Tema 1- Á MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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    Apuntes realizados por J. David Moreno y Mara Gutirrez 1

    Tema Tema 11--MATEMTICAS MATEMTICAS

    FINANCIERASFINANCIERASFINANCIERASFINANCIERAS

    Material realizado por J. David Moreno y Mara GutirrezUniversidad Carlos III de MadridUniversidad Carlos III de Madrid

    Asignatura: Economa Financiera

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    Tema 1Tema 1-- MATEMTICAS FINANCIERASMATEMTICAS FINANCIERASEsquema del TemaEsquema del Tema

    1.1. EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSINTERS

    C t d I t Concepto de Inters Capitalizacin simple Capitalizacin compuesta

    Valor actual y valor futuro Valor actual y valor futuro

    2.2. VALOR ACTUAL DE FLUJOS DE TESORERA MULTIPLESVALOR ACTUAL DE FLUJOS DE TESORERA MULTIPLES

    Valor actual de una anualidad Valor actual de una perpetuidad

    3.3. OPERACIONES DE PRSTAMOSOPERACIONES DE PRSTAMOS

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    Tema 1Tema 1-- MATEMTICAS FINANCIERASMATEMTICAS FINANCIERAS-- Objetivos del temaObjetivos del tema

    Aprender que el dinero tiene un valor temporal

    Entender qu es el tipo de inters simple y compuesto, y cmo utilizarlos.

    Conocer cmo se calcula el valor actual y valor futuro de una determinada cuanta monetaria en un momento temporalmomento temporal.Conocer las frmulas que permiten calcular de forma simplificada el valor actual de una anualidad y desimplificada el valor actual de una anualidad y de una renta perpetua.

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    Para empezar debemos pensar si valen lo mismo 1.000.000 hoy o dentro de 10 aos.yO tambin podemos preguntarnos a cuantos euros estamos dispuestos a renunciar por cobrar esa cantidad de 1 000 000 hoy en vez de dentro de 10cantidad de 1.000.000 hoy en vez de dentro de 10 aos.

    Todos preferimos recibir esa cantidad monetaria hoy a dentro Todos preferimos recibir esa cantidad monetaria hoy a dentro de 10 aos porque:

    Si la recibo hoy puedo invertirla en algn activo sin riesgo y recibir una cantidad mayor dentro de 10 aos.

    Si no la cobro hoy, y la voy a cobrar dentro de 10 aos existe el riesgo de que finalmente no me la paguen (bancarrota, muerte)

    Riesgo de inflacin

    Por tanto, seguramente estamos dispuestos a recibir solo g p900.000 o 850.000 por cobrar esa cantidad hoy en vez de dentro de 10 aos.

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    As, hemos visto como EL DINERO TIENE UN EL DINERO TIENE UN VALOR TEMPORALVALOR TEMPORAL.VALOR TEMPORALVALOR TEMPORAL. Por tanto, no es lo mismo 1 hoy que 1 dentro de un ao,

    y necesitamos comparar esas dos cantidades en el mismo momento temporalmomento temporal.

    Esto debe ser conocido ampliamente por el Director Financiero (DF) de una empresa.

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    El VALOR FUTURO DE UNA INVERSINVALOR FUTURO DE UNA INVERSIN es la cantidad a la que crecer una inversin despus de aadirle los intereses.Vamos ahora a analizar cmo pueden ser esos interesesintereses.

    INTERSINTERS: El inters es la recompensa que recibe el t i t ( i t l di )prestamista (quien presta el dinero) porque : No puede disponer de ese capital durante la vida del

    prstamo Est corriendo el riesgo de que el prestatario no le devuelva

    el dinero. Vamos a ver la diferencia entre inters simple y

    t l l l d l l f t dcompuesto, y el clculo del valor futuro en cada caso.

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    1.1. CAPITALIZACIN SIMPLECAPITALIZACIN SIMPLE: En una inversin a capitalizacin simple el pago de En una inversin a capitalizacin simple el pago de

    intereses se calcula como una proporcin constante de la cantidad invertida. A esta proporcin se le denomina tipo de inters nominaldenomina tipo de inters nominal

    En este caso los intereses se calculan solo sobre la inversin inicial pero no sobre los intereses devengados durante la vida de la inversindurante la vida de la inversin.

    El pago de intereses cada ao es igual a C0.i La cantidad total de intereses pagada durante una p g

    inversin de t aos ser itCiCiCiC 0

    .0

    .0

    .0 ...

    As el Valor Futuro ser: )1(0000 tiCitCCInteresesCCt

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    EjemploEjemplo: Suponer que el DF de una empresa tiene un excedente de tesorera de 2 millones de euros y decide invertirlos durante 1 ao en un FIAMM que le pagar un tipo de inters nominal del 5% anual. Determine el valor de los intereses y el valor final de esta inversin dentrode los intereses y el valor final de esta inversin dentro de un ao.

    2mill (1+0.05)=2.100.00

    Y si el FIAMM se mantiene dos aos (suponiendoY si el FIAMM se mantiene dos aos (suponiendo capitalizacin simple)

    2mill (1+0.05*2)=2.200.00

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    Inters simple fraccionado: se define como el equivalente del inters simple anual de referencia (i).Sera cuando los pagos de intereses se realizan al final de cada semestre o de cada mes.Es indiferente pagar uno u otro pues el montante final a pagar es el mismoEl ti d i t i l f i d l l i/El tipo de inters simple fraccionado se calcula como: i/m. Donde m es nmero de veces que se pagan intereses al ao.

    Proviene de: I=niC=nmi*C y esto implica i*=i/m

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    1.1. CAPITALIZACIN COMPUESTACAPITALIZACIN COMPUESTA: Es el inters ganado sobre el capital inicial y sobre los Es el inters ganado sobre el capital inicial y sobre los

    intereses que se van devengando durante ese periodo. En una inversin a tipo de inters compuesto los intereses

    devengados son reinvertidos para obtener ms interesesdevengados son reinvertidos para obtener ms intereses En la siguiente tabla se muestra cmo evolucionan los

    intereses en una inversin de n aos a inters compuesto:

    Ao Capital al principio del ao Intereses devengados durante el ao

    1 C0 C0.i

    2 C0+C0.i=C0.(1+i) C0.(1+i).i

    3 C0.(1+i)+ C0.(1+i).i=C0.(1+i)2 C0.(1+i)2.i

    n C0.(1+i)n-1 C0.(1+i)n-1.i

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    De esta forma, el montante al final del ao n ser:

    nnnn iCiiCiCC )1()1()1( 0

    10

    10

    As, la frmula para calcular el VALOR FUTURO de una inversin a inters compuesto durante n aos es

    n )()()( 000

    (1+i)n Se le denomina como ffactor de capitalizacinactor de capitalizacin. Y es la

    nn iCC )1(0

    cantidad final que recibimos al prestar 1 euro hoy hasta dentro de n aos.

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    A partir de la frmula anterior se puede calcular el VALOR ACTUALVALOR ACTUAL de una inversin a inters compuesto a n aos:

    nCC nn

    iC

    )1(0

    Se le denomina factor de descuentofactor de descuento a 1/(1+i)n. Y se corresponde con el valor actual de 1 recibido dentro de n aos.de t o de a os Si multiplicamos el factor de descuento por la una cantidad

    monetaria obtenemos el valor actual de esa cuanta. (1+i)-n debe ser siempre una cantidad menor que la unidad para ( ) p q p

    que se cumpla la ley del valor del dinero.

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    11-- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE INTERSCONCEPTO DE INTERS

    EjemploEjemplo: Supongamos que el DF de una empresa debe decidir entre dos proyectos de in