Libro De Matemáticas Financieras

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Prologo

Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo satisfaciendo alguna necesidad, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro ms o menos prximo, segn se acuerde. De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensacin econmica nos resulte suficiente. En este sentido el principio bsico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes ms cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos ms lejanos. La razn es el sacrificio del consumo.

Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiacin que se llama inters. El inters se puede definir como la retribucin por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un perodo de tiempo.

Esta compensacin econmica se exige, entre otras, por tres razones bsicas:

Por el riesgo que se asume.

Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.

Por la depreciacin del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificacin de esa compensacin econmica, de los intereses, depende de tres variables, a saber:

La cuanta del capital invertido,

El tiempo que dura la operacin, y

El tanto de inters al que se acuerda la operacin.

Por otra parte, cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuanta (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).

Finalmente, en una operacin financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantas y vencimientos), sino que siempre estaremos refirindonos a capitales equivalentes, cuya definicin se dar ms adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situacin u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un ao, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes.

De una manera ms general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se est de acuerdo en intercambiar uno por otro.

El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operacin. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o prdida que estamos dispuestos a asumir en una operacin concreta.

Para que una operacin financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantas que dan y

.:: Ejemplo 1 ::. Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro de un ao. Cul es el rdito de la operacin? Y el tanto de inters anual?

Por lo tanto, el rdito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de inters que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la operacin.

Capitalizacin SimpleOperaciones en rgimen de simple IPor Jos Tovar Jimnez

Las operaciones en rgimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en perodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada perodo se calculan siempre sobre el mismo capital el inicial, al tipo de inters vigente en cada perodo. Este rgimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un ao).

1.1. CAPITALIZACIN SIMPLE

1.1.1. Concepto

Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicacin de la ley financiera en rgimen de simple.

1.1.2. Descripcin de la operacin

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente capital inicial, se trata de determinar la cuanta final (Cn) que se recuperar en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operacin se contrata (tiempo n y tipo de inters i).

Este capital final o montante se ir formando por la acumulacin al capital inicial de los intereses que genera la operacin peridicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operacin, se aaden finalmente al capital inicial.

1.1.3. Caractersticas de la operacin

Los intereses no son productivos, lo que significa que: A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital inicial, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

Grficamente para una operacin de tres perodos:

Capitalizacin SimpleOperaciones en rgimen de simple IIPor Jos Tovar Jimnez

1.1.6. Clculo de los intereses totales Bastar con calcular los intereses de cada perodo, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.

Intereses totales = I1 + I2 + + In = C0 i1 + C0 i2 + + C0 in

Si i1 = i2 = = in = i se cumple:

Intereses totales = I1 + I2 + + In = C0 i + C0 i + + C0 i

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencias entre ambos:

.:: Ejemplo 4 ::. Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada perodo:

Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i =

= C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84

Capitalizacin SimpleOperaciones en rgimen de simple IIIPor Jos Tovar Jimnez

1.1.8. Clculo de la duracin Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial, capital final y tipo de inters, partiendo de la frmula general de la capitalizacin simple y despejando la variable desconocida.

Punto de partida:

Cn = C0 x (1 + n x i)

Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuacin anterior):

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros):

Despejar la duracin n, dividiendo por i:

.:: Ejemplo 7 ::. Un capital de 2.000 euros colocado a inters simple al 4% anual asciende a 2.640 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

Operaciones en rgimen de simple IVPor Jos Tovar Jimnez

1.3. DESCUENTO SIMPLE Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento simple. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

1.3.1. Caractersticas de la operacin

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el mismo capital, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de inters aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Grficamente:

Elementos:

D: Descuento o rebaja.

Operaciones en rgimen de simple VPor Jos Tovar Jimnez

1.3.3. Descuento comercial Los intereses generados en la operacin se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

En este caso resulta ms interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los perodos descontados (n), y en cada perodo tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn Dc = Cn Cn x n x d = Cn x (1 n x d)

.:: Ejemplo 9 ::. Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 aos a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operacin.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

Equivalencia Financiera de capitales IPor Jos Tovar Jimnez

Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantas y situados en diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cul de ellos es ms interesante desde el punto de vista financiero (porque valga ms o menos que los dems). Para decidir habra que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantas, se tendra que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Adems, la comparacin debera ser homognea, es decir, tendran que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ah efectuar la comparacin. Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o ms capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizar la capitalizacin o el descuento.

2.1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: CONCEPTO