3.1-Funciones Cuadráticas y Modelos Instructor: Roberto C. Toro Rodríguez Curso: Precálculo I (MATE 3171) Semestre: Agosto-Diciembre Año: 2012-2013

Contenido

Forma Estándar de una Función Cuadrática Gráficas de Funciones Cuadráticas Valor Máximo ó Mínimo de una Función Cuadrática Modelando con Funciones Cuadráticas

Una función cuadrática es un polinomio de grado 2. Este tipo de funciones tiene la forma

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 0. Cualquier función cuadrática puede ser expresada de la forma

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 mediante el método de completar el cuadrado. Una función cuadrática expresada de esta forma se dice que está expresada en la forma estándar.

Ejemplo Expresar la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 8𝑥 + 15 en su forma estándar.

Ejemplo Expresar la función 𝑓 𝑥 = 10𝑥 − 5𝑥 en su forma estándar.

Expresar la función cuadrática

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 0, en su forma estándar

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 nos ayuda a trazar su gráfica de forma sencilla, aplicando transformaciones a la función cuadrática básica

𝑔 𝑥 = 𝑥 . Notar que las transformaciones que se le aplican a la función 𝑔 𝑥 para trazar 𝑓 𝑥 son: 𝑎: Estiramiento/Acortamiento Vertical ℎ: Desplazamiento Horizontal 𝑘: Desplazamiento Vertical Como originalmente el vértice de la parábola era 0,0 , aplicando transformaciones, tenemos que el vértice de 𝑓 𝑥 está en 0 + ℎ, 0 + 𝑘 = ℎ, 𝑘 .

Ejemplo Encuentra el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. (1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 7 + 1 (2) 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 + 5 − 6 (3) ℎ 𝑥 = 8 − 𝑥

Pasos para Trazar la Gráfica Funciones Cuadráticas

Considerar la función 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐. (1) Expresar la función en su forma estándar 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 y determinar las coordenadas del vértice ℎ, 𝑘 . (2) Determinar hacia donde abre la parábola. (a) Si 𝑎 > 0, abre hacia arriba. (b) Si 𝑎 < 0, abre hacia abajo. (3) Localizar el eje de simetría. Recordemos que el eje de simetría para la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 es la recta con ecuación 𝑥 = 0. Cuando aplicamos las transformaciones, el eje de simetría se traslada a 𝑥 = ℎ. (4) Hallar las coordenadas del intercepto en 𝑦, cuyas coordenadas son 0, 𝑐 . (5) Hallar los ceros de la función. Esto es, resolver la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Si la función no tiene ceros (discriminante < 0), entonces se deben encontrar algunos puntos considerando el eje de simetría. (6) Hallar algunos valores adicionales y trazar la gráfica teniendo en cuenta TODOS los datos encontrados.

Nota Adicional: ¿En qué me ayuda el eje de simetría? Debemos recordar que si 𝑥 y 𝑥 están a una misma distancia del eje de simetría, entonces la función tiene el mismo valor, es decir 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 . Por lo tanto, es suficiente con encontrar 𝑓 𝑥 para deducir 𝑓 𝑥 . Ejemplo Rápido: Considerar la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 + 5. Notar que el eje de simetría es la recta con ecuación 𝑥 = 4. Sea 𝑥 = 5. Como la distancia de 𝑥 al eje de simetría es 5 − 4 = 1, si escogemos 𝑥 = 3 (cuya distancia al eje de simetría es 1 también), el valor de la función debe ser el mismo. Notar que

𝑓 𝑥 = 5 − 4 + 5 = 1 + 5 = 6 𝑓 𝑥 = 3 − 4 + 5 = 1 + 5 = 6

y efectivamente se cumple lo indicado cuando evaluamos la función en 𝑥 y 𝑥 .

Ejemplo Trazar la gráfica de la función.

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 8𝑥 + 7

Ejemplo (Continuación)

Ejemplo Trazar la gráfica de la función.

𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 3𝑥

Ejemplo (Continuación)

Ejemplo Trazar la gráfica de la función.

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4𝑥 + 8

Ejemplo (Continuación)

Ejemplo Hallar una función cuadrática cuyo vértice es 3, 4 y pasa por el punto 1,−8 .

Recordemos que una función cuadrática posee un máximo ó un mínimo, dependiendo si la parábola abre hacia abajo ó hacia arriba.

Valor Máximo ó Mínimo de una Función Cuadrática

Sea 𝑓 una función cuadrática con forma estándar 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘. Entonces, el valor máximo ó mínimo ocurre en 𝑥 = ℎ y para determinar si es máximo ó mínimo y su valor, utilizamos lo siguiente:

(1) Si 𝑎 > 0, entonces el valor mínimo de 𝑓 es 𝑓 ℎ = 𝑘.

(2) Si 𝑎 < 0, entonces el valor máximo de 𝑓 es 𝑓 ℎ = 𝑘.

Como vimos, toda la información acerca del máximo ó mínimo de una función cuadrática está contenida en las coordenadas del vértice. Para encontrar el vértice expresamos la función en su forma estándar. Hacer este proceso en algunos casos es complicado, por lo tanto buscamos una forma que nos simplifique este proceso. Considerar la función cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Entonces

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 +𝑏𝑎 𝑥 + 𝑐

                                                             = 𝑎 𝑥 +𝑏𝑎 𝑥 +

𝑏2𝑎 −

𝑏2𝑎 + 𝑐

                                                 = 𝑎 𝑥 +𝑏𝑎𝑥 +

𝑏4𝑎

+ 𝑐 −𝑏4𝑎

                                         = 𝑎 𝑥 +𝑏2𝑎

+4𝑎𝑐 − 𝑏

4𝑎.

Por lo tanto, el vértice tiene coordenadas

−𝑏2𝑎 ,

4𝑎𝑐 − 𝑏4𝑎 = −

𝑏2𝑎 , 𝑓 −

𝑏2𝑎 .

En la siguiente tabla se actualiza lo indicado anteriormente, utilizando el último resultado.

Valor Máximo ó Mínimo de una Función Cuadrática

Sea 𝑓 una función cuadrática con forma estándar 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘. Entonces, el valor máximo ó mínimo ocurre en

𝑥 = ℎ = −𝑏2𝑎

y para determinar si es máximo ó mínimo y su valor, utilizamos lo siguiente:

(1) Si 𝑎 > 0, entonces el valor mínimo de 𝑓 es 𝑘 = 𝑓 − .

(2) Si 𝑎 < 0, entonces el valor máximo de 𝑓 es 𝑘 = 𝑓 − .

Ejemplo Hallar el valor máximo ó mínimo de la función y donde ocurre.

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 10𝑥 − 1

Ejemplo Hallar el valor máximo ó mínimo de la función y donde ocurre.

𝑔 𝑥 = 17 − 3𝑥

Ejemplo Hallar el dominio y el rango de la función.

𝑓 𝑥 = 8 − 4.4𝑥 − 2.1𝑥 2.2

Ejemplo Restringir el dominio de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 6𝑥 + 10 de manera que la función sea uno a uno. Luego hallar su inversa.

Las funciones cuadráticas surgen muy a menudo en aplicaciones. En algunas aplicaciones, se requiere optimizar (maximizar ó minimizar) algún resultado. Si la función con la que se modela la situación es cuadrática, es sencillo optimizar el resultado, localizando el vértice de la función. A continuación estudiaremos algunas aplicaciones que requieren optimización y que se modelan mediante funciones cuadráticas.

Ejemplo El producto de dos números reales positivos cuya suma es 32 está dado por

𝑃 𝑥 = 32𝑥 − 𝑥 . (a) Encuentra los dos números que maximizan el producto y (b) el producto.

Ejemplo Una bola es lanzada verticalmente desde el suelo a una rapidez de 120 ft/seg. Su altura (en pies) luego de 𝑡 segundos está dada por

ℎ 𝑡 = 120𝑡 − 16𝑡 . a) ¿Cuánto tiempo tardará la bola en alcanzar su altura máxima?

Ejemplo b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola?

c) ¿Cuánto tiempo tardará la bola en caer al suelo?

FIN DE LA SECCION 3.1 TRABAJAR LOS EJERCICIOS

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