MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Elaborado por: Carlos Gallardo Silveira - Martins Ing. Comercial; Universidad de Chile.

Conceptos Básicos:1.- Interés: “Es el alquiler ó valor que se conviene a pagar ó recibir, por un Dinero recibido en préstamo, ó depositado como ahorro en alguna Institución Financiera”. 2.- Tasa ó Tipo de interés: “Es el porcentaje de interés aplicado a un Capital (K) prestado ó depositado”.

3.- Capital (K): “Es el valor o suma de Dinero prestado o depositado en alguna Institución Financiera”.

4.- Interés Real (I.R.): “Es aquel que se calcula con un año calendario de 365 días, ó de 366 días (año bisiesto)”.

Para el cálculo del Interés, se necesita conocer el plazo, el Capital prestado o depositado, así como la tasa de interés del período.

Ejercicio Nº1: Calcular el Interés Real (I.R.) de $100.000 prestadosa la Tasa del 14% de interés anual; durante 65 días.

K=$100.000.-T= 65 ds. i = 14% anual.I.R.= ??.

Respuesta: I.R.= 100.000 x 14 x 65 = $2.493,15 365 100

Ejercicio Nº2: Calcular el Interés Real (I.R.), que se debe pagar por un préstamo de $250.000 a una tasa del 10% anual; en 240 días.

Respuesta: I.R.= 250.000 x 10 x 240 = $16.438,36 365 100

Regímenes de Capitalización

1.- Régimen Simple: “Se caracteriza porque la variación que sufre el Capital, no es acumulativa en el tiempo.” Los intereses que se van generando en cada período no se agregan al Capital, para el cálculo de los intereses del siguiente período. Se usa principalmente en operaciones de corto plazo (<= 1 año).

2.- Régimen Compuesto: “Se caracteriza porque la variación que sufre el Capital es acumulativa en el tiempo”. Los intereses generados en cada período se agregan al Capital anterior, para el cálculo de los intereses del siguiente período. Se usan principalmente, para operaciones de largo plazo (>1 año).

Cálculo del Capital (K) Final e Inicial en Régimen Simple

Principales elementos que intervienen en el cálculo:Co = K. Inicial n = Nº de años ó períodos i = Tasa ó Tipo de interés (en %) I = Interés pagado ó ganado en un períodoIR = Interés Total pagado ó ganado en todos los períodos ( I x n)Cn= Capital Final (Suma de K. inicial + intereses)

Luego: Cn = Co + IR

Cálculo del K. Final (Régimen Simple)a.- Al final del 1º año: C1 = Co + (i x Co)b.- Al final del 2º año: C2 = C1 + (i x Co)c.- Al final del n año: Cn = Co + (i x Co)+(i x Co)+…= Co x (1+nx i)

Ejercicio Nº3: Calcular el K. final, financieramente equivalente, siendo el K. inicial de $500.000; a 2 años plazo. La tasa de interés de mercado asciende a 10% anual.Co = $500.000.- i = 10% (0,1) n = 2 años

Luego: Co x (1 + n x i) = 500.000 x (1 + 2 x 0,1)

Por lo tanto: Cn = $600.000.-

Ejercicio Nº4: Calcular el K. final, para una inversión inicial de $150.000. La tasa de interés de mercado asciende a 15% anual. Su duración es de un año.Co = $150.000.- i = 15% (0,1) n = 1 año

Luego: Co x (1 + n x i) = 150.000 x (1 + 1 x 0,15)

Por lo tanto: Cn = $172.500.-

Ejercicio Nº5: Calcular la tasa de interés simple, proporcional mensual, equivalente a la tasa del 9% de interés anual.

Im = 9 x 1 = 0,0075; lo que implica un 0,75%.- 12 100

Ejercicio Nº6: Calcular el Interés Simple (IR), que produce un Capital de $10.000.000 en 4 años, al 6% de interés anual.Co = $10.000.000.- n = 4 i = 6% anual (0,06)Luego: Cn = 10.000.000 x (1 + 4 x 0,06) = $12.400.000.-

Por lo tanto: IR = Cn – Co = $2.400.000.-

Ejercicio Nº7: Qué suma debe ser invertida, al 9% de interés anual, para tener $2.000.000 dentro de 8 meses?.

Cn = $2.000.000.- Luego: 2.000.000 = Co x (1+0,06) n = 8 meses Co = 2.000.000.- i = 9% anual (0,09) 1,06i 8meses= 9 x 8 = 6% (0,06). Por lo tanto: Co = $1.886.792,5 12

Ejercicio Nº8: Calcular el K. final, al 10% de interés simple anual, durante 6 años, de una Inversión de $800.000.-Co = $800.000.- n = 6 i = 10% anual (0,10)Luego: Cn = 800.000 x (1 + 6 x 0,10) = $1.280.000.-

Cálculo de la Tasa ó Tipo de interés simple

La fórmula del Interés Total es: IR = Co x n x iDespejando i, tenemos:

i = ..IR__ Co x n

Ejercicio Nº9: Determinar la Tasa de interés anual, sobre un capital de $250.000, durante un año; para que produzca un K. final de $272.000.-

Co = $250.000.- Luego: IR = Cn – Co = 22.000.-

Cn = $272.000.- Es decir; i = 22.000___ = 0,088; osea: 8,8 % anual 250.000 x 1

Cálculo del Tiempo (en Reg. Simple)

Formulación: n = IR__ Co x i

Ejercicio Nº10: Determinar el tiempo que ha estado colocado un Capital; sabiendo que el K. Final es de $110.000.- Los intereses ascienden a $10.000. La Tasa de interés es del 5% anual.

Cn = $110.000.-IR = $10.000.-Luego: Co = Cn – IR = $100.000.- Por lo tanto: n= 10.000______ = 2 años 100.000 x 0,05

n = 2 años

Régimen de Capitalización Compuesto

Se caracteriza porque los intereses generados en cada período se agregan al capital, para el cálculo de los intereses correspondiente al siguiente período.En una operación financiera a interés compuesto, el capital (K) aumenta en cada final de período; por adición de los intereses vencidos a la tasa convenida.

Cálculo del Capital Final (Cn)

Conceptos básicos:1.- Período de capitalización: “Se refiere al intervalo de tiempo convenido en la obligación, para capitalizar los intereses”.2.- Tasa de interés compuesto: “Es el interés fijado por período de capitalización”.3.- Monto final de un capital a interés compuesto: “Es el valor del capital final ó capital acumulado, después de sucesivas adiciones de intereses”.

Ejemplo:Sea una deuda de $1.000 a 5 años plazo; la cual es convenida al tipo de interés del 10% con capitalización anual. Esto significa que al final de cada año, los intereses deben capitalizarse.Para determinar el valor final de un capital inicial Co, transcurridos n años, con una tasa de interés anual i; deben calcularse los sucesivos capitales finales de cada año.Es decir: - Al final del 1º año: C1 = Co x (1+i) 2- Al final del 2º año: C2 = Co x (1+i) x (1+i) = Co x (1 + i) n- Al final del n año: Cn = Co x (1+i)

Por lo tanto, volviendo al Ejemplo:

Nº Períodos K inicio período intereses período K final período 1 1.000,0 100,00 1.100,00 2 1.100,0 110,00 1.210,00 3 1.210,0 121,00 1.331,00 4 1.331,0 133,10 1.464,10 5 1.464,1 146,41 1.610,51

n

Si aplicamos la fórmula: Cn = Co x (1+i) ; Tenemos: 5C5 = 1.000 x (1+0,1) = 1.610,51

Ejercicio Nº11: Calcular el K. final, sabiendo que el K. inicial es de $500.000; para un período de duración de 2 años, aplicando una tasa de interés del mercado del 11% anual.

Co = $500.000.- n = 2 i = 11% (0,11) Luego, aplicando la fórmula, tendremos: 2C2 = 500.000 x (1+0,11) = $616.050.-

Ejercicio Nº12: Un Banco ofrece la tasa del 10% de interés anual, para depósitos en una cuenta de ahorro.Calcular el valor de un depósito de $1.000.000 al cabo de 10 años.

Co = $1.000.000.- n = 10 i = 10% (0,10) Luego, aplicando la fórmula, tendremos: 10Cn= 1.000.000 x (1+0,10) = $2.593.742,5.-

Cálculo del Capital Inicial (Co) nPartiendo de la fórmula: Cn = Co x (1+i) ; tenemos:

Co = Cn__ n (1+i)

Ejercicio Nº13: Calcular el K. inicial, al 12% de interés anual, durante 4 años; siendo el K. final de $890.000.-Cn = 890.000.- n = 4 i = 12% (0,12) 4 Por lo tanto: Co = 890.000/ (1+0,12) = $565.611,1

Cálculo del Tipo ó Tasa de Interés (i) nPartiendo de la fórmula: Cn = Co x (1+i) ; tenemos: n 1/n Cn = (1+i). Despejando i; tenemos: i = (Cn/Co) - 1 Co

Ejercicio Nº14: Determinar el interés anual, al que ha estado depositado un K. de $490.000; si al cabo de 6 años el K. final será de $821.779,05.-Cn = 821.779,05Co = 490.000.- n = 6 1/6Por lo tanto: i = (821.779,05/490.000) - 1 = 0,09 => 9% anual.

Cálculo de K. final ó inicial; con capitalización periódica “Esta se aplica cuando la capitalización es distinta un año; principalmente cuando es menor a un año”.Sea m= el número de períodos que tiene un año. nK. final => Cn = Co x (1+i) Con capitalización anual. mxnK. final => Cn = Co x (1 + i/m)

El K. inicial se obtiene despejando Co.

Si la capitalización es:Anual => m = 1Semestral => m = 1Cuatrimestral => m = 3Trimestral => m = 4Bimestral => m = 6Mensual => m = 12Quincenal => m = 24

Ejercicio Nº15: Calcular el monto al cabo de 40 años de una deuda de $4.000, al 9% de interés anual, con capitalización Bimensual.Co = 4.000 n = 40 m = 6 6 x 40Por lo tanto: Cn = 4.000 x (1 + 0,09/6) => Cn = $142.531,26

Ejercicio Nº16: Calcular el K. final producido por un depósito de $1.000.000; al 12% anual durante 2 años, con capitalización mensual.

Co = 1.000.000.- n = 2 m = 12 2 x 12Por lo tanto: Cn = 1.000.000 x (1 + 0,12/12) => Cn = $1.269734,65

Ejercicio Nº17: Calcular el K. final producido por $1.000.000 durante un año, capitalizando quincenalmente, y sabiendo que el interés anual es del 12%.

Co = 1.000.000.- n = 1 m = 24 1 x 24Por lo tanto: Cn = 1.000.000 x (1 + 0,12/24) => Cn = 1.127.159,78

Ejercicio Nº18: Qué Banco es más conveniente, para depositar dineros en una cuenta de ahorro: el Banco “A” que ofrece un 7% anual con capitalización trimestral; ó el Banco “B” que ofrece un 7,25% anual con capitalización semestral?. 1 x 4Banco “A”: Cn = 1 x (1 + 0,07/4) = 1,0719 – 1 = 0,0719 => 7,19% 1 x 2 Banco “B” : Cn = 1 x (1 + 0,0725/2) = 1,0738 - 1 = 0,0738 => 7,38%

Conviene el Banco “B”.

Ejercicio Nº19: Una persona obtiene un préstamo por $30.000 a 5 años plazo, con una tasa de interés del 8% anual, con capitalización semestral. Calcular el monto que debe cancelar a la fecha de vencimiento.Co = $30.000.- i = 8% anual, => (0,08) n = 5 m = 2

Por lo tanto, utilizando la fórmula, tenemos: 2 x 5Cn = 30.000 x (1 + 0,08/2) = $44.407,33

Ejercicio Nº20: Calcular el K. inicial, de un K. final de $5.000.000; en 5 años más, a una tasa del 6% anual, con capitalización quincenal.Cn = $5.000.000.- n = 5 m = 24Por lo tanto: -(24 x 5) Co = 5.000.000 x (1 + 0,06/24) = $3.705.478,09

Tasa Nominal y Tasa Efectiva Real Tasa Nominal: “Es aquella tasa de interés anual convenida inicialmente para una operación financiera”

Tasa Real o Efectiva: “Es aquella tasa de interés que realmente se aplica sobre el capital (K) de la operación financiera”.

Ejemplo: Si se presta un K de $100, al 8% de interés anual, con capitalización trimestral; el 8% es la Tasa Nominal.La Tasa Real o Efectiva será aquella que resulte, adicionando los intereses que corresponden a los períodos inferiores a un año. m x n 4 x 1Siendo, Cn = Co x (1 + i/m) ; tenemos: Cn = 100 x (1 + 0,08/4) Por lo tanto: Cn = 108,24. Esto => que la Tasa Real = 8,24%. Es decir, mayor que la Tasa Nominal.

Valor Actual y Valor Futuro (Explicar Gráfico en clases)

Valor Actual ó Presente: “El Valor Actual (V.A.) de un dinero que se recibiría en el futuro, es aquel capital que a interés compuesto tendrá un monto equivalente a la suma de los dineros, que se recibiría en la fecha futura convenida”.

Asimilaremos como: Co = Valor Actual y Cn = Valor Futuro (V.F.). m x n m x nV.A. = V.F./ (1+i/m) y V.F. = V.A. x (1 + i/m) m x nEl factor (1+i/m) es el Deflactor que se utilizará para la actualización de un monto que se recibiría en el futuro; ó el Inflactor sirve para llevar hacia el futuro un monto equivalente, recibido en el presente.

Ejercicio Nº21: Hallar el V.A. de $5.000.000 pagaderos a 5 años, a la tasa de 6% de interés anual, capitalizables trimestralmente.Cn = 5.000.000.- n = 5 i = 6% anual (0,06) m = 4 4 x 5 Por lo tanto: V.A. = 5.000.000 / (1 + 0,06/4) = $3.712.352,09

Ejercicio Nº22: Cuánto debe invertirse hoy, al 9% de interés anual, con capitalización semestral, para obtener $600.000 dentro de 10 años?.Cn = 600.000.- i = 9% anual => (0,09) n = 10 m = 2 -(2 x 10)Por lo tanto: Co = 600.000 x (1 + 0,09/2) = $248.785,72

Ejercicio Nº23: A qué valor de Contado (V.A.), equivale una oferta de $120.000.000 pagaderos dentro de 10 años más, por un bien raíz, si las inversiones en el país rentan el 10% anual, capitalizables trimestralmente.? Cn = 120.000.000.- i = 10% anual => (0,10) n = 10 m = 4 -(4 x 10)Por lo tanto: Co = 120.000.000 x (1 + 0,10/4) = $44.691.674,84

Ejercicio Nº24: Qué oferta es más conveniente para la venta de una casa:

a) M$ 90.000 Contado.b) M$40.000 Contado; y el saldo en tres cheques iguales por

M$20.000; a 1; 2 y 3 años, respectivamente; siendo el rendimiento del dinero del 8% anual, capitalizable semestralmente.

Respuesta:b) V.A. = M$91.393,5

Por lo tanto; Conviene vender la casa, acorde la alternativa b).

ANUALIDADES

Concepto: “Una Anualidad se define como una serie de pagos de monto fijo, por un número específico de años ó períodos”.Cada pago ocurre al final de cada período.

Formulación: Se presentarán las fórmulas de la anualidad, considerando el Valor Actual y el Valor futuro.El Alumno deberá navegar fluidamente a través del tiempo, conociendo parámetros de anualidad, valor actual o valor futuro.

Considerando el Valor Actual: n na = V.A. x i(1+i) / ((1+i) – 1) Por lo tanto: n nV.A. = a((1+i) – 1) / i(1+i)

Considerando el Valor Futuro: na = V.F. x i / ((1+i) – 1) Por lo tanto: n V.F. = a((1+i) – 1) / i

Siendo:a = Anualidadi = Tasa de interés anual ó del período.V.A. = Es el valor presente de las anualidades.V.F. = Es el valor futuro de las anualidades.

Cuando se obtienen los valores, considerando períodos menores a un año, se utiliza en la formulación el parámetro “m” que define cuántos períodos tiene un año. Así mismo, el interés a aplicar debe corresponder al del período en cuestión, y no al interés anual, a no ser que la capitalización sea anual.

Cuando la Anualidades son montos diferentes, tanto el Valor Actual como el Valor Futuro, deben calcularse separadamente, multiplicando por el factor de interés respectivo; y luego sumando los valores netos.No se puede aplicar en estos casos la fórmula de la Anualidad.

Factores que intervienen en una Anualidad

1.- Renta: Es el valor de cada pago periódico.2.- Período de Pago: Tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos.3.- Plazo de una Anualidad: Es el intervalo de tiempo entre el 1º pago y el último período de pago.4.- Renta Anual: Se refiere a la sumatoria de Pagos en un año.5.- Tasa de una Anualidad: Tipo de interés que se fija para un año ó período.

Ejercicio Nº25: Se promete pagar $1.000 al año, durante 3 años. Si la tasa de interés anual fuese del 10%. Cuál sería el Valor Futuro al final de estos tres años?. Use capitalización anual.

a = 1.000 i = 10% anual => (0,10)n = 3Por lo tanto, aplicando la fórmula respectiva tenemos: 3V.F. = 1.000 x ((1+0,10) – 1) / 0,10 = $3.310.-

Ejercicio Nº26: Suponga que existen pagos anuales por $300 al final del 1º año; $100 al final del 2º año; y $200 al final del 3º año.Cuál sería el Valor Actual de dicho de pagos anuales, si el factor de actualización es del 10% anual?.

La solución a este Ejercicio, no puede realizarse a través de la formulación de Anualidades. Debe hacerse en forma separado, cada uno de los distintos pagos anuales.

Período Pagos Factor Actualización Valor Actual Pago1 300 0,9091 272,732 100 0,8264 82,643 200 0,7513 150,26Suma Valor Actual de todos los Pagos $505,63

Ejercicio Nº27: Una persona que viaja fuera del país, deja una propiedad en arriendo por 5 años; con la condición que se cancele $900.000 por trimestre vencido, los cuales serán consignados en una Libreta de Ahorros que paga el 8% de interés anual.Hallar el Valor al final de los 5 años y el valor actual del Contrato. a = $900.000.-i = 8% anual =>(0,08)n = 5m=4

Utilizando la fórmula respectiva, tenemos: 4x5V.F. = 900.000 x ((1+0,08/4) – 1) / (0,08/4) = $21.867.632,82

4x5 4x5V.A = 900.000 x ((1+0,08/4) – 1) / (0,08/4)(1+0,08/4) = $14.716.290,01

Ejercicio Nº28:Un Ingeniero Chileno se fue a Brasil a dirigir las operaciones en la “Represa de Itaipú”, una de las empresas de generación eléctrica más grande de América Latina, por un periodo de 10 años. El dejó en arriendo su propiedad ubicada en Santiago, en un valor de $200.000 por los primeros cinco años, que se cancelarían por periodo vencido. Estos valores serían consignados en un instrumento de renta fija que paga el 12% de interés anual.La renta mensual por los siguientes 5 años sería de $300.000; hasta el décimo año; también por periodo vencido.Calcular:

a) El Valor Actual de los flujos mensuales. b) El Valor Futuro, es decir, al término de los 10 años. c) Si la capitalización en todos los periodos fuese bimestral, cuál sería

el Valor Actual y el Valor Futuro?. Cuál capitalización es más conveniente?.

Resultados:

a) VATot.=$8.991.007,7 + 7.423.645,1 = $16.414.652,8

b) VFTot.= $54.174.705,0

c) VATot.= $8.958.582,2 + 7.418.658,7 = $16.377.240,9 VF: = $53.734.231,6

Conviene la Capitalización mensual.

Técnicas de Evaluación Económica de Proyectos

Frente a las limitaciones de los métodos que no consideran el valor del dinero en el tiempo, se presentan dos (2) alternativas: El Valor Actual Neto (V.A.N.); y la Tasa Interna de Retorno (T.I.R.).

Valor Actual Neto (V.A.N.): “Es el valor actualizado de los flujos netos nominales esperados (F.N.N.), descontados a un costo de capital o tasa de descuento; al cual se le sustrae el desembolso o inversión inicial del proyecto”.

Tasa Interna de Retorno (T.I.R.): “Es la tasa de interés o de descuento que iguala el valor actualizado de los flujos netos nominales futuros, con la inversión inicial”. Es decir, el F.N.A. = Inversión Inicial. En consecuencia, el VAN = 0.

La Evaluación de un Proyecto debe ser lo más realista posible para que tenga validez. Solo así podrá compararse el sacrificio de consumo presente, con los mayores ingresos futuros esperados.En consecuencia, es preciso incorporar las ganancias y pérdidas derivadas por el efecto de la Inflación sobre los Flujos de Caja.

Criterios de Decisión para Aceptar un Proyecto:

1.- De acuerdo al VAN:

a) Si el VAN > 0 => Se acepta el Proyecto.

b) Si el VAN < 0 => Se rechaza el Proyecto.

c) Si el VAN = 0 => Indiferencia.

2.- De acuerdo a la TIR:

a) Si la TIR > Tasa Descto. => Se acepta el Proyecto.

b) Si la TIR < Tasa Descto. => Se rechaza el Proyecto.

c) Si la TIR = Tasa Descto. => Indiferencia.

Rancagua, Agosto de 2013.