Trabajo Final FII - Imprimir

I N D I C E:

Pag.Unidad 1: Sistemas coordenados y cálculo vectorial . . . 25Conclusiones . . . . . . . . . 25

Unidad 2: Electrotastica . . . . . . . . 26Conclusiones . . . . . . . . . 51

Unidad 3: Campos magnetostaticos . . . . . . 78Conclusiones . . . . . . . . . 101

Unidad 4: Termodinamica . . . . . . . 109Conclusiones . . . . . . . . . 120

AUTOEVALUACIONESUNIDAD I

SISTEMAS COORDENADOS Y CÁLCULO VECTORIAL

Resolver los siguientes ejercicios:Ejercicios: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 de las páginas 38, 41, 45, 46Ejercicios pares de las páginas 47 a 52Pagina: 59 Ejercicio 3.1

Ejercicio 2.1a) convierta los puntos P(1,3, 5), T(0, -4, 3) y S(-3, -4, -10) de coordenadas

cartesianas a cilíndricas y esféricas

b) Transformar el vector

A coordenadas cilíndricas y esféricas

c) Evalué Q en T en los tres sistemas de coordenadas

Dibujo / Datos

FormulasDe cartesianas a cilíndricas De cartesianas a esféricas

z=z

Sustitución / desarrollo Inciso a) A coordenadas cilíndricas

(Punto P)

En el punto P: x = 1, y = 3, z = 5. Por lo tanto,

(Punto T)En el punto T: x = 0, y = -4, z = 3 Por lo tanto,

(Punto S)En el punto S: x = -3, y = -4, z =-10. Por lo tanto,

A coordenadas Esféricas

(Punto P)En el punto P: Por tanto,

Resultado

EsféricasSolución (Punto T)

En el punto T: x = 0, y = -4, z = 3. Por tanto,

Resultado

EsféricasEn el punto T: Por tanto,

Resultado

CilíndricasSolución (Punto S)En el punto S: Por tanto,

Resultado

EsféricasEn el punto S:Por tanto,

Resultado

b).- Transforme el vector

A coordenadas cilíndricas y esféricas.b).- Solución

Cilíndricas ; ,

En consecuencia, en el sistema cilíndrico;

Resultado

Esféricas

Resultado

c).- Evalué Q en T en los tres sistemas de coordenadas.En T

Resultado

Pagina 41, ejercicio 2.2Exprese los vectores siguientes en coordenadas cartesianas:

a)

b)

Solucióna).- Formula y desarrollo

Pero

, , , ;

Resultado

b).- Formula y desarrollo

Entonces

, , ;

Y

, ;

Y

, ;

Sustitución

Resultado

Pagina 45, ejercicio 2.3Dado el campo vectorial

Encuentre el punto :

a) .

b) .

c) La componente vectorial de H normal a la superficie .d) La componente escalar de H tangencial al plano .

Dado el campo vectorial

Encuentre en el punto

A).-

B).- C).- La componente vectorial de H normal a la superficie D).- La componente escalar de H tangencial

SoluciónA).-

En

B).- En

C).- La componente vectorial de H normal a la superficie

D).- La componente escalar de H tangencial

Pagina 46, ejercicio 2.4

Si , determinea) .

b)

c) La componente vectorial; de A a lo largo de en

Solución A).-

B).-

La magnitud de

C).- La componente vectorial de A a lo largo de en En

Paginas 47 a 52 Ejercicios pares de esas páginas2.2. ¿Cuál de las expresiones siguientes es incorrecta en el punto cartesiano (-3, 4, -1)?a)

b)

c)

d)

Respuesta inciso a).

2.4. Un vector unitario normal al cono es:

a)

b)

c) d) ninguno de los anterioresRespuesta inciso b).

2.6. Si , en la componente de H paralela a la suprficie

a)

b)

c)

d)

e) Respuesta inciso d).

2.8. La intersección de las superficies esa) Plano infinitob) Plano semiinfinitoc) Circulod) Cilindroe) ConoRespuesta inciso c).

2.10. Una cuña descrita por a) La cuña se ubica en el plano b) Su longitud es infinitac) En la cuña,

d) Un vector unitario normal a la cuña es e) La cuña no incluye el eje x ni el eje yRespuesta inciso b).

PROBLEMAS

2.2 Expresa los puntos siguientes en coordenadas cilíndricas y esféricas A).-

Solución A).- Se da el Formula y desarrollo

Resultado

Esféricas

En el punto P: Por tanto,

Resultado

2.20. Sea En el punto encuentreA).- Un vector unitario a lo largo de HB).- La componente de H paralela a C).- La componente de H normal a D).- La componente de H tangencial a

SoluciónA).- Un vector unitario a lo largo de HFormulas

Cilíndricas En

Desarrollo

B).- La componente de H paralela a Formula y desarrollo

Donde;

C).- La componente de H normal a H en Formula y desarrolloComo la componente normal es

D).- La componente de H tangencial a

Formula y desarrollo

ACTIVIDADES DE APOYO

De la lectura sugerida, los estudiantes presentaran y explicaran en su trabajo escrito los ejemplos, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4. 3.1 de las páginas 36, 39, 44, 45 y 58. Esto bajo las condiciones que se establezcan entre el asesor y los estudiantes.

Pagina 36 Ejemplo 2.1Dado el punto P (-2, 6, 3) y el vector A= yax + (x + z) ay exprese P y A en coordenadas cilíndricas y esféricas. Evalué A en P en los sistemas cartesianos, cilíndrico y esférico.

SoluciónEn el punto P: x = -2, y = 6, z = 3. Por tanto,

Así

En el sistema cartesiano, A en P es;

Respecto del vector En consecuencia, en el sistema cilíndrico

O

Pero , cuya sustitución da como resultado

En P

Por tanto

En forma similar, en el sistema esférico

o

Pero , cuya sustitución de cada uno

En P

Por tanto

Nótese que /A/ es igual a los tres sistemas; esto es,

Página 39 Ejemplo 2.2.

Expresar el vector

En coordenadas cartesianas y cilíndricas. Halle B (-3, 4, 0) y B (5, π / 2, -2)

Solución

Usando las ecuaciones (2.28)

O

Pero .

En consecuencia

La sustitución de todo ello da como resultado

Donde , corresponden a las expresiones ya indicadas.

En (-3, 4, 0), x= -3, y= 4, z= 0, de modo que;

Por consiguiente

Para la transformación del vector de coordenadas esféricas a cilíndricas.

O

Pero

Así

Por tanto

En de modo que

Nótese que en (-3, 4, 0)

Esto puede servir para comprobar el resultado.

Pagina 44 Ejemplo 2.3.

Dos campos vectoriales uniformes están dados por .

CalculeA).-

B).- la componente vectorial de E en P paralela a la línea

.C).- El ángulo que forme E con la superficie z= 3 en P.

Solución

A).-

B).- La línea x= 2, z= 3 es paralela al eje y, de modo que la componente de E paralela a la línea dada es

Pero en P (5, π / 2, 3)

Por tanto

C).- Con base en el hecho de que el eje z es normal a la superficie z= 3,el ángulo entre el eje z y E, el cual se muestra en la figura de 2.10, puede hallarse mediante el producto punto:

Dibujo

Figura 2.10. Para el ejemplo 2.3 c).

De ahí que el ángulo entre z= 3 y E sea

Pagina 45 Ejemplo 2.4

Dado el campo vectorial

Determine

A).- D en P (10, 150˚, 330˚).B).- La componente de D tangencial a la superficie esférica r= 10 en P.C).- Un vector unitario en P perpendicular a D y tangencial al cono θ= 150˚.

Solución A).- En P, r=10, θ=150˚ y Φ= 330˚. Por tanto

B).- Cualquier vector D puede descomponerse siempre en dos componentes ortogonales;

Donde es tangencial a una superficie dada y es normal a esta. Puesto que, en

nuestro caso, es normal a la superficie r = 10,

En consecuencia

C).- Un vector en P perpendicular a D y tangencial al cono θ=150˚ es igual al vector perpendicular tanto a D como a

Así

Un vector unitario a lo largo de este es

Pagina 58 Ejemplo 3.1.Considere el objeto que aparece en la figura 3.7. Calcule A).- La distancia BC.B).- La distancia CD.C).- El área de la superficie ABCD.D).- El área de la superficie AB0.E).- El área de la superficie A0FD.F).- El volumen ABDCF0.

Dibujo

Figura3.7. Para el ejemplo 3.1

Solución Aunque los puntos A, B, C y D están dados en coordenadas cartesianas, es obvio que el objeto posee simetría cilíndrica. Así, el problema debe resolverse en coordenadas cilíndricas. Los puntos se transforman de coordenadas cartesianas en cilíndricas de la manera siguiente;

a).- A lo largo de BC, por tanto

b).- A lo largo de CD, y así

c).- En cuanto a ABCD, y En consecuencia

Área

d).- En cuanto a ABO,De modo que

Área

e).- En cuanto a ABO,

Área

f).- Respecto del volumen ABDCF0, Por tanto,

CONCLUSIONES

AUTOEVALUACIONES

Unidad 2: Electrostática

De la lectura básica sugerida, resolver los siguientes ejercicios:Paginas: 107, 109, 111, 119, 120, 124, 131, 132 y 136Ejercicios 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10 y 4.11.

Pagina 107 Ejercicio 4.1.

Pagina 109 Ejercicio 4.2






Paginas: 155 a 160, los problemas acordados entre el asesor y el estudiante

Paginas: 168, 169 y 170 Ejercicios 5.1, 5.2 y 5.3




Paginas: 190 y 191 Ejercicios 5.9 y 5.10


Paginas 191 Ejercicio 5.10


Paginas: 192 a 196 Los ejercicios y problemas acordados entre el asesor

De la lectura sugerida, los estudiantes presentaran y explicaran en su trabajo escrito los ejemplos 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.9, 5.10 de las paginas: 107, 108, 109, 117, 118, 120, 121, 123, 130, 132, 136, 167, 168, 169, 170, 188, 190 y 191. Esto bajo las condiciones que se establezcan entre el asesor y los estudiantes.

Pagina 107 Ejemplo 4.1Cargas puntuales de 1mC y -2 mC se localizan en (3,2,-1) y (-1,-1,4), respectivamente. Calcule la fuerza eléctrica sobre una carga de 10 nC localizada en (0,3,1) y la Intensidad del campo eléctrico en ese punto.

Solución.

En este punto,

Pagina 108 Ejemplo 4.2Dos cargas puntuales de igual masa y carga Q están suspendidas en un punto común por dos hilos de masa despreciable y longitud . Demuestre que, en equilibrio, el ángulo de inclinación de cada hilo respecto de la vertical esta dado por

Si es ínfimo, demuestre que

Solución:Considerando el sistema de cargas que aparece en la figura, donde F, es la fuerza eléctrica o de coulomb, T la tensión en cada hilo y mg es el peso de cada carga. En A o B

Por lo tanto.

Pero

Asi

o

Y como se solicito cuando es ínfimo.

Figura 4.3. Particulas cargadas suspendidas; para el ejemplo 4.2.

De manera que

Pagina 109 Ejemplo 4.3La separación electrostática de sólidos es una aplicación practica de la electrostática. El mineral de fosfato de florida, consistente en pequeñas partículas de cuarzo y roca fosfatada, por ejemplo, puede separarse en sus componentes aplicando un campo eléctrico uniforme, como se muestra en la figura. Si se supone una velocidad y un desplazamiento iniciales de cero, determine la separación entre las partículas tras caer 80cm. Sea y para partículas de carga tanto positiva como negativa.

Figura 4.4. Separación electrostática de sólidos; para el ejemplo 4.3 Solución.

Ignorando la fuerza de coulomb entre particulas, la fuerza electrostatica actua horizontalmente sobre estas y la fuerza gravitacional (peso) verticalmente, Así.

o

Al integrar dos veces.

Donde y son constantes de integración, de igual forma,

o

Al integrar dos veces obtenemos

Puesto que el desplazamiento inicial es cero

Así mismo a causa de la velocidad inicial de cero

Asi.

Cuando

y

La separación de la partícula es

Pagina 117 Ejemplo 4.4Un anillo circular de radio porta una carga uniforme C/m y esta situado en el plano con eje en el eje

a) demuestre que

b) ¿Qué valores de produce el valor máximo de E?c) Si la carga total en el anillo es Q. Halle E cuando

Solución.a) considere el sistema de la figura, como ya sabemos, el truco para hallar E con la

ecuación , es deducir cada termino de la ecuación, en este caso.

,

o

Por tanto.

Por simetría las contribuciones la lo largo de resultan en cero. Esto es evidente si se considera que para cada elemento hay un correspondiente elemento diametralmente opuesto que produce un igual pero de signo contrario, de manera que las dos contribuciones se anulan entre si, De esta forma, solo resta la componente , es decir.

Como se solicito

Figura 4.9. Anillo cargado; para el ejemplo 4.4

b)

Respecto de E máxima, , lo que implica que.

o

c) Puesto que la carga esta uniformemente distribuida, la densidad de carga de línea es.

De manera que

Cuando

o en general

Lo que es igual que en el caso de una carga puntual, como era de esperar.

Pagina 120 Ejemplo 4.5La lámina finita en el plano tiene una densidad de carga de

nC/m . Halle

a) La carga total en la laminab) El campo eléctrico en (0,0;5)c) La fuerza experimentada por una carga de -1mC localizada en (0,0,5)

Solución.a)

Puesto que , ahora integramos respecto de ( o cambiamos variables: de manera que

b)

Donde . Así

V/m

c)mN

Pagina 121 Ejemplo 4.6Los planos y portan cargas de 10 nC/m y 15 nC/m , respectivamente. Si la línea , porta una carga de 10 nC/m, Calcule E en (1,1,-1) debida a las tres distribuciones de carga.

Solución:Sea

Donde son, respectivamente, las contribuciones a E en el punto (1,1,-1) debidas a la lamina infinita 1, la lamina infinita 2 y la línea infinita 3, como se

muestra en la figura (a). La aplicación de la ecuaciones y ,

Da como resultado.

y

Donde (no regular, pero de significado semejante) es un vector unitario a lo largo de LP perpendicular a la carga de línea y es la longitud por determinar con base en la figura (b) esta ultima figura se desprende de la figura (a) si se considera el plano

en el cual reside E . A partir de la figura (b), el vector de distancia de a es.

,

Por lo tanto.

Así sumando , obtenemos el campo total, de esta manera

Nótese que para obtener lo cual siempre es indispensable para hallar F o E, debemos ir de carga en carga (en el vector de posición ) al punto del campo (en el vector de posición ); de ahí que , sea un vector unitario a lo largo de .

Pagina 123 Ejemplo 4.7Determine D en (4, 0, 3) en presencia de una carga puntual de -5 mC en (4, 0, 0) y de una carga de línea de 3 mC/m a lo largo del eje y.

Densidad de flujo D debida a una carga puntual y una carga de línea definida

Solución.Sea D = D + D , donde D y D son densidades de flujo debidas a la carga puntual y la carga de línea, respectivamente, como se muestra en la figura.

Donde , por lo tanto

mC/m

Asimismo

Entonces.

En consecuencia

Asi

D = D + D

Ejemplo 4.8Puesto que D = C/m , calcule la densidad de la carga en (1, , 3) y la carga total encerrada por el cilindro de radio 1m con m.

Solución

En (1, , 3), C/m . La carga total encerrada por el cilindro puede hallarse de 2 maneras.

Método 1.Este método se basa directamente en la definición de la carga volumétrica total

Método 2.Alternativamente es posible aplicar la ley de Gauss.

Donde son el flujo através de los lados, la superficie superior y la superficie inferior del cilindro, respectivamente (fig 3.17). Puesto que D carece de componente a lo largo de respecto de , de modo que.

Fig 3.17

Así

Como se obtuvo anteriormente

Pagina 170 Ejemplo 5.4Una barra de plomo de sección trasversal cuadrada presenta un orificio a lo largo de su longitud de 4m, de manera que su sección tranversal corresponde a la que aparece en la figura 5.5. Encuentre la resistencia entre los extremos cuadrados.

Solución.En virtud de que la sección transversal de la barra es uniforme, podemos aplicar la

ecuación

Es decir.

Donde

Por lo tanto.

CONCLUSIONES

AUTOEVALUACIONES

Unidad 3: Campos magnetostaticos

De la lectura básica sugerida, resolver los siguientes ejercicios:

Paginas: 268, 269, 271 y 273Ejercicios: Del 7.1 al 7.4

Preguntas de repaso y problemas de paginas 293 a 302 (los problemas acordados entre el asesor y los estudiantes.

PREGUNTAS DE REPASO pagina 293

7.1. Uno de los siguientes no es origen de campos magneticos:a) Corriente directa en un alambreb) Imán permanentec) Carga aceleradad) Campo electrónico que cambio en forma lineal con el tiempoe) Disco cargado que gira a una velocidad uniformeRespuesta: Inciso c).

7.2. Identifique en la figura 7.22 la configuración que no constituye una representación correcta de I y HRespuesta: Inciso c).

Figura 7.22. Para la pregunta de repaso 7.2

7.3. Considere los puntos A, B, C, D, y E en el circulo de radio 2 que aparece en la figura 7.23. Los elementos de la lista de la derecha son valores de en diferentes puntos de ese circulo. Haga coincidir tales elementos con los puntos referidos en la lista de la izquierda. a) A (i)

b) B (ii)

c) C (iii)


d) D (iv)

e) E (v)

(vi)

(vii)

(viii)

Respuesta: Inciso a) ii, b) vi, c) i, d) v, e) iii

7.4. El eje porta una corriente filamentosa de a lo largo de . ¿Cuál de las expresiones siguientes es incorrecta?a)

b)

c)

d) Respuesta: Inciso d).

7.5. El plano porta una corriente uniforme de . En (1, 10, -2), la intensidad de campo magnetico es de

a)

b)

c)

d) e) Ninguno de los valores anterioresRespuesta: Inciso a).

7.6. Con relación a las corrientes y trayectorias cerradas de la figura 7.24, calcule el calor de .


Respuesta: Inciso a). 10A, b) -20A, c) 0, d) -10A

7.7. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una característica de un campo magnético estático?a) Es solenoidalb) Es conservativoc) No tiene perdida ni origend) Las líneas de flujo magnético siempre son cerradase) El número total de las líneas de flujo que entran en una región dada es igual al número total de linea de flujo que salen de esa regiónRespuesta: Inciso b).

7.8. Dos bobinas circulares coaxiales identicas portan igual corriente pero en direcciones opuestas. La magnitud del campo magnetico B en un punto sobre el eje equidistante de las bobinas esa) Cerob) Igual a la producida por una bobinac) Dos veces mas que la producida por una bobinad) La mitad de la producida por una bobinaRespuesta: Inciso a).

7.9. Una de las ecuaciones siguientes no es una de las de Maxwell para campos electromagneticos estáticos en un medio lineal homogéneo.a) b) c)

d)

e) Respuesta: Inciso e).

7.10. Dos barras imantadas con intensidad de y (cargas magnéticas) en su polo norte se colocan dentro de un volumen, como se muestra en la figura 7.25. El flujo magnético que sale del volumen es de;

a) 200 Wbb) 30 Wbc) 10 Wbd) 0 Wbe) -10 WbRespuesta: Inciso d).

Paginas: 310, 313, 314, 322, 323, 330, 342, 345, 346, 347, 351, 353 y 354.Ejercicios: 8.1, 8.2, 8.3, 8.5, 8.6, 8.7, 8.10, 8.11, 8.12, 8.13, 8.14, 8.15, 8.16Los ejercicios y problemas acordados por el asesor y el grupo.

Ejercicio 7.1 “ LEY DE BIOT-SAVART”Determine H en (0,0,5) debida al lado 3 de la espira triangular de la figura 7.6(a)

Solución:

Datos:

p = 5I = 10 A

Formula

Sustituimos la formula

Respuesta:

Ejercicio 7.2

Halle H en (-3,4,0) debida al filamento de corriente que aparece en la figura 7.7 (a)

Solución:

Datos:

P en al plano z = 0

Formulas y desarrollo:

De igual modo en cuanto a Hx en P, p=4

Respuesta:Sea son las contribuciones a la intensidad de campo magnético en P(-3,4,0) debidas a las porciones del filamento a lo largo de X y Z.

Ejercicio 7.3

Un anillo angosto de 5cm de radio se sitúa en el plano z =1 cm, con su centro en (0, 0,1 cm). Si porta 50 mA a lo largo de halle H en

a) (0,0,-1 cm)b) (0,0,10 cm)

Solución:

Dibujo:

Datos:

I = 50 mA = 5x10-3Ap = 5cm = 5x10-2mh= (1-(-1)=2

De acuerdo a la ley de Biot-Savart.

= intensidad de carga magnetica

La ecuación se convierte a:

Por simetría las contribuciones de resultan = cero

a) sustituimos valores

Respuesta

b) Sustituimos valores

Respuesta

Ejercicio 7.4

Un solenoide de longitud y radio a consta de N vueltas de alambre portador de corriente I. Demuestre que el punto P a lo largo de su eje,

Donde son los ángulos obtenidos en P por las vueltas del extremo, como ilustra la figura 7.9 y demuestre que si en el centro del selenoide.

Solución:

Dibujo: Sección transversal de un solenoide.

Datos:

Formulas:

Desarrollo:

Donde con base a

ó

Así

La sustitución del da como resultado:

El centro del solenoide es:

Solución:

Ejercicio 8.1Una partícula cargada de de 2 kg de masa y carga de 3 C se pone en movimiento en el punto (1,-2,0) a una velocidad de en un campo eléctrico

en el instante t= 1s, determine:

a) La aceleración de la partículab) Su velocidadc) Su energía cinéticad) Su posición

Datos:P = (1,-2,0)Masa = 2 Kg Carga = 3 CVelocidad = Campo eléctrico =

Calculando a ) La aceleración de la partícula

Donde a es la aceleración de la partícula. Por lo tanto:

Calculando b) Su velocidad

De la igualación de sus componentes resulta:

Donde A, B y C son constantes de integración pero en t = 0, Así

La sustitución de los valores A, B y C resultan:

En consecuencia:

Calculando c) b Su energía cinética (EC)

Solución: EC = 718 JCalculando d) Su posición

La igualación de las componentes produce:

En t = (x,y,z,) = (1,-2,0); por tanto:

Solución:

Ejercicio 8.2Una partícula cargada de de 2 kg de masa y carga de 1 C se pone en movimiento en el origen a una velocidad de 3ay m/s y viaja a una región de campo magnético uniforme B = 10ª Wb/m2. En t 4 S, determine:

a) La velocidad y aceleración de la partícula.b) La fuerza magnética sobre ella.c) La energía cinética (EC) y ubicación.

Datos.

Masa = 2 kgCarga = 1 CVelocidad = 3ay m/st = 4s

Desarrollo

Calculando a) La velocidad y aceleración de la partícula

por lo tanto

al igualar los componentes se obtiene:

Usando una ecuación diferencial lineal obtenemos:

Con base a las ecuaciones

Se determinan las constantes aplicando las condiciones iniciales.En

La sustitución de los valores de en las ecuaciones produce:

Entonces

Solución de a)

Calculando b) La fuerza magnética sobre ella.

Solución de b)

Calculando c) La energía cinética (EC) y ubicación.

Nota: son símbolos de integración. En de manera:

Al sustituir los valores de en las ecuaciones se obtiene:

En

Solución: C)

Ejercicio 8.3Una partícula cargada se mueve a una velocidad uniforme de 4ax m/s en una región en la que E = 20ay V/m y B = Wb/m2. Determine B0 de manera que la velocidad de la partícula sea constante.

Dibujo: Filtro de velocidad de partículas cargadas.

Datos:

Velocidad = 4ax

Región = E = 20ay,

B = Wb/m2

Fórmulas:

ó

Así, B5=5

Solución

Si la partícula se mueve a una velocidad constante, esto implica que su aceleración es de cero.

Donde ó

ACTIVIDADES DE APOYOProblema 8.5Define el momento magnético del circuito eléctrico formado por la espira triangular de la figura:

Solución:

Dibujo:

Datos:D=0P= (2,0,0), (0,2,0) y (0,0,2)

Formulas:

Desarrollo:

S = área de la espira = x base x altura =

La superficie del plano se define por medio de una función,

Calculamos m

Solución:

Problema 8.6Una pequeña espira de corriente con momento magnético se localiza

en el origen, mientras que otra, , con momento magnético se localiza

en (4, -3, 10). Determine el troqué sobre .

Datos:

P= (4, -3, 10).

Formulas:Calcular el troqué sobre el espiral Calcular m respecto al espiral

Desarrollo:Para transformar m2 de coordenadas cartesianas en esféricas:

Calculando en P= (4, -3, 10).

entonces

Solución:

Problema 8.7La región esta ocupada por una lamina infinita de material permeable

si dentro de la lámina, determine:

Datos:

Formula:

DesarrolloCalculando a)

Calculando b)

Calculando c)

Problema 8.8Puesto que en la región , donde 01 5 , calcule:

a) M1 y B1

b) H2 y B2 en la región , donde

Dibujo:

Datos:

Formula:

Desarrollo

Calculando a) M1 y B1

Solución de

Solución de

Desarrollo Calculando b) H2 y B2 en la región , donde

Como

La ecuación queda:

Aplicando las condiciones en las fronteras se obtiene:

nnnt HHBB 112212

Así

Y

Solución:

Problema 8.9El plano xy funge como interfaz entre dos medios diferentes. El medio 1 (z<0) esta ocupado por un material con , y en medio 2(z>0) por otro con . Si la

interfaz porta corriente , halle H1 y B1.

Solucion:

Dibujo:

Datos: 1 (z<0)

Formula:

Desarrollo:

Habiendo hallado los componentes tangenciales pueden determinarse mediante:

Al sustituir las ecuaciones

Las igualaciones de las componentes producen:

ó

Sustituimos:

Solución:

Nótese que es menor que , a causa de la lamina de corriente, y también que

Problema 8.13Dos alambres circulares coaxiales de radios a y b (b>a) están separados por una distancia H(H>>a,b), como se muestra en el dibujo. Halle la inductancia mutua entre ellos.

Solución:

Dibujo:

Datos:Radios a y b (b>a)Distancia H(H>>a,b),

Formula:

Si

Por tanto:

Solución:

AUTOEVALUACIONES

Unidad 4: Termodinámica

Resolver las siguientes preguntas y ejercicios:

Pagina: 489 Los temas de opción múltiple

Temperatura y equilibrio

1. Considere cuatro objetos A,B,C y D. Se comprueba que A y B están en equilibrio térmico. También se comprueba que Cy D lo están, no así A y C. Se concluye quea) B y D no se encuentran en equilibrio térmicob) B y D podrían encontrarse en equilibrio térmico, pero no necesariamente.c) B y D no pueden encontrarse en equilibrio térmicod) la ley cero de la termodinámica no se aplica en este caso ya que hay más de tres objetos.Respuesta: Inciso c).

2. Los objetos B y C se encuentran inicialmente en equilibrio térmico. Los objetos A y C no lo están inicialmente, pero se pone a los dos en contacto térmico y rápidamente alcanzan el equilibrio. Después de hacerlo,a) B y C también se encuentran en equilibrio térmicob) B y C podrían encontrarse en equilibrio térmico, pero no necesariamente.c) B y C no pueden encontrarse en equilibrio térmicoRespuesta: Inciso c).

Escalas de temperatura

3. ¿En que temperatura coincide las escalas Fahrenheit y Celsius?a) -40 Fb) 0 Fc) 32 Fd) 40 Fe) 104 FRespuesta: Inciso a).

4. ¿En que temperatura coinciden las escalas Fahrenheit y Kelvin?a) -100 Fb) 273 Fc) 574 Fd) 844 Fe) 104 FRespuesta: Inciso c).

Medición de la temperaturaExpansión térmica

5. Una gran losa metálica plana a una temperatura tiene un hoyo, Se calienta el

metal hasta que alcanza la temperatura . Después del calentamiento la superficie del hoyoa) Aumentab) Disminuyec) Conserva su tamañod) Posiblemente cambie de tamaño según su formaRespuesta: Inciso b).

6. ¿Por qué un vaso a veces se rompe si vaciamos rápidamente agua hirviendo en el?

a) El agua caliente se expande, extendiendo el vasob) El agua caliente se enfría cuando toca el vaso, contrayendo y reduciendo el vasoc) El vaso se calienta y expande, haciendo que las moléculas se separend) El interior del vaso se expande más rápidamente que el exterior, haciendo que se rompa.Respuesta: Inciso d).

7. Un termómetro de vidrio lleno de mercurio se encuentra inicialmente en equilibrio a 20 C en un baño de agua. Después lo sumergimos en un baño a 30 C. La columna de mercurio en el termómetroa) Aumenta a 30 C y luego se detendráb) Primero aumentara por arriba de 30 C, luego volverá a 30 C y se detendrác) Primero descenderá por debajo de 20 C, luego aumentara por arriba de 30 C y se detendrád) Primero caerá por debajo de 20 C, luego aumentara a 30 C y finalmente retornara a 30 C y se detendráRespuesta: Inciso a).

8. Una tira de cobre se remacha a otra de aluminio. Después se calienta los dos metales. ¿Qué sucede?a) La tira se expande sin doblarseb) La tira se expande y se dobla hacia el cobrec) La tira se expande y se dobla hacia el aluminioRespuesta: Inciso b).

9. La variación diaria de la temperatura en el puente Goleen Gate de San Francisco a veces supera los 20 C. El puente mide aproximadamente 2 Km de largo y esta hecho de acero (con una cinta asfáltica en la carretera)a) ¿Cuál es su cambio aproximado de longitud con esta variación de temperatura?

1) 4.4 cm 2) 44 cm 3) 4.4 m 4) 44 mb) Si los constructores olvidaron incluir juntas de expansión, ¿Qué tamaño aproximado tendrá un “chichón” que se forme en la mitad del puente cuando se expanda?

1) 2.1 cm 2) 21 cm 3) 2.1 m 4) 21 ma) Respuesta: Inciso b).b) Respuesta: Inciso b).

El gas ideal

10. ¿Qué tiene mayor densidad (masa por unidad de volumen): el aire seco o el húmedo? Suponga que los dos poseen la misma temperatura y presión.a) Aire secob) Aire húmedoc) Las densidades son igualesRespuesta: Inciso c).

11. ¿Cuáles de las siguientes cantidades tiene mas grande densidad de partícula (moléculas por unidad de volumen)?a) 0.81 de gas nitrógeno a 350K y a 100 kPab) 1.01 de gas nitrógeno a 350K y a 150 kPac) 1.51 de gas oxigeno a 350K y a 80 kPa

d) 2.01 de gas helio a 350K y a 120 kPaRespuesta: Inciso d).

12. Cuatro contenedores contienen cada un 0.05 moles de uno de los siguientes gases. ¿Cuál tiene la temperatura mas elevada?a) 8.01 de gas helio a 120 kPab) 6.01 de gas neón a 160 kPac) 4.01 de gas argón a 250 kPad) 3.01 de gas criptón a 300 kPaRespuesta: Inciso c).

Paginas: 490 y 491 Las preguntas pares seleccionadas conjuntamente con el asesor

2. ¿Podemos definir la temperatura como una magnitud obtenida en función de la longitud, la masa y el tiempo? Imagine un péndulo, por ejemplo.No, La temperatura es una magnitud obtenida en función de la presión, volumen y Numero de moles.

4. ¿Puede un objeto estar mas caliente que otro si tienen la misma temperatura? Explique su respuestaEl calor es una magnitud subjetiva, esto quiere decir que depende de la situación, por ejemplo: dos personas apreciaran un grado de calor diferente en un objeto de la misma temperatura, si uno estaba en contacto con un objeto frió y el otro con un objeto caliente.Es importante destacar que la sensación térmica es algo distinto de la temperatura tal como se define en termodinámica. La sensación térmica es el resultado de la forma en que la piel percibe la temperatura de los objetos y/o de su entorno, la cual no refleja fielmente la temperatura real de dichos objetos y/o entorno. La sensación térmica es un poco compleja de medir por distintos motivos:El cuerpo humano mide la temperatura a pesar de que su propia temperatura se mantiene aproximadamente constante (alrededor de 37 °C). Por lo tanto, no alcanza el equilibrio térmico con el ambiente o con los objetos que toca. Las variaciones de calor que se producen en el cuerpo humano generan una diferencia en la sensación térmica, desviándola del valor real de la temperatura. Como resultado, se producen sensaciones de temperatura exageradamente altas o bajas.

6. ¿Hay otras magnitudes físicas además de la temperatura que tiendan a igualarse si se unen dos sistemas distintos?En el caso de los gases, si: el volumen y la presión.

8. ¿Qué cualidades hacen una propiedad termométrica adecuada para emplearse en un termómetro practico?La expansión térmica y el coeficiente de dilatación lineal.

10. Sea la presión de un tubo de un termómetro de gas con volumen constante, cuando el tubo tiene una temperatura de 273.16 K de punto triple y sea la presión cuando tiene una temperatura ambiente. Se dan tres termómetros de gas: para A el

gas es oxigeno y Hg; para B también es oxigeno pero Hg. Los

valores medidos de en los tres termómetros son , y

a) Un valor aproximado de la temperatura ambiente T puede obtenerse con los siguientes termómetros utilizando

Marque como verdadero o falso los siguientes enunciados:1. Con el método descrito, los tes termómetros darán el mismo valor de T.2. Los dos termómetros de oxigeno coincidirán entre si, pero no con el termómetro de hidrogeno.3. Los tres termómetros darán un valor diferente de T

b) En caso de que los tres discrepen, explique como modificaría el método de usarlos para que indiquen el mismo valor de T a)

1. Falso2. Falso3. Verdadero

b) Reduciendo la presión del punto triple P3 y por lo mismo la densidad del gas, entonces la temperatura en todos los termómetros a volumen constante se aproximaran al mismo valor de T.

12. Al parecer no es posible alcanzar el cero absoluto de la temperatura en forma experimental, pero en el laboratorio se han logrado temperaturas hasta de 0.00000002 K. ¿Por qué los físicos se esforzarían, como de hecho lo hacen, por conseguir temperaturas todavía mas bajas? ¿A caso no son ya bastante bajas para las aplicaciones prácticas?R. Se esfuerzan para obtener y calibrar los termómetros destinados al uso científico o industrial.

14. Puede asignarse temperaturas a un vacióNo, ya que no habría como percibir algún cambio de temperatura

16. En las etiquetas de muchos medicamentos se le indica al usuario guardarlos a 86F. ¿Por qué a esa temperatura? (Sugerencia: haga la conversión a la escala Celsius.) (Vease The Sciencce Almanac, 1985 – 1986, p 430.)R. La mayoría de los medicamentos traen la instrucción de almacenarlos en un lugar fresco y seco, 86F equivale a 30C que es una temperatura fresca.

18. Al examinar las escalas Celsius, Fahrenheit y Kelvin ¿alguna de ellas destaca como “la escala de la naturaleza”? Explique su respuestaR. Porque la escala de Celsius es muy utilizada para expresar las temperaturas de uso cotidiano, desde la temperatura del aire a la de un sinfín de dispositivos domésticos (hornos, freidoras, agua caliente, refrigeración, etc.). También se la utiliza en trabajos científicos y tecnológicos,

20. mencione algunas objeciones contra la utilización de agua en vidrio como termómetro. ¿Es mejor el mercurio en vidrio? Si su respuesta es afirmativa, explíquela.R. La principal de las objeciones, se debe a que el agua al congelarse se dilata lo que ocasionaría que se rompa el vidrio. El termómetro de mercurio en vidrio es mejor ya que su punto de fusion esta muy por debajo qe el del agua, -38.6 C, del mismo modo su punto de ebullición es muy superior al del agua, es de 356.8 C.

22. Una bola metálica puede pasar por un anillo de metal. Cuando la calentamos, se pega a el ¿Qué sucedería si calentáramos el anillo y no la bola?R. Sucederá lo mismo, la bola se pegara a el, ya que al expandirse el anillo de metal se cierra su diámetro interior.

24. Dos tiras, una de hierro y otra de zinc, están unidas por remaches una al lado de otra, formando una barra recta que se pandea al ser calentada. ¿Por qué el hierro dentro de la curva?R. Porque el Hierro tiene un coeficiente de expansión térmica menor que el del Zinc.

26. ¿Por qué debe una chimenea ser independiente, es decir, no formar parte del soporte estructural de la casa? R. Para que al estar en contacto con el fuego, la deformación que se provoca con el calor no afecte a la estructura de la casa.

28. Explique por que la expansión de un líquido en un tubo de vidrio no produce la verdadera expansión del líquido.R. Porque también el vidrio se expansiona, lo que distorsiona la expansión del líquido.

30. ¿Por que es mucho mas difícil hacer una determinación exacta del coeficiente de expansión de un liquido que de un solidó?R. Porque el líquido adopta la forma del recipiente que lo contiene y además el recipiente que contiene al líquido también sufre dilatación, lo que dificulta la medición.

32. Explique el hecho de que la temperatura del mar a grandes profundidades es muy constante durante todo el año, a una temperatura aproximada de 4 CR. Porque la presión del agua a grandes profundidades evita que esta se congele, por lo cual la temperatura permanece más o menos constante a 4C.

34. ¿Porque los tubos de agua se rompen en invierno?R. Porque el agua al posee un coeficiente de dilatación muy grande y al congelarse de dilata y su volumen aumenta grandemente, por otro lado al congelarse, no puede circular por la tubería, lo que ocasiona la ruptura de las tuberías.

36. Dos cuartos de igual tamaño se comunican a través de una puerta abierta. Pero su temperatura promedio se mantiene en una valor distinto. ¿Cuál de los dos hay mas aire?R. En el cuarto que se mantiene a temperatura mas baja.

38. ¿Por qué el humo en vez de caer se eleva de una vela encendida?R. Porque el humo esta a una temperatura mas alta que el aire que lo rodea, lo que lo hace mas ligero.

EJERCICIOS

Paginas: 491, 492 y 493 Los ejercicios nones seleccionados conjuntamente con el asesor

Temperatura y equilibrio térmico

1. El punto de ebullición y de fusión del agua en la escala Fahrenheit se escogió de modo que la diferencia entre las dos temperaturas fuera 180F , numero que se divide uniformemente entre 2, 3, 4, 5, 6 y 9. Diseñe una escala termométrica S en

forma tal que el cero absoluto sea

a) ¿Cuál es la formula de conversión de Celsius a S?b) ¿Cuáles son y en S?Respuesta inciso a).Asumimos que la nueva escala de temperatura esta relacionada a la escala celsius por una transformación lineal

donde tendremos que determinar las constantes y

Datos:

Medida de la temperatura en la nueva escalaMedida de la temperatura en la nueva Celsius

Para tenemos

Sustitución:

ecuación 1

Para el punto de fusión y ebullición

ecuación 2

ecuación 3

Restando las ecuaciones

Por la condicion condicion inicial tenemos que:

Sustituyendo este valor en la ecuación 1

Por lo tanto la ecuación o formula de conversión de Celsius a S es:

Respuesta inciso b).Como la temperatura de fusión del agua es

Tenemos

Como la temperatura de ebullición del agua es mayor que la de fusion, tenemos

3. Repita el ejercicio 1, pero escoja la nueva escala termométrica Q de manera

que el cero absoluto 0 Q y

a) ¿Cual es la formula de conversión de Celsius a Q?b) ¿Cuál es en Q?c) Esta escala existe en realidad ¿Cuál es su nombre oficial?

Respuesta inciso a).Asumimos que la nueva escala de temperatura esta relacionada a la escala celsius por medio de una transformación lineal, entonces:

donde y son constantes que tendremos que determinar

Datos:

Temperatura en la nueva escala QTemperatura en la escala Celsius

Uno de nuestros puntos conocidos es el cero absoluto.

Sustituyendo:

ecuación 1

Para el

Ecuación 2

Ecuación 3

Restando las ecuaciones

Por la condición inicial tenemos que:

Sustituyendo este valor en la ecuación 1 tenemos

Por lo tanto la ecuación o formula de conversión es:

Respuesta inciso b).

El punto de fusion seria

El punto de ebullición sera:

Respuesta inciso c).Si, su nombre oficial es Escala Kelvin

Como la temperatura de ebullición del agua es mayor que la de fusion, tenemos

5. Si el medico le dice que tiene usted una temperatura de 310 K, ¿deberá preocuparse? Explique su respuestaRespuesta310K Transformando a Fahrenheit nos da:

Por lo tanto estamos bien, no hay de que preocuparse ya que la temperatura normal del cuerpo es .

Medición de la temperatura

7. Un termómetro de resistencia es aquel en que la resistencia eléctrica cambia con la temperatura. Podemos definir las que se miden con el kelvins como directamente proporcionales a la resistencia R, medida en ohms . Se descubre que un termómetro de este tipo tiene una resistencia R de 90.35cuando su bulbo se pone en agua a la temperatura de punto triple (273.16K).¿Qué temperatura indica el termómetro so el bulbo se coloca en un ambiente tal que su resistencia sea 96.28 ?

Respuesta:Si la temperatura es directamente proporcional a la resistencia entonces tenemos

donde es una constante de proporcionalidad.

Datos:

Formula Despeje Sustitución

Para una resistencia de

9. La amplificación o ganancia de un amplificador de transistores puede depender de la temperatura. La ganancia de uno en particular a una temperatura ambiente (20.0 C) es 30.0, en tanto que a 55.0 C es 35.2 ¿Cuál será la ganancia a 28.0 C, si depende de linealmente de la temperatura en este intervalo limitado?

Respuesta:Primero debemos encontrar la ecuación que relaciona la ganancia a la temperatura;Sea G la ganancia, entonces podemos escribir la ecuación como donde y son constantes por definir.

Tenemos dos puntos definidos: Ecuación 1

Ecuación 2

Restando tenemos que

Sustituyendo el valor de en la ecuación 1 tenemos

Ahora que tenemos el valor de podremos saber cual es la ganancia cuando

Sustituyendo los valores tenemos

11. Se monta dos termómetros de gas con volumen constante: en uno se usa nitrógeno como gas y en el otro helio. Ambos contienen suficiente gas para que

. ¿Qué diferencia existe entre sus presiones si se introducen en un baño de agua en el punto de ebullición?¿Cuál de las dos presiones es mas alta? (Fig. 21-5)

Figura 21-5 A medida que la temperatura del gas nitrógeno en un termómetro de gas a volumen constante se reduce de 800 a 400 torr y luego a 200, la temperatura deducida del sistema se acerca al límite correspondiente a una presión de cero. Otros gases se aproximan al mismo límite. El intervalo entero de la escala vertical es de cerca 1 K en condiciones normales.


De la lectura sugerida como básica:Resolver los problemas seleccionados conjuntamente en la 1ra. clase de asesoria de las paginas 493, 494 y 495.

2. Muy temprano por la mañana se descompone el calentador de una casa. La temperatura fuera de ella es , de modo que la temperatura del interior desciende de a en 45 minutos. ¿Cuándo tardara esta ultima en descender otros ? suponga que la temperatura externa no cambie y que se aplique la ley de enfriamiento de Newton (problema 1).

Respuesta.La formula del problema 1 es:

Datos:

Primero tenemos que encontrar a A

Despejando t tenemos

Si baja la temperatura otros tenemos

Sustituyendo

4. Un termómetro de gas se construye con dos bulbos que contienen gas, cada uno de los cuales se ponen en un baño de agua, como se ilustra en la figura 21-17. La diferencia de presión entre ellos se mide por medio de un manómetro de mercurio, como se indica en la figura. Los depósitos, no incluidos en el diagrama, mantienen un volumen constante de gas en los bulbos. No hay diferencia de presión cuando ambos baños se hallan en el punto triple del agua. La diferencia de presión es si uno esta en el punto triple y el otro en el punto de ebullición del agua. Finalmente, la diferencia de presión es cuando un baño se halla en el punto triple y el otro a una temperatura desconocida que debe medirse. Encuentre esta última.

Dibujo:

Figura 21-17. Problema 4.

Solución:Para cualquier contenedor podemos escribir:

, despejando de esta ecuación a P1 tenemos que:

Entonces podemos escribir la diferencia de presiones como:

, como V y R son constantes podemos escribir:

, donde:

Cuando ambos baños están en el punto triple, tenemos que:

Entonces nuestra ecuación para la diferencia de presiones se puede escribir como:

Cuando un baño esta en el punto triple y el otro en el punto de ebullición tenemos:

, sustituyendo los datos tenemos:

Finalmente cuando un baño esta en el punto triple y el otro en un punto desconocido tenemos:

, sustituyendo datos tenemos que:

Solución:

8. A consecuencia de un aumento de temperatura de , una barra con una grieta en el centro se pandea hacia arriba, como se ve en la figura 21-19, si la distancia fija y el coeficiente de expansión lineal es , encuentre , la distancia a la que se eleva el centro.

Dibujo: Detalle

Fig 21-19

Datos: Formula: Despeje:

Solución:De la figura podemos ver que aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

Despejando a X tenemos que:

Sustituyendo datos tenemos que:

Solución:

9. En la figura 21-20 se muestra la variación del coeficiente de la expansión volumétrica del agua entre y . La densidad del agua a es

. Calcule la densidad del agua a de temperatura.

Dibujo:

Figura 21-20

Datos: Formulas:

Del dibujo podemos ver que: X = 16 Λ Y = 0.0002.

La variación del colimen es el área baja la curva, o sea el área del triangulo, por lo que:

Sustituyendo tenemos:

Solución:

16. Un globo aerostatito meteorológico se infla un poco con helio a una presión de y a una temperatura de . El volumen del gas es . A una elevación de . La presión atmosférica disminuye a y el helio se ha expandido por no estar sujeto a ninguna restricción de la bolsa confinante. A esta altura la temperatura del gas es . ¿Cuál será su volumen?

Datos: Formula: Despeje:

Conversión:

Sustitución:

Solución:

CONCLUSIONES

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