Vida Artificial

Fractales

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¿Qué es un fractal?Son objetos geométricos que poseen dos características

fundamentales:

• Autosimilitud.

• Dimensión Fraccionaria.

Lineales

Complejos

Caóticos

Los objetos Fractales se pueden clasificar en:

Autosimilitud

• Perfecta: Cada porción del objeto tiene exactamente las mismas características que el objeto completo.

Autosimilitud• … o estadística: cada región del objeto conserva, de manera

estadísticamente similar, sus características globales.

Dimensiones

• Dimensión de inmersión: Se refiere al espacio que contiene al objeto de estudio.

• Dimensión topológica: Nos dice si nuestro objeto es una arista, un plano, un volumen, un hipervolumen, etc. Su valor es siempre entero.

• Dimensión fractal: se refieren a cómo el objeto geométrico llena el espacio en el que está inmerso. Las dimensiones fractales pueden ser enteras o fraccionarias.

Dimensión Topológica

Método de contar cajas

La dimensión de un conjunto viene dada por la fórmula

Donde N(h) es el número de bolas de diámetro h que se necesitan para cubrir el conjunto.

Ejemplo:

Dimensión de un segmento es 1. Dimensión de una circunferencia es 1. Dimensión del fractal de Koch ,

Dimensión Fractal

dimension (experimental) = 1.18dimension (analytical) = 1.26deviation = 6%

log (1/h)0-0.69315-1.38629-2.56495-3.09104-3.49651-3.78419-4.00733-4.18965-4.34381-4.47734-5.17615

log N(h)7.608377.040546.329724.859814.219513.526363.295843.044522.995732.708052.564951.60944

Dimensión Fractal

Fractales ClásicosConjunto de Cantor:• Es un sistema fractal simple y pedagógicamente

interesante pero su interés va mucho más allá ya que está estrechamente relacionado con la geometría de los atractores extraños.

• Propiedades fractales del conjunto de Cantor:1. C tiene estructura a escalas arbitrariamente pequeñas2. C es perfectamente auto-similar.3. La dimensión de C no es entera… es ln2/ln3=0.63...

• Otras dos propiedades (no fractales) del conjunto de Cantor son: 1. C tiene medida nula.2. Consiste una cantidad no numerable de puntos.

Fractales ClásicosCurva de Koch:• Perímetro infinito que encierra un

área finita.• Dimensión fractal: 4/log 3 ≈ 1.26

Fractales ClásicosTriángulo de Sierpinski:• Área nula.• Dimensión fractal:

El diseño de antenas se ejecuta en gran medida por tanteo. Muchas antenas están compuestas por una distribución de pequeñas antenas. Si la distribución es regular, la antena presenta alto rendimiento y si es aleatoria ofrece robustez. Parece que un diseño fractal como el de la figura combina ambas propiedades. En el caso de  un solo hilo, siguiendo una forma fractal, al doblar se consigue empaquetar más hilo en el mismo espacio y la forma dentada genera capacitancia e inductancia extra. 

Fractales ClásicosCurva de Hilbert:• Longitud infinita en área finita.• La curva tiene la curiosa propiedad de ser una

curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad. Pero, si una curva es unidimensional, ¿cómo es posible que llene un espacio bidimensional? ¿Podemos decir entonces que esta curva es también bidimensional? 

• Es denso en el plano.

Fractales ClásicosAlfombra de Sierpinski:• Superficie nula… perímetro infinito• Dimensión: log(8)/log(3) ~ 1.892789…

Esponja de Menger:• Volumen nulo… superficie infinita.

Fractales ClásicosConjunto de Mandelbrot: Estadísticamente autosimilar• Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye

una sucesión por inducción:

• Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.

• Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.

• En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.

• A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto.

Fractales Clásicos