LABORATORIO DE INGENIERIA DE CONTROL I LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

Nombre: Castro Vasquez Michael Alexander Código: 1213210057

REPORTE:

1. Grafique el lugar de las raíces de la siguiente función

G (s )= K(s+1 ) (s+3 ) (s+7 )

Solución:

Para K=6

Programación en Matlab:>> z=[];>> p=[-1 -3 -7];>> k=6;>> P=zpk(z,p,k)>> rltool(P)

Gráfica:

2. Determine el rango de valores de 𝐾 para que la respuesta del sistema sea. a) Sobre amortiguada b) Críticamente amortiguada c) Subamortiguada d) Sin amortiguamiento

Solución:

a) Sobre amortiguada Para que el sistema sea sobreamortiguado el coeficiente de amortiguamiento debe de ser 𝜉 >1 entonces el rango de K se obtiene variando con el cursor.

Grafica de lugar de raíces:

Con la instrucción Closed-Loop Pole obtenemos los polos y el coeficiente de amortiguamiento cuando sea (𝜉 =1).

La ganancia K cuando 𝜉 =1 es :

Entonces con el cursor seguimos por las raíces de lazo cerrado como se ven en la siguiente gráfica:

Observamos en el cuadro del Closed-Loop Pole que los polos o raíces son reales pero diferentes, podemos deducir que es un sistema sobreamortiguado:

Obteniendo la ganancia k para 𝜉 >1:

Podemos observar que conforme el coeficiente de amortiguamiento va aumentando, el valor de k va disminuyendo.

De esto podemos obtener de respuesta que el rango de K para un sistema sobreamortiguado es:K<0.84151

b) Críticamente amortiguada Para que el sistema sea criticamente amortiguado el coeficiente de amortiguamiento debe de ser 𝜉 =1. Entonces del sistema sobreamortiguado se obtuvo el valor de K para 𝜉 =1:

Por lo tanto el valor de K es :

Entonces para un sistema criticamente amortiguado el valor de K es:

K=0.84151

c) SubamortiguadaPara que el sistema sea subamortiguado el coeficiente de amortiguamiento debe de ser 0<𝜉<1. Como ya se halló el valor de K para 𝜉 =1, nos faltaría obtener el valor de K para 𝜉=0 y podemos obtener el rango de K.

De la gráfica del lugar de raíces, con el mouse ubicamos los polos de lazo cerrado cuando estos se encuentren sobre el eje imaginario aproximadamente:

Observamos en el cuadro del Closed-Loop Pole que los polos o raíces son imaginarias, podemos deducir que es un sistema sin amortiguamiento:

La ganancia K cuando 𝜉 =0 es:

Entonces ahora comprobamos que en el intervalo 0< 𝜉 < 1 es un sistema subamortiguado, con el cursor variamos los polos del lazo cerrado como se muestra en la siguiente gráfica:

Observamos en el cuadro del Closed-Loop Pole que los polos o raíces son complejas conjugadas, entonces es un sistema subamortiguado:

La ganancia K cuando 0< 𝜉 < 1 es:

Entonces para que la función sea un sistema subamortiguado, el valor de K debe de pertenecer al siguiente rango:

0.84151<K<53.333

d) Sin amortiguamiento Para que el sistema sea sin amortiguamiento el coeficiente de amortiguamiento debe de ser 𝜉=0. Entonces del sistema subamortiguado se obtuvo el valor de K para 𝜉 =0:

Entonces para un sistema sin amortiguamiento el valor de K es:

K=53.333

3. De la gráfica del lugar de las raíces determine el punto y ganancia crítica. Solución:

Para obtener el valor de la ganancia K crítica (𝜉 =0) con el mouse ubicamos los polos de lazo cerrado cuando estos se encuentren sobre el eje imaginario.

Grafica del lugar de raíces:

Observamos en el cuadro del Closed-Loop Pole los polos que se encuentran en cada punto:

La ganancia K es:

4. De la gráfica del lugar de las raíces determine el punto y ganancia para tener amortiguamiento crítico 𝜉=1 Solución:

Para obtener el valor de la ganancia K y la ubicación de los polos de lazo cerrado para una respuesta críticamente amortiguada, por medio del cursor ubicamos las raíces de lazo cerrado antes de que estas dejen el eje real.

Grafica de lugar de raíces:

Con la instrucción Closed-Loop Pole obtenemos los polos que se encuentran en cada punto:

La ganancia K es:

5. Determine el valor de 𝐾 necesario para que el sistema tenga una respuesta con una relación de amortiguamiento 𝜉=1 Solución:

Para obtener el valor de la ganancia K para que la respuesta tenga una relación de amortiguamiento de 𝜉 = 1, haremos uso de Design Constraints-New, Esta acción traza una recta sobre la gráfica del lugar de las raíces y con el cursor movemos los polos de lazo cerrado donde el lugar de raíces cruza con la recta de relación de amortiguamiento de 𝜉 = 1:

Con la instrucción Closed-Loop Pole obtenemos los polos que se encuentran en cada punto y la frecuencia no amortiguada:

La ganancia K es:

6. Determine el valor de 𝐾 necesario para que el sistema tenga una respuesta con un sobreimpulso del %𝑀𝑝=25%. Solución:

Para obtener el valor de la ganancia 𝐾 para que la respuesta tenga un máximo sobrepaso %𝑀𝑝=25%, haremos uso de Design Constraints-New y seleccionamos porciento de sobrepaso (Porcent Overshoot) como se observa en la siguiente grafica:

Con el Mouse se movió los polos de lazo cerrado donde el lugar de raíces cruce con la recta de máximo sobrepaso de %𝑀𝑝 = 25%.Con la instrucción Closed-Loop Pole obtenemos los polos que se encuentran en cada punto y la frecuencia no amortiguada:

La ganancia K es:

7. Obtenga la gráfica de la respuesta en el tiempo en lazo cerrado para una entrada escalón unitario para el valor obtenido en el punto 3, 4 y 5. Solución:

Para el punto 3 :Respuesta sin amortiguamiento(𝜉 =0) para una entrada escalón unitario de datos:

Ganancia: 𝐾=53.333Polos de lazo cerrado: 𝑠=±5.57𝑖 Relación de amortiguamiento: 𝜉=0 Frecuencia natural no amortiguada: 𝜔𝑛=5.57

Para el punto 4 :Respuesta sin amortiguamiento(𝜉 =1) para una entrada escalón unitario:

Ganancia: 𝐾= 0.84151Polos de lazo cerrado: 𝑠=-7.19 ; 𝑠=-1.9; 𝑠=-1.9Relación de amortiguamiento: 𝜉=1 Frecuencia natural no amortiguada: 𝜔𝑛=1.9

Para el punto 4 : respuesta con una relación de amortiguamiento 𝜉 =1 para una entrada escalón unitario:

La ganancia necesaria para tener este comportamiento sería 𝐾= 0.84141Polos de lazo cerrado: 𝑠=-7.19 ; 𝑠=-1.89; 𝑠=-1.91Relación de amortiguamiento: 𝜉 =1 Frecuencia natural no amortiguada: 𝜔𝑛=1.91

8. Conclusiones.

De esta guía hemos visto que hay dos formas de obtener la ganancia K o el coeficiente de amortiguamiento 𝜉 de una función, la primera es con la gráfica del lugar de la raíces, q con el cursor del mouse vamos variando los polos hasta obtener la ganancia deseada o coeficiente de amortiguamiento, la segunda por medio de Design Constraints-New y luego Damping-Ratio el cual traza una recta sobre el lugar de raíces y al mover el puntero hacia él se obtiene la ganancia según el coeficiente de amortiguamiento .

Se ha podido observar que conforme el coeficiente de amortiguamiento 𝜉 va aumentando, la ganancia K va disminuyendo, esto quiere decir que cuando los polos se encuentren mucho más cerca del eje real, menor será su ganancia y cuando estén más cerca del eje imaginario mayor será su ganancia.