EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO. PUNTO. Y RECTA DEL PLANO. TRAZAS. Thamara Girón UNIVERSIDAD...

EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO.PUNTO. Y RECTA DEL PLANO. TRAZAS.

Thamara Girón

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZDEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SECCIÓN DE MATEMÁTICASCÁTEDRA DE DIBUJO I

CONTENIDO

EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO

POSICIÓN DE LAS RECTAS PARTICULARES DEL PLANO

TRAZAS DEL PLANO

EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO

Una superficie plana es aquella en donde si se unen dos puntos cualesquiera de la misma, determinan una recta, quedando esta recta siempre y toda ella dentro de esa superficie plana

¿Cómo se puede generar un Plano?

a) Supongamos que una recta ideal, sea AB

A

B

Se traslada paralelamente sobre si misma y en una dirección dada, ella genera un Plano en el cual se pueden efectuar dos mediciones: una a lo largo de la recta y otra en la dirección en la cual la recta se ha desplazado.

1 Dimensión

1 Dimensión

b) Cuando se hace girar una recta sobre uno de sus puntos

A

BLa recta AB gira alrededor del punto A generando una superficie circular plana.B

B B

B

Representación del plano

La posición de un plano en el espacio queda determinado: Tres puntos no alineados Dos rectas que se cortan Dos rectas paralelas Una recta y un punto exterior de ella

Hay que tener presente que: En un plano hay infinidades de rectas Su figura descriptiva, se basará en las proyecciones de los

elementos que componen el plano. Una recta pertenece a un plano, si pasa por dos puntos

pertenecientes a este plano.

avbv

ahbh

rv

rh

Av

Ah

Posición de un Punto en el PlanoPara que un punto pertenezca a un plano basta que este punto pertenezca a una recta del plano.

Sea el plano ABC dado por 3 puntos no colineales (A, B, C)

En la figura, las proyecciones del plano ABC parten de la primicia de que:

m є plano ABC y D є m

Algoritmo o procedimiento

1. Por Dv se pasa por la proyección vertical de la recta m que corta al segmento AvBv en 1v y AvCv en 2v

2. Se determina 1h en el segmento AhBh y 2h en AhCh.

AH

AV

BH

BV

CH

CVmV

mH

1v 2vDv

Dh

1h

2h3. Uniendo 1h con 2h define mh

Dv

Dh

mh

mv

4. Definida mh, conociendo que Dh deberá pertenecer a ella, donde la línea de referencia de Dv corta a mh se encontrará la proyección horizontal de D (Dh)

Defina la proyección faltante del punto A que pertenece al plano dado.

av

ah

bv

bh

Av

mv

1v

2v

1h

2h

mh

Ah

av

bv

ah

bh Ah

mh

1h

2h

1v

2vmv

Posiciones de las Rectas Particulares del Plano

Las rectas particulares: Son aquellas rectas que son paralelas a uno de los planos de proyección. La recta horizontal es paralela al plano horizontal y la recta frontal es paralela al plano vertical. Ellas mantienen dentro del plano todas sus propiedades.

1. La proyección hv (Paralela a L.T.). Ella corta a las proyecciones av y bv en 1v y 2v, respectivamente

2. Se define 1h que є bh y 2h є ah.

3. Uniendo 1h y 2h se obtiene la proyección horizontal de la recta “h” (h)

La recta horizontal del Plano

La recta horizontal mantiene su característica de tener su proyección vertical paralela a la L.T y su proyección horizontal dependerá de la posición del plano, donde es contenida.

avbv

ah

bh

hv1v 2v

1h

2h

hh

hv // L.T

hh = VT

Posiciones de las Rectas Particulares del Plano

Las rectas particulares: Son aquellas rectas que son paralelas a uno de los planos de proyección. La recta horizontal es paralela al plano horizontal y la recta frontal es paralela al plano vertical. Ellas mantienen dentro del plano todas sus propiedades.

La proyección fh (Paralela a L.T.) que corta a las proyecciones ah y bh en 1h y 2h, respectivamente, y definida la proyección vertical de la frontal

La recta frontal del Plano

La recta frontal del plano tendrá su proyección horizontal paralela a la L.T y la vertical será de acuerdo a la posición del plano que la contiene, determinando así su ángulo α que forma con el P.H.

avbv

ahbh

fh

1h 2h

1v2v

fv

fh // L.T

fv = VT

Se define traza de la recta, a la intersección de esta en uno de los planos de proyección, Pv y Ph sea la Traza Horizontal y la Traza Vertical de la recta. En este caso la Traza es un punto.

TRAZAS DE UN PLANO

Las Trazas de un Plano se define la intersección de un plano en los Planos de Proyección (PH, PV). Estas Trazas son Rectas.

π

πh

πv

Traza Horizontal del Plano (πh)Es una recta que define la intersección de un plano con el Plano Horizontal de proyección. Esta recta es una recta Horizontal contenida en el plano horizontal, por lo tanto, su proyección vertical estará en la L.T. porque su cota es igual a 0 y hh es la intersección de los planos (Traza

Horizontal πh)

Traza Vertical del Plano (πv)Es una recta frontal contenida en el P.V. que define la intersección de un plano con el Plano Vertical de proyección, por lo tanto, su proyección Horizontal estará en la L.T. (fh= vuelo 0 y la intersección del plano con el P.V. es la proyección Vertical de la frontal (fv). (Traza

Vertical πv)

Construcción de las Trazas de un Plano

a) Traza Horizontal del Plano

2. Uniendo los puntos de Trazas THa y THb, se determinará hh

Dado el Plano π. Dado por dos rectas paralelas

avbv

ah

bh

THb

THa

hh La traza horizontal de un plano contiene todas las trazas horizontales de todas las rectas que pertenecen a él.

Algoritmo o procedimiento 1. Se definen las trazas horizontales de las rectas a y b THa y THb respectivamente

3. Puntos de cota 0, formarán hv en la L.T.

4. La proyección de la recta horizontal definirá la intersección del Plano π con el plano Horizontal de π (πh)

hv

πh


b) Traza Vertical del Plano

2. Uniendo los puntos de Trazas TVa y Tvb, se determinará fv

Dado el Plano π. Dado por dos rectas paralelas

av

bv

ah

bh

TVb

TVa

fv

La traza Vertical de un plano contiene todas las trazas verticales de todas las rectas que pertenecen a él.

Algoritmo o procedimiento 1. Se definen las trazas verticales de las rectas a y b TVa y TVb respectivamente

3. Puntos de vuelo 0, formarán fh en la L.T.

4. La proyección de la recta frontal definirá la intersección del Plano π con el plano Vertical de π (πv)

fh

πh


2. Se unen las Trazas Horizontales de las rectas TH y se formará la Traza Horizontal del Plano πh

Dado el Plano π, por dos rectas paralelas o 3 puntos no colineales, o por la intersección de rectas o por 1 recta y un punto

av

bv

ah

bh

THbTHa

hh

La traza del plano se cortan en la L.T o son // L.T

Algoritmo o procedimiento 1. Se determinan las trazas de las rectas que conforman el plano respectivamente

3. Se unen las Trazas Verticales de las rectas Tv y se formará la Traza Vertical del Plano πv

4. Las trazas de los planos πh y πv convergen en un punto en común en la L.T (eje x). O son //L.T

hv

πh

TVa

fv

fh

πh

TVb

EJERCICIOS Determinar las trazas de las rectas1. a A (40, 30, 70) b C (80, 10, 60) B (70, 60, 20)

2. π A (30, 30, 40) B (80, -40, 25) C (95, -25, 60)

3. π A (5, 35, 10) M (100, __, 25) B (15, 27, 35) C (45, 40, 60)

POSICIONES PARTICULARES DE LOS PLANOS CON RESPECTO A LOS PLANOS DE

PROYECCIÓN Los planos pueden tener diferentes

posiciones con respecto a los planos de proyección (PH, PV, PL)

Las posiciones del plano se pueden agrupar en 3 relaciones, cuando:

El plano no es perpendicular a los planos PH, PV.

El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección

El plano es perpendicular a dos de los planos de proyección.


a) Plano Vertical: (πv ┴ L.T; πh depende del ángulo β)

Es perpendicular al plano horizontal. Las

proyecciones horizontales de todos los puntos contenidos en el plano, estarán contenidos en la Traza Horizontal del Plano (πh). Esta traza puede tener cualquier dirección, dependiendo del ángulo que el plano forma con el Plano Vertical (β). La traza vertical (πv) será perpendicular a la línea tierra y es una recta de pie.

FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA

FIGURA ESPACIAL

β

π┴PhRectas Є plano:

•De pie

•Horizontal

•Oblicua

'

4. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de una CUÑA que pertenece a un PLANO VERTICAL (λ). Sus diagonales miden 6 cm. AC= frontal, BD= HORIZONTAL. λ X (1, 0, 0) O (5,_ , 3.5) β=45º. O es el centro de la base.

Ov

Oh

Bh

Dh

DVBV

AV

CV

Ah-Ch

β

λv

λh

X


b) Plano de Canto: (πh┴ L.T; πv depende del ángulo α)

Es perpendicular al plano vertical. Las proyecciones verticales de todos los puntos contenidos en el plano, estarán contenidos en la Traza Vertical del Plano (πv). Esta traza puede tener cualquier dirección, dependiendo del ángulo que el plano forma con el Plano Horizontal (α). La traza horizontal (πh) será perpendicular a la línea de tierra y se comporta como una recta de punta contenida en el P.H.

FIGURA ESPACIAL

FIGURA ESPACIAL


π┴PV

α

''

Rectas Є plano:

•De punta

•Frontal

•Oblicua

3. Realizar las proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un CUBO la cual pertenece a un PLANO DE CANTO (δ). La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. O (50, 22, _) es el centro de la base.

Oh

fv

fh

Ov

δv

δh

Av

Cv

Ah Ch

Bh

Dh

Bv-Dv


c) Plano // L.T: (πh ^ πv // L.T)

FIGURA ESPACIALFIGURA ESPACIAL

π┴PL


7. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un PRISMA RECTANGULAR, que pertenece a un PLANO // L.T (Ω). La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-

2 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) O (5.5, _, _) O es el centro de la base

1h

1v

2v

2h

Ov

Ov

//L.T V

//L.T h

O

Bh

Dh

Bv

Dv

Ah Ch

Av

Cv

Ωv

Ωh

Dc

Dc

El plano no es perpendicular a ninguno de los planos PH, PV

a) Plano que pasa por la L.T.

Ambas trazas están contenidas en la L.T. Para determinarlo se requiere de una condición condicional (un punto del plano no contenido en la L.T.). Pueden pasar infinitos planos por la L.T. y un caso particular son los planos bisectores.


Rectas Є plano:

•De perfil

•// L.T

•Oblicua

El plano no es perpendicular a ninguno de los planos PH, PV

b) Plano Cualquiera:

Puede tomar cualquier posición en el espacio, formando ángulo con los planos de proyección que son diferentes de 90ª.


Rectas Є plano:

•De perfil

•Horizontal

•Frontal

•Oblicua

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE

a) Plano que pasa por la L.T.

FIGURA DESCRIPTIVA

RMPRMPv

RMPh

b) Plano de Canto: (πh┴ L.T; πv depende del ángulo α)

RMP

RMPv

RMPh

c) Plano Vertical: (πv ┴ L.T; πh depende del ángulo β)

FIGURA DESCRIPTIVAFIGURA ESPACIAL

β

RMPRMPv

RMPh

RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

Para trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza homónima del plano

PERPENDICULARIDAD

•El ángulo NO goza de la capacidad proyectiva•El ángulo NO se proyecta como tal a menos que uno de los lados sea // al plano de proyección•Para poder observar el ángulo en su capacidad proyectiva las rectas tendrán que ser horizontales o frontales•Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria que la recta sea perpendicular a dos rectas del plano, una horizontal y una frontal

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

FIGURA ESPACIAL

f

h

r

r┴π r┴h rh ┴ PH

r┴f rv ┴ PV

Av

Ah

rv

rh

a) Dada la recta “r” construir un plano π perpendicular a ella.A pertenece al plano π

Fv

FhTh

πh

πv

b) Dado el plano “π” por trazas A punto exterior al plano πTrazar desde el punto exterior una perpendicular al plano.

πh

πv

c) El plano “π” No es dado por sus trazas A punto exterior al plano πEs necesario definir previamente las rectas horizontales y frontales del plano, para poder trazar la perpendicular al plano.

mv

sv

Rv

mh

Rh=Sh

Tv

πh

πv

10. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un PRISMA CUADRANGULAR, que pertenece a un PLANO OBLÍCUO (σ). La diagonal AC es una recta de máxima pendiente (r.m.p) X (0, 0, 0) σ σh= 30ª σ v=45ª A (_, _, 0) O (6.5, _, 2) O es el centro de la base

Ov

45ª

30ªX

σv

σh

hv

hh

Oh

Dh

Bh

BvDv

Rmpv

Rmph

Ah

Av

Dv

Dv

90ªº

VT Rm

pCv

Ch

Realizar las proyecciones y visibilidad de un CUBO la cual pertenece a un PLANO DE CANTO (δ) de 45º. La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. A´(20, 40, 80) de la base superior del cubo.

Oh

fv

fh

δv

δh

Cv

Av

Ah Ch

Bh

Dh

Bv-Dv

A´v

A´h

90º

90ºOv

45º

Realizar las proyecciones y visibilidad de un CUBO CON UN TETRAEDRO la cual sus bases pertenecen a un PLANO DE CANTO (δ) de 45º. CUBO: La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. A´(20, 40, 80) de la base superior del cubo. TETRAEDRO se encuentra ubicado al lado derecho del cubo, C del cubo coincide con la mitad de la arista AB del tetraedro, la altura de cara (OC) es una frontal. Aristas 5 cm

Oh

fv

fh

δv

δh

Cv

Av

Ah Ch

Bh

Dh

Bv-Dv

A´v

A´h

90º

90ºOv

45º

Av=Bv

Ah

Bh

Cv

Ch

Ov

Oh

Ht

Hc

Dv

Dh

9. Proyecciones y visibilidad de un OCTAEDRO, cuya Sección Cuadrada (ABCD) pertenece a un PLANO QUE PASA POR LA L.T (δ). AC= horizontal y mide 6 cm, O (4, 2, 4) es el centro de la sección

Ov

Oh

CVAV

DV

BV

δ

//L.T

//L.T Ah Ch

OL

DL

BL

Dh

Bh

VL

V´LV´v

V´h

Vv

Vh

5. Proyecciones y visibilidad de una CUÑA cuya base (ABCD) pertenece a un PLANO VERTICAL (λ). Sus diagonales miden 6 cm. AC= frontal, BD= HORIZONTAL. λ X (1, 0, 0) O (5,_ , 3.5) β=45º. O es el centro de la base.

Ov

Oh

Bh

Dh

DVBV

AV

CV

Ah-Ch

β

λv

λh

X

Eh

Fh

Ev

Fv

8.Proyecciones y visibilidad de un PRISMA RECTANGULAR, la base (ABCD) pertenece a un

PLANO // L.T (Ω). La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-2 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) O (5.5, _, _) O es el centro de la base La altura del prisma es 6 cm

1h

1v

2v

2h

Ov

Ov

//L.T V

//L.T h

O

Bh

Dh

Bv

Dv

Ah Ch

Av

Cv

Ωv

Ωh

Dc

Dc

ΩL

OL

O´L

O´v

O´h C´h

D´h

B´h

A´h

C´v

D´v

B´v

A´v

8.Proyecciones y visibilidad de un PRISMA RECTANGULAR, CON UN PRISMA HEXAGONAL la bases pertenecen a un PLANO // L.T (Ω). 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) La altura de los prismas es 6 cm

Prima Rectangular: La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-2 O (5.5, _, _) O es el centro de la base

Al lado derecho se encuentra ubicado un PRISMA HEXAGONAL AD= horizontal (6 cm), A del Prisma Hexagonal coincide con C del Prima Rectangular

1h

1v

2v

2h

Ov

Ov

//L.T V

//L.T h

O

Bh

Dh

Bv

Dv

Ah Ch

Av

Cv

Ωv

Ωh

Dc

Dc

ΩL

OL

O´L

O´v

O´h C´h

D´h

B´h

A´h

C´v

D´v

B´v

A´v

Av Dv

AhDhOh

Ov

EL=FL

BL=CLBv Cv

EvFv

Fh Eh

ChBh

O´v

O´h

E´v

D´v

C´vB´vA´v

F´v

C´h

D´h

E´h F´h

B´h

A´h

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