RAZONES Y PROPORCIONES

1.QU ES UNA RAZN?Se llama razn al resultado de comparar dos cantidades.Dos cantidades pueden compararse de dos maneras:

Por diferencia, hallando en cunto excede una a la otra, es decir, restndolas. Por cociente, hallando cuntas veces contiene una a la otra, es decir, dividindolas.

1.1.TIPOS DE RAZONES Hay dos clases de razones:a) Razn aritmtica o por diferencia.b) Razn geomtrica o por cociente.

A.RAZONES ARITMTICAS La razn aritmtica de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades. Las razones aritmticas se pueden escribir de dos maneras: Separando las dos cantidades con el signo menos (-). Separando ambas cantidades con un punto (.).

Ejemplo:La razn aritmtica de 6 a 4 se puede escribir: 6 - 4 o bien 6 . 4Los trminos de una razn aritmtica reciben el nombre de Antecedente el primer trmino y de Consecuente el segundo trmino.Por ejemplo cuando decimos 6 - 4, el antecedente es 6 y el consecuente es 4.

B.RAZONES GEOMTRICAS La razn geomtrica es la comparacin de dos cantidades por su cociente. Las razones geomtricas se pueden escribir de dos maneras: En forma de fraccin. Separando ambas cantidades con 2 puntos.

Ejemplo:La razn geomtrica de 7 a 3 se puede escribir:7 / 3 o bien 7 : 3Los trminos de una razn geomtrica tambin reciben el nombre de Antecedente el primer trmino y de Consecuente el segundo trmino.

Por ejemplo cuando decimos 7/3, el antecedente es 7 y el consecuente es 3.

2.QU ES UNA PROPORCIN?Es el resultado de igualar dos razones. Dados cuatro nmeros diferentes de cero, en un cierto orden, constituyen una proporcin si la razn de los dos primeros es igual a la razn de los dos segundos.2.1.TIPOS DE PROPORCIONES Hay dos clases de proporciones:a) Proporcin aritmtica.b) Proporcin geomtrica.

A.PROPORCIONES ARITMTICAS Una proporcin aritmtica es la igualdad de dos razones aritmticas o de dos diferencias. Las proporciones aritmticas se pueden representar de dos maneras:a b = c - da . b :: c . d

Ejemplo:Representar 20 es a 5, como 21 es a 16.

Se puede representar as: 20 - 5 = 21 - 16 o bien as: 20 . 5 :: 21 . 16

Los trminos primero y cuarto de una proporcin aritmtica reciben el nombre de Extremos, mientras que los trminos segundo y tercero se denominan Medios.

En el ejemplo anterior, 20 y 6 son los extremos mientras que 5 y 21 son los medios.

Los trminos primero y tercero de una proporcin aritmtica reciben el nombre de antecedentes, mientras que los trminos segundo y cuarto se denominan consecuentes.

En el ejemplo anterior entonces 20 y 21 son los antecedentes, mientras que 5 y 16 son los consecuentes.

BPROPORCIONES.Una proporcin geomtrica es la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:

a/b=c/d o a:b::c:d

Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES.A) En toda proporcin el producto de los medios es igual al producto de los extremos.ad=bc

B) En toda proporcin un MEDIO es igual al producto delos extremos dividido por el otro MEDIO.b= adc

C) En toda proporcin un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.a=bcdPROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLOSi un kilogramo de naranjas cuesta S/. 1200 Cunto cuestan 8 kilogramos?1/3=1200/xx=12003/1x= S/. 3600

EJERCICIOS:1) Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 librasson de msculo. Calcular cuanto pesan los msculos en un nio de 4lb, 62Lb, 85Lb.2) El precio por galn de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones,3) Juan entrena ciclismo. Lasiguiente tabla registra el nmero de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tablaN Vueltas48202330

Tiempo123550

PROPORCIONALIDAD INVERSA.Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales.El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

EJEMPLO.Enuna camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, segn el nmero de garrafas y la capacidad de cada uno.

N DE GARRAFASCAPACIDAD DE GARRAFA (L)PRODUCTO

1028280

2014280

407280

704280

1402280

Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes nmero de garrafas y su capacidad en litrosson inversamente proporcionales.

EJERCICIOS.1. Por cada 5 libras de peso de una persona, aproximadamente dos libras son de musculo. Calcular cuanto pesa un nio de 45 libras, 62 libras, 85 libras.2. El precio por galn de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2 galones, 3 galones, 7 galones y 12 galones3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el nmero de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla.

N de vueltas482023

Tiempo Empleado12354250

4. la tabla describe la relacin entre el nmero de obrero y el nmero de das que tardan en hacer un trabajo.

Obreros61240

Das3010

a) Completar la tablab) Cuntos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 das?c) Cuntos das tardaran 14 obreros en hacer la misma obra?

5. Santiago dispone de $120000 para comprar algunos pantalones. Al llegar al almacn observa que hay pantalones de $4800, $5000, $6000, $8000 y $10000. Completa la tabla para saber cuntos pantalones podra llevar de una sola clase.

N DE PANTALONES25

PRECIO4800

PRECIOXPANTALON12000

6. En la clase de Juan 15 estudiantes deciden hacer una excursin y compran comida suficiente para 10 das.a) Si solo pueden ir 10 estudiantes Podran quedarse ms das? Justifica tu respuesta.b) Completa la siguiente tabla y determina cuantos das mas pueden quedarse en la excursinsi solo van 5 estudiantes.

N DE ESTUDIANTESN DE DIASPRODUCTO

1510150

10

8

5

Si solo van 8 estudiantes Para cuantos das alcanzara la comida?7. En la siguiente tabla se muestra la relacin entre el dimetro de una tubera por la que desagua un tanque y el tiempo que tarda en vaciarse.

DIAMETRO(pul)1223

TIEMPO(Seg)80

a) Completa la tabla.b) Explico si las magnitudes son inversamente proporcionales.c) Determine el tiempo que tardara en vaciarse en una tubera de 6 pulgadas de dimetro.

PROBLEMAS DE RAZONES Y PROPORCIONES

1. En una feria de animales por 6 loros se canjean 3 docenas de codornices. Cuntas codornices se necesitan para canjearlos por 5 loros?A) 28B) 30C) 30D) 25

2. En un puesto de frutas las naranjas se venden a 3 por 5 soles. Cuntos soles se pagar por 2 docenas de naranjas?A) S/.42B) S/.30C) S/.50D) S/.40

3. Para alimentar a 8 ovejas se necesitan 44 kg. de pasto. A cuntas ovejas se podr alimentar con 110kg. de pasto al da?A) 18B) 25C) 20D) 15

4. Si 6kg. de carne cuestan S/. 75, Cuntos soles se pagar por 8kg de carne?A) S/.80B) S/.120C) S/.90D) S/.100

5. En un circo, para alimentar a 3 tigres se necesitan 40 kg. de carne por da. Cuntos kg. de carne diaria se necesitarn para alimentar a 12 tigres?A) 160B) 180C) 120D) 150

6. Un carro recorre 150km. en 2 horas. Cunto recorrer en 3 horas?A) 180km.B) 245km.C) 225km.D) 220km.

7. En una caja hay 200 caramelos de dos sabores: limn y naranja. Si por cada caramelo de limn hay 3 de naranja, Cuntos caramelos de naranja hay en la caja?A) 120B) 150C) 100D) 80

8. Para preparar el men de un batalln de 136 soldados se necesitan 34kg. de arroz. A cuntos soldados se les puede preparar el men con 7kg. de arroz?A) 25B) 28C) 35D) 30

9. Una vaca da 65 litros de leche en 4 das. Cuntos litros debe dar en 16 das?A) 260B) 130C) 240D) 360

10. En un aeropuerto aterrizan 3 aviones cada 20 minutos. Cuntos aviones aterrizan cada 60 minutos?A) 6B) 12C) 8D) 9

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

1. El agua de un pozo se saca en 210 veces utilizando un cubo de 15 l de capacidad. Si empleamos un cubo de 25 l, cuntas veces necesitamos introducir el cubo en el pozo para sacar la misma cantidad de agua?A) 200 cubosB) Igual nmero de vecesC) 12,6 vecesD) 126 veces

2. Un coche tarda 6 horas en recorrer un trayecto a una velocidad de 90 km/h. Cunto tardara en recorrer ese mismo trayecto si circula a una velocidad de 60 km/h ?A) 9 horasB) 4 minutosC) 3 horasD) 36 horas

3. Enrique ayuda a unos familiares en su tienda en Navidad. Por cinco das de trabajo le dan 160 Cunto le darn por diecisiete das?A) 544B) 2720C) 800D) 320

4. En un frasco de legumbres de 500g hay un total de 2,5 g de grasa, y en otro frasco de 400 g hay 2,1 g. Forman una proporcin los datos del problema.A) Las legumbres y las grasas no son proporcionales.B) Las legumbres y las grasas s son proporcionales.C) La pregunta no tiene sentido.D) No se pueden comparar las legumbres con las grasas.

5. Con un consumo de 3 horas diarias, un depsito de gas dura 20 das. Cunto durara con un consumo de 6 horas diarias?A) 10 dasB) 18 dasC) 9 das y 23 horasD) 40 das

6. Un ganadero tiene alpacas de paja para alimentar a 20 vacas durante 60 das. Si compra 10 vacas ms, para cuntos das tiene alimento?A) 50 dasB) 40 dasC) 90 dasD) 40 semanas

7. Trescientos gramos de salami cuestan 3,3 Cunto cuesta un cuarto de kilo?A) 2,75B) 0,8C) 0,825D) 3/4

8. Completa la siguiente tabla de valores proporcionales.

A) En esta tabla las magnitudes no son ni directa ni inversamente proporcionalesB) Los valores ordenados son: 15, 20, 15, 18 y 35C) Los valores ordenados son: 35, 15, 15, 18 y 20.D) Los valores ordenados son: 20, 15, 18, 15 y 35.

9. Cuatro grifos iguales llenan un estanque en 6 horas. Cunto tardarn en llenar el estanque tres grifos?A) Tardarn 6 horasB) Tardarn 8 horasC) Tardarn 5 horasD) Tardarn el doble del tiempo.

10. Un taxi, a 85 km/h, tarda 12 minutos en hacer cierto recorrido. Cunto tardara en hacer el mismo recorrido a una velocidad de 60 km/h?A) Tarda 17 segundos.B) 8,23 minutosC) Tarda 8,23 segundos.D) Tarda 17 minutos.

Proporcionalidad directaDos variables estn en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.El grfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que estn sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el grfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra tambin aumenta.

Ejemplo:Un vehculo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. Cuntos litros de bencina consumir en un viaje de 192 km?Se forma la proporcin entre las variables distancia consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)Proporcionalidad inversaDos variables estn en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.El grfico de dos variables que estn en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que estn sobre una hiprbola.

Analizando el grfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.Ejemplo: Tres obreros demoran 5 das en hacer una zanja. Cunto demorarn 4 obreros?La relacin entre el nmero de obreros tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan ms obreros, entonces se demorarn menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

entonces, 3x5=15 (constante) y4x3,75 = 15 (constante)Proporcionalidad compuestaLa proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa.Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qu proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad que nos permitir determinar si son proporcionales o inversamente proporcionales.Ejemplo:Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 das. Cuntos obreros pavimentarn 5 km en 10 das?a)En primer lugar, determinaremos qu tipo de proporcionalidad existe entre las variables.Sean: obreros (O) longitud del camino (L):Estas dos variables estn en proporcionalidad directa, ya que entre ms obreros, ms km de camino se pavimentarn, por lo tanto:= contanteb)Por otra parte, las variables obreros (O) tiempo (T) estn en proporcionalidad inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre ms obreros, menos tiempo se demorarn en pavimentar el camino.Por lo tanto, O T = constante.De lo anterior se deduce que:= contanteAplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:

Multiplicando cruzado en esta proporcin y despejando x obtenemos:x = 25 obrerosEntonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 das.2. PorcentajeEl porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%.Por ejemplo, decir que el precio de un artculo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En trminos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.Cuando calculamos el porcentaje de un nmero, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fraccin. Por ejemplo, el 12% de 600 es:

El clculo de porcentaje tambin se puede realizar a travs de una proporcionalidad directa:

Es bastante til utilizar este mtodo para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y prdida. Por ejemplo:El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. Qu % de descuento se le aplic?En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuy: $15.000 $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qu porcentaje es del precio original, por lo tanto:

Veamos ahora otro ejemplo:Qu % es 0,2 de 4?En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporcin: