ejes exactamente en los mismos puntos en los que lo hace el grafico de la función lineal r(x)=-4x+8. Hallá las expresiones de j(x).

5) Una parábola tiene su vértice en el punto V= (1; 1) y pasa por el punto (0; 2). Hallá su ecuación.

6) Siendo y a) Encontrá la función correspondiente a una parábola P que tiene la misma raíz

positiva que la parábola f y el mismo vértice que la parábola gb) Expresá la parábola P en forma canónica, polinómica y factorizada.c) Indicá su dominio, imagen, vértice, raíces, ordenada al origen, intervalos de

crecimiento y decrecimiento, intervalos de positividad y negatividad. Graficala.d) Escribí la ecuación de la recta R que pasa por los puntos (12;5) y (-6;-1)e) Hallá, si es que existen, en forma gráfica y analítica los puntos en común entre la

recta M, perpendicular a la recta R, sabiendo que su ordenada al origen es 9, y la parábola g.

7) Dadas las parábolas: P1 : f ( x )=−2 x2−4 x+16 y P2: g( x )=2 ( x−1 )2+3 hallá la ecuación de la parábola P3 que tiene las mismas raíces que P1y la misma ordenada al origen que P2. Expresá dicha función en forma polinómica, canónica y factorizada.

8) Hallá las tres formas de la función f(x) cuadrática sabiendo que C−=(−∞ ;3/2 )∪(3 /2 ;+∞)

y que pasa por el punto . Realizá el análisis completo de la función.

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9) Determiná la expresión de la función cuadrática en cada caso:

a) V =(1; 3) y pasa por el punto (0 ; 2)b) x1 =2 ; x2 =4 y pasa por el punto(3 ; 3).c) La suma de sus raíces es -2, su producto es -24 y pasa por (0 ;12).d) Pasa por los puntos A =(2 ; 3); B =(2 ;9); C =(0 ; 5).e) Interseca al eje de ordenadas en el punto (0 ; 5); la xv = 2 y el coeficiente del término

cuadrático y el lineal difieren en 1.

10) Una avioneta vuela entre Buenos Aires y Santiago de Chile. Su altura de vuelo viene dada por la ecuación y = -30x2 + 840x, donde y es la altura de la avioneta en metros a los x minutos de haber despegado de Buenos Aires. Representa la gráfica para determinar la altura a la que la avioneta inicia el descenso y la duración del vuelo.

11) La función cuadrática m(x) es tal que la suma de sus raíces es 8 y el producto es 7. Hallar la expresión de m(x) considerando que el mínimo valor que toma es -18.

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola y por la menor de sus raíces.

b) Graficar ambas funciones en el mismo gráfico y verificar lo calculado.c) Analizar la función m(x) y hallar las tres formas de la función.

12) Hallá la ecuación de una parábola cuyo C- = (-3;0,5) y cuya ordenada al origen sea y = -3. Realizá el análisis completo de la función (dominio, imagen, C+, C-; C ; C ;↗ ↘ vértice, concavidad y raíces). Graficala.

13) Hallá la ecuación de una parábola cuyo C↗ = (-∞;2), cuya I= y que f(1)=6. Realizá el análisis completo de la función (dominio, imagen, C+, C-; C↗; C↘; vértice, concavidad y raíces). Graficala.

14) Hallá la ecuación de una parábola cuyo punto mínimo sea (-0,5; -2) y que pase por el punto (-1; -1,5). Realizá el análisis completo de la función y Graficala.

15) Dadas las parábolas: P1 : f ( x )=−2 x2−4 x+16 y P2: g( x )=2 ( x−1 )2+3hallá la ecuación de la parábola P3 que tiene las mismas raíces que P1 y la misma ordenada al origen que P2. Expresá dicha función en forma polinómica, canónica y factorizada.

16) Hallá las fórmulas polinómica, canónica y factorizada de la función cuadrática en cada caso.

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Modelos Cuadráticos:

1) Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba, su altura sobre el suelo puede calcularse con la fórmula S(t) = -5t2 + 120 t, en donde t es el tiempo transcurrido desde el lanzamiento y S(t) la altura en metros que lo separa del suelo.

a) ¿En qué instante el proyectil alcanza su altura máxima?

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b) ¿Cuál es la altura máxima?c) ¿Para qué valores de t el proyectil asciende?d) ¿Cuánto tiempo se mantiene en el aire el proyectil?

2) Se midió la temperatura, en grados, de una sustancia durante x horas y se determinó que la función que representa dicha temperatura en función del tiempo transcurrido está dada por T(x) =-5/16(x-2)(x-8). La mediciones se realizaron durante 7 horas. Respondé justificando:

a) ¿Cuál fue la temperatura inicial de la sustancia?b) ¿Cuál fue la temperatura máxima a la que llegó la sustancia y en qué tiempo la

alcanzó?c) ¿Qué temperatura tenía al terminar la experiencia?d) ¿En qué momento la temperatura fue de 0 ºC?e) Indicá dominio e imagen que correspondan al problema.f) Realizá la gráfica correspondiente al problema.

Sistemas mixtos:

1) Dada la recta de ecuación y = 2x +1 y f(x) = kx²+kx+2. Hallar los valores de k para los cuales la recta y la parábola se cortan en un solo punto.

2) Dadas las funciones f(x) = 2x2 – 8x + 6 y g(x) = 2x – 2.a) Hallá, en caso de existir, el o los puntos de intersección de los gráficos de f y g.b) Representar las dos funciones en el mismo gráfico.

3) Dada f (x) = 3x² +bx - 2.a) Determinar el valor de b tal que, si x1 y x2 son las raíces de f(x), x1 + x2 = x1. x2

b) Para el valor de b hallado, graficá f(x), hallando previamente las raíces, la ecuación del eje de simetría, las coordenadas del vértice y el punto donde la función corta al eje y.

c) hallá analíticamente el punto de intersección, si existe, entre f(x) y g(x) = -0,5 x - 2

4) Determiná analíticamente las ecuaciones de estas dos funciones, así como las coordenadas del punto B.

5) Sabiendo que el sistema formado por una función lineal g(x) y una función cuadrática f(x), tiene como una de sus soluciones el punto (-6; 9); que la función f(x) tiene eje de simetría en x = -2; y conjunto Imagen ; y que la función lineal g(x) es perpendicular a la recta de expresión: , respondé las siguientes preguntas:

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a) ¿Cuál es la ecuación de f(x)? b) ¿Cuál es la ecuación de g(x)?c) ¿Cuáles son los puntos de intersección entre f(x) y g(x)? justificalo gráficamente. d) De f(x) hallar: Dominio, C0; C+; C-; intervalos de crecimiento y de decrecimiento.e) Escribir la expresión de la recta q(x) cuya gráfica pasa por el vértice de la parábola f(x)

y la raíz de la función g(x).

6) Cuando se produce una cantidad x de mercadería dos productores reciben un beneficio mensual dado por las siguientes fórmulas: para el primer productor P1(x) = 2x – 10 y para el segundo productor P2(x) = -x2 + 8x – 3, en donde x representa las toneladas (en miles) producidas de dicha mercadería y P(x) el beneficio mensual (en miles de pesos) que recibe cada productor.

a) ¿Cuántas toneladas deben producir ambos para tener la misma ganancia?b) Para qué cantidades de producción el primer productor obtiene mayores ganancias

que el segundo?

7) a) Hallá las tres formas de la función f(x) cuadrática sabiendo que

y que pasa por el punto . Realizá el análisis completo de la función.

b) Hallar la ecuación de la recta g que pasa por los puntos y c) resolvé gráfica y analíticamente el sistema formado por f y g.

8) Dadas las funciones: y ; calcular los valores de k para que la función “g” resulta secante, tangente o exterior a la parábola.

9) Resolvé gráfica y analíticamente el siguiente sistema:

C ¿ {(1+x )2− y+2 x2

=x . ( x+2 )

2 y+x . (2 x−4 )=−4

Función por tramos:

1) Realizá el análisis completo de las siguientes funciones por tramos. Luego, graficá.

2) Indicá la ecuación de la función definida por tramos según los datos de la imagen.

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