Ejercicios de Matemáticas Financieras Para · PDF fileEjercicios de Matemáticas...

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  • 555

    ANEXO 5

    Ejercicios de Matemticas Financieras

    Para desarrollar en clase

    Instructor:

    Dr. Arturo Garca Santilln

    Aportacin del equipo conformado por:

    Aguilar Carmona Denisse Barradas Garca Edna A. Coria Kavanagh Marisol Tern Gutirrez Irma E.

  • 556

    GRADIENTES

    Se refiere a una serie abonos o pagos que aumentan o disminuyen (en $ o %), sea para liquidar una deuda o en su defecto para acumular un determinado fondo de ahorro que puede ser a corto, mediano o largo plazo, incluso a perpetuidad.

    La cantidad constante de aumento de aumento o disminucin

    recibe el nombre de gradiente y la cantidad usada como inicio de

    la serie recibe el nombre de cantidad base o simplemente base.

    Se consideran tres tipos de gradientes:

    Gradiente Aritmtico

    Gradiente Geomtrico

    Gradiente Aritmtico- Geomtrico

  • 557

    GRADIENTES ARITMTICOS El gradiente aritmtico (Ga) o uniforme es una serie de cuotas peridicas o flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en la misma cantidad entre cada periodo. A esto se le llama gradiente aritmtico. PROBLEMA 1.- Juan Carlos pide prestada cierta cantidad de dinero y firma un contrato-pagar en el que se estipula la obligacin de pagar en un ao con pagos mensuales vencidos y una tasa del inters del 30% anual con capitalizacin mensual. Si el primer pago mensual es por $1,300.00 y los pagos sucesivos aumentaran $200.00 cada mes, encuentre la cantidad de dinero que Juan Carlos pidi prestada.

    VALOR FUTURO Los pagos forman una sucesin aritmtica, en donde la cantidad base es $1,300.00 y el gradiente es igual a $200.00. Datos: RP=$1,300.00 Ga=$200.00 n=12 i=30% anual =30/12=2.5% mensual

    Anualidad

    vencida

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Monto del

    conjunto

    1,300 1,500 1,700 1,900 2,100 2,300 2,500 2,700 2,900.. Sucesivamente hasta 3,500

  • 558

    ( ) [( )

    ]

    Sustitucin de Valores en la Formula:

    (

    ) *( )

    +

    ( ) *( )

    +

    ( ) [

    ]

    ( ) [

    ]

    ( )[ ]

    VALOR ACTUAL Datos: RP=$1,300.00 Ga=$200.00 n=12 i=30% anual =30/12=2.5% mensual

    [( ) [( )

    ] ] ( )

    *(

    ) *( )

    +

    + ( )

    *( ) *( )

    +

    + ( )

    [( ) [

    ] ] ( )

  • 559

    [( ) [

    ] ] ( )

    [( )[ ] ]( )

    [ ]( )

    ( )( )

    Problema 2.- El seor Martnez desea conocer el importe total de unos equipos de cmputo que

    pagara en 6 pagos, siendo el primer depsito de $80,000 y que cada mes crecen en

    forma aritmtica si se realiza a una tasa de inters del 24%

    capitalizable mensualmente. Cul ser el monto final del seor Martnez?

    VALOR FUTURO

    Datos:

    i/m = 0.02( tasa de inters capitalizable en m periodos por ao)

    Anualidad

    vencida

    1 2 3 4 5 6

    Monto del

    conjunto

    80,000 80,200 80,400 80,600 80,800 81,000

  • 560

    Para resolverlo se ocupa la frmula del Monto de un conjunto de rentas variables

    vencidas con gradiente aritmtico, la cual es la siguiente:

    ( ) [( )

    ]

    As tenemos:

    (

    ) [( )

    ]

    (

    ) *( )

    +

    ( ) [( )

    ]

    ( )[ ]

    VALOR ACTUAL

    Datos:

    i/m =0.02(tasa de inters capitalizable en m periodos por ao)

    [( ) [( )

    ] ] ( )

    [(

    ) [( )

    ]

    ]( )

  • 561

    *(

    ) *( )

    +

    + ( )

    *( ) *( )

    +

    + ( )

    [( )[ ] ]( )

    [ ]( )

    PROBLEMA 3.-

    Ricky Rincn desea conocer el monto de 30 cuotas vencidas, las que crecen en forma aritmtica a razn Ga=$1,500.00; con una tasa nominal del 35% capitalizable mensualmente, con pagos de $4,200.00. Cul sera el monto de esas cuotas al terminar el plazo?

    Anualidad

    vencida

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 30

    Monto

    del

    conjunto

    4,200 5,700 7,200 8,700 10,200 11,700 13,200 14,700 16,200.. Sucesivamente hasta 47,700

  • 562

    VALOR FUTURO

    Datos:

    n = 30 mensualidades Mga=?

    i= 35% nominal con cap. mensual Rp=$4,200.00 ga = $1,500.00

    1

    (1 / ) 1 *( )

    / / /

    nga i m n gaMga Rp

    i m i m i m

    30$1,500.00 (1 .35/12) 1 30 *$1,500.00($4,200.00 )

    .35/12 .35/12 .35/12Mga

    30$1,500.00 (1 .029166666) 1 $45,000.00($4,200.00 )

    .029166666 .029166666 .029166666Mga

    30(1.029166666) 1($4,200.00 $51,428.5726) $1,542,857.178

    .029166666Mga

    1.369034242($4,200.00 $51,428.5726) $1,542,857.178

    .029166666Mga

    $55,628.5726 46.93831794 $1,542,857.178Mga

    $2,611,111.627 $1,542,857.178Mga

    $1,068,254.449Mga

    VALOR ACTUAL

    Datos: n = 30 mensualidades Mga= $1068,254.45

    i= 35% nominal con cap. mensual Rp=$4,200.00 ga = $1,500.00

  • 563

    1

    (1 / ) 1 *( ) (1 / )

    / / /

    nnga i m n gaVA Rp i m

    i m i m i m

    (1 / )

    nVA Mga i m

    3030$1,500.00 (1 .35/12) 1 30*$1,500.00($4,200.00 ) (1 .35/12)

    .35/12 .35/12 .35/12VA

    301.369034242 $45,000.00($4,200.00 $51,428.5726) (1.029166666).029166666 .029166666

    VA

    30($55,628.5726) 46.93831794 $1,542,857.18 (1.029166666)VA

    $2,611,111.63 $1,542,857.18 (.422112936)VA

    $1,068,254.45 (.422112936)VA

    $450,924.02VA

    PROBLEMA 4.-

    La compaa Alfa & Omega, S.A. pide un prstamo y para ello firma un contrato con su

    respectivo pagare en el que se estipula la obligacin de pagar en 10 meses con pagos

    mensuales vencidos y una tasa de inters del 20% anual con capitalizacin mensual. Si

    el primer pago mensual es de $35,000 y los pagos sucesivos aumentarn $600.00 cada

    mes, encuentre la cantidad de dinero que la compaa Alfa &Omega pagar.

    Anualidad

    vencida

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Monto

    del

    conjunto

    $35,000.00 35,600 36,200 36,800 37,400 38,000 38,600... Sucesivamente hasta

  • 564

    VALOR FUTURO

    Datos:

    RP1: $35,000.00

    Ga: $600.00

    n: 10

    i/m: 20% capitalizable: .20/12: .016666

    ( ) [( )

    ]

    ( (

    )) [

    ]

    ( ) *

    +

    [ ]

    VALOR ACTUAL

    Datos:

    RP: $35,000.00

    Ga: $600.00

    n: 10

    i/m: 20% capitalizable: .20/12: .0166666

    (

    )

    (

    )

  • 565

    [( (

    ))[

    ]

    ]

    ( )

    *( ) *

    +

    +

    ( )

    [ [ ] ] ( )

    [ ] ( )

    [ ] 0.847645847

  • 566

    GRADIENTES GEOMTRICOS

    Serie de cuotas (rentas) peridicas flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en perodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada periodo. A esto se le llama gradiente geomtrico. PROBLEMA 1.-

    Catalina Creel desea conocer el monto acumulado de una inversin de 18 mensualidades (cuotas anticipadas), las que crecen en forma aritmtica a razn Gg=4.3%; con una tasa nominal del 27% capitalizable mensualmente, siendo su primer deposito de $2,700.00 Cul sera el monto de la inversin al terminar el plazo?

    Cuotas Anticipadas (Prepagables) con Gg:

    Datos: n = 18 mensualidades Mgg=?

    i= 27% cap. mensual = 0.00225 mensual Rp=$2,700.00 Gg = 4.3%

    Depsitos a

    inicio de mes

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .. 18

    Monto del

    conjunto

    depsitos del

    fondo de

    inversin

  • 567

    (1 / )Si i m Gg

    1

    (1 / ) (1 )(1