LIBRO DE MATEMTICAS FINANCIERAS

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PrologoCuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo satisfaciendo alguna necesidad, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro ms o menos prximo, segn se acuerde. De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensacin econmica nos resulte suficiente. En este sentido el principio bsico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes ms cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos ms lejanos. La razn es el sacrificio del consumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiacin que se llama inters. El inters se puede definir como la retribucin por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un perodo de tiempo. Esta compensacin econmica se exige, entre otras, por tres razones bsicas: Por el riesgo que se asume. Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo. Por la depreciacin del valor del dinero en el tiempo. La cuantificacin de esa compensacin econmica, de los intereses, depende de tres variables, a saber: La cuanta del capital invertido, El tiempo que dura la operacin, y El tanto de inters al que se acuerda la operacin. Por otra parte, cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuanta (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t). Finalmente, en una operacin financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantas y vencimientos), sino que siempre estaremos refirindonos a capitales equivalentes, cuya definicin se dar ms adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situacin u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un ao, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes. De una manera ms general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se est de acuerdo en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operacin. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o prdida que estamos dispuestos a asumir en una operacin concreta. Para que una operacin financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantas que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un mtodo matemtico que permita dicha sustitucin: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemtico (una frmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipacin de un capital en el tiempo. Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cmo funcionan se podrn sustituir unos

capitales por otros, pudindose formalizar las diferentes operaciones financieras. 1. OPERACIN FINANCIERA 1.1. CONCEPTO Se entiende por operacin financiera la sustitucin de uno o ms capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicacin de una ley financiera. En definitiva, cualquier operacin financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantas que se suceden en el tiempo. As, por ejemplo, la concesin de un prstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este ltimo un cobro inicial (el importe del prstamo) y unos pagos peridicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operacin. Por parte del banco, la operacin implica un pago inicial nico y unos cobros peridicos. La realizacin de una operacin financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos: 1. Sustitucin de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es) por otro(s). 2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicacin de una ley financiera. 3. Aplicacin de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operacin, resultado de la consideracin de los intereses generados. 1.2. ELEMENTOS 1.2.1. Personales En una operacin financiera bsica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposicin de otra (deudor) uno o ms capitales y que posteriormente recuperar, incrementados en el importe de los intereses. La accin de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerar la prestacin de la operacin financiera. La operacin concluir cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital (ms los intereses); a esta actuacin por ambas partes se le denomina la contraprestacin de la operacin financiera. En toda operacin financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone la produccin de intereses que formarn parte de la operacin y que habr que considerar y cuantificar. Por tanto, prestacin y contraprestacin nunca son aritmticamente iguales. No obstante, habr una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valorsemos prestacin y contraprestacin en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces s se producira la igualdad numrica entre ambas. Tanto la prestacin como la contraprestacin pueden estar formadas por ms de un capital que incluso se pueden solapar en el tiempo. 1.2.2. Temporales Al momento de tiempo donde comienza la prestacin de la operacin financiera se le denomina origen de la operacin financiera. Donde concluye la contraprestacin de la operacin financiera se le llama final de la operacin financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le denomina duracin de la operacin financiera, durante el cual se generan los intereses. 1.2.3. Objetivos La realizacin de la operacin financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuanta del

capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de inters (coste/ganancia) unitario acordado. 1.3. CLASES 1. Segn la duracin: A corto plazo: la duracin de la operacin no supera el ao. A largo plazo: aquellas con una duracin superior al ao. 2. Segn la ley financiera que opera: Segn la generacin de intereses: En rgimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. En rgimen de compuesta: los intereses generados en el pasado s se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro. Segn el sentido en el que se aplica la ley financiera: De capitalizacin: sustituye un capital presente por otro capital futuro. De actualizacin o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital presente. 3. Segn el nmero de capitales de que consta: Simples: constan de un solo capital en la prestacin y en la contraprestacin. Complejas (o compuestas): cuando constan de ms de un capital en la prestacin y/o en la contraprestacin. 2. RDITO Y TANTO DE INTERS Se entiende por rdito (r) el rendimiento generado por un capital. Se puede expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno. Si en el momento t1 disponemos de un capital C 1 y ste se convierte en un capital C 2 en un determinado momento t2, el rdito de la operacin ser:

Sin embargo, aunque se consideran las cuantas de los capitales inicial y final, no se tiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, en cunto tiempo se ha generado ese rendimiento. Surge la necesidad de una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tanto de inters (i). Se define el tipo de inters (i) como el rdito por unidad de tiempo, es decir:

Rdito y tanto coincidirn cuando el intervalo de tiempo es la unidad. .:: Ejemplo 1 ::. Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro de un ao. Cul es el rdito de la operacin? Y el tanto de inters anual?

Por lo tanto, el rdito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de inters que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la operacin.

Capitalizacin SimpleOperaciones en rgimen de simple IPor Jos Tovar Jimnez Las operaciones en rgimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en perodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada perodo se calculan siempre sobre el mismo capital el inicial, al tipo de inters vigente en cada perodo. Este rgimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un ao). 1.1. CAPITALIZACIN SIMPLE 1.1.1. Concepto Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicacin de la ley financiera en rgimen de simple. 1.1.2. Descripcin de la operacin Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente capital inicial, se trata de determinar la cuanta final (Cn) que se recuperar en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operacin se contrata (tiempo n y tipo de inters i). Este capital final o montante se ir formando por la acumulacin al capital inicial de los intereses que genera la operacin peridicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operacin, se aaden finalmente al capital inicial. 1.1.3. Caractersticas de la operacin Los intereses no son productivos, lo que significa que: A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de