MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS. Interés y Tasas de Interés. Alvaro Hernán Sarria. Interés y Tasas de interés. Definición El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero. - PowerPoint PPT Presentation

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  • MATEMTICAS FINANCIERAS

  • Inters y Tasas de Inters

    Alvaro Hernn Sarria

  • Inters y Tasas de intersDefinicinEl rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.

    Como importe de alquiler que es, el inters debe referirse a perodos de tiempo y segn el capital comprometido.

    La expresin porcentual del inters se denomina TASA DE INTERES.

  • Modalidades de IntersCuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulacin:

    Inters Simple los intereses se acumulan en una cuenta aparte.Inters Compuesto los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar ms intereses una vez capitalizados.

    El inters compuesto capitaliza los intereses mientras que el simple no lo hace.

  • Inters SimpleCapital principal =$100,000,000Tiempo =6 mesesTasa de inters =2% mensual

    MesCapitalInicial ($)Intereses generados ($)Capital final ($)Intereses acumulados ($)1100,000,0002,000,000100,000,0002,000,0002100,000,0002,000,000100,000,0004,000,0003100,000,0002,000,000100,000,0006,000,0004100,000,0002,000,000100,000,0008,000,0005100,000,0002,000,000100,000,00010,000,0006100,000,0002,000,000100,000,00012,000,000Final en cuentas100,000,00012,000,000Total por cancelar112,000,000

  • Inters CompuestoCapital principal =$100,000,000Tiempo =6 mesesTasa de inters =2% mensual

    MesCapitalInicial ($)Intereses generados ($)Capital final ($)Intereses acumulados ($)1100,000,0002,000,000102,000,0002102,000,0002,040,000104,040,0003104,040,0002,080,800106,120,8004106,120,8002,122,416108,243,2165108,243,2162,164,864110,408,0806110,408,0802,208,162112,616,242Total por cancelar112,616,242

  • Inters Simple - FrmulasMonto de Intereses

    I = P * i * tdonde:I:Monto de inters ($)P:Monto de capital principal ($)i:Tasa de inters por perodo (%)t: Nmero de perodos (das, meses, aos, etc.)

  • Ejemplo:

    Calcular el monto de inters que paga un prstamo de $500,000 al 1.5% mensual por 18 meses:

    Capital:$500,000Tasa de inters:1.5% = 0.015Tiempo:18 meses

    I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000Inters Simple - Frmulas

  • Relacin entre valor presente y valor futuroVF = P + I VF = P + P*i*t = P (1 + i * t)

    Ejemplo:Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un prstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple.I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000VF = $500,000 + $135,000 = $635,000 oVF = $500,000 * (1 + 0.015 * 18) = $635,000Inters Simple - Frmulas

  • Relacin entre valor presente y valor futuroVP = F / (1 + i * t)

    Ejemplo:Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3,000,000 dentro de 18 meses si el inters pactado es del 3% mensual:

    VP = $3,000,000 / (1 + 0.03 * 18) = $1,948,052

    Inters Simple - Frmulas

  • Clculo de Tasa de Intersi = (VF/P -1)/t

    Ejemplo:Calcule la tasa de inters mensual que se aplica a un prstamo de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses:

    i = ($3,000,000/ $1,948,052 1)/18 = 0.03 = 3% mensualInters Simple - Frmulas

  • Clculo de Tiempot = (VF/P -1)/i

    Ejemplo:Calcule el tiempo necesario para que una deuda de $1,948,052 de convierta en $3,000,000 al 3% mensual:

    t = ($3,000,000/ $1,948,052 1)/0.03 = 18 mesesInters Simple - Frmulas

  • Equivalencia de tasas:

    Tasa nominal o anual (in) = ip*nDonde n el nmero de perodos en un ao.

    Igualmente, Tasa peridica (ip) = in/n Inters Simple - Frmulas

  • Relacin entre valor presente y valor futuro

    Inters CompuestoVFn = P(1+i)n

    PerodoCapital al inicio del perodoInters del perodoCapital al final del perodo1PP*iP + P*i = P(1+i)2P(1+i)P(1+i)iP(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i)23P(1+i)2P(1+i)2iP(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)2(1+i)=P(1+i)3**nP(1+i)n-1P(1+i)n-1iP(1+i)n-1+P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n

  • Ejemplo:Un depsito de $5,000,000 se mantiene por cuatro aos en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece una tasa de inters del 1.5% mensual. Cunto se retira al final de los cuatro aos?

    VF = $5,000,000*(1+0.015)4*12VF = $10,217,391Inters Compuesto

  • Similarmente:VP = F / (1 + i)n

    Ejemplo:Cunto debo invertir en la misma fiducia anterior si quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)?

    VP=$1,000,000/(1.015)12=$836,387.42Inters Compuesto

  • Similarmente, despejando para ii = (F / P)1/n 1

    Ejemplo:Qu tasa de inters mensual triplica una inversin en un ao?

    i = (3P / P)1/12 1 = 31/12 1 = 0.0959 = 9.59% mensualInters Compuesto

  • Finalmente despejando para nn = log(F / P) / log(1 + i)

    Ejemplo:En cuanto tiempo se triplica una inversin al 3% mensual?

    n = log(3P/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03) = 37.17 mesesInters Compuesto

  • Inters CompuestoFlujos de Fondos MltiplesHasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo de fondos. En la vida real generalmente son flujos mltiples:

    FF001234nFF1FF2FFnFF3FF4

  • Inters CompuestoFlujos de Fondos MltiplesClculo de valor presente:

    VP01234nFF1FF2FFnFF3FF4

  • Inters CompuestoFlujos de Fondos MltiplesClculo de valor futuro:

    01234nFF1FF2VFFF3FF4

  • Ejemplo Flujos Mltiples:Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos en Enero, Marzo y Abril (ltimo da del mes) por valor de $5, $7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para poder cubrir las cuotas si su inversin renta 2.5% mensual?

    Inters CompuestoVP = $22.25 MM

    VP01234125712

  • Ejemplo Flujos Mltiples:Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50 millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un ao. Si la inversin le da el 3% mensual, cunto tendr para su viaje?

    Inters CompuestoVF = $223.86 MM

    VF012341230405050

  • Como caso especial de lo anterior que pasa cuando los flujos son todos iguales:Inters Compuesto

    VP0123n-1nAAAAAA

  • Inters Compuesto

  • Despejando de la ecuacin anterior podemos encontrar la formula para A (alicuota)

    para futuros, como VFn=P(1+i)n Inters Compuesto

  • Si usted compra un automvil de $40,000,000 con una cuota inicial del 20%, con el saldo a 60 meses al 1% mensual, cul es el monto de las cuotas mensuales?

    P = $40,000,000 menos la cuota inicial = $32,000,000i = 1% mensualn = 60 mesesA (cuota) = Inters Compuesto

  • Si ahorra mensualmente $700,000 en una corporacin que le ofrece un rendimiento mensual del 0.7%, cunto tendr en dos aos?

    A = $700,000i = 0.7% mensualn = 24 mesesF = A((1+i)n 1)/i =Inters Compuesto

  • Estudiemos ahora el caso cuando los flujos aumentan en un porcentaje cada perodo. Se le llama gradiente geomtrico.

    Inters Compuesto

    12345nBB(1+j)b(1+j)2b(1+j)3b(1+j)4b(1+j)n-1

  • Inters Compuesto

  • Ejemplo:Calcular el valor del prstamo cuya primera cuota es de $100,000 que aumenta en un 1% mensual y que tiene como tasa de inters 2% mensual a 12 meses.B = 100,000; i = 0.02; j = 0.01; n = 12

    VP = B/(j-i) * {[(1+j)/(1+i)]n-1} VP = 100,000/(0.01-0.02)*{[(1+0.01)/(1+0.02)]n -1}VP = $1,115,062

    Inters Compuesto

  • En el caso de proyectos que no tienen caducidad, el tiempo podra ser infinito por lo cual se requiere saber el valor presente de una serie infinita de flujos. En principio supongamos que dichos flujos son iguales:Inters Compuesto

  • Cul es el valor presente del costo de mantenimiento y actualizacin ($4,000,000 anuales) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usar indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual?

    VP = A/i = $4,000,000 / 0.15 = $26,666,667Inters Compuesto

  • Igualmente, se puede aplicar la teora a gradientes geomtricos infinitos. Inters Compuesto

  • Igualmente, se puede aplicar la teora a gradientes geomtricos infinitos. Inters Compuesto

  • Cul es el valor presente del costo de mantenimiento ($4,000,000 anuales que sube con el IPC anualmente) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usar indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? Suponga un IPC del 4,5%.

    VP = B/(i-j) = $4,000,000 / (0.15-0.045) = $38,095,238Inters Compuesto

  • Plazo MuertoPeriodo en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses pero si se toma en cuenta el tiempo transcurrido del plazo muerto dentro del plazo total del prstamo.

    Inters Compuesto

  • Periodo de GraciaPerodo en el cual no se hacen pagos pero s se contabilizan intereses. Igualmente el tiempo transcurrido de gracia cuenta en el tiempo total.

    Inters Compuesto

  • AmortizacinFrmulas:INTt = SIt * iABt = Ct INTtSFt = SIt ABt SIt+1 = SFt donde:INTt = Monto de los intereses del perodo tABt = Abono a capital perodo tCt = Monto de pago o cuota perodo tSIt = Saldo inicial del perodo tSFt = Saldo final del perodo ti = Tasa de inters a aplicar en cada perodo

  • Ejemplo en Excel (alicuota):

    Amortizacin

    P100,000,000i30%n5

    PeriodoSaldo iniinteresescapitalcuotasaldo fin1100,000,00030,000,00011,058,15541,058,15588,941,845288,941,84526,682,55414,375,60141,058,15574,566,244374,566,24422,369,87318,688,28241,058,15555,877,962455,877,96216,763,38924,294,76641,058,15531,583,196531,583,1969,474,95931,583,19641,058,1550

  • Ejemplo en Excel (gradiente geomtrico):

    Amortizacin

    P100,000,000i30%j10%n5

    PeriodoSaldo iniinteresescapitalcuotasaldo fin1100,000,00030,000,0005,320,53535,320,53594,679,465294,679,46528,403,83910,448,75038,852,5