Matemáticas Financieras y Analíticos

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Matemticas Financieras y Analticos Objetivos:En este mdulo se aprender sobre los siguientes conceptos: Los principios de la valuacin de bonosEl concepto de Yield to MaturityPor qu existe el riesgo de reinversin?Cmo se pueden calcular los pagos de cupn y sus intereses acumulados?Valuacin de bonos entre cuponesAnlisis de Rendimiento TotalBootstraping de tasas cero a partir de una curva SpotClculo de tasas forward spot a partir de la curva spotArbitraje a partir de StripsArbitraje con Bonos Introduccin a la valuacin de BonosEn la primera seccin de este mdulo, se examinar la forma en que se valan los bonos, cubriendo:Principios bsicos sobre la valuacin de bonos.Yield to MaturityRelacin entre el precio de un bono y tasa de inters.Relacin entre el precio de un bono y su plazo.Problema de reinversin de cupones y riesgo de reinversin.Forma de clculo de cupones bajo diferentes convenciones de fechas.Precio sucio y precio limpio de los bonos. Principios sobre la valuacin de un BonoEl diagrama muestra los flujos de efectivo que genera la inversin en un bono.Supongamos que el bono tiene un valor nominal de F y una tasa cupn de c, y el pago de cupn se realiza anualmente.El inversionista inicialmente paga un precio P. Posteriormente, el inversionista va a recibir un cupn anual de c x F y recibe el valor nominal F al vencimiento.Intuitivamente, el inversionista est deseoso de pagar un precio P que es equivalente al valor de los flujos futuros de efectivo. Estos flujos de efectivo se entregarn en el futuro, por lo que es necesario estimar el valor presente de cada uno de los flujos.Hoy Vencimiento Frmula de valuacin de un bonoEl valor presente de un flujo de efectivo esta dado por:Donde:i tasa anual de interst tiempo entre dada perodon nmero total de perodosP valor presenteF Valor futuroPara un bono que paga cupones anuales, Donde:i tasa anual de intersn nmero de periodos de cupnc tasa cupn anualP valor presente del bonoF valor nominal del bono|Hoy Vencimiento( ) nt iFP +1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n niFiF ciF ciF ciF cP++++ ++++++1 1 1 1 13 2 1 Ms frmulas de valuacinSi un bono paga intereses k veces al ao (k puede ser 2 para un bono con corte de cupn semestral), se tiene que ajustar la frmula considerando que ahora el pago de cupn ser cF/k en lugar de ser simplemente cF, y la tasa de inters en cada perodo es de i/k en lugar de ser i:Existen dos formas simplificadas de esta frmula.Es posible utilizar la notacin de sumatoria, la cual es la simplificacin de una serie aritmtica.Podemos utilizar la frmula de valor presente de una anualidad.( ) ( ) nnitk iFk i k cFP/ 1 / 1/1 ++]]]

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.|+1111Con sumatoriaCon anualidad Yield To Maturity (YTM)En las frmulas de valuacin de bonos y en todos los ejemplos que acabamos de ver, se utiliza una tasa anual para descontar los flujos futuros de efectivo con el fin de traerlos a valor presente.En la valuacin de bonos, esta tasa de inters recibe un nombre especial: Yield to Maturity (YTM)La YTM es la tasa de rendimiento que el inversionista va a recibir si compra el bono y lo conserva hasta su vencimiento. Esta tasa toma en cuenta el hecho de que los bonos tienen cupones diferidos y pueden ser comprados a precios diferentes a su valor nominal. Ilustracin de la YTMCada uno de los bonos ilustrados, tiene un vencimientode 4 aos y paga un cupn anual del 10%.Los precios son diferentes tal como se ve en la tablaPor ejemplo, el bono que esta valuado en 85.7251 nicamente paga un cupn de 10%, cuando los inversionistas buscan un rendimiento del 15%.Sin embargo, debido a que el bono est valuado a descuento, durante el perodo de 4 aos, los inversionistas ganan la diferencia entre el precio de compra de 87.7251 y los 100 de valor nominal que se recibe al vencimiento.Esta apreciacin de valor incrementa el valor del rendimiento efectivo de 10% a 15%. Ganando la YTMExaminemos el bono de 4 aos que ofrece un cupn anual del 10% el cual se compr a descuento en 85.7251. Realmente genera una YTM del 15%?Despus de un ao, si el bono ganara 15%, el precio se apreciara 15%, y el bono valdra esa cantidad. Sin embargo, el bono paga un cupn de 10 en ese momento, lo que hace que el precio del bono sea de 88.5839 mas un cupn de 10, haciendo un total de 98.5839.Al final del segundo ao, el bono debe de apreciarse otro 15%, aumentando su valor de 88.5839 a 101.8715, antes de pagar otro cupn de 10, bajando su valor a 91.8715Siguiendo esta mecnica durante el perodo de vida del bono, podemos observar que si el bono aumenta 15% cada ao, puede valer exactamente 100 al vencimiento.Con esto comprobamos que el bono comprado a 85.7251 realmente gana la YTM de 15%. Cupn y RendimientoCon base en lo que hemos observado, podemos percatarnos de que existe una relacin importante entre la tasa de rendimiento y la tasa cupn.Relacin entre Rendimiento y CupnLos bonos con cupn fijo no pueden ajustar los pagos de intereses regulares para ajustarse a las condiciones de las tasas de mercado. La nica manera en la que estos bonos pueden ofrecer un rendimiento que se ajuste a las condiciones prevalecientes de mercado, es realizando un ajuste en el precio.Cuando el cupn es menor que el rendimiento, se dice que estbajo par.Cuando el cupn es mayor que el rendimiento, se dice que est sobre par.Cuando el cupn es igual que el rendimiento, se dice que est a la par. Ejemplo:Para ilustrar lo anterior, observemos la tabla, la cual nos muestra los precios de tres bonos con el mismo plazo (4 aos) y valuados a una tasa de rendimiento del 8%.El primer bono tiene un cupn menor que su rendimiento, por lo que est valuado bajo par, a un precio de descuento de 86.7515.El segundo bono tiene un cupn igual que su rendimiento, por lo que est valuado a la par, a un precio de 100.El tercer bono tiene un cupn mayor que la tasa de rendimiento, por lo que est valuado sobre par a un precio con premio de 113.2485. Precio y RendimientoUna relacin an mas importante es la que existe entre el precio y el rendimiento.Conforme la YTM sube el precio del bono baja Rendimiento y Sensibilidad de PreciosAlgunos bonos son menos sensibles a los cambios en la tasa de rendimiento.Precio del bonoPrecio del bonoEn el grfico podemos observar que el bono a 5 aos (azul) tiene menos sensibilidad ante el cambio en las tasas que el bono de 30 aos (verde) Sensibilidad de la tasa y plazo al vencimientoAnteriormente observamos que el precio del bono de 30 aos es mucho mas sensible al cambio en la tasa que el bono de 5 aos.Para estudiar mas a fondo la relacin que existe entre el plazo al vencimiento del bono y la tasa con respecto al precio, la grfica ilustra cmo cambia el precio de un bono con cupn de 8%Cuando las tasas se mueven de 4% a 8% a 12%Para los vencimientos que van desde cero a 30 aos.Cuando la tasa de rendimiento se mueve desde 4% a 12%, el precio de un bono con vencimiento a un ao slo cambia de 96 a 104 (+/- 4%). Sin embargo, para el mismo cambio en la tasa de rendimiento, el precio de un bono a 30 aos cambia de 68 a 170, 2.5 veces!La duracin y convexidad son piezas clave en esta relacin.Los bonos aLos bonos a mayor plazomayor plazo son masson mas sensibles sensiblesLos bonos aLos bonos a menor plazomenor plazo son menosson menos sensibles sensiblesPlazo al vencimiento (aos) Plazo al vencimiento (aos)Precio del BonoPrecio del Bono Reinversin de cuponesSiempre que un inversionista recibe el cupn de un bono, tratar de invertir ese flujo de efectivo.El problema para los inversionistas es que los rendimientos que pueden obtener de la inversin son desconocidos hasta que se conozca la tasa de inters vigente cuando se reciba el pago del cupn. Esto significa que el rendimiento total que se pueda tener puede variar con respecto a las expectativas iniciales.Consideremos el ejemplo del bono a 4 aos que paga un cupn de 10% y fue comprado a un precio de 85.7251 con una tasa del15%. Supongamos que las tasas de inters se mantienen constantes en 15% a lo largo de la vida del bono, de tal forma que los cupones recibidos se puedan invertir a esta tasa. La tabla muestra los resultados finales de la inversin que ascienden a 149.9337.Si un inversionista encuentra una inversin que le garantice una tasa de 15% anual por 4 aos, una inversin inicial de 85.7251 crecer a 149.9337 (el mismo monto!) Riesgo de Reinversin Por qu la tasa realizada no es la YTM? El clculo con YTM tiene un supuesto implcito: los cupones pueden reinvertirse a la YTM. Como podemos observar en la lmina anterior: Si los cupones pueden reinvertirse a la YTM, la tasa realizada al vencimiento ser la YTM Si los cupones no pueden reinvertirse a la YTM, la tasa realizada al vencimiento diferir de la YTM La siguiente grfica muestra la tasa realizada de dos bonos comprados a una tasa del 8%, sin embargo, las tasas de reinversin difieren con respecto a dicha tasa. Por ejemplo, si las tasas caen al 6% y permanecen en ese nivel, el bono a 30 aos tendr una tasa de 6.86% en vez de 8%. Las implicaciones para los inversionistas que compran un bono a una YTM particular es que rara vez podrn realizar dicha tasa. El concepto de Yield to Maturity es poco apropiado5 aos30 aosTasa de reinversin (%) Tasa de reinversin (%)Inters Realizado (%)Inters Realizado (%) Convencin de dasLos bonos utilizan una gran variedad de convenciones para realizar el clculo de los fracciones de das, lo que afecta en el clculo del tiempo entre el pago de cupones y el inters acumulado.Existen tres convenciones principales para el numerados y tres convenciones principales para el denominador. Numerador Numerador Denominador Denominador Convencin Actual Day Convencin Actual DaySe cuenta el nmero actual de das calendario entre dos fechas.Por ejemplo: del 15 de febrero de 2001 al 1 de julio de 2001 hay 136 das.Convencin 30 das Convencin 30 dasRegla Simple Regla SimpleAsumir que cada mes tiene nicamente 30 das.Por lo tanto, el 31 de enero acumula intersSin embargo, se acumula inters el 30 de febrero.Regla Exacta Regla Exacta