555

ANEXO 5

Ejercicios de Matemticas Financieras

Para desarrollar en clase

Instructor:

Dr. Arturo Garca Santilln

Aportacin del equipo conformado por:

Aguilar Carmona Denisse Barradas Garca Edna A. Coria Kavanagh Marisol Tern Gutirrez Irma E.

556

GRADIENTES

Se refiere a una serie abonos o pagos que aumentan o disminuyen (en $ o %), sea para liquidar una deuda o en su defecto para acumular un determinado fondo de ahorro que puede ser a corto, mediano o largo plazo, incluso a perpetuidad.

La cantidad constante de aumento de aumento o disminucin

recibe el nombre de gradiente y la cantidad usada como inicio de

la serie recibe el nombre de cantidad base o simplemente base.

Se consideran tres tipos de gradientes:

Gradiente Aritmtico

Gradiente Geomtrico

Gradiente Aritmtico- Geomtrico

557

GRADIENTES ARITMTICOS El gradiente aritmtico (Ga) o uniforme es una serie de cuotas peridicas o flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en la misma cantidad entre cada periodo. A esto se le llama gradiente aritmtico. PROBLEMA 1.- Juan Carlos pide prestada cierta cantidad de dinero y firma un contrato-pagar en el que se estipula la obligacin de pagar en un ao con pagos mensuales vencidos y una tasa del inters del 30% anual con capitalizacin mensual. Si el primer pago mensual es por $1,300.00 y los pagos sucesivos aumentaran $200.00 cada mes, encuentre la cantidad de dinero que Juan Carlos pidi prestada.

VALOR FUTURO Los pagos forman una sucesin aritmtica, en donde la cantidad base es $1,300.00 y el gradiente es igual a $200.00. Datos: RP=$1,300.00 Ga=$200.00 n=12 i=30% anual =30/12=2.5% mensual

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Monto del

conjunto

1,300 1,500 1,700 1,900 2,100 2,300 2,500 2,700 2,900.. Sucesivamente hasta 3,500

558

( ) [( )

]

Sustitucin de Valores en la Formula:

(

) *( )

+

( ) *( )

+

( ) [

]

( ) [

]

( )[ ]

VALOR ACTUAL Datos: RP=$1,300.00 Ga=$200.00 n=12 i=30% anual =30/12=2.5% mensual

[( ) [( )

] ] ( )

*(

) *( )

+

+ ( )

*( ) *( )

+

+ ( )

[( ) [

] ] ( )

559

[( ) [

] ] ( )

[( )[ ] ]( )

[ ]( )

( )( )

Problema 2.- El seor Martnez desea conocer el importe total de unos equipos de cmputo que

pagara en 6 pagos, siendo el primer depsito de $80,000 y que cada mes crecen en

forma aritmtica si se realiza a una tasa de inters del 24%

capitalizable mensualmente. Cul ser el monto final del seor Martnez?

VALOR FUTURO

Datos:

i/m = 0.02( tasa de inters capitalizable en m periodos por ao)

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6

Monto del

conjunto

80,000 80,200 80,400 80,600 80,800 81,000

560

Para resolverlo se ocupa la frmula del Monto de un conjunto de rentas variables

vencidas con gradiente aritmtico, la cual es la siguiente:

( ) [( )

]

As tenemos:

(

) [( )

]

(

) *( )

+

( ) [( )

]

( )[ ]

VALOR ACTUAL

Datos:

i/m =0.02(tasa de inters capitalizable en m periodos por ao)

[( ) [( )

] ] ( )

[(

) [( )

]

]( )

561

*(

) *( )

+

+ ( )

*( ) *( )

+

+ ( )

[( )[ ] ]( )

[ ]( )

PROBLEMA 3.-

Ricky Rincn desea conocer el monto de 30 cuotas vencidas, las que crecen en forma aritmtica a razn Ga=$1,500.00; con una tasa nominal del 35% capitalizable mensualmente, con pagos de $4,200.00. Cul sera el monto de esas cuotas al terminar el plazo?

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 30

Monto

del

conjunto

4,200 5,700 7,200 8,700 10,200 11,700 13,200 14,700 16,200.. Sucesivamente hasta 47,700

562

VALOR FUTURO

Datos:

n = 30 mensualidades Mga=?

i= 35% nominal con cap. mensual Rp=$4,200.00 ga = $1,500.00

1

(1 / ) 1 *( )

/ / /

nga i m n gaMga Rp

i m i m i m

30$1,500.00 (1 .35/12) 1 30 *$1,500.00($4,200.00 )

.35/12 .35/12 .35/12Mga

30$1,500.00 (1 .029166666) 1 $45,000.00($4,200.00 )

.029166666 .029166666 .029166666Mga

30(1.029166666) 1($4,200.00 $51,428.5726) $1,542,857.178

.029166666Mga

1.369034242($4,200.00 $51,428.5726) $1,542,857.178

.029166666Mga

$55,628.5726 46.93831794 $1,542,857.178Mga

$2,611,111.627 $1,542,857.178Mga

$1,068,254.449Mga

VALOR ACTUAL

Datos: n = 30 mensualidades Mga= $1068,254.45

i= 35% nominal con cap. mensual Rp=$4,200.00 ga = $1,500.00

563

1

(1 / ) 1 *( ) (1 / )

/ / /

nnga i m n gaVA Rp i m

i m i m i m

(1 / )

nVA Mga i m

3030$1,500.00 (1 .35/12) 1 30*$1,500.00($4,200.00 ) (1 .35/12)

.35/12 .35/12 .35/12VA

301.369034242 $45,000.00($4,200.00 $51,428.5726) (1.029166666).029166666 .029166666

VA

30($55,628.5726) 46.93831794 $1,542,857.18 (1.029166666)VA

$2,611,111.63 $1,542,857.18 (.422112936)VA

$1,068,254.45 (.422112936)VA

$450,924.02VA

PROBLEMA 4.-

La compaa Alfa & Omega, S.A. pide un prstamo y para ello firma un contrato con su

respectivo pagare en el que se estipula la obligacin de pagar en 10 meses con pagos

mensuales vencidos y una tasa de inters del 20% anual con capitalizacin mensual. Si

el primer pago mensual es de $35,000 y los pagos sucesivos aumentarn $600.00 cada

mes, encuentre la cantidad de dinero que la compaa Alfa &Omega pagar.

Anualidad

vencida

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Monto

del

conjunto

$35,000.00 35,600 36,200 36,800 37,400 38,000 38,600... Sucesivamente hasta

564

VALOR FUTURO

Datos:

RP1: $35,000.00

Ga: $600.00

n: 10

i/m: 20% capitalizable: .20/12: .016666

( ) [( )

]

( (

)) [

]

( ) *

+

[ ]

VALOR ACTUAL

Datos:

RP: $35,000.00

Ga: $600.00

n: 10

i/m: 20% capitalizable: .20/12: .0166666

(

)

(

)

565

[( (

))[

]

]

( )

*( ) *

+

+

( )

[ [ ] ] ( )

[ ] ( )

[ ] 0.847645847

566

GRADIENTES GEOMTRICOS

Serie de cuotas (rentas) peridicas flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en perodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada periodo. A esto se le llama gradiente geomtrico. PROBLEMA 1.-

Catalina Creel desea conocer el monto acumulado de una inversin de 18 mensualidades (cuotas anticipadas), las que crecen en forma aritmtica a razn Gg=4.3%; con una tasa nominal del 27% capitalizable mensualmente, siendo su primer deposito de $2,700.00 Cul sera el monto de la inversin al terminar el plazo?

Cuotas Anticipadas (Prepagables) con Gg:

Datos: n = 18 mensualidades Mgg=?

i= 27% cap. mensual = 0.00225 mensual Rp=$2,700.00 Gg = 4.3%

Depsitos a

inicio de mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .. 18

Monto del

conjunto

depsitos del

fondo de

inversin

567

(1 / )Si i m Gg

1

(1 / ) (1 )(1