SUPERFICIES CUADRTICAS

ESTUDIO DE LAS PRINCIPALES SUPERFICIES CUADRTICAS

ELIPSOIDE: Es el lugar geomtrico de todos los puntos p(x, y, z) de que satisfacen a la ecuacin de forma:

Graficando el elipsoide se obtiene:a) Intersecciones con los ejes coordenadas: Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

b) Las trazas sobre los planos coordenados: La traza sobre el plano XY, se hace z=0.

La traza sobre el plano XZ, se hace y=0.

La traza sobre el plano YZ, se hace x=0.

c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados.

Con respecto al origen Con respecto al eje X Con respecto al eje Y Con respecto al eje Z Con respecto al plano XY Con respecto al plano XZ Con respecto al plano YZ

d) Las secciones paralelas a los planos coordenados.Los planos corta la superficie en la curva , que es una familia de elipses donde e) Extensin de la superficie de se tiene de donde .

LA ESFERA:La superficie esfrica es el lugar geomtrica de todos los puntos p(x, y, z) del espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia constante se llama radio y el punto fijo centro.Si en la ecuacin del elipsoide , el elipsoide se transforma en , que es la ecuacin de la esfera de radio R y centro del origen de coordenadas.Graficando la esfera se obtiene:a) Interseccin con los ejes coordenados: Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

b) Las trazas sobre los planos coordenados: La traza sobre el plano XY, se hace

La traza sobre el plano XZ, se hace

La traza sobre el plano YZ, se hace

c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados.La ecuacin de la esfera , es simtrica con respecto al origen, a los ejes y planos coordenados.

d) Las secciones paralelos a los planos coordenados.Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano ordenado XY, es decir, se tiene que es una familia de circunferencia.

TEOREMA: La ecuacin de la superficie esfrica de centro del punto c (h, k, l) y de radio la constante es: Demostracin: Sea es un punto cualquiera de la esfera, luego por definicin de la esfera se obtiene: , de donde:

OBSERVACION:La ecuacin Se conoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuacin de la esfera, si desarrollamos la ecuacin de la esfera se tiene:, de donde se tiene .Luego una superficie esfrica queda determinada por cuatro puntos no coplanares.

PARABOLOIDE ELIPTICO:Es el lugar geomtrico de todos los puntos de que satisfacen a la ecuacin de la forma , donde Graficando el paraboloide elptico se tiene:a) Interseccin con los ejes coordenadas: Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

b) Trazas sobre los planos coordenados: La traza sobre el plano XY, se hace Que representa un punto p(0, 0, 0).

La traza sobre el plano XZ, se hace Que representa a una parbola en el plano XZ.

La traza sobre el plano YZ, se hace . Que representa una parbola en el plano YZ.

c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados.

Con respecto al origen puesto que Con respecto al eje X , puesto que Con respecto al eje Y, puesto que Con respecto al eje Z, puesto que Con respecto al plano XY, puesto que Con respecto al plano XZ, puesto que Con respecto al plano YZ, puesto que

d) Secciones paralelas a los planos coordenados.Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene que corta la superficie en la curva que es una familia de elipses.

e) Extensin de la superficie: es definido .

OTRAS VARIANTE:

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA:Es el lugar geomtrico de todos los puntos de que satisfacen a la ecuacin. Donde

Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene:a) Intersecciones con los ejes coordenados: Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

b) Las trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace , es una elipse.

La traza sobre el plano XZ, se hace , es una hiprbola.

La traza sobre el plano YZ, se hace , es una hiprbola.

c) Simetras. Con respecto al origen es simtrica. Con respecto a los ejes coordenados es simtrica. Con respecto a los planos coordenados es simtrica.

d) Secciones paralelas a los planos coordenados.Los planos corta a la superficie en la curva , que es una familia de elipses y los planos corta a la superficie en la curva , , que es una familia de hiprbola.

OTRAS VARIANTES:

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS:Es el lugar geomtrico de todos los puntos de que satisfacen a la ecuacin , donde Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene:

a) Interseccin con los ejes coordenadas. Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

b) Las trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace , es una hiprbola.

La traza sobre el plano XZ, se hace , es una hiprbola.

La traza sobre el plano YZ, se hace

c) Simetras. Con respecto al origen, existe simetra. Con respecto a los ejes coordenados, existe simetra. Con respecto a los planos coordenados existe.

d) Secciones paralelas a los planos coordenados.Los planos corta a la superficie en la curva es una familia de hiprbolas.Los planos corta a la superficie en la curva es una familia de hiprbolas.Los planos cortan a la superficie en la curva , donde que es una familia de elipses.

OTRAS VARIANTES:

HIPERBOLOIDE PARABOLICO:Es el lugar geomtrico de todos los puntos de que satisfacen a la ecuacin de la forma , donde a y b son positivos y

Graficando el hiperboloide parablico para el caso

a) Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace b) Las trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace rectas. La traza sobre el plano XZ, se hace parbola. La traza sobre el plano YZ, se hace , parbola.

c) Simetras. Con respecto al origen, Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z en los dems ejes Con respecto a los planos coordenados

d) Secciones paralelas a los planos coordenados. Al plano XY, se hace , familia de hiprbolas. Al plano XZ, se hace , familia de parbolas. Al plano YZ, se hace , familia de parbolas.

OTRAS VARIANTES:Tambin el hiperboloide tiene las ecuaciones siguientes.

EL CONO ELIPTICO O CIRCULAR:Es el lugar geomtrico de todos los puntos de , que satisfacen a la ecuacin de la forma: Graficando el cono elptico se tiene:a) Interseccin con los ejes coordenados. Con el eje X, se hace Con el eje Y, se hace Con el eje Z, se hace

b) Las trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace La traza sobre el plano XZ, se hace dos rectas. La traza sobre el plano YZ, se hace dos rectas.

c) Simetras. Con respecto al origen, existe. Con respecto a los ejes coordenados, existe. Con respecto a los planos coordenados, existe.

d) Secciones paralelas a los planos coordenados.

Al plano XY, se hace , familia de elipses. Al plano XZ, se hace , familia de hiprbolas. Al plano YZ, se hace , familia de hiprbolas.

OTRAS VARIANTES:

ECUACIN DE LA PARBOLA

ECUACIN DE LA ELIPSE

ECUACIN HIPRBOLA

ECUACION REDUCIDA DE LA HIPRBOLA: ECUACION DE LA HIPRBOLA CON EL EJE PARARELO A OX, SIN CENTRO EL ORIGEN.

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