Tópicos sobre modelos DSGE en Dynare - Modelos RBC · 2018. 9. 4. · Contenido 1 El curso 2 El...

Topicos sobre modelos DSGE en DynareModelos RBC

Carlos Rojas Quiroz

www.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

11 de noviembre de 2017

Carlos Rojas Quiroz Clase 1 11 de noviembre de 2017 1 / 46

Contenido

1 El curso

2 El ciclo economico: ¿Que es y como se mide?Medicion del ciclo economicoHechos estilizados de ciclos economicos¿Como estudiaremos los ciclos economicos?

3 Modelo RBC SimpleIntroduccion a modelos RBCModelo RBC BasicoSolucion analıticaSustitucion intertemporal del trabajo


Descripcion del curso

Curso practico sobre topicos macroeconomicos.

Construccion, solucion y analisis computacional de modelos dinamicos,estocasticos de equilibrio general.Cinco sesiones practicas.

Objetivo final: implementar e interpretar correctamente modelosDSGE.


Contenido

1 El curso




El ciclo economico

Fluctuaciones agregadas de corto plazo.

Burns y Mitchell (1946):

Consta de expansiones que se producen mas o menos al mismo tiempoen muchas actividades economicas, seguida de recesiones,contracciones y recuperaciones, tambien generales, que culminan en lafase de expansion del ciclo siguiente.Esta secuencia de cambios es recurrente, pero no periodica.Duran desde mas de un ano hasta diez o doce anos, no pueden dividirseen ciclos mas breves de caracter similar y de magnitud parecida.

Lucas (1977): desviacion del Producto Bruto Interno respecto a sutendencia o producto potencial.


El ciclo economico

Figura 1: Ciclo Economico Artificial


El ciclo economico

Slutzky (1937)

Ciclos economicos pueden ser generados por una suma de choquesaleatorios.

yt = 0,95yt−1 + et

et =

{0,5 con 50 % de probabilidad−0,5 con 50 % de probabilidad

∣∣∣∣∀t


El ciclo economico

Lucas (1977): ciclos economicos no son secuencias inevitables sobre laactividad economica (como lo ve Mitchell), tampoco es necesariodistinguir sus distintas fases.

Lo importante son los co-movimientos en el tiempo de loscomponentes cıclicos de los agregados economicos (consumo,inversion, empleo, etc.)


Medicion del ciclo economico

Suponemos que una serie macroeconomica de frecuencia trimestralesta compuesta de:

Yt = Y Gt Y C

t Y Et Y I

t

Aplicando logaritmos:

yt = ygt + y ct + y et + y it

¿Como aislar componentes determinısticos (ygt ∧ y et )? No hay unasola forma “correcta” de hacerlo.


Filtro de Hodrick y Prescott

El componente tendencial se obtiene resolviendo lo siguiente (previamentedebemos desestacionalizar la data, yt = yt − y et ):

mınygt

T∑t=1

(yt − ygt )2 + λ

T−1∑t=1

[(ygt+1 − ygt )− (ygt − ygt−1)]2

Tenemos dos objetivos:

Que la tendencia se acerque lo mas posible a los datos, pero...Que la tasa de crecimiento tendencial sea lo mas suave posible.

λ: parametro arbitrario, elegido por el investigador.

Luego, y ct = yt − ygt .


Filtro de Hodrick y Prescott

Figura 2: Ciclo economico - Peru

Datos trimestrales con λ = 1600. Si λ→ 0 entonces yt = ygt . Siλ→∞ entonces tasa de crecimiento tendencial constante.

Tiene problemas: (i) colas, (ii) valor correcto de λ y (iii) no recogecambios estructurales.


Medicion del ciclo economico

Figura 3: Ciclo economico peruano, diversos filtros estadısticos


Sin embargo...


Hechos estilizados de ciclos economicos

¿Que co-movimientos observar?

Volatilidad:

Desviacion estandar absoluta o relativa al producto (para analizar si lavariable fluctua mas o menos con el PBI).

Correlacion contemporanea:

Principalmente con el PBI. Indica si la variable es procıclica,contracıclica o acıclica.

Correlacion con adelantos y retardos

PBI en t con variables en t + i o t − i . Mide si variable se anticipa oretrasa al ciclo economico.

Autocorrelacion

Mide la persistencia de la variable de interes.



Aguiar y Gopinath (2007) Castillo et al. (2006)

Emergentes Desarrollados Peru

σy 2.74 1.34σ∆y 1.87 0.95ρy 0.76 0.75 0.60ρ∆y 0.23 0.09σc/σy 1.45 0.94 0.94σi/σy 3.96 3.41 3.67σbc/y 3.22 1.02ρbc,y -0.51 -0.17 -0.11ρc,y 0.72 0.66 0.58ρi ,y 0.77 0.67 0.62



Figura 4: Correlaciones dinamicas, Peru 1979-1993 y 1994-2005

Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006)



Figura 5: Correlaciones dinamicas, Peru 1979-1993 y 1994-2005

Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006)



Figura 6: Crecimiento del PBI e Indice de Precios de Exportacion, Peru

Fuente: BCRP. Elaboracion propia.Carlos Rojas Quiroz Clase 1 11 de noviembre de 2017 18 / 46

¿Como estudiaremos los ciclos economicos?

Modelos macroeconomicos modernos, de RBC a Neokeynesianos demediana escala.

Dinamicos, choques estocasticos, agentes optimizadores, equilibriogeneral.

Se obtienen conclusiones mas cuantitativas. El numero importa.

Funciones impulso-respuesta y descomposicion de varianza.Evaluacion de polıticas (contrafactuales).Descomposicion historica de choques.Prediccion (tienen una representacion VAR).

Fricciones:

nominales : precios y salariosreales : habitos en el consumo, costo de ajuste del capital y la inversion.financieras :acelerador financiero y riesgo moral.


Contenido

1 El curso




Introduccion a modelos RBC

Idea principal: las fluctuaciones economicas son causadas por choquesde productividad.

Primeros modelos anadıan proceso estocastico a modelo decrecimiento neoclasico y analizaban la dinamica de la economıa.

Parametros del modelo son calibrados realistamente y se trata dereplicar las caracterısticas mas importantes del ciclo economico con laeconomıa artificial creada.


Introduccion a modelos RBC

¿Solo choques de productividad? No. Tambien de gasto publico, depreferencias del consumidor, de costos (precio del petroleo), etc.Estudia choques reales.

Un ingrediente principal para que el modelo replique los hechosobservados en los ciclos economicos es el mecanismo de propagacion:canal a traves del cual el choque se difunde y amplifica.

Es difıcil obtener soluciones analıticas cerradas en modelos deequilibrio general. De ahı la importancia de los metodoscomputacionales que permiten una solucion numerica.


Modelo RBC Basico

Familias:

Economıa poblada por un conjunto de familias identicas que tienenvida infinita. Deciden su consumo de bienes (Ct) y ocio Ot (en otraspalabras, la oferta de trabajo Lt = 1− Ot) para maximizar el valoresperado de su utilidad intertemporal:

max{Ct ,Lt ,At+1}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βtU(Ct , 1− Lt) (1)

Funcion de utilidad instantanea creciente y concava:UC > 0,UCC < 0.

Los consumidores reciben un salario Wt por su trabajo y una tasa deretorno Rt por sus ahorros At a principios del perıodo t. Ademas, loshogares pagan impuestos de suma alzada Tt . La restriccionpresupuestaria es:

(1 + rt)At + WtLt = Ct + At+1 + Tt (2)


Modelo RBC Basico

El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [U(Ct , 1− Lt) + λt((1 + rt)At + WtLt − ...

...− Ct − At+1 − Tt)]

En tanto, las CPO’s son:

UC (Ct , 1− Lt) = λt (3)

UL(Ct , 1− Lt) = −λtWt (4)

βtλt = βt+1λt+1(1 + rt+1) (5)

Dividiendo 3 entre 4:

UC (Ct , 1− Lt) =−UL(Ct , 1− Lt)

Wt(6)

Que es la condicion intratemporal entre el empleo y el consumo.Carlos Rojas Quiroz Clase 1 11 de noviembre de 2017 24 / 46

Modelo RBC Basico

Incorporando la ecuacion 3 en la 5 se llega a:

UC (Ct , 1− Lt) = βEt {UC (Ct+1, 1− Lt+1)(1 + rt+1)} (7)

Que es la condicion intertemporal del consumo.Intuicion: ¿Cuales son los efectos de postergar consumo de un perıodo aotro? Margen de decision del consumidor.

Si sacrifico una unidad de consumo hoy, reduzco mi utilidad enUC (Ct , 1− Lt).

Esa unidad de consumo “sacrificada” genera 1 + rt+1 unidades en elsiguiente perıodo.

Esas unidades del siguiente perıodo producen una utilidad marginal deUC (Ct+1, 1− Lt+1), descontada por el factor de descuento β.


Modelo RBC Basico

Si desarrollamos el operador de expectativas de la ecuacion 7:

UC (Ct , 1− Lt) = β[Et(UC (Ct+1, 1− Lt+1))Et(1 + rt+1) + ...

...+ Cov(UC (Ct+1, 1− Lt+1), (1 + rt+1))](8)

Si covarianza es negativa, la rentabilidad de ahorrar hoy (paraconsumir manana) es menos atractiva, por tanto consumo actualtiende a aumentar.


Modelo RBC Basico

Empresas:

Producen bienes alquilando capital y trabajo en un contexto decompetencia perfecta. Su funcion de produccion es:

Yt = ZtF (Kt , Lt)

Zt es la PTF, Kt es el stock de capital y Lt el trabajo. El problema dela empresa es el siguiente:

max{Kt ,Lt}∞t=0

Πt = ZtF (Kt , Lt)− (rt + δ)Kt −WtLt

Donde δ es la tasa de depreciacion. Las CPO’s son:

Wt = ZtFL(Kt , Lt) (9)

rt = ZtFK (Kt , Lt)− δ (10)


Modelo RBC Basico

Pensemos un momento en Zt , o Productividad Total de Factores,¿Que es?

1 Una variable no observable calculada como residuo de Solow.2 Nivel de conocimientos general sobre las artes productivas que dispone

una economıa.3 Productividad agregada de la economıa en el uso de todos sus factores

productivos (tecnologıa, la estructura organizativa, el capital humano,factores institucionales).


Modelo RBC Basico

Figura 7: PTF e IPX para Peru (ρPTF ,IPX = 0,95)


Modelo RBC Basico

Equilibrio general:

Hogares maximizan su utilidad.

Empresas maximizan beneficios.

Todos los mercados estan en equilibrio.

En nuestro modelo, el equilibrio general se da cuando se cumplen lasecuaciones 6, 7, 9 y 10, ademas de asegurarnos que todos los mercadosesten en equilibrio.


Modelo RBC Basico

El unico activo del modelo es el capital, luego Kt = At .Reemplazando las ecuaciones 9 y 10 en la restriccion presupuestaria(ecuacion 2) se tiene:

(1 + ZtFK (Kt , Lt)− δ)Kt + ZtFL(Kt , Lt)Lt = Ct + Kt+1 + Tt

ZtFK (Kt , Lt)Kt + ZtFL(Kt , Lt)Lt = Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt + Tt

Teorema de Euler

Si F = f (x1, x2) es linealmente homogeneaa, entonces:

x1∂f

∂x1+ x2

∂f

∂x2≡ F

aFuncion homogenea de grado r : f (jx1, jx2) = j r f (x1, x2). Si r = 1 la funciones linealmente homogenea.


Modelo RBC Basico

Tomando en cuenta Teorema de Euler, se tiene:

Yt = Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt + Tt

Ademas, la inversion es: It = Kt+1 − (1− δ)Kt . Por tanto:

Yt = Ct + It + Tt

Finalmente, se asume que la polıtica fiscal esta en equilibrio Gt = Tt :

Yt = Ct + It + Gt (11)

Igualdad entre oferta de bienes y el gasto. Puede ser rescrita ası:

ZtF (Kt , Lt) = Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt + Gt (12)

Representa el equilibrio de los mercados de bienes y capitales. El mercadode trabajo esta en equilibrio por la ley de Walras.

El modelo no tiene solucion analıtica!


Solucion analıtica

El modelo combina ingredientes lineales (depreciacion o reparto de laproduccion en consumo, inversion y gasto publico) y no lineales(funcion de produccion y preferencias).

Si queremos obtener una solucion analıtica del modelo, debemosconsiderar algunos supuestos simplificadores:

Depreciacion completa, o δ = 1.No hay gasto fiscal, o Gt = 0.Funcion de Utilidad instantanea logarıtmica:

Ut = θLn(Ct) + (1− θ)Ln(1− Lt)

Funcion de produccion Cobb-Douglas con rendimientos constantes aescala:

Yt = ZtLαt K

1−αt


Solucion analıtica

Tomando en cuenta la forma funcional de la Utilidad del consumidor,obtenemos ecuaciones 6 y 7:

θ

Ct=

1− θ1− Lt

1

Wt(13)

1

Ct= βEt

{1 + rt+1

Ct+1

}(14)

Considerando la forma funcional de la funcion de produccion se obtienenlas ecuaciones 9 y 10:

Wt = αYt

Lt= αZt

(Kt

Lt

)1−α(15)

1 + rt = (1− α)Yt

Kt= (1− α)Zt

(LtKt

)α(16)

Finalmente, condicion de equilibrio de mercado, ecuacion 12, es:

ZtLαt K

1−αt = Ct + Kt+1 (17)


Solucion analıtica

Podemos simplificar mas el modelo. Incorporando la ecuacion 15 en 13:

1− θ1− Lt

= Ztα

Ct

(Kt

Lt

)1−α(18)

Luego, incorporando la ecuacion 16 en 14:

1

Ct= βEt

{(1− α)Zt+1

Ct+1

(Lt+1

Kt+1

)α}(19)


Solucion analıtica

Dado supuesto de utilidad logarıtmica, efecto sustitucion e ingreso deltrabajo ante un cambio en el salario real Wt son de igual magnitudpero diferente signo, por lo que se cancelan1. Luego, se puede asumirque Lt = L.

ES (⇑ Lt): ante un choque de productividad, se incrementan lossalarios actuales respecto a los del futuro. Aumenta la oferta laboral.Este efecto depende de la elasticidad salario de la oferta de trabajo.

EI (⇓ Lt): ante un choque de productividad, aumenta el ahorro de loshogares, y por tanto su riqueza. Luego, hay menos incentivos atrabajar (o mayores incentivos al ocio). Este efecto depende de lapersistencia del choque.

1Vease seccion 4.5 del libro de Macroeconomıa Avanzada de Romer para un mayordetalle.


Solucion analıtica

Utilizamos la ecuacion 17 y suponemos que la distribucion del ingresoentre consumo e inversion es constante:

Ct = γ0ZtLαK 1−α

t

Kt+1 = γ1ZtLαK 1−α

t

Donde γ0 + γ1 = 1. Reemplazando en la ecuacion 19:

1

γ0ZtLαK1−αt

= β(1− α)Et

{Zt+1

γ0Zt+1LαK1−αt+1

(L

Kt+1

)α}

1

γ0ZtLαK1−αt

= β(1− α)1

γ0γ1ZtLαK(1−α)t


Solucion analıtica

Operando se llega a:γ1 = β(1− α) (20)

γ0 = 1− β(1− α) (21)

Reemplazando lo obtenido hasta el momento en la ecuacion 18, se llega a:

L =αθ

αθ + (1− θ)(1− β(1− α))(22)

L es constante! Asumirlo fue un buen supuesto. Observe: L < 1. Ademas:

Ct = (1− β(1− α))ZtLαK 1−α

t (23)

Kt+1 = β(1− α)ZtLαK 1−α

t (24)


Solucion analıtica

Encontramos la solucion del modelo para L, Ct y Kt+1. ¿Comoevolucionan en el tiempo ante un choque de productividad? Suponemosproceso autoregresivo para Zt en logaritmos:

lnZt = ρZ lnZt−1 + εt (25)

Donde εt ∼ N(0, σ2). Ademas |ρZ | < 1. Aplicando logaritmos a laecuacion 24

lnKt+1 = ln(φ0) + (1− α)lnKt + lnZt (26)

Donde φ0 = γ1Lα. Reemplazando la ecuacion 25:

lnKt+1 = ln(φ0) + (1− α)lnKt + ρZ lnZt−1 + εt (27)


Solucion analıtica

De la ecuacion 26 se sabe que:

lnZt = lnKt+1 − ln(φ0)− (1− α)lnKt

lnZt−1 = lnKt − ln(φ0)− (1− α)lnKt−1

Que se introduce en la ecuacion 27:

lnKt+1 = (1− ρZ )ln(φ0) + (1− α + ρZ )lnKt − ρZ (1− α)lnKt−1 + εt(28)

Zt sigue un proceso AR(1), mientras Kt+1 e Yt siguen un proceso AR(2).


Solucion analıtica

Puede realizarse lo mismo para obtener el proceso del Consumo. Aplicandologaritmos a la ecuacion 23:

lnCt = ln(φ1) + (1− α)lnKt + lnZt (29)

Donde φ1 = γ0Lα. Haciendo uso del operador de rezagos, L, en la

ecuacion 27:[1− (1− α)L]lnKt = lnφ0 + lnZt−1 (30)

Reemplazando en 29:

lnCt = ln(φ1) + (1− α)lnφ0 + lnZt−1

[1− (1− α)L]+ lnZt (31)


Solucion analıtica

Teniendo en cuenta que lnZt = εt(1−ρZL) y multiplicando ambos lados de la

ecuacion 31 por (1− ρZL)(1− (1− α)L), se llega a:

lnCt = (1− ρZ )αlnφ1 + (1− ρZ )(1− α)lnφ0 + ...

...+ (1− α + ρZ )lnCt−1 − ρZ (1− α)lnCt−2 + εt(32)

Consumo tambien tiene proceso AR(2), con los mismos coeficientes paralos rezagos, pero con distinta constante.


Solucion analıtica

Figura 8: Funciones Impulso Respuesta, choque de productividad


Sustitucion intertemporal del trabajo

El modelo simplificado no es realista: no hay fluctuaciones del empleo.

¿A que se deben estas fluctuaciones? A la sustitucion intertemporaldel trabajo (SIT).

Incentivos a trabajar cambian a traves del tiempo. Puede ser optimotraspasar ocio entre perıodos.



Si hogar optimiza solo el primer perıodo:

maxUt = θLog(Ct) + (1− θ)Log(1− Lt)

Sujeto a:Ct = WtLt

La condicion intratemporal es:

1− θ1− Lt

= θWt

Ct

Reemplazando la restriccion presupuestaria:

Lt = θ

Efectos sustitucion e ingreso se cancelan.



Si hogar optimiza en dos perıodos, t y t + 1:

maxUt = θLog(Ct) + (1− θ)Log(1− Lt) + ...

...+ β[θLog(Ct+1) + (1− θ)Log(1− Lt+1)]

Sujeto a:

WtLt +Wt+1Lt+1

1 + rt+1= Ct +

Ct+1

1 + rt+1

Luego, considerando las CPO’s para Lt y Lt+1, se tiene:

1− Lt1− Lt+1

=Wt+1

Wt

1

β(1 + rt+1)(33)


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