Estadística y Probabilidad I

Medidas de Dispersión

Ciclo escolar 2013-2014

Dispersión o Variación

• La dispersión o variación de los datos intenta dar una idea de cuan esparcidos se encuentran estos. Hay varias medidas de tal dispersión, siendo las mas comunes: – El Rango.

– La Desviación Media.

– El rango semi-intercuartil.

– El rango percentil 10-90.

– La desviación típica.

El Rango

• El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos.

• Ejemplo: el rango del conjunto 12, 3, 5, 8, 5, 2, 10, 3, 5 es

Desviación Media • La desviación media o desviación promedio, de

un conjunto de N números X1, X2, … , XN es abreviada por MD y se define como

• Donde las barras | | denotan el valor absoluto

del interior (El valor absoluto de un numero, es el numero sin signo; así |-4|=4, |3|=3, |6|=6, |-0.84|=0.84). Es decir, la desviación media es el promedio de las desviaciones absolutas.

XXN

XX

MD

N

j

j

1

1.1 -1.2 1.2

1.2 -1.1 1.1

2.4 0.1 0.1

5.5 3.2 3.2

2.4 0.1 0.1

1.2 -1.1 1.1

Promedios 2.3 1.1333

2 -1.5714 1.5714

4 0.4286 0.4286

6 2.4286 2.4286

2 -1.5714 1.5714

5 1.4286 1.4286

2 -1.5714 1.5714

4 0.4286 0.4286

Promedios 3.5714 1.3469

Ejemplos • Calcule el rango y la desviación media de los siguientes

datos • 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4

Rango= MD=

• 1.1, 1.2, 2.4, 5.5, 2.4, 1.2 – Rango= – MD=

Xj Xj-X ̅ |Xj-X ̅|

2

4

6

2

5

2

4

Promedios

Xj Xj-X ̅ |Xj-X ̅|

1.1

1.2

2.4

5.5

2.4

1.2

Promedios

1.3469

5.5-1.1=4.4 1.1333

6-2=4

Desviación Típica y Varianza • La desviación típica (o desviación standard )de un

conjunto de N números X1, X2, … , XN se denota por “s” y se define como

• Es decir, la desviación típica es la media

cuadrática de las desviaciones. • La varianza de un conjunto de datos se define

como el cuadrado de la desviación típica y viene dada en consecuencia por s2.

21

2

XXN

XX

s

N

j

j

2 -1.5714 2.4693

4 0.4286 0.1837

6 2.4286 5.8981

2 -1.5714 2.4693

5 1.4286 2.0409

2 -1.5714 2.4693

4 0.4286 0.1837

Promedios 3.5714 2.2449

Xj Xj-X ̅ (Xj-X ̅)2

2

4

6

2

5

2

4

Promedios

Xj Xj-X ̅ (Xj-X ̅)2

1.1 -1.2 1.44

1.2 -1.1 1.21

2.4 0.1 0.01

5.5 3.2 10.24

2.4 0.1 0.01

1.2 -1.1 1.21

Promedios 2,3 2.3533

Ejemplos • Calcule la varianza y desviación típica de los siguientes

datos • 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4

s2= s=

• 1.1, 1.2, 2.4, 5.5, 2.4, 1.2 s2= s=

Xj Xj-X ̅ (Xj-X ̅)2

1.1

1.2

2.4

5.5

2.4

1.2

Promedios

1.4983

2.3533 1.5340

2.2449

Métodos Cortos para calcular la Desviación Típica

• La formula anterior de la desviación típica puede reescribirse como

• Esta formula es muy útil cuando los valores de X no son muy grandes.

• Si los valores de X son grandes, es preferible calcularlo a partir de la definición, o con la formula siguiente.

22

2

11

2

XXN

X

N

X

s

N

j

j

N

j

j

Métodos Cortos para calcular la Desviación Típica

• Si dj=Xj-A son las desviaciones de Xj respecto de alguna constante arbitraria A, la expresión anterior

• Esta formula es muy útil, si los valores de X son muy grandes, encontramos un valor de A que haga cero la mayoría de las desviaciones, o para no trabajar con tantos números decimales.

22

2

11

2

ddN

d

N

d

s

N

j

j

N

j

j

Xj Xj-A (Xj-A)2

2 -2 4

4 0 0

6 2 4

2 -2 4

5 1 1

2 -2 4

4 0 0

4 -0.4286 2.4286

Xj Xj2

2 4

4 16

6 36

2 4

5 25

2 4

4 16

Promedios 3.5714 15

Ejemplos • Calcule la desviación típica de los siguientes datos • 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4

s2= s=

Xj Xj2

2

4

6

2

5

2

4

Promedios

Xj Xj-A (Xj-A)2

2

4

6

2

5

2

4

A=

22

222

dds

dds

22

222

XXs

XXs

AXd jj

s2=2.4286-(-0.4286)2=2.2449 15-3.57142=2.2451 1.4984

Propiedades de la desviación típica

• En la mayoría de los problemas sociales se cumple que – 68.27% de los casos están entre X̅-s y X̅+s (o sea,

una desviación típica a cada lado de la media).

– 95.45% de los casos están entre X̅-2s y X̅+2s (o sea, dos desviaciones típicas a cada lado de la media).

– 99.73% de los casos están entre X̅-3s y X̅+3s (o sea, tres desviaciones típicas a cada lado de la media).

Propiedades de la desviación típica

• Supongamos que dos conjuntos de N1 y N2 números tienen varianzas dadas por s12 y s22 respectivamente, y tienen la misma media aritmética. Entonces la varianza combinada de ambos conjuntos vendrá dada por

• Nótese que esto es una media aritmética ponderada de las varianzas. El resultado admite generalización a mas conjuntos

21

2

22

2

112

NN

sNsNs